Deret Aritmetika

1. Deret Aritmetika

Misalnya, kamu memiliki barisan aritmetika 3, 5, 7, 9, ... maka deret aritmetika dari barisan tersebut adalah S n = 3 + 5 + 7 + 9 + .... Dapatkah kamu menentukan nilai S n ? Kamu telah mengetahui bahwa suku ke-n dari suatu barisan aritmetika adalah U n = a + (n – 1) b,

dengan a adalah U 1 , b adalah pembeda, dan n bilangan asli. Tulislah S n dalam bentuk berikut.

S n = a + {a + b} + ... + {a + (n – 2)b} + {a + (n – 1)b}

U 1 U 2 U n–1

Apabila kamu mulai dari suku terakhir, maka penulisan S n akan menjadi seperti berikut.

S n = {a + (n – 1)b} + {a + (n – 2)b} + ... + {a + b} + a U n

U n–1

Jumlahkanlah kedua bentuk tersebut. S n = a + {a + b} + ... + {a + (n – 2)b} + {a + (n – 1)b} S n = {a + (n – 1)b} + {a + (n – 2)b} + ... + {a + b} + a

+ 2S n = { 2 a + ( n − 1 )}{ b + 2 a + ( n − 1 ) } ... { b ++ 2 a + ( n − 1 )}{ b + 2 a + ( n − 1 )} b

n suku

2S n = n{2a + (n – 1)b} S = n n {2a + (n – 1)b}

2 S n n = {a + (a + (n – 1)b}

2 S = n n (a + U n }

2 Barisan dan Deret Bilangan

Jadi, untuk mencari nilai S n dari suatu deret aritmetika, kamu dapat memilih satu di antara dua rumus berikut.

n n = {2a + (n – 1)b} 2

• S n = n {a + U n } 2

dengan a = suku pertama (U 1 )

b = pembeda U n = suku ke-n, n bilangan asli.

Contoh Soal 5.10

Misalnya, diberikan deret aritmetika 3 + 7 + 11 + 15 + ....

a. Tentukanlah U 34 dari deret tersebut.

b. Tentukanlah S 16 dari deret tersebut.

c. Apakah deret tersebut merupakan deret naik atau deret turun? Penyelesaian :

a. Suku pertama dan pembeda deret tersebut dapat kamu temukan dengan mudah, yaitu a = 3 dan b = 4.

Sehingga, U n = a + (n – 1)b

U 34 = a + (34 – 1)b = a + 33b = 3 + 33 (4) = 3 + 132 = 135

Jadi, U 34 dari deret tersebut adalah 135.

b. S n = n {2a + (n – 1)b}

S 16

16 = {2a + (16 – 1)b} 2

= 8{2a + 15b} = 8{2(3) + 15(4)} = 8(6 + 60) = 8(66) = 528

c. Oleh karena pembeda pada deret tersebut positif (b = 4) maka deret tersebut termasuk deret naik.

162 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX

Misalnya, kamu mempunyai deret aritmetika dengan banyak suku ganjil, yaitu U 1 +U 2 +U 3 + ... + U n +U n+1 +U n+2 + ... + U 2n +U 2n + 1 . Perhatikan ilustrasi berikut.

U 1 + U 2 + U 3 ++ ... U n + U n + 1 + U n + 2 + U n + 3 ++ ... U 2 n + U 2 n + 1 n suku n suku

suku tengah (U t )

Pada ilustrasi tersebut, terlihat bahwa suku tengah U t terletak pada suku ke-(n + 1). Jadi, U t =U n+1 . Kamu dapat pula menuliskan U t sebagai berikut.

U = t 1 (a + U 2 2n + 1

2U t =a+U 2n + 1 U 2n + 1 = 2U t –a

Dengan demikian, jumlah suku-suku dari deret dengan banyak suku 2n + 1 adalah

( aU + 2 n + 2 1 )

() 2 U 2 t = ( 2 n + 1 ) U t

Jika terdapat deret aritmetika dengan banyak suku 2n + 1 dengan n bilangan asli, U t adalah suku tengah deret tersebut maka berlaku hal-hal berikut.

• S 2n + 1 =(2n + 1) U t

Contoh Soal 5.11

Diberikan deret 2 + 4 + 6 + ... + U 9 . Tentukanlah:

a. nilai dari U 9 ;

b. suku tengah deret tersebut;

c. nilai S 9 dari deret tersebut. Penyelesaian :

a. Suku pertama dan pembeda pada deret tersebut berturut-turut adalah a = 2 dan

b = 2, sehingga U n = a + (n – 1)b U 9 = a + (9 – 1)b

Barisan dan Deret Bilangan

= a + 8b = 2 + 8(2) = 2 + 16 = 18

b. Deret tersebut merupakan deret dengan banyak suku ganjil, sehingga 2n + 1 = 9 2n

n =4

Suku tengah deret tersebut adalah U t =U n+1 =U 4+1 =U 5 .

Adapun nilai dari U 5 dapat kamu tentukan dengan cara berikut. U 2n + 1 = 2U t –a U 9 = 2U t –2

Jadi, suku tengah deret tersebut adalah U t =U 5 = 10.

c. S 2n + 1 = (2n + 1) U t S 9 = 9(10) = 90

Berikut adalah ilustrasi dari deret tersebut.

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 U 1 U 5 =U t

Latihan 5.10

1. Misalnya, diberikan deret aritmetika 48 + 45 + 42 + 39 + ....

a. Tentukanlah U 26 dari deret tersebut.

b. Tentukanlah S 18 dan S 27 dari deret tersebut.

c. Apakah deret tersebut merupakan deret naik atau deret turun?

2. Misalnya, diberikan deret aritmetika (t + 23) + (t + 17) + (t + 11) + ....

a. Tentukan pembeda pada deret tersebut.

b. Tentukan U 5 dan U 6 pada deret tersebut.

c. Hitunglah jumlah enam suku pertama deret tersebut.

3. Pak Harun bekerja di sebuah perusahaan swasta. Setiap akhir tahun, perusahaan tersebut memberikan bonus akhir tahun pada karyawannya. Besaran bonus yang diberikan adalah 10% gaji pada tahun pertama. Pada akhir tahun kedua, karyawan berhak menerima

164 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX 164 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX

a. bonus yang akan diterima oleh Pak Harun pada akhir tahun 2008;

b. total bonus yang akan diterima oleh Pak Harun setelah bekerja selama 20 tahun;

c. saat Pak Harun akan menerima bonus tiga kali lipat gajinya saat ini.

4. Diberikan deret 100 + 93 + 86 + ... + U 49 . Tentukanlah:

a. nilai dari U 49 ;

c. nilai S 49 dari deret tersebut.

b. suku tengah deret tersebut;

5. Pada tanggal 1 Maret, Desta diberi hadiah dua manik-manik oleh kakaknya. Pada hari berikutnya, Desta diberi 4 manik-manik. Setiap hari yang berturutan, Desta diberi manik- manik dengan jumlah bertambah dua. Tentukanlah:

a. banyaknya manik-manik yang akan diterima Desta pada tanggal 16 Maret;

b. banyaknya manik-manik yang akan diterima Desta pada tanggal 31 Maret;

c. jumlah manik-manik yang dimiliki Desta sampai dengan tanggal 31 Maret;