BANGUN-BANGUN RUANG

11.1 Kubus, balok, Prisma dan Limas

Masing-masing bangun ruang ini mempunyai sifat sendiri-sendiri. Pada pasal ini akan dibahas sifat-sifat khusus itu.

11.1.1 Kubus

Bangun ruang ini mempunyai : 8 titik sudut, 12 rusuk yang sama, panjang yang tegak lurus satu sama lainnya, 6 bidang sisi yang berbentuk bujur sangkar dan tegak lurus satu sama lainnya, 4 diagonal ruang, 4 diagonal bidang yang berbentuk persegi panjang. Untuk jelasnya perhatikan kubus pada Gbr. 41.

Telah diketahui bahwa penutup mempunyai jarak tetap terhadap alas, maka kita katakan bahwa penutup kubus adalah tempat kedudukan titik yang mempunyai jarak tetap s dari bidang alas kubus. Hal ini yang dapat kita lihat pada kubus bahwa setiap garis yang terletak pada sisi-sisi alas selalu memotong atau menyilang rusuk

tegak lurus. Oleh karena itu untuk menentukan jarak titik tengah AB ke dalam CDEF harus dibuat proyeksi titik tengah AB kesebarang garis pada bidang CDEF. Perhatikan Gbr.41 pada contoh di atas. Misalkan titik tengah AB adalah K,

maka dengan bidang CDEF dan titik K dapat dibentuk diagonal bidang yang berbentuk segitiga samakaki, yaitu  EKC dan  DKF dengan EK = KC dan DK = FK. Alas kedua segitiga ini berpotongan di suatu titik L. Jarak KL adalah jarak titik K ke bidang diagonal CDEF.

Selanjutnya di sini dapat juga kita ketahui bahwa bidang EFCD dan bidang EKC berpotongan pada suatu garis lurus EC . Demikian juga bidang EFCD dan bidang KED berpotongan pada suatu garis lurus DH . Sedangkan kedua bidang yang melalui kedua segitiga di atas berpotongan pada suatu garis lurus KL . Karena

CDEF persegipanjang, maka garis tinggi  EKC dan  DKF dari K adalah garis yang melalui K dan titik tengah EC dan DF . Jika EC  DF = L, maka KL

adalah jarak titik tengah AB ke diagonal bidang CDEF.

11.1.2 Balok

Pada dasarnya kubus merupakan bentuk khusus dari balok yaitu jika mempunyai rusuk yang sama panjang maka akan terjadi kubus. Oleh karena itu balok juga mempunyai 8 titik sudut,

3 pasang bidang sisi, 12 rusuk dengan 4 rusuk panjang, 4

E F rusuk lebar, 4 rusuk tinggi, 4

diagonal ruang, 4 diagonal

C bidang. Perhatikan Gbr. 42.

Titik sudutnya

adalah

B A,C,D,E,F,G, dan seterusnya.

Segmen-segmen AB , DC ,

Gbr. 42

EF , GH adalah rusuk panjang, AD , BC , EH , FG rusuk lebar, AE , DH , BF , CG , rusuk tinggi, AG , BH , CE dan DF adalah

H G diagonal ruang.

Bidang-bidang ABCD bidang

alas, AEFB,

BFGC, CGHD bidang dinding

dan EHGF bidang penutup, ADGF, DBGH,

A B BCHE

dan

Gbr. 44

CDHE adalah CDHE adalah

G K adalah titik

Misalkan

F potong

garis tinggi dari B ke

C DG dan L adalah

titik potong garis

Gbr. 43

tinggi dari B ke EG . Misalkan M adalah titik potong DL dan EK . Maka jarak MB adalah jarak titik

B ke bidang EGD. Bukti

Karena BK  DG maka bidang yang melalui B, K, E tegak lurus pada bidang EDG juga karena BL  EG maka bidang yang melalui B, L, D tegak lurus

pada bidang EDG. Karena itu maka garis potong bidang BKE dan bidang BLD adalah garis lurus yang tegak lurus bidang EDG. Karena garis itu melalui B dan memotong EDG di M maka jarak BM adalah jarak B ke bidang EDG.

11.1.3 Prisma

Prisma merupakan bangun ruang yang mempunyai bidang alas dan penutup sejajar dan kongruen, rusuk-rusuk tegak juga sejajar. Contoh : Perhatikan Gbr. 45. (i) Prisma dengan alas dan penutup segitiga. (ii) Prisma dengan alas dan penutup segilima.

Bangun ruang yang masih menyerupai bentuk bangun ini disebut prismoida. Ini dapat dilihat pada Gbr. 46.

IKL

Di sini bidang IKL//bid. EFGH. Selanjutnya disebut prismoida

. EFGH

11.1.4 Limas

A Limas merupakan bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah bangun segi-n sebagai bi-

dang

alas

dan bidang- bidang sisi

tegak yang

berbentuk

segitiga de-

segi-n itu dan puncaknya berimpit. Beberapa bangun ruang ini tampak pada Gbr. 47. (i)

Limas dengan bidang alas segitiga

(ii)

Limas dengan bidang alas segiempat Kadang-kadang sebuah bangun ruang tertentu disebut paralel epipedum. Sebenarnya ini adalah sebutan umum dari bangun ruang yang mempunyai bidang-bidang sisi berhadapan

F sejajar. Misal

disebut para-

lel epipedum

A (i B

(ii)

Gbr. 45 Gbr. 45

11.2 Bangun-bangun Ruang Khusus

11.2.1 Bidang Empat Beraturan (tetrahedron) Bangun ini disusun dari empat buah segitigasisi, sehingga membentuk bangun ruang. Ini tampak seperti Gbr. 49.

Gbr. 48 Gbr. 49

11.2.2 Bidang Enam Beraturan (Hexahedron, Kubus) (lihat Gbr. 40)

11.2.3 Bidang Delapan beraturan (Octahedron) Bangun ini juga disusun dari delapan buah segitiga sama sisi sehingga membentuk sebuah bangun ruang . Bangun ini tampak seperti Gbr. 50.

Gbr. 50 Gbr. 51

11.2.4 Bidang Dua Belas beraturan (Dodecahedron) Bangun ini disusun dari dua belas segilima beraturan (Gbr. 51).

11.2.5 Bidang Dua Puluh Beraturan (Icosahedron) Bangun ini disusun dari dua puluh segitiga samasisi.

11.3 Melukis Bangun Ruang

Bangun ruang tidak dapat dilukis tepat sama dengan bangun ruang sesungguhnya pada

Gbr. 52 bidang. Untuk itu diperlukan syarat-syarat

tertentu agar dapat memperoleh model yang hampir menyerupai bangun yang sebenarnya. Syarat untuk melukis ini ada tiga yaitu; bidang datar, bidang frontal, perbandingan proyeksi dan syarat lain. Contoh 1

Lukis kubus ABCDEFGH dengan bidang ABCD pada bidang datar, bidang ABFE pada bidang frontal, sudut-sudut 30 0 dan perbandingan proyeksi 1:2.

Karena bidang ABFE frontal maka ABFE dilukis seperti bidang bujursangkar ABFE. Di sini AD sebenarnya tegak lurus pada AB tetapi pada lukisan hanya

dilukis 30 0 . Juga sebenarnya AD=AB tetapi hanya dilukis AD = 1/2 AB.

Contoh 2. Pada Gbr. 54 bidang 4 beraturan ABCD, bidang berat AED frontal, sudut 60 0 ,

perbandingan proyeksi 1:2

11.4 Melukis Penampang

Penampang merupakan suatu bidang yang terdapat dalam bangun ruang yang memenuhi syarat tertentu. Contoh

Bidang BCHE pada kubus Gbr. 53 adalah salah satu penampang pada kubus itu. Untuk melukis bidang penampang pada suatu bangun ruang diperlukan dua tahap yaitu :

1. Melukis garis dasar, dan

2. Menyelesaikan penampang .

11.4.1 Melukis Garis Dasar Garis ini ditentukan melalui perpotongan bidang penampang dengan bidang dasar dari suatu bangun ruang. Selanjutnya garis ini disebut sumbu afinitas atau garis kolineasi.

11.4.2 Menyelesaikan Penampang Pada tahap ini hanya kita mencari titik potong-titik potong bidang penampang dengan

bidang-

bidang sisi

bangun ru-

ang. Bila

titik ini telah dida-

pat, maka L

pekerjaan

Gbr. 54 Gbr. 54

Lukislah penampang kubus ABCDEFGH yang melalui titik P  AE 

1 AP=PE, titik Q  BF  BQ = BF dan H.

Penyelesaian. Perhatikan Gbr. 55.

Tandai perpotongan HP dan AD dengan K. Juga perpotongan AB dan PQ dengan L. Melalui K dan L dapat dibuat tepat sebuah garis KL (gars dasar). Selanjutnya

tandai perpotongan BC dan KL dengan M dan perpotongan QM dan GC dengan R. Penampang yang diminta adalah bidang yang melalui titik PQRH.