VOLUME BANGUN-BANGUN RUANG TERPANCUNG
BAB XIII VOLUME BANGUN-BANGUN RUANG TERPANCUNG
13.1 Limas Terpancung
Bangun-bangun ini merupakan bangun-bangun ruang yang telah dipotong oleh sebuah bidang Contoh :
Diberikan sebuah bidang empat beraturan TABC. Sebuah bidang memotong bangun ini melalui titik P
pada AT sehingga AP =
2 AT, titik Q pada TB R' R
sehingga TQ = 1 3 BT dan titik Q
R pada TC sehoingga CR = B'
4 CT. Tentukan volume T. PQR.
D Penyelesaian
Misalkan panjang sisi
A ABC adalah a. Maka
B t a
2 3 . Jika garis tinggi
Gbr. 63
dari A memotong BC di D
a 1 a a maka TD = 2 t
2 3 . Jadi L ABC 2 a . 2 3 = 4 3 . Selanjutnya perhatikan TQ
TQR. Maka
1 sin 60 Q = 6 3 .
3 a Selanjutnya misalkan proyeksi B pada TC adalah B' dan proyeksi Q pada TC
QQ ' adalah Q’, maka TQQ' sebangun dengan TBB'. Jadi TQ , sehingga a BB '
1 a a a QQ' = t 2
Q = 3 . 2 3 6 3 . Oleh karena itu L TQR = 48 3 .
Jika limas TABC puncaknya adalah A dan alasnya ABC maka tinggi limas
3 2 1 2 menjadi tinggi a TAD dengan alas TD . Maka T
D = 4 a 4 a =
2 2 . Jadi
1 L a TAD = 2 . a . 2 2 . Tetapi luas TAD T dapat juga dihitung dengan menggunakan
tinggi t A . Jadi a 3
L TAD = TD.t A 2 2 2 . t A . 3 ,
a 2 maka t a A =
t A Selanjutnya jika puncak limas T.
A D PQR adalah P maka tingginya adalah jarak
Gbr. 64 P ke TD .
Dari Gbr. 65 diperoleh PTP ~ T
TAA'. Jadi PT:TA = PP' : AA'
p' 1 : 2 t P : t A
V LT.PQR = s . L PQR . t P . ……...VV
Teorema 13.1.1 Perbandingan volume limas terpancung sama dengan perkalian perbandingan rusuk-rusuknya yang seletak. Jika limas itu T.ABC dipancung oleh bidang AEF maka
V TABC TA TB TC . . V T . DEF TD TE TF TA.TB.TC
TD.TE.TF Bukti
D ' E'
E F Misalkan limas itu adalah
T.ABC. Misalkan proyeksi A pada
D A' B'
bidang yang memuat TBC adalah A' dan proyeksi D pada bidang TBC
adalah D'. Maka
V T . ABC TA L TBC Tetapi ATD' ~ AA'T, maka AA
Selanjutnya misalkan proyeksi B pada TC adalah B' dan proyeksi E pada TC
adalah E', maka L TBC = TC . BB ' dan L TEF = 2 TF EE'. Jadi
. Karena TEE' ~ TB'B', maka BB .
' TB
EE ' TE V T . ABC TA . TC . TB
TD . TF . EE '
Jadi
V T . DEF TD . TF . TE
13.2 Kerucut Terpancung
Kerucut terpancung merupakan benda putar yang terjadi karena trapesium siku-siku diputar mengelilingi sisinya. Sisi-sisi yang sejajar dalam trapesium akan membentuk lingkaran-lingkaran sejajar, yang besar akan menjadi lingkaran alas dan yang kecil menjadi lingkaran atas kerucut terpancung. Sisi-sisi siku-sikunya menjadi jarak antara alas dan atas sekaligus menjadi tinggi kerucut terpancung, sedangkan sisi miringnya menjadi garis pelukis kerucut terpancung.
13. 2.1 Volume Kerucut Terpancung Perhatikan kerucut terpancung pada Gbr. 67. Misalkan tinggi kerucut terpancung itu adalah t, luas lingkaran dasar adalah dan luas lingkaran atas adalah ,
tinggi kerucut atas adalah x. Disini volume kerucut terpancung adalah :
r V=V kerucut besar -V kerucut kecil
3 t x 3 ( )
R Tetapi
2 2 Gbr. 67 : ( x t ) : x : ( x t ) : x t ( αβ β)
x . 13.2.1.2 α β
Setelah mensubtitusi (12.2.1.2) pada (12.2.1.2) diperoleh
3 t (α αβ β) , karena α πR dan β πr maka
1 2 2 2 V= 2
3 t ( R R .r πR )
3 t( .R .rR .r )
13.2.1.3 dengan;
3 t(R + rR + r ).
V : volume kerucut terpancung, t : tinggi kerucut terpancung , R : jari-jari lingkaran dasar, r : jari-jari lingkaran atas.
13.2.2 Luas Bidang Lengkung Kerucut Terpancung Perhatikan kembali Gbr. 67. Misalkan panjang garis pelukis kerucut terpancung itu adalah a dan panjang garis pelukis kerucut kecil adalah y, maka R : r = (a+y): y, sehingga
ar y=
, dengan: 13.2.2.1 R r
y : panjang garis pelukis kerucut kecil,
a : panjang garis pelukis kerucut terpancung, R : jari-jari lingkaran alas kerucut besar, r : jari-jari lingkaran alas kerucut kecil. Luas bidang lengkung kerucut terpancung itu adalah L = luas selimut kerucut besar- luas selimut kerucut kecil
= π R (a +y) - π ry = πRa π(R r)y , karena (13.2.2.1) maka
ar L= πRa π(R r)
= πa(R r) dengan
a : panjang garsi pelukis kerucut terpancung, R : jari-jari lingkaran dasar, a : panjang garsi pelukis kerucut terpancung, R : jari-jari lingkaran dasar,
BAB XIV
14.1 Luas Bola
Misalkan pada sebuah bidang terletak sebuah AB dan sebuah garis g yang tidak memotong AB . Jika bidang itu diputar mengelilingi garis g, maka akan
terjadi bidang lengkung lingkaran
kerucut terpancung dengan AB sebagai garis pelukis.
B B' Selanjutnya jika T titik tengah
T' AB , TM AB dan A', T’ dan B'
A'
berturut-turut proyeksi A, T dan B M pada g dan M pada g’, maka :
L = (luas bidang lengkung Gbr. 68 kerucut terpancung (AA' B' B)
= π.AB(AA' BB' ) = π.AB.2A' T'
L= 2 π . AB . TT ' . 14.1.1 Selanjutnya jika proyeksi B pada AA' adalah C, maka TT'M ~ ACB. Jadi TM:AB = TT':BC atau AB x TT' = TM x BC, sehingga
Jadi luas (AB) = 2 . TM . BC
=2 . TM . A ' B '
= (keliling lingkaran (M, MT) x (proyeksi AB pada proses) Jika AB diganti dengan AB dari sebuah lingkaran (M,R) dan proses/sumbu g adalah sebuah garis tengah lingkaran itu sehingga AB tidak terbagi oleh poros itu maka luas bidang lengkung yang terjadi karena memutar AB = keliling lingkaran (M,R)x
(proyeksi AB pada poros g) = 2 R A ' B ' .
Bukti Perhatikan tali busur AB luas (AB) = 2 π.TM A' B ' . Talibususr AB dibagi
sama besar menjadi AC = CB. Maka ali busur : AC = talibusur CB, T 1 M = T 2 M = apotema. Jadi Luas (AC) = 2 . apotema. A'C' Luas (CB) = 2. Apotema. C'B' + Luas (garis patah DCB) = 2 . Apotema A'B'
Selanjutnya jika jumlah talibusur yang menahan AB diperbanyak, maka talibusur- talibusur itu mendekati AB dan apotemanya makin mendekati R. Untuk jumlah talibusur yang dibentuk menuju tak hingga maka :
Gbr. 67 Gbr. 68 Luas bidang lengkung yang dibentuk dengan memutar AB maka A'B' = 2R.
Jadi Luas = 2 πR 2R =2 πR 2R = luas permukaan bola, dengan jari-jari R.
= 4R 2 .
14.2 Volume Bola
Perhatikan Gbr. 69. Jika jari-jari bola itu adalah r maka L 2 1/2 bola = 2 πr . Sekarang pandang bola itu sebagai kerucut dengan puncak A dan garis-garis pelukisnya adalah jari-jari yang terletak pada bidang lingkaran besar
A r setengah bola itu.
B D Maka :
V bola . L 1 . t . Tetapi t = r.
2 3 2 bola
Maka V bola 2r .r = r . Jadi
Gbr. 69 4 3
V bola = πr , 3
dengan:
V : volume bola r : jari-jari bola