Integral Lipat Dalam Menghitung Volume dan Luas Permukaan Benda Geometri Sederhana dan Terpancung

Ulil Azmi, Lilik Hendrajaya. Integral Lipat dalam Menghitung Volume dan Luas Permukan Benda Geometri
Sederhana dan Terpancung

INTEGRAL LIPAT DALAM MENGHITUNG VOLUME DAN LUAS PERMUKAN
BENDA GEOMETRI SEDERHANA DAN TERPANCUNG
Ulil Azmi1, Lilik Hendrajaya2
Pengajaran Fisika ITB, Bandung
E-mailkorespondensi: ulil.hasbi88@gmail.com
Abstrak:
Pemahaman konsep fisika matematika sangat dibutuhkan dalam memecahkan berbagai persoalan
fisika. Dalam studi ini, telah disusun sebuah acuan modul praktikum sebagai penguatan konsep
fisika matematika mengenai integral lipat yang dapat digunakan untuk menghitung volume benda.
Benda yang digunakan adalah benda bangun ruang sederhana (silinder, silinder pancung, bola,
bola pancung, kerucut, dan kerucut pancung), di dalam modul praktikum ini berisi langkahlangkah menghitung volume benda ruang tersebut.
Kata Kunci: Integral lipat, volume, luas permukaan.
1.

PENDAHULUAN
Fisika matematika adalah mata matakuliah yang dapat meningkatkan dan mengembangkan kemampuan
peserta didik dalam berfikir analitik dan kuantitatif dalam menyelesaikan persoalan fisika. Melihat peranannya,
maka perlu perlu dirancang pembelajaran yang lebih strategis. contoh-contoh soal dan penyelesaiannya, dan

soal-soal latihan melainkan diikuti dengan praktikum yang sesuai dengan materi- materi yang di ajarkan.
Dalam tulisan ini dibahas sebuah acuan modul untuk materi integral lipat dan penggunaannya dalam
menentukan volume- volume bangun ruang sederhana, bola terpancung, dan kerucut terpancung. pembahasan
bola terpancung dan kerucut terpancung dapat menjadi hal yang mebagi peserta didik sebagai bahan belajar yang
dapat mengembangkan nalar dalam memahami materi integral lipat untuk menentukan volume bangun ruang
tersebut.
Integral
Integral suatu fungsi f(x terhadap x yang didefinisikan dengan f ( x)dx . Jika g ( x)  f ( x)dx maka berarti g(x)


adalah fungsi yang turunannya terhadap x sama dengan f(x).Integral dengan batas a dan b yang dinyatakan
dengan

 f ( x)dx
b

dinamakan integral tertentu. Integral ini diartikan sebagai sebagai luas daerah yang dibentuk

a

antara kurva f(x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b.
Integral Lipat Dua dan Integral Lipat Tiga
y
Integral lipat dua dari suatu
fungsif(x,y) pada suatu daerah A dalam bidang xydinyatakan sebagai volume di
bawahfungsi f(x,y) dan dibatasi luasan A. Integral ini biasanya ditulis sebagai



A

f ( x, y)dxdy . Selain itu,

integral lipat dua ini dapat ditafsirkan sebagai luas suatu daerah dengan batas dari suatu kurva tertentu.
3. METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka.Dalam tahap ini dicari sumber
pustaka dan dipilih bagian dari sumber pustaka untuk menentukan voume geometri (bola terpancung, silinder
x
terpancuk, dan kerucut terpancung).

260

Isu-Isu Kontemporer Sains, Lingkungan, dan Inovasi Pembelajarannya

Ulil Azmi, Lilik Hendrajaya. Integral Lipat dalam Menghitung Volume dan Luas Permukan Benda Geometri
Sederhana dan Terpancung
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
a. Luas Permukaan Bangun Simetris
Tabung (Silinder)

Gambar 1. Elemen luas dan elemen volume dalam sistem koordinat silinder (Boas, 2006).
Luas Permukaan Tabung
Luas selimut tabung:

dA  Rddz
LSS 

Luas lingkaran:

dA  rdrd

Llingkaran 

Luas permukaan tabung (silinder):

   Rddz  2R  dz  2Rh
h

2

h

z 0 o

z 0

   rdrd  2  rdr  2  2 r
R

2

0

r 0 o

r 0

1


2
  R
0
R

2

LPS  Llingkaran  Lss  R 2  2Rh

Volume tabung (silinder):
Vtabung 

   r
R



h

r 0 o z 0

2

sin dddr  R 2 h

Kerucut
Luas Permukaan Kerucut:

Gambar 2. Kerucut (perbandingan segitiga)
Luas permukaan kerucut dapat ditentukan melalui persamaan sederhana sebagai berikut:
luas selimut kerucut keliling alas kerucut


luas lingkaran
keliling lingkaran
2R
A 2R

 A  s 2
 A  sR
2s
s 2 2s

Jika diselesaikan dengan menggunakan integral lipat dua, maka persamaan luas kerucut adalah sebagai berikut:

Seminar Nasional Pendidikan dan Saintek 2016 (ISSN: 2557-533X)

sSSSSSSs

261

Ulil Azmi, Lilik Hendrajaya. Integral Lipat dalam Menghitung Volume dan Luas Permukan Benda Geometri

Sederhana dan Terpancung

R
r R
 r z
T
z T

s2  z2  r 2  z2 
s  z 1
ds  dz 1 
dA  rdds
A

R2 2 2  R2 
z  z 1  2 
T2
 T 

R2

T2

R2
T2

  rdds  Rs
h 2

dimana : s  T 2  R 2
0 0

Dengan menggunakan integral lipat tiga, volume kerucut dapat ditentukan sebagai berikut:
R (T  z )
R
r
r

T
T Tz
dv  r ddrdz



R (T  z )

 dz 

T

z 0

 2





r 0

rdr

T

1 2
r
2
z 0

0

R (T  z )
T
r 0

dz

1 R2 2
(T  2Tz  z 2 )dz
2
T
2
z 0
T

R 2 
T

 d  2 

2

T

2

RT

1 3
3
3
T  T  T 
2 0


T

3

Bola

Gambar 3. Elemen luas dan elemen volume dalam sistem koordinat bola
dA  ( Rd )( R sin d )  R 2 sin dd
A

 R
 


2

o 0

2

sin dd  R 2 ( cos 0 )2  R 2 2 (2)  4R 2


Volume bola:

262

Isu-Isu Kontemporer Sains, Lingkungan, dan Inovasi Pembelajarannya

Ulil Azmi, Lilik Hendrajaya. Integral Lipat dalam Menghitung Volume dan Luas Permukan Benda Geometri
Sederhana dan Terpancung

dv  (r sin  d d )(dr )(rd )  r 2 sin  dddr

Vbola 


    r
R



2

2

r 0 0 0

sin  dddr

1 3
4
2 3

R ( cos  0 )2 
R (2)  R 3
3
3
3

b. Volume Kerucut Terpancung Miring
Dalam pembahasan ini, kerucut dipancung miring. Kerucut yang dipancung ini dibagi menjadi 2 bagian,
yaitu kerucut bagian atas (kerucut miring) dan pancungan bagian bawah.Kerucut miring berbeda dengan kerucut
biasa. Kerucut miring adalah kerucut yang sumbunya tidak tegak lurus dengan alas. Kerucut miring memiliki
ketinggian yang tegak lurus dengan alasnya.
Berikut adalah langkah untuk mendapatkan volume kedua bagian kerucut yg terpancung tersebut:

Gambar 3. Tampak depan atau samping dari kerucut yang terpancung
Volume pancungan bagian bawah (Vt) dapat diperoleh dengan mengurangkan volume kerucut penuh (Vp)
dengan volume kerucut miring atas (Vm):
Vt  Vp  Vm
Dimana :
1
Vp   r 3
3

1
Vm   luas elips miring (LE)  tinggi dari elips ke puncak kerucut
3

Dengan

LE   a b

 sumbu panjang   sumbu pendek 



2
2




Sudut kemiringan bidang kerucut (  ) adalah:

tan  

T
R

Panjang sisi miring kerucut (S) :

S  R 2  T 2 , sudut miringnya juga bisa didapatkan cos  

Q

2a
P

Rh  h cos  

RH  H cos  

R

R T2
2

hR

R T 2
2

HR

R2  T 2

Seminar Nasional Pendidikan dan Saintek 2016 (ISSN: 2557-533X)

sSSSSSSs

263

Ulil Azmi, Lilik Hendrajaya. Integral Lipat dalam Menghitung Volume dan Luas Permukan Benda Geometri
Sederhana dan Terpancung
Untuk menetukan besar P,

P  2 R  RH  Rh  2R -

HR

R2  T 2



hR

R2  T 2


( H  h) 
 R 2 
  2 R  ( H  h) cos 
R2  T 2 


Besar Q,

Q  H sin   h sin   ( H  h)

Besar a,

T

R T2
2

 ( H  h) sin 

( 2a ) 2  Q 2  P 2

2a  Q 2  P 2
a

1
Q2  P2
2

Menetukan sumbu pendek (2b)
Dengan perbandingan segitiga (P,Q), dapat ditentukan t, maka:

(t  h sin  )
R  h cos 

( H  h) sin  2 R  ( H  h) cos 
R  h cos 
(( H  h) sin  )
t  h sin  
2 R  ( H  h) cos 
R  h cos 
t
(( H  h) sin  )  h sin 
2 R  ( H  h) cos 

R
t
t
t
t
t
tan    l 
T R T
l
tan 


Maka besar b :

R( R  h cos  )
(( H  h) sin  )  h sin 
T (2 R  ( H  h) cos  )

b  Rl
 R

R( R  h cos  )
(( H  h) sin  )  h sin 
T (2 R  ( H  h) cos  )

t*
(T2γ
T γβ t)
a
t
HHsin h
α
RH P R
Luas elips (LE) adalah:

α

264

Isu-Isu Kontemporer Sains, Lingkungan, dan Inovasi Pembelajarannya

Ulil Azmi, Lilik Hendrajaya. Integral Lipat dalam Menghitung Volume dan Luas Permukan Benda Geometri
Sederhana dan Terpancung
LE   a b

1

   Q2  P2  x
2




R( R  h cos )
(( H  h) sin  )  h sin  
R 
T (2 R  ( H  h) cos  )


dengan ,
P  2 R  ( H  h) cos 

Q  ( H  h) sin 

Tinggi kerucut ke puncak elips (t*)

t*  (T - t) sin  (T - t) cos
cos  

2 R  ( H  h) cos 
P

2a
( P  2 R  ( H  h) cos  ) 2  (( H  h) sin  ) 2



R  h cos 
(( H  h) sin  )  h sin   x
t *  T 
 2 R  ( H  h) cos 

2 R  ( H  h) cos 

 ( P  2 R  ( H  h) cos  ) 2  (( H  h) sin  ) 2





Volume kerucut miring atas(Vm):

1
Vm   luas elips miring (LE)  tinggi dari elips ke puncak kerucut
3
1
  ab t *
3

Volume pancungan bagian bawah (Vt):
Vt  volume kerucut penuh (Vp)  volume kerucut miring atas (Vm)
1
1
  ab t 2   ab t *
3
3

c. Volume Bola Terpancung (Tembereng Bola)
Tembereng bola adalah bangun ruang bagian dari potongan atau pancungan bola yang dibatasi oleh sebagian
bidang bola dan sebuah daerah lingkaran dari sisi potonganya. Daerah lingkaran itu dari sisi tersebut disebut
alas, bagian bolanya disebut bidang lengkung. Tembereng bola dapat ditentukan dengan bantuan volume bola.
Dalam pembahasan ini, tembereng dibagi menjadi 2 segmen, yaitu tembereng besar dan tembereng kecil.
Tembereng besar adalah bangun ruang (tembereng) yang memiliki ukuran lebih besar dan berada dibagian
bawah, sedangkan tembereng kecil adalah tembereng yang bervolume kecil dan berada pada bagian atas (dengan
tebal h).Untuk menentukan volume tembereng kecil, hal yang perlu diperhatikan dari Gambar III.3. adalah batasbatas yang akan digunakan yaitu dari R-h sampai dengan R,dengan h adalah ketebalan dari tembereng kecil dan
R adalah jari-jari bola.

Gambar 4. Bola terbancung menjadi dua bagian (tembereng besar dan tembereng kecil)
Volume tembereng kecil dapat ditentukan dengan menggunakan intergral, melalui phytagoras didapatkan R2
2
= y +z2.

Seminar Nasional Pendidikan dan Saintek 2016 (ISSN: 2557-533X)

sSSSSSSs

265

Ulil Azmi, Lilik Hendrajaya. Integral Lipat dalam Menghitung Volume dan Luas Permukan Benda Geometri
Sederhana dan Terpancung

dv  y 2 dz

   ( R 2  z )dz
R

2

R .h

 R 2 z

R

Rh





z3

 R 2 R  R  h 
 R 2 h 



3

3

R

3

R

R
3

Rh



3

 ( R  h) 3



 R 3  3R 2 h  3Rh 2  h 3

h 2
3R  3Rh  h2 
3
h
 R 2 h  R 2  2 R 2  2 Rh  Rh  h 2 
3
h 2
2
 R h  R  2 R( R  h)  h( R  h)
3
h

 R 2 h  R 2  2 R( R  h)  h( R  h)
3
h 2
2
 R h  R  (2 R  h)( R  h)
3


 R 2 h  R 2 h  h(2 R  h)( R  h)
3
3
2

 R 2 h  h(2 R  h)( R  h)
3
3

2
 h 2 R  (2 R 2  2hR  hR  h 2 )
3

 h 2 R 2  2 R 2  2hR  hR  h 2 )
3

 h 3Rh  h 2 )
3

VT  h 2 3R  h)
3



 R 2 h 

Setelah didapatkan volume tembereng kecil, juga bisa didapatkan volume tembereng besar. Volume
tembereng besar dapat ditetukan dengan mengurangi volume bola dengan volume tembereng kecil
Volume bawah (VB)  Volume bola utuh (Vbola )  Volume tembereng (VT )
4

 R 3  h 2 3R  h)
3
3

4. Kesimpulan
Adapun kesimpulan yang dapat di ambil dari tulisan ini adalah:
1. Integral lipat dapat digunakan dalam menentukan volume benda ruang seperti tabung, bola silinder dan
lain lain.
2. Dari perhitungan penentuan volume bangun ruang terpancung ini dapat dijadikan sebagai bahan dasar
bagi peserta untuk memahami materi integral lipat.
5.

DAFTAR PUSTAKA

Boas, L. m. (2006). Mathematical Methods In The Physical Science. Canada: John Willey and sons.
Clemens, S. R. (1984). Geometry. USA: Addision-Westley Publishing Company, inc.
Mujiarto R, K. J. (2010). Matematika Fisika 1. Bandung: ITB.
Varberg, P. (2007). Kalkulus Edisi sembilan. Indonesia: Erlangga.

266

Isu-Isu Kontemporer Sains, Lingkungan, dan Inovasi Pembelajarannya