Volume dengan integral lipat | Dwipurnomoikipbu's Blog

(Soal dalam buku seri Schaum Edisi II, halaman 324 nomor 7)
1. Cari volume irisan 9 x 2  4 y 2  36 z 36 oleh bidang z = 0
Jawab
Gambar bangun yang pembatasnya 9 x 2  4 y 2  36 z 36 adalah

Z

9 x 2  4 y 2  36 z 36

C (0,0,1)

`

`

X

A( 2,0,0)

B (0,3,0)
9 x 2  4 y 2 36

Y

V 
f ( x, y ) dA
R

Dengan melakukan perubahan dA = dydx diperoleh
36  9 x 2
4

2

V 4 
0



1
9

2


0



36 y 

2

2

36  9 x  4 y
dydx
36

9x2 y 

0

2

1
2

4 3
y 
3
0



4
36 
0

36  9 x 2
4

36 

9 x 2  4 y 2 dydx

0

36  9 x 2

dx

3

2



1
1
1
41


36(
36  9 x 2 )  9 x 2 (
36  9 x 2 )  
36  x 2  dx

90
2
2
32

2



1
9
4 1
18 36  9 x 2 )  x 2 36  9 x 2 )  . (36  9 x 2 ) 36  9 x 2 dx


90
2
3 8

2



1
9
1
18 36  9 x 2  x 2 36  9 x 2  (36  9 x 2 ) 36  9 x 2 dx

90
2
6

Kalkulus Integral-

1

2



1
9
3
(18  6) 36  9 x 2  x 2 36  9 x 2  x 2 36  9 x 2 dx

90
2
2



1
9 9
12 36  9 x 2     x 2 36  9 x 2 dx


90
 2 6



1
1
[12 36  9 x 2  3 x 2 36  9 x 2 ] dx  [12 9(4  x 2 )  3 x 2 9( 4  x 2 ) dx

90
90



1
[36 (4  x 2 )  9 x 2 (4  x 2 ) dx
9
0

=

2

2

2

2

Dengan metode substitusi x = 2 sin t didapat dx = 2 cos t dx
Untuk x = 2 maka t =


2

Untuk x = 0 maka t = 0
Sehingga
2



1
[36 (4  x 2 )  9 x 2 (4  x 2 ) dx
9
0


12
 [36 ( 4  4 sin 2 t )  9(4 sin 2 t ) (4  4 sin 2 t ) ( 2 cos tdt )
90

2



1
[36(2 cos t )  36(1  cos 2 t )(2 cos t )] 2 cos t dt

90


2

4 [(2 cos t )  (1  cos2 t )(2 cos t )] 2 cos t dt
0


2

4 [4 cos 2 t  4 cos 2 t  4 cos 4 t ) dt
0


2

16  cos 4 t dt
0

Karena

m
cos x dx 

sin x cos m  1 x (m  1)

cos m  1 x dx

m
m

Maka

2

16  cos 4 t dt
0



 sin t cos 3 t 3  sin t cos t 1   2
16 
 
 t 
4
4
2
2  0


Kalkulus Integral-

2

3





1





16  0  4 (0  4  -16  0  2 .0 

=

= 3  satuan isi

Volume bangun di atas dapat juga dilakukan dengan mengubah
urutan tanda integrasi dxdy.
Dengan melakukan perubahan dA = dydx diperoleh
3

V 4 
0

3



36 4 y 2
9


0

2

36  9 x  4 y
dxdy
36

1
36 x  3 x 3  4 y 2 x
9
0



3

2



1
36 4 y 2
3
0



4
36 
0

36  4 y 2
9

36 

9 x 2  4 y 2 dxdy

0

dy
3

3



1
1
1
1

36(
36  4 y 2 )  3
36  4 y 2   4 y 2 (
36  4 y 2 )dy
9
3
3
3


0



1
1
4
12 36  4 y 2  (36  4 y 2 ) 36  4 y 2  y 2 36  4 y 2 dx

90
9
3



1
4
4
12 36  4 y 2  4 36  4 y 2  y 2 36  4 y 2  y 2 36  4 y 2 dx

90
9
3



1
4
4
(12  4) 36  4 y 2  ( y 2  y 2 ) 36  4 y 2 dx

90
9
3



1
8
8 4(9  y 2 )  y 2 4(9  y 2 ) dx

90
9



1
16 2
16 9  y 2 
y 9  y 2 dx

90
9

3

3

3

3

3

Dengan metode substitusi y = 3 sin t didapat dx = 3 cos t dx
Untuk x = 3 maka t =


2

Untuk x = 0 maka t = 0
Sehingga

Kalkulus Integral-

3

3

1
16 2
16 9  y 2 
y 9  y 2 dx

90
9


12
16
 [16 (9  9 sin 2 t ) 
(3 sin t ) 2 9  9 sin 2 t ] 3 cos t dt
90
9

2

1
16
[16 9(1  sin 2 t ) 
(9 sin 2 t ) 9(1  sin 2 t ) ] (3 cos t dt )

90
9




2



3
[16(3 cos t )  16(1  cos2 t )(3 cos t )] cos t dt
9
0

2



1
[48 cos t  48 cos t  48 cos3 t ] cos t dt

30

2



1
48 cos 4 t] dt
3
0

2

16 cos 4t dt
0

Karena

m
cos x dx 

sin x cos m  1 x (m  1)

cos m  1 x dx

m
m

Maka

2

16 cos 4t dt
0



 sin t cos 3 t 3  sin t cos t 1   2
16 
 
 t 
4
4
2
2  0


3


16 0  (0     0 
4
4


= 3
2. Carilah volume persekutuan silinder x 2  y 2 16 dan x 2  z 2 16
Jawab
Gambar silinder persekutuannya adalah:

Kalkulus Integral-

4

Z
`

Y

Y

A( 4,0,0)

X

Gambar di oktan I persekutuan silinder di atas adalah

Z

Y
A( 4,0,0)

Y

B (0,4,0)

X X

V 
f ( x, y ) dA
R

4

2 
 4

16  x 2



16  x 2 dydx

16  x 2

Kalkulus Integral-

5

4

16  x 2

8
0

4

16  x 2 dydx


0





8y 16  x 2

16  x 2

0

dx

0

4

816  x 2  dx
4

1 3

8 16 x 
x 
3 0


= 8[(16.4-

1 3
1
4 )-(16.0- 0 )
3
3

= 8(128/3)
=

1024
satuan isi
3

3. Dengan menggunakan integral ganda dua, tentukan volume
bangun ruang yang dibatasi oleh bidang z = 0, x + y = 4 dan y + z
=4
Bangun persekutuan bidang seperti gambar berikut:

Z

y  z 4

X

`

x  y 4

Y

Kalkulus Integral-

6

V 
f ( x, y ) dA
R

4 4 y

 4  y dxdy
0

4

0

 4 x  yx  0 dy
4 y

0

4

4( 4  y )  y ( 4  y )dy
0

4

(16  4 y  4 y  y 2 )dy
0

4

(16  8 y  y 2 )dy
0

4

8
1 

 16 y  y 2  y 3 
3
3 0


8
1


16.4  .4 2  .4 3  
3
3


128 64
64 

3
3

8 2 1 3

16.0  3 .0  3 .0 

4. Tentukan volume bola x 2  y 2  z 2 25 menggunakan integral ganda
dua.
Jawab

Z

X

Kalkulus Integral-

7

X
Dengan integral ganda dua diperoleh

r2  y2

r

V 8
0

r 2  x 2  y 2 dxdy


0

r 2  y2

2

8



0

(r 2  y 2 )  x 2 dxdy

0

Dengan menggunakan substitusi fungsi trigonometri
diperoleh
x=

r 2  y 2 cos t

dan dx =

r 2  y 2 sin t

untuk x = 0 didapat t = dan untuk x =

r2  y2

didapat t =


2

, sehingga
2

r 2  y2

8



0

(r 2  y 2 )  x 2 dxdy

0


2 2

8 (r 2  y 2 )  (r 2  y 2 ) sin 2 t ( r 2  y 2 cos t )dy
0 0


2 2

8(r 2  y 2 ) cos 2 t dtdy
0 0



2

 sin t cos t 1  2
8( r  y )
 t  dy
2
2 0

0
2

8.

2

 r 2
( r  y 2 ) dy

40
r

1 3

2  r 2 y 
y 
3

0

1 

2  r 2 r  r 3 
3 

4
 r 3
3

Kalkulus Integral-

8