KARAKTERISTIK MOMEN KEDISTRIBUSI GENERALIZED
KARAKTERISTIK MOMEN KEDISTRIBUSI GENERALIZED
Oleh
VINNY YULIANI SUNDARA
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDARLAMPUNG
2014
KARAKTERISTIK MOMEN KEDISTRIBUSI GENERALIZED
Oleh
VINNY YULIANI SUNDARA
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDARLAMPUNG
2014
ABSTRAK
KARAKTERISTIK MOMEN KEDISTRIBUSI GENERALIZED
Oleh
VINNY YULIANI SUNDARA
Distribusi generalized telah diteliti oleh banyak penulis lain. Dalam penelitian ini
sedikit berbeda dengan penelitian mereka. Pertama akan ditentukan momen kedan fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized ( , , , ), distribusi
( , , ), distribusi -student, dan distribusi Laplace. Kedua akan ditunjukan
bahwa distribusi ( , , ), distribusi -student, dan distribusi Laplace merupakan
bentuk khusus dari distribusi generalized ( , , , ) dengan menggunakan
fungsi kepekatan peluang, momen ke- , dan fungsi pembangkit momen. Terakhir
akan ditujukan bahwa distribusi Laplace merupakan setengah selisih distribusi
chi-square.
Kata Kunci : Distribusi Generalized- , Distribusi , Distribusi -student, Distribusi
Laplace, Distribusi Chi-Square, Fungsi Kepekatan Peluang, Momen
ke- , Fungsi Pembangkit Momen, Deret MacLaurin, Fungsi Gamma,
Fungsi Beta.
DAFTAR ISI
Halaman
I. PENDAHULUAN ............................................................................................. 1
1.1 Latar Belakang ............................................................................................. 1
1.2 Batasan Masalah........................................................................................... 2
1.3 Tujuan Penelitian.......................................................................................... 2
1.4 Manfaat Penelitian ....................................................................................... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA .................................................................................... 4
2.1 Distribusi Normal ......................................................................................... 4
2.2 Distribusi -Student...................................................................................... 5
2.3 Distribusi ( , , ) ...................................................................................... 9
2.4 Distribusi Generalized ............................................................................... 9
2.5 Distribusi Laplace......................................................................................... 10
2.6 Distribusi Chi-Square................................................................................... 10
2.7 Fungsi Gamma dan Fungsi Beta ................................................................. 11
2.8 Momen ke- .................................................................................................. 18
2.9 Ekspansi Deret Maclaurin............................................................................ 18
2.10 Fungsi Pembangkit Momen ..................................................................... 19
III. METODOLOGI PENELITIAN........................................................................ 21
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian...................................................................... 21
3.2 Metode Penelitian......................................................................................... 21
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN......................................................................... 23
4.1 Momen ke- Distribusi Generalized ( , , , ) untuk
dan
=0
= 1...................................................................................................... 23
4.2 Momen ke- Distribusi ( , , ) untuk
= 0 dan
= 1....................... 26
4.3 Momen ke- Distribusi -Student ............................................................... 28
4.4 Momen ke- Distribusi Laplace untuk
= 0 dan
= 1 ......................... 30
4.5 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized untuk
dan
= 1...................................................................................................... 33
4.6 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi ( , , ) untuk
dan
=0
=0
= 1...................................................................................................... 37
4.7 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi -Student ...................................... 43
4.8 Fungsi Pembangkit Momen Laplace untuk
= 0 dan
= 1.................. 47
4.9 Distribusi ( , , ) sebagai Bentuk Khusus dari Distribusi
Generalized ................................................................................................ 48
4.10 Distribusi -Student sebagai Bentuk Khusus dari Distribusi
Generalized ............................................................................................. 51
4.11 Distribusi Laplace sebagai Bentuk Khusus dari Distribusi
Generalized ............................................................................................. 54
4.12 Distribusi Laplace Merupakan Selisih Setengah Chi-Square ................ 58
4.13 Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Merupakan Fungsi Surjektif...... 60
V. KESIMPULAN................................................................................................... 66
5.1 Kesimpulan ................................................................................................... 66
5.2 Saran.............................................................................................................. 66
DAFTAR PUSTAKA
xiv
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perputaran waktu dan perkembangan zaman menjadikan statistika mengalami
berbagai kemajuan baik dari aspek teoritis yang terkait dengan penggalian
pengetahuan baru serta yang bersifat praktis berkenaan dengan keluasan bidang
pekerjaan yang bisa menjadi baik dan mudah dengan bantuan statistika. Statistika
merupakan
ilmu
yang
mempelajari
tentang
bagaimana
merencanakan,
mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasikan serta mempresentasikan suatu
data.
Statistika matematika merupakan cabang dari matematika terapan yang menggunakan
teori peluang dan analisis matematika untuk mendapatkan dasar-dasar teori statistika.
Dalam statistika matematika terdapat distribusi khusus baik diskrit maupun kontinu.
Dalam distribusi kontinu terdapat distribusi
yang telah menemukan berbagai
aplikasi dalam statistika matematika. Distribusi generalized
merupakan
pengembangan dari distribusi . Distribusi generalized secara luas digunakan dalam
bidang ekonomi dan keuangan. Distribusi ini pertama kali diperkenalkan McDonald
dan Newey (1988). Mereka menggunakannya untuk mengestimasi parameter regresi.
Menurut Pelin Kasap,dkk (2011), distribusi generalized
telah diteliti oleh banyak
penulis lain. Theodossious (1998) mengembangkan ekstensi kemiringan distribusi
2
generalized
dan diturunkan beberapa sifat matematika dari distribusi tersebut.
Arslan dan Genc (2003) memperoleh maksimum likelihood untuk parameter lokasi
dan parameter skala distribusi generalized . Bali dan Peng (2006) menggunakan
distribusi generalized
untuk memperkirakan model GARCH-in-mean dengan data
harian. Butler, dkk (1990) menggunakan distribusi generalized untuk mengestimasi
parameter model regresi.
Dalam suatu distribusi tentunya terdapat peubah acak. Peubah acak merupakan fungsi
yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel.
Distribusi peubah acak mempunyai ukuran pemusatan dan penyebaran yang masingmasing disebut mean dan varians. Namun dengan hanya mengetahui mean dan
varians suatu distribusi, kita belum mengetahui jenis distribusi tersebut. Informasi
yang lebih lengkap diberikan oleh momen dari peubah acak.
Berdasarkan uraian tersebut penulis tertarik untuk mengkaji karakteristik momen
ke
dari distribusi generalized .
1.2 Batasan Masalah
Penelitian ini difokuskan pada karakteristik momen ke-
distribusi generalized
( , , , ), distribusi ( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mengkaji karakteristik distribusi generalized ( , , , ).
3
2. Mencari momen ke-
dari distribusi generalized
( , , , ), distribusi
( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.
3. Mencari fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized ( , , , ),
distribusi ( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.
4. Melakukan pendekatan distribusi ( , , ), distribusi -student dan distribusi
Laplace dengan distribusi generalized
( , , , ) menggunakan fungsi
kepekatan peluang, momen ke- , dan fungsi pembangkit momen.
1.4 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penelitian ini diantaranya adalah sebagai berikut :
1. Memberikan sumbangan pemikiran mengenai distribusi generalized ( , , , ).
2. Mengetahui momen ke-
dari distribusi generalized
( , , , ), distribusi
( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.
3. Mengetahui fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized ( , , , ),
distribusi ( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.
4. Memahami bahwa suatu distribusi dapat didekatkan dengan distribusi lainnya
berdasarkan momen ke- dan fungsi pembangkit momen yang dibentuk distribusi
tersebut.
II.
TINJAUAN PUSTAKA
Distribusi generalized ( , , , ) adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu.
Distribusi ini pertama kali diperkenalkan McDonald dan Newey (1988) untuk
mengestimasi parameter regresi. Distribusi generalized
( , , , ) secara luas
digunakan dalam bidang ekonomi dan keuangan.
Salah satu bentuk khusus dari distribusi generalized ( , , , ) adalah distribusi
( , , ) dengan
= 2 dan distribusi Laplace untuk
= 1 dan
. Distribusi
-Student merupakan bentuk khusus dari distribusi normal untuk sampel ukuran kecil
( < 30) yang menyebar normal dengan rataan nol. Ditribusi Laplace merupakan
salah satu kasus distribusi simetris dengan ukuran pemusatan Laplace sama dengan
mean, median, modus, dengan varians 2
.
2.1 Distribusi Normal
Distribusi normal adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam
berbagai analisis statistika. Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh
Abraham de Moivre dalam artikelnya pada tahun 1733 sebagai pendekatan distribusi
binomial untuk
besar.
5
Definisi 2.1 Distribusi Normal
Menurut Hogg dan Craig (1995) peubah acak
dikatakan berdistribusi normal, jika
memiliki fungsi kepekatan peluang berbentuk:
( )=
Dimana − ∞ <
< ∞ dan
1
,
2
0 ,
<
<
> 0.
2.2 Distribusi -Student
Distribusi -student merupakan bentuk khusus dari distribusi normal untuk sampel
ukuran kecil ( < 30) yang menyebar normal dengan rataan nol. Distribusi ini
ditemukan oleh W.S. Gosset (1876-1936) dari Inggris yang menerbitkan hasil
kerjanya dengan nama samaran yaitu student. Oleh karena itu distribusi ini dikenal
sebagai distribusi -student.
Bukti :
Misal
~
=
( 0,1) dan
→
~
( )
=
Fungsi kepekatan peluang distribusi normal baku:
( )=
1
√2
,
− ∞ <
< ∞
6
Fungsi kepekatan peluang distribusi chi-square :
1
( )=
2 Γ
,
0<
< ∞
2
Maka fungsi densitas atau fungsi kepekatan peluang bersama diperoleh sebagai
berikut :
( , )=
( , )=
1
1
.
√2
2 Γ
1
1
∙
√2
2
Γ
2
( 2.1)
2
Misalkan
=
=
Substitusikan permisalan diatas ke dalam fungsi kepekatan peluang bersama pada
persamaan ( 2.1) , selanjutnya matriks jacobian diperoleh sebagai berikut :
=
=
2√
1
0
=
Fungsi kepekatan peluang bersama dari
( , ) =
( , ) =
1
√2
1
√2
1
∙
Γ
2
∙
2
1
∙
Γ
2
dan
2
adalah :
7
Fungsi kepekatan peluang marginal dari
( ) =
( ) =
1
√2
1
√2
adalah :
1
∙
Γ
2
2
1
∙
Γ
2
( 2.2)
2
Misalkan
2
1+
=
2
=
1+
2
=
1+
2
| |=
1+
Substitusikan permisalan diatas ke dalam fungsi kepekatan peluang dari
persamaan (2.2) sehingga diperoleh :
( ) =
( ) =
( ) =
1
√2
1
√2
1
√2
2
2
1+
1+
1
∙
Γ
2
2
2
1
∙
Γ
2
2
1
∙
Γ
2
2
1+
2
1+
pada
8
( ) =
1
√2
2
1
∙
Γ
1+
2
2
Γ
(
Γ
( ) =
+ 1
2
2
1
Γ
2
2
( ) =
Γ
2
(
Γ
2
)
1+
+ 1
2
(
√
)
1+
1
Γ
Γ
2
2
Γ
2
+ 1
2
Γ
( ) =
+ 1
( 2.3)
)
1+
Fungsi marginal dari
dalam persamaan ( 2.3) merupakan fungsi kepekatan peluang
distribusi -student dengan derajat bebas .
Definisi 2.2 Distribusi -Student
Peubah acak kontinu
dikatakan berdistribusi
dengan derajat bebas
memiliki fungsi kepekatan peluang berbentuk :
Γ
( ; ) =
√
Γ
2
+ 1
2
1+
0,
dimana
> 0 (Sahoo, 2008).
; −∞ <
< ∞
, jika
9
2.3 Distribusi ( , , )
Distribusi
( , , ) merupakan pengembangan dari distribusi
parameter skala =
-student dengan
/√2.
Definisi 2.3 Distribusi ( , , )
Distribusi ( , , ) memiliki fungsi kepekatan peluang berbentuk :
Γ
( | , , )=
Γ
√
+ 1
2
1+
2
( −
)
Dimana fungsi kepekatan peluang ini sama dengan distribusi -student dengan derajat
bebas
= 2 dan parameter skala
=
/ √ 2 (Chan, Choy, dan Makov, 2007).
2.4 Distribusi Generalized
Distribusi generalized
merupakan pengembangan dari distribusi . Distribusi ini
digunakan secara luas dalam bidang ekonomi dan keuangan.
Definisi 2.4 Distribusi Generalized
Menurut McDonald dan Newey (1988), distribusi generalized
kepekatan peluang berbentuk :
( ;
, , , )=
2
1
,
1+
1
−
memiliki fungsi
10
Dimana
∈ℜ adalah parameter lokasi,
> 0 adalah parameter skala,
> 0 keduanya merupakan parameter bentuk dan
> 0 dan
( ∙) adalah fungsi beta (Chan,
Choy, dan Makov, 2007).
2.5 Distribusi Laplace
Distribusi Laplace kadang-kadang disebut distribusi eksponensial ganda, karena
dapat dianggap sebagai dua distribusi eksponensial (dengan parameter lokasi
tambahan). Seperti dalam kasus distribusi simetris lainya, seperti distribusi normal
dan distribusi logistic, ukuran pemusatan Laplace sama dengan mean, median, dan
modus.
Definisi 2.5 Distribusi Laplace
Peubah acak
dikatakan berdistribusi Laplace, jika dan hanya jika fungsi
densitasnya berbentuk :
( )=
dengan
1
2
merupakan bilangan real dan
exp
−
| −
|
> 0 (Sahoo, 2008).
2.6 Distribusi Chi-Square
Distribusi chi-square seringkali digunakan dalam statistika inferensia, seperti dalam
uji hipotesis, atau dalam penyusunan selang kepercayaan. Salah satu penggunaan
distribusi ini adalah uji chi-square untuk kebersesuaian (goodness of fit).
11
Definisi 2.6 Distribusi Chi-Square
dikatakan berdistribusi chi-square dengan
Menurut Sahoo (2008) peubah acak
derajat bebas , jika memiliki fungsi kepekatan peluang berbentuk :
1
( ) =
2 Γ
,
> 0
2
0,
2.7 Fungsi Gamma dan Fungsi Beta
Pada penelitian ini fungsi gamma dan fungsi beta digunakan untuk mempermudah
dalam mencari momen ke- dari distribusi generalized , distribusi , distribusi student dan distribusi Laplace.
Definisi 2.7 Fungsi Gamma
Fungsi gamma yang dinotasikan dengan Γ( ) didefinisikan sebagai :
Γ( ) =
dimana
.
adalah bilangan real positif ( > 0) .
Lemma 2.1
Γ
Bukti :
Γ
1
2
=
1
2
= √
12
1
Γ
=
2
( 2.4)
√
Misalkan
= √
=
→
1
=
→
2√
= 0 maka
= ∞ maka
2√
=
→
2
=
= 0
= ∞
Substitusikan permisalan tersebut ke dalam persamaan ( 2.4) sehingga diperoleh :
1
Γ
2
1
Γ
= 2
2
1
Γ
= 2
2
1
Γ
= 2
2
Γ
1
= 4
2
Misalkan
=
=
=
.2
=
+
(
)
13
=
−
=
=
Sehingga
1
Γ
1
Γ
2
1
Γ
2
1
Γ
1
1
Γ
Γ
1
2
.2
=
2
1
= 2
Γ( 1)
= 2[ ]
2
Γ
.
= 2
2
= √
)
= 4
= 2
2
Γ
(
= 4
2
(
+
) =
14
Definisi 2.8 Fungsi Beta
Misal
dan
adalah dua bilangan real positif. Fungsi beta
( , ) didefinisikan
sebagai :
( , )=
.(1 −
)
Teorema 2.1
Misal
dan
adalah dua bilangan real positif, maka :
( , )=
Γ( ) Γ( )
Γ( + )
dimana
Γ( ) =
.
Bukti :
Γ( ) Γ( ) =
( 2.5)
Misalkan
=
→
=
→
= 2
= 2
Substitusikan permisalan tersebut ke dalam persamaan ( 2.5) sehingga diperoleh :
Γ( ) Γ( ) =
2
2
15
(
Γ( ) Γ( ) = 4
)
( 2.6)
Misalkan
=
=
Substitusikan permisalan tersebut ke dalam persamaan ( 2.6) sehingga diperoleh :
Γ( ) Γ( ) = 4
(
)
(
Γ( ) Γ( ) = 4
(
Γ( ) Γ( ) =
(
Γ( ) Γ( ) = Γ( +
(
)
)
(
)
2
)
2
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
)
( 2.7)
Misalkan
=
→
=
1
2
=
( − sin( 2 ) ) .2
Untuk
= 0 maka = 1
Untuk
=
maka = 0
1
2
+
1
2
→
cos ( 2 )
= −
(2 )
→
=
1
− sin( 2 )
16
Substitusikan permisalan tersebut ke dalam persamaan ( 2.7) sehingga diperoleh :
Γ( ) Γ( ) = Γ( +
)
Γ( ) Γ( ) = Γ( +
) ( , )
(1 − )
Akibat 2.1
Untuk setiap
dan
positif, fungsi beta adalah simetris. Yaitu :
( , )=
( , )
Bukti :
( , )=
(1 −
)
( 2.8)
Misalkan
= 1−
→
= 0 maka
= 1
= 1 maka
= 0
= −
Substitusikan permisalan tersebut ke dalam persamaan ( 2.8) sehingga diperoleh :
( , )=
( − 1)
( , )=
( , )=
( − 1)
( , )
(−
)
17
Akibat 2.2
Untuk setiap
dan
positif, fungsi beta dapat diekspresikan sebagai
( , )=
(1 +
)
Bukti :
( , )=
.(1 −
( , )=
(1 −
( , )=
)
1−
( , )=
1−
1
1−
( , )=
1−
1− +
1−
( , )=
1−
1+
Misalkan
=
1−
=
1
(1 −
)
)
.(1 −
)
.(1 −
)
∙
1−
1
(1 −
∙
∙
)
1
(1 −
)
1
(1 −
)
( 2.9)
18
= 0 maka
= 0
= 1 maka
= ∞
Substitusikan permisalan tersebut ke dalam persamaan ( 2.9) sehingga diperoleh :
( , )=
(1 +
)
2.8 Momen ke-
Momen ke-
dari suatu peubah acak digunakan sebagai salah satu cara untuk
mendapatkan nilai momen dari suatu distribusi.
Definisi 2.9 Momen ke-
Jika
adalah peubah acak kontinu dan ( ) adalah nilai fungsi densitas dari
maka momen ke- di sekitar titik asal dari peubah acak
[
]=
di ,
didefinisikan sebagai :
. ( )
(Hogg dan Craig, 1995).
2.9 Ekspansi Deret MacLaurin
Pada penelitian in deret MacLaurin digunakan untuk menyelesaikan fungsi
menentukan fungsi pembangkit momen dari suatu distribusi.
dalam
19
Teorema 2.2 Deret MacLaurin
Misalkan
adalah fungsi dimana turunan ke ( + 1) ,
(
)
( ) , ada untuk setiap
pada suatu selang terbuka yang memuat . Jadi, untuk setiap
( )=
( )+
( )( −
)+
( )
2!
( −
di dalam berlaku :
) +
Persamaan di atas disebut sebagai ekspansi deret Taylor bagi fungsi ( ) .Jika
= 0,
maka bentuk deret dapat dituliskan kembali sebagai berikut:
( )=
( 0) +
( 0) ( ) +
( 0)
2!
( ) +
Deret tersebut disebut sebagai ekspansi deret MacLaurin bagi fungsi ( )
Dengan menggunakan ekspansi deret MacLaurin maka fungsi
( )=
dapat
diuraikan menjadi bentuk deret sebagai berikut :
= 1+
+
2!
+
=
(
)
!
(Purcell,Varberg, dan Rigdon, 2003).
2.10 Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi pembangkit momen dari suatu peubah acak digunakan sebagai salah satu cara
untuk mendapatkan nilai momen dari suatu distribusi. Fungsi pembangkit momen
memiliki bentuk yang sederhana, namun tidak semua distribusi peubah acak memiliki
fungsi pembangkit momen.
20
Definisi 2.10 Fungsi Pembangkit Momen
Jika
adalah peubah acak kontinu dan ( ) adalah nilai fungsi densitas dari
maka fungsi pembangkit momen dari peubah acak
( ) =
(Hogg dan Craig, 1995).
. ( )
didefinisikan sebagai :
di ,
III.
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2013/2014, bertempat
di jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka yang menggunakan
buku-buku penunjang, skripsi dan jurnal yang berhubungan dengan penelitian ini.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mencari momen ke-
dari distribusi generalized
( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.
( , , , ), distribusi
2. Mencari fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized ( , , , ),
distribusi ( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.
3. Membuktikan bahwa distribusi
( , , ) merupakan bentuk khusus dari
distribusi generalized ( , , , ) untuk
( , , , )
[
]
( , , , )=
( , , , )=
✁ dengan menunjukkan bahwa :
(
[
✁,
] ( = 2,
( = 2,
✁
)
=2 )
=2 )
22
4. Membuktikan bahwa distribusi -student merupakan bentuk khusus dari distribusi
generalized ( , , , ) untuk
= 2 dengan menunjukkan bahwa :
( , , , )=
[
]
( , , , )=
[
]
( , , , )=
5. Membuktikan bahwa distribusi Laplace merupakan bentuk khusus dari distribusi
generalized ( , , , ) untuk
= 1 dan
dengan menunjukkan bahwa :
( , , , )=
[
]
( , , , )= [
( , , , )=
( = 1,
]
)
( = 1,
( = 1,
)
)
6. Membuktikan bahwa distribusi Laplace merupakan setengah selisih distribusi chisquare dengan derajat bebas 2.
V.
KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. Distribusi ( , , ) dapat didekati dengan distribusi generalized
( , , , )
dengan melihat fungsi kepekatan peluang, fungsi pembangkit momen dan momen
ke- dari kedua distribusi tersebut.
2. Distribusi -student dapat didekati dengan distribusi generalized
( , , , )
dengan melihat fungsi kepekatan peluang, fungsi pembangkit momen dan momen
ke- dari kedua distribusi tersebut, namun hasil yang diperoleh sedikit berbeda.
3. Distribusi Laplace dapat didekati dengan distribusi generalized
( , , , )
dengan melihat fungsi kepekatan peluang, fungsi pembangkit momen dan momen
ke- dari kedua distribusi tersebut.
4. Distribusi Laplace merupakan setengah selisih distribusi
(2).
5.2 Saran
Pada penelitian ini penulis membatasi pada karakteristik momen ke- distribusi
generalized ( , , , ), distribusi
( , , ), distribusi -student dan distribusi
laplace, oleh karena itu penelitian ini masih dapat dilanjutkan dengan mengkaji
distribusi kontinu lainnya.
DAFTAR PUSTAKA
Chan,Jenifer S.K., Choy,S.T.B., dan Makov,Udi E. 2008. Robust Bayesian
Analysis of Loss Reserve Data Using The Generalized- Distribution. Asia
Bulletin 38(1), pages 207-230.
Hogg,R.V. dan Craig,A.T. 1995. Introduction to Mathemathical Statistics.
Prentice-Hall Inc. New Jersey.
Kasap,P., Arslan,O., Senoglu,B., dan Acitas,S. 2011. Estimating The Location
and Scale Parameters of The GT Distribution. e-Journal of New World
Sciences Academy 2011, Volume: 6, Number: 3, Article Number:
3A0041.
Purcell,E.J., Varberg,D., dan Rigdon,S.E. 2003. Kalkulus Jilid 2 Edisi Kedelapan.
Erlangga. Jakarta.
Sahoo, Prasanna. 2008. Probability and Mathematical Statistics. University of
Louisville. USA.
Oleh
VINNY YULIANI SUNDARA
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDARLAMPUNG
2014
KARAKTERISTIK MOMEN KEDISTRIBUSI GENERALIZED
Oleh
VINNY YULIANI SUNDARA
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDARLAMPUNG
2014
ABSTRAK
KARAKTERISTIK MOMEN KEDISTRIBUSI GENERALIZED
Oleh
VINNY YULIANI SUNDARA
Distribusi generalized telah diteliti oleh banyak penulis lain. Dalam penelitian ini
sedikit berbeda dengan penelitian mereka. Pertama akan ditentukan momen kedan fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized ( , , , ), distribusi
( , , ), distribusi -student, dan distribusi Laplace. Kedua akan ditunjukan
bahwa distribusi ( , , ), distribusi -student, dan distribusi Laplace merupakan
bentuk khusus dari distribusi generalized ( , , , ) dengan menggunakan
fungsi kepekatan peluang, momen ke- , dan fungsi pembangkit momen. Terakhir
akan ditujukan bahwa distribusi Laplace merupakan setengah selisih distribusi
chi-square.
Kata Kunci : Distribusi Generalized- , Distribusi , Distribusi -student, Distribusi
Laplace, Distribusi Chi-Square, Fungsi Kepekatan Peluang, Momen
ke- , Fungsi Pembangkit Momen, Deret MacLaurin, Fungsi Gamma,
Fungsi Beta.
DAFTAR ISI
Halaman
I. PENDAHULUAN ............................................................................................. 1
1.1 Latar Belakang ............................................................................................. 1
1.2 Batasan Masalah........................................................................................... 2
1.3 Tujuan Penelitian.......................................................................................... 2
1.4 Manfaat Penelitian ....................................................................................... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA .................................................................................... 4
2.1 Distribusi Normal ......................................................................................... 4
2.2 Distribusi -Student...................................................................................... 5
2.3 Distribusi ( , , ) ...................................................................................... 9
2.4 Distribusi Generalized ............................................................................... 9
2.5 Distribusi Laplace......................................................................................... 10
2.6 Distribusi Chi-Square................................................................................... 10
2.7 Fungsi Gamma dan Fungsi Beta ................................................................. 11
2.8 Momen ke- .................................................................................................. 18
2.9 Ekspansi Deret Maclaurin............................................................................ 18
2.10 Fungsi Pembangkit Momen ..................................................................... 19
III. METODOLOGI PENELITIAN........................................................................ 21
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian...................................................................... 21
3.2 Metode Penelitian......................................................................................... 21
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN......................................................................... 23
4.1 Momen ke- Distribusi Generalized ( , , , ) untuk
dan
=0
= 1...................................................................................................... 23
4.2 Momen ke- Distribusi ( , , ) untuk
= 0 dan
= 1....................... 26
4.3 Momen ke- Distribusi -Student ............................................................... 28
4.4 Momen ke- Distribusi Laplace untuk
= 0 dan
= 1 ......................... 30
4.5 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized untuk
dan
= 1...................................................................................................... 33
4.6 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi ( , , ) untuk
dan
=0
=0
= 1...................................................................................................... 37
4.7 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi -Student ...................................... 43
4.8 Fungsi Pembangkit Momen Laplace untuk
= 0 dan
= 1.................. 47
4.9 Distribusi ( , , ) sebagai Bentuk Khusus dari Distribusi
Generalized ................................................................................................ 48
4.10 Distribusi -Student sebagai Bentuk Khusus dari Distribusi
Generalized ............................................................................................. 51
4.11 Distribusi Laplace sebagai Bentuk Khusus dari Distribusi
Generalized ............................................................................................. 54
4.12 Distribusi Laplace Merupakan Selisih Setengah Chi-Square ................ 58
4.13 Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Merupakan Fungsi Surjektif...... 60
V. KESIMPULAN................................................................................................... 66
5.1 Kesimpulan ................................................................................................... 66
5.2 Saran.............................................................................................................. 66
DAFTAR PUSTAKA
xiv
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perputaran waktu dan perkembangan zaman menjadikan statistika mengalami
berbagai kemajuan baik dari aspek teoritis yang terkait dengan penggalian
pengetahuan baru serta yang bersifat praktis berkenaan dengan keluasan bidang
pekerjaan yang bisa menjadi baik dan mudah dengan bantuan statistika. Statistika
merupakan
ilmu
yang
mempelajari
tentang
bagaimana
merencanakan,
mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasikan serta mempresentasikan suatu
data.
Statistika matematika merupakan cabang dari matematika terapan yang menggunakan
teori peluang dan analisis matematika untuk mendapatkan dasar-dasar teori statistika.
Dalam statistika matematika terdapat distribusi khusus baik diskrit maupun kontinu.
Dalam distribusi kontinu terdapat distribusi
yang telah menemukan berbagai
aplikasi dalam statistika matematika. Distribusi generalized
merupakan
pengembangan dari distribusi . Distribusi generalized secara luas digunakan dalam
bidang ekonomi dan keuangan. Distribusi ini pertama kali diperkenalkan McDonald
dan Newey (1988). Mereka menggunakannya untuk mengestimasi parameter regresi.
Menurut Pelin Kasap,dkk (2011), distribusi generalized
telah diteliti oleh banyak
penulis lain. Theodossious (1998) mengembangkan ekstensi kemiringan distribusi
2
generalized
dan diturunkan beberapa sifat matematika dari distribusi tersebut.
Arslan dan Genc (2003) memperoleh maksimum likelihood untuk parameter lokasi
dan parameter skala distribusi generalized . Bali dan Peng (2006) menggunakan
distribusi generalized
untuk memperkirakan model GARCH-in-mean dengan data
harian. Butler, dkk (1990) menggunakan distribusi generalized untuk mengestimasi
parameter model regresi.
Dalam suatu distribusi tentunya terdapat peubah acak. Peubah acak merupakan fungsi
yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel.
Distribusi peubah acak mempunyai ukuran pemusatan dan penyebaran yang masingmasing disebut mean dan varians. Namun dengan hanya mengetahui mean dan
varians suatu distribusi, kita belum mengetahui jenis distribusi tersebut. Informasi
yang lebih lengkap diberikan oleh momen dari peubah acak.
Berdasarkan uraian tersebut penulis tertarik untuk mengkaji karakteristik momen
ke
dari distribusi generalized .
1.2 Batasan Masalah
Penelitian ini difokuskan pada karakteristik momen ke-
distribusi generalized
( , , , ), distribusi ( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mengkaji karakteristik distribusi generalized ( , , , ).
3
2. Mencari momen ke-
dari distribusi generalized
( , , , ), distribusi
( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.
3. Mencari fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized ( , , , ),
distribusi ( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.
4. Melakukan pendekatan distribusi ( , , ), distribusi -student dan distribusi
Laplace dengan distribusi generalized
( , , , ) menggunakan fungsi
kepekatan peluang, momen ke- , dan fungsi pembangkit momen.
1.4 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penelitian ini diantaranya adalah sebagai berikut :
1. Memberikan sumbangan pemikiran mengenai distribusi generalized ( , , , ).
2. Mengetahui momen ke-
dari distribusi generalized
( , , , ), distribusi
( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.
3. Mengetahui fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized ( , , , ),
distribusi ( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.
4. Memahami bahwa suatu distribusi dapat didekatkan dengan distribusi lainnya
berdasarkan momen ke- dan fungsi pembangkit momen yang dibentuk distribusi
tersebut.
II.
TINJAUAN PUSTAKA
Distribusi generalized ( , , , ) adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu.
Distribusi ini pertama kali diperkenalkan McDonald dan Newey (1988) untuk
mengestimasi parameter regresi. Distribusi generalized
( , , , ) secara luas
digunakan dalam bidang ekonomi dan keuangan.
Salah satu bentuk khusus dari distribusi generalized ( , , , ) adalah distribusi
( , , ) dengan
= 2 dan distribusi Laplace untuk
= 1 dan
. Distribusi
-Student merupakan bentuk khusus dari distribusi normal untuk sampel ukuran kecil
( < 30) yang menyebar normal dengan rataan nol. Ditribusi Laplace merupakan
salah satu kasus distribusi simetris dengan ukuran pemusatan Laplace sama dengan
mean, median, modus, dengan varians 2
.
2.1 Distribusi Normal
Distribusi normal adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam
berbagai analisis statistika. Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh
Abraham de Moivre dalam artikelnya pada tahun 1733 sebagai pendekatan distribusi
binomial untuk
besar.
5
Definisi 2.1 Distribusi Normal
Menurut Hogg dan Craig (1995) peubah acak
dikatakan berdistribusi normal, jika
memiliki fungsi kepekatan peluang berbentuk:
( )=
Dimana − ∞ <
< ∞ dan
1
,
2
0 ,
<
<
> 0.
2.2 Distribusi -Student
Distribusi -student merupakan bentuk khusus dari distribusi normal untuk sampel
ukuran kecil ( < 30) yang menyebar normal dengan rataan nol. Distribusi ini
ditemukan oleh W.S. Gosset (1876-1936) dari Inggris yang menerbitkan hasil
kerjanya dengan nama samaran yaitu student. Oleh karena itu distribusi ini dikenal
sebagai distribusi -student.
Bukti :
Misal
~
=
( 0,1) dan
→
~
( )
=
Fungsi kepekatan peluang distribusi normal baku:
( )=
1
√2
,
− ∞ <
< ∞
6
Fungsi kepekatan peluang distribusi chi-square :
1
( )=
2 Γ
,
0<
< ∞
2
Maka fungsi densitas atau fungsi kepekatan peluang bersama diperoleh sebagai
berikut :
( , )=
( , )=
1
1
.
√2
2 Γ
1
1
∙
√2
2
Γ
2
( 2.1)
2
Misalkan
=
=
Substitusikan permisalan diatas ke dalam fungsi kepekatan peluang bersama pada
persamaan ( 2.1) , selanjutnya matriks jacobian diperoleh sebagai berikut :
=
=
2√
1
0
=
Fungsi kepekatan peluang bersama dari
( , ) =
( , ) =
1
√2
1
√2
1
∙
Γ
2
∙
2
1
∙
Γ
2
dan
2
adalah :
7
Fungsi kepekatan peluang marginal dari
( ) =
( ) =
1
√2
1
√2
adalah :
1
∙
Γ
2
2
1
∙
Γ
2
( 2.2)
2
Misalkan
2
1+
=
2
=
1+
2
=
1+
2
| |=
1+
Substitusikan permisalan diatas ke dalam fungsi kepekatan peluang dari
persamaan (2.2) sehingga diperoleh :
( ) =
( ) =
( ) =
1
√2
1
√2
1
√2
2
2
1+
1+
1
∙
Γ
2
2
2
1
∙
Γ
2
2
1
∙
Γ
2
2
1+
2
1+
pada
8
( ) =
1
√2
2
1
∙
Γ
1+
2
2
Γ
(
Γ
( ) =
+ 1
2
2
1
Γ
2
2
( ) =
Γ
2
(
Γ
2
)
1+
+ 1
2
(
√
)
1+
1
Γ
Γ
2
2
Γ
2
+ 1
2
Γ
( ) =
+ 1
( 2.3)
)
1+
Fungsi marginal dari
dalam persamaan ( 2.3) merupakan fungsi kepekatan peluang
distribusi -student dengan derajat bebas .
Definisi 2.2 Distribusi -Student
Peubah acak kontinu
dikatakan berdistribusi
dengan derajat bebas
memiliki fungsi kepekatan peluang berbentuk :
Γ
( ; ) =
√
Γ
2
+ 1
2
1+
0,
dimana
> 0 (Sahoo, 2008).
; −∞ <
< ∞
, jika
9
2.3 Distribusi ( , , )
Distribusi
( , , ) merupakan pengembangan dari distribusi
parameter skala =
-student dengan
/√2.
Definisi 2.3 Distribusi ( , , )
Distribusi ( , , ) memiliki fungsi kepekatan peluang berbentuk :
Γ
( | , , )=
Γ
√
+ 1
2
1+
2
( −
)
Dimana fungsi kepekatan peluang ini sama dengan distribusi -student dengan derajat
bebas
= 2 dan parameter skala
=
/ √ 2 (Chan, Choy, dan Makov, 2007).
2.4 Distribusi Generalized
Distribusi generalized
merupakan pengembangan dari distribusi . Distribusi ini
digunakan secara luas dalam bidang ekonomi dan keuangan.
Definisi 2.4 Distribusi Generalized
Menurut McDonald dan Newey (1988), distribusi generalized
kepekatan peluang berbentuk :
( ;
, , , )=
2
1
,
1+
1
−
memiliki fungsi
10
Dimana
∈ℜ adalah parameter lokasi,
> 0 adalah parameter skala,
> 0 keduanya merupakan parameter bentuk dan
> 0 dan
( ∙) adalah fungsi beta (Chan,
Choy, dan Makov, 2007).
2.5 Distribusi Laplace
Distribusi Laplace kadang-kadang disebut distribusi eksponensial ganda, karena
dapat dianggap sebagai dua distribusi eksponensial (dengan parameter lokasi
tambahan). Seperti dalam kasus distribusi simetris lainya, seperti distribusi normal
dan distribusi logistic, ukuran pemusatan Laplace sama dengan mean, median, dan
modus.
Definisi 2.5 Distribusi Laplace
Peubah acak
dikatakan berdistribusi Laplace, jika dan hanya jika fungsi
densitasnya berbentuk :
( )=
dengan
1
2
merupakan bilangan real dan
exp
−
| −
|
> 0 (Sahoo, 2008).
2.6 Distribusi Chi-Square
Distribusi chi-square seringkali digunakan dalam statistika inferensia, seperti dalam
uji hipotesis, atau dalam penyusunan selang kepercayaan. Salah satu penggunaan
distribusi ini adalah uji chi-square untuk kebersesuaian (goodness of fit).
11
Definisi 2.6 Distribusi Chi-Square
dikatakan berdistribusi chi-square dengan
Menurut Sahoo (2008) peubah acak
derajat bebas , jika memiliki fungsi kepekatan peluang berbentuk :
1
( ) =
2 Γ
,
> 0
2
0,
2.7 Fungsi Gamma dan Fungsi Beta
Pada penelitian ini fungsi gamma dan fungsi beta digunakan untuk mempermudah
dalam mencari momen ke- dari distribusi generalized , distribusi , distribusi student dan distribusi Laplace.
Definisi 2.7 Fungsi Gamma
Fungsi gamma yang dinotasikan dengan Γ( ) didefinisikan sebagai :
Γ( ) =
dimana
.
adalah bilangan real positif ( > 0) .
Lemma 2.1
Γ
Bukti :
Γ
1
2
=
1
2
= √
12
1
Γ
=
2
( 2.4)
√
Misalkan
= √
=
→
1
=
→
2√
= 0 maka
= ∞ maka
2√
=
→
2
=
= 0
= ∞
Substitusikan permisalan tersebut ke dalam persamaan ( 2.4) sehingga diperoleh :
1
Γ
2
1
Γ
= 2
2
1
Γ
= 2
2
1
Γ
= 2
2
Γ
1
= 4
2
Misalkan
=
=
=
.2
=
+
(
)
13
=
−
=
=
Sehingga
1
Γ
1
Γ
2
1
Γ
2
1
Γ
1
1
Γ
Γ
1
2
.2
=
2
1
= 2
Γ( 1)
= 2[ ]
2
Γ
.
= 2
2
= √
)
= 4
= 2
2
Γ
(
= 4
2
(
+
) =
14
Definisi 2.8 Fungsi Beta
Misal
dan
adalah dua bilangan real positif. Fungsi beta
( , ) didefinisikan
sebagai :
( , )=
.(1 −
)
Teorema 2.1
Misal
dan
adalah dua bilangan real positif, maka :
( , )=
Γ( ) Γ( )
Γ( + )
dimana
Γ( ) =
.
Bukti :
Γ( ) Γ( ) =
( 2.5)
Misalkan
=
→
=
→
= 2
= 2
Substitusikan permisalan tersebut ke dalam persamaan ( 2.5) sehingga diperoleh :
Γ( ) Γ( ) =
2
2
15
(
Γ( ) Γ( ) = 4
)
( 2.6)
Misalkan
=
=
Substitusikan permisalan tersebut ke dalam persamaan ( 2.6) sehingga diperoleh :
Γ( ) Γ( ) = 4
(
)
(
Γ( ) Γ( ) = 4
(
Γ( ) Γ( ) =
(
Γ( ) Γ( ) = Γ( +
(
)
)
(
)
2
)
2
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
)
( 2.7)
Misalkan
=
→
=
1
2
=
( − sin( 2 ) ) .2
Untuk
= 0 maka = 1
Untuk
=
maka = 0
1
2
+
1
2
→
cos ( 2 )
= −
(2 )
→
=
1
− sin( 2 )
16
Substitusikan permisalan tersebut ke dalam persamaan ( 2.7) sehingga diperoleh :
Γ( ) Γ( ) = Γ( +
)
Γ( ) Γ( ) = Γ( +
) ( , )
(1 − )
Akibat 2.1
Untuk setiap
dan
positif, fungsi beta adalah simetris. Yaitu :
( , )=
( , )
Bukti :
( , )=
(1 −
)
( 2.8)
Misalkan
= 1−
→
= 0 maka
= 1
= 1 maka
= 0
= −
Substitusikan permisalan tersebut ke dalam persamaan ( 2.8) sehingga diperoleh :
( , )=
( − 1)
( , )=
( , )=
( − 1)
( , )
(−
)
17
Akibat 2.2
Untuk setiap
dan
positif, fungsi beta dapat diekspresikan sebagai
( , )=
(1 +
)
Bukti :
( , )=
.(1 −
( , )=
(1 −
( , )=
)
1−
( , )=
1−
1
1−
( , )=
1−
1− +
1−
( , )=
1−
1+
Misalkan
=
1−
=
1
(1 −
)
)
.(1 −
)
.(1 −
)
∙
1−
1
(1 −
∙
∙
)
1
(1 −
)
1
(1 −
)
( 2.9)
18
= 0 maka
= 0
= 1 maka
= ∞
Substitusikan permisalan tersebut ke dalam persamaan ( 2.9) sehingga diperoleh :
( , )=
(1 +
)
2.8 Momen ke-
Momen ke-
dari suatu peubah acak digunakan sebagai salah satu cara untuk
mendapatkan nilai momen dari suatu distribusi.
Definisi 2.9 Momen ke-
Jika
adalah peubah acak kontinu dan ( ) adalah nilai fungsi densitas dari
maka momen ke- di sekitar titik asal dari peubah acak
[
]=
di ,
didefinisikan sebagai :
. ( )
(Hogg dan Craig, 1995).
2.9 Ekspansi Deret MacLaurin
Pada penelitian in deret MacLaurin digunakan untuk menyelesaikan fungsi
menentukan fungsi pembangkit momen dari suatu distribusi.
dalam
19
Teorema 2.2 Deret MacLaurin
Misalkan
adalah fungsi dimana turunan ke ( + 1) ,
(
)
( ) , ada untuk setiap
pada suatu selang terbuka yang memuat . Jadi, untuk setiap
( )=
( )+
( )( −
)+
( )
2!
( −
di dalam berlaku :
) +
Persamaan di atas disebut sebagai ekspansi deret Taylor bagi fungsi ( ) .Jika
= 0,
maka bentuk deret dapat dituliskan kembali sebagai berikut:
( )=
( 0) +
( 0) ( ) +
( 0)
2!
( ) +
Deret tersebut disebut sebagai ekspansi deret MacLaurin bagi fungsi ( )
Dengan menggunakan ekspansi deret MacLaurin maka fungsi
( )=
dapat
diuraikan menjadi bentuk deret sebagai berikut :
= 1+
+
2!
+
=
(
)
!
(Purcell,Varberg, dan Rigdon, 2003).
2.10 Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi pembangkit momen dari suatu peubah acak digunakan sebagai salah satu cara
untuk mendapatkan nilai momen dari suatu distribusi. Fungsi pembangkit momen
memiliki bentuk yang sederhana, namun tidak semua distribusi peubah acak memiliki
fungsi pembangkit momen.
20
Definisi 2.10 Fungsi Pembangkit Momen
Jika
adalah peubah acak kontinu dan ( ) adalah nilai fungsi densitas dari
maka fungsi pembangkit momen dari peubah acak
( ) =
(Hogg dan Craig, 1995).
. ( )
didefinisikan sebagai :
di ,
III.
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2013/2014, bertempat
di jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka yang menggunakan
buku-buku penunjang, skripsi dan jurnal yang berhubungan dengan penelitian ini.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mencari momen ke-
dari distribusi generalized
( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.
( , , , ), distribusi
2. Mencari fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized ( , , , ),
distribusi ( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.
3. Membuktikan bahwa distribusi
( , , ) merupakan bentuk khusus dari
distribusi generalized ( , , , ) untuk
( , , , )
[
]
( , , , )=
( , , , )=
✁ dengan menunjukkan bahwa :
(
[
✁,
] ( = 2,
( = 2,
✁
)
=2 )
=2 )
22
4. Membuktikan bahwa distribusi -student merupakan bentuk khusus dari distribusi
generalized ( , , , ) untuk
= 2 dengan menunjukkan bahwa :
( , , , )=
[
]
( , , , )=
[
]
( , , , )=
5. Membuktikan bahwa distribusi Laplace merupakan bentuk khusus dari distribusi
generalized ( , , , ) untuk
= 1 dan
dengan menunjukkan bahwa :
( , , , )=
[
]
( , , , )= [
( , , , )=
( = 1,
]
)
( = 1,
( = 1,
)
)
6. Membuktikan bahwa distribusi Laplace merupakan setengah selisih distribusi chisquare dengan derajat bebas 2.
V.
KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. Distribusi ( , , ) dapat didekati dengan distribusi generalized
( , , , )
dengan melihat fungsi kepekatan peluang, fungsi pembangkit momen dan momen
ke- dari kedua distribusi tersebut.
2. Distribusi -student dapat didekati dengan distribusi generalized
( , , , )
dengan melihat fungsi kepekatan peluang, fungsi pembangkit momen dan momen
ke- dari kedua distribusi tersebut, namun hasil yang diperoleh sedikit berbeda.
3. Distribusi Laplace dapat didekati dengan distribusi generalized
( , , , )
dengan melihat fungsi kepekatan peluang, fungsi pembangkit momen dan momen
ke- dari kedua distribusi tersebut.
4. Distribusi Laplace merupakan setengah selisih distribusi
(2).
5.2 Saran
Pada penelitian ini penulis membatasi pada karakteristik momen ke- distribusi
generalized ( , , , ), distribusi
( , , ), distribusi -student dan distribusi
laplace, oleh karena itu penelitian ini masih dapat dilanjutkan dengan mengkaji
distribusi kontinu lainnya.
DAFTAR PUSTAKA
Chan,Jenifer S.K., Choy,S.T.B., dan Makov,Udi E. 2008. Robust Bayesian
Analysis of Loss Reserve Data Using The Generalized- Distribution. Asia
Bulletin 38(1), pages 207-230.
Hogg,R.V. dan Craig,A.T. 1995. Introduction to Mathemathical Statistics.
Prentice-Hall Inc. New Jersey.
Kasap,P., Arslan,O., Senoglu,B., dan Acitas,S. 2011. Estimating The Location
and Scale Parameters of The GT Distribution. e-Journal of New World
Sciences Academy 2011, Volume: 6, Number: 3, Article Number:
3A0041.
Purcell,E.J., Varberg,D., dan Rigdon,S.E. 2003. Kalkulus Jilid 2 Edisi Kedelapan.
Erlangga. Jakarta.
Sahoo, Prasanna. 2008. Probability and Mathematical Statistics. University of
Louisville. USA.