KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED LOGISTIK TIPE IV MENGGUNAKAN METOGE GENERALIZED MOMENT

(1)

KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED LOGISTIK TIPE IV MENGGUNAKAN METODE GENERALIZED MOMENT

(Skripsi)

Oleh

DEWI OKTAVIANI

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDARLAMPUNG 2015

(2)

ABSTRACT

CHARACTERISTICS OF PARAMETER ESTIMATOR GENERALIZED LOGISTIC DISTRIBUTION OF TYPE IV USING GENERALIZED

METHOD OF MOMENT

By Dewi Oktaviani

Generalized logistic distribution of type IV is a generalization of the standard logistic distribution by adding two new parameters that shape parameter . Standard logistic distribution obtained from the general logistics distribution with the value of μ = 0 and σ = 1. Related to paramater estimation for continuous distribution we know several methods of estimation, one of methods is generalized method of moment. In this study, we will examine the characteristics of parameter estimator ( ̂ ̂)generalized logistic distribution of type IV using generalized method of moment that included the characteristic of unbianess, minimum variance, and consistent also investigate the asymptotic variance-covariance. The results show that the characteristics of parameter estimators ( ̂ ̂) are unbiased, minimum variance bacause the variance of ( ̂ ̂) attains Rao-Cramer lower bound and consistent also we are obtained the analytic of the asymptotic variance-covariance parameter estimator ( ̂ ̂). Moreover, presented by the graph of probability density function of generalized logistic distribution of type IV using software R version 3.1.2, to see the behavior of the generalized logistic distribution of type IV.

Keywords : Generalized Logistic Distribution Of Type IV, Generalized Method Of Moment,Unbiasness, Minimum Variance, Consistent, Asymptotic Variance-Covariance

(3)

ABSTRAK

KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER

DISTRIBUSI GENERALIZED LOGISTIK TIPE IV MENGGUNAKAN METOGE GENERALIZED MOMENT

Oleh Dewi Oktaviani

Distribusi generalized logistik tipe IV merupakan perumuman dari distribusi logistik standar dengan menambahkan dua parameter baru yaitu parameter bentuk . Distribusi logistik standar diperoleh dari distribusi logistik umum dengan nilai dan . Distribusi ini akan bekerja dengan baik apabila diketahui parameter penduganya. Berkaitan dengan pendugaan parameter distribusi kontinu dikenal beberapa metode pendugaan salah satunya metode generalized moment. Pada penelitian ini akan mengkaji tentang karakteristik penduga parameter ( ̂ ̂) distribusi generalized logistik tipe IV dengan menggunakan metode generalized moment yang meliputi sifat tak bias, ragam minimum, dan konsisten serta memeriksa varian-kovarian asimtotiknya. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa penduga parameter ( ̂ ̂) memiliki karakteristik penduga yang baik yaitu tak bias, ragam minimum karena mencapai batas bawah Rao-Cramer dan konsisten serta diperoleh bentuk analitik varian-kovarian asimtotik dari penduga parameter ( ̂ ̂). Selain itu, disajikan dengan grafik fungsi kepekatan peluang distribusi generalized logistik tipe IV menggunakan software R versi 3.1.2, untuk melihat prilaku distribusi generalized logistik tipe IV.

Kata Kunci : Distribusi Generalized Logistik Tipe IV, Metode Generalized Moment, , Tak Bias, ragam Minimum, Konsisten, Varian- Kovarian Asimtotik

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Way Jepara Kabupaten Lampung Timur pada tanggal 31 Oktober 1993. Penulis merupakan anak sulung dari pasangan Bapak Purwadi dan Ibu Sugiyem serta kakak dari si bungsu dari Diah Ayu Purwanti.

Penulis menyelesaikan pendidikan Taman Kanak-Kanak di TK Al-Musimun Kecamatan Way Jepara pada tahun 1998 dan lulus pada tahun 1999. Kemudian Penulis melanjutkan pendidikan sekolah dasar di SDN 5 Way Jepara lalu pindah studi ke SDN 2 Sumberrejo Kecamatan Waway Karya pada tahun 2004 dan lulus pada tahun 2005. Selanjutnya Penulis melanjutkan pendidikan sekolah menengah pertama di SMPN 1 Waway Karya dan tamat pada tahun 2008. Kemudian melanjutkan pendidikan sekolah menengah atas di SMAN 1 Way Jepara dan lulus pada tahun 2011.

Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas lampung melalui jalur Penerimaan Mahasiswa Perluasan Akses Pendidikan (PMPAP) pada tahun 2011.

(9)

Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah menjadi asisten pada mata kuliah statistika matematika, logika dan statistika dasar. Selain itu, penulis juga aktif di beberapa organisasi kampus diantaranya pernah menjadi anggota muda HIMATIKA pada tahun 2011/2012, anggota muda Rois FMIPA pada tahun 2011/2012, anggota biro Kesekretariatan HIMATIKA tahun 2012/2013, anggota biro Dana dan Usaha (DANUS) ROIS FMIPA tahun 2012/2013, anggota bidang Keilmuan HIMATIKA tahun 2013/2014 dan sekretaris biro Kesekretariatan dan Rumah Tangga ROIS FMIPA tahun 2013/2014.

Sebagai bentuk pengabdian mahasiswa kepada masyarakat penulis telah mengikuti Kuliah Kerja Nyata (KKN) yang merupakan mata kuliah wajib untuk strata satu di Desa Tajimalela Kecamatan Kalianda, Kabupaten Lampung Selatan yang dilaksanakan pada tanggal 22 Januari sampai dengan 03 Februari 2014. Sedangkan sebagai bentuk penerapan pada bidang ilmu yang telah dipelajari penulis melaksanakan kerja praktik (KP) di Badan Pusat Statistik (BPS) Kota Bandar Lampung pada tanggal 11 Agustus sampai dengan 29 Agustus 2014.

(10)

MOTO

“Harapan adalah senjata terak

hir untuk melawan keputus-

asaan”

(Dewi Oktaviani)

“

Keberuntungan adalah keajaiban yang diciptakan dengan usaha, kerja

keras dan do’a, bukan dengan berpangku tangan”

(Dewi Oktaviani)

“Yakinlah pada kekuatan

mimpi karena ia akan mengantarkanmu pada

keajaiban yang tak pernah kau lihat sebelumnya”

(Dewi Oktaviani)

“Hidup

bukanlah pilihan tetapi, bagaimana jalan hidup kita

kedepannya itu adalah sebuah

pilihan”

(11)

PERSEMBAHAN

Puji syukur kehadirat Allah SWT Tuhan semesta alam, karena atas izin

dan ridho-Nya skripsi ini dapat terselesaikan, dan dengan setulus hati,

ku persembahkan karya sederhanaku ini teruntuk :

Kedua orangtuaku tercinta Ibunda Sugiyem dan Ayahanda Purwadi

terimakasih untuk setiap do’a , dukungan, semangat dan

kasih sayang

serta perhatian yang selalu menemani disetiap hariku. Adikku semata

wayang Diah Ayu Purwanti yang selalu memberikan keceriaan dan

kerinduan.

Keluarga besar baik dari pihak ayah maupun ibu yang selalu

memberikan semangat dan dukungan

serta do’anya

kepadaku

Sahabat-sahabat terbaik yang selalu hadir dan menemaniku.

Terimakasih atas semua cerita indah yang mengisi hari-hariku.

(12)

SANWACANA

Bismillahirrahmaniirahim

Alhamduillahirrobil’alamin, puji syukur kehadirat Allah SWT atas izin dan ridho-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam selalu tercurah kepada baginda Nabi Muhammad SAW, tauladan terbaik sepanjang masa.

Penulis menyadari, bahwa banyak pihak yang telah membantu dan memberikan dukungan, kritik, serta saran yang membangun dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini. Untuk itu, iringan do’a dan ucapan terimakasih penulis sampaikan kepada:

1. Bapak Warsono, Ph.D selaku dosen pembimbing pertama yang telah memberikan bimbingan, arahan, kritik dan saran kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

2. Ibu Dian Kurniasari, S.Si, M.Sc selaku dosen pembimbing kedua yang yang selalu sabar memberikan arahan, masukan, motivasi, keceriaan, dan semangat yang luar biasa dalam membimbing penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skipsi ini.

(13)

iii 3. Bapak Amanto, M.Si selaku dosen penguji bukan pembimbing yang telah banyak memberikan saran dan kritik kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

4. Ibu Fitriani, S.Si., M.Si., selaku pembimbing akademik yang telah memberikan bimbingan, motivasi dan saran selama perkuliahan.

5. Bapak Tiryono Ruby,M.Sc.,Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Lampung.

6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung. 7. Ibu Widiarti, M.Si., yang telah memberikan bimbingan, arahan dan bantuan

dalam pembuatan program serta keceriaan dan semangat yang luar biasa yang diberikan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

8. Seluruh dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung yang telah memberikan ilmu serta bantuan kepada penulis.

9. Untuk kedua orangtuaku Bapak Purwadi, Ibu Sugiyem serta adikku Diah Ayu Purwanti yang tak pernah lelah memberikan perhatian, dukungan,

semangat serta do’a kepada penulis.

10. Keluarga Safitri ku, Andzirnie, Deni, Ekazul, Mb Wul, Ofi, dan Rusmi yang telah banyak memberikan keceriaan, nasehat, dan semangat kepada penulis. 11. Sahabat seperjuangan sebimbingan , Andzirnie, Dian, Nika, Ofi dan Wo

Riska, terimakasih atas bantuan, semangat, dan kebersamaanya selama ini. 12. Untuk Naila, Shinta, Rini, Wo Ayu, dan Mb Aul atas nasehat dan

(14)

iv 13. Teman-teman seperjuangan Matematika angkatan 2011 yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu terimakasih atas kebersamaan kalian selama ini.

14. Keluarga Besar ROIS FMIPA 2011 sampai 2014 khususnya periode 2013/2014, presidium, pimpinan dan seluruh anggota bidang atau biro yang telah memberikan ukhuwah dan kebersamaan yang bermakna.

15. Keluarga besar HIMATIKA atas pengalaman dan pembelajaran yang sangat berarti bagi penulis.

16. Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu persatu, atas motivasi dan dukungannya dalam menyelesaikan skripsi ini.

Akhir kata, Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, akan tetapi sedikit harapan semoga skripsi yang sederhana ini dapat berguna dan bermanfaat bagi kita semua. Aamiin.

Bandar Lampung, Februari 2015 Penulis

(15)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... viii

I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Masalah ... 1

1.2. Batasan Masalah ... 4

1.3. Tujuan Penelitian... 4

1.4. Manfaat Penelitian... 4

II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Distribusi Logistik ... 5

2.2 Distribusi Generalized Logistik Tipe IV ... 6

2.2.1 Nilai Harapan Distribusi Generalized Logistik Tipe IV ... 8

2.2.2 Varian Distribusi Generalized Logistik Tipe IV ... 11

2.3 Metode Generalized Moment ... 12

2.4 Penduga parameter ... 13

2.4.1 Penduga Tak Bias (Unbiasness) ... 14

2.4.2 Penduga Varians Minimum (Variance minimum) ... 14

2.4.2.1Informasi Fisher ... 15

2.4.2.2Matriks Informasi Fisher ... 16

2.4.2.3Batas Bawah Rao-Cramer ... 17

2.4.3 Penduga Konsisten (Consistency) ... 17

2.5 Varian-Kovarian Asimtotik Penduga Parameter dari Metode Generalized Moment ... 20

III. METODOLOGI PENELTIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 12

(16)

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized

Logistik Tipe IV ... 23 4.1.1 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi

Genealized Logistik Tipe IV pada saat Tetap dan

Meningkat ... 23 4.1.2 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi

Genealized Logistik Tipe IV pada saat Tetap dan

Menurun ... 24 4.1.3 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi

Genealized Logistik Tipe IV pada saat Meningkat

dan Tetap ... 25 4.1.4 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi

Genealized Logistik Tipe IV pada saat Menurun

dan Tetap ... 26 4.1.5 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Genealized

Logistik Tipe IV pada saat Meningkat dan

Menurun ... 27 4.1.6 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi

Genealized Logistik Tipe IV pada saat Menurun

dan Meningkat ... 28 4.2 Fungsi Distribusi Kumulatif dari Distribusi Generalized

Logistik Tipe IV ... 29 4.3 Menduga Parameter Distribusi Generalized Logistik Tipe IV

menggunakan Metode Generalized Moment... 32 4.3.1 Penduga Parameter ... 38 4.3.2 Penduga Parameter ... 38 4.4 Memeriksa Ketakbiasan Penduga Parameter Distribusi

Generalized Logistik Tipe IV ... 40 4.4.1 Penduga Parameter ... 40 4.4.2 Penduga Parameter ... 41 4.5 Memeriksa Varian Minimum Penduga Parameter Distribusi

Generalized Logistik Tipe IV ... 43 4.5.1 Matriks Informasi Fisher dari Penduga Parameter

Distribusi Generalized Logistik Tipe IV ... 43 4.5.2 Pertidaksamaan Rao-Cramer untuk Varian dari Penduga

parameter Distribusi Generalized Logistik

Tipe IV ... 46 4.6 Memeriksa Kekonsistenan Penduga Parameter Distribusi

Generalized Logistik Tipe IV ... 47 4.6.1 Penduga Parameter ... 47 4.6.2 Penduga Parameter ... 48 4.7 Varian-Kovarian Asimtotik Penduga Parameter ( ̂ ̂)Distribusi

Generalized Logistik Tipe IV MenggunakanMetode Generalized Moment ... 51

(17)

vii

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

(18)

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Grafik distribusi logistik umum ... 6 2. Grafik distribusi generalized logistik tipe IV ... 7 3. Grafik fungsi kepekatan peluang distribusi generalized logistik

tipe IV pada saat nilai saat tetap, meningkat ... 23 4. Grafik fungsi kepekatan peluang distribusi generalized logistik

tipe IV pada saat nilai saat tetap , menurun ... 24 5. Grafik fungsi kepekatan peluang distribusi generalized logistik

tipe IV pada saat nilai saat meningkat , tetap ... 25 6. Grafik fungsi kepekatan peluang distribusi generalized logistik

tipe IV pada saat nilai saat menurun , tetap ... 26 7. Grafik fungsi kepekatan peluang distribusi generalized logistik

tipe IV pada saat nilai saat meningkat , menurun ... 27 8. Grafik fungsi kepekatan peluang distribusi generalized logistik

(19)

I.PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang dan Masalah

Statistika inferensia adalah cabang ilmu pengetahuan statistika yang mempelajari tentang proses pengambilan keputusan tentang parameter berdasarkan suatu statistik. Kajian statistika inferensia mencakup pengujian hipotesis dan pendugaan parameter. Secara umum pendugaan parameter digolongkan menjadi dua yaitu pendugaan titik dan pendugaan selang. Dalam pendekatan klasik, pendugaan titik sepenuhnya didasarkan pada informasi yang diperoleh melalui sampel acak yang diambil dari suatu populasi yang berdistribusi tertentu.

Distribusi logistik merupakan salah satu distribusi yang banyak digunakan pada analisis regresi dan studi tentang pertumbuhan populasi. Distribusi ini memiliki fungsi kepadatan peluang yang simetris dan unimodal. Bentuk dari distribusi logistik mirip dengan distribusi normal sehingga membuatnya lebih sederhana dan juga menguntungkan pada kesempatan yang cocok untuk menggantikan distribusi normal oleh distribusi logistik dengan mengabaikan galat dari masing-masing teori.

(20)

2 Distribusi generalized logistik merupakan bentuk perumuman dari distribusi logistik 2-parameter. Distribusi generalized logistik sangat luas digunakan pada analisis frekuansi karena dugaan kuantilnya tidak terbatas kecuali parameter bentuknya positif. Banyak tipe perumuman dari distribusi logistik yang telah diperkenalkan diantaranya distribusi generalized logistik tipe I, distribusi

generalized logistik tipe II, distribusi generalized logistik tipe III, dan distribusi

generalized logistik tipe IV.

Distribusi generalized logistik tipe IV merupakan perumuman dari distribusi logistik standar dengan menambahkan dua parameter baru yang disebut parameter bentuk . Distribusi logistik standar diperoleh dari distribusi logistik umum dengan nilai dan (standar baku).

Fischer (2000) dalam tulisannya mengatakan bahwa Prentice (1976) memperkenalkan distribusi generalized logistik tipe IV sebagai alternatif pasangan pemodelan respon data pada model logistik biasa. Selain itu, distribusi ini juga banyak digunakan diantaranya dalam pemodelan distribusi galat untuk model regresi oleh McDonald (1991), pemodelan time saries dengan inovasi asimetrik oleh Tiku/Wong/Bian (1999), dan pemodelan distribusi galat untuk model ARIMA oleh McDonald/Xu (1994) .

Berkaitan dengan pendugaan parameter distribusi kontinu dikenal beberapa metode pendugaan di antaranya Moment of Method (MM), Maximum Likelihood Estimation (MLE), Probabiliy Weighted Moment (PWM), Generalized Probabiliy Weighted Moment (GPWM), dan metode Generaized Moment. Greenwood et al. (1979) memperkenalkan metode PWM sebagai alternatif dari metode MLE yang

(21)

3 memiliki kelemahan untuk sampel yang berukuran kecil. Sedangkan dalam penelitiannya Landweher et al.(1979) membandingkan hasil dugaan yang diperoleh dari MM, MLE dan PWM dan didapatkan bahwa metode PWM memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan dengan MM dan MLE.

Rasmussen (2001) mengusulkan perumuman dari metode PWM, yang disebut metode GPWM. Selanjutnya Askar dan Mahdi (2003) menemukan bahwa metode GPWM memberikan hasil yang lebih baik daripada metode MLE dalam menduga parameter untuk ukuran yang sangat kecil.

Dalam penelitiannya Askar dan Mahdi (2006) membandingkan antara metode generalized moment, GPWM dan MLE dalam menduga parameter distribusi log-logistik 2-parameter dan hasilnya menunjukkan bahwa metode generalized moment memberikan hasil yang lebih baik daripada GPWM maupun MLE. Metode generalized moment merupakan perumuman dari MM yang dikembangkan oleh Lars Peter Hansen pada tahun 1982 dan lebih awal digunakan pada bidang ilmu hidrologi oleh Ashkar dan Bobeˊ e pada tahun 1987.

Untuk mempermudah dalam menduga parameter dari suatu distribusi kontinu Askar dan Mahdi (2003) memperkenalkan metode generalized moment yang diperoleh dengan mengevaluasi bentuk PWM yaitu dengan r diambil sama dengan nol dan l diambil sebarang, tidak harus bilangan bulat maupun positif. Oleh karena itu, penulis akan mengkaji karakteristik penduga parameter distribusi generalized logistik tipe IV dengan metode generalized moment yang meliputi sifat tak bias, ragam minimum, dan konsisten serta memeriksa varian-kovarian asimtotiknya.

(22)

4 1.2Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, yang menjadi batasan masalah adalah mengkaji karakteristik penduga parameter distribusi generalized logistik tipe IV dengan menggunakan metode generalized moment yang meliputi sifat tak bias, ragam minimum, dan konsisten serta memeriksa varian-kovarian asimtotiknya.

1.3Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Membuat grafik fungsi kepekatan peluang distribusi generalized logistik tipe IV.

2. Menduga parameter distribusi generalized logistik tipe IV dengan menggunakan metode generalized moment.

3. Mengkaji karakteristik penduga parameter distribusi generalized logistik tipe IV yang meliputi sifat tak bias, ragam minimum dan konsisten.

4. Memeriksa varian-kovarian asimtotik penduga parameter distribusi generalized logistik tipe IV padametodependugaan generalized moment.

1.4Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan bermanfaat untuk memperkenalkan dan memberikan sumbangan pemikiran kepada peneliti lain tentang karakteristik penduga parameter distribusi generalized logistik tipe IV dengan metode generalized moment yang meliputi sifat tak bias, ragam minimum, dan konsisten serta varian-kovarian asimtotik penduga parameter distribusi generalized logistik tipe IV pada metodependugaan generalized moment.

(23)

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1Distribusi Logistik

Distribusi logistik merupakan distribusi yang memiliki fungsi kepekatan peluang kontinu. Bentuk kurva distribusi logistik adalah simetris dan uni modal. Bentuk distribusi logistik mirip dengan distribusi normal. Perbedaan utama antara distribusi normal dan distribusi logistik terletak pada ekor dan fungsi tingkat kegagalan. Distribusi logistik memiliki ekor sedikit lebih panjang dibandingkan dengan distribusi normal. Fungsi kepekatan peluang distribusi logistik memiliki bentuk umum sebagai berikut :

Definisi 2.1

Suatu variabel acak X dikatakan memiliki distribusi logistik dengan parameter

, jika fungsi kepekatan peluangnya didefinisikan sebagai berikut :

Dengan parameter lokasi yang bersifat simetrik dan parameter skala . Sedangkan fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari distribusi logistik adalah

(24)

Berdasarkan fungsi kepekatan peluang dari distribusi logistik umum dengan menggunakan program matlab, diperoleh bentuk kurva sebagai berikut :

Gambar 1. Grafik distribusi logistik umum

(Gupta dan Kundu, 2010).

Selanjutnya akan dijelaskan tentang distribusi Generalized Logistik Tipe IV yang menjadi pokok pembahasan yang akan dicari karakteristik penduga parameter dari distribusi ini.

2.2Distribusi Generalized Logistik Tipe IV

Distribusi generalized logistik tipe IV merupakan perumuman dari distribusi logistik standar. Distribusi logistik standar diperoleh dari distribusi logistik umum dengan nilai dan (standar baku) yang didefinisikan sebagai berikut :

(25)

Definisi 2.2

Suatu variabel acak X dikatakan memiliki distribusi logistik standar jika dan hanya fungsi kepekatan peluangnya adalah :

Dari distribusi logistik standar ini selanjutnya ditambahkan dua parameter bentuk

sehingga menjadi distribusi generalized logistik tipe IV yang didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.3

Suatu variabel acak X dikatakan memiliki distribusi generalized logistik tipe IV dengan parameter , jika fungsi kepekatan peluangnya adalah :

Dalam hal ini dan merupakan parameter bentuk. Berdasarkan fungsi kepekatan peluang dari distribusi generalized logistik tipe IV dengan menggunakan program matlab, diperoleh bentuk kurva sebagai berikut :

(26)

Dari gambar 2 dapat diketahui bahwa distribusi generalized logistik tipe IV memiliki bentuk yang simetrik jika , melenceng ke kanan (positively skewed) jika dan melenceng ke kiri (negatively skewed) jika .

(Johnson, Kotz dan Balakrishnan, 1995).

2.2.1 Nilai Harapan Distribusi Generalized Logistik Tipe IV

Dalam teori distribusi jika fungsi pembangkit momen dari sebuah distribusi ada, maka mencari turunan ke-m dari fungsi pembangkit momen suatu distribusi tertentu sama saja dengan mencari ekspektasi ke-m dari distribusi tersebut. Ekspektasi ke-m dari suatu variabel acak X atau disebut momen ke-m dari suatu distribusi atau momen ke-m dari X. Dalam Hogg dan Craig (1995) hubungan antara fungsi pembangkit momen dengan nilai harapan dinyatakan sebagai berikut :

Dengan

_∫

Dan

∫

Selanjutnya akan dicari nilai harapan dari distribusi generalized logistik tipe IV melalui fungsi pembangkit momennya. Berdasarkan penelitian indriani (2014) fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized logistik tipe IV diperoleh sebagai berikut :

(27)

Sehingga momen pertama dari distribusi generalized logistik tipe IV dapat dicari dengan menurunkan fungsi pembangkit momennya terhadap t dan mengevaluasinya pada saat yaitu sebagai berikut :

Dengan menggunakan aturan hasil kali dalam mencari turunan yaitu

Sehingga diperoleh

Dengan demikian momen pertama atau dari distribusi generalized logistik tipe IV dapat dituliskan sebagai berikut :

Karena

(Abramowiths dan Stegun, 1972), akibatnya persamaan (2.4)

dapat dituliskan sebagai berikut :

(28)

Sedangkan momen kedua dari distribusi generalized logistik tipe IV diperoleh dengan mencari turunan kedua fungsi pembangkit momennya terhadap t dan mengevaluasinya pada saat . Untuk mencari turunan kedua langkah yang dilakukan yaitu dengan menurunkan persamaan (2.2) terhadap t sebagai berikut :

Dengan menggunakan aturan hasil kali dalam mencari turunan yaitu :

Sehingga diperoleh

Dengan demikian momen kedua atau dari distribusi generalized logistik tipe IV dapat dituliskan sebagai berikut :

(29)

2.2.2 Varian Distribusi Generalized Logistik Tipe IV

Dalam Hogg dan Craig (1995) jika varian dari suatu variabel acak X yang berditribusi tertentu ada, maka varian dari X atau dapat dituliskan sebagai Var(X) didefinisikan sebagai berikut :

Atau dapat dituliskan dalam bentuk lain yaitu

Dengan sehingga diperoleh

( )

Jadi varian dari distribusi generalized logistik tipe IV dapat dicari dengan mensubtitusikan persamaan (2.4) dan (2.6) ke persamaan (2.9) yaitu :

( )

(30)

Selanjutnya akan dijelaskan tentang metode yang akan digunakan untuk menduga parameter distribusi generalized logistik tipe IV.

2.3 Metode Generalized Moment

Metode generalized moments merupakan bentuk perumuman dari Method of Moment yang dikembangkan oleh Lars Peter Hansen pada tahun 1982. Untuk menduga parameter dari suatu distribusi, studi oleh Rasmussen (2001), dan oleh Ashkar dan Mahdi (2003), menggunakan bentuk PWM :

∫ atau

∫

Jika invers dari F(x) dapat dievaluasi secara analitik maka formulasi pendugaan dicari mengunakan persamaan (2.1). Dimana x adalah invers dari distribusi kumulatif F(x), l merupakan moment ke-l dan r adalah statistik tataan ke-r+1. ini bertindak sebagai suatu dasar untuk menerapkan metode generalized moment. Baik pada metode pendugaan PWM, GMM dan GPWM jika invers dari F(x) tidak dapat dievaluasi secara analitik (tidak ada) maka formulasi pendugaan dicari mengunakan persamaan (2.2). Dengan x adalah variabel acak dari distribusi kontinu yang akan diduga, F(x) merupakan fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari x, dan f(x) adalah fungsi kepekatan peluang (pdf) dari x.

(31)

Pada metode pendugaan PWM r dipilih bilangan bulat non-negatif dan sekecil mungkin, sedangkan pada GPWM r diambil tidak harus kecil dan bilangan bulat non-negatif. Selain itu, baik pada metode pendugaan PWM maupun GPWM order

lebih dari satu “harus dihindari” sehingga membatasi l yang dipilih yaitu sama

dengan 1 . Sebaliknya pada metode generalized moment, order moment yang berbeda dari 1 dilibatkan. Sehingga pada metode generalized moment r

diambil sama dengan nol dan l tidak harus bilangan bulat maupun positif (Ashkar dan Mahdi, 2006).

2.4 Penduga Parameter

Statistika inferensia adalah cabang ilmu pengetahuan statistika yang mempelajari tentang proses pengambilan keputusan tentang parameter berdasarkan suatu statistik. Kajian statistika inferensia mencakup pengujian hipotesis dan pendugaan parameter. Secara umum pendugaan parameter digolongkan menjadi dua yaitu pendugaan titik dan pendugaan selang. Berkaitan dengan pendugaan titik, berikut ini definisikan yang dimaksud dengan penduga parameter.

Definisi 2.4

Misal berdistribusi bebas stokastik identik dengan fungsi kepekatan peluang f(x;�), �∈Ω. Suatu statistik u( ) = �̂ yang digunakan untuk menduga �disebut sebagai penduga bagi �,(Hoog and Craig, 1995).

Berkaitan dengan pendugaan parameter menggunakan metode generalized moment, akan dijelaskan beberapa sifat penduga sebagai berikut :

(32)

2.4.1 Penduga Tak Bias (Unbiasness)

Ketakbiasan merupakan sifat yang diinginkan dari penduga yang “baik” yaitu nilai dugaan parameter diharapkan sama dengan nilai parameter yang sebenarnya.

Definisi 2.5

Penduga titik �̂ disebut penduga yang tak bias dari sebuah parameter � jika E(�̂ � untuk semua kemungkinan nilai �. Selain itu, �̂ disebut penduga yang bias. Selanjutnya bias �̂ diberikan oleh

�̂ �

Jadi, penduga yang tak bias adalah penduga yang memiliki bias sama dengan 0 untuk setiap nilai �. Bias terjadi ketika sampel tidak mewakili populasi secara akurat dari sampel yang telah diambil (Ramachandran and Tsokos, 2009).

2.4.2 Penduga Varians Minimum (Variance Minimum)

Karakteristik penduga parameter yang “baik” selain tak bias juga memiliki varians minimum. Berikut ini didefinisikan yang dimaksud dengan penduga yang memiliki varians minimum.

Definisi 2.6

Penduga tak bias �̂ disebut sebagai penduga tak bias beragam minimum seragam (UMVUE) bagi parameter � jika untuk sebarang �̂ sebagai penduga tak bias lainnya dari �

�̂ �

(33)

Untuk mencari penduga parameter yang bersifat UMVUE tidak selalu mudah. Oleh karena itu, dapat digunakan pertidaksamaan Cramer Rao-Lower Bound untuk menentukan apakah penduga yang diperoleh merupakan penduga yang bersifat UMVU. Berikut ini akan dijelaskan beberapa istilah yang berkaitan dengan pertidaksamaan Cramer Rao-Lower Bound.

2.4.2.1 Informasi Fisher

Misalkan merupakan sampel acak dari suatu distribusi yang mempunya fungsi kepekatan peluang � . Sehingga fungsi kemungkinan dari fkp tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :

� � � �

Jika fungsi kemungkinan dari fkp tersebut diberikan fungsi logaritma, maka diperoleh :

� � � �

Turunan pertama dan kedua dari logaritma fungsi kemungkinan dari fkp diperoleh sebagai berikut :

� � � � � � � � dan � � � � � � � �

Dalam hogg dan craig (1995) informasi fisher information dinotasikan

� dengan

� ∫ �_� �

(34)

Selain itu, � dapat dihitung dengan

� ∫ �_� �

�_�

Dengan demikian didefinisikan informasi fisher dalam sampel acak sebagai

� { �_� } { �_� }

2.4.2.2 Matriks informasi fisher

Pada kasus multivariat, jika � merupakan suatu vektor dari parameter, maka � adalah matriks informasi fisher. Misalkan dari suatu distribusi dengan fungsi kepekatan peluang � � � � ∈ Ω, dengan syarat keteraturannya ada. Tanpa menggambarkan syaratnya secara detail, misalkan ruang dari X dimana � � tidak melibatkan � dan � , serta dapat diturunkan dibawah integral. Jadi, matriks informasi fisher dapat dituliskan sebagai berikut :

[ { � � � } � � � � � � � � � � � � { � � � } _] [ �_� � �_� _� � � � � � � � � ]

(35)

2.4.2.3Batas Bawah Roa-Cramer

Jika �̂ adalah penduga tak bias bagi parameter � maka pertidaksamaan Rao-Cramer dapat ditulis sebagai berikut :

�̂ �

{ }

� �

jika � � maka

�̂ _�

Dengan � � dan

disebut dengan batas bawah Rao-Cramer.

Definisi 2.7

Misal �̂ penduga tak bias bagi parameter � pada pendugaan titik. Statistik �̂ disebut penduga yang efesien bagi � jika dan hanya jika ragam dari �̂ mencapai batas bawah Rao-Cramer (Hoog dan Craig, 1995).

2.4.3 Penduga Konsisten (Consistency)

Suatu penduga parameter dikatakan konsisten jika nilai dugaan parameter akan dekat dengan nilai parameter yang sebenarnya ketika ukuran sampel yang diambil semakin besar.

Definisi 2.7

Sebarang statistik yang konvergen dalam peluang ke parameter � disebut penduga yang konsisten bagi �.

(36)

Sedangkan yang dimaksud konvergen dalam peluang didefinisikan sebagai berikut :

Definisi 2.8

Barisan dari variabel acak kovergen dalam peluang ke variabel acak

X jika untuk setiap

[|�̂ �| ] Atau ekuivalen dengan

[ �̂ � ]

(Hoog dan Craig, 1995).

Berikut ini diberikan teorema pendukung yang berkaitan dengan pengujian sifat konsisten penduga parameter.

Teorema 2.1 (Ketaksamaan Markov)

Jika X peubah acak dengan pdf ) dan fungsi real non-negtif, maka untuk setiap konstanta positif ,

(Bain and Engelhardt, 1992). Bukti :

Misalkan dan ̅ = ruang sampel Maka

∫ ∫ ∫

(37)

Dengan demikian

∫

Akan tetapi sehingga

∫ ∈

Jadi diperoleh

Terbukti

Teorema 2.2 (Chebychev Inequality)

Jika x peubah acak dengan mean dan varian berhingga maka untuk setiap

Atau ekuivalen dengan

Dan jika dimisalkan maka

Atau ekuivalen dengan

(38)

Bukti :

Misalkan dan ; Dengan menggunakan Markov Inequality

Atau dapat ditulis dengan

Terbukti

2.5 Varian-KovarianAsimtotik Penduga Parameter dari Metode Generalized Moment

Berdasarkan Ashkar dan Mahdi (2006) varian dan kovarian asimtotik dari penduga parameter ̂ dan ̂ yang diperoleh menggunakan metode generalized moment, dapat dihitung dari varian dan kovarian momen sampel ̂ dan ̂ sebagai berikut :

[ ̂ ( ̂) ( ̂ ̂) ] [ ] [ ( ̂ ) ( ̂ ) ( ̂ ̂ ) ] Atau ̂ ̂ Dengan : ( ̂ ) _[ ] ( ̂ ) _[ ] dan ( ̂ ̂ ) [ ]

(39)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2014/2015, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka yang menggunakan buku-buku penunjang, skripsi dan jurnal yang berhubungan dengan penelitian ini. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:

1. Membangkitkan data yang berdistribusi generalized logistik tipe IV dan membuat grafik fungsi kepekatan peluang dari data yang telah dibangkitkan tersebut dengan menggunakan software R versi 3.1.2.

2. Melakukan pendugaan parameter pada distribusi generalized logistik tipe IV dengan menggunakan Metode Generalized Moment.

a. Mencari fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari distribusi generalized

(40)

b. Mencari penduga parameter distribusi generalized logistik tipe IV menggunakan pada persamaan (2.2).

c. Menentukan batas untuk l dan r kemudian mengambil dan sebarang

yang tidak harus bilangan bulat maupun positif. d. Mendapatkan penduga parameter ( ̂ ̂) distribusi generalized logistik

tipe IV berdasarkan dan yang telah diperoleh.

3. Memeriksa sifat tak bias penduga ( ̂ ̂) pada distribusi generalized logistik tipe IV.

4. Memeriksa sifat varians minimum penduga parameter ( ̂ ̂) distribusi

generalized logistik tipe IV.

a. Mencari matriks Informasi Fisher dari distribusi generalized logistik tipe IV.

b. Menentukan pertidaksamaan Rao-Cramer untuk ragam dari penduga parameter ( ̂ ̂) distribusi generalized logistik tipe IV.

5. Memeriksa sifat konsisten penduga parameter ( ̂ ̂) distribusi generalized

logistik tipe IV menggunakan Teorema 2.2.

6. Mencari varian dan kovarian asimtotik penduga parameter ( ̂ ̂) distribusi

generalized logistik tipe IV yang dihitung berdasarkan varian dan kovarian momen sampel ̂ dan ̂ .

(41)

V. KESIMPULAN

Berdasarkan uraian hasil analisis yang telah dibahas, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

1. Dari grafik fungsi kepekatan peluang distribusi generalized logistik tipe IV yang diperoleh dengan menggunkana software R versi 3.1.2, dapat diketahui bahwa semakin kecil nilai atau yang diambil dan salah satunya tetap maka bentuk kurva semakin landai dan lebar kurva semakin besar. Sebaliknya semakin besar nilai atau yang diambil dan salah satunya tetap maka bentuk kurva semakin runcing dan lebar kurva semakin kecil. Selain itu, ketika meningkat dan menurun, bentuk kurva semakin runcing dan lebar kurva semakin kecil sebaliknya ketika ketika meningkat dan menurun, bentuk kurva semakin landai dan lebar kurva semakin besar. Hal ini terjadi karena dan merupakan parameter bentuk yang mana ketika nilai dan yang diambil berbeda maka bentuk kurva yang didapat juga berbeda.

2. Penduga parameter ( ̂ ̂) distribusi generalized logistik tipe IV menggunakan metode generalized moment adalah

̂ ∏

{

̂ ̂ ̂ ̂

}

∑

(42)

72 [ _̂ ∑ ( ̂ ) ] ̂ Dan ̂ _̂ ∏ { ̂ ̂ ̂ ̂ } ̂ ∑ ( ̂ ) [ _̂ ∑ ( ̂ ) ] _̂ ∏ { ̂ ̂ ̂ ̂ } ̂ ∑ ( ̂ ) [ _̂ ∑ ( ̂ ) ] ̂

3. Penduga parameter ( ̂ ̂) dari distribusi generalized logistik tipe IV tersebut memiliki karakteristik penduga yang baik yaitu tak bias, beragam minimum karena mencapai batas bawah Rao-Cramer dan konsisten serta memiliki varian-kovarian asimtotik yang dapat diperoleh secara analitik sebagai berikut:

(43)

73 ̂

( ̂)

( ̂ ̂)

(44)

DAFTAR PUSTAKA

Abramowitz, M. and Stegun, I.A.1972. Handbook of Mathematical Functions With Formula, Graphs, and Mathematical Table. Departement of Comerce United State of America. Washington, D.C.

Ashkar, F. dan Mahdi, S. 2006. Fiiting the log-logistik distribution by generalized moment. Journal of Hidrology.Vol 382, 694-703.

Bain, L.J. and Engelhardt.M. 1992. Introduction to Probability and Mathematical Satistics. 2nd edition.University of Missouri-Rolla.California.

Fischer, M. 2000. The Folded EGB2 Distribution and Its Application to Financial Return Data. University of Erlangen. Nürnberg.

Gupta, R.D. and Kundu, D. 2010. Generalized Logistic Distributions. Journal of Applied Statistical Sciences.Vol 18, 51–66.

Hogg, R. V. and Craig, A. T. 95. Introduction to Mathematical Statistics. Fifth Edition. Prentice-Hall International Inc., New Jersey.

Indriani, A. 2014. Momen, Kumulan, dan Fungsi Karakteristik Distribusi Generalized

Logistik Tipe IV. (Skripsi). Universitas Lampung. Bandar Lampung.

Johnson, N.L., Kotz,S., and Balakrishnan, N. 1995. Continuous Univariate Distribution. 2nd edition. Wiley and Sons. New York. 140-142.

(45)

Ramachandran , K. M. and Tsokos, C. P. 2009. Mathematical Statistics with Applications. Elsevier Inc., Oxford UK.

Speigel, M.R.,1968. Schaum's Outline Series : Mathematical Handbook of Formulas and Tables. McGraw-Hill.

(1)

b. Mencari penduga parameter distribusi generalized logistik tipe IV

menggunakan pada persamaan (2.2).

c. Menentukan batas untuk l dan r kemudian mengambil dan sebarang yang tidak harus bilangan bulat maupun positif. d. Mendapatkan penduga parameter ( ̂ ̂) distribusi generalized logistik

tipe IV berdasarkan dan yang telah diperoleh.

3. Memeriksa sifat tak bias penduga ( ̂ ̂) pada distribusi generalized logistik tipe IV.

4. Memeriksa sifat varians minimum penduga parameter ( ̂ ̂) distribusi

generalized logistik tipe IV.

a. Mencari matriks Informasi Fisher dari distribusi generalized logistik tipe

IV.

b. Menentukan pertidaksamaan Rao-Cramer untuk ragam dari penduga parameter ( ̂ ̂) distribusi generalized logistik tipe IV.

5. Memeriksa sifat konsisten penduga parameter ( ̂ ̂) distribusi generalized

logistik tipe IV menggunakan Teorema 2.2.

6. Mencari varian dan kovarian asimtotik penduga parameter ( ̂ ̂) distribusi

generalized logistik tipe IV yang dihitung berdasarkan varian dan kovarian

(2)

V. KESIMPULAN

Berdasarkan uraian hasil analisis yang telah dibahas, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

1. Dari grafik fungsi kepekatan peluang distribusi generalized logistik tipe IV

yang diperoleh dengan menggunkana software R versi 3.1.2, dapat diketahui

bahwa semakin kecil nilai atau yang diambil dan salah satunya tetap maka bentuk kurva semakin landai dan lebar kurva semakin besar. Sebaliknya semakin besar nilai atau yang diambil dan salah satunya tetap maka bentuk kurva semakin runcing dan lebar kurva semakin kecil. Selain itu, ketika meningkat dan menurun, bentuk kurva semakin runcing dan lebar kurva semakin kecil sebaliknya ketika ketika meningkat dan menurun, bentuk kurva semakin landai dan lebar kurva semakin besar. Hal ini terjadi karena dan merupakan parameter bentuk yang mana ketika nilai dan yang diambil berbeda maka bentuk kurva yang didapat juga berbeda.

2. Penduga parameter ( ̂ ̂) distribusi generalized logistik tipe IV menggunakan metode generalized moment adalah

̂ ̂ ∏