MOMEN, KUMULAN DAN FUNGSI KARAKTERISTIK DARI DISTRIBUSI GENERALIZED GAMMA

ABSTRACT

THE MOMENT, CUMULANT AND CHARACTERISTIC FUNCTION
OF GENERALIZED GAMMA DISTRIBUTION

By

TIURMA RATNA DEVI HUTAHAEAN

In this paper introduces characteristic of generalized gamma distribution.
Generalized gamma distribution is a family of continue probability distribution
used in modeling survival data. The generalized gamma distribution is
generalization of gamma distribution. Gamma distribution have two parameters,
shape parameter
and scale parameter
. Although, generalized gamma
distribution have three parameters, shape parameters
and scale parameter
. Where, generalized gamma distribution will be gamma distribution when
. This research are to determine the momen, cumulant and characteristic
function of the generalized gamma distribution. The results show that the momen

generating function of generalized gamma distribution defined in this research is
same as to the momen generating function of generalized gamma distribution
from Stacy’s Journal. The cumulant obtained can be determine skewness and
kurtosis of generalized gamma distribution. Then, will be determine momen of
or expectations of
or characteristic function of generalized gamma
distribution. And then, simulation graphs show that graphs probability density
function of generalized gamma distribution, skewness of generalized gamma
distribution is skew to the right and kurtosis of generalized gamma distribution is
leptokurtic.

Keywords : gamma distribution, generalized gamma distribution, momen,
cumulant, characteristic function, skewness, kurtosis.

ABSTRAK

MOMEN, KUMULAN DAN FUNGSI KARAKTERISTIK
DARI DISTRIBUSI GENERALIZED GAMMA
Oleh
TIURMA RATNA DEVI HUTAHAEAN


Pada penelitian ini akan dijelaskan mengenai karakteristik dari distribusi
generalized gamma. Distribusi generalized gamma merupakan perumuman dari
distribusi gamma. Distribusi gamma merupakan salah satu keluarga distribusi
peluang kontinu yang biasa digunakan dalam pemodelan data kelangsungan
hidup. Distribusi gamma memiliki dua parameter yaitu parameter bentuk ( ) dan
parameter skala
. Sedangkan distribusi generalized gamma memiliki tiga
parameter yaitu parameter bentuk (
) dan parameter skala
. Dimana,
distribusi generalized gamma akan menjadi distribusi gamma dengan
.
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan momen, kumulan dan fungsi
karakteristik dari distribusi generalized gamma Momen dapat ditentukan dengan
menggunakan definisi dan menggunakan fungsi pembangkit momen. Sehingga
dari momen yang diperoleh dapat ditentukan kumulan. Lalu, dari kumulan yang
diperoleh dapat ditentukan skewness dan kurtosis distribusi generalized gamma.
Selanjutnya ditentukan momen dari
atau ekspetasi dari

atau yang biasa
disebut fungsi karakteristik dari distribusi generalized gamma. Kemudian
dilakukan simulasi grafik, diperoleh grafik dari fungsi kepekatan peluang,
skewness dari distribusi generalized gamma adalah skew to the right dan kurtosis
dari distribusi generalized gamma adalah leptokurtik.

Kata kunci : distribusi gamma, distribusi generalized gamma, momen, kumulan,
fungsi karakteristik, skewnes, kurtosis.

MOMEN, KUMULAN, DAN FUNGSI KARAKTERISTIK
DARI DISTRIBUSI GENERALIZED GAMMA

Oleh
TIURMA RATNA DEVI HUTAHAEAN

Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2014

MOMEN, KUMULAN, DAN FUNGSI KARAKTERISTIK
DARI DISTRIBUSI GENERALIZED GAMMA
(Skripsi)

OLEH
TIURMA RATNA DEVI HUTAHAEAN

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG

2014

RIWAYAT HIDUP

Nama lengkap penulis, Tiurma Ratna Devi Hutahaean lahir pada tanggal 5 Juni
1992 di Bandar Lampung, sebagai anak pertama dari empat bersaudara dari
pasangan Roma Tio Manik dan Robert Hutahaean. Tempat tinggal di alamat Jl.
Pulau Damar No. 46, Waydadi, Sukarame, Bandar Lampung.
Penulis memulai pendidikan dari TK Dharma Wanita Tanjung Karang pada tahun
1997. Lulus pendidikan sekolah dasar dari SD Negeri 2 Harapan Jaya pada tahun
2004, lulus pendidikan sekolah menengah pertama dari SMP Negeri 21 Bandar
Lampung pada tahun 2007, dan lulus pendidikan sekolah menengah atas dari
SMA Negeri 5 Bandar Lampung pada tahun 2010. Pada saat SMA, penulis
mengikuti organisasi PERPEKALA (Persatuan Pelajar Katolik Lampung) di
gereja pada periode pertama menjabat sebagai seksi kerohanian dan pada periode
berikutnya menjabat sebagai sekretaris.
Tahun 2010, penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika di Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui Seleksi
Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN). Pada jurusan matematika,
penulis mengambil konsentrasi ke bidang statistika. Sebagai bentuk aplikasi

bidang ilmu yang telah diperoleh ke dalam dunia pekerjaan, pada semester 6
penulis telah melaksanakan Kerja Praktik di Badan Pusat Statistik Kota Bandar

Lampung pada 14 Februari 2013 – 14 Maret 2013 dan tercatat sebagai pengentri
data pada Survei Biaya Hidup tahun 2012 periode IV. Dan sebagai bentuk aplikasi
bidang ilmu yang telah diperoleh kepada masyarakat, pada semester 7 penulis
telah melaksanakan Kuliah Kerja Nyata Tematik pada tanggal 1 Juli 2013 – 30
Juli 2013 di desa Rata Agung, Kecamatan Lemong, Kabupaten Pesisir Barat. Dan
pada semester 8 ini penulis telah menyelesaikan skripsi yang berjudul “Momen,
Kumulan, dan Fungsi Karakteristik dari Distribusi Generalized Gamma”.

MOTO

“Segala perkara dapat kutanggung di dalam Dia yang
memberi kekuatan kepadaku.”
(Filipi 4:13)
“Ora et Labora”
“WE ARE SAME BUT NOT EQUAL”
“Biarkan keyakinan, harapan, serta impianmu menggantung 5cm di
depan keningmu. Dan saat kamu akan menggapai semua, yang

kamu perlukan hanyalah kaki yang akan berjalan lebih jauh dari
biasanya, tangan yang akan berbuat lebih banyak dari biasanya,
mata yang akan menatap lebih lama dari biasanya, leher yang akan
lebih sering melihat keatas, lapisan tekad yang seribu kali lebih keras
dari baja, hati yang akan bekerja lebih keras dari biasanya, serta
mulut yang akan selalu berdoa”

(5cm)

PERSEMBAHAN

Satu hasil karya kecil ini akan kupersembahkan :
kepada Tuhan Yesus Kristus,

terkhusus untuk kedua orangtuaku,
inilah hasil perjuangan kalian bagiku selama ini,
serta untuk adik-adikku, juga untuk seluruh keluarga bersar,

untuk dosen-dosen pembimbingku
(Ibu Dian Kurniasari, M.Sc.,

Ibu Widiarti, M.Si.,
Bapak Warsono, Ph.D.)

untuk teman-teman seperjuanganku,
dan untuk almamater tercinta Universitas Lampung.

Semoga satu karya kecil ini dapat memberikan hal yang berarti dan
bermanfaat.

SANWACANA

Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat dan rahmat-Nya
penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Momen, Kumulan dan
Fungsi Karakteristik dari Distribusi Generalized Gamma”. Pada proses
penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik, dan saran
yang membangun sehingga skripsi ini dapat diselesaikan. Untuk itu penulis ingin
mengucapkan terima kasih kepada :
1.

Ibu Dian Kurniasari, M.Sc., selaku dosen pembimbing utama yang telah

banyak membantu dan meluangkan waktu untuk membimbing, memberikan
arahan dalam proses penyusunan skripsi ini serta mengevaluasi skripsi ini
sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

2.

Ibu Widiarti, M.Si., selaku dosen pembimbing kedua yang telah banyak
membantu dan meluangkan waktu untuk membimbing, memberikan arahan
dalam proses penyusunan skripsi ini serta mengevaluasi skripsi ini sehingga
skripsi ini dapat terselesaikan.

3.

Bapak Warsono Ph.D selaku dosen penguji yang telah memberikan kritik dan
saran sehingga skripsi ini dapat menjadi lebih baik lagi.

4.

Bapak Agus Sutrisno, M.Si., selaku pembimbing akademik yang telah
memberi arahan selama penulis menimba ilmu di Universitas Lampung.


5.

Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.

6.

Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.

7.

Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

8.

Mama dan Bapak yang telah memberikan dukungan, mendoakan, menasihati
dan menyemangati yang sangat membantu selama penyusunan skripsi. Dan
juga adik-adik yang selalu berusaha mengerti dan berusaha untuk

memberikan bantuan.

9.

Teman-teman seperjuangan MATH 2010 terimakasih atas semangat,
kenangan serta kebersamaannya selama ini. Khususnya untuk Asri, Siska,
Eka, Epy, Reka, Vinny, Dhita, Tina, dan juga teman seperjuangan selama
bimbingan skripsi ini yaitu Indri, Dian, Apit, Tiara, Miranti.

10. Abang yang selalu memberikan bantuan, semangat, motivasi serta
mendoakan dalam proses penyusunan skripsi ini.
11. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan
satu persatu.
Bandar Lampung, 2014
Penulis

Tiurma Ratna Devi Hutahaean

DAFTAR ISI

Halaman
DAFTAR ISI ................................................................................................... xiv
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xvi
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1
1.1.Latar Belakang .......................................................................................
1.2.Batasan Masalah ....................................................................................
1.3.Tujuan Penelitian ...................................................................................
1.4.Manfaat Penelitian .................................................................................

1
3
3
4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ....................................................................... 5
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10

Fungsi Gamma .................................................................................... 5
Distribusi Gamma ............................................................................... 6
Distribusi Generalized Gamma .......................................................... 7
Ekspansi Deret MacLaurin ................................................................. 8
Skewness ( Kemiringan ) .................................................................... 9
Kurtosis ( Kelandaian ) ..................................................................... 10
Momen .............................................................................................. 11
Fungsi Pembangkit Momen .............................................................. 12
Kumulan ........................................................................................... 13
Fungsi Karakteristik ......................................................................... 14

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ..................................................... 16
3.1
3.2

Waktu dan Tempat Penelitian .......................................................... 16
Metode Penelitian ............................................................................. 16

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ........................................................ 18
4.1

4.2
4.3
4.4

Momen ..............................................................................................
4.1.1 Menggunakan Fungsi Pembangkit Momen ..........................
4.1.2 Menggunakan Definisi ..........................................................
Kumulan ...........................................................................................
Fungsi Karakteristik .........................................................................
Simulasi Grafik .................................................................................
4.4.1 Simulasi Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi
Generalized Gamma ................................................................

18
18
29
45
50
66
67

4.4.2 Simulasi Grafik Fungsi Skewness dari Distribusi
Generalized Gamma ................................................................ 78
4.4.3 Simulasi Grafik Fungsi Kurtosis dari Distribusi
Generalized Gamma ................................................................ 82
BAB V KESIMPULAN .................................................................................. 86
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN

DAFTAR GAMBAR

Halaman
Gambar 2.1

Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Gamma dengan
dan
......................................................................... 6

Gambar 2.2

Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Gamma dengan
,
dan
...................................... 7

Gambar 4.1

Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Gamma pada saat nilai meningkat, tetap, meningkat ..... 66

Gambar 4.2

Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Gamma pada saat nilai meningkat, tetap, menurun ......... 67

Gambar 4.3

Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Gamma pada saat nilai menurun, tetap, meningkat.......... 68

Gambar 4.4

Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Gamma pada saat nilai menurun, tetap, menurun ............ 69

Gambar 4.5

Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Gamma pada saat nilai tetap, meningkat, meningkat ...... 70

Gambar 4.6

Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Gamma pada saat nilai tetap, meningkat, menurun ......... 71

Gambar 4.7

Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Gamma pada saat nilai tetap, menurun, meningkat ......... 72

Gambar 4.8

Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Gamma pada saat nilai tetap, menurun, menurun ........... 73

Gambar 4.9

Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Gamma pada saat nilai meningkat, meningkat, tetap ...... 74

Gambar 4.10 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Gamma pada saat nilai meningkat, menurun, tetap ......... 75
Gambar 4.11 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Gamma pada saat nilai menurun, meningkat, tetap ......... 76
Gambar 4.12 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Gamma pada saat nilai menurun, menurun, tetap ............ 77
Gambar 4.13 Grafik Fungsi Skewness dari Distribusi Generalized Gamma
dengan 3 nilai dan 3 nilai yang berbeda ............................. 78
Gambar 4.14 Grafik Fungsi Skewness dari Distribusi Generalized Gamma
dengan 4 nilai dan 4 nilai yang berbeda ............................. 79
Gambar 4.15 Grafik Fungsi Skewness dari Distribusi Generalized Gamma
dengan 6 nilai dan 6 nilai yang berbeda ............................. 80
Gambar 4.16 Grafik Fungsi Skewness dari Distribusi Generalized Gamma
dengan 10 nilai dan 10 nilai yang berbeda ......................... 81
Gambar 4.17 Grafik Fungsi Kurtosis dari Distribusi Generalized Gamma
dengan 3 nilai dan 3 nilai yang berbeda ............................. 82
Gambar 4.18 Grafik Fungsi Kurtosis dari Distribusi Generalized Gamma
dengan 4 nilai dan 4 nilai yang berbeda ............................. 83
Gambar 4.19 Grafik Fungsi Kurtosis dari Distribusi Generalized Gamma
dengan 6 nilai dan 6 nilai yang berbeda ............................. 84
Gambar 4.20 Grafik Fungsi Kurtosis dari Distribusi Generalized Gamma
Dengan 10 nilai dan 10 nilai yang berbeda ........................ 85

BAB I
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Distribusi generalized gamma merupakan perumuman dari distribusi gamma.
Disrtibusi gamma merupakan salah satu keluarga distribusi peluang kontinu yang
biasa digunakan dalam pemodelan data kelangsungan hidup. Akan tetapi
distribusi gamma terkadang tidak selalu tepat untuk mengemas data kelangsungan
hidup dalam suatu model peluang. Untuk dapat mengatasinya maka dibutuhkan
suatu perumuman dari distribusi gamma untuk dapat digunakan dalam setiap
keadaan data tersebut yaitu yang biasa disebut distribusi generalized gamma.
Distribusi generalized gamma memiliki tiga parameter yaitu parameter bentuk
(

) dan parameter skala

.

Distribusi generalized gamma sudah pernah dibahas oleh beberapa peneliti. Salah
satunya adalah Stacy pada tahun 1962, dalam jurnalnya yang berjudul “A
Generalization of The Gamma Distribution”. Stacy merupakan peneliti yang
pertama kali mengemukakan distribusi generalized gamma. Dalam jurnalnya,
Stacy membahas mengenai sifat-sifat dasar, distribusi beberapa fungsi variabel
bebas, serta distribusi kumulatif variabel bebas dari distribusi generalized gamma.

2

Selain Stacy, ada peneliti lain yang juga membahas mengenai distribusi
generalized gamma yaitu Morteza Khodabin dan Alireza Ahmadabadi pada tahun
2010, dalam jurnal mereka yang berjudul “Some Properties of Generalized
Gamma Distribution”. Dalam jurnal tersebut mereka membahas mengenai sifatsifat dasar, ekspetasi dan variansi dari distribusi generalized gamma.
Pada penelitian ini, penulis akan membahas lebih dalam mengenai momen,
kumulan, serta fungsi karakteriksik dari distribusi generalized gamma. Momen
dapat diperoleh dengan cara menurunkan fungsi pembangkit momen yang
dievaluasi pada

. Dari momen yang diperoleh akan ditentukan kumulan.

Selanjutnya fungsi karakteristik dari distribusi generalized gamma dapat diperoleh
dari fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized gamma dengan
menambahkan

sebagai bagian imaginer.

Momen dapat ditentukan berdasarkan definisi atau penurunan fungsi pembangkit
momen. Dalam penelitian ini digunakan kedua cara tersebut untuk mencari
momen dari distribusi generalized gamma. Selanjutnya dari momen akan dapat
ditentukan kumulan dari distribusi generalized gamma. Berdasarkan momen yang
diperoleh dari setiap distribusi peluang akan ditentukan kumulan dari distribusi
peluang tersebut. Begitu juga distribusi generalized gamma yang berdasarkan
momennya akan diperoleh kumulan-nya.
Lalu akan ditentukan momen dari

atau ekspetasi dari

atau yang biasa

disebut fungsi karakteristik distribusi generalized gamma. Fungsi karakteristik
dapat digunakan untuk mencari momen dan kumulan dari suatu distribusi
peluang. Dimana logaritma dari fungsi karakteristik adalah fungsi pembangkit

3

kumulan, yang mana dapat digunakan untuk mencari kumulan, sedangkan
kumulan dapat menentukan momen dari suatu distribusi peluang.
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, dalam penelitian ini akan
dibahas kajian tentang “Momen, Kumulan, dan Fungsi Karakteristik dari
Distribusi Generalized Gamma”.
1.2 Batasan Masalah
Dalam pemodelan data ada berbagai macam distribusi, salah satunya yaitu
distribusi gamma yang biasa digunakan untuk pemodelan data kelangsungan
hidup. Distribusi gamma mempunyai dua parameter. Supaya berlaku umum untuk
setiap keadaan data dalam pemodelan data sehingga distribusi gamma
digeneralisasi dengan menambah satu parameter pada distribusi gamma menjadi
tiga parameter yang disebut distribusi generalized gamma (GG). Parameter dari
distribusi generalized gamma yaitu parameter bentuk (

) dan parameter skala

. Dalam penelitian ini distribusi generalized gamma (GG) dibatasi pada
penentuan momen, kumulan, dan fungsi karakteristik.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Menentukan momen dari distribusi generalized gamma

menggunakan

definisi dan menggunakan fungsi pembangkit momen dan menggunakan
definisi.
2. Menentukan kumulan dari distribusi generalized gamma

.

3. Menentukan fungsi karakteristik dari distribusi generalized gamma

.

4

1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Memberikan informasi, panduan serta sumbangan pemikiran mengenai cara
menentukan momen dari distribusi generalized gamma

dengan

menggunakan fungsi pembangkit momen dan menggunakan definisi.
2. Memberikan informasi, panduan serta sumbangan pemikiran mengenai cara
menentukan kumulan
gamma

dan

fungsi karakteristik dari distribusi generalized

.

3. Memberikan informasi, panduan serta sumbangan pemikiran mengenai cara
melakukan simulasi grafik gambar untuk fungsi kepekatan peluang, fungsi
skewness (kemiringan), dan kurtosis (kelandaian) dari distribusi generalized
gamma dengan nilai parameter
sebagai parameter bentuk.

sebagai parameter skala, parameter

dan

BAB II
TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan dijabarkan mengenai literatur yang digunakan pada penelitian.
Pertama akan dijabarkan mengenai fungsi gamma dimana fungsi gamma
digunakan untuk menyederhanakan hasil pencarian fungsi pembangkit momen
dan fungsi karakteristik dari distribusi generalized gamma.
2.1

Fungsi Gamma

Fungsi gamma merupakan suatu fungsi khusus. Fungsi ini dapat digunakan untuk
menyederhanakan integral-integral khusus.
Definisi 2.1
Fungsi gamma dinotasikan dengan

didefinisikan sebagai :


(Irwin Miller, Jhon E. Freund, dan Richard A. Johnson, 1990).
Pada definisi selanjutnya akan dijabarkan mengenai distribusi gamma dimana
distribusi gamma merupakan kasus khusus dari distribusi generalized gamma
dengan

.

6

2.2

Distribusi Gamma

Distribusi gamma merupakan salah satu keluarga distribusi peluang kontinu yang
biasa digunakan dalam pemodelan data kelangsungan hidup. Distribusi ini
mempunyai dua parameter yaitu

yang disebut parameter skala dan

yang

disebut parameter bentuk.
Definisi 2.2
Suatu variabel acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi gamma dengan
parameter

dan , jika fungsi kepekatannya adalah :

{

Gambar 2.1 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Gamma dengan
dan
(Edward J. Dudewicz dan Satya N. Mishra, 1988).

7

Selanjutnya akan dijabarkan mengenai fungsi kepekatan peluang dari distribusi
generalized gamma yang akan dibahas dalam penelitian ini, kemudian akan
ditentukan momen, kumulan, serta fungsi karakteristik dari distribusi generalized
gamma.
2.3

Distribusi Generalized Gamma

Distribusi generalized gamma merupakan perumuman dari distribusi gamma.
Distribusi generalized gamma memiliki tiga parameter yaitu parameter bentuk
(

) dan parameter skala

.

Definisi 2.3
Suatu variabel acak dikatakan memiliki distribusi generalized gamma dengan
parameter

dan

jika fungsi kepekatannya adalah :

{

Gambar 2.2 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Gamma dengan
,
dan
(Stacy, E.W, 1962).

8

Pada bagian selanjutnya akan dijabarkan mengenai ekspansi deret MacLaurin,
deret ini akan digunakan pada ekspansi

untuk menentukan momen dan fungsi

karakteristik dari distribusi generalized gamma.
2.4

Ekspansi Deret Maclaurin

Deret Maclaurin digunakan untuk membantu menyelesaikan suatu persamaan
dengan mengekspansikannya sehingga dapat lebih mudah menyelesaikannya.
Definisi 2.4
Jika

fungsi yang didefinisikan oleh :



Penurunan berturut dari fungsi tersebut adalah :

Dan seterusnya sampai ke-n, untuk setiap
maka persamaan tersebut menjadi :
,
,
,
,

anggota bilangan bulat positif. Jika

9

Sehingga bentuk umumnya adalah :

Jadi, deret pangkat dari fungsi

dalam

dapat ditulis sebagai berikut :


Dalam hal khusus, bila

deret tersebut menjadi deret MacLaurin, yaitu

sebagai berikut :


(Leithold, 1986).
Selanjutnya akan dibahas mengenai kemencengan/kemiringan (skewness), yang
mana

pada

penelitian

ini

akan

digunakan

untuk

mengetahui

kemencengan/kemiringan (skewness) dari distribusi generalized gamma dengan
melakukan simulasi grafik.
2.5

Skewness ( Kemiringan )

Kemiringan (skewness) adalah derajat ketaksimetrian dari suatu distribusi. Jika
kurva frekuensi (polygon frekuensi termuluskan) suatu distribusi mempunyai ekor
yang lebih panjang kekanan dari maksimum pusat dibandingkan yang kiri,
distribusi tersebut melenceng ke kanan atau mempunyai kemiringan positif. Jika
sebaliknya yang terjadi dikatakan melenceng ke kiri atau mempunyai kemiringan
negatif.

10

Untuk distribusi yang melenceng, nilai tengah cenderung terletak pada sisi yang
sama dari modus sebagai ekor yang lebih panjang jadi suatu ukuran tak simetri
diperlihatkan oleh selisih (nilai tengah-modus).
Koefisien skewness berdasarkan nilai kumulan, yaitu sebagai berikut :





(Murray R Spiegel, 1988).
Kemudian akan dibahas mengenai kurtosis, yang mana pada penelitian ini akan
ditentukan kurtosis dari distribusi generalized gamma untuk mengetahui
kelandaian dari distribusi generalized gamma dengan melakukan simulasi grafik.
2.6

Kurtosis ( Kelandaian )

Kurtosis adalah derajat puncak dari suatu distribusi, biasanya diambil secara
relative terhadap suatu distribusi normal.

(Murray R Spiegel, 1988).
Pada bagian berikutnya akan dijabarkan mengenai momen, yang mana pada
penelitian ini akan ditentukan momen dari distribusi generalized gamma dengan
menggunakan definisi.

11

2.7

Momen

Momen merupakan suatu karakteristik dari suatu distribusi peluang. Momen dapat
ditentukan menggunakan definisi atau penurunan fungsi pembangkit momen.
Momen dapat ditentukan dari momen pertama sampai momen ke-r.
Definisi 2.5
Jika

adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka momen ke-r

(dinotasikan dengan

) didefinisikan sebagai :

Definisi 2.6
Jika

adalah peubah acak diskrit dan

adalah nilai fungsi peluang dari

, maka momen ke-r (dinotasikan dengan

di

) didefinisikan sebagai :


Definisi 2.7
Jika

adalah peubah acak kontinu dan

, maka momen ke-r (dinotasikan dengan


(Hogg dan Craig, 1997).

adalah nilai fungsi peluang dari
) didefinisikan sebagai :

di

12

Selanjutnya akan dijabarkan mengenai fungsi pembangkit momen dimana pada
penelitian ini akan ditentukan fungsi pembangkit momen dari distribusi
generalized gamma dengan menurunkan fungsi pembangkit momennya yang
dievaluasi pada
2.8

.

Fungsi Pembangkit Momen

Fungsi pembangkit momen dari suatu distribusi digunakan untuk menentukan
momen dari suatu distribusi tersebut. Fungsi pembangkit momen dapat diperoleh
dari ekspetasi

dari suatu distribusi tersebut.

Definisi 2.8
Jika

adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu maka fungsi pembangkit

momen dari

(

) didefinisikan sebagai :

dinotasikan dengan

Definisi 2.9
Jika

adalah peubah acak diskrit dan

adalah nilai fungsi peluang dari

, maka fungsi pembangkit momen dari


didefinisikan sebagai :

di

13

Definisi 2.10
Jika

adalah peubah acak kontinu dan

adalah nilai fungsi peluang dari

, maka fungsi pembangkit momen dari

di

didefinisikan sebagai :


(Hogg dan Craig, 1997).
Pada bagian selanjutnya akan dijabarkan mengenai kumulan, yang mana pada
penelitian ini akan ditentukan kumulan dari distribusi generalized gamma dengan
menggunakan definisi seperti yang akan dijabarkan di bawah ini.
2.9

Kumulan

Kumulan merupakan suatu karakteristik dari suatu distribusi peluang. Kumulan
dapat ditentukan menggunakan definisi atau dengan penurunan fungsi pembangkit
kumulan.
Definisi 2.11
Kumulan

didefinisikan sebagai :


Dengan menggunakan deret Maclaurin maka diperoleh :

14

Dimana

momen baku, maka dapat ditulis kembali sebagai :

Sehingga rumus dari kumulan dapat ditulis sebagai berikut :

∑(

)

(Abramowitz dan Stegun, 1972).
Pada bagian selanjutnya akan dijabarkan mengenai fungsi karakteristik, yang
mana pada penelitian ini akan ditentukan fungsi karakteristik dari distribusi
generalized gamma dengan menggunakan definisi seperti yang akan dijabarkan di
bawah ini.
2.10 Fungsi Karakteristik
Fungsi karakteristik merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi
generalized gamma dengan menambahkan
dari

atau ekspetasi dari

.

sebagai bagian imaginer atau momen

15

Definisi 2.12
Fungsi karakteristik (

ekspetasi dari

Stuart, 1958).

, didefinisikan sebagai nilai

sebagai berikut :

(
Dimana

) dari peubah acak

)

(

)



merupakan fungsi kepakatan peluang dari distribusi , (Kendall dan

BAB III
METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada Semester Genap Tahun Akademik 2013/2014,
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka yang
menggunakan buku-buku penunjang, skripsi dan jurnal yang berhubungan dengan
skripsi ini. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:
1. Menentukan momen-momen dari distribusi generalized gamma

.

Untuk menentukan momen dapat dilakukan dengan dua cara yaitu
menggunakan definisi dan menggunakan fungsi pembangkit momen. Disini
akan digunakan kedua cara tersebut untuk menentukan momen dari distribusi
generalized gamma

.

a. Menggunakan Definisi
b. Menggunakan Fungsi Pembangkit Momen
i. Menentukan fungsi pembangkit momen

17

ii. Menentukan momen pertama (
ketiga (

), momen kedua (

), momen keempat (

momen keenam (

), momen

), momen kelima (

),

), dan seterusnya dengan cara menurunkan fungsi

pembangkit momen (

) dan memasukkan nilai variabelnya sama

dengan nol. Dengan demikian akan terlihat pola pada momen sehingga
dapat diketahui momen ke-r (

).

2. Menentukan kumulan dari distribusi generalized gamma

Dalam

menentukan kumulan diperlukan momen pertama (

), momen kedua

(

), momen ketiga (

), momen kelima

(

), momen keenam (

distribusi generalized gamma

), momen keempat (

), dan seterusnya sampai momen ke-r dari
.

3. Menentukan fungsi karakteristik dari distribusi generalized gamma

.

4. Melakukan simulasi grafik gambar untuk fungsi kepekatan peluang dari
distribusi generalized gamma dengan nilai parameter
skala, parameter

dan

sebagai parameter

sebagai parameter bentuk.

5. Melakukan simulasi grafik gambar untuk fungsi skewness (kemiringan) dari
distribusi generalized gamma dengan nilai parameter
skala, parameter

dan

sebagai parameter

sebagai parameter bentuk.

6. Melakukan simulasi grafik gambar untuk fungsi kurtosis (kelandaian) dari
distribusi generalized gamma dengan nilai parameter
skala, parameter

dan

sebagai parameter bentuk.

sebagai parameter

BAB V
KESIMPULAN

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan dapat disimpulkan sebagai berikut :
1.

Momen ke-r dari distribusi generalized gamma menggunakan fungsi
pembangkit momen dan menggunakan definisi diperoleh hasil yang sama,
yaitu :

2.

Kumulan ke-r dari distribusi generalized gamma yaitu :

∑(
3.

)

(

Fungsi karakteristik dari distribusi generalized gamma yaitu :



)

DAFTAR PUSTAKA

Abromowits, M. and Stegun, I. A.(Eds). 1972. Handbook of Mathematical Functions
with Formulas, Graps, and Mathematical Tables, 9th printing. New York:
Dover, p.928.
Dudewicz, Edward J. dan Mishra, Satya N. 1988. Statistika Matematika modern.
Bandung:ITB.
Hogg, R. V. and Tanis, E. A. 1997. Probability and Statistical Inferene Sixth Edition.
New Jersey:Prentice Hall Inc.
Miller , Irwin, Freund, Jhon E., dan Johnson, Richard A. 1990. Probability and
Statistics for Engineers Four Edition. USA:Prentice – Hal International
Edition.
Kendall, M. G. and Stuart, A. 1958. The Advanced Theory of Statistics :
Distribution Theory, Volume 1. London:C. Griffin-Company.
Leithold , Louis. 1986. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Edisi Kelima Jilid 3.
Jakarta:Erlangga.
Spiegel, Murray R. 1988. Statistika Edisi Kedua. Jakarta:Erlangga.
Stacy, E.W. 1962. A Generalization of The Gamma Distribution.Annals Of
Mathematical Statistics 33(3):1187-1192.JSTOR 2237889.