4. Pe rkalian Dua Matriks
Perkalian matriks A berdimensi m x n dengan matriks B berdimensi n x p adalah matriks C berdimensi m x p yang elemennya merupakan
perkalian dari elemen
b a ris
pada matriks A dengan elemen
ko lo m
pada matriks B.
Misal matriks C = matriks A x matriks B, maka elemen matriks C : A =
kali B =
sama dengan C =
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
5 3
2 ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ 7
9 4
1
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
22 21
12 11
C C
C C
C
11
= 2 . 1 + 3 . 9 = 2 + 27 = 29 baris 1
x kolom 1
C
12
= 2 . 4 + 3 . 7 = 8 + 21 = 29 baris 1
x kolom 2
C
21
= 5 . 1 + 0 . 9 = 5 + 0 = 5 baris 2
x kolom 1
C
22
= 5 . 4 + 0 . 7 = 20 + 0 = 20 baris 2
x kolom 2
Sehingga matriks C adalah : C =
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
27 53
3 22
4. Pe rkalian Matriks de ng an Skalar
Perkalian matriks A berdimensi m x n dengan skalar suatu bilangan adalah matriks D berdimensi m x n yang setiap elemennya
merupakan perkalian setiap elemen matriks A dengan skalar itu. Jika A =
maka 3 A = 3
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
5 3
2 ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ 5
3 2
sehingga matriks D adalah : D =
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
15 9
6
Matriks Halaman 7
5. Pe rkalian Matriks O rdo Tig a
Perkalian dua matriks A . B dan B . A berdimensi 3 x 3 bawah ini menunjukkan bahwa tidak setiap perkalian dua matriks berlaku
komulatif. Misalkan matriks A dan B sebagai berikut :
A =
B =
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
3 4
1 6
5 2
1 3
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− 1
2 3
1 2
1 1
2
Misalkan matriks C = A . B maka elemen-elemen matriks C adalah : C
11
= a
11
. b
11
+ a
12
. b
21
+ a
13
. b
31
= 3 . 2 + 1 . 1 + 0 . 3 = 6+1+0 = 7 C
12
= a
11
. b
12
+ a
12
. b
22
+ a
13
. b
32
= 3 . -1 + 1 . 2 + 0 . 2 = 3+2+0 =-1 C
13
= a
11
. b
13
+ a
12
. b
23
+ a
13
. b
33
= 3 . 0 + 1 . 1 + 0 . -1 = 0+1+1 = 1 C
21
= a
21
. b
11
+ a
22
. b
21
+ a
23
. b
31
= 2 . 2 + 5 . 1 + 6 . 3 = 4 + 5 + 18 = 27 C
22
= a
21
. b
12
+ a
22
. b
22
+ a
23
. b
32
= 2 . -1 + 5 . 2 + 6 . 2 = 2 + 10 + 12 = 20
C
23
= a
21
. b
13
+ a
22
. b
23
+ a
23
. b
33
= 2 . 0 + 5 . 1 + 6 . -1 = 0 + 5 – 6 = -1 C
31
= a
31
. b
11
+ a
32
. b
21
+ a
33
. b
31
= 1 . 2 + 4 . 1 + 3 . 3 = 2 + 4 + 9 = 15 C
32
= a
31
. b
12
+ a
32
. b
22
+ a
33
. b
32
= 1 . -1 + 4 . 2 + 3 . 2 = -1 + 8 + 6 = 13 C
33
= a
31
. b
13
+ a
32
. b
23
+ a
33
. b
33
= 1 . 0 + 4 . 1 + 3 . -1 = 0 + 4 + 3 = 7 Berdasarkan perhitungantersebut matriks A . B = C adalah :
A .
B =
C
. =
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
3 4
1 6
5 2
1 3
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− −
1 2
3 1
2 1
1 2
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− −
7 13
15 1
20 27
1 1
6
Misalkan B . A = D maka elemen-elemen matriks D adalah : d
11
= b
11
. a
11
+ b
12
. a
21
+ b
13
. a
31
= 2 . 3 + -1 . 2 + 0 . 1 = 6 – 2 + 0 = 4 d
12
= b
11
. a
12
+ b
12
. a
22
+ b
13
. a
32
= 2 . 1 + -1 . 5 + 0 . 6 = 2 – 5 + 0 = -3
Matriks Halaman 8
d
13
= b
11
. a
13
+ b
12
. a
23
+ b
13
. a
33
= 2 . 0 + -1 . 6 + 0 . 3 = 0 – 6 + 0 = -6 d
21
= b
21
. a
11
+ b
22
. a
21
+ b
23
. a
31
= 1 . 3 + 2 . 2 + 1 . 1 = 3 + 4 + 1 = 8 d
22
= b
21
. a
12
+ b
22
. a
22
+ b
23
. a
32
= 1 . 1 + 2 . 5 + 1 . 4 = 1 + 10 + 4 = 15 d
23
= b
21
. a
13
+ b
22
. a
23
+ b
23
. a
33
= 1 . 0 + 2 . 6 + 1 . 3 = 0 + 12 + 3 = 15 d
31
= b
31
. a
11
+ b
32
. a
21
+ b
33
. a
31
= 3 . 3 + 2 . 2 + -1 . 1 = 9 + 4 – 1 = 12 d
32
= b
31
. a
12
+ b
32
. a
22
+ b
33
. a
32
= 3 . 1 + 2 . 5 + -1 . 4 = 3 + 10 – 4 = 9 d
33
= b
31
. a
13
+ b
32
. a
23
+ b
33
. a
33
= 3 . 0 + 2 . 6 + -1 . 3 = 0 + 12 – 3 = 9 Berdasarkan perhitungan tersebut maka matriks B . A = D adalah :
B .
A =
D
. =
Dari hasil A . B = C dan B . A = D ternyata elemen c
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− −
1 2
3 1
2 1
1 2
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
3 4
1 6
5 2
1 3
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− −
9 9
12 15
15 8
6 3
4
ij
tidak sama dengan elemen d
ij
. Dengan demikian tidak selalu A . B = B . A.
6. Matriks y ang Dikuadratkan