Pe rkalian Matriks de ng an Skalar Pe rkalian Matriks O rdo Tig a

4. Pe rkalian Dua Matriks

Perkalian matriks A berdimensi m x n dengan matriks B berdimensi n x p adalah matriks C berdimensi m x p yang elemennya merupakan perkalian dari elemen b a ris pada matriks A dengan elemen ko lo m pada matriks B. Misal matriks C = matriks A x matriks B, maka elemen matriks C : A = kali B = sama dengan C = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 5 3 2 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 7 9 4 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 22 21 12 11 C C C C C 11 = 2 . 1 + 3 . 9 = 2 + 27 = 29 baris 1 x kolom 1 C 12 = 2 . 4 + 3 . 7 = 8 + 21 = 29 baris 1 x kolom 2 C 21 = 5 . 1 + 0 . 9 = 5 + 0 = 5 baris 2 x kolom 1 C 22 = 5 . 4 + 0 . 7 = 20 + 0 = 20 baris 2 x kolom 2 Sehingga matriks C adalah : C = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 27 53 3 22

4. Pe rkalian Matriks de ng an Skalar

Perkalian matriks A berdimensi m x n dengan skalar suatu bilangan adalah matriks D berdimensi m x n yang setiap elemennya merupakan perkalian setiap elemen matriks A dengan skalar itu. Jika A = maka 3 A = 3 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 5 3 2 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 5 3 2 sehingga matriks D adalah : D = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 15 9 6 Matriks Halaman 7

5. Pe rkalian Matriks O rdo Tig a

Perkalian dua matriks A . B dan B . A berdimensi 3 x 3 bawah ini menunjukkan bahwa tidak setiap perkalian dua matriks berlaku komulatif. Misalkan matriks A dan B sebagai berikut : A = B = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 4 1 6 5 2 1 3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 2 3 1 2 1 1 2 Misalkan matriks C = A . B maka elemen-elemen matriks C adalah : C 11 = a 11 . b 11 + a 12 . b 21 + a 13 . b 31 = 3 . 2 + 1 . 1 + 0 . 3 = 6+1+0 = 7 C 12 = a 11 . b 12 + a 12 . b 22 + a 13 . b 32 = 3 . -1 + 1 . 2 + 0 . 2 = 3+2+0 =-1 C 13 = a 11 . b 13 + a 12 . b 23 + a 13 . b 33 = 3 . 0 + 1 . 1 + 0 . -1 = 0+1+1 = 1 C 21 = a 21 . b 11 + a 22 . b 21 + a 23 . b 31 = 2 . 2 + 5 . 1 + 6 . 3 = 4 + 5 + 18 = 27 C 22 = a 21 . b 12 + a 22 . b 22 + a 23 . b 32 = 2 . -1 + 5 . 2 + 6 . 2 = 2 + 10 + 12 = 20 C 23 = a 21 . b 13 + a 22 . b 23 + a 23 . b 33 = 2 . 0 + 5 . 1 + 6 . -1 = 0 + 5 – 6 = -1 C 31 = a 31 . b 11 + a 32 . b 21 + a 33 . b 31 = 1 . 2 + 4 . 1 + 3 . 3 = 2 + 4 + 9 = 15 C 32 = a 31 . b 12 + a 32 . b 22 + a 33 . b 32 = 1 . -1 + 4 . 2 + 3 . 2 = -1 + 8 + 6 = 13 C 33 = a 31 . b 13 + a 32 . b 23 + a 33 . b 33 = 1 . 0 + 4 . 1 + 3 . -1 = 0 + 4 + 3 = 7 Berdasarkan perhitungantersebut matriks A . B = C adalah : A . B = C . = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 4 1 6 5 2 1 3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 1 2 3 1 2 1 1 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 7 13 15 1 20 27 1 1 6 Misalkan B . A = D maka elemen-elemen matriks D adalah : d 11 = b 11 . a 11 + b 12 . a 21 + b 13 . a 31 = 2 . 3 + -1 . 2 + 0 . 1 = 6 – 2 + 0 = 4 d 12 = b 11 . a 12 + b 12 . a 22 + b 13 . a 32 = 2 . 1 + -1 . 5 + 0 . 6 = 2 – 5 + 0 = -3 Matriks Halaman 8 d 13 = b 11 . a 13 + b 12 . a 23 + b 13 . a 33 = 2 . 0 + -1 . 6 + 0 . 3 = 0 – 6 + 0 = -6 d 21 = b 21 . a 11 + b 22 . a 21 + b 23 . a 31 = 1 . 3 + 2 . 2 + 1 . 1 = 3 + 4 + 1 = 8 d 22 = b 21 . a 12 + b 22 . a 22 + b 23 . a 32 = 1 . 1 + 2 . 5 + 1 . 4 = 1 + 10 + 4 = 15 d 23 = b 21 . a 13 + b 22 . a 23 + b 23 . a 33 = 1 . 0 + 2 . 6 + 1 . 3 = 0 + 12 + 3 = 15 d 31 = b 31 . a 11 + b 32 . a 21 + b 33 . a 31 = 3 . 3 + 2 . 2 + -1 . 1 = 9 + 4 – 1 = 12 d 32 = b 31 . a 12 + b 32 . a 22 + b 33 . a 32 = 3 . 1 + 2 . 5 + -1 . 4 = 3 + 10 – 4 = 9 d 33 = b 31 . a 13 + b 32 . a 23 + b 33 . a 33 = 3 . 0 + 2 . 6 + -1 . 3 = 0 + 12 – 3 = 9 Berdasarkan perhitungan tersebut maka matriks B . A = D adalah : B . A = D . = Dari hasil A . B = C dan B . A = D ternyata elemen c ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 1 2 3 1 2 1 1 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 4 1 6 5 2 1 3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 9 9 12 15 15 8 6 3 4 ij tidak sama dengan elemen d ij . Dengan demikian tidak selalu A . B = B . A.

6. Matriks y ang Dikuadratkan