Studi Tentang Spectrum Dari Operator Linier Terbatas Pada Ruang Banach

STUDI TENTANG SPECTRUM DARI OPERATOR LINIER
TERBATAS PADA RUANG BANACH

SKRIPSI

AZHAR NOER PANE
020803030

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2007

STUDI TENTANG SPECTRUM DARI OPERATOR LINIER
TERBATAS PADA RUANG BANACH

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains

AZHAR NOER PANE
020803030

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2007

i
PERSETUJUAN

Judul

: STUDI TENTANG SPECTRUM DARI OPERATOR LINIER TERBATAS PADA RUANG BANACH

Kategori

: SKRIPSI

Nama

: AZHAR NOER PANE

Nomor Induk Mahasiswa

: 020803030

Program Studi

: SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen

: MATEMATIKA

Fakultas

: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA

Medan, Oktober 2007

Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2

Pembimbing 1

Dra. Mardiningsih, M.Si

Drs. Pangeran Sianipar, MS.

NIP.131803344

NIP. 130422437

Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua,

Dr. Saib Suwilo, MSc
NIP. 131796149

ii
PERNYATAAN

STUDI TENTANG SPECTRUM DARI OPERATOR LINIER TERBATAS
PADA RUANG BANACH

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

Oktober 2007

AZHAR NOER PANE
020803030

iii
PENGHARGAAN

Segala puji bagi Allah SWT, Rabb semesta alam yang memberikan segala
nikmat dan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul
” Studi Tentang Spectrum dari Operator Linier Terbatas Pada Ruang
Banach ” ini dengan baik.
Skripsi ini merupakan salah satu mata kuliah wajib yang harus diselesaikan
oleh seluruh mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Pada skripsi ini saya melakukan
Studi Tentang Spectrum dari Operator Linier Terbatas Pada Ruang Banach.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr.
Eddy Marlianto, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam, Universitas Sumatera Utara. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, dan Bapak Drs.
Henry Rani S, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU Medan. Bapak Drs. Pangeran Sianipar, MS, selaku dosen pembimbing
I dan Dra. Mardiningsih, M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah memberi
dukungan moral, motivasi dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan

penelitian ini. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Ayahanda dan
Ibunda tercinta yang selalu memberikan dukungan moril dan materiel serta doa
yang tiada hentinya kepada penulis serta kepada Abangda Nuhri Pane, Kakanda
Yulpida, dan Kakanda Endang Sutiah tercinta yang telah memberikan dorongan
semangat kepada penulis.
Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada sahabat - sahabat tercinta di Ikwah Gaul Matematika (IGM) yang selalu bersama dalam suka duka selama
perkuliahan, teman - teman reuni tahunan, serta stambuk ’02 yang memberikan
perhatian dan dukungannya dalam penyelesaian skripsi ini. Tak lupa, penulis juga
mengucapkan terima kasih kepada rekan - rekan seperjuangan di UKMI Al-Falak
FMIPA USU, keluarga besar IM 3 , yang memberikan motivasi untuk melangkah
dalam hidup. Juga buat senior penulis stambuk ’99, stambuk ’00, stambuk ’01 serta buat seluruh adik -adik mahahasiswa stambuk ’03, stambuk ’04, dan stambuk
’05 atas perhatian dan dukungannya . Semoga Allah SWT memberikan balasan
atas kebaikan - kebaikan yang telah diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu
penulis meminta saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga
tulisan ini berguna bagi yang membutuhkan.

iv
ABSTRAK

Suatu Ruang linier bernorm kompleks E adalah ruang linier yang memenuhi aksioma
- aksioma norm di dalamnya. operator linier terbatas T pada E adalah suatu
transformasi linier T yang memetakan ruang linier X ke dirinya sendiri. Dan T
disebut regular jika memiliki invers dan sebuah bilangan kompleks λ disebut titik
regular dari T jika dan hanya jika operator λI − T adalah regular, sehingga himpunan semua titik regular dari T disebut himpunan resolvent dari T . Spectrum
dari T atau sp(T ) adalah komplemen daerah kompleks C dari himpunan resolvent
T . Penelitian ini memberikan kondisi dari sp(T ) dengan λ ∈ sp(T ) yang berada di ruang Banach (dimana ruang Banach adalah ruang linier bernorm lengkap)
dengan terlebih dahulu memperlihatkan kondisi dari sp(T ) dengan λ ∈ sp(T ) di
E.

v
STUDY ABOUT SPECTRUM OF BOUNDED LINEAR
OPERATOR IN BANACH SPACE

ABSTRACT

A complex normed linear space E is linear space which satisfies of norm axioms.
Bounded linear operator T on E is a linear transfomation of a linear space E into
itself. And T is called regular if have a invers, and a complex number λ is said to

be a regular point of T if only if the operator λI − T is regular, so the set of all
regular points of T is called the resolvent set of T . Spectrum of T or sp(T ) is the
complement in complex plane C of the resolvent set of T . This paper determine the
condition of sp(T ) with λ ∈ sp(T ) whenever in Banach space (which Banach space
is complete normed linear space) with first of determine the condition of sp(T )
with λ ∈ sp(T ) whenever in E.

vi
DAFTAR ISI

Halaman
PERSETUJUAN

i

PERNYATAAN

ii

PENGHARGAAN

iii

ABSTRAK

iv

ABSTRACT

v

DAFTAR ISI

vi

BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.

1.4.
1.5.
1.6.

Latar Belakang
Identifikasi Masalah
Tinjauan Pustaka
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
Metodologi Penelitian

2. LANDASAN TEORI
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.

Ruang Metrik

Ruang Linier Bernorm
Ruang Banach
Ruang Metrik Compact
Operator Linier Terbatas
Spectrum dari Operator Linier Terbatas

3. KONDISI SPECTRUM
3.1. Spectrum dari operator linier terbatas pada ruang linier
Bernorm
3.2. Spectrum dari operator linier terbatas pada ruang Banach
4. KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan
4.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA

1
1
2
2
3
4
4
5
5
20
24
27
37
48
51
51
53
55
55
55
56

iv
ABSTRAK

Suatu Ruang linier bernorm kompleks E adalah ruang linier yang memenuhi aksioma
- aksioma norm di dalamnya. operator linier terbatas T pada E adalah suatu
transformasi linier T yang memetakan ruang linier X ke dirinya sendiri. Dan T
disebut regular jika memiliki invers dan sebuah bilangan kompleks λ disebut titik
regular dari T jika dan hanya jika operator λI − T adalah regular, sehingga himpunan semua titik regular dari T disebut himpunan resolvent dari T . Spectrum
dari T atau sp(T ) adalah komplemen daerah kompleks C dari himpunan resolvent
T . Penelitian ini memberikan kondisi dari sp(T ) dengan λ ∈ sp(T ) yang berada di ruang Banach (dimana ruang Banach adalah ruang linier bernorm lengkap)
dengan terlebih dahulu memperlihatkan kondisi dari sp(T ) dengan λ ∈ sp(T ) di
E.

v
STUDY ABOUT SPECTRUM OF BOUNDED LINEAR
OPERATOR IN BANACH SPACE

ABSTRACT

A complex normed linear space E is linear space which satisfies of norm axioms.
Bounded linear operator T on E is a linear transfomation of a linear space E into
itself. And T is called regular if have a invers, and a complex number λ is said to
be a regular point of T if only if the operator λI − T is regular, so the set of all
regular points of T is called the resolvent set of T . Spectrum of T or sp(T ) is the
complement in complex plane C of the resolvent set of T . This paper determine the
condition of sp(T ) with λ ∈ sp(T ) whenever in Banach space (which Banach space
is complete normed linear space) with first of determine the condition of sp(T )
with λ ∈ sp(T ) whenever in E.

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Teori Spectral adalah satu cabang utama dari analisa fungsi dan aplikasinya. Teori
ini juga berbicara tentang invers dari suatu operator, sifat umumnya, dan hubungannya dengan operator aslinya. Sehingga invers dari suatu operator timbul
dalam hubungannya dengan masalah persamaan penyelesaian ( sistem persamaan
linier aljabar, persamaan diffrensial, persamaan integral ).
Suatu operator T didefinisikan sebagai pemetaan linier dari sebuah ruang
linier (E, K) ke ruang linier (E, K) atau ruang itu sendiri jika dan hanya jika
T (αx + βy) = αT x + βT y, untuk semua x, y ∈ E dan semua α, β ∈ K. Kemudian
operator linier T yang memetakan suatu ruang linier bernorm E ke dirinya sendiri
atau dinotasikan L(E), dikatakan terbatas jika dan hanya jika {kT xk : kxk ≤ 1}
adalah suatu himpunan terbatas bilangan rill. Dan T adalah terbatas jika dan
hanya jika ada bilangan rill M sehingga kT xk ≤ M dimana kxk ≤ 1.
Operator linier terbatas di L(E) dapat dikatakan sebagai ruang linier, namun pemetaan T → kT k adalah sebuah norm di L(E). Di mana ketika E merupakan ruang linier bernorm maka L(E) himpunan semua operator linier terbatas
merupakan ruang linier bernorm. Suatu ruang bernorm dapat dikatakan suatu
ruang linier/ vektor dengan didefinisikan norm di dalamnya. Suatu Ruang Banach adalah suatu ruang bernorm lengkap ( lengkap dalam pendefinisian metrik
oleh norm, atau ruang metrik X dikatakan lengkap jika setiap barisan cauchy di
X konvergen di X/ memiliki limit di setiap elemen X).
Di dalam teori spectral, sebuah operator T ∈ L(E) dikatakan regular jika
dan hanya jika ada S ∈ L(E) sehingga T S = ST = I maka operator S dikatakan

2
invers dari T . Dan sebuah bilangan kompleks λ dikatakan titik regular dari T jika
dan hanya jika operator λI − T adalah regular. Himpunan semua titik regular
dari T disebut himpunan resolvent dari T . Pemetaan λ → (λI − T )−1 himpunan
resolvent T ke L(E) disebut resolvent T . Komplemen dalam daerah kompleks C
himpunan resolvent T disebut spectrum dari T dan dinotasikan sp(T ). Bilangan
kompleks λ berada di sp(T ) jika dan hanya jika operator λI − T adalah tidak
regular.
Penelitian tentang spectrum dari operator linier terbatas mencoba menunjukkan beberapa sifat umum dari spectrum yang bergantung pada pendefinisian
jenis ruang dari operator linier terbatasnya. Oleh karena itu, peneliti tertarik
untuk melakukan penelitian literatur terhadap kondisi spectrum dari operator linier terbatas pada ruang linier bernorm kompleks dan pada ruang banach. Sehingga secara umum peneliti menjadikan ini sebagai Tugas Akhir II dengan judul
”STUDI TENTANG SPECTRUM DARI OPERATOR LINIER TERBATAS PADA RUANG BANACH”.

1.2 Identifikasi Masalah
Spectrum dari sebuah operator linier terbatas T pada ruang linier bernorm kompleks E yang dinotasikan sp(T ) diperoleh ketika operator λI −T tidak memiliki invers, untuk setiap λ ∈ sp(T ). Berdasarkan hal tersebut dalam penelitian diangkat
sebuah permasalahan yaitu Bagaimanakah kondisi sp(T ) dengan λ ∈ sp(T ) ketika
E merupakan ruang Banach?

1.3 Tinjauan Pustaka
Mukherjea dan Pothoven [6] menyatakan, Andaikan X dan Y ruang vektor atas
daerah skalar yang sama. Maka Pemetaan T dari X ke Y disebut sebuah operator
linier jika untuk semua x1, x2 ∈ X dan skalar α, β.
T (αx1 + βx2) = αT (x1) + βT (x2)

3
Sebuah operator linier T dari sebuah ruang linier bernorm X ke sebuah ruang
linier Y dikatakan terbatas jika ada sebuah konstanta positif M sehingga
kT (x)k ≤ Mkxk, untuk semua x ∈ X.
Chatelin [2] Menyatakan bahwa, andaikan A himpunan bagian dari ruang
Banach X, A adalah compact jika setiap cover terbuka A memiliki subcover terbatas; A adalah secara relatif compact jika penutup A adalah compact.
Jika T ∈ L(E), maka untuk setiap z ∈ C, T − z ∈ L(E), dimana z menjadi
zI. Maka didefinisikan :
Himpunan resolvent ρ(T ) := {z ∈ C : (T − z)−1 ∈ L(E)};
operator resolvent R(T, z) := (T − z)−1 untuk z ∈ ρ(T ); R(T, z) memiliki
domain X dan range domain T untuk z ∈ ρ(T );
spectrum T :σ(T ) adalah himpunan komplemen pada C dari ρ(T ).
Kreyszig [5] Menyatakan, untuk setiap oprator T ∈ B(X, X), dimana X
adalah sebuah ruang Banach. Jika kT k ≤ 1, maka ada sebuah operator linier
P
terbatas (I − T )−1 pada ruang X dan (I − T )−1 = nj=1 kT kj = I + T + T 2 + · · ·
P
(dimana urutan nj=1 kT kj adalah konvergen di norm pada B(X, X))
Brown dan Page [1] Menyatakan bahwa, definisi sp(T ) dapat juga dirumuskan

untuk sebuah operator linier terbatas T pada sebuah ruang linier bernorm. Dan
bagian teori operator linier terbatas yang berfokus pada konsep spectrum disebut
teori spectral.

1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dalam penelitian ini adalah menunjukkan nilai λ dan sifat dari spectrum
yaitu himpunan semua nilai λ yang dinotasikan sp(T ) atau λ ∈ sp(T ) ketika
operator linier terbatas T berada pada ruang Banach.

4
1.5 Manfaat Penelitian
Selain memperkaya literatur dalam analisa fungsi, melalui hasil penelitian ini dapat
diketahui nilai dari λ dimana λ ∈ sp(T ) dan sifat - sifat dari himpunan sp(T ) jika
operator linier yang terbatas T dalam ruang linier bernorm kompleks dan dalam
ruang Banach.

1.6 Metodologi Penelitian
Metodologi penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan dengan langkahlangkah sebagai berikut :

1. Memaparkan beberapa definisi, lemma, akibat serta teorama yang mendukung dalam memperoleh hasil utama penelian ini.
2. Memberikan pembuktian formal bagi nilai λ dan sifat yang dimiliki oleh himpunan semua nilai λ atau spectrum. Pembuktian formal dilakukan dengan
tahapan sebagai berikut :
a. Pada pembuktian Teorema 3.1 dibuktikan untuk mencari nilai λ ketika
didefinisikan suatu operator linier terbatas pada ruang linier bernorm.
b. Pada pembuktian Teorema 3.2 diperoleh dengan mempergunakan hasil
dari Teorema 3.1 pada penelitian ini, untuk menentukan nilai λ dan
sifat dari spectrum dari operator linier terbatas pada ruang Banach.

v
STUDY ABOUT SPECTRUM OF BOUNDED LINEAR
OPERATOR IN BANACH SPACE

ABSTRACT

A complex normed linear space E is linear space which satisfies of norm axioms.
Bounded linear operator T on E is a linear transfomation of a linear space E into
itself. And T is called regular if have a invers, and a complex number λ is said to
be a regular point of T if only if the operator λI − T is regular, so the set of all
regular points of T is called the resolvent set of T . Spectrum of T or sp(T ) is the
complement in complex plane C of the resolvent set of T . This paper determine the
condition of sp(T ) with λ ∈ sp(T ) whenever in Banach space (which Banach space
is complete normed linear space) with first of determine the condition of sp(T )
with λ ∈ sp(T ) whenever in E.

vi
DAFTAR ISI

Halaman
PERSETUJUAN

i

PERNYATAAN

ii

PENGHARGAAN

iii

ABSTRAK

iv

ABSTRACT

v

DAFTAR ISI

vi

BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.

Latar Belakang
Identifikasi Masalah
Tinjauan Pustaka
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
Metodologi Penelitian

2. LANDASAN TEORI
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.

Ruang Metrik
Ruang Linier Bernorm
Ruang Banach
Ruang Metrik Compact
Operator Linier Terbatas
Spectrum dari Operator Linier Terbatas

3. KONDISI SPECTRUM
3.1. Spectrum dari operator linier terbatas pada ruang linier
Bernorm
3.2. Spectrum dari operator linier terbatas pada ruang Banach
4. KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan
4.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA

1
1
2
2
3
4
4
5
5
20
24
27
37
48
51
51
53
55
55
55
56

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Teori Spectral adalah satu cabang utama dari analisa fungsi dan aplikasinya. Teori
ini juga berbicara tentang invers dari suatu operator, sifat umumnya, dan hubungannya dengan operator aslinya. Sehingga invers dari suatu operator timbul
dalam hubungannya dengan masalah persamaan penyelesaian ( sistem persamaan
linier aljabar, persamaan diffrensial, persamaan integral ).
Suatu operator T didefinisikan sebagai pemetaan linier dari sebuah ruang
linier (E, K) ke ruang linier (E, K) atau ruang itu sendiri jika dan hanya jika
T (αx + βy) = αT x + βT y, untuk semua x, y ∈ E dan semua α, β ∈ K. Kemudian
operator linier T yang memetakan suatu ruang linier bernorm E ke dirinya sendiri
atau dinotasikan L(E), dikatakan terbatas jika dan hanya jika {kT xk : kxk ≤ 1}
adalah suatu himpunan terbatas bilangan rill. Dan T adalah terbatas jika dan
hanya jika ada bilangan rill M sehingga kT xk ≤ M dimana kxk ≤ 1.
Operator linier terbatas di L(E) dapat dikatakan sebagai ruang linier, namun pemetaan T → kT k adalah sebuah norm di L(E). Di mana ketika E merupakan ruang linier bernorm maka L(E) himpunan semua operator linier terbatas
merupakan ruang linier bernorm. Suatu ruang bernorm dapat dikatakan suatu
ruang linier/ vektor dengan didefinisikan norm di dalamnya. Suatu Ruang Banach adalah suatu ruang bernorm lengkap ( lengkap dalam pendefinisian metrik
oleh norm, atau ruang metrik X dikatakan lengkap jika setiap barisan cauchy di
X konvergen di X/ memiliki limit di setiap elemen X).
Di dalam teori spectral, sebuah operator T ∈ L(E) dikatakan regular jika
dan hanya jika ada S ∈ L(E) sehingga T S = ST = I maka operator S dikatakan

2
invers dari T . Dan sebuah bilangan kompleks λ dikatakan titik regular dari T jika
dan hanya jika operator λI − T adalah regular. Himpunan semua titik regular
dari T disebut himpunan resolvent dari T . Pemetaan λ → (λI − T )−1 himpunan
resolvent T ke L(E) disebut resolvent T . Komplemen dalam daerah kompleks C
himpunan resolvent T disebut spectrum dari T dan dinotasikan sp(T ). Bilangan
kompleks λ berada di sp(T ) jika dan hanya jika operator λI − T adalah tidak
regular.
Penelitian tentang spectrum dari operator linier terbatas mencoba menunjukkan beberapa sifat umum dari spectrum yang bergantung pada pendefinisian
jenis ruang dari operator linier terbatasnya. Oleh karena itu, peneliti tertarik
untuk melakukan penelitian literatur terhadap kondisi spectrum dari operator linier terbatas pada ruang linier bernorm kompleks dan pada ruang banach. Sehingga secara umum peneliti menjadikan ini sebagai Tugas Akhir II dengan judul
”STUDI TENTANG SPECTRUM DARI OPERATOR LINIER TERBATAS PADA RUANG BANACH”.

1.2 Identifikasi Masalah
Spectrum dari sebuah operator linier terbatas T pada ruang linier bernorm kompleks E yang dinotasikan sp(T ) diperoleh ketika operator λI −T tidak memiliki invers, untuk setiap λ ∈ sp(T ). Berdasarkan hal tersebut dalam penelitian diangkat
sebuah permasalahan yaitu Bagaimanakah kondisi sp(T ) dengan λ ∈ sp(T ) ketika
E merupakan ruang Banach?

1.3 Tinjauan Pustaka
Mukherjea dan Pothoven [6] menyatakan, Andaikan X dan Y ruang vektor atas
daerah skalar yang sama. Maka Pemetaan T dari X ke Y disebut sebuah operator
linier jika untuk semua x1, x2 ∈ X dan skalar α, β.
T (αx1 + βx2) = αT (x1) + βT (x2)

3
Sebuah operator linier T dari sebuah ruang linier bernorm X ke sebuah ruang
linier Y dikatakan terbatas jika ada sebuah konstanta positif M sehingga
kT (x)k ≤ Mkxk, untuk semua x ∈ X.
Chatelin [2] Menyatakan bahwa, andaikan A himpunan bagian dari ruang
Banach X, A adalah compact jika setiap cover terbuka A memiliki subcover terbatas; A adalah secara relatif compact jika penutup A adalah compact.
Jika T ∈ L(E), maka untuk setiap z ∈ C, T − z ∈ L(E), dimana z menjadi
zI. Maka didefinisikan :
Himpunan resolvent ρ(T ) := {z ∈ C : (T − z)−1 ∈ L(E)};
operator resolvent R(T, z) := (T − z)−1 untuk z ∈ ρ(T ); R(T, z) memiliki
domain X dan range domain T untuk z ∈ ρ(T );
spectrum T :σ(T ) adalah himpunan komplemen pada C dari ρ(T ).
Kreyszig [5] Menyatakan, untuk setiap oprator T ∈ B(X, X), dimana X
adalah sebuah ruang Banach. Jika kT k ≤ 1, maka ada sebuah operator linier
P
terbatas (I − T )−1 pada ruang X dan (I − T )−1 = nj=1 kT kj = I + T + T 2 + · · ·
P
(dimana urutan nj=1 kT kj adalah konvergen di norm pada B(X, X))
Brown dan Page [1] Menyatakan bahwa, definisi sp(T ) dapat juga dirumuskan

untuk sebuah operator linier terbatas T pada sebuah ruang linier bernorm. Dan
bagian teori operator linier terbatas yang berfokus pada konsep spectrum disebut
teori spectral.

1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dalam penelitian ini adalah menunjukkan nilai λ dan sifat dari spectrum
yaitu himpunan semua nilai λ yang dinotasikan sp(T ) atau λ ∈ sp(T ) ketika
operator linier terbatas T berada pada ruang Banach.

4
1.5 Manfaat Penelitian
Selain memperkaya literatur dalam analisa fungsi, melalui hasil penelitian ini dapat
diketahui nilai dari λ dimana λ ∈ sp(T ) dan sifat - sifat dari himpunan sp(T ) jika
operator linier yang terbatas T dalam ruang linier bernorm kompleks dan dalam
ruang Banach.

1.6 Metodologi Penelitian
Metodologi penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan dengan langkahlangkah sebagai berikut :

1. Memaparkan beberapa definisi, lemma, akibat serta teorama yang mendukung dalam memperoleh hasil utama penelian ini.
2. Memberikan pembuktian formal bagi nilai λ dan sifat yang dimiliki oleh himpunan semua nilai λ atau spectrum. Pembuktian formal dilakukan dengan
tahapan sebagai berikut :
a. Pada pembuktian Teorema 3.1 dibuktikan untuk mencari nilai λ ketika
didefinisikan suatu operator linier terbatas pada ruang linier bernorm.
b. Pada pembuktian Teorema 3.2 diperoleh dengan mempergunakan hasil
dari Teorema 3.1 pada penelitian ini, untuk menentukan nilai λ dan
sifat dari spectrum dari operator linier terbatas pada ruang Banach.

BAB 2
LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini dan akan mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab
berikutnya. Adapun teori-teori tersebut mencakup pejelasan ruang metrik, ruang
linier bernorm, ruang Banach, ruang metrik compact, operator linier terbatas, dan
spectrum dari operator linier terbatas.

2.1 Ruang Metrik
Ruang metrik adalah himpunan - himpunan yang didefinisikan sebagai ’jarak antara pasangan titik - titik’, yang menyediakan tatacara umum dalam mempelajari
kekonvergenan dan kekontinuan.

Definisi 2.1 Andaikan X himpunan tak kosong. Suatu Metrik di X adalah sebuah pemetaan d dari X × X ke R, yang yang memenuhi kondisi berikut:
a. d(x, y) ≥ 0 untuk semua x, y ∈ X,
b. d(x, y) = 0 jika dan hanya jika x = y,
c. d(x, y) = d(y, x) untuk semua x, y ∈ X,
d. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) untuk semua x, y, z ∈ X.
Ruang Metrik adalah sebuah pasangan (X, d) yang mana X adalah himpunan tak kosong dan d adalah sebuah metrik di X.

6
Sebuah metrik juga disebut fungsi jarak. Kondisi (c) menjelaskan fakta bahwa d adalah simetri di x dan y; ketidaksamaan (d) selalu disebut dengan ketidaksamaan segitiga.
Contoh 1 : Fungsi d didefinisikan dengan d(x, y) = |x − y| untuk semua x, y ∈ R
adalah sebuah ruang metrik pada himpunan bilangan riil R.
Untuk melihat bahwa kondisi (d) memenuhi, andaikan x, y, z ∈ R. Maka
d(x, z) = |x − z|
= |(x − y) + (y − z)|
≤ |x − y| + |y − z|
= d(x, y) + d(y, z)
Bilangan d(x, y) adalah, jelas, merupakan ’jarak’ antara titik x dan y pada garis
riil.
Contoh 2 :Andaikan
d(x, y) =

n
X
r=1

(xr − yr )

!1/2

untuk semua x = (x1, x2, · · · , xn ) dan y = (y1, y2 , · · · , yn ) di Rn . Maka d adalah
sebuah metrik di Rn dan disebut metrik Euclidean. Ruang metrik (Rn , d) disebut
ruang Euclidean dimensi-n. Sehingga dapat dijelaskan metrik di R2 yaitu:
d(x, y) = ((x1 − y1) + (x2 − y2))1/2
adalah jarak antara titik x = (x1 , x2) dan y = (y1, y2) dalam bidang. Ketika
bilangan kompleks dapat dipresentasikan sebagai titik di diagram Argand (atau
daerah kompleks), ada hubungan 1 − 1 antara C dan R2 dalam hal jarak.
Definisi 2.2 Andaikan E himpunan tak kosong. Pemetaan f dari E ke K dikatakan
terbatas jika dan hanya jika {|f(t)| : t ∈ E} adalah sebuah himpunan bilangan
rill terbatas. Kemudian f adalah terbatas jika dan hanya jika ada bilangan riil M
sehingga |f(t)| ≤ M untuk semua t ∈ E.

7
Selanjutnya ditulis BK (E) = {f : f : E → K terbatas }
Contoh 3 :Andaikan E adalah himpunan tak kosong dan andaiakan BK (E) merupakan himpunan semua pemetaan terbatas dari E ke K. Jika f, g ∈ BK (E) maka
|f(t) + g(t)| ≤ |f(t)| + |g(t)|
dan himpunan {|f(t) − g(t)|, t ∈ E} adaalah sebuah himpunan bilangan riil non
negatif terbatas. Andaikan

d(f, g) = sup{|f(t) − g(t)| : t ∈ E}
untuk semua f, g ∈ BK (E). Maka d adalah sebuah metrik di BK (E). Selanjutnya
akan diperlihatkan ketidaksamaan segitiga untuk d. Diberikan f, g, h ∈ Bk (E) dan
t ∈ E,
|f(t) − h(t)| = |f(t) − g(t) + g(t) − h(t)|
≤ |f(t) − g(t)| + |g(t) − h(t)|
≤ d(f, g) + d(g, h),
dan mengakibatkan

d(f, h) = sup{|f(t) − h(t)|, t ∈ E} ≤ d(f, g) + d(g, h).
Metrik d disebut metrik seragam di BK (E), seperti contoh (3) di atas.

8
2.1.1 Himpunan Terbuka dan Tertutup.
Terminologi dan konsep dalam subbab ini merupakan inspirasi dari geometri Euclidean berdimensi dua dan tiga. Dan seluruhnya dalam subbab ini X adalah
ruang metrik dengan metrik d.
Definisi 2.3 Andaikan x titik di X dan r sebuah bilangan riil non negatif. Himpunan
B(x, y) = {y ∈ X : d(x, y) < r}
disebut bola terbuka dengan pusat x dan jari-jari r, dan himpunan
B ′(x, y) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}
disebut bola tertutup dengan pusat x dan jari-jari r. Himpunan
S(x, y) = {y ∈ X : d(x, y) = r}
disebut bola dengan pusat x dan jari-jari r.
Dari kondisi (b) Definisi 2.3, jika r > 0, maka x ∈ B(x, r). dari kondisi (a)
dan (b) Definisi 2.3 diperoleh B(x, 0) = ∅ dan B ′ (x, 0) = {x}. Dengan jelas untuk
semua r ≥ 0,
B ′(x, r) = B(x, r) ∪ S(x, r),
dan untuk 0 ≤ r1 < r2,
B ′(x, r1) ⊆ B(x, r2) ⊆ B ′(x, r2).
Di R3 dengan metrik Euclidean, syarat - syarat bola terbuka dan bola tertutup
dan bola memiliki arti yang biasa. Di R2 dengan metrik Euclidean, B(x, r) adalah
disc terbuka dengan pusat x dan jari - jari r, dan S(x, r) adalah lingkaran dengan
x dan jari - jari r.
Definisi 2.4 Sebuah himpunan bagian A dari X dikatakan terbuka di ruang metrik
X jika dan hanya jika, untuk setiap x ∈ A, ada sebuah bilangan riil positif r, yang
mana bergantung pada x, sehingga B(x, y) ⊆ A.

9
Teorema 2.5 (a) Himpunan X dan himpunan kosong ∅ adalah terbuka.
(b) Gabungan sebuah koleksi sebarang dari himpunan - himpunan terbuka adalah
terbuka.
(c) Irisan sebuah koleksi berhingga dari himpunan - himpunan terbuka adalah terbuka.

Bukti. Jelas X adalah terbuka. Sejak ∅ tidak memiliki titik - titik, Definisi 2.4
kurang dipenuhi sehingga ∅ adalah terbuka. (Secara eksplisit, sebuah himpunan
bagian A dari X tidak terbuka jika dan hanya jika ada sebuah titik x ∈ A sehingga
bola terbuka B(x, r) tidak termasuk dalam A untuk beberapa r > 0. Himpunan ∅
tidak memiliki titik - titik sehingga kondisi ini tidak dipenuhi.) Ini membuktikan
(a).
Andaikan A sebuah koleksi dari himpunan - himpunan bagian X dan andaikan
S
x ∈ A∈A A. Maka x ∈ A0 untuk beberapa A0 ∈ A, dan oleh karena itu ada r > 0
S
S
sehingga B(x, r) ⊆ A0. Akan tetapi A0 ⊆ A∈A A, sehingga B(x, r) ⊆ A∈A A,
S
yang mana menunjukkan A∈A A adalah terbuka.
Untuk yang terakhir, andaikan A1 , A2, · · · , An himpunan - himpunan bagian
T
T
dari X. Jika nk=1 Ak = ∅, (a) menunjukkan nk=1 Ak adalah terbuka. Misalkan
Tn
Tn
k=1 Ak . Untuk k = 1, 2, · · · , n dapat ditemukan
k=1 Ak 6= ∅ dan andaikan x ∈

rk > 0 sehingga B(x, r) ⊆ Ak . Andaikan r = min{r1, r2, · · · , rn }. Maka r > 0
Tn
dan B(x, r) ⊆ B(x, rk ) untuk k = 1, 2, · · · , n, sehingga B(x, r) ⊆ k=1 Ak . Ini
membuktikan (c).

Definisi 2.6 Himpunan bagian A dari X dikatakan tertutup di ruang metrik X
jika dan hanya jika X ∼ A adalah terbuka di X.
Teorema 2.7 (a) Himpunan X dan himpunan kosong ∅ adalah tertutup.
(b) Irisan sebuah koleksi sebarang dari himpunan - himpunan tertutup adalah tertutup.

10
(c) Gabungan sebuah koleksi berhingga dari himpunan - himpunan tertutup adalah
tertutup.

Bukti. Pembuktian ini langsung dari teorema 2.5 dan berikut secara teoritis:
X ∼ ∅ = X, X ∼ X = ∅,
T
S
X ∼ A∈A A = A∈A (X ∼ A),
X∼

dan

Sn

j=1 Aj =

Tn

j=1 (X

∼ Aj )

Definisi 2.8 Sebuah ruang metrik yang mana setiap himpunan bagian terbuka
dan tertutup dikatakan discrete.

Selanjutnya untuk melengkapi pada himpunan terbuka dan himpunan tertutup, diberikan definisi dari penutup, interior, dan frontier.
Definisi 2.9 Penutup pada ruang metrik X dari himpunan bagian A dalam X
adalah irisan dari koleksi semua himpunan bagian tertutup dalam X yang memuat
A. (Himpunan ini adalah tak kosong karena X tertutup dan memuat A.) Penutup
A di X dinotasikan A− . Interior pada ruang metrik X dari himpunan bagian A
dalam X adalah gabungan koleksi dari semua himpunan bagian terbuka dalam X
yang termasuk dalam A. (himpunan ini adalah tak kosong saat ∅ adalah terbuka
dan dimuat dalam A). Interior A dinotasikan oleh Ao .
Sedangkan frontier pada ruang metrik X dari A adalah himpunan A− ∼ Ao.
Frontier dinotasikan dengan F rA.
2.1.2 Barisan.
Pada bab ini diperlihatkan bagaimana barisan sebagai suatu fungsi yang memiliki
himpunan bilangan asli N sebagai domain yang memegang peranan penting dalam
analisis. Dalam bab ini notasi X tetap dipakai sebagai sebuah ruang metrik dengan
metrik d.

11
Definisi 2.10 Sebuah barisan (xn ) di X dikatakan konvergen di ruang metrik X
ke titik x ∈ X jika dan hanya jika, untuk setiap bilangan riil positif ε, ada sebuah
bilangan bulat positif N , yang berhubungan dengan ε, sehingga d(x, xn ) < ε
untuk semua n ≥ N . Sebuah barisan dikatakan konvergen di X jika dan hanya
jika konvergen di X di beberapa titik X. Jika sebuah barisan konvergen di X di
titik x, maka x dikatakan sebuah limit barisan.

Diperkirakan (xn ) konvergen di x jika dan hanya jika ’xn adalah tertutup
dengan sebarang untuk semua bilangan bulat n yang cukup besar’.

Lemma 2.11 Sebuah barisan konvergen memiliki tepat satu limit.

Bukti. Anggap (xn ) konvergen di X dan memiliki dua limit x dan y. Maka
d(x, y) > 0 dan mengakibatkan ada bilangan - bilangan bulat N1 dan N2 sehingga
d(x, xn ) <

1
d(x, y)
2

untuk semua n ≥ N1 dan d(y, xn ) <

1
d(x, y)
2

untuk semua

n ≥ N2 . Andaikan N = max{N1, N2 }, maka
d(x, y) ≤ d(x, xN ) + d(xN , y)
= d(x, xN ) + d(y, xN )
<

1
1
d(x, y) + d(x, y)
2
2

< d(x, y)
yang mana ini kontradiksi jika x dan y adalah dua titik yang berbeda.
Akan digunakan notasi limn→∞ xn = x yang menyatakan bahwa barisan (xn )
konvergen dan memiliki limit x.
Definisi kekonvergenan dalam sebarang ruang metrik dapat dirumuskan dalam
syarat - syarat kekonvergenan sebuah barisan bilangan riil. Kenyataannya, sebuah
barisan (xn ) di X konvergen ke limit x ∈ X jika dan hanya jika barisan bilangan
riil (d(x, xn )) konvergen ke nol: dalam simbol limn→∞ xn = x jika hanya jika
limn→∞ d(x, xn ) = 0.

12
Selain itu, dapat juga dinyatakan bahwa: limn→∞ xn = x jika dan hanya jika,
untuk setiap persekitaran V dari x, titik xn ∈ V untuk semua bilangan berhingga
pada bilangan bulat positif n.

Teorema 2.12 Andaikan (xk ) sebuah barisan di K n dengan xk = (x1k , x2k , · · · , xnk )
untuk k = 1, 2, · · · , dan andaikan d merupakan metrik di K n yang didefinisikan
Pn
1/2
oleh d(x, y) = ( r=1 (xr − yr )2) . Maka barisan (xk ) konvergen di (K n , d) atau

didefinisikan limk→∞ xk = x, x = (x1, x2 , · · · , xn ) jika hanya jika limk→∞ xmk =

xm untuk m = 1, 2, · · · , n.
Bukti. Andaikan ε > 0 dan anggap limk→∞ xk = x. Maka ada bilangan bulat K
sehingga d(x, xk ) < ε untuk semua k ≥ K, dan sebab itu, untuk m = 1, 2, · · · , n
dan k ≥ K,
|xmk − xm | ≤

n
X
j=1

|xjk − xj |2

!1/2

= d(xk , x) < ε.

Ini membuktikan bahwa limk→∞ xmk = xm .
Anggap bahwa limk→∞ xmk = xm untuk m = 1, 2, · · · , n. Maka ada bilangan
- bilangan bulat K1 , K2 , · · · , Kn sehingga, untuk m = 1, 2, · · · , n,
|xmk − xm | < n−1/2ε untuk semua k ≥ K. Andaikan K = max{K1, K2 , · · · , Kn }.
Maka, jika k ≥ K,
d(x, xk ) =
≤ n

n
X

m=1
1/2

|xm − xmk |2

!1/2

max{|xm − xmk | : m = 1, 2, · · · , n}

< ε
Ini menunjukkan limk→∞ xk = x.
Andaikan E sebuah himpunan tak kosong. Sebuah barisan (fn ) dalam ruang
metrik BK (E) (contoh 3) konvergen di ruang ke titik f ∈ BK (E) dikatakan konvergen dengan seragam ke f di E. Anggap bahwa (fn ) konvergen dengan seragam

13
ke f di E dan andaikan ε > 0. Maka ada bilangan bulat N sehingga d(f, fn ) < ε
untuk semua n ≥ N , dan mengakibatkan, melalui definisi metrik di BK (E),
sup {|f(t) − fn (t)| : t ∈ E} < ε

(1)

untuk semua n ≥ N . Selanjutnya diperoleh
|f(t) − fn (t)| < ε

(2)

untuk semua n ≥ N dan semua t ∈ E. Ketidaksamaan (2) menunjukkan barisan
(fn (t)) konvergen di K untuk setiap t ∈ E dan limn→∞ fn (t) = f(t) untuk setiap
t ∈ E.
Selanjutnya dapat juga dilihat bagaimana pamakaian karakteristik penutup
sebuah himpunan dalam syarat - syarat barisan.

Teorema 2.13 Andaikan A sebuah himpunan bagian tak kosong dari X dan anggap
x ∈ X. Maka x ∈ A− jika dan hanya jika ada sebuah barisan (xn ) dalam A sehingga limn→∞ xn = x.

Bukti. Anggap bahwa x ∈ A− . Karena setiap bilangan bulat positif n bola
terbuka B(x, 1/n) memuat paling sedikit satu titik A. Untuk n = 1, 2, · · · dipilih
xn ∈ A ∩ B(x, 1/n). Jelas bahwa
limn→∞ xn = x.

Anggap, sebaliknya, bahwa ada sebuah barisan (xn ) dalam A sehingga
limn→∞ xn = x. Maka, untuk setiap r > 0, ada bilangan bulat N , sehingga
d(x, xn ) < r untuk semua n ≥ Nr . Dalam faktanya xNr ∈ A ∼ B(x, r), sehingga
x ∈ A− .
Berdasarkan teorema diatas maka diperoleh suatu akibat.

14
Akibat 2.14 Sebuah himpunan bagian A dari X adalah tertutup jika dan hanya
jika titik limit setiap barisan konvergen dari A berada di A.
Andaikan (xn ) sebuah barisan di X dengan limn→∞ xn = x dan andaikan
xnk sebuah sub barisan (xn ). Saat (nk ) adalah sebuah barisan menaik bilangan
bulat positif harus dimiliki nk ≥ k untuk k = 1, 2, · · · , dari limk→∞ xnk = x. Jadi
setiap sub barisan dari sebuah barisan konvergen adalah konvergen ke limit barisan
aslinya. Namun sebuah barisan yang tidak konvergen dapat memiliki sebuah sub
barisan yang konvergen. Sebagai contoh, andaikan x2n = n dan x2n+1 = 1/n untuk
n = 1, 2, · · · , maka (xn ) tidak konvergen tetapi sub barisan x2n+1 konvergen ke 0.
2.1.3 Barisan Cauchy.
Salah satu sifat penting dalam sistem bilangan riil adalah prinsip umum kekonvergenan cauchy yang menjaga karakteristik yang hakekat pada barisan yang konvergen di R.
Definisi 2.15 Sebuah barisan (xn ) dikatakan sebuah barisan cauchy jika dan hanya
jika, setiap bilangan riil positif ε, ada sebuah bilangan bulat positif N , yang
berhubungan dengan ε, sehingga d(xm , xn ) < ε untuk semua m, n ≥ N .
Lemma 2.16 Setiap barisan konvergen di X adalah sebuah barisan Cauchy.

Bukti. Andaikan (xn ) sebuah barisan di X dengan limn→∞ xn = x, dan andaikan
ε > 0. Maka ada sebuah bilangan bulat N sehingga d(x, xn ) < 21 ε untuk semua
n ≥ N , dan mengakibatkan, jika n ≥ N dan m ≥ N
d(xm , xn ) ≤ d(d(xm , x) + d(x, xn ) < ε
Jadi (xn ) adalah sebuah barisan Cauchy.
Prinsip umum kekonvergenan menyatakan bahwa sebuah barisan di R konvergen jika dan hanya jika merupakan sebuah bariasan Cauchy dan ini satu sisi

15
merupakan pernyataan benar di beberapa ruang metrik. Berikut diberikan contoh
sebuah ruang metrik dengan sebuah barisan Cauchy tidak konvergen.
Contoh 4 : Andaikan X subruang (0, 1) dari R. Maka
d(s, t) = |s − t|
untuk semua s, t ∈ X. Akan ditunjukkan barisan (1/n) adalah sebuah barisan
Cauchy di X tidak konvergen di X. Pertama andaikan ε > 0 dan andaikan N
bilangan bulat paling kecil > ε−1 . Jika m, n ≥ N maka
d(1/m, 1/n) = |1/m − 1/n| ≤ max{1/m, 1/n} ≤ 1/N < ε.
Ini menunjukkan bahwa (1/n) adalah sebuah barisan Cauchy.
Sekarang andaikan t ∈ X dan andaikan N bilangan bulat paling kecil > 2t−1 .
Maka, jika n ≥ N ,
d(t, 1/n) = |t − 1/n| ≥ t − 1/n ≥ t − 1/N > t − t/2 = t/2.
Ini menunjukkan (1/n) tidak konvergen ke t dan, sebab itu, bahwa (1/n) tidak
konvergen di X.

Definisi 2.17 Sebuah ruang metrik X dikatakan lengkap jika dan hanya jika setiap barisan Cauchy di X konvergen di X.

Menurut lemma 2.16 bahwa sebuah ruang metrik lengkap adalah sebuah sifat
dimana sebuah barisan merupakan konvergen jika dan hanya jika barisan Cauchy.
Contoh sebuah ruang metrik lengkap adalah bilangan riil R.
Teorema 2.18 Ruang euclidean Rn adalah lengkap
Bukti. Andaikan (xk ) sebuah barisan Cauchy di Rn dan andaikan

16
xk = (x1k , x2k , · · · , xnk )
untuk k = 1, 2, · · · , ketidaksamaan
|xmk − xmj | ≤ (

Pn

l=1

|xlk − xlj |2 )1/2 = d(xk , xj )

dapat ditunjukkan bahwa (xmk )k≥1 adalah sebuah barisan Cauchy di R untuk
m = 1, 2, · · · , n. Sehingga (xmk )k≥1 kovergen; andaikan xm = limk→∞ xmk untuk
m = 1, 2, · · · , n, dan andaikan x = (x1 , x2, · · · , xn ). Berdasarkan teorema 2.12
limk→∞ xk = x. Ini membuktikan Rn adalah lengkap.

Teorema 2.19 Ruang metrik (Cn , d) adalah lengkap. Dimana d adalah metrik
P
yang didefinisikan oleh d(x, y) = ( nr=1 |xr − yr |2)1/2.
Bukti. Terlebih dahulu akan dibuktikan C adalah lengkap. Andaikan (zn ) sebuah
barisan Cauchy di C dan andaikan (zn ) = xn + iyn , dimana xn , yn ∈ R. Dimana
|xm − xn | ≤ |zm − zn | dan |ym − yn | ≤ |zm − zn |,
(xn ) dan (yn ) adalah barisan Cauchy di R dan konvergen ke limit x dan y.
Andaikan z = x + iy. Maka

|z − zn | ≤ |x − xn | + |y − yn |
sehingga limn→∞ zn = z. Jadi C adalah lengkap.
Melengkapi (Cn , d) dari C sama ketika melengkapi Rn dari R.

Teorema 2.20 Andaikan E sebuah himpunan tak kosong. Ruang metrik BK (E)
(contoh 3) adalah lengkap.

17
Bukti. Andaikan (fn ) sebuah barisan Cauchy di BK (E) dan ε > 0. Maka ada
bilangan bulat N sehingga d(fm , fn ) < 12 ε untuk semua m ≥ N dan semua n ≥ N .
Dimana d(fm , fn ) = sup{|fm (t) − fn (t)| : t ∈ E} diperoleh
|fm (t) − fn (t)| < 21 ε

(1)

untuk semua m ≥ N, n ≥ N dan t ∈ E. Oleh (1), (fn (t)) adalah barisan Cauchy
di K, dan konvergen di K, untuk setiap t ∈ E.
Didefinisikan sebuah pemetaan f dari E ke K dengan f(t) = limn→∞ fn (t)
untuk semua t ∈ E. Akan dibuktikan bahwa f ∈ BK (E) dan limn→∞ fn = f.
Ketidaksamaan (1) memberikan

|f(t) − fn (t)| = limm→∞ |fm (t) − fn (t)| ≤ 21 ε

(2)

untuk semua n ≥ N dan semua t ∈ E, dan jadi
|f(t)| ≤ |f(t) − fN (t)| + |fN (t)| ≤ 12 ε + |fN (t)|
untuk semua t ∈ E. Ketika fN adalah terbatas ini menunjukkan bahwa f adalah
terbatas sehingga f berada di BK (E). Sekarang (2) memberikan

d(f, fn ) = sup{|f(t) − fn (t)| : t ∈ E} ≤ 21 ε < ε
untuk semua n ≥ N . Ini membuktikan bahwa limn→∞ fn = f, dan karenanya
BK (E) adalah lengkap.
Berikut lemma tentang barisan Cauchy di sebuah ruang metrik sebarang
dalam beberapa penggunaannya.

Lemma 2.21 Sebuah barisan Cauchy yang memiliki sebuah sub barisan konvergen
adalah konvergen.

18
Bukti. Andaikan (xn ) sebuah barisan Cauchy di X yang memiliki sebuah sub
barisan konvergen, katakan (xnk ). Andaikan x = limk→∞ xnk dan ε > 0. Maka
ada bilangan bulat N dan K sehingga d(xm , xn ) < 12 ε untuk semua m, n ≥ N , dan
d(x, xnk ) < 21 ε untuk semua k ≥ K. Andaikan M = max{N, K}. Jika m ≥ M
maka, ketika nm ≥ m,
d(x, xm) ≤ d(x, xnm ) + d(xnm , xm ) < ε
Ini membuktikan bahwa limn→∞ xn = x.
2.1.4 Pemetaan Kontinu.
Berikut ini akan diuraikan sedikit tentang pemetaan yang kontinu dari sebuah
ruang metrik ke ruang metrik yang lain.

Definisi 2.22 Andaikan X dan Y ruang - ruang metrik dengan metrik dX dan
dY . Sebuah pemetaan f dari X ke Y dikatakan kontinu pada titik x0 ∈ X jika
dan hanya jika, untuk setiap bilangan riil ε, ada sebuah bilangan riil positif δ,
yang bergantung pada ε dan x0, sehingga dY (f(x0), f(x)) < ε bila dX (x0, x) < δ.
Sebuah pemetaan X ke Y dikatakan kontinu di X jika dan hanya jika kontinu di
setiap titik di X.

Jika suatu pemetaan kontinu dari X ke Y dan dari Y ke Z, maka akan
terdapat suatu pemetaan yang kontinu dari X ke Z. Untuk menunjukkan hal
tersebuat, terlebih dahulu diberikan sebuah lemma.

Lemma 2.23 Sebuah pemetaan f dari sebuah ruang metrik X ke ruang metrik
Y adalah kontinu pada sebuah titik x0 ∈ X jika dan hanya jika f −1 (V ) adalah
sebuah persekitaran x0 bila V adalah sebuah persekitaran f(x0 ).

Bukti. Anggap bahwa f adalah kontinu di x0 dan andaikan V sebuah persekitaran
dari f(x0 ). Teradapat r > 0 sehingga B(f(x0 ), r) ⊆ V dan ada δ > 0 sehingga

19
dY (f(x0), f(x)) < r bila dX (x0 , x) < δ. Ini berarti jika x ∈ B(x0, δ), maka f(x) ∈
B(f(x0), r), dan mengakibatkan

B(x0, δ) ⊆ f −1 (B(f(x0), r)) ⊆ f −1 (V ).
Ini membuktikan bahwa f −1 (V ) adalah sebuah persekitaran x0 .
Anggap sebaliknya bahwa f −1 (V ) adalah sebuah persekitaran x0 untuk setiap persekitaran V dari f(x0 ) dan andaikan ε > 0. Ketika B(f(x0 , ε)) adalah
persekitaran dari f(x0), himpunan f −1 (B(f(x0, ε)) adalah persekitaran x0 dan
karena itu ada δ > 0 sehingga

B(x0, δ) ⊆ f −1 (B(f(x0, ε)).
Berikut bahwa jika dX (x0, x) < δ maka dY (f(x0 ), f(x)) < ε. Ini membuktikan f
kontinu di x0.

Teorema 2.24 Sebuah pemetaan f dari sebuah ruang metrik X ke ruang metrik
Y adalah kontinu di X jika dan hanya jika f −1 (A) adalah terbuka di X untuk
semua himpunan - himpunan bagian terbuka A dari Y .

Bukti. Anggap bahwa f adalah kontinu di X dan andaikan A himpunan bagian
terbuka dari Y . Dapat ditunjukkan bahwa f −1 (A) terbuka. Ketika ∅ adalah
terbuka, dapat dianggap bahwa f −1 (A) 6= ∅. Andaikan x ∈ f −1 (A). Maka ada
f(x) ∈ A dan A adalah persekitaran f(x). Berdasarkan lemma 2.23 himpunan
f −1 (A) adalah sebuah persekitaran x. jadi f −1 (A) adalah persekitaran setiap titik
- titik dan terbuka.
Anggap sebaliknya bahwa f −1 (A) adalah terbuka di X untuk semua himpunan - himpunan bagian terbuka Y . Andaikan x ∈ X. Untuk setiap ε > 0
himpunan B(f(x), ε) adalah terbuka dan f −1 (B(f(x), ε)) juga terbuka. Karena

20
itu f −1 (B(f(x), ε)) adalah sebuah persekitaran x, dan ini menunjukkan f kontinu
di X.
Setelah diberikan lemma dan teorema diatas, maka dapat ditunjukkan bagaimana
kekontinuan dari komposisi fungsi atau pemetaan.

Teorema 2.25 Andaikan X, Y , dan Z ruang - ruang metrik dan andaikan f dan
g pemetaan - pemetaan kontinu dari X ke Y dan Y ke Z, masing - masing. Maka
g ◦ f adalah sebuah pemetaan kontinu dari X ke Z.
Bukti. Andaikan himpunan bagian terbuka Z. Berdasarkan teorema 2.24 himpunan g −1 (A) adalah himpunan bagian terbuka dari Y dan, berdasarkan teorema 2.24 juga, f −1 (g −1 (A)) adalah himpunan bagian terbuka dari X. Ketika
(g ◦ f)−1 (A) = f −1 (g −1 (A)), maka berdasarkan teorema 2.24 bahwa g ◦ f adalah
kontinu di X.
2.2 Ruang Linier Bernorm
Himpunan bilangan riil Rn adalah sebuah ruang linier atas field riil. Berikut
diberikan contoh pendefinisian metrik di Rn ,

d(x, y) = d(x − y, 0) dan d(αx, 0) = |α|d(x, 0)

(*)

Struktur ruang metrik atas Rn diatas struktur ruang linier dari Rn . Ruang Linier
juga ruang metrik yang mana metrik dan struktur ruang linier dengan hubungan
(*) adalah ruang linier bernorm.
Berikut terlebih dahulu akan diperlihatkan definisi ruang linier yang diikuti
dengan pendefinisian ruang linier bernorm dan bagaimana metrik didalamnya.
Dalam hal ini ditunjukkan hanya ruang linier atas field riil atau kompleks.

21
Definisi 2.26 Sebuah ruang linier atas K adalah sebuah lipat empat (E, K, +, •)
dimana E 6= ∅, adalah pemetaan :
+ : E×E →E
(x, y) 7→ +(x, y) = (x + y)
• : K ×E →E
(α, x) 7→ •(α, x) = (α • x)
yang memenuhi kondisi berikut :
(a) x + (y + z) = (x + y) + z untuk semua x, y, z ∈ E,
(b) x + y = y + x untuk semua x, y ∈ E,
(c) Ada 0 ∈ E sehingga x + 0 = x untuk semua x ∈ E,
(d) Untuk setiap x ∈ E ada −x ∈ E sehingga x + (−x) = 0,
(e) (α + β)x = αx + βx untuk semua x ∈ E dan α, β ∈ K,
(f) α(x + y) = αx + αy untuk semua x, y ∈ E dan α ∈ K,
(g) α(βx) = (αβ)x untuk semua x ∈ E dan α, β ∈ K,
(h) 1x = x untuk semua x ∈ E.
Ruang linier (E, K, +, •) selanjutnya digantikan oleh ruang linier E . Suatu
ruang linier atas R sering disebut sebuah ruang linier riel dan sebuah ruang linier
atas C sering disebut sebuah ruang linier kompleks. Sebuah ruang linier atas K
juga disebut sebuah ruang vector atas K.
Kemudian akan diperlihatkan bagaimana sebuah norm dari ruang linier.

Definisi 2.27 Andaikan E sebuah ruang linier atas K. Sebuah pemetaan
k • k : E → K dimana x 7→ k • k(x) = kxk disebut sebuah norm pada E jika dan
hanya jika memenuhi kondisi berikut :

22
(a) kxk ≥ 0 untuk semua x ∈ E,
(b) Jika x ∈ E dan kxk = 0 maka x = 0,
(c) kαxk = |α|kxk untuk semua x ∈ E dan α ∈ K,
(d) kx + yk ≤ kxk + kyk untuk semua x, y ∈ E
Sebuah ruang linier bernorm atas K adalah sebuah pasangan (E, k • k), dimana
E adalah ruang linier atas K dan k • k adalah sebuah norm pada norm E.
Ruang linier bernorm (E, k • k) selanjutnya disebut dengan ruang linier
bernorm E. Ketika 0x = 0 untuk semua x ∈ E, kondisi (c) menunjukkan k0k = 0.
Oleh karena itu dapat digantikan (b) menjadi (b)’ kxk = 0 jika dan hanya jika
x = 0.
Ini diikuti oleh induksi dari (d) sehingga, jika x1 , x2, · · · , xn adalah titik di E,
maka
kx1 + x2 + · · · + xn k ≤ kx1k + kx2k + · · · + kxn k
Diikuti dengan ketidaksamaan yang selalu kita gunakan :
|kxk − kyk| ≤ kx − yk
Untuk semua x, y ∈ E.
Banyak ruang metrik yang dapat kita jadikan contoh sebagai ruang linier
yang bernorm. Andaikan E sebuah ruang linier bernorm dengan norm k • k dan
andaikan d(x, y) = kx − yk untuk semua x, y ∈ E, akan ditunjukkan d metrik di
E. Ini jelas bahwa d(x, y) ≥ 0 untuk semua x, y ∈ E dan d(x, y) = 0 jika dan
hanya jika x = y untuk semua x, y ∈ E maka
d(x, y) = k(−1)(y − x)k = | − 1|ky − xk = d(y, x)

23
dan jika x, y, z ∈ E maka
d(x, z) = k(x − y) + (y − z)k
≤ kx − yk + ky − zk
= d(x, y) + d(y, z)

Dapat juga diperoleh sifat lanjutan dari barisan didalam sebuah ruang linier
bernorm, bahwa sifat yang sama dari barisan pada bilangan riil.

Lemma 2.28 Andaikan (xn ) dan (yn ) barisan pada sebuah ruang linier bernorm
E atas K dengan limn→∞ xn = x dan limn→∞ yn = y, dan andaikan αn sebuah barisan di K dengan limn→∞ αn = α. Maka limn→∞ (xn + yn ) = x + y,
limn→∞ αn xn = αx, dan limn→∞ kxn k = kyk.
Bukti. Andaikan ε > 0. Ada bilangan - bilangan bulat N1 dan N2 sehingga
kx − xn k < 21 ε untuk semua n ≥ N1 dan ky − yn k < 21 ε untuk semua n ≥ N2.
Andaikan N = max{N1, N2}. Untuk semua n ≥ N ,
k(x + y) − (xn + yn )k = k(x − xn ) + (y − yn )k
≤ kx − xn k + ky − yn k
< ε.
Ini membuktikan limn→∞ (xn + yn ) = x + y.
Selanjutnya andaikan 1 ≥ η > 0. Maka, sesuai di atas, ada bilangan bulat
N0 sehingga kx − xn k < η dan |α − αn | < η untuk semua n ≥ N0.
Jadi, untuk semua n ≥ N0
kxn k ≤ kxn − xk + kxk ≤ 1 + kxk,

24
dan
kαx − αn xn k = kα(x − xn ) + (α − αn )xn k
≤ kα(x − xn )k + k(α − αn )xn k
= |α|kx − xn k + |α − αn |kxn k
< (|α| + ||x|| + 1)η.
Diberikan ε > 0, andaikan η = min{1, ε(|α|+kxk+1)−1 }. Maka, dapat dibuktikan,
ada sebuah bilangan bulat N0 sehingga kαx − αn xn k < ε untuk semua n ≥ N0.
Ini membuktikan bahwa limn→∞ αn xn = αx.
Yang terakhir, oleh ketidaksamaan |kxk − kyk| ≤ kx − yk diperoleh
|kxk − kxn k| ≤ kx − xn k
dan karenanya limn→∞ kxn k = kxk.
2.3 Ruang Banach
Teori ruang bernorm, merupakan salah satu konsep penting yang diperoleh dari
kegunaan ruang metrik pada ruang linier atau ruang vektor.
Definisi 2.29 Sebuah ruang linier bernorm lengkap disebut ruang Banach
Berikut akan diberikan contoh - contoh, dimana ruang linier bernorm adalah
ruang Banach.
Conto 5 : Ruang linier riil R dan ruang linier kompleks C, dimana x → |x| adalah
sebuah norm di R dan di C.
Secara umum, andaikan (E, C) sebuah ruang linier kompleks dan x → kxk
sebuah norm di (E, C). Jelas bahwa x → kxk juga sebuah norm di (E, R) yang
berasosiasi dengan (E, C).
Contoh 6 : Himpunan K n adalah sebuah ruang linier. Operasi ruang linier pada
K n didefinisikan oleh

25
x + y = (x1 + y1, x2 + y2 , · · · , xn + yn )
αx = (αx1 , αx2, · · · , αxn ),

dan

untuk semua α ∈ K dan semua x = (x1 , x2, · · · , xn ) dan y = (y1 , y2, · · · , yn ) di
K n.
Andaikan
kxk = (

Pn

r=1

|xr |2 )1/2

untuk semua x = (x1, x2 , · · · , xn ) ∈ K n . Maka k • k adalah sebuah norm di K n .
Selanjutnya akan diperlihatkan bagaimana sebuah deret konvergen dengan
mutlak di ruang linier bernorm dan ruang Banach.

Definisi 2.30 Andaikan E sebuah ruang linier bernorm. Ada pasangan barisan
(xn ) dan (sn ) di E sehingga berlaku sn = x1 + x2 + · · · + xn untuk n = 1, 2, · · ·
P
dikatakan sebuah deret tak berhingga dan dinotasikan dengan
n . sn disebut
P
penjumlahan sebahagian ke-n dari deret n .
Definisi 2.31 Andaikan

P

sebuah deret tak berhingga di sebuah ruang linier
P
bernorm E dan andaikan sn penjumlahan sebahagian ke-n dari deret n . Deret
P
n dikatakan konvergen jika dan hanya jika barisan penjumlahan sebahagian (sn )
P
P
konvergen. Jika n konvergen dan s = limn→∞ sn disebut penjumlahan deret n
P
dan ditulis s = ∞
n=1 xn .
n

Diberikan lemma berikut untuk memperjelas kondisi dari sebuah deret di ruang
Banach.
P
Lemma 2.32 Andaikan n sebuah deret tak berhingga di sebuah ruang Banach
P
E. Deret n konvergen jika dan hanya jika, untuk setiap ε > 0, ada bilangan bulat
N sehingga kxn+1 + xn+2 + · · · + xn+k k < ε untuk semua n ≥ N dan k = 1, 2, · · ·

26
Bukti. Andaikan sn = x1 + x2 + · · · + xn untuk n = 1, 2, · · · maka
sn+k − sn = xn+1 + xn+2 + · · · + xn+k ,
Jadi kondisi lemma adalah kondisi dimana (sn ) sebuah barisan Cauchy.

Definisi 2.33 Deret tak berhingga

P

di sebuah ruang linier bernorm E dikatakan
P
konvergen dengan mutlak jika dan hanya jika deret bilangan riil n kxn k adalah
n

konvergen.

Lemma 2.34 Andaikan