Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas yang Dibangun Oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-
RUANG BARISAN KONVERGEN DAN TERBATAS YANG
DIBANGUN OLEH GENERALISASI FUNGSI ORLICZ-λ
SKRIPSI
GUNTUR PRANAJAYA
130803026
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2017
Universitas Sumatera Utara
RUANG BARISAN KONVERGEN DAN TERBATAS YANG
DIBANGUN OLEH GENERALISASI FUNGSI ORLICZ-λ
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains
GUNTUR PRANAJAYA
130803026
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2017
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
: Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas
yang Dibangun Oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-λ
: Skripsi
: Guntur Pranajaya
: 130803026
: Sarjana (S1) Matematika
: Matematika
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Juni 2017
Komisi Pembimbing
Pembimbing 2
:
Pembimbing 1
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
Dr. Elvina Herawaty, M.Si
NIP. 19621103 199103 2 001
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Suyanto, M.Kom
NIP. 19590813 198601 1 002
ii
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
RUANG BARISAN KONVERGEN DAN TERBATAS YANG
DIBANGUN OLEH GENERALISASI FUNGSI ORLICZ-λ
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juni 2017
GUNTUR PRANAJAYA
130803026
iii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Segala puji bagi Allah Subhaanahu wa Ta’ala. Kita memuji, meminta pertolongan, dan memohon ampunan kepada-Nya. Tiada ilah yang berhak diibadahi dengan benar kecuali Dia, dan Muhammad Shallallaahu ’alaihi wa
sallam adalah hamba dan utusan-Nya. Alhamdulillaah, berkat rahmat dan
karunia yang dilimpahkan-Nya, maka penulis dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul, ”Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas yang Dibangun
Oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-λ sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Sains (S.Si) pada Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Elvina Herawaty, M.Si
selaku dosen pembimbing I dan Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku dosen
pembimbing II, atas bimbingan, arahan, dan dukungannya dalam pembuatan
skripsi ini. Semoga Allah Subhanahu wa Ta’ala membalas kebaikan ibu dan
bapak dengan balasan yang terbaik dari sisi-Nya. Jazaakumullaahu khairan
katsir. Terima kasih kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si dan Ibu Asima Manurung, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberi banyak saran dan kritik
yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini.
Terima kasih kepada Ibu Dra. Normalina Napitupulu, M.Sc selaku dosen
penasehat akademik, Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman
Siregar, M.Si selaku ketua dan sekretaris Departemen Matematika FMIPA
USU, seluruh dosen matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan
ilmunya kepada penulis dari sejak awal perkuliahan, para pegawai FMIPA
USU, serta teman-teman seperjuangan angkatan 2013.
Selanjutnya, terima kasih yang teramat sangat penulis ucapkan kepada ibunda Karmaiyulis dan ayahanda Subari, karena selalu memberikan doa,
dukungan, dan kasih sayang yang tak terhingga sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Semoga Allah ’Azza wa Jalla membalas kebaikan ibunda
dan ayahanda dengan kebaikan yang terbaik dari sisi-Nya, baik di dunia dan
terutama di akhirat, berupa dimasukkan ke dalam surga-Nya tanpa hisab dan
tanpa adzab. Kemudian, terima kasih kepada adik-adik tercinta Rio Candra
iv
Universitas Sumatera Utara
dan Lisa Aptri Lestari yang selalu memotivasi penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini. Semoga Allah Subhaanahu wa Ta’ala menjadikan kalian
termasuk hamba-hamba-Nya yang shalih dan shalihah, yang bertaqwa kepadaNya dengan sebenar-benarnya ketaqwaan.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini jauh dari kesempurnaan. Untuk itu,
penulis meminta maaf apabila ada kesalahan atau kekhilafan dalam skripsi
ini. Akhirnya, penulis berharap kepada Allah Subhaanahu wa Ta’ala agar
menjadikan skripsi ini bermanfaat bagi diri penulis pribadi dan orang lain.
Medan, Juni 2017
Penulis
v
Universitas Sumatera Utara
RUANG BARISAN KONVERGEN DAN TERBATAS YANG
DIBANGUN OLEH GENERALISASI FUNGSI ORLICZ-λ
ABTSRAK
Salah satu isu sentral dalam penelitian bidang analisis matematika adalah
ruang barisan. Di dalam tulisan ini, dibentuk ruang barisan konvergen dan
terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz, yaitu ruang barisan
c0 (M ), c(M ), dan ℓ∞ (M ). Selanjutnya, dibentuk domain matriks dari matriks tak hingga Λ terhadap ruang barisan tersebut, yaitu [c0 (M )]Λ , [c(M )]Λ ,
dan [ℓ∞ (M )]Λ . Ruang barisan ini disebut ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz-λ. Berhasil diperlihatkan
bahwa [c0 (M )]Λ , [c(M )]Λ , dan [ℓ∞ (M )]Λ masing-masing merupakan ruangBK, dan [c0 (M )]Λ merupakan ruang-AK. Lebih lanjut, diperoleh beberapa
relasi inklusi yang bersesuaian terhadap ruang barisan ini. Pada bagian akhir,
diperoleh karakteristik koleksi transformasi matriks (X, Y ) untuk X dan Y
merupakan ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz. Dengan kata lain, diperoleh syarat perlu dan cukup
dari suatu matriks tak hingga yang berada di koleksi transformasi matriks
(c0 (M ), c0 (M )), (c(M ), c(M )), dan (ℓ∞ (M ), ℓ∞ (M )).
Kata kunci: ruang barisan, domain matriks, generalisasi fungsi Orlicz, sifat
topologi, relasi inklusi, transformasi matriks.
vi
Universitas Sumatera Utara
THE SPACES OF CONVERGENT AND BOUNDED SEQUENCES
DEFINED BY GENERALIZATION OF ORLICZ-λ FUNCTION
ABTSRACT
One of the central issue in research of mathematical analysis is sequence space. In
the research, the spaces of convergent and bounded sequences defined by generalization of Orlicz function is established, that is, c0 (M ), c(M ), and ℓ∞ (M ).
Further, matrix domains of infinite matrix Λ on those spaces is established, that
is, [c0 (M )]Λ , [c(M )]Λ , dan [ℓ∞ (M )]Λ . This spaces are called the spaces of convergent and bounded sequences defined by generalization of Orlicz-λ function.
This research also shown that [c0 (M )]Λ , [c(M )]Λ , dan [ℓ∞ (M )]Λ are BK-spaces,
respectively, and [c0 (M )]Λ is AK-spaces. Furthermore, some inclusion relations
relevant to these spaces is studied. Finally, the sets of all matrix transformations (X, Y ), for X and Y are the spaces of convergent and bounded sequences
defined by generalization of Orlicz function is characterized. In other words,
the necessary and sufficient conditions on an infinite matrix belonging to classes
(c0 (M ), c0 (M )), (c(M ), c(M )), dan (ℓ∞ (M ), ℓ∞ (M )) is obtained.
Keywords : sequence spaces, matrix domain, generalization of Orlicz function,
topology properties, inclusion relations, matrix transformations.
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
1.2. Perumusan Masalah
1.3. Batasan Masalah
1.4. Tujuan Penelitian
1.5. Manfaat Penelitian
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Ruang Barisan
2.2. Ruang Banach
2.3. Domain Matriks
2.4. Ruang Barisan Orlicz
BAB 3. METODOLOGI PENELITIAN
BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Barisan Konvergen dan Terbatas-λ
4.2. Topologi Norma pada Ruang Barisan Konvergen dan
Terbatas yang Dibangun oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-λ
4.3. Relasi Inklusi pada Ruang Barisan Konvergen dan
Terbatas yang Dibangun oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-λ
4.4. Transformasi Matriks pada Ruang Barisan Konvergen dan
Terbatas yang Dibangun oleh Generalisasi Fungsi Orlicz
BAB 5. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1. Kesimpulan
5.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA
ii
iii
iv
vi
vii
viii
1
1
4
5
5
5
7
7
10
15
16
18
20
20
26
43
67
76
76
77
78
viii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada
himpunan N = {0, 1, 2, . . . }. Dengan kata lain, barisan bilangan real adalah
suatu fungsi x : N → R dengan aturan k 7→ x(k) untuk setiap k ∈ N, dalam
hal ini dapat ditulis x(k) = xk . Pada tulisan ini, barisan bilangan real ditulis dengan notasi x = (xk ). Karena tulisan ini membahas tentang barisan
bilangan real, maka untuk selanjutnya barisan bilangan real disebut barisan
saja. Pada barisan x = (xk ), bilangan real xk disebut suku ke-k
dari
∞ barisan
[n]
x = (xk ). Suatu barisan yang ditulis dengan notasi e[n] = ek
untuk
k=0
n ∈ N, didefinisikan sebagai barisan dengan entrinya bernilai 1 hanya pada
suku ke-n dan yang lain bernilai 0, yaitu
[n]
ek =
(
1 ; untuk k = n
0 ; untuk k =
6 n.
Dengan kata lain, e[n] = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · ) dengan entri 1 berada pada posisi
ke-n.
Koleksi semua barisan dinotasikan dengan ω; yaitu ω = {x = (xk ) :
xk ∈ R, ∀ k ∈ N}. Sebarang ruang linier bagian dari ω disebut ruang barisan.
Ruang-ruang barisan berikut yang ditulis dengan notasi c, c0 , dan ℓ∞ masingmasing disebut ruang barisan konvergen, ruang barisan konvergen ke nol, dan
ruang barisan terbatas, yaitu
c = x = (xk ) ∈ ω : (∃ l ∈ R) xk → l ,
c0 = x = (xk ) ∈ ω : xk → 0 , dan
ℓ∞ = x = (xk ) ∈ ω : sup |xk | < ∞ .
k∈N
Selanjutnya, ruang barisan dengan deret mutlak-p konvergen untuk 1 ≤ p < ∞
Universitas Sumatera Utara
DIBANGUN OLEH GENERALISASI FUNGSI ORLICZ-λ
SKRIPSI
GUNTUR PRANAJAYA
130803026
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2017
Universitas Sumatera Utara
RUANG BARISAN KONVERGEN DAN TERBATAS YANG
DIBANGUN OLEH GENERALISASI FUNGSI ORLICZ-λ
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains
GUNTUR PRANAJAYA
130803026
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2017
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
: Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas
yang Dibangun Oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-λ
: Skripsi
: Guntur Pranajaya
: 130803026
: Sarjana (S1) Matematika
: Matematika
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Juni 2017
Komisi Pembimbing
Pembimbing 2
:
Pembimbing 1
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
Dr. Elvina Herawaty, M.Si
NIP. 19621103 199103 2 001
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Dr. Suyanto, M.Kom
NIP. 19590813 198601 1 002
ii
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
RUANG BARISAN KONVERGEN DAN TERBATAS YANG
DIBANGUN OLEH GENERALISASI FUNGSI ORLICZ-λ
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juni 2017
GUNTUR PRANAJAYA
130803026
iii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Segala puji bagi Allah Subhaanahu wa Ta’ala. Kita memuji, meminta pertolongan, dan memohon ampunan kepada-Nya. Tiada ilah yang berhak diibadahi dengan benar kecuali Dia, dan Muhammad Shallallaahu ’alaihi wa
sallam adalah hamba dan utusan-Nya. Alhamdulillaah, berkat rahmat dan
karunia yang dilimpahkan-Nya, maka penulis dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul, ”Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas yang Dibangun
Oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-λ sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Sains (S.Si) pada Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Elvina Herawaty, M.Si
selaku dosen pembimbing I dan Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku dosen
pembimbing II, atas bimbingan, arahan, dan dukungannya dalam pembuatan
skripsi ini. Semoga Allah Subhanahu wa Ta’ala membalas kebaikan ibu dan
bapak dengan balasan yang terbaik dari sisi-Nya. Jazaakumullaahu khairan
katsir. Terima kasih kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si dan Ibu Asima Manurung, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberi banyak saran dan kritik
yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini.
Terima kasih kepada Ibu Dra. Normalina Napitupulu, M.Sc selaku dosen
penasehat akademik, Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman
Siregar, M.Si selaku ketua dan sekretaris Departemen Matematika FMIPA
USU, seluruh dosen matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan
ilmunya kepada penulis dari sejak awal perkuliahan, para pegawai FMIPA
USU, serta teman-teman seperjuangan angkatan 2013.
Selanjutnya, terima kasih yang teramat sangat penulis ucapkan kepada ibunda Karmaiyulis dan ayahanda Subari, karena selalu memberikan doa,
dukungan, dan kasih sayang yang tak terhingga sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Semoga Allah ’Azza wa Jalla membalas kebaikan ibunda
dan ayahanda dengan kebaikan yang terbaik dari sisi-Nya, baik di dunia dan
terutama di akhirat, berupa dimasukkan ke dalam surga-Nya tanpa hisab dan
tanpa adzab. Kemudian, terima kasih kepada adik-adik tercinta Rio Candra
iv
Universitas Sumatera Utara
dan Lisa Aptri Lestari yang selalu memotivasi penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini. Semoga Allah Subhaanahu wa Ta’ala menjadikan kalian
termasuk hamba-hamba-Nya yang shalih dan shalihah, yang bertaqwa kepadaNya dengan sebenar-benarnya ketaqwaan.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini jauh dari kesempurnaan. Untuk itu,
penulis meminta maaf apabila ada kesalahan atau kekhilafan dalam skripsi
ini. Akhirnya, penulis berharap kepada Allah Subhaanahu wa Ta’ala agar
menjadikan skripsi ini bermanfaat bagi diri penulis pribadi dan orang lain.
Medan, Juni 2017
Penulis
v
Universitas Sumatera Utara
RUANG BARISAN KONVERGEN DAN TERBATAS YANG
DIBANGUN OLEH GENERALISASI FUNGSI ORLICZ-λ
ABTSRAK
Salah satu isu sentral dalam penelitian bidang analisis matematika adalah
ruang barisan. Di dalam tulisan ini, dibentuk ruang barisan konvergen dan
terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz, yaitu ruang barisan
c0 (M ), c(M ), dan ℓ∞ (M ). Selanjutnya, dibentuk domain matriks dari matriks tak hingga Λ terhadap ruang barisan tersebut, yaitu [c0 (M )]Λ , [c(M )]Λ ,
dan [ℓ∞ (M )]Λ . Ruang barisan ini disebut ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz-λ. Berhasil diperlihatkan
bahwa [c0 (M )]Λ , [c(M )]Λ , dan [ℓ∞ (M )]Λ masing-masing merupakan ruangBK, dan [c0 (M )]Λ merupakan ruang-AK. Lebih lanjut, diperoleh beberapa
relasi inklusi yang bersesuaian terhadap ruang barisan ini. Pada bagian akhir,
diperoleh karakteristik koleksi transformasi matriks (X, Y ) untuk X dan Y
merupakan ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz. Dengan kata lain, diperoleh syarat perlu dan cukup
dari suatu matriks tak hingga yang berada di koleksi transformasi matriks
(c0 (M ), c0 (M )), (c(M ), c(M )), dan (ℓ∞ (M ), ℓ∞ (M )).
Kata kunci: ruang barisan, domain matriks, generalisasi fungsi Orlicz, sifat
topologi, relasi inklusi, transformasi matriks.
vi
Universitas Sumatera Utara
THE SPACES OF CONVERGENT AND BOUNDED SEQUENCES
DEFINED BY GENERALIZATION OF ORLICZ-λ FUNCTION
ABTSRACT
One of the central issue in research of mathematical analysis is sequence space. In
the research, the spaces of convergent and bounded sequences defined by generalization of Orlicz function is established, that is, c0 (M ), c(M ), and ℓ∞ (M ).
Further, matrix domains of infinite matrix Λ on those spaces is established, that
is, [c0 (M )]Λ , [c(M )]Λ , dan [ℓ∞ (M )]Λ . This spaces are called the spaces of convergent and bounded sequences defined by generalization of Orlicz-λ function.
This research also shown that [c0 (M )]Λ , [c(M )]Λ , dan [ℓ∞ (M )]Λ are BK-spaces,
respectively, and [c0 (M )]Λ is AK-spaces. Furthermore, some inclusion relations
relevant to these spaces is studied. Finally, the sets of all matrix transformations (X, Y ), for X and Y are the spaces of convergent and bounded sequences
defined by generalization of Orlicz function is characterized. In other words,
the necessary and sufficient conditions on an infinite matrix belonging to classes
(c0 (M ), c0 (M )), (c(M ), c(M )), dan (ℓ∞ (M ), ℓ∞ (M )) is obtained.
Keywords : sequence spaces, matrix domain, generalization of Orlicz function,
topology properties, inclusion relations, matrix transformations.
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
1.2. Perumusan Masalah
1.3. Batasan Masalah
1.4. Tujuan Penelitian
1.5. Manfaat Penelitian
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Ruang Barisan
2.2. Ruang Banach
2.3. Domain Matriks
2.4. Ruang Barisan Orlicz
BAB 3. METODOLOGI PENELITIAN
BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Barisan Konvergen dan Terbatas-λ
4.2. Topologi Norma pada Ruang Barisan Konvergen dan
Terbatas yang Dibangun oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-λ
4.3. Relasi Inklusi pada Ruang Barisan Konvergen dan
Terbatas yang Dibangun oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-λ
4.4. Transformasi Matriks pada Ruang Barisan Konvergen dan
Terbatas yang Dibangun oleh Generalisasi Fungsi Orlicz
BAB 5. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1. Kesimpulan
5.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA
ii
iii
iv
vi
vii
viii
1
1
4
5
5
5
7
7
10
15
16
18
20
20
26
43
67
76
76
77
78
viii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada
himpunan N = {0, 1, 2, . . . }. Dengan kata lain, barisan bilangan real adalah
suatu fungsi x : N → R dengan aturan k 7→ x(k) untuk setiap k ∈ N, dalam
hal ini dapat ditulis x(k) = xk . Pada tulisan ini, barisan bilangan real ditulis dengan notasi x = (xk ). Karena tulisan ini membahas tentang barisan
bilangan real, maka untuk selanjutnya barisan bilangan real disebut barisan
saja. Pada barisan x = (xk ), bilangan real xk disebut suku ke-k
dari
∞ barisan
[n]
x = (xk ). Suatu barisan yang ditulis dengan notasi e[n] = ek
untuk
k=0
n ∈ N, didefinisikan sebagai barisan dengan entrinya bernilai 1 hanya pada
suku ke-n dan yang lain bernilai 0, yaitu
[n]
ek =
(
1 ; untuk k = n
0 ; untuk k =
6 n.
Dengan kata lain, e[n] = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · ) dengan entri 1 berada pada posisi
ke-n.
Koleksi semua barisan dinotasikan dengan ω; yaitu ω = {x = (xk ) :
xk ∈ R, ∀ k ∈ N}. Sebarang ruang linier bagian dari ω disebut ruang barisan.
Ruang-ruang barisan berikut yang ditulis dengan notasi c, c0 , dan ℓ∞ masingmasing disebut ruang barisan konvergen, ruang barisan konvergen ke nol, dan
ruang barisan terbatas, yaitu
c = x = (xk ) ∈ ω : (∃ l ∈ R) xk → l ,
c0 = x = (xk ) ∈ ω : xk → 0 , dan
ℓ∞ = x = (xk ) ∈ ω : sup |xk | < ∞ .
k∈N
Selanjutnya, ruang barisan dengan deret mutlak-p konvergen untuk 1 ≤ p < ∞
Universitas Sumatera Utara