Perhitungan penampang hamburan elastik en→en dengan dua macam faktor bentuk: galster dan miller

(1)

Azrul Sulaiman Karim Pohan. Perhitungan Penampang Hamburan Elastik pada Reaksi → dengan Dua Macam Faktor Bentuk: Galster dan Miller.

Dibimbing oleh: Sidikrubadi Pramudito. Abstrak

Penampang hamburan model Galster dan Miller nilainya tergantung pada sudut hambur dan energi elektron datang. Pada variasi sudut mulai 5o sampai 135o dihasilkan penampang hamburan yang nilainya semakin kecil. Hal yang sama diperoleh pada variasi energi elektron datang mulai 0.3 sampai 3.5 GeV. Perbedaan model penampang hamburan Galster dan Miller terletak pada nilai momen magnetik neutronnya. Model penampang hamburan Galster dan Miller memiliki perbedaan pada kisaran energi mulai 0.3 sampai 1.0 GeV dan kesamaan pada kisaran energi mulai 1.0 sampai 3.5 GeV.

(2)

1 BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Para ilmuwan di berbagai belahan dunia sejak dahulu berusaha untuk menemukan partikel terkecil pembentuk alam semesta. Beberapa teori yang berkenaan dengan pembentuk alam semesta disampaikan oleh para peneliti. Teori yang konsisten dipakai sampai sekarang adalah teori yang diajukan para filsuf Yunani yang dikenal dengan teori atomos. Atomos didefinisikan sebagai partikel yang tidak dapat dibagi lagi. Dalam perkembangan teori ini, semula diduga bahwa unsur-unsur kimia merupakan partikel elementer sehingga unsur-unsur kimia ini dinamai atom. Penemuan para ahli berikutnya, menyimpulkan bahwa atom bukan lagi bagian terkecil dari suatu materi. Selanjutnya ditemukan bahwa partikel pembentuk atom terdiri dari elektron, proton, dan neutron. Proton dan neutron masing-masing terdiri dari tiga buah kuark. Penelitian terhadap partikel elementer berkembang dengan beberapa penyempurnaan yang ditemui pada tahun 1970-an. Pada perkembangan yang mutakhir para fisikawan memberikan model standar sebagai model yang paling sukses menjelaskan partikel-partikel pembentuk alam semesta.

Menurut model standar ada enam buah kuark dan enam buah lepton pembentuk alam semesta. Enam buah kuark yaitu: up (u) dan down (d), strange (s) dan charm (c), dan top (t) dan bottom (b) dan enam buah lepton yaitu: electron (e) dan electron neutrino ( ), muon ( ) dan muon neutrino ( ), dan tau ( ) dan tau neutrino ( ).4 Kuark dan lepton berdasarkan model standar dicirikan dengan empat buah bilangan kuantum yaitu: spins, muatan listrik Q, flavour f, dan colour c.5 Empat buah bilangan kuantum ini dapat menjelaskan secara sederhana empat buah interaksi dasar yang terjadi di alam semesta. Empat macam interaksi tersebut yaitu: interaksi elektromagnetik melalui pertukaran foton,

interaksi kuat melalui pertukaran gluon dan meson, interaksi lemah melalui pertukaran boson madya W dan Z, dan interaksi gravitasi melalui pertukaran graviton.5

Kuark tidak pernah ditemukan sebagai partikel bebas. Dua atau tiga buah kuark membentuk partikel berstruktur yang disebut hadron. Struktur hadron dinyatakan dalam faktor bentuk. Faktor bentuk biasanya ditentukan melalui percobaan hamburan elektron yang sangat berperan dalam interaksi hadron dengan partikel lainnnya.

Neutron merupakan salah satu hadron yang terdiri dari tiga buah kuark yaitu dua buah kuark u dan satu buah kuark d. Sudah banyak peneliti yang mengusulkan model matematis dari faktor bentuk neutron di antaranya menurut Galster dan Miller.2,7 Penampang hamburan yang dihitung berdasarkan kedua model faktor bentuk tersebut diperkirakan akan berbeda. Oleh karena itu penulis mencoba untuk melakukan penelitian dengan judul “Perhitungan Penampang Hamburan Elastik → dengan Dua Macam Faktor Bentuk: Galster dan Miller”.

1.2. Tujuan Penelitian

1. Melakukan perhitungan penampang hamburan elastik → dengan dua macam faktor bentuk: Galster dan Miller.

2. Menganalisis kedua kurva hasil perhitungan penampang hamburan model Galster dan Miller.9

3. Menguji faktor bentuk model Galster dan Miller dengan data BLAST.3 1.3. Perumusan Masalah

1. Pada kisaran energi berapakah terjadi perbedaan penampang hamburan antara model Galster dan Miller ? 2. Pada kisaran energi berapakah terjadi

kesamaan penampang hamburan antara model Galster dan Miller ?

(3)

2

1.4. Hipotesis

1. Model penampang hamburan Galster dan Miller memiliki perbedaan mulai kisaran energi 0.3 sampai 1.0 GeV. 2. Model penampang hamburan Galster

dan Miller memiliki kesamaan pada kisaran energi 1.0 sampai 3.5 GeV.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Satuan-satuan dan Notasi Vektor-Empat

Dua konstanta dasar pada mekanika kuantum relativistik adalah konstanta Planck ħ, dan kelajuan cahaya c. Untuk memudahkan perhitungan dilakukan penyederhanaan rumus dengan satuan alamiah :

c = ħ =1 (2.1) Penyederhanaan yang dilakukan menyebabkan satuan massa dan energi dapat disetarakan, dalam hal ini dipilih GeV, dan satuan untuk panjang dan waktu GeV . Faktor konversi, satuan, dan dimensi aktual dari dimensi massa, panjang, dan waktu dapat dilihat pada Tabel 2.1.

Konstanta struktur halus dapat dinyatakan sebagai :

4 ħ = 1

137 (2.2)

Kemudian muatan proton dapat dinyatakan sebagai :

=√4 ≈0.303 (2.3) Vektor-empat merupakan hal yang sangat penting dalam bidang fisika, salah satunya dalam relativitas umum dan elektrodinamika. Penggunaan notasi vektor-empat untuk menyederhanakan

perumusan. Perkalian skalar dari dua vektor-empat A dan B atau ≡( _,

) dan ≡( , ) dapat didefinisikan sebagai :

∙ = − ∙ (2.4) serta invarian di bawah transformasi Lorentz. Agar memudahkan didefinisikan satu jenis vektor-empat yang lain :

≡ ( ,− ) (2.5) Perkalian skalarnya dituliskan sebagai :

∙ = = =

(2.6)

dengan definisi tensor sebagai :

= 1, = = =−1

dan = 0, ≠ (2.7)

dan perlu diperhatikan serupa dengan .

Selain itu energi total E dan momentum p dapat juga dinyatakan dalam vektor-empat :

( , )≡( , , , )≡ (2.8) Operator yang digunakan dalam vektor-empat :

= ,− dan = ,

(2.9)

2.2. Persamaan Elektromagnetik Maxwell

Persamaan Maxwell adalah satu kumpulan persamaan diferensial yang merupakan inti dari elektrodinamika klasik. Empat buah persamaan Maxwell dalam bentuk diferensial dituliskan pada persamaan (2.10), (2.11), (2.12), dan (2.13).

Tabel 2.1 Faktor konversi, satuan, dan dimensi aktual dari besaran-besaran massa, panjang, dan waktu.

Nama besaran Faktor konversi Satuan

c = ħ =1 Dimensi aktual

Massa 1 kg = 5.61 × 10 GeV GeV GeV

Panjang 1 m = 5.07 × 10 GeV GeV ħ

GeV

Waktu 1 sekon = 1.52 × 10 GeV GeV ħ

(4)

3

. = (2.10)

. = 0 (2.11)

× =− (2.12)

× = + (2.13)

Keempat persamaan Maxwell tersebut dapat digantikan dengan dua buah persamaan gelombang:

− ∇ =4π

c (2.14)

− ∇ = 4πρ (2.15)

Dalam vektor-empat persamaan Maxwell dapat disederhanakan menjadi:

= 0 (2.16)

= 0 (2.17)

Persaman ini sesuai dengan kontinuitas listrik yang dituliskan sebagai:

+ . = 0 (2.18) Persamaan kontinuitas sendiri didefinisikan sebagai laju pertambahan muatan di suatu daerah digantikan dengan oleh rapat arus yang masuk ke daerah tersebut.

2.3. Persamaan Schroedinger

Operator energi total dan momentum pada mekanika kuantum dapat dituliskan sebagai :

= dan =− (2.19) Penjelasan persamaan Schroedinger secara umum:

ħ ( , )=− ħ 2

( , ) + ( ) ( , )

(2.20)

( , ) tergantung terhadap posisi dan waktu.

Laju perubahan peluang :

( , ) =− ħ 2

∗

− ∗

(2.21)

sehingga didefinisikan rapat arus peluang:

( , ) = ħ 2

∗ ₋ ∗ _(2.22)

maka dapat dituliskan persamaan ini persis sama dengan persamaan

kontinuitas untuk muatan listrik dalam satu dimensi:

( , ) + ( , ) = 0 (2.23) Dengan analogi yang sama dengan persamaan kontinuitas listrik, persamaan ini menyatakan laju pertambahan rapat peluang di suatu daerah digantikan dengan arus peluang total yang masuk ke daerah tersebut.

2.4. Teori Kuantum Relativistik Persamaan Schroedinger sebagai teori kuantum non-relativistik, belum dapat menjelaskan kemunculan struktur halus, spektra atom berelektron banyak, dan lain-lain. Pada tahun 1929 Dirac mengembangkan persamaan diferensial untuk mengatasi hal ini dengan menggunakan persamaan energi relativistik.

Einstein merumuskan hubungan massa dan energi dari postulat relativitas khususnya. Pada partikel bebas hubungan massa dan energi dapat dituliskan sebagai:

2 2 2 2 4 2

E



p

c



m c



m

(2.24) dengan m merupakan massa diam.

2.4.1. Persamaan Dirac

Persamaan yang memerikan partikel secara lengkap dikembangkan oleh Dirac. Persamaan ini memiliki sifat yang linear dalam ( / ) serta harus kovarian dan memiliki sifat linear dalam , sehingga didapatkan bentuk persamaan:

= ( . + ) (2.25) Hubungan energi relativistik untuk partikel bebas dapat digunakan untuk menentukan koesien dan :

= + (2.26)

kemudian didapatkan persyaratan sebagai berikut:

+ = 0; = 1,2,3; = 1,2,3; ≠

+ = 0; = 1,2,3 = = 1; = 1,2,3

(2.27)

Matriks 4 × 4 diambil sebagai matriks yang memenuhi persyaratan dengan dimensi terendah. Pilihan yang

(5)

4

digunakan salah satunya representasi Dirac-Pauli yang sering dipakai yaitu:

= 0

0 , = 0

0 (2.28)

I merupakan matriks satuan 2 × 2 dan merupakan matriks Pauli:

= 0 1 1 0 ,

= 0 −

− 0 , = 1 0

0 −1

(2.29)

Dengan penggunaan matriks – Dirac:

≡( , ) (2.30)

sehingga persamaan Dirac, dapat dituliskan sebagai:

− = 0 (2.31)

Persamaan tersebut dinamakan persamaan Dirac dalam bentuk kovarian. Kemudian diperkenalkan spinor sekutu yang merupakan matriks baris:

≡

(2.32)

sehingga didapatkan persamaan, yaitu:

+ m = 0 (2.33)

Berikutnya, sesuai usulan Pauli-Weisskopf, dapat didefinisikan rapat arus muatan:

≡( , ) = ( ) (2.34) Dengan definisi (Ze) merupakan muatan partikel tersebut.

Pada partikel yang dibahas adalah elektron, maka rapat arus muatan ini dapat dituliskan sebagai:

=− (2.35)

serta memenuhi persamaan kontinuitas:

= 0 (2.36)

2.4.2. Solusi persamaan Dirac untuk partikel bebas

Persamaan Dirac memiliki solusi eigen dalam bentuk umum:

x ip

e

u

(

)

 .



p



(2.37)

dengan u(p) merupakan spinor bentuk empat yang tidak tergantung terhadap x. Dengan mensubsitusikan persamaan ini ke persamaan (2.31) akan didapatkan bentuk lain:







p

_



m



u

(

p

)



0

(2.38) Dalam bentuk asal persamaan (2.25) persamaan ini dapat dituliskan sebagai berikut:

( ) = ( . + ) ( )

= u( ) (2.39)

Pada partikel bebas solusinya terbagi menjadi dua bagian yaitu sipinor-empat energi positif berdasarkan nilai eigen energinya :

 

  , 0

.              E m E N u s s s







p (2.40)

dan solusi spinor-empat negatif :

     

0 ,

|

.























E

m

E

N

u

s s s





p

(2.41 )

dengan s =1,2 dan N adalah harga normalisasi yang dapat dituliskan sebagai berikut:

m

E

N





(2.42)

Persamaan (2.40) dan (2.41) menunjukkan helisitas positif dan helisitas negatif.

2.5. Penampang Hamburan

Pada fisika partikel, interaksi dan sifat-sifat partikel dapat diketahui dari eksperimen melalui hamburan dan peluruhan partikel. Proses hamburan, yang diukur adalah penampang hamburan pada reaksi tertentu. Berbeda dengan proses peluruhan, yang diukur adalah waktu hidup dari suatu partikel untuk meluruh menjadi dua, tiga, atau lebih.

Penampang hamburan didefinisikan sebagai peluang partikel penembak berinteraksi dengan partikel target. Partikel target dimisalkan memiliki suatu bidang dengan luas tertentu yang disebut sebagai penampang terhadap partikel datang. Setiap partikel datang yang masuk akan berinteraksi dengan partikel target. Besarnya peluang interaksinya ditentukan oleh luas penampang.

2.6. Perumusan Hamburan Elastik Neutron

Hamburan elekton merupakan teknik dalam kategori yang sudah teruji dengan baik untuk memeriksa distribusi muatan yang terjadi pada suatu awan

(6)

5

muatan. Cara kerjanya adalah dengan menembakkan berkas elektron pada awan muatan, distribusi angular elektron yang dihamburkan diukur dan dibandingkan dengan penampang lintang hamburan elektron dari suatu muatan titik, Ze. 2.6.1. Hamburan elastik

elektron-neutron

Interaksi elektromagnetik terjadi pada hamburan elektron oleh neutron seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.1. Pada interaksi ini, medan elektromagnetik dihasilkan dari arus transisi neutron:

=− 1 (2.43)

serta digunakan pertukaran momentum:

= − (2.44)

Gambar 2.1. Diagram Feynman pada hamburan elastik elektron-netron8

Interaksi elektromagnetik terjadi meskipun muatan total neutron adalah

nol karena struktur internal neutron terdiri dari tiga buah quark (uud), dengan quark-u bermuatan + , quark-d bermuatan − serta masing-masing quark berspin , maka bentuk formulasi arus transisi netron, , harus dapat memasukkan struktur internal tersebut. Sehingga arus transisi neutron dapat dirumuskan pada persamaan (2.45). Dengan faktor bentuk dan , momen magnetik anomalus ( ), dan massa neutron ( ).

Pada →0, yaitu dalam pertukaran foton dengan panjang gelombang besar, neutron akan terlihat mempunyai momen magnetik . Sehingga pada limit ini dapat dipilih:

(0) = 0 dan (0) = 1 (2.46) Pada percobaan Galster dan Miller didapatkan nilai yang berbeda, untuk Galster =−1.913043 dan Miller

=−1.73.3,6

Pada interaksi elektromagnetik penampang hamburan diferensial dapat dihitung denga menggunakan formula Rosenbluth pada persamaan (2.47). Persaman (2.47) dapat disederhanakan dengan memperkenalkan sepasang faktor bentuk lain yang merupakan kombinasi linear dari dan pada persamaan (2.48). Sehingga persamaan (2.47) dapat dituliskan kembali pada persamaan (2.49). Dengan didefinisikan sebagai:

≡ −

₄

(2.50)

=

̅

(

)

+

2 (

)

( )

∙ _(2.45)

Ω = ₄

−

4 2 −2 ( + ) 2 (2.47)

≡

−

dan

≡

+

(2.48)

Ω = ₄

( ) + ( )

(7)

6

dan berturut-turut memiliki hubungan dengan distribusi muatan dan momen magnetik neutron. Nilai numerik dan dapat ditentukan dari berbagai eksperimen yang dinyatakan dalam parametrisasi Galster dan Miller:

( )

=− 1

1 + 5.6 ( )

(2.51)

( ) = ( ) (2.52)

( ) = 1− (2.53)

dengan adalah massa dipole vektor yang bernilai 0.84 GeV dari hasil hamburan elektron-proton.

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1. Tempat dan Waktu Penelitian Penelitian dilakukan di Laboratorium Fisika Teori Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor sejak bulan Agustus 2010 sampai dengan Mei 2011.

3.2. Alat

Peralatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah perangkat lunak MS. Office 2007 dan Plato IDE.

3.3. Prosedur Penelitian

Penelitian ini memiliki tahapan-tahapan sebagai landasan untuk mempermudah merumuskan hasil penelitian dari tema yang diambil. Tahapan-tahapan tersebut dijelaskan sebagai berikut :

1. Tahap perumusan tema dan permasalahan

Tahapan ini merupakan suatu awal bagi perumusan keseluruhan proses penelitian ini.

2. Tahap pengumpulan landasan teori dan data

Tahap pengumpulan teori merupakan tahap lanjutan dari penjabaran permasalahan. Tahap ini secara makro memiliki tujuan mencari berbagai literatur yang

memiliki relevansi dari tema yang diangkat penulis. Penelitian ini dimulai dengan telaah pustaka dari teori dasar Kuark dan Lepton dari sumber pustaka khususnya J.D. Bjorken and S.D. Drell dan F. Halzen and A.D. Martin serta hasil penelitian para peneliti mengenai hamburan elektron-neutron.1,6 3. Tahap pengolahan data

Tahapan ini diperlukan untuk memastikan bahwa cara penurunan rumus dan teknik perhitungan yang digunakan penulis memberikan hasil yang sama dari yang sudah dilakukan peneliti lain. Setelah itu didapatkan cara penurunan rumus dan teknik perhitungan yang sesuai. Kemudian diterapkan pada persoalan yang diteliti. Berikutnya dilakukan perhitungan:

- Perumusan kinematika hamburan en → en dengan menggunakan aturan Feymann.

- Penghitungan penampang lintang hamburan en → en untuk model Galster dan Miller.

- Membandingkan kedua

penampang hamburan Galster dan Miller.

- Menguji faktor bentuk model Galster dan Miller dengan data BLAST7.

4. Tahap kesimpulan dan rekomendasi Tahap ini bertujuan untuk menyimpulkan keseluruhan hasil penelitian menjadi suatu pemahaman yang utuh dan bersifat komprehensif. Serta membandingkan hasil yang diperoleh dari hipotesis yang diangkat.

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Batasan-batasan Perhitungan

Penampang hamburan

differensial

Ω ( → ) pada

persamaan (2.49) merupakan pendekatan dengan asumsi (− )→0. Dengan demikian perlu diperhatikan nilai-nilai E dan yang sesuai dengan kriteria ini.

(8)

6

( )

=− 1

1 + 5.6 ( )

(2.51)

( ) = ( ) (2.52)

( ) = 1− (2.53)

dengan adalah massa dipole vektor yang bernilai 0.84 GeV dari hasil hamburan elektron-proton.

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.2. Alat

Peralatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah perangkat lunak MS. Office 2007 dan Plato IDE.

3.3. Prosedur Penelitian

Penelitian ini memiliki tahapan-tahapan sebagai landasan untuk mempermudah merumuskan hasil penelitian dari tema yang diambil. Tahapan-tahapan tersebut dijelaskan sebagai berikut :

1. Tahap perumusan tema dan permasalahan

Tahapan ini merupakan suatu awal bagi perumusan keseluruhan proses penelitian ini.

2. Tahap pengumpulan landasan teori dan data

Tahap pengumpulan teori merupakan tahap lanjutan dari penjabaran permasalahan. Tahap ini secara makro memiliki tujuan mencari berbagai literatur yang

- Perumusan kinematika hamburan en → en dengan menggunakan aturan Feymann.

- Penghitungan penampang lintang hamburan en → en untuk model Galster dan Miller.

- Membandingkan kedua

penampang hamburan Galster dan Miller.

- Menguji faktor bentuk model Galster dan Miller dengan data BLAST7.

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Batasan-batasan Perhitungan

Penampang hamburan

differensial

Ω ( → ) pada

persamaan (2.49) merupakan pendekatan dengan asumsi (− )→0. Dengan demikian perlu diperhatikan nilai-nilai E dan yang sesuai dengan kriteria ini.

(9)

6

( )

=− 1

1 + 5.6 ( )

(2.51)

( ) = ( ) (2.52)

( ) = 1− (2.53)

dengan adalah massa dipole vektor yang bernilai 0.84 GeV dari hasil hamburan elektron-proton.

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.2. Alat

Peralatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah perangkat lunak MS. Office 2007 dan Plato IDE.

3.3. Prosedur Penelitian

Penelitian ini memiliki tahapan-tahapan sebagai landasan untuk mempermudah merumuskan hasil penelitian dari tema yang diambil. Tahapan-tahapan tersebut dijelaskan sebagai berikut :

1. Tahap perumusan tema dan permasalahan

Tahapan ini merupakan suatu awal bagi perumusan keseluruhan proses penelitian ini.

2. Tahap pengumpulan landasan teori dan data

Tahap pengumpulan teori merupakan tahap lanjutan dari penjabaran permasalahan. Tahap ini secara makro memiliki tujuan mencari berbagai literatur yang

- Perumusan kinematika hamburan en → en dengan menggunakan aturan Feymann.

- Penghitungan penampang lintang hamburan en → en untuk model Galster dan Miller.

- Membandingkan kedua

penampang hamburan Galster dan Miller.

- Menguji faktor bentuk model Galster dan Miller dengan data BLAST7.

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Batasan-batasan Perhitungan

Penampang hamburan

differensial

Ω ( → ) pada

persamaan (2.49) merupakan pendekatan dengan asumsi (− )→0. Dengan demikian perlu diperhatikan nilai-nilai E dan yang sesuai dengan kriteria ini.

(10)

7

Karena nilai (− ) haruslah positif, maka energi elektron datang haruslah mempunyai energi minimal sebesar 0.287 GeV dan nilainya diambil bevariasi hingga energi 3.5 GeV.

Pada sudut = 0° tidak terjadi hamburan serta pada sudut = 180° sulit dilakukan percobaan. Dengan memperhatikan hal tersebut, diambil bervariasi dari 5° sampai 135°. Perhitungan numerik diselesaikan dengan menggunakan program Plato

IDE, sementara kurva-kurva dibuat dengan menggunakan aplikasi Microsoft Office Excel 2007. Program komputer dapat dilihat pada Lampiran 1.

4.2. Perhitungan pada Hamburan Elastik →

Pada proses hamburan elastik,

( → ), penampang hamburan diferensial pada persaman (2.49) dapat dituliskan pada persamaan (4.1).

Ω( → ) = Ω (4.1)

dengan:

Ω = ₄

2 2 1 + 2( / )

(4.2)

dan

= 2 ( ) + ( )

1 + + 2 ( ) 2 (4.3)

Grafik penampang hamburan elastik

( → ) dan − dapat

dilihat pada Lampiran 2.

4.3. Perbandingan Model Penampang Hamburan Galster dan Miller pada Sudut Kecil

Perbandingan model penampang hamburan Galster dan Miller pada sudut

θ = 5° dapat dilihat pada Gambar 4.1. Grafik menunjukkan pada sudut

θ = 5° nilai penampang hamburan

menurun setiap kenaikan energi datang. Pada kisaran energi dari 0 sampai 1.0 GeV perbedaan kedua grafik lebih besar dibandingkan kisaran energi 1.0 sampai 3.5GeV.

4.4. Perbandingan Model Penampang Hamburan Galster dan Miller pada Sudut Besar

Perbandingan model penampang hamburan Galster dan Miller pada sudut

θ = 90° dapat dilihat pada Gambar 4.2

.

Gambar 4.1. Penampang hamburan model Galster dan Miller terhadap energi elektron datang pada sudut hambur θ = 5°

0,00E+00 5,00E-03 1,00E-02 1,50E-02 2,00E-02 2,50E-02 3,00E-02 3,50E-02

0 1 2 3 4

dσ

→

Energi elektron datang (GeV)

Galster

(11)

8

Gambar 4.2. Penampang hamburan model Galster dan Miller terhadap energi elektron datang pada sudut hambur θ = 90°

Grafik menunjukkan pada sudut θ = 5° nilai penampang hamburan menurun setiap kenaikan energi datang. Pada kisaran energi dari 0 sampai 1.0 GeV perbedaan kedua grafik lebih besar dibandingkan kisaran energi 1.0 sampai 3.5 GeV. Nilai penampang hamburan antara Galster dan Miller pada kisaran energi 1.0 sampai 3.5 GeV nilai numeriknya hampir sama.

Jika dilakukan iterasi numerik dari energi 0.3 sampai dengan 1.0 GeV, maka didapatkan grafik yang lebih teliti pada Gambar 4.4.

Pada kisaran energi 0.3 sampai dengan 1.0 GeV menunjukkan perbedaan grafik antara Galster dan Miller, berbeda dengan Gambar 4.3. sekilas terlihat nilai grafik tersebut bernilai sama.

Gambar 4.3. Penampang hamburan model Galster dan Miller terhadap energi

elektron datang 0.3-1.0 GeV pada sudut hambur

θ

= 90°

0,00E+00 5,00E-06 1,00E-05 1,50E-05 2,00E-05 2,50E-05 3,00E-05 3,50E-05 4,00E-05 4,50E-05 5,00E-05

0 1 2 3 4

dσ

→

Energi elektron datang (GeV)

Galster

Miller

0,00E+00 5,00E-06 1,00E-05 1,50E-05 2,00E-05 2,50E-05

0 0,5 1 1,5

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi Elektron Datang (GeV)

Galster

(12)

9

4.5. Model Penampang Hamburan

Galster dan Miller

Pada model Galster dan Miller dari pada Lampiran 2 menunjukkan nilai penampang hamburan yang semakin kecil setiap kenaikan nilai energi datang. Sama juga halnya dengan kenaikan sudut hambur hingga 135° diperoleh nilai penampang hamburan yang semakin kecil. Hal ini menunjukkan bahwa interaksi elektromagnetik antara elektron dan neutron yang lebih efektif pada sudut-sudut yang kecil. Sehingga ketika akan melakukan eksperimen hasil yang didapat akan sangat efektif pada sudut hambur yang kecil.

Setelah dilakukan studi pustaka dan perhitungan numerik, perbedaan grafik antara model Galster dan Miller hanya pada nilai momen magnetik neutron ketika melakukan perhitungan. Kedua model sebenarnya memiliki nilai numerik yang hampir sama terlihat dari perbandingan penampang hamburan yang tetap.

Model Galster dan Miller jika dilihat dari grafik pada Lampiran 2 pada renatng sudut 30°, 45°, dan 60° memiliki perbedaan pada kisaran energi mulai 0.3 sampai 1.0 GeV dan kesamaan pada nilai energi mulai 1.0 sampai 3.5 GeV.

Pada sudut 75° sampai 135° sekilas terlihat nilai penampang hamburan model Galster dan Miller bernilai sama pada semua variasi energi yang diberikan. Jika dilihat lebih teliti dengan iterasi program pada energi 0.3

sampai 1.0 GeV akan diperoleh nilai penampang hamburan yang berbeda dan pada sudut 1.0 sampai 3.5 diperoleh nilai yang sama.

4.6. Pengujian Faktor Bentuk Model Galster dan Miller

Gambar 4.4. Faktor bentuk ( )

terhadap perpindahan momentum (Q2) dari data BLAST3

Kemudian data yang diperoleh dimasukkan ke dalam faktor bentuk Model Galster dan Miller. Jika dilakukan perbandingan pengujian faktor bentuk model Galster dan Miller dengan data yang diperoleh pada penelitian BLAST maka akan diperoleh bahwa model Galster dan Miller cocok untuk digunakan. Selain itu model yang paling cocok dari grafik adalah model Miller. Hasil pengujian data diperlihatkan pada Gambar 4.5.

Gambar 4.5. Pengujian faktor bentuk ( ) terhadap perpindahan momentum (Q2) 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

0 0,5 1 1,5 2

Fa

k

to

r

b

e

n

tu

k

Q

2 Blast Galster Miller

(13)

10

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN 5.1. Kesimpulan

Pada penelitian ini dapat ditunjukkan perbedaan penampang hamburan dari model Galster dan Miller. Perbedaan tersebut terjadi karena nilai momen magnetik neutron yang berbeda. Kedua model Galster dan Miller pada sudut-sudut hambur yang kecil nilai penampang hamburannya perbedaannya lebih besar dibandingkan pada sudut-sudut hambur yang besar. Model Galster dan Miller memiliki perbedaan pada rentang energi 0.3 sampai 1.0 GeV dan kesamaan pada rentang energi 1.0 sampai 3.5 GeV. Faktor bentuk Model Galster dan Miller cocok untuk data yang diperoleh dari hasil percobaan BLAST.3

Penelitian ini juga menunjukkan bahwa pada sudut-sudut yang kecil diperoleh nilai penampang hamburan yang lebih besar dibandingkan pada sudut-sudut yang besar.

5.2. Saran

Pada pengembangan penelitian selanjutnya ada beberapa hal yang perlu dilakukan. Pertama, perlu dilakukan penelitian pada energi yang lain. Kedua, dilakukan pengujian model penampang hamburan yang lain untuk mencari model yang lebih umum dengan cara ekstrapolasi data.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bjorken JD, Drell SD. 1964. Relativistic Quantum Mechanics. New York: McGraw Hill.

2. Galster S, Klein H, Moritz J, Schmidt KH, Wegener D, Bleckwenn J. 1971. Nucl. Phys., B, 32, 221.

3. Geis E, Kohl M, Ziskin V, Akdogan T, Arenhovel H. 2008. The charge for factor of the neutron at low momentum trannsfer from the 2H⃗ e⃗, e′n p

Reaction. ArXiv, 0803.3827v2 [nucl-ex].

4. Gell-Mann M, Rosenbaum EP. 1957. Elementary Particles. Scientic American, 72-86.

5. Glashow SL. 1961. Partial-symmetries of weak interactions. Nucl. Phys., 22, 579–588.

6. Halzen F, Martin AD. 1984. Quarks and Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics, John Wiley and Sons.

7. Miller G. 2002. Light front cloudy

bag model: Nucleon

electromagnetic form factors. Phys. Rev.,66.

8. Pramudito S. 2009. Perhitungan Penampang Lintang Proses Produksi Hiperon Sigma Tak Bermuatan pada Hamburan Elektron-Neutron. [Thesis]. Program Studi Fisika. Universitas Indonesia.

9. Riordan S. 2009. Measurements of the electric form factor of the neutron at high momentum transfer. J. Lab., 6.

(14)

PERHITUNGAN PENAMPANG HAMBURAN ELASTIK

→

DENGAN DUA MACAM FAKTOR BENTUK:

GALSTER DAN MILLER

AZRUL SULAIMAN KARIM POHAN

G74070002

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

(15)

PERHITUNGAN PENAMPANG HAMBURAN ELASTIK

→

DENGAN DUA MACAM FAKTOR BENTUK:

GALSTER DAN MILLER

AZRUL SULAIMAN KARIM POHAN

G74070002

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

(16)

PERHITUNGAN PENAMPANG HAMBURAN ELASTIK

→

DENGAN DUA MACAM FAKTOR BENTUK:

GALSTER DAN MILLER

AZRUL SULAIMAN KARIM POHAN

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

(17)

Azrul Sulaiman Karim Pohan. Perhitungan Penampang Hamburan Elastik pada Reaksi → dengan Dua Macam Faktor Bentuk: Galster dan Miller.

Dibimbing oleh: Sidikrubadi Pramudito. Abstrak

(18)

Judul Skripsi : Perhitungan Penampang Hamburan Elastik

→

dengan

Dua Macam Faktor Bentuk: Galster dan Miller

Nama : Azrul Sulaiman Karim Pohan

NIM

: G74070002

Menyetujui

Pembimbing

Drs. Sidikrubadi Pramudito, M.Si.

NIP. 195707251986011001

Mengetahui

Ketua Departemen Fisika

Dr. Ir. Irzaman, M.Si.

NIP. 196307081995121001

(19)

PERHITUNGAN PENAMPANG HAMBURAN ELASTIK

→

DENGAN DUA MACAM FAKTOR BENTUK:

GALSTER DAN MILLER

AZRUL SULAIMAN KARIM POHAN

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

(20)

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Padangsidimpuan pada tanggal

9 November 1988. Penulis adalah anak ketiga dari lima

bersaudara, dari pasangan Bapak Muallim Pohan dan Ibu

Juliana Lubis. Riwayat pendidikan formal penulis dimulai

pada tahun 1995 di SDN 10 Padangsidimpuan dan lulus pada

tahun 2001, SMPN 1 Padangsidimpuan dan lulus pada tahun 2004, dan SMAN 2

Padangsidimpuan dan lulus pada tahun 2007.

Setelah lulus SMA penulis melanjutkan pendidikan ke Institut Pertanian

Bogor, Departemen Fisika melalui jalur PMDK (USMI). Selama di IPB penulis

aktif sebagai asisten berbagai mata kuliah, Asisten Praktikum Mekanika I, Asisten

Dosen Fisika Matematika I, Asisten Dosen Fisika Modern, Asisten Dosen Fisika

Kuantum, Asisten Dosen Termodinamika, Korektor Tugas-tugas Fisika Statistik,

Asisten Pendidikan Agama Islam (PAI), dan Tutor Kalkulus I. Di bidang

organisasi kemahasiswaan penulis juga mengikuti organisasi kemahasiswaan di

antaranya Badan Eksekutif Mahasiswa Tingkat Persiapan Bersama (BEM TPB)

sebagai Wakil Ketua pada tahun 2007-2008, Dewan Perwakilan Mahasiswa

Keluarga Mahasiswa (DPM KM) sebagai Ketua Komisi Pengembangan Sumber

Daya Manusia pada tahun 2010. Penulis juga aktif pada berbagai kegiatan ilmiah

baik Nasional maupun Internasional antara lain Delegasi Indonesia pada

Asian

Science Camp

(Bali) 2008, penyaji makalah pada

International Conference of

Biomass

(Lampung) 2009, dan Delegasi Indonesia pada

Asian Youth Energy

Summit

(Singapura) 2009. Serta memperoleh berbagai penghargaan di antara lain,

100 paper

terbaik Asia versi ASC 2008, penerima hibah Dikti Program

Kreativitas Mahasiswa bidang Penelitian (PKM-P) 2009, penerima penghargaan

Dikti PKM bidang Gagasan Tertulis 2010, dan penerima Beasiswa Mahasiswa

Berprestasi PPSDMS NF 2008-2010.

Di dalam hidupnya penulis berusaha untuk mempersembahkan yang

terbaik untuk kedua orang tuanya. Motto hidup penulis adalah “Hidup Mulia atau

Mati sebagai Syuhada”.

(21)

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT karena atas rahmat dan karunia-Nya penulis

dapat menyusun tugas akhir ini. Serta solawat dan salam kepada suri tauladan

ummat manusia Nabi Muhammad SAW yang diutus untuk menyempurnakan

akhlak manusia.

Terima kasih kepada Ayahanda dan Ibunda tercinta yang senantiasa

mendoakan yang terbaik untuk ananda.

Serta dengan rasa hormat penulis menyampaikan terima kasih kepada :

1. Drs. Sidikrubadi Pramudito, M.Si. untuk bimbingan, nasehat, dan

motivasinya hingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini.

2. Dosen penguji Ir. Hanedi Darmasetiawan, M.S dan Dr. Agus Kartono

atas nasehat dan masukannya untuk tugas akhir ini.

3. Dr. Irzaman, M.Si. selaku ketua Departemen Fisika dan Dr. Husin

Alatas selaku Kepala Bagian Fisika Teori atas semua motivasi dan

nasehatnya hingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini.

4. Dosen Fisika atas ilmu, nasehat, dan motivasi yang diberikan kepada

penulis, semoga penulis dapat mengamalkannya.

5. Pegawai Departemen Fisika atas bantuan dan nasehat-nasehatnya.

6. Pengurus Pusat dan Regional PPSDMS Nurul Fikri, Pembina Regional

V Bogor Bapak Dr. Ir. Bonny P.W. Sukarno, M.S dan Dr. Abdul

Munif, Manajer Regional Bang Fachriadi Tanjung, SE, beserta

teman-teman seperjuangan di kawah candradimuka PPSDMS Nurul Fikri

Angkatan IV Regional V Bogor, kita berjuang tiada henti hingga

tercapai Indonesia yang lebih baik dan bermartabat.

7. Kak Nurhalimah Pohan dan Rizki Rosyanni Pohan, Adik Nurhasanah

Pohan dan Fitri Hidayah Laila Pohan atas segala doa dan motivasinya,

marilah kita berlomba untuk kebaikan.

8. Teman-teman seperjuangan fisika 44, semoga sukses untuk pasca

kampusnya.

9. Teman-teman fisika Angkatan 42, 43, 45, beserta semua pihak yang

tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu.

Akhir kata, semoga tulisan ini bermanfaat serta menjadi awal bagi penulis

untuk terjun ke tahap selanjutnya.

Bogor, Juni 2011

(22)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL

...

vii

DAFTAR GAMBAR

... viii

DAFTAR LAMPIRAN

...

ix

I

PENDAHULUAN

...

1 1.1. Latar Belakang ...

1 1.2. Tujuan Penelitian ...

1 1.3. Perumusan Masalah ...

1 1.4. Hipotesis ...

2 II

TINJAUAN PUSTAKA

...

2 2.1. Satuan-satuan dan Notasi Vektor-Empat ...

2 2.2. Persaman Elektromagnetik Maxwell ...

2 2.3. Persamaan Schroedinger ...

3 2.4. Teori Kuantum Relativistik ...

3 2.4.1. Persamaan Dirac ...

3 2.4.2. Solusi persamaan Dirac untuk partikel bebas ...

4 2.5. Penampang Hamburan ...

4 2.6. Perumusan Hamburan Elastik Neutron ...

4 2.6.1. Hamburan elastik elektron-neutron ...

5 III

METODOLOGI PENELITIAN

...

6 3.1. Tempat dan Waktu Penelitian ...

6 3.2. Alat dan Bahan ...

6 3.3. Prosedur Penelitian ...

6 IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

...

6 4.1. Batasan-batasan Perhitungan ...

6 4.2. Perhitungan pada Hamburan Elastik

→

...

7

4.3.

Perbandingan Model Penampang Hamburan Galster

dan Miller

pada

Sudut Kecil ... 7

4.4.

Perbandingan Model Penampang Hamburan Galster

dan Miller pada Sudut Besar ... 7

4.5. Model Penampang Hamburan Galster dan Miller ...

9 4.6. Pengujian Faktor Bentuk Galster dan Miller ...

9 V

KESIMPULAN DAN SARAN

...

10 5.1. Kesimpulan ...

10 5.2. Saran ...

10 DAFTAR PUSTAKA

... 10

LAMPIRAN

...

11 NOMENKLATUR

...

20

(23)

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1. Faktor konversi, satuan, dan dimensi aktual dari

(24)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1. Diagram Feynman pada hamburan elastik

elektron-neutron ...

5 Gambar 4.1. Penampang hamburan model Galster dan Miller terhadap

energi elektron datang pada sudut hambur

θ

= 5° ...

7 Gambar 4.2. Penampang hamburan model Galster dan Miller

terhadap energi elektron datang pada

sudut hambur

θ

= 90° ...

8 Gambar 4.3. Penampang hamburan model Galster dan Miller

terhadap energi elektron datang 0.3-1.0 GeV

pada sudut hambur

θ

= 90° ...

8 Gambar 4.4. Faktor bentuk

(

) terhadap perpindahan

momentum (

Q

) dari data BLAST

...

9 Gambar 4.5. Pengujian faktor bentuk (

) terhadap

(25)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1. Program komputer ...

12 Lampiran 2. Grafik penampang hamburan ...

14

(26)

1 BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

interaksi kuat melalui pertukaran gluon dan meson, interaksi lemah melalui pertukaran boson madya W dan Z, dan interaksi gravitasi melalui pertukaran graviton.5

1.2. Tujuan Penelitian

1. Melakukan perhitungan penampang hamburan elastik → dengan dua macam faktor bentuk: Galster dan Miller.

2. Menganalisis kedua kurva hasil perhitungan penampang hamburan model Galster dan Miller.9

3. Menguji faktor bentuk model Galster dan Miller dengan data BLAST.3 1.3. Perumusan Masalah

1. Pada kisaran energi berapakah terjadi perbedaan penampang hamburan antara model Galster dan Miller ? 2. Pada kisaran energi berapakah terjadi

kesamaan penampang hamburan antara model Galster dan Miller ?

(27)

2

1.4. Hipotesis

1. Model penampang hamburan Galster dan Miller memiliki perbedaan mulai kisaran energi 0.3 sampai 1.0 GeV. 2. Model penampang hamburan Galster

dan Miller memiliki kesamaan pada kisaran energi 1.0 sampai 3.5 GeV.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Satuan-satuan dan Notasi Vektor-Empat

Dua konstanta dasar pada mekanika kuantum relativistik adalah konstanta Planck ħ, dan kelajuan cahaya c. Untuk memudahkan perhitungan dilakukan penyederhanaan rumus dengan satuan alamiah :

Konstanta struktur halus dapat dinyatakan sebagai :

4 ħ = 1

137 (2.2)

Kemudian muatan proton dapat dinyatakan sebagai :

=√4 ≈0.303 (2.3) Vektor-empat merupakan hal yang sangat penting dalam bidang fisika, salah satunya dalam relativitas umum dan elektrodinamika. Penggunaan notasi vektor-empat untuk menyederhanakan

perumusan. Perkalian skalar dari dua vektor-empat A dan B atau ≡( _,

) dan ≡( , ) dapat didefinisikan sebagai :

∙ = − ∙ (2.4) serta invarian di bawah transformasi Lorentz. Agar memudahkan didefinisikan satu jenis vektor-empat yang lain :

≡ ( ,− ) (2.5) Perkalian skalarnya dituliskan sebagai :

∙ = = =

(2.6)

dengan definisi tensor sebagai :

= 1, = = =−1

dan = 0, ≠ (2.7)

dan perlu diperhatikan serupa dengan .

Selain itu energi total E dan momentum p dapat juga dinyatakan dalam vektor-empat :

( , )≡( , , , )≡ (2.8) Operator yang digunakan dalam vektor-empat :

= ,− dan = ,

(2.9)

2.2. Persamaan Elektromagnetik Maxwell

Tabel 2.1 Faktor konversi, satuan, dan dimensi aktual dari besaran-besaran massa, panjang, dan waktu.

Nama besaran Faktor konversi Satuan

c = ħ =1 Dimensi aktual

Massa 1 kg = 5.61 × 10 GeV GeV GeV

Panjang 1 m = 5.07 × 10 GeV GeV ħ

GeV

Waktu 1 sekon = 1.52 × 10 GeV GeV ħ

(28)

3

. = (2.10)

. = 0 (2.11)

× =− (2.12)

× = + (2.13)

Keempat persamaan Maxwell tersebut dapat digantikan dengan dua buah persamaan gelombang:

− ∇ =4π

c (2.14)

− ∇ = 4πρ (2.15)

Dalam vektor-empat persamaan Maxwell dapat disederhanakan menjadi:

= 0 (2.16)

= 0 (2.17)

Persaman ini sesuai dengan kontinuitas listrik yang dituliskan sebagai:

+ . = 0 (2.18) Persamaan kontinuitas sendiri didefinisikan sebagai laju pertambahan muatan di suatu daerah digantikan dengan oleh rapat arus yang masuk ke daerah tersebut.

2.3. Persamaan Schroedinger

Operator energi total dan momentum pada mekanika kuantum dapat dituliskan sebagai :

= dan =− (2.19) Penjelasan persamaan Schroedinger secara umum:

ħ ( , )=− ħ 2

( , ) + ( ) ( , )

(2.20)

( , ) tergantung terhadap posisi dan waktu.

Laju perubahan peluang :

( , ) =− ħ 2

∗

− ∗

(2.21)

sehingga didefinisikan rapat arus peluang:

( , ) = ħ 2

∗ ₋ ∗ _(2.22)

maka dapat dituliskan persamaan ini persis sama dengan persamaan

kontinuitas untuk muatan listrik dalam satu dimensi:

Einstein merumuskan hubungan massa dan energi dari postulat relativitas khususnya. Pada partikel bebas hubungan massa dan energi dapat dituliskan sebagai:

2 2 2 2 4 2

E



p

c



m c



m

(2.24) dengan m merupakan massa diam.

2.4.1. Persamaan Dirac

= ( . + ) (2.25) Hubungan energi relativistik untuk partikel bebas dapat digunakan untuk menentukan koesien dan :

= + (2.26)

kemudian didapatkan persyaratan sebagai berikut:

+ = 0; = 1,2,3; = 1,2,3; ≠

+ = 0; = 1,2,3 = = 1; = 1,2,3

(2.27)

Matriks 4 × 4 diambil sebagai matriks yang memenuhi persyaratan dengan dimensi terendah. Pilihan yang

(29)

4

digunakan salah satunya representasi Dirac-Pauli yang sering dipakai yaitu:

= 0

0 , = 0

0 (2.28)

I merupakan matriks satuan 2 × 2 dan merupakan matriks Pauli:

= 0 1 1 0 ,

= 0 −

− 0 , = 1 0

0 −1

(2.29)

Dengan penggunaan matriks – Dirac:

≡( , ) (2.30)

sehingga persamaan Dirac, dapat dituliskan sebagai:

− = 0 (2.31)

Persamaan tersebut dinamakan persamaan Dirac dalam bentuk kovarian. Kemudian diperkenalkan spinor sekutu yang merupakan matriks baris:

≡

(2.32)

sehingga didapatkan persamaan, yaitu:

+ m = 0 (2.33)

Berikutnya, sesuai usulan Pauli-Weisskopf, dapat didefinisikan rapat arus muatan:

≡( , ) = ( ) (2.34) Dengan definisi (Ze) merupakan muatan partikel tersebut.

Pada partikel yang dibahas adalah elektron, maka rapat arus muatan ini dapat dituliskan sebagai:

=− (2.35)

serta memenuhi persamaan kontinuitas:

= 0 (2.36)

2.4.2. Solusi persamaan Dirac untuk partikel bebas

Persamaan Dirac memiliki solusi eigen dalam bentuk umum:

x ip

e

u

(

)

 .



p



(2.37)

dengan u(p) merupakan spinor bentuk empat yang tidak tergantung terhadap x. Dengan mensubsitusikan persamaan ini ke persamaan (2.31) akan didapatkan bentuk lain:







p

_



m



u

(

p

)



0

(2.38) Dalam bentuk asal persamaan (2.25) persamaan ini dapat dituliskan sebagai berikut:

( ) = ( . + ) ( )

= u( ) (2.39)

Pada partikel bebas solusinya terbagi menjadi dua bagian yaitu sipinor-empat energi positif berdasarkan nilai eigen energinya :

 

  , 0

.              E m E N u s s s







p (2.40)

dan solusi spinor-empat negatif :

     

0 ,

|

.























E

m

E

N

u

s s s





p

(2.41 )

dengan s =1,2 dan N adalah harga normalisasi yang dapat dituliskan sebagai berikut:

m

E

N





(2.42)

Persamaan (2.40) dan (2.41) menunjukkan helisitas positif dan helisitas negatif.

2.5. Penampang Hamburan

2.6. Perumusan Hamburan Elastik Neutron

Hamburan elekton merupakan teknik dalam kategori yang sudah teruji dengan baik untuk memeriksa distribusi muatan yang terjadi pada suatu awan

(30)

5

elektron-neutron

Interaksi elektromagnetik terjadi pada hamburan elektron oleh neutron seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.1. Pada interaksi ini, medan elektromagnetik dihasilkan dari arus transisi neutron:

=− 1 (2.43)

serta digunakan pertukaran momentum:

= − (2.44)

Gambar 2.1. Diagram Feynman pada hamburan elastik elektron-netron8

Interaksi elektromagnetik terjadi meskipun muatan total neutron adalah

Pada →0, yaitu dalam pertukaran foton dengan panjang gelombang besar, neutron akan terlihat mempunyai momen magnetik . Sehingga pada limit ini dapat dipilih:

(0) = 0 dan (0) = 1 (2.46) Pada percobaan Galster dan Miller didapatkan nilai yang berbeda, untuk Galster =−1.913043 dan Miller

=−1.73.3,6

≡ −

₄

(2.50)

=

̅

(

)

+

2 (

)

( )

∙ _(2.45)

Ω = ₄

−

4 2 −2 ( + ) 2 (2.47)

≡

−

dan

≡

+

(2.48)

Ω = ₄

( ) + ( )

(31)

6

( )

=− 1

1 + 5.6 ( )

(2.51)

( ) = ( ) (2.52)

( ) = 1− (2.53)

dengan adalah massa dipole vektor yang bernilai 0.84 GeV dari hasil hamburan elektron-proton.

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.2. Alat

Peralatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah perangkat lunak MS. Office 2007 dan Plato IDE.

3.3. Prosedur Penelitian

Penelitian ini memiliki tahapan-tahapan sebagai landasan untuk mempermudah merumuskan hasil penelitian dari tema yang diambil. Tahapan-tahapan tersebut dijelaskan sebagai berikut :

1. Tahap perumusan tema dan permasalahan

Tahapan ini merupakan suatu awal bagi perumusan keseluruhan proses penelitian ini.

2. Tahap pengumpulan landasan teori dan data

Tahap pengumpulan teori merupakan tahap lanjutan dari penjabaran permasalahan. Tahap ini secara makro memiliki tujuan mencari berbagai literatur yang

- Perumusan kinematika hamburan en → en dengan menggunakan aturan Feymann.

- Penghitungan penampang lintang hamburan en → en untuk model Galster dan Miller.

- Membandingkan kedua

penampang hamburan Galster dan Miller.

- Menguji faktor bentuk model Galster dan Miller dengan data BLAST7.

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Batasan-batasan Perhitungan

Penampang hamburan

differensial

Ω ( → ) pada

persamaan (2.49) merupakan pendekatan dengan asumsi (− )→0. Dengan demikian perlu diperhatikan nilai-nilai E dan yang sesuai dengan kriteria ini.

(32)

7

Karena nilai (− ) haruslah positif, maka energi elektron datang haruslah mempunyai energi minimal sebesar 0.287 GeV dan nilainya diambil bevariasi hingga energi 3.5 GeV.

IDE, sementara kurva-kurva dibuat dengan menggunakan aplikasi Microsoft Office Excel 2007. Program komputer dapat dilihat pada Lampiran 1.

4.2. Perhitungan pada Hamburan Elastik →

Pada proses hamburan elastik,

( → ), penampang hamburan diferensial pada persaman (2.49) dapat dituliskan pada persamaan (4.1).

Ω( → ) = Ω (4.1)

dengan:

Ω = ₄

2 2 1 + 2( / )

(4.2)

dan

= 2 ( ) + ( )

1 + + 2 ( ) 2 (4.3)

Grafik penampang hamburan elastik

( → ) dan − dapat

dilihat pada Lampiran 2.

4.3. Perbandingan Model Penampang Hamburan Galster dan Miller pada Sudut Kecil

Perbandingan model penampang hamburan Galster dan Miller pada sudut

θ = 5° dapat dilihat pada Gambar 4.1. Grafik menunjukkan pada sudut

θ = 5° nilai penampang hamburan

menurun setiap kenaikan energi datang. Pada kisaran energi dari 0 sampai 1.0 GeV perbedaan kedua grafik lebih besar dibandingkan kisaran energi 1.0 sampai 3.5GeV.

4.4. Perbandingan Model Penampang Hamburan Galster dan Miller pada Sudut Besar

Perbandingan model penampang hamburan Galster dan Miller pada sudut

θ = 90° dapat dilihat pada Gambar 4.2

.

Gambar 4.1. Penampang hamburan model Galster dan Miller terhadap energi elektron datang pada sudut hambur θ = 5°

0,00E+00 5,00E-03 1,00E-02 1,50E-02 2,00E-02 2,50E-02 3,00E-02 3,50E-02

0 1 2 3 4

dσ

→

Energi elektron datang (GeV)

Galster

(33)

8

Gambar 4.2. Penampang hamburan model Galster dan Miller terhadap energi elektron datang pada sudut hambur θ = 90°

Jika dilakukan iterasi numerik dari energi 0.3 sampai dengan 1.0 GeV, maka didapatkan grafik yang lebih teliti pada Gambar 4.4.

Pada kisaran energi 0.3 sampai dengan 1.0 GeV menunjukkan perbedaan grafik antara Galster dan Miller, berbeda dengan Gambar 4.3. sekilas terlihat nilai grafik tersebut bernilai sama.

Gambar 4.3. Penampang hamburan model Galster dan Miller terhadap energi

elektron datang 0.3-1.0 GeV pada sudut hambur

θ

= 90°

0,00E+00 5,00E-06 1,00E-05 1,50E-05 2,00E-05 2,50E-05 3,00E-05 3,50E-05 4,00E-05 4,50E-05 5,00E-05

0 1 2 3 4

dσ

→

Energi elektron datang (GeV)

Galster

Miller

0,00E+00 5,00E-06 1,00E-05 1,50E-05 2,00E-05 2,50E-05

0 0,5 1 1,5

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi Elektron Datang (GeV)

Galster

(34)

9

4.5. Model Penampang Hamburan

Galster dan Miller

sampai 1.0 GeV akan diperoleh nilai penampang hamburan yang berbeda dan pada sudut 1.0 sampai 3.5 diperoleh nilai yang sama.

4.6. Pengujian Faktor Bentuk Model Galster dan Miller

Gambar 4.4. Faktor bentuk ( )

terhadap perpindahan momentum (Q2) dari data BLAST3

Gambar 4.5. Pengujian faktor bentuk ( ) terhadap perpindahan momentum (Q2) 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

0 0,5 1 1,5 2

Fa

k

to

r

b

e

n

tu

k

Q

2 Blast Galster Miller

(35)

10

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN 5.1. Kesimpulan

Penelitian ini juga menunjukkan bahwa pada sudut-sudut yang kecil diperoleh nilai penampang hamburan yang lebih besar dibandingkan pada sudut-sudut yang besar.

5.2. Saran

DAFTAR PUSTAKA

1. Bjorken JD, Drell SD. 1964. Relativistic Quantum Mechanics. New York: McGraw Hill.

2. Galster S, Klein H, Moritz J, Schmidt KH, Wegener D, Bleckwenn J. 1971. Nucl. Phys., B, 32, 221.

3. Geis E, Kohl M, Ziskin V, Akdogan T, Arenhovel H. 2008. The charge for factor of the neutron at low momentum trannsfer from the 2H⃗ e⃗, e′n p

Reaction. ArXiv, 0803.3827v2 [nucl-ex].

4. Gell-Mann M, Rosenbaum EP. 1957. Elementary Particles. Scientic American, 72-86.

5. Glashow SL. 1961. Partial-symmetries of weak interactions. Nucl. Phys., 22, 579–588.

6. Halzen F, Martin AD. 1984. Quarks and Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics, John Wiley and Sons.

7. Miller G. 2002. Light front cloudy

bag model: Nucleon

electromagnetic form factors. Phys. Rev.,66.

8. Pramudito S. 2009. Perhitungan Penampang Lintang Proses Produksi Hiperon Sigma Tak Bermuatan pada Hamburan Elektron-Neutron. [Thesis]. Program Studi Fisika. Universitas Indonesia.

9. Riordan S. 2009. Measurements of the electric form factor of the neutron at high momentum transfer. J. Lab., 6.

(36)

(37)

Lampiran 1. Program komputer

program askp

Real Mn, Mung, Munm

Open(unit=5, file='hasilbaru.dat', status='unknown') pi = 3.141592654

Alpa = 1.0/137.0 !konstanta struktur halus elektromagnetik Mn = 0.939565560 !massa neutron, satuan GeV

Mung = -1.9130427 !momen magnetik neutron Galster Munm = -1.73 !momen magnetik neutron Miller

Eminel = 0.287 !energi elektron datang minimum, satuan GeV Emin = 0.3 !dalam GeV

Emax = 3.5 !dalam GeV Imax = 32

Jmax = 36

deltaE = (Emax-Emin)/Imax deltaTeta = pi/(Jmax) Do 20 J = 1, 27

Th = J*deltaTeta ! sudut hambur dalam radian Sdt = Th*180/pi ! sudut hambur dalam derajat write(5,200) Sdt

200 Format(//,7x, "Sudut Hambur : ",F6.2," derajat",/) Write(5,300)

300 Format(6x,"E(GeV) Qelastic DSE0g DSE0m" ) Si2 = (sin(Th/2))**2

Co2 = (cos(Th/2))**2 Ta2 = Si2/Co2 Do 10 I = 0,Imax

Ei = Emin + deltaE*I !Energi elektron datang P11 = 1+2*Ei*Si2/Mn

Ef= Ei/P11 !energi elektron hamburan elastik Q = 4*Ei*Ef*Si2 !-q kuadrat pada hamburan elastik Tau = Q/(4*Mn**2)

Gd = 1.0/(1+Q/0.71)**2 !dipol faktor bentuk

Ge1 = -Mung*Tau*Gd/(1+5.6*Tau) !faktor bentuk listrik neutron Galster Gm1 = Mung * Gd ! faktor bentuk magnetik Galster

Ge2 = -Munm*Tau*Gd/(1+5.6*Tau) !faktor bentuk listrik neutron Miller Gm2 = Munm * Gd ! faktor bentuk magnetik neutron Miller

! Perhitungan (dSigma/dOmega)nol

DS0 = Alpa**2*Co2/(8*Ei**2*Si2**2*P11) A21g = (Ge1**2+Tau*Gm1**2)/(1+Tau) A22g = 2*Tau*Gm1**2*Ta2

A21m = (Ge2**2+Tau*Gm2**2)/(1+Tau) A22m = 2*Tau*Gm2**2*Ta2

DSEg = 2*(A21g+A22g) !penampang hamburan elastik Galster DSEm = 2*(A21m+A22m) !penampang hamburan elastik Miller DSE0g = DSEg*DS0

DSE0m = DSEm*DS0

Write(5,100) Ei, Q, DSE0g, DSE0m 100 Format(2x,F8.2, 7E11.3) 10 Continue

20 Continue Close(5) End

(38)

Lanjutan Lampiran 1. Program komputer

program askp

Real Mn, Mung, Munm

Open(unit=5, file='hasilbaru.dat', status='unknown') pi = 3.141592654

Alpa = 1.0/137.0 !konstanta struktur halus elektromagnetik Mn = 0.939565560 !massa neutron, satuan GeV

Mung = -1.9130427 !momen magnetik neutron Galster Munm = -1.73 !momen magnetik neutron Miller

Eminel = 0.287 !energi elektron datang minimum, satuan GeV Emin = 0.3 !dalam GeV

Emax = 1 !dalam GeV Imax = 7

Jmax = 36

deltaE = (Emax-Emin)/Imax deltaTeta = pi/(Jmax) Do 20 J = 1, 27

Th = J*deltaTeta ! sudut hambur dalam radian Sdt = Th*180/pi ! sudut hambur dalam derajat write(5,200) Sdt

200 Format(//,7x, "Sudut Hambur : ",F6.2," derajat",/) Write(5,300)

300 Format(6x,"E(GeV) Qelastic DSE0g DSE0m" ) Si2 = (sin(Th/2))**2

Co2 = (cos(Th/2))**2 Ta2 = Si2/Co2 Do 10 I = 0,Imax

Ei = Emin + deltaE*I !Energi elektron datang P11 = 1+2*Ei*Si2/Mn

Ef= Ei/P11 !energi elektron hamburan elastik Q = 4*Ei*Ef*Si2 !-q kuadrat pada hamburan elastik Tau = Q/(4*Mn**2)

Gd = 1.0/(1+Q/0.71)**2 !dipol faktor bentuk

Ge1 = -Mung*Tau*Gd/(1+5.6*Tau) !faktor bentuk listrik neutron Galster Gm1 = Mung * Gd ! faktor bentuk magnetik Galster

Ge2 = -Munm*Tau*Gd/(1+5.6*Tau) !faktor bentuk listrik neutron Miller Gm2 = Munm * Gd ! faktor bentuk magnetik neutron Miller

! Perhitungan (dSigma/dOmega)nol

DS0 = Alpa**2*Co2/(8*Ei**2*Si2**2*P11) A21g = (Ge1**2+Tau*Gm1**2)/(1+Tau) A22g = 2*Tau*Gm1**2*Ta2

A21m = (Ge2**2+Tau*Gm2**2)/(1+Tau) A22m = 2*Tau*Gm2**2*Ta2

DSEg = 2*(A21g+A22g) !penampang hamburan elastik Galster DSEm = 2*(A21m+A22m) !penampang hamburan elastik Miller DSE0g = DSEg*DS0

DSE0m = DSEm*DS0

Write(5,100) Ei, Q, DSE0g, DSE0m 100 Format(2x,F8.2, 7E11.3) 10 Continue

20 Continue Close(5) End

(39)

Lampiran 2. Grafik penampang hamburan

0,00E+00 5,00E-03 1,00E-02 1,50E-02 2,00E-02 2,50E-02 3,00E-02 3,50E-02

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 5

̊

Galster

Miller

0,00E+00 1,00E-03 2,00E-03 3,00E-03 4,00E-03 5,00E-03 6,00E-03 7,00E-03 8,00E-03

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 10

̊

Galster

(40)

Lanjutan

Lampiran 2. Grafik penampang hamburan

0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03 2,00E-03 2,50E-03 3,00E-03 3,50E-03

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 15

̊

Galster

Miller

0,00E+00 1,00E-04 2,00E-04 3,00E-04 4,00E-04 5,00E-04 6,00E-04 7,00E-04 8,00E-04

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 30

̊

Galster

(41)

Lanjutan

Lampiran 2. Grafik penampang hamburan

0,00E+00 5,00E-05 1,00E-04 1,50E-04 2,00E-04 2,50E-04 3,00E-04

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 45

̊

Galster

Miller

0,00E+00 2,00E-05 4,00E-05 6,00E-05 8,00E-05 1,00E-04 1,20E-04 1,40E-04 1,60E-04

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 60

̊

Galster

(42)

Lanjutan

Lampiran 2. Grafik penampang hamburan

0,00E+00 1,00E-05 2,00E-05 3,00E-05 4,00E-05 5,00E-05 6,00E-05 7,00E-05 8,00E-05

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 75

̊

Galster

Miller

0,00E+00 5,00E-06 1,00E-05 1,50E-05 2,00E-05 2,50E-05 3,00E-05 3,50E-05 4,00E-05 4,50E-05 5,00E-05

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 90

̊

θ=90°

(43)

Lanjutan

Lampiran 2. Grafik penampang hamburan

0,00E+00 5,00E-06 1,00E-05 1,50E-05 2,00E-05 2,50E-05 3,00E-05 3,50E-05

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 105

̊

Galster

Miller

0,00E+00 5,00E-06 1,00E-05 1,50E-05 2,00E-05 2,50E-05

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 120

̊

Galster

(1)

Lanjutan

Lampiran 2. Grafik penampang hamburan

0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03 2,00E-03 2,50E-03 3,00E-03 3,50E-03

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 15

̊

Galster Miller

0,00E+00 1,00E-04 2,00E-04 3,00E-04 4,00E-04 5,00E-04 6,00E-04 7,00E-04 8,00E-04

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 30

̊

Galster Miller

(2)

Lanjutan

Lampiran 2. Grafik penampang hamburan

0,00E+00 5,00E-05 1,00E-04 1,50E-04 2,00E-04 2,50E-04 3,00E-04

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 45

̊

Galster Miller

0,00E+00 2,00E-05 4,00E-05 6,00E-05 8,00E-05 1,00E-04 1,20E-04 1,40E-04 1,60E-04

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 60

̊

Galster Miller

(3)

Lanjutan

Lampiran 2. Grafik penampang hamburan

0,00E+00 1,00E-05 2,00E-05 3,00E-05 4,00E-05 5,00E-05 6,00E-05 7,00E-05 8,00E-05

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 75

̊

Galster Miller

0,00E+00 5,00E-06 1,00E-05 1,50E-05 2,00E-05 2,50E-05 3,00E-05 3,50E-05 4,00E-05 4,50E-05 5,00E-05

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 90

̊

θ=90° θ=90°

(4)

Lanjutan

Lampiran 2. Grafik penampang hamburan

0,00E+00 5,00E-06 1,00E-05 1,50E-05 2,00E-05 2,50E-05 3,00E-05 3,50E-05

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 105

̊

Galster Miller

0,00E+00 5,00E-06 1,00E-05 1,50E-05 2,00E-05 2,50E-05

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 120

̊

Galster Miller

(5)

Lanjutan

Lampiran 2. Grafik penampang hamburan

0,00E+00 2,00E-06 4,00E-06 6,00E-06 8,00E-06 1,00E-05 1,20E-05 1,40E-05 1,60E-05 1,80E-05 2,00E-05

0 1 2 3 4

dσ

/d

Ω

en

→

en

Energi elektron datang (GeV)

Penampang hamburan dengan sudut 135

̊

Galster Miller

(6)