3
. =
2.10 .
= 0 2.11
× =
− 2.12
× =
+ 2.13
Keempat persamaan Maxwell tersebut dapat digantikan dengan dua buah
persamaan gelombang: 1
− ∇ =
4 π
c 2.14
1 − ∇
= 4 πρ
2.15 Dalam vektor-empat persamaan
Maxwell dapat disederhanakan menjadi: = 0
2.16 = 0
2.17 Persaman ini sesuai dengan kontinuitas
listrik yang dituliskan sebagai: + . = 0
2.18 Persamaan
kontinuitas sendiri
didefinisikan sebagai laju pertambahan muatan di suatu daerah digantikan
dengan oleh rapat arus yang masuk ke daerah tersebut.
2.3. Persamaan Schroedinger
Operator energi
total dan
momentum pada mekanika kuantum dapat dituliskan sebagai :
= dan =
− 2.19
Penjelasan persamaan
Schroedinger secara umum: ħ
, =
− ħ
2 ,
+ , 2.20
, tergantung terhadap posisi dan waktu.
Laju perubahan peluang : , =
− ħ
2
∗
−
∗
2.21 sehingga
didefinisikan rapat
arus peluang:
, = ħ
2
∗
−
∗
2.22 maka dapat dituliskan persamaan ini
persis sama
dengan persamaan
kontinuitas untuk muatan listrik dalam satu dimensi:
, + , = 0
2.23 Dengan analogi yang sama dengan
persamaan kontinuitas listrik, persamaan ini menyatakan laju pertambahan rapat
peluang di suatu daerah digantikan dengan arus peluang total yang masuk ke
daerah tersebut.
2.4. Teori Kuantum Relativistik
Persamaan Schroedinger sebagai teori kuantum non-relativistik, belum
dapat menjelaskan kemunculan struktur halus, spektra atom berelektron banyak,
dan lain-lain. Pada tahun 1929 Dirac mengembangkan persamaan diferensial
untuk
mengatasi hal
ini dengan
menggunakan persamaan
energi relativistik.
Einstein merumuskan hubungan massa dan energi dari postulat relativitas
khususnya. Pada partikel bebas hubungan massa dan energi dapat dituliskan
sebagai:
2 2 2
2 4 2
E c
m c m
p
2.24 dengan m merupakan massa diam.
2.4.1. Persamaan Dirac
Persamaan yang
memerikan partikel secara lengkap dikembangkan
oleh Dirac. Persamaan ini memiliki sifat yang linear dalam
serta harus kovarian dan memiliki sifat linear dalam
, sehingga
didapatkan bentuk
persamaan: = .
+ 2.25
Hubungan energi
relativistik untuk
partikel bebas dapat digunakan untuk menentukan koesien dan :
= +
2.26 kemudian didapatkan persyaratan sebagai
berikut: +
= 0; = 1,2,3; = 1,2,3;
≠ +
= 0; = 1,2,3 =
= 1; = 1,2,3 2.27
Matriks 4 × 4 diambil sebagai
matriks yang memenuhi persyaratan dengan dimensi terendah. Pilihan yang
4
digunakan salah satunya representasi Dirac-Pauli yang sering dipakai yaitu:
= ,
= 2.28
I merupakan matriks satuan 2 × 2 dan
merupakan matriks Pauli: =
1 1
, =
− −
, =
1 −1
2.29
Dengan penggunaan matriks – Dirac:
≡ , 2.30
sehingga persamaan
Dirac, dapat
dituliskan sebagai: −
= 0 2.31
Persamaan tersebut
dinamakan persamaan Dirac dalam bentuk kovarian.
Kemudian diperkenalkan spinor sekutu yang merupakan matriks baris:
≡ 2.32
sehingga didapatkan persamaan, yaitu: + m
= 0 2.33
Berikutnya, sesuai
usulan Pauli-
Weisskopf, dapat didefinisikan rapat arus muatan:
≡ , = 2.34
Dengan definisi Ze merupakan muatan partikel tersebut.
Pada partikel yang
dibahas adalah elektron, maka rapat arus muatan
ini dapat dituliskan sebagai: =
− 2.35
serta memenuhi persamaan kontinuitas: = 0
2.36
2.4.2. Solusi persamaan Dirac untuk partikel bebas
Persamaan Dirac memiliki solusi eigen dalam bentuk umum:
x ip
e u
.
p
2.37
dengan up merupakan spinor bentuk empat yang tidak tergantung terhadap x.
Dengan mensubsitusikan persamaan ini ke persamaan 2.31 akan didapatkan
bentuk lain:
p
u m
p
2.38 Dalam bentuk asal persamaan 2.25
persamaan ini dapat dituliskan sebagai berikut:
= . +
= u 2.39
Pada partikel bebas solusinya terbagi menjadi dua bagian yaitu sipinor-empat
energi positif berdasarkan nilai eigen energinya :
, .
E
m E
N u
s s
s
p
2.40 dan solusi spinor-empat negatif :
, |
| .
2
E m
E N
u
s s
s
p
2.41
dengan s =1,2 dan N adalah harga normalisasi yang dapat dituliskan sebagai
berikut:
m E
N
2.42 Persamaan
2.40 dan
2.41 menunjukkan
helisitas positif
dan helisitas negatif.
2.5. Penampang Hamburan
