Perbandingan Metode Simpleks Dengan Algoritma Titik Interior Dalam Penyelesaian Masalah Program Linier

DAFTAR PUSTAKA

Aminuddin. 2005. Prinsip-Prinsip Riset Operasi. Erlangga. Jakarta.

Dantzig, G. and Thapa, M.N. 1997. Linear Programming, 1: Introduction.

Springer. New York.

Hiller, F.S, and Lieberman, G.J (1990). Introdustion to Operation Research. McGraw-Hill, Inc. Singapore.

Kusumadewi, S, H. 2008. Penyelesaian Masalah Optimisasi Dengan Teknik Heuristik. Graha Ilmu. Yogyakarta.

Mulyono, Sri. 2004. Riset Operasi. Jakarta : Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia.

Mustafa, Z., Parkhan, A. 1999. Linear Programming dengan QS (Quantitative

Systems). Ekonisia. Yogyakarta.

Taha, Hamdy. A. 2007. Operations Research an Introductionm Eight Edition. Fayetteville: University of Arkansas.

Taha, H.A. 1996. Riset Operasi, Jilid I. Ed ke-5. Editor: Dr. Lyndon Saputra. Binarupa Aksara. Jakarta.

Siagian, P. 2006. Penelitian Operasional: Teori dan Praktek. Universitas Indonesia. Jakarta

Siswanto. 2006. Operations Research. Erlangga, Jakarta. Sitorus, P. 1997. Program Linier. Universitas Trisakti. Jakarta

Supranto, M .A. J.,1983. Linear Programming. Universitas Indonesia. Jakarta Syahputra, M.R. 2012. Metode Branch and Bound Untuk Menyelesaikan

Multi-Objective Integer Programming. Medan: Universitas Sumatera Utara. Taylor, B.W. 2001. Sains Manajemen: Pendekatan Matematika untuk Bisnis.

Salemba Empat. Jakarta.

Wirdasari. Dian. 2009. Metode Simpleks Dalam Program Linier. Jurnal

53

Wijaya, Andi. 2012. Pengantar Riset Operasi. Penerbit Mitra Wacana Media. Jakarta.

BAB 3

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1Permasalahan Program Linier

Program linier sangat penting dalam berbagai bidang studi. Program linier paling banyak digunakan dalam bidang bisnis dan ekonomi. Fungsi tujuan dapat berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber daya yang ada untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal, atau biaya minimal, sedangkan fungsi kendala mengambarkan batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.

Industri yang memanfaatkan program linier diantaranya ialah industri transportasi, energi, manufaktur dan telekomunikasi. Program linier juga berguna dalam membuat model berbagai macam masalah yang berkaitan dengan perencanaan, perancangan rute, penjadwalan, pemberian tugas dan desain. Tujuan dari program linier adalah menentukan nilai-nilai dari variabel-variabel keputusan yang memaksimalkan atau meminimalkan sebuah fungsi objektif linier dimana variabel-variabel keputusannya tunduk kepada kendala linier. Secara umum, sebuah program linier adalah sebuah kasus paling sederhana dari masalah optimasi dengan kendala.

3.2Aplikasi Masalah Program Linier

Sebuah perusahaan kecil memproduksi 4 jenis produk yang berbeda yang masing-masing membutuhkan 3 macam bahan baku, yaitu A, B, dan C. Produk tersebut dikerjakan melalui 2 proses pengerjaan manual, yaitu Proses I, dan Proses II. Setiap unit produk I membutuhkan 10 ons bahan baku A, 6 ons bahan baku B, dan 12 ons bahan baku C. Setiap unit produk II membutuhkan 8 ons bahan baku A, 10 ons bahan baku B, dan 12 ons bahan baku C. Setiap unit produk III membutuhkan 12 ons bahan baku A, 8 ons bahan baku B, dan 15 ons bahan baku C. Setiap unit

32

produk IV membutuhkan 14 ons bahan baku A, 12 ons bahan baku B, dan 13 ons bahan baku C. Akibat keterbatasan gudang bahan baku dan dana yang ada, bahan baku yang disediakan tiap minggu adalah sebesar 240 kg bahan baku A, 18 kg bahan baku B, dan 25 kg bahan baku C.

Setiap unit Produk I membutuhkan waktu 4 jam pada proses I, dan 2 jam pada proses II. Setiap unit produk II membutuhkan waktu 3 jam pada proses I dan 4 jam pada proses II. Setiap unit produk III membutuhkan waktu 5 jam pada proses I dan 3 jam pada proses II. Setiap unit produk IV membutuhkan 6 jam pada proses I dan 5 jam pada proses II. Jumlah karyawan pada proses I sebanyak 18 orang, sedangkan pada proses II sebanyak 20 orang. Perusahaan bekerja dengan 1 shift, mulai pukul 08.00 sampai pukul 16.00 dengan istirahat selama 1 jam mulai pukul 12.00 hingga 13.00, selama 6 hari kerja dalam 1 minggu.

Keuntungan per unit untuk produk I adalah sebesar Rp 4.000,-, keuntungan per unit produk II adalah sebesar Rp 6.000,-, keuntungan per unit produk III sebesar Rp 5.500,- dan keuntungan per unit produk IV adalah sebesar Rp 7.000,-. Informasi bagian pemasaran menyatakan bahwa berapa pun jumlah produk yang dibuat perusahaan, akan terserap seluruhnya oleh pasar. Berdasarkan kondisi tersebut, berapakah keuntungan maksimum yang bisa diperoleh oleh perusahaan ? (Kusumadewi, 2008 dengan modifikasi).

Dalam penyelesaian kasus ini, selanjutnya satuan bahan baku dinyatakan dalam ons. Jam kerja karyawan per minggu dapat dihitung:

 Pada proses I ditetapkan karyawan sejumlah 18 orang, dengan jam kerja selama 7 jam selama 6 hari per minggu. Maka jam kerja per minggu pada

proses I adalah : .

 Pada proses II ditetapkan karyawan sejumlah 20 orang, dengan jam kerja selama 7 jam selama 6 hari minggu. Maka jam kerja per minggu pada proses II adalah : .

3.2.1 Penyelesaian Menggunakan Metode Simpleks Kasus ini dapat ditabulasikan sebagai berikut:

Tabel 3.1 Bentuk Tabulasi Permasalahan

Sumber Produk Kapasitas ( ons)

I II III IV Maksimum Toleransi Bahan Baku A 10 8 12 14 2.400 600 Bahan Baku B 6 10 8 12 1.800 200 Bahan Baku C 12 12 15 13 2.500 500

Jam Proses I 4 3 5 6 756 0

Jam Proses II 2 4 3 5 840 0

Keuntungan/unit 4.000 6.000 5.500 7.000

Untuk meyelesaikan permasalahn di atas, langkah yang dilakukan adalah merumuskan karakteristik pada program linier biasa, yaitu:

1. Menentukasn variabel keputusan a. : Produk I

b. : Produk II c. : Produk III d. : Produk IV

2. Merumuskan fungsi tujuan

Fungsi tujuan dari permasalahan ini adalah memaksimalkan keuntungan dari tiap produk yang akan diproduksi, yakni produk I, produk II, produk III dan produk IV sehingga dapat dirumuskan menjadi:

3. Merumuskan fungsi kendala

a. Fungsi kendala pada bahan baku A

34

c. Fungsi kendala pada bahan baku C

d. Fungsi kendala berdasarkan jam kerja karyawan per minggu pada proses I

e. Fungsi kendala berdasarkan jam kerja karyawan per minggu pada proses II

Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

Dengan kendala :

Dengan menambahkan variabel slack maka persamaan menjadi: Maksimumkan:

Dengan kendala:

4. Membuat tabel simpleks awal

Tabel 3.2 Tabel Awal Metode Simpleks

Basis

4.000 6.000 5.500 7.000 0 0 0 0 0

0 10 8 12 14 1 0 0 0 0 2.400 0 6 10 8 12 0 1 0 0 0 1.800 0 12 12 15 13 0 0 1 0 0 2.500

0 4 3 5 6 0 0 0 1 0 756

0 2 4 3 5 0 0 0 0 1 840

-4.000 -6.000 -5.500 -7.000 0 0 0 0 0 0

Keterangan:

 Pada baris -7.000 paling minimum, maka masuk dalam basis.



 Kunci Baru dikalikan  Baris yang baru:

 Baris yang baru: )

 Baris yang baru:  Baris yang baru:

36

Tabel 3.3 Iterasi 1

Basis 4.000 6.000 5.500

7.00

0 0 0 0 0 0

0 0,6667 1 0,3333 0 1 0 0 -2,333 0 636 0 -2,0 4 -2,0 0 0 1 0 -2 0 288 0 3,3333 5,5 4,1667 0 0 0 1

-2,1667 0 862 700

0 0,6667 0,5 0,8333 1 0 0 0 0,1667 0 126 0 -1,3333 1,5 -1,1667 0 0 0 0 -0,833 1 210

666,666 6

-2500

333,33

3 0 0 0 0 0 0

882.00 0

Keterangan:

 Pada baris -2500 paling minimum, maka masuk dalam basis.



 Kunci Baru dikalikan  Baris yang baru:

 Baris yang baru:  Baris yang baru:  Baris yang baru:

Tabel 3.4 Iterasi 2

Basis

6.000 -0,5 1 -0,5 0 0 0,25 0 -0,5 0 72 0 6,0833 0 6,9167 0 0 -0,625 1 0,5833 0 466 7.000 0,9167 0 1,0833 1 0 -0,125 0 0,4167 0 90

0 -0,583 0 -0,4167 0 0 -0,375 0

-0,0833 1 102

-583,33 0

-916,667 0 0 625 0

-83,333 0 1.062.000

Keterangan:

 Pada baris -916,667 paling minimum, maka masuk dalam basis.



 Kunci Baru dikalikan  Baris yang baru:

 Baris yang baru: (-0,5) )  Baris yang baru:

 Baris yang baru: (-0,4167) Tabel 3.5 Iterasi 3

Basis

4.000 6.000 5.500 7.000 0 0 0 0 0

0 0,4337 0 0 0 1 -0,0843 -0,1205 -1,903 0 507,8554

38

5500 0,8795 0 0 0 0 -0,1988 0,1446 0,0843 0 67,3735

7000 -0,0361 0 1 1 0 0,0904 -0,1566 0,3253 0 17,012

0 -0,2169 0 0 0 0 -0,4578 0,0602 -0,048 1 130,0723

222,8916 0 0 0 0 442,7711 132,5301 -6,024 0 1.123.758,45

Keterangan:

 Pada baris -6,0241 paling minimum, maka masuk dalam basis.



 Kunci Baru dikalikan

 Baris yang baru: (-1,9036)  Baris yang baru:

 Baris yang baru:  Baris yang baru:

Tabel 3.6 Iterasi 4

Basis

4.000 6.000 5.500 7.000 0 0 0 0 0

0 0,2222 0 0 5,8519 1 0,4444 -1,037 0 0 607,4074 6000 -0,1111 1 0 1,4074 0 0,2778 -0,1481 0 0 129,6296 5500 0,8889 0 0 -0,2593 0 -0,2222 0,1852 0 0 62,3735

0 -0,1111 0 1 3,0741 0 0,2778 -0,4815 1 0 17,012 0 -0,222 0 0 0,1481 0 -0,4444 0,037 0 1 130,0723

Karena baris , maka persoalan diatas telah optimal dengan

untuk dan .

Keuntungan maksimum akan diperoleh jika produk II diproduksi sebanyak 129,6296 unit, produk III diproduksi sebanyak 62,963 unit dan tidak memproduksi produk I dan produk IV dengan keuntungan yang diperoleh sebesar Rp 1.124.074,00. Dengan kondisi di atas diperoleh dari kendala berdasarkan bahan baku bahwa:

1. Pada bahan baku A dibutuhkan sebanyak: dengan dan .

ons. 2. Pada bahan baku B dibutuhkan sebanyak:

dengan

dan .

ons. 3. Pada bahan baku C dibutuhkan sebanyak:

dengan dan .

Dengan kondisi di atas diperoleh dari kendala berdasarkan waktu proses bahwa: 1. Lama waktu pada proses I selama:

dengan dan

.

menit. 2. Lama waktu pada proses I selama:

dengan dan

40

menit.

3.2.2 Penyelesaian Menggunakan Algoritma Titik Interior Maksimumkan:

Dengan kendala:

Dengan menambahkan variabel slack, persamaan menjadi: Maksimumkan:

; ;

Proses iterasi akan berhenti apabila nilai

Diambil titik awal penyelesaian adalah

Diperoleh nilai

Iterasi 1

1. D =

42

3.

5.

44

7.

8.

Diperoleh nilai .

Karena nilai maka dilakukan iterasi selanjutnya.

Iterasi 2

1. D =

3.

4.

5.

46

7.

8.

Diperoleh nilai 1,115.655,48

Karena nilai maka dilakukan iterasi selanjutnya.

Iterasi 3

1. D =

=

3.

4.

5.

48

7.

8.

Diperoleh nilai 1.121.680,359

Karena nilai maka dilakukan iterasi selanjutnya.

Iterasi 4

Diperoleh nilai 1.122.31440

Karena nilai maka dilakukan iterasi selanjutnya.

Diperoleh nilai 1.124.074,725

Karena nilai maka dilakukan iterasi selanjutnya.

Iterasi 6

Diperoleh nilai 1.124.074,17

Karena nilai maka dilakukan iterasi berhenti. Diperoleh hasil

1.124.074,17, dengan nilai dan

. Sehingga keuntungan maksimum yang diperoleh oleh perusahaan adalah Rp.1.124.074,101. Dengan kondisi di atas diperoleh dari kendala berdasarkan bahan baku bahwa:

1. Pada bahan baku A dibutuhkan sebanyak:

dengan

dan .

ons.

50

dengan

dan .

ons.

3. Pada bahan baku C dibutuhkan sebanyak:

dengan

dan .

ons

Dengan kondisi di atas diperoleh dari kendala berdasarkan waktu proses bahwa: 1. Lama waktu pada proses I selama:

dengan

dan .

menit.

2. Lama waktu pada proses I selama:

dengan

dan .

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya, penulis menyimpulkan bahwa:

1. Metode simpleks dan algoritma titik interior di dalam contoh kasus program linier dengan 4 variabel mempunyai kompleksitas yang sama dengan nilai fungsi tujuan .

2. Karena metode simpleks dan algoritma titik interior di dalam masalah program linier mempunyai kompleksitas yang sama, maka dapat dilihat

running time kedua algoritma yaitu:

a) Running time metode simpleks memiliki 4 iterasi.

b) Running time algortima titik interior memiliki 6 iterasi.

3. Metode simpleks lebih efisien dibandingkan algoritma titik interior dalam menyelesaikan masalah program linier.

4.2 Saran

1. Penelitian yang penulis lakukan hanya sebatas permasalahan dengan sedikit variabel, penulis berharap ada penelitian lebih lanjut dengan menggunakan banyak variabel pada permasalahan program linier.

2. Penelitian yang diterapkan hanya fokus dalam penggunaan metode simpleks pada program linier, penulis berharap ada penelitian lebih lanjut tentang cara menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode simpleks dan algoritma titik interior.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Matriks

2.1.1 Definisi Matriks

Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka (elemen-elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang, di mana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan baris-baris. Matriks pada dasarnya merupakan alat yang ampuh di dalam pemecahan persoalan-persoalan yang terdiri dari lebih dari dua persamaan dengan beberapa variabel dan memudahkan di dalam pembuatan analisis-analisis yang mencakup hubungan antara variabel-variabel.

Pada awalnya matriks ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley (1821-1895) yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linier awal dari semua ini matriks dianggap sebagai sebuah permainan karena matriks dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1925 matriks digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matriks digunakan dalam berbagai bidang. Di dalam memecahkan persoalan operation

research atau linier programming, matriks memegang peranan penting terutama

sebagai landasan yang kuat untuk memahami pengertian-pengertian pemecahan dasar, metode simpleks dan lain sebagainya.

Sebuah matriks dinotasikan dengan simbol huruf besar seperti atau dan sebagainya. Apabila suatu matriks A terdiri dari m baris dan n kolom, maka matriks A bisa ditulis sebagai berikut:

Keterangan :

A = , i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n.

merupakan elemen matriks A dari baris i dan kolom j, i dan j dinamakan indeks (subcript), yaitu petunjuk letak (posisi) bagi setiap elemen. Elemen-elemen: , , ..., , ..., disebut diagonal pokok (main diagonal).

Matriks tereduksi adalah matriks yang tiap kolom dan tiap barisnya mengandung atau memiliki paling sedikit satu buah angka 0 dan elemen-elemen lainnya bernilai non-negatif. Untuk mendapatkan matriks tereduksi, maka tiap baris atau kolom yang belum mengandung angka 0 dikurangi dengan nilai terkecil pada baris atau kolom tersebut.

2.1.2 Jenis-jenis Matriks

Beberapa jenis matriks sebagai berikut: 1. Matriks kuadrat

Matriks kuadrat adalah matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama banyak. Dalam suatu matriks kuadrat, elemen-elemen disebut elemen diagonal utama.

10

2. Matriks diagonal

Matriks kuadrat dinamakan matriks diagonal jika semua elemen di luar diagonal utama adalah nol, untuk dan paling tidak satu elemen pada diagonal pokok untuk . Jumlah elemen-elemen diagonal utama suatu matriks kuadrat disebut trace ditulis .

3. Matriks Identitas

Matriks disebut matriks identitas dan biasa diberi symbol

4. Matriks singular

Matriks kuadrat dikatakan singular jika semua elemen pada salah satu baris atau kolom adalah nol atau jika semua kofaktor dari elemen suatu baris atau kolom sama dengan nol. Untuk melihat kesingularan suatu matriks adalah dengan menghitung determinan matriks tersebut. Apabila determinannya sama dengan nol maka matriks tersebut singular.

5. Matriks orthogonal

Matriks kuadrat dikatakan dapat didiagonalisasi secara orthogonal jika terdapat matriks orthogonal sehingga berlaku . Matriks orthogonal didefinisikan sebagai matriks kuadrat yang inversnya sama dengan transposenya, sehingga dan adalah matriks orthogonal.

Ada beberapa operasi dalam matriks, yaitu : 1. Perkalian matriks dengan skalar

Jika adalah matriks dan adalah suatu skalar, maka hasil kali

dengan adalah matriks

dengan .

2. Perkalian matriks dengan matriks

Jika adalah matriks dan adalah matriks maka hasil kali dari matriks dan matriks ditulis dengan adalah matriks

.

3. Penjumlahan matriks

Jika adalah matriks dan adalah matriks maka penjumlahan matriks dan matriks yang ditulis dengan dengan:

(2.1)

4. Transpose matriks

Jika adalah matriks maka matriks dengan dan disebut dengan transpose dari matriks

Matriks yang umum dapat ditulis:

(2.1)

12

5. Invers matriks

Jika matriks disebut non singular apabila terdapat matriks maka Matriks disebut invers dari matriks . Jika tidak terdapat matriks maka matriks disebut singular. Secara umum invers matriks adalah:

Sifat-sifat invers:

a. Jika matriks non singular, maka adalah non singular dan

b. Jika dan adalah matriks non singular, maka adalah non singular dan

c. Jika adalah matriks non singular, maka .

2.2 Program Linier

Pemrograman linier adalah salah satu model yang umum digunakan dalam masalah pengalokasian sumber daya secara optimal. Pemrograman linier meliputi kegiatan untuk mencapai hasil yang optimal dari antara alternatif-alternatif yang mungkin menggunakan model matematis berbentuk fungsi linier. Program linier disusun oleh George B. Dantzig tahun 1947 pada saat memimpin Air Force

Statistical Control’s Combat Analysis Branch di Pentagon. Saat Dantzig menganalisis masalah perencanaan Air Force dia menyadari dapat merumuskan sistem ketidaksamaan linier. Hal di atas merupakan awal pemberian nama untuk teknik “program dan struktur linier” yang belakangan ini disederhanakan menjadi program linier (Taylor, 2001).

Program linier merupakan model matematika untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber organisasi. Kata sifat linier digunakan untuk menunjukkan fungsi-fungsi matematika yang digunakan dalam bentuk linier dalam arti hubungan langsung dan proporsional. Program menyatakan penggunaan teknik matematika tertentu. Jadi, program linier adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat analitis menggunakan model matematis dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan optimum terhadap persoalan (Aminuddin, 2005).

Program linier adalah suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu problema keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu fungsi tujuan (memaksimalkan atau meminimalkan) dan kendala-kendala yang ada ke dalam model matematik persamaan linier. Program linier sering digunakan dalam penyelesaian problema-problema alokasi sumber daya, seperti dalam bidang

manufacturing, pemasaran, keuangan, personalia, administrasi, dan lain

sebagainya (Parlin Sitorus, 1997).

Program linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan cara terbaik yang mungkin dilakukan. Pokok pikiran utama dalam menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah terumuskan dengan baik, maka langkah berikut ialah menerjemahkan masalah ke dalam bentuk model matematika (P. Siagian, 2006).

Program linier berkaitan dengan maksimalisasi atau minimalisasi fungsi tujuan linier dengan beberapa variabel yang memiliki kesamaan dan ketaksamaan fungsi kendala. Program linier menggunakan model matematis untuk menjelaskan persoalan yang dihadapinya. Sifat “linier” memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model merupakan fungsi yang linier, demikian kata program merupakan sinonim untuk perencanaan. Dengan demikian program linier adalah perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimum, yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik di antara alternatif yang layak (Dantzig & Thapa, 1997).

14

2.2.1 Persyaratan Penyelesaian Program Linier

Syarat-syarat yang harus dipenuhi dalam merumuskan suatu problema keputusan ke dalam model matematik persamaan linier adalah sebagai berikut (Parlin Sitorus, 1997):

1. Tujuan

Apa yang menjadi tujuan permsasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan.

2. Alternatif Perbandingan

Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan, misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah.

3. Sumber Daya

Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas. 4. Perumusan Kuantitatif

Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif sesuai dengan yang disebut dalam model matematika.

5. Keterkaitan Peubah

Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.

2.2.2 Model Umum Matematik Program Linier

Model umum program linier dapat dirumuskan ke dalam bentuk matematik sebagai berikut (Parlin Sitorus, 1997):

Dengan kendala:

dan

Keterangan:

= Fungsi tujuan

= Variabel keputusan

= Nilai kontribusi dari variabel keputusan

= Koefisien teknologi dari variabel keputusan dalam kendala ke- = Sumber daya yang tersedia dalam kendala ke-

2.2.3 Karakteristik Program Linier

Karakteristik-karakteristik dalam program linier yang biasa digunakan untuk memodelkan suatu masalah dan memformulasikannya secara matematik, yaitu (Siswanto, 2006):

1. Variabel Keputusan

(2.4) (2.3)

16

Variabel keputusan adalah variabel yang secara lengkap menguraikan keputusan-keputusan yang akan dibuat.

2. Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan merupakan suatu hubungan linier dari variabel keputusan yang berupa fungsi maksimum atau minimum.

3. Fungsi Kendala

Fungsi kendala merupakan batasan-batasan dalam penyelesaian program linier yang harus diperhatikan. Kendala diekspresikan dalam persamaan dan

pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumber daya dalam suatu masalah.

2.2.4 Asumsi dalam Program Linier

Dalam membangun model dari formulasi suatu persoalan akan digunakan karakteristik-karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan program linier, yaitu (Syahputra, 2012):

1. Linieritas (Linierity)

Fungsi tujuan (objective function) dan fungsi kendala (constraint) dibuat dalam fungsi linier. Sifat linieritas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara, misalnya dengan menggunakan grafik.

2. Kesetaraan (Propotionality)

a. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan.

b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.

3. Penambahan (Addivity)

Sifat penambahan mengasumsikan bahwa tidak terdapat bentuk perkalian silang pada model, baik bagi fungsi tujuan maupun fungsi kendala. 4. Pembagian (Divisibility)

Nilai variabel keputusan harus lebih besar atau sama dengan nol. 6. Kepastian (Certainty)

Koefisien pada fungsi tujuan ataupun fungsi kendala merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan suatu nilai dengan peluang tertentu.

Asumsi-asumsi tersebut harus dipenuhi apabila ingin menyelesaikan masalah model program linier. Jika asumsi-asumsi tersebut tidak dapat terpenuhi, persoalan dapat diselesaikan dengan program matematika lain seperti integer programming nonlinier programming, goal programming dan

dynamic programming.

Suatu masalah dapat mempunyai banyak algoritma penyelesaian. Algoritma yang digunakan tidak saja harus benar tetapi harus efisien. Efisiensi suatu algoritma dari waktu eksekusi algoritma dan kebutuhan ruang memori. Algoritma yang efisien adalah algoritma yang meminimumkan kebutuhan waktu dan ruang. Dengan menganalisis beberapa algoritma untuk suatu masalah, dapat diidentifikasi satu algoritma yang paling efisien. Besaran yang digunakan untuk menjelaskan model pengukuran waktu dan ruang ini adalah kompleksitas algoritma.

Kompleksitas dari suatu algoritma merupakan ukuran seberapa banyak komputasi yang dibutuhkan algoritma tersebut untuk menyelesaikan masalah. Secara informal, algoritma yang dapat menyelesaikan suatu permasalahan dalam waktu yang singkat memiliki kompleksitas yang rendah, sementara algoritma yang membutuhkan waktu yang lama untuk menyelesaikan masalahnya mempunyai kompleksitas yang tinggi. Kompleksitas algoritma terdiri dari dua macam yaitu kompleksitas waktu dan kompleksitas ruang. Beberapa metode yang dipakai untuk mengurangi tingkat kompleksitas adalah metode algoritma titik interior yang dikembangkan oleh N. Karmarkar pada tahun 1984. Algoritma titik interior memiliki tingkat komplekitas yang sama dengan metode simpleks, maka masalah program linier dapat diselesaikan dengan waktu yang lebih singkat.

18

2.3 Metode Grafik

Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan program linier. Metode ini menggunakan pendekatan grafik dalam pengambilan keputusan dengan seluruh fungsi kendala dibuat dalam satu bagian gambar kemudian diambil keputusan melalui grafik tersebut untuk menentukan nilai variabel keputusan yang optimum. Metode ini hanya dapat menyelesaikan dua variabel keputusan, apabila memiliki lebih dari dua variabel keputusan maka metode ini tidak dapat digunakan (Parlin Sitorus, 1997).

Langkah-langkah metode grafik (Andi wijaya 2012):

1. Mengidentifikasi variabel keputusan dan memformulasikan dalam simbol matematis.

2. Mengidentifikasikan tujuan yang akan dicapai dan kendala-kendala. 3. Memformulasikan tujuan dan kendala ke dalam fungsi matematik.

4. Membuat grafik untuk kendala-kendala yang ada dalam satu bagian. Untuk membuat grafik fungsi kendala yang berbentuk pertidaksamaan ( dan diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk persamaan (

5. Menentukan daerah layak pada grafik. Daerah layak dapat dilihat dari pertidaksamaan pada kendala. Apabila kendala berbentuk maka daerah arsiran terjadi pada bagian kiri atau bawah atau kiri bawah, tetapi apabila kendala berbentuk , maka daerah arsiran dilakukan di kanan atau kanan atas. Apabila berbentuk persamaan ( maka daerah layak terjadi di sepanjang grafik atau garis.

6. Menentukan titik-titik variabel keputusan pada daerah layak.

Contoh 2.1

Sebuah perusahaan memiliki pabrik yang akan memproduksi dua jenis produk yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan

keuntungan. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut:

Tabel 2.1 Kebutuhan Bahan Baku, Waktu Tenaga Kerja dan Maksimum Penyediaan.

Jenis bahan baku dan tenaga kerja

Bahan baku dan waktu tenaga kerja

Maksimum penyediaan Kain

sutera Kain wol

Benang sutera 2 3 60 kg

Benang wol - 2 30 kg

Tenaga kerja 2 1 _{40 jam}

Langkah-langkah dalam pengerjaan metode grafik: 1. Variabel keputusan

a. kain sutera b. kain wol 2. Fungsi tujuan

3. Fungsi Kendala a.

b. c.

4. Membuat grafik a.

20

, b.

c.

,

Gambar 2.1 Fungsi Kendala

5. Menentukan daerah layak pada grafik.

Gambar 2.3 Himpunan Penyelesaian a. Titik A:

b. Titik B:

c. Titik C:

d. Titik D:

22

e. Titik E:

Hasil perhitungan disajikan dalam Tabel 2.2 sebagai berikut:

Tabel 2.2 Hasil Perhitungan

Titik

A(0,0) 0 0 0

B(20,0) 800 0 800

C(15,10) 600 300 900 D(7.5,15) 300 450 750

E(0,15) 0 450 450

Jadi berdasarkan hasil perhitungan pada tabel 2.2 diperoleh nilai berada pada titik C dengan dan

2.4 Metode Simpleks

Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang secara sistematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yang fisibel ke pemecahan dasar fisibel lainnnya, dilakukan secara berulang-ulang sehingga tercapai suatu

pemecahan dasar yang optimum dan setiap langkah menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih besar atau sama dari iterasi sebelumnya (Parlin Sitorus, 1997).

Cara yang paling sederhana untuk menyelesaikan permasalahan program linier adalah dengan pendekatan grafikal. Cara tersebut hanya bisa diterapkan untuk program linier dengan dua variabel keputusan. Pada kenyataannya sebagian besar permasalahan program linier mempunyai lebih dari dua variabel keputusan. Hal ini tentu sulit untuk menerapkan pendekatan grafikal untuk memperoleh

mengajukan suatu metode yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan program linier yang disebut metode simpleks. Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari titik ekstrim pada daerah feasible (ruang sousi) menuju titik ekstrem yang optimum (Aminuddin 2005).

Dalam menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode simpleks, bentuk dasar yang digunakan haruslah merupakan bentuk standar, yaitu bentuk formulasi yang memenuhi ketentuan berikut ini (Mustafa dan Parkhan, 1999).

1. Seluruh pembatas linier harus berbentuk persamaan dengan ruas kanan yang nonnegatif.

2. Seluruh peubah keputusan harus merupakan peubah nonnegatif. 3. Fungsi tujuannya dapat berupa maksimasi atau minimasi.

Beberapa hal yang dapat dilakukan untuk mengubah bentuk permasalahan program linier yang belum standar ke dalam bentuk standar permasalahan program linier sesuai dengan ketentuan Pembatas linier (linier constraint) yang terdiri dari:

a. Pembatas linier bertanda ”≤” dapat dijadikan suatu persamaan ”=” dengan cara menambahkan ruas kiri dari pembatas linier itu dengan slack

variable (peubah penambah). Slack variabel pada umumnya digunakan

untuk mewakili jumlah kelebihan ruas kanan pembatas linier dibandingkan dengan ruas kirinya. Pada pembatas linier bertanda ”≤”, ruas kanan umumnya mewakili batas ketersediaan sumber daya sedangkan ruas kiri umumnya mewakili penggunaan sumber daya tersebut yang dibatasi oleh berbagai kegiatan yang berbeda (peubah) dari suatu model program linier sehingga slack variable dapat diartikan untuk mewakili jumlah sumber daya yang tidak dipergunakan.

b. Pembatas linier bertanda ”≥” dapat dijadikan suatu persamaan ”=” dengan cara mengurangkan ruas kiri dari pembatas linier itu dengan surplus variabel (peubah penambah negatif). Pada pembatas linier bertanda ”≥”,

24

ruas kanan umumnya mewakili penetapan persyaratan spesifikasi minimum, sehingga surplus variabel dapat diartikan untuk mewakili jumlah kelebihan sesuatu dibandingkan spesifikasi minimumnya.

c. Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan nonnegatif dengan cara mengalikan kedua ruas dengan -1.

d. Arah pertidaksamaan berubah apabila kedua ruas dikalikan dengan -1.

e. Pembatas linier dengan pertidaksamaan yang ruas kirinya berada dalam tanda mutlak dapat diubah menjadi dua pertidaksamaan.

Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode simpleks (Handayani, 2014):

1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.

Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian daerah kelayakan (feasible) maka semua pertidaksamaan diubah menjadi persamaan dengan cara menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan (artifisial variabel) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol pada setiap koefisien tujuannya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut:

a. Untuk batasan bernotasi diubah ke dalam bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack.

b. Untuk batasan bernotasi atau diselesaikan dengan menambahkan variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan penalty M (M bilangan positif yang sangan besar) sebagai harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Untuk kasus maksimasi maka dibuat –M sebagai harga dari variabel buatan dan untuk kasus minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M method).

Tabel 2.3 Bentuk Tabel Simpleks

...

Basis Variabel Basis Harga Basis ...

...

...

...

3. Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai yang paling positif untuk kasus maksimasi atau yang memiliki nilai yang paling negatif untuk kasus minimasi.

4. Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci,

5. Tentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci.

6. Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris Z baru, dan baris variabel-variabel slack baru.

a. Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan elemen cell.

b. Baris Z baru dan baris-baris lainnya ditentukan dengan cara:

Baris lama – (nilai kolom kunci baris yang sesuai × baris kunci baru) c. Letakkan nilai-nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel.

7. Lakukan uji optimalisasi. Jika semua koefisien pada baris sudah tidak ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus maksimasi) atau sudah tidak

26

ada lagi yang bernilai negatif (untuk kasus minimasi) berarti sudah optimal. Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah 3.

2.5 Algoritma Titik Interior

Titik interior merupakan titik-titik yang beradadi dalam daerah layak. ada dua langkah yang diperlukan dari metode titik interior, yaitu mencarik arah layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran pada titik tertentu dari setiap iterasi dan menentukan besar langkah yang menghasilkan titik baru yang berada pada daerah layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran. Algoritma titik interior di bagi dalam empat kelas utama yaitu, affine scaling methods, metode proyektif atau dikenal dengan metode Karmarkar, path following methods dan potential

reduction methods.

Algoritma titik interior pertama kali diperkenalkan oleh Narendra Karmarkar (1984) dari Laboratorium AT & T mengenai algoritma baru untuk menyelesaikan masalah-masalah pemrograman linier yang besar. Algoritma titik interior merupakan metode untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier yang memotong atau menembus interior dari daerah fisibel untuk mencapai suatu solusi optimal. Titik interior merupakan titik-titik yang berada di dalam daerah fisibel (Hillier & Lieberman, 1990). Dasar teori algoritma ini menggunakan konsep gradien dan proyeksi.

Algoritma titik interior dalam menyelesaikan persoalan program linier secara fundamental berbeda dari metode simpleks. Langkah awal dalam algoritma titik interior yaitu menentukan titik awal pemecahan masalah. Titik awal algoritma titik interior dari dalam himpunan fisibel dan bergerak menuju verteks optimal. Algoritma titik interior berhenti menemukan solusi yang memiliki nilai fungsi tujuan lebih kecil atau sama dengan nilai berhenti yang telah ditentukan pertama kali. Gagasan dasar dari algoritma titik interior dapat dilihat dalam permasalahan program linier berikut:

Maksimumkan dengan kendala

Agar masalah program linier menjadi bentuk standar, maka ditambahkan variabel pengetat pada masalah program linier di atas, sehingga menjadi:

Maksimumkan dengan kendala

dengan adalah variabel slack.

Gambar 3.1 Permasalahan untuk Memaksimalkan Nilai

Gambar 3.1 menggambarkan permasalahan untuk memaksimalkan nilai . Ruang pemecahan diketahui dengan ruas dan arah kenaikan adalah arah postif . Iterasi dimulai dari titik interior C dalam ruang penyelesaian (garis AB). gradien fungsi tujuan ( di C adalah arah yang membuat fungsi tujan meningkat dengan cepat. Jika satu titik sembarang ditempatkan di sepanjang gradien itu dan kemudian memproyeksikannya secara tegak lurus terhadap ruang penyelesaian (garis ), maka diperoleh titik baru . Dari sudut pandang nilai , titik yang baru ini lebih baik dari titik awal .

Perbaikan seperti ini diperoleh dengan bergerak dalam arah yang merupakan gradien garis hasil proyeksi atau disebut sebagai gradien terproyeksi. Jika prosedur yang sama ini diulang di , maka akan ditemukan satu titik baru di

28

yang lebih dekat dengan titik optimum. Dapat diperkirakan jika bergerak dengan sangat hati-hati dalam arah gradien terproyeksikan, maka akan dicapai titik optimum . Langkah-langkah yang dihasilkan di sepanjang gradien terproyeksi tidak akan meleset dari titik optimum di dan dalam kasus dimensi pada umumnya. Arah yang diciptakan oleh gradien terproyeksi tidak akan menyebabkan terjebaknya algoritma tersebut di titik yang bukan optimum. Prosedur gradien yang diproyeksikan akan menjauh dari titik ke arah optimum di (

Penggunaan algoritma titik interior untuk menyelesaikan masalah program linier harus diubah terlebih dahulu kedalam bentuk kanonik karmarkar dan memenuhi beberapa asumsi metode karmarkar (Bazaraa, 2010). Bentuk kanonik dari karmarkar adalah:

Minimumkan (2.4)

Kendala

(2.5)

Keterangan:

= variabel keputusan = matriks m x n

= koefisien variabel fungsi tujuan = vector kolom berukuran m dari 0

Semua batasan kendala merupakan persamaan homogen kecuali untuk kendala 1 yang merupakan kendala untuk mendefinisikan sebuah simpleks n dimensi. Algoritma titik interior memiliki konsep atau pemikiran dasar sebagai berikut:

1. Bergerak melalui daerah fisibel menuju suatu penyelesaian optimal.

3. Mengubah daerah layak tersebut untuk menempatkan penyelesaian percobaan yang sedekat mungkin pada titik pusatnya dan dengan demikian memungkunkan peningkatan yang besar bilamana melaksanakan konsep yang pertama.

2.6Langkah-langkah Algoritma Titik Interior Langkah–langkah pengerjaan algoritma titik interior:

1. Mengidentifikasi variabel keputusan, fungsi tujuan, dan fungsi kendala.

2. Memformulasikan variabel keputusan, fungsi tujuan, dan fungsi kendala ke dalam bentuk program linier.

3. Diubah dalam bentuk maximize (diperluas) dengan menambahkan variabel

slack pada fungsi kendala.

4. Jika program linier sudah dalam bentuk minimize (diperluas), maka permasalahan dapat diselesaikan dengan algoritma titik interior dengan langkah sebagai berikut:

Langkah 1: Diketahui penyelesaian percobaan awal ( yang di ambil dari fungsi kendala D adalah matriks diagonal dari percobaan awal.

Langkah 2: Hitung nilai Langkah 3: Hitung nilai

Langkah 4: Hitung nilai , Langkah 5: Hitung nilai

Langkah 6: Tentukan komponen negatif yang mempunyai nilai absolut terbesar dan tetapkan V sama dengan nilai absolut tersebut.

30

Langkah 7: Hitung ,

Langkah 8: Hitung , jika penyelesaian percobaan ini tidak berubah dari percobaan sebelumnya maka algoritma telah memuat suatu penyelesaian optimal.

Keterangan:

= Matriks koefisien kendala

= Perkalian antara matriks kofisien kendala dan matriks diagonal dari percobaan awal

= Vektor kolom dari koefisien fungsi tujuan = Tingkat kemiringan

= Matriks proyeksi

= Tingkat kemiringan yang diproyeksikan = Penyelesaian percobaan awal baru

Kenaikan dalam nilai adalah proporsional terhadap , nilai mengukur proporsi jarak yang dapat ditempuh sebelum meninggalkan daerah layak. Suatu nilai yang mendekati batas atas 1 adalah baik sebagai langkah berarti ke arah optimalitas dalam proses iterasi. Narendra Karmarkar mengemukakan untuk algoritma titik interior nilai sebesar (Hiller and Lieberman, 1990).

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari, ilmu mengenai operasi riset banyak digunakan dan diterapkan oleh manusia, terutama diterapkan pada bidang ekonomi yaitu pada dunia usaha. Setiap pelaku usaha atau pelaku ekonomi pasti melakukan apa yang disebut dengan prinsip ekonomi, yaitu dengan usaha atau modal yang sedikit mampu menghasilkan keuntungan yang banyak, sehingga muncul masalah optimisasi. Masalah optimisasi tersebut meliputi meminimumkan biaya atau memaksimumkan keuntungan dengan kapasitas sumber daya yang ada agar mampu mendapatkan hasil yang optimal.

Program linier pertama kali diperkenalkan oleh George Dantzig (1947) yang pada awalnya banyak dipakai pada bidang perencanaan militer, khususnya dalam perang dunia II oleh angkatan bersenjata Amerika Serikat dan Inggris. Metode pengerjaan program linier umumnya menggunakan metode grafik dan metode simpleks. Program linier merupakan sebagai instrumen pengambilan keputusan yang berkaitan dengan pengalokasian sumber daya dalam mencapai tujuan tertentu. Sumber daya berupa uang, tenaga kerja, material, mesin, fasilitas, ilmu pengetahuan, teknologi, keahlian, waktu dan ruang. Sumber daya ini sifatnya terbatas.

Program linier merupakan suatu cara yang lazim digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Persoalan pengalokasian akan muncul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat aktivitas yang akan dilakukannya, di mana masing-masing aktivitas membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas (Mustafa & Parkhan, 1999).

Program linier berperan sebagai alat untuk membantu dalam pengambilan keputusan manajemen dengan cara mengidentifikasi kombinasi sumber daya yang tersedia sehingga tujuan yang diinginkan dapat tercapai dengan optimal. Sejak

2

diperkenalkan di akhir dasawarsa pada tahun 1940 program linier telah terbukti merupakan salah satu alat operasi riset yang efektif. Keberhasilannya berakar dari keluasannya dalam menjabarkan berbagai situasi kehidupan nyata seperti di bidang militer, industri dan bidang yang lain.

Dalam pengambilan suatu keputusan, permasalahan dalam dunia nyata memiliki lebih dari satu tujuan. Hal ini menandakan bahwa program linier standar yang hanya mengoptimalkan satu tujuan atau satu kriteria tidak selalu efektif dalam pengambilan suatu keputusan. Berdasarkan uraian di atas maka penulis memilih judul tugas akhir “Perbandingan Metode Simpleks dengan Algoritma Titik Interior dalam Penyelesaian Program Linier”.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana menyelesaikan program linier dengan menggunakan algoritma titik interior dan metode simpleks. Dalam hal ini, penulis ingin membandingkan antara kedua metode tersebut, metode apakah yang paling efisien dalam menyelesaikan program linier.

1.3Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, penulis menggunakan batasan masalah sebagai berikut: 1. Banyaknya variabel yang digunakan adalah sebanyak 4 variabel.

2. Efisiensi hanya diukur berdasarkan banyaknya iterasi dalam penyelesaian contoh kasus dengan algoritma titik interior dan metode simpleks.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai dalam tulisan ini adalah untuk menentukan metode apakah yang paling efisien di antara metode simpleks dan algoritma titik interior dalam menyelesaikan masalah program linier.

1.5 Kontribusi Penelitian

Tulisan ini diharapkan dapat bermanfaat sebagai:

1. Referensi utama atau sebagai bahan rujukan untuk melakukan penelitian tentang program linier.

2. Bahan pertimbangan dalam mengambil keputusan yang berkaitan dengan program linier.

1.6 Tinjauan Pustaka

Sebagai sumber pendukung teori dalam penulisan ini, penulis mengambil beberapa pustaka yang memberikan kontribusi dalam penyelesaian penulisan ini.

Andi Wijaya (2012) menyatakan bahwa dalam program linier terdapat dua fungsi yaitu fungsi tujuan dan fungsi kendala. Fungsi tujuan menggambarkan apa yang ingin di capai dengan menggunakan sumber daya yang ada. Fungsi tujuan digambarkan dalam bentuk maksimasi dan minimasi. Fungsi kendala menggambarkan kendala-kendala yang dihadapi perusahaan untuk mencapai tujuan optimal.

J. Supranto M. A. (1983) menyatakan persoalan program linier adalah suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variabel sedemikian rupa sehingga nilai fungsi tujuan atau fungsi objektif yang linier menjadi optimum (maksimun atau minimum) dengan memperhatikan batasan-batasan yang ada yaitu pembatasan-batasan mengenai inputnya.

4

P. Siagian (2006) menyatakan persoalan dalam program linier diterjemahkan ke dalam bentuk model matematika. Bentuk umum program linier dapat ditulis sebagai:

Dengan kendala:

dan

Keterangan:

= Fungsi tujuan = Variabel keputusan j

= Nilai kontribusi dari variabel keputusan j

= koefisien dari variabel keputusan j dalam kendala ke-i = Jumlah sumber daya yang tersedia dalam kendala ke-i m = Jumlah sumber daya yang tersedia

n = Jumlah kegiatan

Program linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan cara terbaik yang mungkin dilakukan. Pokok pikiran utama dalam menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dengan jelas

(1.1)

terumuskan dengan baik, maka langkah berikut ialah menerjemahkan masalah ke dalam bentuk model matematika (P. Siagian, 2006).

Parlin Sitorus (1994) menyatakan metode simpleks di mulai dari titik awal dan bergerak ke titik ekstrem yang memiliki nilai penyelesaian optimal. Langkah untuk menyelesaikan masalah program linier dengan menggunakan metode simpleks adalah sebagai berikut:

1. Merumuskan masalah ke dalam metode simpleks. 2. Menyusun tabel simpleks awal.

3. Mencari nilai optimal tabel simpleks.

4. Mangidentifikasi variabel yang akan masuk ke dalam tabel simpleks. 5. Mengidentifikasi variabel yang akan keluar dari tabel simpleks. 6. Menyusun tabel simpleks baru.

7. Mencari nilai optimal tabel simpleks yang baru.

J. Supranto M.A. (1983) menyatakan metode simpleks adalah suatu metode yang secara sistematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yang fisibel ke pemecahan dasar fisibel lainnya yang dilakukan secara berulang-ulang (dengan jumlah ulangan yang terbatas) sehingga akhirnya tercapai suatu pemecahan dasar yang optimum dan pada setiap iterasi menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih besar atau sama dari iterasi sebelumnya.

Dian (2009) menyatakan metode simpleks merupakan salah satu teknik penyelesaian dalam program linier yang digunakan sebagai teknik pengambilan keputusan dalam permasalahan yang berhubungan dengan pengalokasian sumber daya secara optimal. Metode simpleks digunakan untuk mencari nilai optimal dari program linier yang melibatkan banyak pembatas dan lebih dari dua variabel.

Pada tahun 1984, seorang matematikawan bernama Narendra Karmarkar berhasil mengemukakan suatu algoritma baru untuk menyelesaikan masalah program linier yang besar dalam waktu yang cukup singkat yaitu algoritma titik interior. Metode Karnarkar untuk menyelesaikan masalah program linier pada dasarnya dimulai dengan masalah program linier dalam bentuk kanonik khusus

6

yaitu bentuk kanonik Karmarkar. Algoritma titik interior merupakan algoritma yang dibangun dengan beberapa iterasi dengan menentukan titik-titik interior yang masuk dalam daerah solusi penyelesaian yang diperoleh sebagai daerah layak.

Algoritma titik interior membutuhkan perhitungan yang relatif lebih besar untuk persoalan program linier yang berukuran kecil dan lebih cepat diselesaikan dengan metode simpleks, sedangkan untuk kendala yang lebih besar algoritma titik interior lebih efisien dibandingkan metode simpleks.

Hamdy A. Taha (1992) dalam bukunya „Pengantar Operasi Riset‟ menyatakan proses formulasi masalah program linier umum ke dalam bentuk titik interior adalah:

1. _{Mengubah masalah program linier umum ke dalam bentuk yang diperluas.} 2. _{Menentukan arah pergerakan mula-mula dari titik interior.}

3. _{Memproyeksikan titik yang berada di luar daerah layak dan pemusatan} 4. _{Mengubah kembali menjadi koordinat semula.}

Algoritma titik interior yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi terlebih dahulu disederhanakan dengan menghilangkan faktor-faktor ataupun kendala yang dapat di kerjakan dengan proses iterasi.

1.7 Metodologi Penelitian

Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Studi Literatur

Penelitian ini diawali dengan mempelajari dan mengenal lebih dalam tentang metode simpleks, algoritma titik interior dan program linier. Penulis membaca dan mempelajari beberapa buku dan jurnal yang berkaitan persoalan program linier.

2. Menjelaskan definisi program linier, metode simpleks dan algoritma titik interior.

3. Menjelaskan permasalahan program linier, metode simpleks dan algoritma titik interior.

4. Mejelaskan contoh penyelesaian program linier, metode simpleks dan algoritma titik interior.

PERBANDINGAN METODE SIMPLEKS DENGAN ALGORITMA TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN

MASALAH PROGRAM LINIER

ABSTRAK

Program linier adalah suatu model yang melibatkan fungsi-fungsi linier yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber secara optimal. Pokok pikiran menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dari informasi yang tersedia dan menerjemahkan ke dalam model matematika. Metode simpleks merupakan metode yang efisien untuk menyelesaikan permasalahan program linier. Algoritma titik interior adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier. Titik awal algoritma titik interior dari dalam himpunan fisibel dan bergerak menuju verteks optimal. Tujuan dari penulisan ini adalah menyelesaikan masalah program linier yang memuat n variabel dan m kendala dengan menggunakan kedua metode tersebut. Keefisienan kedua metode di ukur berdasarkan banyaknya iterasi yang diperoleh dalam menyelesaikan permasalahan program linier. Pada penelitian ini, permasalahan program linier dengan metode simpleks akan diperoleh hasil apabila dan pada algoritma titik interior diperoleh hasil apabila nilai Z sama dengan nilai sebelumnya atau lebih kecil.

PROGRAMMING PROBLEMS

ABSTRACT

Linear programming is a program which involved function and can be used in solving problem of limited source allocation optimally. The main ideas used in linear program is defining problem of information provided and transforming into mathematical model. Simpleks method is one of effisient algorithm for solving problem of linear programming. Interior point algorithm is a new means which can be used to solve these great problems. The objective of this paper is solving linear programming problem which contain n variables and m constaints using those two methods, then comparing how efficient method are, by counting the number of iteration for each methods. Based on the result, linear programming problem by the simpleks method will result if and the interior point algorithm results obtained when the value of is equal to the previous value or smaller.

PERBANDINGAN METODE SIMPLEKS DENGAN ALGORITMA

TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN

MASALAH PROGRAM LINIER

SKRIPSI

AGUSTINA ANGGREINI SITORUS

120803060

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2016

PERBANDINGAN METODE SIMPLEKS DENGAN ALGORITMA

TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN

MASALAH PROGRAM LINIER

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains

AGUSTINA ANGGREINI SITORUS

120803060

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2016

PERSETUJUAN

Judul : Perbandingan Metode Simpleks Dengan Algoritma Titik Interior Dalam Penyelesaian Masalah Program Linier

Kategori : Skripsi

Nama : Agustina Anggreini Sitorus Nomor Induk Mahasiswa : 120803060

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan, Juni 2016 Komisi Pembimbing:

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Drs. Partano Siagian, M.Sc. Drs. Agus Salim Harahap, M.Si. NIP.19511227 198003 1 001 NIP. 19540828 198103 1 004

Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua

Prof. Dr. Tulus, M.Si.

PERNYATAAN

PERBANDINGAN METODE SIMPLEKS DENGAN ALGORITMA TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN

MASALAH PROGRAM LINIER

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2016

Agustina Anggreini Sitorus 120803060

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa dan Maha Penyayang, dengan limpahan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Perbandingan Metode Simpleks Dengan Algoritma Titik Interior Dalam Penyelesaian Program Linier.

Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Drs. Agus Salim Harahap, M.Si selaku pembimbing 1 dan Bapak Drs. Partano Siagian, M.Sc selaku pembimbing 2 yang telah memberikan bimbingan selama penulisan skripsi ini. Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Faigiziduhu Bu‟ulolo, M.Si dan Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si selaku dosen pembanding yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini. Terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA-USU Medan. Terima kasih kepada Bapak Dr. Kerista Sebayang, M.S selaku Dekan FMIPA-USU serta seluruh civitas akademika di lingkungan FMIPA-FMIPA-USU Medan. Akhirnya yang teristimewa kepada Ayahanda Tipak Sitorus dan Ibunda Erida Samosir serta saudara-saudari penulis yang selalu mendoakan, memberi semangat dan bantuan baik secara moril maupun material kepada penulis. Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Tuhan Yesus Kristus.

Penulis,

ABSTRAK

Program linier adalah suatu model yang melibatkan fungsi-fungsi linier yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber secara optimal. Pokok pikiran menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dari informasi yang tersedia dan menerjemahkan ke dalam model matematika. Metode simpleks merupakan metode yang efisien untuk menyelesaikan permasalahan program linier. Algoritma titik interior adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier. Titik awal algoritma titik interior dari dalam himpunan fisibel dan bergerak menuju verteks optimal. Tujuan dari penulisan ini adalah menyelesaikan masalah program linier yang memuat n variabel dan m kendala dengan menggunakan kedua metode tersebut. Keefisienan kedua metode di ukur berdasarkan banyaknya iterasi yang diperoleh dalam menyelesaikan permasalahan program linier. Pada penelitian ini, permasalahan program linier dengan metode simpleks akan diperoleh hasil apabila dan pada algoritma titik interior diperoleh hasil apabila nilai Z sama dengan nilai sebelumnya atau lebih kecil.

COMPARISON SIMPLEX METHOD AND INTERIOR POINT ALGORITHMS IN SOLVING LINEAR

PROGRAMMING PROBLEMS

ABSTRACT

Linear programming is a program which involved function and can be used in solving problem of limited source allocation optimally. The main ideas used in linear program is defining problem of information provided and transforming into mathematical model. Simpleks method is one of effisient algorithm for solving problem of linear programming. Interior point algorithm is a new means which can be used to solve these great problems. The objective of this paper is solving linear programming problem which contain n variables and m constaints using those two methods, then comparing how efficient method are, by counting the number of iteration for each methods. Based on the result, linear programming problem by the simpleks method will result if and the interior point algorithm results obtained when the value of is equal to the previous value or smaller.

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK iv

ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR TABEL vii

DAFTAR GAMBAR viii

Bab 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Tinjauan Pustaka 2

1.5 Tujuan Penelitian 6

1.6 Kontribusi Penelitian 6

1.7 Metodologi Penelitian 6

Bab 2 LANDASAN TEORI 8

2.1 Matriks 8

2.1.1 Definisi Matriks 8

2.1.2 Jenis-jenis Matriks 9

2.1.3 Operasi Matriks 10

2.2 Program Linier 12

2.2.1 Persyaratan Penyelesaian Program Linier 13 2.2.2 Model Umum Matematik Program Linier 14 2.2.3 Karakteristik Program Linier 15

2.3 Metode Grafik 18

2.4 Metode Simpleks 22

2.5 Algoritma Titik Interior 25

2.6 Langkah-langkah Algoritma Titik Interior 28

Bab 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 30

3.1 Permasalahan Program Linier 30

3.2 Aplikasi Kasus Masalah Program Linier 30 3.2.1 Penyelesaian Kasus 2 dengan Metode Simpleks 32 3.2.2 Penyelesaian Kasus 2 dengan Algoritma Titik Interior 38

Bab 4 KESIMPULAN DAN SARAN 48

4.2 Saran 48

Nomor Judul Halaman Tabel

2.1 Kebutuhan Bahan Baku, Waktu Tenaga Kerja 18

2.2 Hasil Perhitungan 21

2.3 Bentuk Tabel Simpleks 24

3.1 Bentuk Tabulasi Permasalahan 33

3.2 Tabel Awal Metode Simpleks 35

3.3 Iterasi 1 36

3.4 Iterasi 2 36

3.5 Iterasi 3 37

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

2.1 Grafik Fungsi Kendala 19

2.2 Grafik daerah layak 20

2.3 Grafik Himpunan Penyelesaian 20

PERBANDINGAN METODE SIMPLEKS DENGAN ALGORITMA TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN

MASALAH PROGRAM LINIER

ABSTRAK

Program linier adalah suatu model yang melibatkan fungsi-fungsi linier yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber secara optimal. Pokok pikiran menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dari informasi yang tersedia dan menerjemahkan ke dalam model matematika. Metode simpleks merupakan metode yang efisien untuk menyelesaikan permasalahan program linier. Algoritma titik interior adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier. Titik awal algoritma titik interior dari dalam himpunan fisibel dan bergerak menuju verteks optimal. Tujuan dari penulisan ini adalah menyelesaikan masalah program linier yang memuat n variabel dan m kendala dengan menggunakan kedua metode tersebut. Keefisienan kedua metode di ukur berdasarkan banyaknya iterasi yang diperoleh dalam menyelesaikan permasalahan program linier. Pada penelitian ini, permasalahan program linier dengan metode simpleks akan diperoleh hasil apabila dan pada algoritma titik interior diperoleh hasil apabila nilai Z sama dengan nilai sebelumnya atau lebih kecil.

COMPARISON SIMPLEX METHOD AND INTERIOR POINT ALGORITHMS IN SOLVING LINEAR

PROGRAMMING PROBLEMS

ABSTRACT

Linear programming is a program which involved function and can be used in solving problem of limited source allocation optimally. The main ideas used in linear program is defining problem of information provided and transforming into mathematical model. Simpleks method is one of effisient algorithm for solving problem of linear programming. Interior point algorithm is a new means which can be used to solve these great problems. The objective of this paper is solving linear programming problem which contain n variables and m constaints using those two methods, then comparing how efficient method are, by counting the number of iteration for each methods. Based on the result, linear programming problem by the simpleks method will result if and the interior point algorithm results obtained when the value of is equal to the previous value or smaller.

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK iv

ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR TABEL vii

DAFTAR GAMBAR viii

Bab 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Tinjauan Pustaka 2

1.5 Tujuan Penelitian 6

1.6 Kontribusi Penelitian 6

1.7 Metodologi Penelitian 6

Bab 2 LANDASAN TEORI 8

2.1 Matriks 8

2.1.1 Definisi Matriks 8

2.1.2 Jenis-jenis Matriks 9

2.1.3 Operasi Matriks 10

2.2 Program Linier 12

2.2.1 Persyaratan Penyelesaian Program Linier 13 2.2.2 Model Umum Matematik Program Linier 14 2.2.3 Karakteristik Program Linier 15

2.3 Metode Grafik 18

2.4 Metode Simpleks 22

2.5 Algoritma Titik Interior 25

2.6 Langkah-langkah Algoritma Titik Interior 28

Bab 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 30

3.1 Permasalahan Program Linier 30

3.2 Aplikasi Kasus Masalah Program Linier 30 3.2.1 Penyelesaian Kasus 2 dengan Metode Simpleks 32 3.2.2 Penyelesaian Kasus 2 dengan Algoritma Titik Interior 38

Bab 4 KESIMPULAN DAN SARAN 48

4.2 Saran 48

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

2.1 Kebutuhan Bahan Baku, Waktu Tenaga Kerja 18

2.2 Hasil Perhitungan 21

2.3 Bentuk Tabel Simpleks 24

3.1 Bentuk Tabulasi Permasalahan 33

3.2 Tabel Awal Metode Simpleks 35

3.3 Iterasi 1 36

3.4 Iterasi 2 36

3.5 Iterasi 3 37

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

2.1 Grafik Fungsi Kendala 19

2.2 Grafik daerah layak 20

2.3 Grafik Himpunan Penyelesaian 20