Perbandingan Metode Simpleks Dengan Algoritma Titik Interior Dalam Penyelesaian Masalah Program Linier
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, ilmu mengenai operasi riset banyak digunakan dan
diterapkan oleh manusia, terutama diterapkan pada bidang ekonomi yaitu pada
dunia usaha. Setiap pelaku usaha atau pelaku ekonomi pasti melakukan apa yang
disebut dengan prinsip ekonomi, yaitu dengan usaha atau modal yang sedikit
mampu menghasilkan keuntungan yang banyak, sehingga muncul masalah
optimisasi. Masalah optimisasi tersebut meliputi meminimumkan biaya atau
memaksimumkan keuntungan dengan kapasitas sumber daya yang ada agar
mampu mendapatkan hasil yang optimal.
Program linier pertama kali diperkenalkan oleh George Dantzig (1947)
yang pada awalnya banyak dipakai pada bidang perencanaan militer, khususnya
dalam perang dunia II oleh angkatan bersenjata Amerika Serikat dan Inggris.
Metode pengerjaan program linier umumnya menggunakan metode grafik dan
metode simpleks. Program linier merupakan sebagai instrumen pengambilan
keputusan yang berkaitan dengan pengalokasian sumber daya dalam mencapai
tujuan tertentu. Sumber daya berupa uang, tenaga kerja, material, mesin, fasilitas,
ilmu pengetahuan, teknologi, keahlian, waktu dan ruang. Sumber daya ini sifatnya
terbatas.
Program linier merupakan suatu cara yang lazim digunakan dalam
pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal.
Persoalan pengalokasian akan muncul apabila seseorang diharuskan untuk
memilih atau menentukan tingkat aktivitas yang akan dilakukannya, di mana
masing-masing aktivitas membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya
terbatas (Mustafa & Parkhan, 1999).
Program linier berperan sebagai alat untuk membantu dalam pengambilan
keputusan manajemen dengan cara mengidentifikasi kombinasi sumber daya yang
tersedia sehingga tujuan yang diinginkan dapat tercapai dengan optimal. Sejak
Universitas Sumatera Utara
2
diperkenalkan di akhir dasawarsa pada tahun 1940 program linier telah
terbukti merupakan salah satu alat operasi riset yang efektif. Keberhasilannya
berakar dari keluasannya dalam menjabarkan berbagai situasi kehidupan nyata
seperti di bidang militer, industri dan bidang yang lain.
Dalam pengambilan suatu keputusan, permasalahan dalam dunia nyata
memiliki lebih dari satu tujuan. Hal ini menandakan bahwa program linier standar
yang hanya mengoptimalkan satu tujuan atau satu kriteria tidak selalu efektif
dalam pengambilan suatu keputusan. Berdasarkan uraian di atas maka penulis
memilih judul tugas akhir “Perbandingan Metode Simpleks dengan Algoritma
Titik Interior dalam Penyelesaian Program Linier”.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana
menyelesaikan program linier dengan menggunakan algoritma titik interior dan metode simpleks.
Dalam hal ini, penulis ingin membandingkan antara kedua metode tersebut, metode apakah yang
paling efisien dalam menyelesaikan program linier.
1.3 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, penulis menggunakan batasan masalah sebagai berikut:
1. Banyaknya variabel yang digunakan adalah sebanyak 4 variabel.
2. Efisiensi hanya diukur berdasarkan banyaknya iterasi dalam penyelesaian contoh kasus dengan
algoritma titik interior dan metode simpleks.
Universitas Sumatera Utara
3
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai dalam tulisan ini adalah untuk menentukan metode
apakah yang paling efisien di antara metode simpleks dan algoritma titik interior
dalam menyelesaikan masalah program linier.
1.5 Kontribusi Penelitian
Tulisan ini diharapkan dapat bermanfaat sebagai:
1. Referensi utama atau sebagai bahan rujukan untuk melakukan penelitian
tentang program linier.
2. Bahan pertimbangan dalam mengambil keputusan yang berkaitan dengan
program linier.
1.6 Tinjauan Pustaka
Sebagai sumber pendukung teori dalam penulisan ini, penulis mengambil
beberapa pustaka yang memberikan kontribusi dalam penyelesaian penulisan ini.
Andi Wijaya (2012) menyatakan bahwa dalam program linier terdapat dua
fungsi yaitu fungsi tujuan dan fungsi kendala. Fungsi tujuan menggambarkan apa
yang ingin di capai dengan menggunakan sumber daya yang ada. Fungsi tujuan
digambarkan
dalam
bentuk
maksimasi
dan
minimasi.
Fungsi
kendala
menggambarkan kendala-kendala yang dihadapi perusahaan untuk mencapai
tujuan optimal.
J. Supranto M. A. (1983) menyatakan persoalan program linier adalah
suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variabel
sedemikian rupa sehingga nilai fungsi tujuan atau fungsi objektif yang linier
menjadi optimum (maksimun atau minimum) dengan memperhatikan batasanbatasan yang ada yaitu pembatasan mengenai inputnya.
Universitas Sumatera Utara
4
P.
Siagian
(2006)
menyatakan
persoalan
dalam
program
linier
diterjemahkan ke dalam bentuk model matematika. Bentuk umum program linier
dapat ditulis sebagai:
(1.1)
Dengan kendala:
(1.2)
dan
Keterangan:
= Fungsi tujuan
= Variabel keputusan j
= Nilai kontribusi dari variabel keputusan j
= koefisien dari variabel keputusan j dalam kendala ke-i
= Jumlah sumber daya yang tersedia dalam kendala ke-i
m = Jumlah sumber daya yang tersedia
n
= Jumlah kegiatan
Program linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan
pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang
bersaing, dengan cara terbaik yang mungkin dilakukan. Pokok pikiran utama
dalam menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dengan jelas
dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah
Universitas Sumatera Utara
5
terumuskan dengan baik, maka langkah berikut ialah menerjemahkan
masalah ke dalam bentuk model matematika (P. Siagian, 2006).
Parlin Sitorus (1994) menyatakan metode simpleks di mulai dari titik awal
dan bergerak ke titik ekstrem yang memiliki nilai penyelesaian optimal. Langkah
untuk menyelesaikan masalah program linier dengan menggunakan metode
simpleks adalah sebagai berikut:
1. Merumuskan masalah ke dalam metode simpleks.
2. Menyusun tabel simpleks awal.
3. Mencari nilai optimal tabel simpleks.
4. Mangidentifikasi variabel yang akan masuk ke dalam tabel simpleks.
5. Mengidentifikasi variabel yang akan keluar dari tabel simpleks.
6. Menyusun tabel simpleks baru.
7. Mencari nilai optimal tabel simpleks yang baru.
J. Supranto M.A. (1983) menyatakan metode simpleks adalah suatu
metode yang secara sistematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yang fisibel ke
pemecahan dasar fisibel lainnya yang dilakukan secara berulang-ulang (dengan
jumlah ulangan yang terbatas) sehingga akhirnya tercapai suatu pemecahan dasar
yang optimum dan pada setiap iterasi menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan
yang selalu lebih besar atau sama dari iterasi sebelumnya.
Dian (2009) menyatakan metode simpleks merupakan salah satu teknik
penyelesaian dalam program linier yang digunakan sebagai teknik pengambilan
keputusan dalam permasalahan yang berhubungan dengan pengalokasian sumber
daya secara optimal. Metode simpleks digunakan untuk mencari nilai optimal dari
program linier yang melibatkan banyak pembatas dan lebih dari dua variabel.
Pada tahun 1984, seorang matematikawan bernama Narendra Karmarkar
berhasil mengemukakan suatu algoritma baru untuk menyelesaikan masalah
program linier yang besar dalam waktu yang cukup singkat yaitu algoritma titik
interior. Metode Karnarkar untuk menyelesaikan masalah program linier pada
dasarnya dimulai dengan masalah program linier dalam bentuk kanonik khusus
Universitas Sumatera Utara
6
yaitu bentuk kanonik Karmarkar. Algoritma titik interior merupakan
algoritma yang dibangun dengan beberapa iterasi dengan menentukan titik-titik
interior yang masuk dalam daerah solusi penyelesaian yang diperoleh sebagai
daerah layak.
Algoritma titik interior membutuhkan perhitungan yang relatif lebih besar
untuk persoalan program linier yang berukuran kecil dan lebih cepat diselesaikan
dengan metode simpleks, sedangkan untuk kendala yang lebih besar algoritma
titik interior lebih efisien dibandingkan metode simpleks.
Hamdy A. Taha (1992) dalam bukunya „Pengantar Operasi Riset‟
menyatakan proses formulasi masalah program linier umum ke dalam bentuk titik
interior adalah:
1. Mengubah masalah program linier umum ke dalam bentuk yang diperluas.
2. Menentukan arah pergerakan mula-mula dari titik interior.
3. Memproyeksikan titik yang berada di luar daerah layak dan pemusatan
4. Mengubah kembali menjadi koordinat semula.
Algoritma titik interior yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi
terlebih dahulu disederhanakan dengan menghilangkan faktor-faktor ataupun
kendala yang dapat di kerjakan dengan proses iterasi.
1.7 Metodologi Penelitian
Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Studi Literatur
Penelitian ini diawali dengan mempelajari dan mengenal lebih dalam tentang
metode simpleks, algoritma titik interior dan program linier. Penulis membaca
dan mempelajari beberapa buku dan jurnal yang berkaitan persoalan program
linier.
Universitas Sumatera Utara
7
2. Menjelaskan definisi program linier, metode simpleks dan algoritma titik
interior.
3. Menjelaskan permasalahan program linier, metode simpleks dan algoritma titik
interior.
4. Mejelaskan contoh penyelesaian program linier, metode simpleks dan
algoritma titik interior.
5. Membuat kesimpulan
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, ilmu mengenai operasi riset banyak digunakan dan
diterapkan oleh manusia, terutama diterapkan pada bidang ekonomi yaitu pada
dunia usaha. Setiap pelaku usaha atau pelaku ekonomi pasti melakukan apa yang
disebut dengan prinsip ekonomi, yaitu dengan usaha atau modal yang sedikit
mampu menghasilkan keuntungan yang banyak, sehingga muncul masalah
optimisasi. Masalah optimisasi tersebut meliputi meminimumkan biaya atau
memaksimumkan keuntungan dengan kapasitas sumber daya yang ada agar
mampu mendapatkan hasil yang optimal.
Program linier pertama kali diperkenalkan oleh George Dantzig (1947)
yang pada awalnya banyak dipakai pada bidang perencanaan militer, khususnya
dalam perang dunia II oleh angkatan bersenjata Amerika Serikat dan Inggris.
Metode pengerjaan program linier umumnya menggunakan metode grafik dan
metode simpleks. Program linier merupakan sebagai instrumen pengambilan
keputusan yang berkaitan dengan pengalokasian sumber daya dalam mencapai
tujuan tertentu. Sumber daya berupa uang, tenaga kerja, material, mesin, fasilitas,
ilmu pengetahuan, teknologi, keahlian, waktu dan ruang. Sumber daya ini sifatnya
terbatas.
Program linier merupakan suatu cara yang lazim digunakan dalam
pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal.
Persoalan pengalokasian akan muncul apabila seseorang diharuskan untuk
memilih atau menentukan tingkat aktivitas yang akan dilakukannya, di mana
masing-masing aktivitas membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya
terbatas (Mustafa & Parkhan, 1999).
Program linier berperan sebagai alat untuk membantu dalam pengambilan
keputusan manajemen dengan cara mengidentifikasi kombinasi sumber daya yang
tersedia sehingga tujuan yang diinginkan dapat tercapai dengan optimal. Sejak
Universitas Sumatera Utara
2
diperkenalkan di akhir dasawarsa pada tahun 1940 program linier telah
terbukti merupakan salah satu alat operasi riset yang efektif. Keberhasilannya
berakar dari keluasannya dalam menjabarkan berbagai situasi kehidupan nyata
seperti di bidang militer, industri dan bidang yang lain.
Dalam pengambilan suatu keputusan, permasalahan dalam dunia nyata
memiliki lebih dari satu tujuan. Hal ini menandakan bahwa program linier standar
yang hanya mengoptimalkan satu tujuan atau satu kriteria tidak selalu efektif
dalam pengambilan suatu keputusan. Berdasarkan uraian di atas maka penulis
memilih judul tugas akhir “Perbandingan Metode Simpleks dengan Algoritma
Titik Interior dalam Penyelesaian Program Linier”.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana
menyelesaikan program linier dengan menggunakan algoritma titik interior dan metode simpleks.
Dalam hal ini, penulis ingin membandingkan antara kedua metode tersebut, metode apakah yang
paling efisien dalam menyelesaikan program linier.
1.3 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, penulis menggunakan batasan masalah sebagai berikut:
1. Banyaknya variabel yang digunakan adalah sebanyak 4 variabel.
2. Efisiensi hanya diukur berdasarkan banyaknya iterasi dalam penyelesaian contoh kasus dengan
algoritma titik interior dan metode simpleks.
Universitas Sumatera Utara
3
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai dalam tulisan ini adalah untuk menentukan metode
apakah yang paling efisien di antara metode simpleks dan algoritma titik interior
dalam menyelesaikan masalah program linier.
1.5 Kontribusi Penelitian
Tulisan ini diharapkan dapat bermanfaat sebagai:
1. Referensi utama atau sebagai bahan rujukan untuk melakukan penelitian
tentang program linier.
2. Bahan pertimbangan dalam mengambil keputusan yang berkaitan dengan
program linier.
1.6 Tinjauan Pustaka
Sebagai sumber pendukung teori dalam penulisan ini, penulis mengambil
beberapa pustaka yang memberikan kontribusi dalam penyelesaian penulisan ini.
Andi Wijaya (2012) menyatakan bahwa dalam program linier terdapat dua
fungsi yaitu fungsi tujuan dan fungsi kendala. Fungsi tujuan menggambarkan apa
yang ingin di capai dengan menggunakan sumber daya yang ada. Fungsi tujuan
digambarkan
dalam
bentuk
maksimasi
dan
minimasi.
Fungsi
kendala
menggambarkan kendala-kendala yang dihadapi perusahaan untuk mencapai
tujuan optimal.
J. Supranto M. A. (1983) menyatakan persoalan program linier adalah
suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variabel
sedemikian rupa sehingga nilai fungsi tujuan atau fungsi objektif yang linier
menjadi optimum (maksimun atau minimum) dengan memperhatikan batasanbatasan yang ada yaitu pembatasan mengenai inputnya.
Universitas Sumatera Utara
4
P.
Siagian
(2006)
menyatakan
persoalan
dalam
program
linier
diterjemahkan ke dalam bentuk model matematika. Bentuk umum program linier
dapat ditulis sebagai:
(1.1)
Dengan kendala:
(1.2)
dan
Keterangan:
= Fungsi tujuan
= Variabel keputusan j
= Nilai kontribusi dari variabel keputusan j
= koefisien dari variabel keputusan j dalam kendala ke-i
= Jumlah sumber daya yang tersedia dalam kendala ke-i
m = Jumlah sumber daya yang tersedia
n
= Jumlah kegiatan
Program linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan
pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang
bersaing, dengan cara terbaik yang mungkin dilakukan. Pokok pikiran utama
dalam menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dengan jelas
dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah
Universitas Sumatera Utara
5
terumuskan dengan baik, maka langkah berikut ialah menerjemahkan
masalah ke dalam bentuk model matematika (P. Siagian, 2006).
Parlin Sitorus (1994) menyatakan metode simpleks di mulai dari titik awal
dan bergerak ke titik ekstrem yang memiliki nilai penyelesaian optimal. Langkah
untuk menyelesaikan masalah program linier dengan menggunakan metode
simpleks adalah sebagai berikut:
1. Merumuskan masalah ke dalam metode simpleks.
2. Menyusun tabel simpleks awal.
3. Mencari nilai optimal tabel simpleks.
4. Mangidentifikasi variabel yang akan masuk ke dalam tabel simpleks.
5. Mengidentifikasi variabel yang akan keluar dari tabel simpleks.
6. Menyusun tabel simpleks baru.
7. Mencari nilai optimal tabel simpleks yang baru.
J. Supranto M.A. (1983) menyatakan metode simpleks adalah suatu
metode yang secara sistematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yang fisibel ke
pemecahan dasar fisibel lainnya yang dilakukan secara berulang-ulang (dengan
jumlah ulangan yang terbatas) sehingga akhirnya tercapai suatu pemecahan dasar
yang optimum dan pada setiap iterasi menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan
yang selalu lebih besar atau sama dari iterasi sebelumnya.
Dian (2009) menyatakan metode simpleks merupakan salah satu teknik
penyelesaian dalam program linier yang digunakan sebagai teknik pengambilan
keputusan dalam permasalahan yang berhubungan dengan pengalokasian sumber
daya secara optimal. Metode simpleks digunakan untuk mencari nilai optimal dari
program linier yang melibatkan banyak pembatas dan lebih dari dua variabel.
Pada tahun 1984, seorang matematikawan bernama Narendra Karmarkar
berhasil mengemukakan suatu algoritma baru untuk menyelesaikan masalah
program linier yang besar dalam waktu yang cukup singkat yaitu algoritma titik
interior. Metode Karnarkar untuk menyelesaikan masalah program linier pada
dasarnya dimulai dengan masalah program linier dalam bentuk kanonik khusus
Universitas Sumatera Utara
6
yaitu bentuk kanonik Karmarkar. Algoritma titik interior merupakan
algoritma yang dibangun dengan beberapa iterasi dengan menentukan titik-titik
interior yang masuk dalam daerah solusi penyelesaian yang diperoleh sebagai
daerah layak.
Algoritma titik interior membutuhkan perhitungan yang relatif lebih besar
untuk persoalan program linier yang berukuran kecil dan lebih cepat diselesaikan
dengan metode simpleks, sedangkan untuk kendala yang lebih besar algoritma
titik interior lebih efisien dibandingkan metode simpleks.
Hamdy A. Taha (1992) dalam bukunya „Pengantar Operasi Riset‟
menyatakan proses formulasi masalah program linier umum ke dalam bentuk titik
interior adalah:
1. Mengubah masalah program linier umum ke dalam bentuk yang diperluas.
2. Menentukan arah pergerakan mula-mula dari titik interior.
3. Memproyeksikan titik yang berada di luar daerah layak dan pemusatan
4. Mengubah kembali menjadi koordinat semula.
Algoritma titik interior yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi
terlebih dahulu disederhanakan dengan menghilangkan faktor-faktor ataupun
kendala yang dapat di kerjakan dengan proses iterasi.
1.7 Metodologi Penelitian
Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Studi Literatur
Penelitian ini diawali dengan mempelajari dan mengenal lebih dalam tentang
metode simpleks, algoritma titik interior dan program linier. Penulis membaca
dan mempelajari beberapa buku dan jurnal yang berkaitan persoalan program
linier.
Universitas Sumatera Utara
7
2. Menjelaskan definisi program linier, metode simpleks dan algoritma titik
interior.
3. Menjelaskan permasalahan program linier, metode simpleks dan algoritma titik
interior.
4. Mejelaskan contoh penyelesaian program linier, metode simpleks dan
algoritma titik interior.
5. Membuat kesimpulan
Universitas Sumatera Utara