Perbandingan Metode Simpleks Dengan Algoritma Titik Interior Dalam Penyelesaian Masalah Program Linier
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Matriks
2.1.1 Definisi Matriks
Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka (elemen-elemen) yang disusun
menurut baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang, di mana
panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan baris-baris.
Matriks pada dasarnya merupakan alat yang ampuh di dalam pemecahan
persoalan-persoalan yang terdiri dari lebih dari dua persamaan dengan beberapa
variabel dan memudahkan di dalam pembuatan analisis-analisis yang mencakup
hubungan antara variabel-variabel.
Pada awalnya matriks ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh
seorang ilmuan yang berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley (18211895) yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan
transformasi linier awal dari semua ini matriks dianggap sebagai sebuah
permainan karena matriks dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1925
matriks digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matriks
digunakan dalam berbagai bidang. Di dalam memecahkan persoalan operation
research atau linier programming, matriks memegang peranan penting terutama
sebagai landasan yang kuat untuk memahami pengertian-pengertian pemecahan
dasar, metode simpleks dan lain sebagainya.
Sebuah matriks dinotasikan dengan simbol huruf besar seperti
atau
dan sebagainya. Apabila suatu matriks A terdiri dari m baris dan n kolom, maka
matriks A bisa ditulis sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
9
Keterangan :
, i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n.
A=
merupakan elemen matriks A dari baris i dan kolom j, i dan j dinamakan
indeks (subcript), yaitu petunjuk letak (posisi) bagi setiap elemen. Elemenelemen:
,
, ...,
, ...,
disebut diagonal pokok (main diagonal).
Matriks tereduksi adalah matriks yang tiap kolom dan tiap barisnya
mengandung atau memiliki paling sedikit satu buah angka 0 dan elemen-elemen
lainnya bernilai non-negatif. Untuk mendapatkan matriks tereduksi, maka tiap
baris atau kolom yang belum mengandung angka 0 dikurangi dengan nilai terkecil
pada baris atau kolom tersebut.
2.1.2 Jenis-jenis Matriks
Beberapa jenis matriks sebagai berikut:
1. Matriks kuadrat
Matriks kuadrat adalah matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama
banyak. Dalam suatu matriks kuadrat, elemen-elemen
disebut
elemen diagonal utama.
Universitas Sumatera Utara
10
2. Matriks diagonal
Matriks kuadrat
dinamakan matriks diagonal jika semua elemen di
untuk
luar diagonal utama adalah nol,
elemen pada diagonal pokok
untuk
diagonal utama suatu matriks kuadrat
dan paling tidak satu
. Jumlah elemen-elemen
disebut trace
ditulis
.
3. Matriks Identitas
Matriks
disebut matriks identitas dan biasa diberi symbol
4. Matriks singular
Matriks kuadrat
dikatakan singular jika semua elemen pada salah
satu baris atau kolom adalah nol atau jika semua kofaktor dari elemen suatu
baris atau kolom sama dengan nol. Untuk melihat kesingularan suatu matriks
adalah
dengan
menghitung
determinan
matriks
tersebut.
Apabila
determinannya sama dengan nol maka matriks tersebut singular.
5. Matriks orthogonal
Matriks kuadrat
dikatakan dapat didiagonalisasi secara orthogonal
jika terdapat matriks orthogonal
sehingga berlaku
. Matriks
orthogonal didefinisikan sebagai matriks kuadrat yang inversnya sama dengan
transposenya, sehingga
dan
adalah matriks orthogonal.
2.1.3 Operasi Matriks
Universitas Sumatera Utara
11
Ada beberapa operasi dalam matriks, yaitu :
1. Perkalian matriks dengan skalar
Jika
adalah matriks
dengan
dan
adalah suatu skalar, maka hasil kali
adalah
matriks
.
dengan
2. Perkalian matriks dengan matriks
Jika
adalah matriks
hasil kali dari matriks
dan
dan matriks
adalah matriks
ditulis dengan
maka
adalah
matriks
.
3. Penjumlahan matriks
Jika
adalah matriks
penjumlahan matriks
dan
dan matriks
adalah matriks
yang ditulis dengan
maka
dengan:
(2.1)
(2.1)
4. Transpose matriks
Jika
adalah matriks
maka matriks
dengan
dan
disebut dengan transpose dari matriks
Matriks
yang umum dapat ditulis:
Universitas Sumatera Utara
12
5. Invers matriks
Jika
matriks
disebut non singular apabila terdapat matriks
Matriks
matriks
maka matriks
disebut invers dari matriks
maka
. Jika tidak terdapat
disebut singular. Secara umum invers matriks
adalah:
(2.2)
Sifat-sifat invers:
a. Jika
matriks non singular, maka
adalah non singular dan
b. Jika
dan
c. Jika
adalah matriks non singular, maka
adalah matriks non singular, maka
adalah non singular dan
.
2.2 Program Linier
Pemrograman linier adalah salah satu model yang umum digunakan dalam
masalah pengalokasian sumber daya secara optimal. Pemrograman linier meliputi
kegiatan untuk mencapai hasil yang optimal dari antara alternatif-alternatif yang
mungkin menggunakan model matematis berbentuk fungsi linier. Program linier
disusun oleh George B. Dantzig tahun 1947 pada saat memimpin Air Force
Statistical Control’s Combat Analysis Branch di Pentagon. Saat Dantzig
menganalisis masalah perencanaan Air Force dia menyadari dapat merumuskan
sistem ketidaksamaan linier. Hal di atas merupakan awal pemberian nama untuk
teknik “program dan struktur linier” yang belakangan ini disederhanakan menjadi
program linier (Taylor, 2001).
Universitas Sumatera Utara
13
Program linier merupakan model matematika untuk mendapatkan alternatif
penggunaan terbaik atas sumber-sumber organisasi. Kata sifat linier digunakan
untuk menunjukkan fungsi-fungsi matematika yang digunakan dalam bentuk linier
dalam arti hubungan langsung dan proporsional. Program menyatakan
penggunaan teknik matematika tertentu. Jadi, program linier adalah suatu teknik
perencanaan yang bersifat analitis menggunakan model matematis dengan tujuan
menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan optimum terhadap
persoalan (Aminuddin, 2005).
Program linier adalah suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu
problema keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu fungsi tujuan
(memaksimalkan atau meminimalkan) dan kendala-kendala yang ada ke dalam
model matematik persamaan linier. Program linier sering digunakan dalam
penyelesaian problema-problema alokasi sumber daya, seperti dalam bidang
manufacturing,
pemasaran, keuangan, personalia, administrasi,
dan lain
sebagainya (Parlin Sitorus, 1997).
Program linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan
pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang
bersaing, dengan cara terbaik yang mungkin dilakukan. Pokok pikiran utama
dalam menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dengan jelas
dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah
terumuskan dengan baik, maka langkah berikut ialah menerjemahkan masalah ke
dalam bentuk model matematika (P. Siagian, 2006).
Program linier berkaitan dengan maksimalisasi atau minimalisasi fungsi
tujuan linier dengan beberapa variabel yang memiliki kesamaan dan ketaksamaan
fungsi kendala. Program linier menggunakan model matematis untuk menjelaskan
persoalan yang dihadapinya. Sifat “linier” memberi arti bahwa seluruh fungsi
matematis dalam model merupakan fungsi yang linier, demikian kata program
merupakan sinonim untuk perencanaan. Dengan demikian program linier adalah
perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimum,
yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik di antara alternatif yang layak
(Dantzig & Thapa, 1997).
Universitas Sumatera Utara
14
2.2.1 Persyaratan Penyelesaian Program Linier
Syarat-syarat yang harus dipenuhi dalam merumuskan suatu problema keputusan
ke dalam model matematik persamaan linier adalah sebagai berikut (Parlin
Sitorus, 1997):
1. Tujuan
Apa yang menjadi tujuan permsasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan
dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi
tujuan.
2. Alternatif Perbandingan
Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan,
misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu
terlambat dan biaya terendah.
3. Sumber Daya
Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas.
4. Perumusan Kuantitatif
Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif sesuai
dengan yang disebut dalam model matematika.
5. Keterkaitan Peubah
Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus
memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.
Universitas Sumatera Utara
15
2.2.2 Model Umum Matematik Program Linier
Model umum program linier dapat dirumuskan ke dalam bentuk matematik
sebagai berikut (Parlin Sitorus, 1997):
(2.3)
Dengan kendala:
(2.4)
dan
Keterangan:
= Fungsi tujuan
= Variabel keputusan
= Nilai kontribusi dari variabel keputusan
= Koefisien teknologi dari variabel keputusan dalam kendala ke= Sumber daya yang tersedia dalam kendala ke-
2.2.3 Karakteristik Program Linier
Karakteristik-karakteristik dalam program linier yang biasa digunakan untuk
memodelkan suatu masalah dan memformulasikannya secara matematik, yaitu
(Siswanto, 2006):
1. Variabel Keputusan
Universitas Sumatera Utara
16
Variabel keputusan adalah variabel yang secara lengkap menguraikan
keputusan-keputusan yang akan dibuat.
2. Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan merupakan suatu hubungan linier dari variabel keputusan yang
berupa fungsi maksimum atau minimum.
3. Fungsi Kendala
Fungsi kendala merupakan batasan-batasan dalam penyelesaian program linier
yang harus diperhatikan. Kendala diekspresikan dalam persamaan dan
pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan
yang mencerminkan keterbatasan sumber daya dalam suatu masalah.
2.2.4 Asumsi dalam Program Linier
Dalam membangun model dari formulasi suatu persoalan akan digunakan
karakteristik-karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan program linier,
yaitu (Syahputra, 2012):
1. Linieritas (Linierity)
Fungsi tujuan (objective function) dan fungsi kendala (constraint) dibuat dalam
fungsi linier. Sifat linieritas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan
beberapa cara, misalnya dengan menggunakan grafik.
2. Kesetaraan (Propotionality)
a. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah
sebanding dengan nilai variabel keputusan.
b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas
juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.
3. Penambahan (Addivity)
Sifat penambahan mengasumsikan bahwa tidak terdapat bentuk perkalian
silang pada model, baik bagi fungsi tujuan maupun fungsi kendala.
4. Pembagian (Divisibility)
Solusi dapat berupa bilangan bulat (integer ) atau bilangan pecahan.
5. Ketidaknegatifan (Nonnegativity)
Universitas Sumatera Utara
17
Nilai variabel keputusan harus lebih besar atau sama dengan nol.
6. Kepastian (Certainty)
Koefisien pada fungsi tujuan ataupun fungsi kendala merupakan suatu nilai
pasti, bukan merupakan suatu nilai dengan peluang tertentu.
Asumsi-asumsi tersebut harus dipenuhi apabila ingin menyelesaikan
masalah model program linier. Jika asumsi-asumsi tersebut tidak dapat
terpenuhi, persoalan dapat diselesaikan dengan program matematika lain
seperti integer programming nonlinier programming, goal programming dan
dynamic programming.
Suatu masalah dapat mempunyai banyak algoritma penyelesaian.
Algoritma yang digunakan tidak saja harus benar tetapi harus efisien. Efisiensi
suatu algoritma dari waktu eksekusi algoritma dan kebutuhan ruang memori.
Algoritma yang efisien adalah algoritma yang meminimumkan kebutuhan waktu
dan ruang. Dengan menganalisis beberapa algoritma untuk suatu masalah, dapat
diidentifikasi satu algoritma yang paling efisien. Besaran yang digunakan untuk
menjelaskan model pengukuran waktu dan ruang ini adalah kompleksitas
algoritma.
Kompleksitas dari suatu algoritma merupakan ukuran seberapa banyak
komputasi yang dibutuhkan algoritma tersebut untuk menyelesaikan masalah.
Secara informal, algoritma yang dapat menyelesaikan suatu permasalahan dalam
waktu yang singkat memiliki kompleksitas yang rendah, sementara algoritma yang
membutuhkan waktu yang lama untuk menyelesaikan masalahnya mempunyai
kompleksitas yang tinggi. Kompleksitas algoritma terdiri dari dua macam yaitu
kompleksitas waktu dan kompleksitas ruang. Beberapa metode yang dipakai untuk
mengurangi tingkat kompleksitas adalah metode algoritma titik interior yang
dikembangkan oleh N. Karmarkar pada tahun 1984. Algoritma titik interior
memiliki tingkat komplekitas yang sama dengan metode simpleks, maka masalah
program linier dapat diselesaikan dengan waktu yang lebih singkat.
Universitas Sumatera Utara
18
2.3 Metode Grafik
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk
memecahkan permasalahan program linier. Metode ini menggunakan pendekatan
grafik dalam pengambilan keputusan dengan seluruh fungsi kendala dibuat dalam
satu bagian gambar kemudian diambil keputusan melalui grafik tersebut untuk
menentukan nilai variabel keputusan yang optimum. Metode ini hanya dapat
menyelesaikan dua variabel keputusan, apabila memiliki lebih dari dua variabel
keputusan maka metode ini tidak dapat digunakan (Parlin Sitorus, 1997).
Langkah-langkah metode grafik (Andi wijaya 2012):
1. Mengidentifikasi variabel keputusan dan memformulasikan dalam simbol
matematis.
2. Mengidentifikasikan tujuan yang akan dicapai dan kendala-kendala.
3. Memformulasikan tujuan dan kendala ke dalam fungsi matematik.
4. Membuat grafik untuk kendala-kendala yang ada dalam satu bagian. Untuk
membuat grafik fungsi kendala yang berbentuk pertidaksamaan (
dan
diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk persamaan (
5. Menentukan daerah layak pada grafik. Daerah layak dapat dilihat dari
pertidaksamaan pada kendala. Apabila kendala berbentuk
maka daerah
arsiran terjadi pada bagian kiri atau bawah atau kiri bawah, tetapi apabila
kendala berbentuk
, maka daerah arsiran dilakukan di kanan atau kanan atas.
Apabila berbentuk persamaan (
maka daerah layak terjadi di sepanjang
grafik atau garis.
6. Menentukan titik-titik variabel keputusan pada daerah layak.
Contoh 2.1
Sebuah perusahaan memiliki pabrik yang akan memproduksi dua jenis produk
yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan
bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum
penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan
tenaga kerja 40 jam per hari. Tentukan nilai optimal untuk mencapai suatu
Universitas Sumatera Utara
19
keuntungan. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja
dapat dilihat dalam tabel berikut:
Tabel 2.1 Kebutuhan Bahan Baku, Waktu Tenaga Kerja dan Maksimum
Penyediaan.
Bahan baku dan waktu
tenaga kerja
Jenis bahan baku
dan tenaga kerja
Kain
sutera
Maksimum
penyediaan
Kain wol
Benang sutera
2
3
60 kg
Benang wol
-
2
30 kg
Tenaga kerja
2
1
40 jam
Langkah-langkah dalam pengerjaan metode grafik:
1. Variabel keputusan
a.
kain sutera
b.
kain wol
2. Fungsi tujuan
3. Fungsi Kendala
a.
b.
c.
4. Membuat grafik
a.
Universitas Sumatera Utara
20
,
b.
c.
,
Gambar 2.1 Fungsi Kendala
5. Menentukan daerah layak pada grafik.
Gambar 2.2 Daerah Layak
6. Menentukan titik-titik variabel keputusan pada daerah layak.
Universitas Sumatera Utara
21
Gambar 2.3 Himpunan Penyelesaian
a.
Titik A:
b. Titik B:
c. Titik C:
d. Titik D:
Universitas Sumatera Utara
22
e. Titik E:
Hasil perhitungan disajikan dalam Tabel 2.2 sebagai berikut:
Tabel 2.2 Hasil Perhitungan
Titik
A(0,0)
0
0
0
B(20,0)
800
0
800
C(15,10)
600
300
900
D(7.5,15)
300
450
750
E(0,15)
0
450
450
Jadi berdasarkan hasil perhitungan pada tabel 2.2 diperoleh nilai
berada pada titik C dengan
dan
2.4 Metode Simpleks
Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang secara
sistematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yang fisibel ke pemecahan dasar
fisibel lainnnya, dilakukan secara berulang-ulang sehingga tercapai suatu
pemecahan dasar yang optimum dan setiap langkah menghasilkan suatu nilai dari
fungsi tujuan yang selalu lebih besar atau sama dari iterasi sebelumnya (Parlin
Sitorus, 1997).
Cara yang paling sederhana untuk menyelesaikan permasalahan program
linier adalah dengan pendekatan grafikal. Cara tersebut hanya bisa diterapkan
untuk program linier dengan dua variabel keputusan. Pada kenyataannya sebagian
besar permasalahan program linier mempunyai lebih dari dua variabel keputusan.
Hal ini tentu sulit untuk menerapkan pendekatan grafikal untuk memperoleh
penyelesaian dari permasalahan tersebut. Pada tahun 1947 George Dantzig
Universitas Sumatera Utara
23
mengajukan suatu metode yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan program
linier yang disebut metode simpleks. Metode simpleks merupakan prosedur
aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari
titik ekstrim
pada daerah feasible (ruang sousi) menuju titik ekstrem yang
optimum (Aminuddin 2005).
Dalam menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode
simpleks, bentuk dasar yang digunakan haruslah merupakan bentuk standar, yaitu
bentuk formulasi yang memenuhi ketentuan berikut ini (Mustafa dan Parkhan,
1999).
1. Seluruh pembatas linier harus berbentuk persamaan dengan ruas kanan yang
nonnegatif.
2. Seluruh peubah keputusan harus merupakan peubah nonnegatif.
3. Fungsi tujuannya dapat berupa maksimasi atau minimasi.
Beberapa hal yang dapat dilakukan untuk mengubah bentuk permasalahan
program linier yang belum standar ke dalam bentuk standar permasalahan
program linier sesuai dengan ketentuan Pembatas linier (linier constraint) yang
terdiri dari:
a. Pembatas linier bertanda ”≤” dapat dijadikan suatu persamaan ”=”
dengan cara menambahkan ruas kiri dari pembatas linier itu dengan slack
variable (peubah penambah). Slack variabel pada umumnya digunakan
untuk
mewakili
jumlah kelebihan
ruas
kanan
pembatas
linier
dibandingkan dengan ruas kirinya. Pada pembatas linier bertanda ”≤”, ruas
kanan umumnya mewakili batas ketersediaan sumber daya sedangkan ruas
kiri umumnya mewakili penggunaan sumber daya tersebut yang dibatasi oleh
berbagai kegiatan yang berbeda (peubah) dari suatu model program linier
sehingga slack variable dapat diartikan untuk mewakili jumlah sumber daya
yang tidak dipergunakan.
b. Pembatas linier bertanda ”≥” dapat dijadikan suatu persamaan ”=”
dengan cara mengurangkan ruas kiri dari pembatas linier itu dengan surplus
variabel (peubah penambah negatif). Pada pembatas linier bertanda ”≥”,
Universitas Sumatera Utara
24
ruas kanan umumnya mewakili penetapan persyaratan spesifikasi minimum,
sehingga surplus variabel dapat diartikan untuk mewakili jumlah kelebihan
sesuatu dibandingkan spesifikasi minimumnya.
c. Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan nonnegatif dengan
cara mengalikan kedua ruas dengan -1.
d. Arah pertidaksamaan berubah apabila kedua ruas dikalikan dengan -1.
e. Pembatas linier dengan pertidaksamaan yang ruas kirinya berada dalam tanda
mutlak dapat diubah menjadi dua pertidaksamaan.
Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program
linier dengan metode simpleks (Handayani, 2014):
1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.
Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian daerah
kelayakan (feasible) maka semua pertidaksamaan diubah menjadi persamaan
dengan cara menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan
(artifisial variabel) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol pada
setiap koefisien tujuannya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut:
a. Untuk batasan bernotasi
diubah ke dalam bentuk persamaan dengan
menambahkan variabel slack.
b. Untuk batasan bernotasi
atau
diselesaikan dengan menambahkan
variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel buatan
ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat
suatu bilangan penalty M (M bilangan positif yang sangan besar) sebagai
harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Untuk kasus
maksimasi maka dibuat –M sebagai harga dari variabel buatan dan untuk
kasus minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara
pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M method).
2. Susun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks
Universitas Sumatera Utara
25
Tabel 2.3 Bentuk Tabel Simpleks
...
Basis
Variabel Basis
Harga Basis
...
...
...
...
3. Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai
positif untuk kasus maksimasi atau yang memiliki nilai
yang paling
yang paling
negatif untuk kasus minimasi.
4. Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah
perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci,
5. Tentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan
baris kunci.
6. Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris Z baru, dan baris
variabel-variabel slack baru.
a. Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan
elemen cell.
b. Baris Z baru dan baris-baris lainnya ditentukan dengan cara:
Baris lama – (nilai kolom kunci baris yang sesuai × baris kunci baru)
c. Letakkan nilai-nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel.
7. Lakukan uji optimalisasi. Jika semua koefisien pada baris
sudah
tidak ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus maksimasi) atau sudah tidak
Universitas Sumatera Utara
26
ada lagi yang bernilai negatif (untuk kasus minimasi) berarti sudah optimal.
Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah 3.
2.5 Algoritma Titik Interior
Titik interior merupakan titik-titik yang beradadi dalam daerah layak. ada dua
langkah yang diperlukan dari metode titik interior, yaitu mencarik arah layak yang
memperbaiki nilai fungsi sasaran pada titik tertentu dari setiap iterasi dan
menentukan besar langkah yang menghasilkan titik baru yang berada pada daerah
layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran. Algoritma titik interior di bagi
dalam empat kelas utama yaitu, affine scaling methods, metode proyektif atau
dikenal dengan metode Karmarkar, path following methods dan potential
reduction methods.
Algoritma titik interior pertama kali diperkenalkan oleh Narendra
Karmarkar (1984) dari Laboratorium AT & T mengenai algoritma baru untuk
menyelesaikan masalah-masalah pemrograman linier yang besar. Algoritma titik
interior merupakan metode untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier
yang memotong atau menembus interior dari daerah fisibel untuk mencapai suatu
solusi optimal. Titik interior merupakan titik-titik yang berada di dalam daerah
fisibel (Hillier & Lieberman, 1990). Dasar teori algoritma ini menggunakan
konsep gradien dan proyeksi.
Algoritma titik interior dalam menyelesaikan persoalan program linier
secara fundamental berbeda dari metode simpleks. Langkah awal dalam algoritma
titik interior yaitu menentukan titik awal pemecahan masalah. Titik awal algoritma
titik interior dari dalam himpunan fisibel dan bergerak menuju verteks optimal.
Algoritma titik interior berhenti menemukan solusi yang memiliki nilai fungsi
tujuan lebih kecil atau sama dengan nilai berhenti yang telah ditentukan pertama
kali. Gagasan dasar dari algoritma titik interior dapat dilihat dalam permasalahan
program linier berikut:
Maksimumkan
dengan kendala
Universitas Sumatera Utara
27
Agar masalah program linier menjadi bentuk standar, maka ditambahkan variabel
pengetat pada masalah program linier di atas, sehingga menjadi:
Maksimumkan
dengan kendala
dengan
adalah variabel slack.
Gambar 3.1 Permasalahan untuk Memaksimalkan Nilai
Gambar 3.1 menggambarkan permasalahan untuk memaksimalkan nilai
Ruang pemecahan diketahui dengan ruas
postif
dan arah kenaikan
.
adalah arah
. Iterasi dimulai dari titik interior C dalam ruang penyelesaian (garis AB).
gradien fungsi tujuan (
di C adalah arah yang membuat fungsi tujan
meningkat dengan cepat. Jika satu titik sembarang ditempatkan di sepanjang
gradien itu dan kemudian memproyeksikannya secara tegak lurus terhadap ruang
penyelesaian (garis
titik
), maka diperoleh titik baru
. Dari sudut pandang nilai ,
yang baru ini lebih baik dari titik awal .
Perbaikan seperti ini diperoleh dengan bergerak dalam arah
yang
merupakan gradien garis hasil proyeksi atau disebut sebagai gradien terproyeksi.
Jika prosedur yang sama ini diulang di
, maka akan ditemukan satu titik baru di
Universitas Sumatera Utara
28
yang lebih dekat dengan titik optimum. Dapat diperkirakan jika bergerak
dengan sangat hati-hati dalam arah gradien terproyeksikan, maka akan dicapai
titik optimum
. Langkah-langkah yang dihasilkan di sepanjang gradien
terproyeksi tidak akan meleset dari titik optimum di
dan dalam kasus
dimensi
pada umumnya. Arah yang diciptakan oleh gradien terproyeksi tidak akan
menyebabkan terjebaknya algoritma tersebut di titik yang bukan optimum.
Prosedur gradien yang diproyeksikan akan menjauh dari titik
di
ke arah optimum
(
Penggunaan algoritma titik interior untuk menyelesaikan masalah program
linier harus diubah terlebih dahulu kedalam bentuk kanonik karmarkar dan
memenuhi beberapa asumsi metode karmarkar (Bazaraa, 2010). Bentuk kanonik
dari karmarkar adalah:
(2.4)
Minimumkan
Kendala
(2.5)
Keterangan:
= variabel keputusan
= matriks m x n
= koefisien variabel fungsi tujuan
= vector kolom berukuran m dari 0
Semua batasan kendala merupakan persamaan homogen kecuali untuk
kendala
1 yang merupakan kendala untuk mendefinisikan sebuah
simpleks n dimensi. Algoritma titik interior memiliki konsep atau pemikiran dasar
sebagai berikut:
1. Bergerak melalui daerah fisibel menuju suatu penyelesaian optimal.
2. Bergerak dalam arah yang meningkatkan nilai fungsi tujuan dengan tingkat
kecepatan yang paling tinggi.
Universitas Sumatera Utara
29
3. Mengubah daerah layak tersebut untuk menempatkan penyelesaian percobaan
yang
sedekat
mungkin
pada
titik
pusatnya
dan
dengan
demikian
memungkunkan peningkatan yang besar bilamana melaksanakan konsep yang
pertama.
2.6 Langkah-langkah Algoritma Titik Interior
Langkah–langkah pengerjaan algoritma titik interior:
1. Mengidentifikasi variabel keputusan, fungsi tujuan, dan fungsi kendala.
2. Memformulasikan variabel keputusan, fungsi tujuan, dan fungsi kendala ke
dalam bentuk program linier.
3. Diubah dalam bentuk maximize (diperluas) dengan menambahkan variabel
slack pada fungsi kendala.
4. Jika program linier sudah dalam bentuk minimize (diperluas), maka
permasalahan dapat diselesaikan dengan algoritma titik interior dengan langkah
sebagai berikut:
Langkah 1: Diketahui penyelesaian percobaan awal (
yang
di ambil dari fungsi kendala D adalah matriks diagonal dari
percobaan awal.
Langkah 2: Hitung nilai
Langkah 3: Hitung nilai
Langkah 4: Hitung nilai
,
Langkah 5: Hitung nilai
Langkah 6: Tentukan komponen negatif
yang mempunyai nilai absolut
terbesar dan tetapkan V sama dengan nilai absolut tersebut.
Universitas Sumatera Utara
30
Langkah 7: Hitung
Langkah 8: Hitung
,
, jika penyelesaian percobaan ini tidak berubah
dari percobaan sebelumnya maka algoritma telah memuat suatu
penyelesaian optimal.
Keterangan:
= Matriks koefisien kendala
= Perkalian antara matriks kofisien kendala dan matriks diagonal dari
percobaan awal
= Vektor kolom dari koefisien fungsi tujuan
= Tingkat kemiringan
= Matriks proyeksi
= Tingkat kemiringan yang diproyeksikan
= Penyelesaian percobaan awal baru
Kenaikan dalam nilai
adalah proporsional terhadap
, nilai
mengukur proporsi jarak yang dapat ditempuh sebelum meninggalkan daerah
layak. Suatu nilai yang mendekati batas atas 1 adalah baik sebagai langkah berarti
ke arah optimalitas dalam proses iterasi. Narendra Karmarkar mengemukakan
untuk algoritma titik interior nilai sebesar
(Hiller and Lieberman, 1990).
Universitas Sumatera Utara
LANDASAN TEORI
2.1 Matriks
2.1.1 Definisi Matriks
Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka (elemen-elemen) yang disusun
menurut baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang, di mana
panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan baris-baris.
Matriks pada dasarnya merupakan alat yang ampuh di dalam pemecahan
persoalan-persoalan yang terdiri dari lebih dari dua persamaan dengan beberapa
variabel dan memudahkan di dalam pembuatan analisis-analisis yang mencakup
hubungan antara variabel-variabel.
Pada awalnya matriks ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh
seorang ilmuan yang berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley (18211895) yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan
transformasi linier awal dari semua ini matriks dianggap sebagai sebuah
permainan karena matriks dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1925
matriks digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matriks
digunakan dalam berbagai bidang. Di dalam memecahkan persoalan operation
research atau linier programming, matriks memegang peranan penting terutama
sebagai landasan yang kuat untuk memahami pengertian-pengertian pemecahan
dasar, metode simpleks dan lain sebagainya.
Sebuah matriks dinotasikan dengan simbol huruf besar seperti
atau
dan sebagainya. Apabila suatu matriks A terdiri dari m baris dan n kolom, maka
matriks A bisa ditulis sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
9
Keterangan :
, i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n.
A=
merupakan elemen matriks A dari baris i dan kolom j, i dan j dinamakan
indeks (subcript), yaitu petunjuk letak (posisi) bagi setiap elemen. Elemenelemen:
,
, ...,
, ...,
disebut diagonal pokok (main diagonal).
Matriks tereduksi adalah matriks yang tiap kolom dan tiap barisnya
mengandung atau memiliki paling sedikit satu buah angka 0 dan elemen-elemen
lainnya bernilai non-negatif. Untuk mendapatkan matriks tereduksi, maka tiap
baris atau kolom yang belum mengandung angka 0 dikurangi dengan nilai terkecil
pada baris atau kolom tersebut.
2.1.2 Jenis-jenis Matriks
Beberapa jenis matriks sebagai berikut:
1. Matriks kuadrat
Matriks kuadrat adalah matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama
banyak. Dalam suatu matriks kuadrat, elemen-elemen
disebut
elemen diagonal utama.
Universitas Sumatera Utara
10
2. Matriks diagonal
Matriks kuadrat
dinamakan matriks diagonal jika semua elemen di
untuk
luar diagonal utama adalah nol,
elemen pada diagonal pokok
untuk
diagonal utama suatu matriks kuadrat
dan paling tidak satu
. Jumlah elemen-elemen
disebut trace
ditulis
.
3. Matriks Identitas
Matriks
disebut matriks identitas dan biasa diberi symbol
4. Matriks singular
Matriks kuadrat
dikatakan singular jika semua elemen pada salah
satu baris atau kolom adalah nol atau jika semua kofaktor dari elemen suatu
baris atau kolom sama dengan nol. Untuk melihat kesingularan suatu matriks
adalah
dengan
menghitung
determinan
matriks
tersebut.
Apabila
determinannya sama dengan nol maka matriks tersebut singular.
5. Matriks orthogonal
Matriks kuadrat
dikatakan dapat didiagonalisasi secara orthogonal
jika terdapat matriks orthogonal
sehingga berlaku
. Matriks
orthogonal didefinisikan sebagai matriks kuadrat yang inversnya sama dengan
transposenya, sehingga
dan
adalah matriks orthogonal.
2.1.3 Operasi Matriks
Universitas Sumatera Utara
11
Ada beberapa operasi dalam matriks, yaitu :
1. Perkalian matriks dengan skalar
Jika
adalah matriks
dengan
dan
adalah suatu skalar, maka hasil kali
adalah
matriks
.
dengan
2. Perkalian matriks dengan matriks
Jika
adalah matriks
hasil kali dari matriks
dan
dan matriks
adalah matriks
ditulis dengan
maka
adalah
matriks
.
3. Penjumlahan matriks
Jika
adalah matriks
penjumlahan matriks
dan
dan matriks
adalah matriks
yang ditulis dengan
maka
dengan:
(2.1)
(2.1)
4. Transpose matriks
Jika
adalah matriks
maka matriks
dengan
dan
disebut dengan transpose dari matriks
Matriks
yang umum dapat ditulis:
Universitas Sumatera Utara
12
5. Invers matriks
Jika
matriks
disebut non singular apabila terdapat matriks
Matriks
matriks
maka matriks
disebut invers dari matriks
maka
. Jika tidak terdapat
disebut singular. Secara umum invers matriks
adalah:
(2.2)
Sifat-sifat invers:
a. Jika
matriks non singular, maka
adalah non singular dan
b. Jika
dan
c. Jika
adalah matriks non singular, maka
adalah matriks non singular, maka
adalah non singular dan
.
2.2 Program Linier
Pemrograman linier adalah salah satu model yang umum digunakan dalam
masalah pengalokasian sumber daya secara optimal. Pemrograman linier meliputi
kegiatan untuk mencapai hasil yang optimal dari antara alternatif-alternatif yang
mungkin menggunakan model matematis berbentuk fungsi linier. Program linier
disusun oleh George B. Dantzig tahun 1947 pada saat memimpin Air Force
Statistical Control’s Combat Analysis Branch di Pentagon. Saat Dantzig
menganalisis masalah perencanaan Air Force dia menyadari dapat merumuskan
sistem ketidaksamaan linier. Hal di atas merupakan awal pemberian nama untuk
teknik “program dan struktur linier” yang belakangan ini disederhanakan menjadi
program linier (Taylor, 2001).
Universitas Sumatera Utara
13
Program linier merupakan model matematika untuk mendapatkan alternatif
penggunaan terbaik atas sumber-sumber organisasi. Kata sifat linier digunakan
untuk menunjukkan fungsi-fungsi matematika yang digunakan dalam bentuk linier
dalam arti hubungan langsung dan proporsional. Program menyatakan
penggunaan teknik matematika tertentu. Jadi, program linier adalah suatu teknik
perencanaan yang bersifat analitis menggunakan model matematis dengan tujuan
menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan optimum terhadap
persoalan (Aminuddin, 2005).
Program linier adalah suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu
problema keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu fungsi tujuan
(memaksimalkan atau meminimalkan) dan kendala-kendala yang ada ke dalam
model matematik persamaan linier. Program linier sering digunakan dalam
penyelesaian problema-problema alokasi sumber daya, seperti dalam bidang
manufacturing,
pemasaran, keuangan, personalia, administrasi,
dan lain
sebagainya (Parlin Sitorus, 1997).
Program linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan
pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang
bersaing, dengan cara terbaik yang mungkin dilakukan. Pokok pikiran utama
dalam menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dengan jelas
dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah
terumuskan dengan baik, maka langkah berikut ialah menerjemahkan masalah ke
dalam bentuk model matematika (P. Siagian, 2006).
Program linier berkaitan dengan maksimalisasi atau minimalisasi fungsi
tujuan linier dengan beberapa variabel yang memiliki kesamaan dan ketaksamaan
fungsi kendala. Program linier menggunakan model matematis untuk menjelaskan
persoalan yang dihadapinya. Sifat “linier” memberi arti bahwa seluruh fungsi
matematis dalam model merupakan fungsi yang linier, demikian kata program
merupakan sinonim untuk perencanaan. Dengan demikian program linier adalah
perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimum,
yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik di antara alternatif yang layak
(Dantzig & Thapa, 1997).
Universitas Sumatera Utara
14
2.2.1 Persyaratan Penyelesaian Program Linier
Syarat-syarat yang harus dipenuhi dalam merumuskan suatu problema keputusan
ke dalam model matematik persamaan linier adalah sebagai berikut (Parlin
Sitorus, 1997):
1. Tujuan
Apa yang menjadi tujuan permsasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan
dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi
tujuan.
2. Alternatif Perbandingan
Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan,
misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu
terlambat dan biaya terendah.
3. Sumber Daya
Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas.
4. Perumusan Kuantitatif
Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif sesuai
dengan yang disebut dalam model matematika.
5. Keterkaitan Peubah
Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus
memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.
Universitas Sumatera Utara
15
2.2.2 Model Umum Matematik Program Linier
Model umum program linier dapat dirumuskan ke dalam bentuk matematik
sebagai berikut (Parlin Sitorus, 1997):
(2.3)
Dengan kendala:
(2.4)
dan
Keterangan:
= Fungsi tujuan
= Variabel keputusan
= Nilai kontribusi dari variabel keputusan
= Koefisien teknologi dari variabel keputusan dalam kendala ke= Sumber daya yang tersedia dalam kendala ke-
2.2.3 Karakteristik Program Linier
Karakteristik-karakteristik dalam program linier yang biasa digunakan untuk
memodelkan suatu masalah dan memformulasikannya secara matematik, yaitu
(Siswanto, 2006):
1. Variabel Keputusan
Universitas Sumatera Utara
16
Variabel keputusan adalah variabel yang secara lengkap menguraikan
keputusan-keputusan yang akan dibuat.
2. Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan merupakan suatu hubungan linier dari variabel keputusan yang
berupa fungsi maksimum atau minimum.
3. Fungsi Kendala
Fungsi kendala merupakan batasan-batasan dalam penyelesaian program linier
yang harus diperhatikan. Kendala diekspresikan dalam persamaan dan
pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan
yang mencerminkan keterbatasan sumber daya dalam suatu masalah.
2.2.4 Asumsi dalam Program Linier
Dalam membangun model dari formulasi suatu persoalan akan digunakan
karakteristik-karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan program linier,
yaitu (Syahputra, 2012):
1. Linieritas (Linierity)
Fungsi tujuan (objective function) dan fungsi kendala (constraint) dibuat dalam
fungsi linier. Sifat linieritas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan
beberapa cara, misalnya dengan menggunakan grafik.
2. Kesetaraan (Propotionality)
a. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah
sebanding dengan nilai variabel keputusan.
b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas
juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.
3. Penambahan (Addivity)
Sifat penambahan mengasumsikan bahwa tidak terdapat bentuk perkalian
silang pada model, baik bagi fungsi tujuan maupun fungsi kendala.
4. Pembagian (Divisibility)
Solusi dapat berupa bilangan bulat (integer ) atau bilangan pecahan.
5. Ketidaknegatifan (Nonnegativity)
Universitas Sumatera Utara
17
Nilai variabel keputusan harus lebih besar atau sama dengan nol.
6. Kepastian (Certainty)
Koefisien pada fungsi tujuan ataupun fungsi kendala merupakan suatu nilai
pasti, bukan merupakan suatu nilai dengan peluang tertentu.
Asumsi-asumsi tersebut harus dipenuhi apabila ingin menyelesaikan
masalah model program linier. Jika asumsi-asumsi tersebut tidak dapat
terpenuhi, persoalan dapat diselesaikan dengan program matematika lain
seperti integer programming nonlinier programming, goal programming dan
dynamic programming.
Suatu masalah dapat mempunyai banyak algoritma penyelesaian.
Algoritma yang digunakan tidak saja harus benar tetapi harus efisien. Efisiensi
suatu algoritma dari waktu eksekusi algoritma dan kebutuhan ruang memori.
Algoritma yang efisien adalah algoritma yang meminimumkan kebutuhan waktu
dan ruang. Dengan menganalisis beberapa algoritma untuk suatu masalah, dapat
diidentifikasi satu algoritma yang paling efisien. Besaran yang digunakan untuk
menjelaskan model pengukuran waktu dan ruang ini adalah kompleksitas
algoritma.
Kompleksitas dari suatu algoritma merupakan ukuran seberapa banyak
komputasi yang dibutuhkan algoritma tersebut untuk menyelesaikan masalah.
Secara informal, algoritma yang dapat menyelesaikan suatu permasalahan dalam
waktu yang singkat memiliki kompleksitas yang rendah, sementara algoritma yang
membutuhkan waktu yang lama untuk menyelesaikan masalahnya mempunyai
kompleksitas yang tinggi. Kompleksitas algoritma terdiri dari dua macam yaitu
kompleksitas waktu dan kompleksitas ruang. Beberapa metode yang dipakai untuk
mengurangi tingkat kompleksitas adalah metode algoritma titik interior yang
dikembangkan oleh N. Karmarkar pada tahun 1984. Algoritma titik interior
memiliki tingkat komplekitas yang sama dengan metode simpleks, maka masalah
program linier dapat diselesaikan dengan waktu yang lebih singkat.
Universitas Sumatera Utara
18
2.3 Metode Grafik
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk
memecahkan permasalahan program linier. Metode ini menggunakan pendekatan
grafik dalam pengambilan keputusan dengan seluruh fungsi kendala dibuat dalam
satu bagian gambar kemudian diambil keputusan melalui grafik tersebut untuk
menentukan nilai variabel keputusan yang optimum. Metode ini hanya dapat
menyelesaikan dua variabel keputusan, apabila memiliki lebih dari dua variabel
keputusan maka metode ini tidak dapat digunakan (Parlin Sitorus, 1997).
Langkah-langkah metode grafik (Andi wijaya 2012):
1. Mengidentifikasi variabel keputusan dan memformulasikan dalam simbol
matematis.
2. Mengidentifikasikan tujuan yang akan dicapai dan kendala-kendala.
3. Memformulasikan tujuan dan kendala ke dalam fungsi matematik.
4. Membuat grafik untuk kendala-kendala yang ada dalam satu bagian. Untuk
membuat grafik fungsi kendala yang berbentuk pertidaksamaan (
dan
diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk persamaan (
5. Menentukan daerah layak pada grafik. Daerah layak dapat dilihat dari
pertidaksamaan pada kendala. Apabila kendala berbentuk
maka daerah
arsiran terjadi pada bagian kiri atau bawah atau kiri bawah, tetapi apabila
kendala berbentuk
, maka daerah arsiran dilakukan di kanan atau kanan atas.
Apabila berbentuk persamaan (
maka daerah layak terjadi di sepanjang
grafik atau garis.
6. Menentukan titik-titik variabel keputusan pada daerah layak.
Contoh 2.1
Sebuah perusahaan memiliki pabrik yang akan memproduksi dua jenis produk
yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan
bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum
penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan
tenaga kerja 40 jam per hari. Tentukan nilai optimal untuk mencapai suatu
Universitas Sumatera Utara
19
keuntungan. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja
dapat dilihat dalam tabel berikut:
Tabel 2.1 Kebutuhan Bahan Baku, Waktu Tenaga Kerja dan Maksimum
Penyediaan.
Bahan baku dan waktu
tenaga kerja
Jenis bahan baku
dan tenaga kerja
Kain
sutera
Maksimum
penyediaan
Kain wol
Benang sutera
2
3
60 kg
Benang wol
-
2
30 kg
Tenaga kerja
2
1
40 jam
Langkah-langkah dalam pengerjaan metode grafik:
1. Variabel keputusan
a.
kain sutera
b.
kain wol
2. Fungsi tujuan
3. Fungsi Kendala
a.
b.
c.
4. Membuat grafik
a.
Universitas Sumatera Utara
20
,
b.
c.
,
Gambar 2.1 Fungsi Kendala
5. Menentukan daerah layak pada grafik.
Gambar 2.2 Daerah Layak
6. Menentukan titik-titik variabel keputusan pada daerah layak.
Universitas Sumatera Utara
21
Gambar 2.3 Himpunan Penyelesaian
a.
Titik A:
b. Titik B:
c. Titik C:
d. Titik D:
Universitas Sumatera Utara
22
e. Titik E:
Hasil perhitungan disajikan dalam Tabel 2.2 sebagai berikut:
Tabel 2.2 Hasil Perhitungan
Titik
A(0,0)
0
0
0
B(20,0)
800
0
800
C(15,10)
600
300
900
D(7.5,15)
300
450
750
E(0,15)
0
450
450
Jadi berdasarkan hasil perhitungan pada tabel 2.2 diperoleh nilai
berada pada titik C dengan
dan
2.4 Metode Simpleks
Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang secara
sistematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yang fisibel ke pemecahan dasar
fisibel lainnnya, dilakukan secara berulang-ulang sehingga tercapai suatu
pemecahan dasar yang optimum dan setiap langkah menghasilkan suatu nilai dari
fungsi tujuan yang selalu lebih besar atau sama dari iterasi sebelumnya (Parlin
Sitorus, 1997).
Cara yang paling sederhana untuk menyelesaikan permasalahan program
linier adalah dengan pendekatan grafikal. Cara tersebut hanya bisa diterapkan
untuk program linier dengan dua variabel keputusan. Pada kenyataannya sebagian
besar permasalahan program linier mempunyai lebih dari dua variabel keputusan.
Hal ini tentu sulit untuk menerapkan pendekatan grafikal untuk memperoleh
penyelesaian dari permasalahan tersebut. Pada tahun 1947 George Dantzig
Universitas Sumatera Utara
23
mengajukan suatu metode yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan program
linier yang disebut metode simpleks. Metode simpleks merupakan prosedur
aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari
titik ekstrim
pada daerah feasible (ruang sousi) menuju titik ekstrem yang
optimum (Aminuddin 2005).
Dalam menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode
simpleks, bentuk dasar yang digunakan haruslah merupakan bentuk standar, yaitu
bentuk formulasi yang memenuhi ketentuan berikut ini (Mustafa dan Parkhan,
1999).
1. Seluruh pembatas linier harus berbentuk persamaan dengan ruas kanan yang
nonnegatif.
2. Seluruh peubah keputusan harus merupakan peubah nonnegatif.
3. Fungsi tujuannya dapat berupa maksimasi atau minimasi.
Beberapa hal yang dapat dilakukan untuk mengubah bentuk permasalahan
program linier yang belum standar ke dalam bentuk standar permasalahan
program linier sesuai dengan ketentuan Pembatas linier (linier constraint) yang
terdiri dari:
a. Pembatas linier bertanda ”≤” dapat dijadikan suatu persamaan ”=”
dengan cara menambahkan ruas kiri dari pembatas linier itu dengan slack
variable (peubah penambah). Slack variabel pada umumnya digunakan
untuk
mewakili
jumlah kelebihan
ruas
kanan
pembatas
linier
dibandingkan dengan ruas kirinya. Pada pembatas linier bertanda ”≤”, ruas
kanan umumnya mewakili batas ketersediaan sumber daya sedangkan ruas
kiri umumnya mewakili penggunaan sumber daya tersebut yang dibatasi oleh
berbagai kegiatan yang berbeda (peubah) dari suatu model program linier
sehingga slack variable dapat diartikan untuk mewakili jumlah sumber daya
yang tidak dipergunakan.
b. Pembatas linier bertanda ”≥” dapat dijadikan suatu persamaan ”=”
dengan cara mengurangkan ruas kiri dari pembatas linier itu dengan surplus
variabel (peubah penambah negatif). Pada pembatas linier bertanda ”≥”,
Universitas Sumatera Utara
24
ruas kanan umumnya mewakili penetapan persyaratan spesifikasi minimum,
sehingga surplus variabel dapat diartikan untuk mewakili jumlah kelebihan
sesuatu dibandingkan spesifikasi minimumnya.
c. Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan nonnegatif dengan
cara mengalikan kedua ruas dengan -1.
d. Arah pertidaksamaan berubah apabila kedua ruas dikalikan dengan -1.
e. Pembatas linier dengan pertidaksamaan yang ruas kirinya berada dalam tanda
mutlak dapat diubah menjadi dua pertidaksamaan.
Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program
linier dengan metode simpleks (Handayani, 2014):
1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.
Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian daerah
kelayakan (feasible) maka semua pertidaksamaan diubah menjadi persamaan
dengan cara menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan
(artifisial variabel) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol pada
setiap koefisien tujuannya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut:
a. Untuk batasan bernotasi
diubah ke dalam bentuk persamaan dengan
menambahkan variabel slack.
b. Untuk batasan bernotasi
atau
diselesaikan dengan menambahkan
variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel buatan
ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat
suatu bilangan penalty M (M bilangan positif yang sangan besar) sebagai
harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Untuk kasus
maksimasi maka dibuat –M sebagai harga dari variabel buatan dan untuk
kasus minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara
pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M method).
2. Susun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks
Universitas Sumatera Utara
25
Tabel 2.3 Bentuk Tabel Simpleks
...
Basis
Variabel Basis
Harga Basis
...
...
...
...
3. Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai
positif untuk kasus maksimasi atau yang memiliki nilai
yang paling
yang paling
negatif untuk kasus minimasi.
4. Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah
perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci,
5. Tentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan
baris kunci.
6. Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris Z baru, dan baris
variabel-variabel slack baru.
a. Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan
elemen cell.
b. Baris Z baru dan baris-baris lainnya ditentukan dengan cara:
Baris lama – (nilai kolom kunci baris yang sesuai × baris kunci baru)
c. Letakkan nilai-nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel.
7. Lakukan uji optimalisasi. Jika semua koefisien pada baris
sudah
tidak ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus maksimasi) atau sudah tidak
Universitas Sumatera Utara
26
ada lagi yang bernilai negatif (untuk kasus minimasi) berarti sudah optimal.
Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah 3.
2.5 Algoritma Titik Interior
Titik interior merupakan titik-titik yang beradadi dalam daerah layak. ada dua
langkah yang diperlukan dari metode titik interior, yaitu mencarik arah layak yang
memperbaiki nilai fungsi sasaran pada titik tertentu dari setiap iterasi dan
menentukan besar langkah yang menghasilkan titik baru yang berada pada daerah
layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran. Algoritma titik interior di bagi
dalam empat kelas utama yaitu, affine scaling methods, metode proyektif atau
dikenal dengan metode Karmarkar, path following methods dan potential
reduction methods.
Algoritma titik interior pertama kali diperkenalkan oleh Narendra
Karmarkar (1984) dari Laboratorium AT & T mengenai algoritma baru untuk
menyelesaikan masalah-masalah pemrograman linier yang besar. Algoritma titik
interior merupakan metode untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier
yang memotong atau menembus interior dari daerah fisibel untuk mencapai suatu
solusi optimal. Titik interior merupakan titik-titik yang berada di dalam daerah
fisibel (Hillier & Lieberman, 1990). Dasar teori algoritma ini menggunakan
konsep gradien dan proyeksi.
Algoritma titik interior dalam menyelesaikan persoalan program linier
secara fundamental berbeda dari metode simpleks. Langkah awal dalam algoritma
titik interior yaitu menentukan titik awal pemecahan masalah. Titik awal algoritma
titik interior dari dalam himpunan fisibel dan bergerak menuju verteks optimal.
Algoritma titik interior berhenti menemukan solusi yang memiliki nilai fungsi
tujuan lebih kecil atau sama dengan nilai berhenti yang telah ditentukan pertama
kali. Gagasan dasar dari algoritma titik interior dapat dilihat dalam permasalahan
program linier berikut:
Maksimumkan
dengan kendala
Universitas Sumatera Utara
27
Agar masalah program linier menjadi bentuk standar, maka ditambahkan variabel
pengetat pada masalah program linier di atas, sehingga menjadi:
Maksimumkan
dengan kendala
dengan
adalah variabel slack.
Gambar 3.1 Permasalahan untuk Memaksimalkan Nilai
Gambar 3.1 menggambarkan permasalahan untuk memaksimalkan nilai
Ruang pemecahan diketahui dengan ruas
postif
dan arah kenaikan
.
adalah arah
. Iterasi dimulai dari titik interior C dalam ruang penyelesaian (garis AB).
gradien fungsi tujuan (
di C adalah arah yang membuat fungsi tujan
meningkat dengan cepat. Jika satu titik sembarang ditempatkan di sepanjang
gradien itu dan kemudian memproyeksikannya secara tegak lurus terhadap ruang
penyelesaian (garis
titik
), maka diperoleh titik baru
. Dari sudut pandang nilai ,
yang baru ini lebih baik dari titik awal .
Perbaikan seperti ini diperoleh dengan bergerak dalam arah
yang
merupakan gradien garis hasil proyeksi atau disebut sebagai gradien terproyeksi.
Jika prosedur yang sama ini diulang di
, maka akan ditemukan satu titik baru di
Universitas Sumatera Utara
28
yang lebih dekat dengan titik optimum. Dapat diperkirakan jika bergerak
dengan sangat hati-hati dalam arah gradien terproyeksikan, maka akan dicapai
titik optimum
. Langkah-langkah yang dihasilkan di sepanjang gradien
terproyeksi tidak akan meleset dari titik optimum di
dan dalam kasus
dimensi
pada umumnya. Arah yang diciptakan oleh gradien terproyeksi tidak akan
menyebabkan terjebaknya algoritma tersebut di titik yang bukan optimum.
Prosedur gradien yang diproyeksikan akan menjauh dari titik
di
ke arah optimum
(
Penggunaan algoritma titik interior untuk menyelesaikan masalah program
linier harus diubah terlebih dahulu kedalam bentuk kanonik karmarkar dan
memenuhi beberapa asumsi metode karmarkar (Bazaraa, 2010). Bentuk kanonik
dari karmarkar adalah:
(2.4)
Minimumkan
Kendala
(2.5)
Keterangan:
= variabel keputusan
= matriks m x n
= koefisien variabel fungsi tujuan
= vector kolom berukuran m dari 0
Semua batasan kendala merupakan persamaan homogen kecuali untuk
kendala
1 yang merupakan kendala untuk mendefinisikan sebuah
simpleks n dimensi. Algoritma titik interior memiliki konsep atau pemikiran dasar
sebagai berikut:
1. Bergerak melalui daerah fisibel menuju suatu penyelesaian optimal.
2. Bergerak dalam arah yang meningkatkan nilai fungsi tujuan dengan tingkat
kecepatan yang paling tinggi.
Universitas Sumatera Utara
29
3. Mengubah daerah layak tersebut untuk menempatkan penyelesaian percobaan
yang
sedekat
mungkin
pada
titik
pusatnya
dan
dengan
demikian
memungkunkan peningkatan yang besar bilamana melaksanakan konsep yang
pertama.
2.6 Langkah-langkah Algoritma Titik Interior
Langkah–langkah pengerjaan algoritma titik interior:
1. Mengidentifikasi variabel keputusan, fungsi tujuan, dan fungsi kendala.
2. Memformulasikan variabel keputusan, fungsi tujuan, dan fungsi kendala ke
dalam bentuk program linier.
3. Diubah dalam bentuk maximize (diperluas) dengan menambahkan variabel
slack pada fungsi kendala.
4. Jika program linier sudah dalam bentuk minimize (diperluas), maka
permasalahan dapat diselesaikan dengan algoritma titik interior dengan langkah
sebagai berikut:
Langkah 1: Diketahui penyelesaian percobaan awal (
yang
di ambil dari fungsi kendala D adalah matriks diagonal dari
percobaan awal.
Langkah 2: Hitung nilai
Langkah 3: Hitung nilai
Langkah 4: Hitung nilai
,
Langkah 5: Hitung nilai
Langkah 6: Tentukan komponen negatif
yang mempunyai nilai absolut
terbesar dan tetapkan V sama dengan nilai absolut tersebut.
Universitas Sumatera Utara
30
Langkah 7: Hitung
Langkah 8: Hitung
,
, jika penyelesaian percobaan ini tidak berubah
dari percobaan sebelumnya maka algoritma telah memuat suatu
penyelesaian optimal.
Keterangan:
= Matriks koefisien kendala
= Perkalian antara matriks kofisien kendala dan matriks diagonal dari
percobaan awal
= Vektor kolom dari koefisien fungsi tujuan
= Tingkat kemiringan
= Matriks proyeksi
= Tingkat kemiringan yang diproyeksikan
= Penyelesaian percobaan awal baru
Kenaikan dalam nilai
adalah proporsional terhadap
, nilai
mengukur proporsi jarak yang dapat ditempuh sebelum meninggalkan daerah
layak. Suatu nilai yang mendekati batas atas 1 adalah baik sebagai langkah berarti
ke arah optimalitas dalam proses iterasi. Narendra Karmarkar mengemukakan
untuk algoritma titik interior nilai sebesar
(Hiller and Lieberman, 1990).
Universitas Sumatera Utara