Perbandingan Metode Simpleks Dengan Algoritma Titik Interior Dalam Penyelesaian Masalah Program Linier
PERBANDINGAN METODE SIMPLEKS DENGAN ALGORITMA
TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN
MASALAH PROGRAM LINIER
SKRIPSI
AGUSTINA ANGGREINI SITORUS
120803060
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
PERBANDINGAN METODE SIMPLEKS DENGAN ALGORITMA
TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN
MASALAH PROGRAM LINIER
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai
gelar Sarjana Sains
AGUSTINA ANGGREINI SITORUS
120803060
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
: Perbandingan Metode Simpleks Dengan Algoritma
Titik Interior Dalam Penyelesaian Masalah
Program Linier
: Skripsi
: Agustina Anggreini Sitorus
: 120803060
: Sarjana (S1) Matematika
: Matematika
: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA)
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Juni 2016
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Drs. Partano Siagian, M.Sc.
NIP.19511227 198003 1 001
Drs. Agus Salim Harahap, M.Si.
NIP. 19540828 198103 1 004
Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua
Prof. Dr. Tulus, M.Si.
NIP. 19620901 198803 1 002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PERBANDINGAN METODE SIMPLEKS DENGAN ALGORITMA
TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN
MASALAH PROGRAM LINIER
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juni 2016
Agustina Anggreini Sitorus
120803060
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa dan Maha
Penyayang, dengan limpahan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan
penyusunan skripsi ini dengan judul Perbandingan Metode Simpleks Dengan
Algoritma Titik Interior Dalam Penyelesaian Program Linier.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Drs. Agus Salim Harahap,
M.Si selaku pembimbing 1 dan Bapak Drs. Partano Siagian, M.Sc selaku
pembimbing 2 yang telah memberikan bimbingan selama penulisan skripsi ini.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Faigiziduhu Bu‟ulolo, M.Si
dan Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si selaku dosen pembanding yang telah
memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini.
Terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D dan Ibu Dr. Mardiningsih,
M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA-USU Medan.
Terima kasih kepada Bapak Dr. Kerista Sebayang, M.S selaku Dekan FMIPAUSU serta seluruh civitas akademika di lingkungan FMIPA-USU Medan.
Akhirnya yang teristimewa kepada Ayahanda Tipak Sitorus dan Ibunda Erida
Samosir serta saudara-saudari penulis yang selalu mendoakan, memberi semangat
dan bantuan baik secara moril maupun material kepada penulis. Semoga segala
bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang
lebih baik dari Tuhan Yesus Kristus.
Penulis,
Agustina Anggreini Sitorus
iii
Universitas Sumatera Utara
PERBANDINGAN METODE SIMPLEKS DENGAN ALGORITMA
TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN
MASALAH PROGRAM LINIER
ABSTRAK
Program linier adalah suatu model yang melibatkan fungsi-fungsi linier yang
dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber secara
optimal. Pokok pikiran menggunakan program linier adalah merumuskan masalah
dari informasi yang tersedia dan menerjemahkan ke dalam model matematika.
Metode simpleks merupakan metode yang efisien untuk menyelesaikan
permasalahan program linier. Algoritma titik interior adalah metode yang
digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier. Titik awal algoritma titik
interior dari dalam himpunan fisibel dan bergerak menuju verteks optimal. Tujuan
dari penulisan ini adalah menyelesaikan masalah program linier yang memuat n
variabel dan m kendala dengan menggunakan kedua metode tersebut. Keefisienan
kedua metode di ukur berdasarkan banyaknya iterasi yang diperoleh dalam
menyelesaikan permasalahan program linier. Pada penelitian ini, permasalahan
program linier dengan metode simpleks akan diperoleh hasil apabila
dan pada algoritma titik interior diperoleh hasil apabila nilai Z sama
dengan nilai sebelumnya atau lebih kecil.
Kata kunci: Program Linier, Metode Simpeks, Algoritma Titik Interior
iv
Universitas Sumatera Utara
COMPARISON SIMPLEX METHOD AND INTERIOR
POINT ALGORITHMS IN SOLVING LINEAR
PROGRAMMING PROBLEMS
ABSTRACT
Linear programming is a program which involved function and can be used in
solving problem of limited source allocation optimally. The main ideas used in
linear program is defining problem of information provided and transforming into
mathematical model. Simpleks method is one of effisient algorithm for solving
problem of linear programming. Interior point algorithm is a new means which
can be used to solve these great problems. The objective of this paper is solving
linear programming problem which contain n variables and m constaints using
those two methods, then comparing how efficient method are, by counting the
number of iteration for each methods. Based on the result, linear programming
and the interior point
problem by the simpleks method will result if
algorithm results obtained when the value of
is equal to the previous value or
smaller.
Keywords: Linier Programming, Simpleks Method, Interior Point Algorithm
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
iv
v
vi
vii
viii
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
Bab 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1.2 Perumusan Masalah
1.3 Batasan Masalah
1.4 Tinjauan Pustaka
1.5 Tujuan Penelitian
1.6 Kontribusi Penelitian
1.7 Metodologi Penelitian
1
1
2
2
2
6
6
6
Bab 2 LANDASAN TEORI
2.1 Matriks
2.1.1 Definisi Matriks
2.1.2 Jenis-jenis Matriks
2.1.3 Operasi Matriks
2.2 Program Linier
2.2.1 Persyaratan Penyelesaian Program Linier
2.2.2 Model Umum Matematik Program Linier
2.2.3 Karakteristik Program Linier
2.3 Metode Grafik
2.4 Metode Simpleks
2.5 Algoritma Titik Interior
2.6 Langkah-langkah Algoritma Titik Interior
8
8
8
9
10
12
13
14
15
18
22
25
28
Bab 3 HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Permasalahan Program Linier
3.2 Aplikasi Kasus Masalah Program Linier
3.2.1 Penyelesaian Kasus 2 dengan Metode Simpleks
3.2.2 Penyelesaian Kasus 2 dengan Algoritma Titik Interior
30
30
30
32
38
Bab 4 KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
48
48
vi
Universitas Sumatera Utara
4.2 Saran
48
DAFTAR PUSTAKA
49
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Tabel
2.1
2.2
2.3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Judul
Halaman
Kebutuhan Bahan Baku, Waktu Tenaga Kerja
Hasil Perhitungan
Bentuk Tabel Simpleks
Bentuk Tabulasi Permasalahan
Tabel Awal Metode Simpleks
Iterasi 1
Iterasi 2
Iterasi 3
Iterasi 4
18
21
24
33
35
36
36
37
38
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar
2.1
2.2
2.3
2.4
Judul
Halaman
Grafik Fungsi Kendala
Grafik daerah layak
Grafik Himpunan Penyelesaian
Permasalahan untuk Memaksimalkan Nilai
19
20
20
26
ix
Universitas Sumatera Utara
TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN
MASALAH PROGRAM LINIER
SKRIPSI
AGUSTINA ANGGREINI SITORUS
120803060
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
PERBANDINGAN METODE SIMPLEKS DENGAN ALGORITMA
TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN
MASALAH PROGRAM LINIER
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai
gelar Sarjana Sains
AGUSTINA ANGGREINI SITORUS
120803060
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
: Perbandingan Metode Simpleks Dengan Algoritma
Titik Interior Dalam Penyelesaian Masalah
Program Linier
: Skripsi
: Agustina Anggreini Sitorus
: 120803060
: Sarjana (S1) Matematika
: Matematika
: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA)
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Juni 2016
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Drs. Partano Siagian, M.Sc.
NIP.19511227 198003 1 001
Drs. Agus Salim Harahap, M.Si.
NIP. 19540828 198103 1 004
Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua
Prof. Dr. Tulus, M.Si.
NIP. 19620901 198803 1 002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PERBANDINGAN METODE SIMPLEKS DENGAN ALGORITMA
TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN
MASALAH PROGRAM LINIER
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juni 2016
Agustina Anggreini Sitorus
120803060
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa dan Maha
Penyayang, dengan limpahan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan
penyusunan skripsi ini dengan judul Perbandingan Metode Simpleks Dengan
Algoritma Titik Interior Dalam Penyelesaian Program Linier.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Drs. Agus Salim Harahap,
M.Si selaku pembimbing 1 dan Bapak Drs. Partano Siagian, M.Sc selaku
pembimbing 2 yang telah memberikan bimbingan selama penulisan skripsi ini.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Faigiziduhu Bu‟ulolo, M.Si
dan Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si selaku dosen pembanding yang telah
memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini.
Terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D dan Ibu Dr. Mardiningsih,
M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA-USU Medan.
Terima kasih kepada Bapak Dr. Kerista Sebayang, M.S selaku Dekan FMIPAUSU serta seluruh civitas akademika di lingkungan FMIPA-USU Medan.
Akhirnya yang teristimewa kepada Ayahanda Tipak Sitorus dan Ibunda Erida
Samosir serta saudara-saudari penulis yang selalu mendoakan, memberi semangat
dan bantuan baik secara moril maupun material kepada penulis. Semoga segala
bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang
lebih baik dari Tuhan Yesus Kristus.
Penulis,
Agustina Anggreini Sitorus
iii
Universitas Sumatera Utara
PERBANDINGAN METODE SIMPLEKS DENGAN ALGORITMA
TITIK INTERIOR DALAM PENYELESAIAN
MASALAH PROGRAM LINIER
ABSTRAK
Program linier adalah suatu model yang melibatkan fungsi-fungsi linier yang
dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber secara
optimal. Pokok pikiran menggunakan program linier adalah merumuskan masalah
dari informasi yang tersedia dan menerjemahkan ke dalam model matematika.
Metode simpleks merupakan metode yang efisien untuk menyelesaikan
permasalahan program linier. Algoritma titik interior adalah metode yang
digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier. Titik awal algoritma titik
interior dari dalam himpunan fisibel dan bergerak menuju verteks optimal. Tujuan
dari penulisan ini adalah menyelesaikan masalah program linier yang memuat n
variabel dan m kendala dengan menggunakan kedua metode tersebut. Keefisienan
kedua metode di ukur berdasarkan banyaknya iterasi yang diperoleh dalam
menyelesaikan permasalahan program linier. Pada penelitian ini, permasalahan
program linier dengan metode simpleks akan diperoleh hasil apabila
dan pada algoritma titik interior diperoleh hasil apabila nilai Z sama
dengan nilai sebelumnya atau lebih kecil.
Kata kunci: Program Linier, Metode Simpeks, Algoritma Titik Interior
iv
Universitas Sumatera Utara
COMPARISON SIMPLEX METHOD AND INTERIOR
POINT ALGORITHMS IN SOLVING LINEAR
PROGRAMMING PROBLEMS
ABSTRACT
Linear programming is a program which involved function and can be used in
solving problem of limited source allocation optimally. The main ideas used in
linear program is defining problem of information provided and transforming into
mathematical model. Simpleks method is one of effisient algorithm for solving
problem of linear programming. Interior point algorithm is a new means which
can be used to solve these great problems. The objective of this paper is solving
linear programming problem which contain n variables and m constaints using
those two methods, then comparing how efficient method are, by counting the
number of iteration for each methods. Based on the result, linear programming
and the interior point
problem by the simpleks method will result if
algorithm results obtained when the value of
is equal to the previous value or
smaller.
Keywords: Linier Programming, Simpleks Method, Interior Point Algorithm
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
iv
v
vi
vii
viii
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
Bab 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1.2 Perumusan Masalah
1.3 Batasan Masalah
1.4 Tinjauan Pustaka
1.5 Tujuan Penelitian
1.6 Kontribusi Penelitian
1.7 Metodologi Penelitian
1
1
2
2
2
6
6
6
Bab 2 LANDASAN TEORI
2.1 Matriks
2.1.1 Definisi Matriks
2.1.2 Jenis-jenis Matriks
2.1.3 Operasi Matriks
2.2 Program Linier
2.2.1 Persyaratan Penyelesaian Program Linier
2.2.2 Model Umum Matematik Program Linier
2.2.3 Karakteristik Program Linier
2.3 Metode Grafik
2.4 Metode Simpleks
2.5 Algoritma Titik Interior
2.6 Langkah-langkah Algoritma Titik Interior
8
8
8
9
10
12
13
14
15
18
22
25
28
Bab 3 HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Permasalahan Program Linier
3.2 Aplikasi Kasus Masalah Program Linier
3.2.1 Penyelesaian Kasus 2 dengan Metode Simpleks
3.2.2 Penyelesaian Kasus 2 dengan Algoritma Titik Interior
30
30
30
32
38
Bab 4 KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
48
48
vi
Universitas Sumatera Utara
4.2 Saran
48
DAFTAR PUSTAKA
49
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Tabel
2.1
2.2
2.3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Judul
Halaman
Kebutuhan Bahan Baku, Waktu Tenaga Kerja
Hasil Perhitungan
Bentuk Tabel Simpleks
Bentuk Tabulasi Permasalahan
Tabel Awal Metode Simpleks
Iterasi 1
Iterasi 2
Iterasi 3
Iterasi 4
18
21
24
33
35
36
36
37
38
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar
2.1
2.2
2.3
2.4
Judul
Halaman
Grafik Fungsi Kendala
Grafik daerah layak
Grafik Himpunan Penyelesaian
Permasalahan untuk Memaksimalkan Nilai
19
20
20
26
ix
Universitas Sumatera Utara