100
Kelas XI SMAMASMKMAK
c. Persamaan Garis Singgung Lingkaran melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran
Masalah-9.9
Permainan tutup botol juga dapat dimainkan dengan versi yang berbeda. Beberapa membuat tutup botol dalam keadaan tertidur seperti pada gambar,
lalu bagian belakangnya disentil dengan jari telunjuk ataupun jari tengah agar tutup botol itu meluncur ke depan.
Gambar 9.21 Dua buah tutup botol
Setelah itu mereka lalu berlari mengejar tutup botol yang melaju kencang itu. Mereka tertawa ketika tutup botol salah satu pemain berhasil meluncur dan
mengenai tutup botol lainnya. Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa salah satu tutup botol akan menyinggung tutup botol yang lain di dua titik. Misalkan
Ax
1
, y
1
adalah titik yang berada pada tutup botol I dan sasarannya adalah tepi tutup botol II. Berdasarkan keadaan di atas tentukanlah persamaan garis g
1
dan g
2
tersebut
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan titik Ax
1
, y
1
terletak di luar lingkaran. Terdapat dua garis singgung
lingkaran yang melalui titik Ax
1
, y
1
dan digambarkan sebagai berikut.
Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgungnya adalah sebagai
berikut:
1. Misalkan gradien garis singgung yang melalui titik Ax
1
, y
1
adalah m sehingga diperoleh persamaan.
Gambar 9.22 : Dua Buah garis yang menyinggung Lingkaran
Di unduh dari : Bukupaket.com
101
Matematika
y – y
1
= mx – x
1
⇔ y – y
1
= mx – mx
1
⇔ y = mx – mx
1
+ y
1
2. Dari langkah 1 substitusikan nilai y = mx – mx
1
+ y
1
ke dalam persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam variabel x, kemudian tentukan nilai
diskriminannya, dari persamaan kuadrat tersebut. 3. Karena garis singgung itu merupakan garis lurus dan menyinggung lingkaran
akibatnya nilai diskriminan nol, Setelah itu carilah nilai m. Selanjutnya nilai m tersebut substitusikan ke persamaan y = mx – mx
1
+ y
1
sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung tersebut.
Contoh 9.13
Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat P0, 0 dan berjari- jari 5 yang melalui titik 7, 1.
Alternatif Penyelesaian:
Titik 7, 1 berada di luar lingkaran x
2
+ y
2
= 25 sebab jika titik 7, 1 disubstitusikan ke persamaan lingkaran tersebut diperoleh 72 + 12 = 50 25
Persamaan lingkaran dengan pusat P0, 0 dan berjari-jari 5 adalah x
2
+ y
2
= 25 Garis yang melalui titik 7, 1 dengan gradient m, memiliki persamaan
y = mx – mx
1
+ y
1
⇒ y = mx –7m + 1 Substitusikan nilai y = mx –7m + 1 ke persamaan lingkaran x
2
+ y
2
= 25 diperoleh x
2
+ mx – 7m + 1
2
= 25 ⇔ x
2
+ m
2
x
2
– 49m
2
+ 1 – 14m
2
x + 2m – 14m = 25 ⇔ 1 + m
2
x
2
+ 2m – 14m
2
x + –49m
2
– 14m – 24 = 0
Di unduh dari : Bukupaket.com
102
Kelas XI SMAMASMKMAK
Selanjutnya ditentukan nilai diskriminan D = b
2
– 4ac D = 2m – 14 m
2 2
– 41 + m
2
49m
2
– 14m – 24 = 4m
2
– 56m
3
+ 196m
4
– 449m
2
– 14m – 24 + 49m
4
– 14m
3
– 24m
2
= 4m
2
– 56mm
3
+ 1196m
4
– 196m
2
+ 56m + 96 – 196m
4
+ 56m
3
+ 96m
2
= 4m
2
+ 96m
2
– 196m
2
+ 56m + 96 = –96m
2
+ 56m + 96 Syarat D = 0
–96m
2
+ 56m + 96 = 0 ⇔ 96m
2
– 56m – 96 = 0 ⇔ 12m
2
– 7m – 12 = 0 ⇔ 4m + 33m – 4 = 0
⇔ m = − 3
4 atau m
= 4
3 Sehingga diperoleh persamaan garis singgung
3x – 4y – 25 = 0 atau 4x – 3y – 25 = 0
Latihan 9.8
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x
2
+ y
2
= 25 yang melalui titik 0, 2.
Uji Kompetensi 9.2
1. Tentukanlah nilai C agar garis y = x + C menyinggung lingkaran x
2
+ y
2
= 25. 2. Berapakah nilai r jika r positif dan x + y = r menyinggung lingkaran x
2
+ y
2
= r? 3. Tentukanlah gradien garis singgung jika kedua garis lurus yang ditarik dari titik
0, 0 dan menyinggung sebuah lingkaran dengan persamaan x
2
+ y
2
– 6x + 2y + 5 = 0
4. Tentukanlah persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 0 dan membagi lingkaran x
2
+ y
2
+ 4x + 3 = 0 menjadi dua bagian yang sama 5. Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x
2
+ y
2
– 4x + 6y – 12 = 0 melalui titik 6, –6
Di unduh dari : Bukupaket.com
103
Matematika
6. Jika lingkaran x
2
+ y
2
– 2ax + 6y + 49 = 0 menyinggung sumbu x, tentukanlah nilai a
7. Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di 3, 4 dan menyinggung sumbu x kemudian tentukan persamaan lingkaran hasil pencerminan lingkaran
terhadap gaaris y = – x 8. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x
2
+ y
2
= 4 bergradien 1 9. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x
2
+ y
2
= 25 yang melalui titik –3, –4
10. Tentukanlah nilai q jika diberikan garis x + y = q, menyinggung lingkaran x
2
+ y
2
= 8 di titik A pada kuadran pertama 11. Tentukanlah nilai k, jika titik –5, k terletak pada lingkaran x
2
+ y
2
+ 2x – 5y – 12 = 0 12. Tentukanlah nilai C agar garis y = x + C menyinggung lingkaran x
2
+ y
2
= 25 13. Tentukanlah persamaan garis lurus yang melalui pusat lingkaran x
2
+ y
2
– 2x – 4y + 2 = 0 tegak lurus garis 2x – y + 3 = 0
Di unduh dari : Bukupaket.com
104
Kelas XI SMAMASMKMAK
D. PENUTUP
Kategori