191
Matematika
Proses penyelesaian
Kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi vt = st = 4t
2
–12t Percepatan adalah turunan pertama dari kecepatan
at = vt = 12t
2
– 12 = 0 12t + 1t – 1 = 0
Jadi, percepatan akan konstan pada saat t = 1 sehingga: v1 = s1 = 41
3
– 121 = –8 s1 = 1
4
– 61
2
+ 12 = 7
3. Sketsa Kurva Suatu Fungsi dengan Konsep Turunan
Berdasarkan konsep turunan yang diperoleh di atas, maka kita dapat menggambar kurva suatu fungsi dengan menganalisis titik stasioner, fungsi naik atau turun, titik
optimalnya maksimum atau minimum dan titik belok. Perhatikan dan pelajarilah contoh berikut.
Contoh 11.21
Analisis dan sketsalah kurva fungsi fx = x
4
+ 2x
3
.
Alternatif Penyelesaian.
Langkah 1. Menentukan nilai pembuat nol fungsi. fx = x
4
+ 2x
3
ó x
3
x + 2 = 0 ó x
3
= 0 atau x + 2 = 0 ó x = 0 atau x = –2
Jadi, kurva melalui sumbu x di titik A0,0 atau B-2,0 Langkah 2. Menentukan titik stasioner.
f x = 4x
3
+ 6x
2
= 0 ó 2x
2
2x + 3 = 0 ó 2x
2
= 0 atau 2x + 3 = 0 ó x = 0 atau x = −
3 2
Di unduh dari : Bukupaket.com
192
Kelas XI SMAMASMKMAK
Nilai f0 = 0 atau f −
= − 3
2 27
16 Jadi, titik stasioner fungsi adalah A0,0 atau C
, − −
3 2
27 16
. Langkah 3. Menentukan interval fungsi naikturun Interval pembuat fungsi naik
adalah: f x = 4x
3
+ 6x
2
0 ó 2x
2
2x + 3 0 ó x = 0 atau x = −
3 2
Ingat pelajaran pertidaksamaan pada kelas X.
2 3
−
+ +
-
Interval Naik Interval Naik
Interval Turun
Jadi, fungsi akan naik pada x − 3
2 atau x 0 dan turun pada
− 3
2 x
. Langkah 4. Menentukan titik balik fungsi Untuk menentukan titik balik maksimum
atau minimum fungsi, kita akan menguji titik stasioner ke turunan kedua fungsi.
f x = 12x
2
+ 12 x sehingga f 0 = 0 Titik A0,0 bukanlah sebuah titik balik.
f x = 12x
2
+ 12x sehingga f −
= 3
2 9
Titik C ,
− − 3
2 27
16 adalah titik balik minimum.
Langkah 5. Menentukan titik belok
f x = 12x
2
+ 12x = 0 ó 12xx + 1 = 0
Di unduh dari : Bukupaket.com
193
Matematika
ó 12x = 0 atau x + 1 = 0 ó x = 0 atau x = –1
Nilai f0 = 0 atau f–1 = –1 Jadi, titik belok fungsi adalah A0,0 atau D–1, –1.
Langkah 6. Menentukan beberapa titik bantu
x -74
-12 14
12 y = x
4
+ 2x
3
-343256 -316
9256 516
x,y P-74,-343256
Q-12,-316 R14,9256 S12,516
Gambar 11.25 Sketsa kurva fungsi fx = x
4
+ 2x
3
.
Contoh 11.12
Analisis dan sketsalah kurva fungsi f x x
x =
−
2
1 .
Alternatif Penyelesaian.
Langkah 1. Menentukan nilai pembuat nol fungsi. f x
x x
= −
2
1 ó
x x
2
1 −
= ó x
2
= 0 dan x – 1 ≠ 0
ó x = 0 dan x ≠ 1
Jadi, kurva melalui sumbu x pada titik A0,0
Di unduh dari : Bukupaket.com
194
Kelas XI SMAMASMKMAK
Langkah 2. Menentukan titik stasioner. f x
x x x
x =
− −
− =
2 1
1 1
2 2
ó 2xx – 1 – x
2
1 = 0 dan x – 1
2
≠ 0 ó x
2
– 2x = 0 dan x ≠ 1
ó xx – 2 dan x ≠ 1
ó x = 0 atau x = 2 Nilai f0 = 0 atau f2 = 4
Jadi, titik stasioner fungsi adalah A0,0 atau B2,4.
Langkah 3. Menentukan interval fungsi naikturun. Interval pembuat fungsi naik adalah:
f x x
x x
= −
−
2 2
2 1
ó x
2
– 2xx – 1
2
ó xx – 2x – 1
2
ó x = 0, x = 2 atau x = 1
Ingat pelajaran pertidaksamaan pada kelas X.
Interval Turun Interval Naik
Interval Naik
+ +
-
2
1
-
Interval Turun
Jadi, fungsi akan naik pada x 0 atau x 2 dan fungsi akan turun pada 0 x 1 atau 1 x 2.
Langkah 4. Menentukan titik balik fungsi. Untuk menentukan titik balik maksimum atau minimum fungsi, kita akan menguji titik stasionernya ke turunan
kedua fungsi.
f x x
x x
= −
−
2 2
2 1
sehingga f
x x
x x
x x
x x
= −
− −
− −
− =
− 2
2 1
2 2
1 1 1
2 1
2 2
4 3
Di unduh dari : Bukupaket.com
195
Matematika
f 0 = –2 0 dan f 2 = 2 0 Titik A0, 0 adalah titik balik maksimum dan titik A2, 4 adalah titik
balik minimum. Langkah 5. Menentukan titik belok
f x
x =
− =
2 1
3
ó tidak ada nilai x pembuat fungsi turunan adalah nol
Jadi, tidak ada titik belok pada fungsi tersebut. Langkah 6. Menentukan beberapa titik bantu
Gambar 11.26 Sketsa kurva fungsi
f x x
x =
−
2
1
.
Di unduh dari : Bukupaket.com
196
Kelas XI SMAMASMKMAK
Uji Kompetensi 11.2
1. Tentukanlah titik balik fungsi-fungsi berikut a. fx = x
2
– 2x b.
f x x
x = −
+ −
1 2
2 3
3 4
2
c. fx = x
3
– x d. fx = x
3
– 6x – 9x + 1 e. fx = x
4
– x
2
2. Analisis dan sketsalah bentuk kurva dari fungsi-fungsi berikut dengan
menunjukkan interval fungsi naikturun, titik maksimumminimum dan titik belok
a. fx = x
2
– 2x b. fx = x
3
– x c. fx = x
4
– x
2
d. f x
x =
− 1
1 e.
f x x
x =
− +
2 1
3. Analisis fungsi naikturun, maksimumminimum, titik belok kurva dari suatu fungsi berdasarkan sketsa turunan pertamanya.
a.
Di unduh dari : Bukupaket.com
197
Matematika
b.
c.
d.
4. Seorang anak menggambar sebuah kurva tertutup setengah lingkaran dengan diameter 28 cm. Kemudian, dia berencana membuat sebuah bangun segiempat di
dalam kurva tersebut dengan masing-masing titik sudut segiempat menyinggung keliling kurva.
a. Sketsalah kurva tertutup setengah lingkaran tersebut. b. Buatlah segiempat yang mungkin dapat dibuat dalam kurva. Sebutkanlah
jenis-jenis segiempat yang dapat dibuat.
Di unduh dari : Bukupaket.com
198
Kelas XI SMAMASMKMAK
c. Hitunglah masing-masing segiempat yang diperoleh. d. Segiempat yang manakah yang mempunyai luas terbesar? Carilah luas
segiempat terbesar yang dapat dibuat dalam kurva tersebut dengan menggunakan konsep diferensial.
5. Sebuah segiempat OABC dibuat pada daerah yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y dan kurva fungsi y = x – 1
2
. Jika O adalah titik asal koordinat, A pada sumbu x, B pada kurva dan C pada sumbu y maka tentukanlah persamaan garis singgung
dan persamaan garis normal di titik B agar luas OABC maksimum. Sketsalah permasalahan di atas.
Projek
Jika f adalah fungsi bernilai real pada – ∞ x ∞. Berdasarkan konsep, turunan adalah sebuah limit fungsi, yaitu f x
f x x
f x x
x
lim =
+ −
→ ∆
∆ ∆
. Nyatakanlah turunan kedua fungsi f x sebagai limit fungsi. Kemudian
tentukanlah turunan kedua dari f x x
= 2 pada x 0. Buatlah laporan projekmu dan presentasikanlah di depan teman-temanmu
dan gurumu
D. PENUTUP
