Analisis Regresi Untuk Data Berkelompok Analisis

ARE NUR RACHMAN. Analisis Regresi untuk Data Berkeloinpok (Regression Analysis For
Longitudinal Data). Dibimbing oleh Ir. ANANG KURNI.4, M. Si dan Ir. AAM ALAMLJDI, M.Si
Penelitian ini dilakukan untuk menelaah l~ubunganantara uinur kelmilan dengan berat badan ibu
haiuul mcnggunakan metode Generalized Esti17rating Equations (GEE) dan menlbandingkannya dengan
Metode Kuadnt Terkecil (MKT). Metode GEE digunakan untuk inengatasi masalah ketidakbebasan
akibat terkeloinpolcnya data. Data terkelompok &pat terjadi karena adanya pengulangan pengal~ulan
pada setiap k subyek. Data yang dianatisis dalanl penelitian ini adalah data kehainilan yang ~neliputiberat
badan ibu Iiaiuil sebagai peubal~ respon 'dan umur kelai~lilan sebagai peubah penjelas Unluk
i~~engevaluasi
keefektifan GEE dibuat simulasi dengan berbagai tingkat korelasi dalam setiap subyck
pengamatan. Hasil analisis menunjukkan bal~wametode GEE itu manpu inenduga koefisien regresi
dengan ragam yang lebih kecil dibandingkan dengan MKT (Metode Kuadrat Terkecil). Penduga o pada
GEE terkoreksi ole11 besamya keeratan hubungan dalain kelompok atan subjek pengamatan.
Kata kunci : Ge~?eralized
Estir~~ating
Equafio~ts(GEE), Metode Kuadrat Terkecil (MKT)
The purpose offhis research is to see relationship behveett age ofthe pregnancy mid ~i,eigl?t
of~~~otlter
usi~tgGeneralized Esti~~ating
Equafiorts (GEE) and h a s 1 Square A4elhods. GEE e~elliodsi ~ ~ e used
r e lo be

the altentatii~eto handle the dependence ofthe longitudinal data. The lo11gitudinaldata ivere caused by
repeated obsen~ationsin k-subject. Data were obtained j?on1 pregnancy registrofions,~vl~icl~
records
iveiglit oftlie 111ot11er
(response) and age ofpregnancy (predictor). The a~aluatio~ts
ofGEE eflciency ivas
used sirnulotions in each correlafion in awry subject obsenyatio~t.Tile result ofthe analysis btdicoted that
GEE ~netltodscould estintate regression coeflcient with the variance less (ha17the Least %uare A4elliods.
~ E s f i ~ ? ~ ain
t oGEE
r s were corrected by a tight relationship in groups or subject obsen~ations.

I

1

r

THE FEAR OF LORD I S THE
BEGINNING OF WISDOM

PURPOSE OFLIFE IS WORSHIP
9

L

1

2-'

xarr 5

ANKISIS REGRESI UNTUK DATA BERKELOMPOK
(REGRESSION ANALYSIS FOR LONGITUDINAL DATA )

ARlF NUR RACHMAN

JURUSAN STATISTLKA
FAKULTAS MATEMATJKA DAN &MU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGBR
2001

ARE NUR RACHMAN. Analisis Regresi untuk Data Berkeloinpok (Regression Analysis For
Longitudinal Data). Dibimbing oleh Ir. ANANG KURNI.4, M. Si dan Ir. AAM ALAMLJDI, M.Si
Penelitian ini dilakukan untuk menelaah l~ubunganantara uinur kelmilan dengan berat badan ibu
haiuul mcnggunakan metode Generalized Esti17rating Equations (GEE) dan menlbandingkannya dengan
Metode Kuadnt Terkecil (MKT). Metode GEE digunakan untuk inengatasi masalah ketidakbebasan
akibat terkeloinpolcnya data. Data terkelompok &pat terjadi karena adanya pengulangan pengal~ulan
pada setiap k subyek. Data yang dianatisis dalanl penelitian ini adalah data kehainilan yang ~neliputiberat
badan ibu Iiaiuil sebagai peubal~ respon 'dan umur kelai~lilan sebagai peubah penjelas Unluk
i~~engevaluasi
keefektifan GEE dibuat simulasi dengan berbagai tingkat korelasi dalam setiap subyck
pengamatan. Hasil analisis menunjukkan bal~wametode GEE itu manpu inenduga koefisien regresi
dengan ragam yang lebih kecil dibandingkan dengan MKT (Metode Kuadrat Terkecil). Penduga o pada
GEE terkoreksi ole11 besamya keeratan hubungan dalain kelompok atan subjek pengamatan.
Kata kunci : Ge~?eralized
Estir~~ating
Equafio~ts(GEE), Metode Kuadrat Terkecil (MKT)
The purpose offhis research is to see relationship behveett age ofthe pregnancy mid ~i,eigl?t

of~~~otlter
usi~tgGeneralized Esti~~ating
Equafiorts (GEE) and h a s 1 Square A4elhods. GEE e~elliodsi ~ ~ e used
r e lo be
the altentatii~eto handle the dependence ofthe longitudinal data. The lo11gitudinaldata ivere caused by
repeated obsen~ationsin k-subject. Data were obtained j?on1 pregnancy registrofions,~vl~icl~
records
iveiglit oftlie 111ot11er
(response) and age ofpregnancy (predictor). The a~aluatio~ts
ofGEE eflciency ivas
used sirnulotions in each correlafion in awry subject obsenyatio~t.Tile result ofthe analysis btdicoted that
GEE ~netltodscould estintate regression coeflcient with the variance less (ha17the Least %uare A4elliods.
~ E s f i ~ ? ~ ain
t oGEE
r s were corrected by a tight relationship in groups or subject obsen~ations.

ANALISIS REGRESI UNTUK DATA BERKELOMPOK
(REGRESSION ANALYSIS FOR LONGITUDINAL DATA )

ARW NUR RACHMAN

Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Jurusan Statistika

JURUSAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT
PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2001

Judul
Nama
NRP

: Analisis Regresi untuk Data Berkelompok
: Arif Nur Rachman
: GO3496021

Menyetujui,

Ir. Aam ~ l u u d i M.Si
.
Pembimbing I1

Ketua Jurusan

Penulis dilahirkan di Snkabumi pada tanggal 15 Juni 1978. Penulis adalah anak pertama dari lirna
bersaudara, dari ayah H. Cecep Hermawan dan ibn Hj. Siti Djubaedah.
Pendidikan formal yang dijalani penulis adalah Taman Kanak-Kanak Manggis Jakatta, tama: tahun
1984; Sekolal~Dasar Negeri Manggis 01 Pagi Jakarta, hanya keIas satu, dilanjutkan di Sekolal~Dasdr
Negeri Kebon Kawvung Sukabumi, tamat tahun 1990. Bersamaan dengan itu penulis sekolall juga di
Madrasah Diniyah tingkat A\nVaIiyallIulus tahun 1989; Madmah Dinniyah Raudatulfallah Tipar Kebon
Kawung Snkaburni tingkat Wustho tamat tallun 1991; Sekolal~Menengal: Pertarna Negeri 1 Sukabumi,
tamat lalrun 1993; Sekolah Menengah Umum Negeri 3 Sukabumi, tamat tahun 1996.
Tahun 1996 diterima di Institut Pertanian Bogor Jurusan Statistika Fakultas Malernatika d m lln~u
Pengetaliuan Alan1 rnelalui Undangan Seleksi Masnk IPB (USMI) dengan mata kuliah penunjang IlmuIlrnu Sosial Ekonomi
Selarna rnengikuti perkuliallaq penulis berkesempatan nyantri di pesantrcn Nurul Imdad selarna 3

bulan, rnenjadi Asisten dosen Pendidikan Aganm Islam M ~ u n1998/1999 dan (ahun 1999f2000: Asisten
pmktihun Metode Statistika tahun 200012001, Asisten perpustakaan (beasiswa kerja) tahun 199912000,

Instmktur pelatihan komputer Himpro Gamma Sigma Beta tahun 1999 dan sebagai Ketua Keluarga
Mahasiswa Muslim Statistika tahun 199912000,

PRAKATA
Syukur Alliamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah Swt. yang telah melimpalhn ralmlat dan
kamnia-Nya, sel~inggapenulis dapat rnenyelesaikan karya ilmiah ini.
Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada berbagai pihak yang telal~membantu penulis dalan
rnenyelesaikan karya ilmiah ini :
1. Bapak Ir. Anang Kumia, M.Si. dan Bapak Ir. Aam Alamndi, M.Si sebagai dosen pembi~nbingyang

telah mernberikan birnbingannya kepada penulis dalam penyelesaian karya ilrniah ini.
2. Pilnk Ruinah Sakit Umurn Ciawi Bogor yang telah memberikan pinjaman buku regislrasi dan data
pelayanan ibu hamil.
3. Staf pengajar J w s a n Statistika IPB yang telah banyak memberikan ilmu pengetal~nanselarna penulis
rnenuntut ilinu di IPB.
4. STK-33 ; Rim, Asep, Ban~bangS., Sri. Reny M, Eka, Asih, Dini, Eval, Faisal, Kiki, Indra, Imun.
Lutplu, Haris semnanya tanpa terkecuali, adik-adik Stk-34, 35 dan 36:'lngat tujuan hidup kit0 adalal7

ridha Allal~,persipkan bekal dul~ia-akhirat,dun hiduplah dengan benar"
5. Bu Dedeli, Bang Sudin, Bu Sulis, Bu Markonah, Bu Balgis, Pak Iyan, Mang Hennan dan "Gus"

Durrolirnan terilna kasih atas segala bantuannya
Bogor, Mei 2001
Arif Nur Rach~nan

DAFTAR IS1
Halaman
PENDAHULUAN
Latar Belakang ...................................................................................................
Tujuan .............................................................................................................

1
1

TINJAUAN PUSTAKA
Regresi ...........................................................................................................
Generalized Estimating Equations ...........................................................................

1
1

BAHAN DAN METODE
Sumber Data .....................................................................................................
Metode ............................................................................................................

2
2

HASIL DAN PEMBAHASAN
Si~nulasiData ..................................................................................................

3

KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan ...................................................................................................
Saran .............................................................................................................

5

5

DAFTAR PUSTAKA.............................................................................................

5

DAFTAR TABEL

1. Deskripsi data asli dan data simulasi...........................................................................
2. Korelasi penambahan umur kehamilan (hari) dengan perubahan berat badan (kg)
untuk tiap ibu hami
..............................................
simulasi ......................................
3. Nilai statistik uji KO
4. Penduga parameter
5. Uji hipotesis para

1. Data Pcmeriksaan Berat Badan Ibu Hamil RSU Ciawi Bogor 199912000 .............................
2. GEE data asli ..........................
3. GEE simulasi dengan rasio penambahan 0.75 dengan pembulatan .....................................

4. GEE simulasi dengan rasio penambahan 1 dengan pembulatan.. ........................................
5 . GEE simulasi dengan rasio penambahan 1.5 dengan pembulatan.. .....................................

3
4
4

7
9
9

9
9

DAFTAR GAMBAR

. .
1. Diagram allr Slmnulasi.............................................................................................

5. Plot Kenormalan data asli.. ..................................................................................
6. Plot Kenonnalan simulasi dengan rasio penambahan 0.75 ..............................................
7. Plot Kenormalan simulasi dengan
I... ..............................................
. rasio pena~nbal~an
...............................................
8. Plot KenomlaIan simulasi dengan
rasio
penambahan
1.5
.
9. Plot sisaan dengan dugaan data asli ...........................................................................
10. Plot sisaan dengan dugaan simnlasi dengan rasio penambahan 0.75 ....................................
11. Plot Plot sisaan dengan dugaan simulasi dengan rasio penambahan 1..................................
12. Plot Plot sisaan dengan dugaan simulasi dengan rasio penambahan 1.5 ...............................

3

12
12
13
13
14
14
15
15

PENDAHULUAN
Lafar Belakang
Analisis regresi ~nerupakan analisis yang
menjelaskan liubungan dua peubd~atau lebil~serta
~~~enelusuri
pengad1 peubali bebas terlmdap
peubab respon. Besarnya pengaruh p e u b d ~ ini
dapat diduga dengan besaran yang ditunjukkan
ole11 koefisien regresi.
Asumsi-aswusi regresi yang hams dipenulu
yailu :

Model regresi secara umum :
Y = Vektor alnatan yang berukuran (nxl)
X = Matriks berukuran (nxk)yang diketahui
p = Vektor parameter yang berukuran Ou;l)
E =Vektor galat yang berukuran (m1)
unsur-unsur E
Dengan E(E)= 0, V(E) = 1$dan
tidak berkorelasi. Karena E(E) = 0 nlaka E (Y) = X
p, sehingga Jumlah Kuadrat Galatnya adalah:
E'E = (Y-Xp)'

1. ~i illellyebar normal
2. Raga~liho~i~ogen,
yaiiu a12
=a;"= ... = ok2
3. Pengarub penball bersifat aditif
4. Antar pcngamatan saling bebas, dan
5 . Khusus unluk regresi berganda, tidak ada
multikolinear

-

Dalan kenyataannya senng kali asumsiasu~nsi tersebut tidak terpenulli. Salah satu kasus
yang dihadapi adalal~ data berkelompok, yaitu
apabiIa dalam observasi dilakukan pengukuran
berulang. Misalnya pengamatan ibu hamil yang
bersifat series, dimana kondisi pada ke-i+l
dipengarulli ole11 kondisi ke-i sehingga sifat
kebebasan antar pengamatan dalain ibu hamil tidak
lcrpenuhi.
Untuk kasus demikian metode GEE
(Ge~ieralizedEstir~ati~~g
Equations) mungkin &pat
diynakan untuk mendapatkan model lmbungan
antara berat badan ibu hamil dengan umur
kellamilan.
Tujuan
Menelaah Ilubungan antara umur kelmmilan
dengan berat badan ibu liarnil, menggunakan
111etodeGEE dan mernbandingkan lmsilnya dengan
MKT (Metode Kuadrat Terkecil).

(Y-X p)
=YY-p'xY+pxxp
= Y Y -2P'XX p

Dengan memi~umu~u~kan
galat tersebut diperolel~
vektor Jamb:

Sifat sifal vektor jawab tersebut adalah (Draper &
Smitl~,1992):
1. Vektor b merupakan dugaan bagi vektor P, yang
bersifat IIIemi~mUInkanJumlal~Kuadrat Gdat
E'E, tidak tergantung pada sifat-sifat sebaran
galat tersebut.
2. Unsur-unsur b yang merupakan fungsi linear
amatan-amatan Yl~Y2,... ,Y,, merupakan nilai
dugaan tak bias bagi unsur-unsur p dan
men~punyairagam terkecil.
5. Bila galat-galat itu bebas dan ~ i - N (0, a2)maka
b merupakan nilai dugaan kemungkinan
maksimnw~i ( maxi~~run~
likeliltood esti~?rate)
bagi p.

Ge~ieralized E s t i ~ ~ ~ a tEqi~alions
i~~g
(GEE)
diperkenalkan Zeger & Liang (1986) ui~tuk
melakukan pendekalan altematif pendugaan
parameter dalain inenyelesaikan kasus-kasus
TINJAUAN PUSTAKA
rnaxinrunr likelihood. GEE diperkcnalkan unluk
mengatasi masald~korelasi dengan menggunakan
teori quasi likelil~ood.
Obselvasi (yjt,xjt) untuk t = 1,2,..., ni dan i =
Analisis regresi diynakan untuk mempelajari 1,2, ...k. yj, adalah respon clan s;, adalah vektor
hubu~gan antarpeubah yang bertnjuan untuk col'ariate b e r u h a n p x 1 sehingga Yj(n sl)d m xi
~lie~l~perkirakan
alau nlenduga Nlai suatu p e u b d ~ (n s p) untuk objek ke-i. Diasumsikan respoll
yang sudal~ diketaliui atau nilai peubah yang mengikuti sebaran keluarga eksponensial, sehingga
diasumsikan berllubungan (Yonnger,1985)
E0.,J=b(8il)=p;,, Var(yi,)=b"(Oi,)ait($)

Untuk observasi Yi, Vi = (A;"R~ (a)~i''~)/+,
Ai dimana a dapat didekati oleli
adalali inatriks diagonal m, eleinen diagonal ke-t
adalall b"(O;,) dan R; (a) adalali m wforking
correlatio~?rilalrix.
GEE disusun : u~(P)=zw~v;'(Y~-~~)=O
Dengan
Stiratelli, Laird & Ware (1984) &&g! Berlme
ao, all
D =ap,
---.-i
(199 1)
' ao, all, ap
Alternatif lain bentnk R(a) yang iuungkin
Untuk kasus kliusus Ri (a) = I,, . GEE inenjadi IEE
adalali bentuk tridiagonal
adalali

Uittuk suatu a dan 0, iterasi ke (R+1) adalali :
D,,, = fie - [~o',tb,)~-'~,tD,)]-'[~~',tb,)!?.~'~,tb,)~.tD,)]
,.,
,.I
Deilgan r?!(p)= r i [ ~ , & ( p , d ( p1 )dan
) SrYi-wi
Langkali-langkah untuk ~nenyelesaikan kasus
GEE, Berliane (1991) adalali:

+

1. Berikan Nlai awal bagi a dan
untuk
mendapatkan penduga P berdasarkan model
iterasi di atas.
2. Dengan ~nengynakan penduga P yang
diperoleli dari langkah 1, perbaiki nilai a dan
4 (penduga a dibalias berikutnya).

3. Lakukan iterasi pada kedua langkali diatas

sa~npaikonvergen
Bentuk ~vorkiirgcorrelatio17 ~~ratrix
R(a) paling
sederliana disusun berdasarkan matriks korelasi, a
= corr O.,,,y,,'). Jika antar objek pengamatan saling
bebas, maka R(a) inerupakan matriks identitas

Bentuk R(a) yang lain adalall

BAHAN DAN METODE
Sumher Data

Data diperolell dari polikli~kkebidanan dan
kandungan Rumah Sakit Umum Ciawi Bogor
berupa data pemeriksaan ibu hamil periode
1999/2000, dan datadata liasil simulasi.
Mctode
Data yang diamati adalah berat badan ibu lianlil
(peubah respon) pada umur keha~uilan tertentu
(peubah penjelas).
Pengamatan dilakukan pa& 4 kali pe~neriksaan
untuk setiap ibu lmnil. Uinur keliamilan ibu adalali
umur kebamilan saat pemeriksaan, sedangkan berat
badan ibu llamil adalah berat badan pada setiap kali
pemeriksaan.
Simulasi Data
Data pe~neriksaan ibu hamil di RSU Ciawi
tal~un1999/2000 dijadikan acuan untuk data-data
simulasi.
Langkah-langkal~untuk simulasi data (Gambar 1.) :
1. Cari mta-rata perubalan berat badan tiap ibu
liaiiil, katakan sebagai A
2. Kalikan rata-rata perubahan berat badan tiap ibu
hamil dengan rasio perubahan, r, sebesar (a)
.0.75, (b) 1 dan (c)l.S
3. Untuk uinur keliamilan pada pemeriksaan ke-1,
Zl = yl, pe~neriksaankc-2, ZQ= yl + rasio x A,
peineriksaan ke-3, Z3 = y2+ rasio2 x A daii
pemeriksaan ke-4, Zq = y3 + rasio3 x A

Desliripsi Data Asli dan Data Simulasi
Karakteristik data terkelompok dapat dilihat
dengan Illelaman
t&pan-~lapan
sebagai
berikut :
1. Deskripsi data asli dan data sirnulasi
2. Menibuat plot data asli dan data silnulasi
3. Pengepasan model
4. Peuneriksaan asun~sikenonualan sisaan melalui
dengall plot kuantil-kuantil dan pendeteksian
kcl~ounogenanragam yaitu dengan lnelihat plot
antara y-duga dengan sisaamya
5. Transfonnasi data apabila ada asunisi yang
lidak dipenuhi dan kembali ke-3 sanlpai seunua
asumsi dipenuhi.

n

Evaluasi Regresi
Evaluasi Regresi den@
menggunakan
Metode Kuadrat Terkecil (MKT) dan Generalized
Estinlaling Equations (GEE) untuk melihal
parameter penduga model besetta pengujiannya
menggunakan soflvare SAS 6.12.
Tipe working correlalion ~natrix yang
digunakan adalal~REML ( Restricted Estimalio~?~
Maxislusl Likelihood ).
Untuk menduga model dengan metode GEE
digunakan prosedur (SAS INSTITUTE. 1997):
Proc genmod;
class individu;
model y = d dist=normal;
repeated subject=individu/type =RENIL;

R A S E DAN PEMBAHASAN
Simulasi Data
Hasil
simulasi
data
menunjukkan
kecendenmgan pembahan penmbahan berat badan
ibu yang semakin mengecil untuk data dengan
rasio pembahan 0.75.
Data dengan rasio pembahan 1 me~nbedkan
lwsil yang tidak jaulu berbeda dengan data asli.
Data dengan rasio p e ~ b a l u1.5 rnemberikan
pembahan penambahan berat badan yang
meningkat. Secara lengkap dapat dilihat pada
Tabel Lampiran 1.

Cari rata-rata pembahan
berat badan setiap ibu hamil

(a) 0.75 @) 1 (c) 1.5

Deskripsi Data
badan sebelumnya

4 kali

Deskripsi data asli dan data simulasi terlihal
pada Tabel 1. Nilai rata-rata berat badan am1 (YO)
ibu hamil sebesar 48.73 dan standar deviasinya
sebesar 6.77.
tidak
Tabel 1. Deskripsi data asli dan data sitnulasi

Gambar 1. Diagram alir Silnulasi
Nilai rata-mta berat badan ibu hamil dari data
asli sebesar 52.030 kg dengan standar deviasi

7.148 dan korelasi antara umur kehamilan dan
berat badan ibu sebesar 0.318.
Data simulasi dengan rasio perubahan 0.75,
nitai rata-rata berat badannya lebih kecil
dibandingkan dengan data asli yaitu sebesar
50.904, standar deviasi 6.681 dan korelasi umur
keliamilan dan berat badan ibu sebesar 0.168.
Simulasi dengan rasio perubahan 1 memberikan
hasil yang tidak jauh berbeda dengan data aslinya
yaitu sebesar 52.167 kg, s t a n k deviasi 7.005 dan
korelasi u~nurkehamilan dan berat badan ibu
sebesar 0.309.
Rasio pernbal~an simulasi 1.5 menunjnkkan
nilai rataan 55.821, slandar deviasi 9.369 dan
korelasi lunur kehamilan dan berat badan yang
lebih besar dibanding data laimya yaitu 0.587.
Korelasi pemeriksaan umur kehamilan dan
berat badan untuk tiap-tiap ibu lumil menunjukkan
korelasi positif yang tinggi rata-rata sebesar 0.971,
dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2. Korelasi penamballan umur kehamilan
(hari) dengan perubahan berat badan (kg)
untuk tiap ibu hamil

Tabel 3. Nilai statistik uji Kolmogorov-Smirnov
data asli dan data simulasi

Plot sisaan dengan dugaan data si~nulasidan
data asli (Gambar Lampiran 9, 10, 11 dan 12) tidak
menunjnkkan adanya pola hubungan tertentu
sehingga dapat dikatakan bahwa raga111 homogen.
Evaluasi Regresi
Berdasarkan data asli dapat diketahui bahwa
peningkatan umur kehamilan secara nyata akan
meningkatkan berat badan ibu llamil sebesar
0.0404 kg (MKT) dan 0.0459 kg (GEE) untuk
setiap penambahan satu hari umur kehamilan.
Pada Tabel 4. terlihat balwa pendugaan
parameter o model dengan metode GEE lebih
besar dibanding MKT .
Tabel 4. Penduga parameter regresi data asli dan
data simulasi

Plot data asli dan data-data simulasi tampak
pada Gambar Lampiran 1,2,3 dan 4. Secara visual
plot data asli dan plot data simulasi dengan rasio
pernbahan 1 mempunyai kemiripan. Plot data
simulasi dengan rasio pernb%han1.5 terlihat lebih
mengumpul dan lebih c m m dibanding plot data
lainnya .
Plot kuantil-kuantil sisaan dari data simulasi dan
data asli menunjukkan kecenderungan membentuk
garis I w s yang mengindikasikan kenornulan
sisaan ( Gambar Lampiran 5, 6, 7 dan 8 ). Hal ini
didukung dengan nji Kollnogorov Smimov pada
Tabel 3. dengan nilai-p yang lebih besar dari 0.15.

Pengujian liipotesis parameter pi untuk data asli
pada Tabel 5, menunjukkan llasil yang signifikan
pada taraf nyata 0.05.
Pada data simulasi tidak tampak nilai
pengujiannya, nilai-nilai pengujian dapat terlihat
setelah dilakukan pembulatan (Tabel Lampinn 2, 3,
dan 4).

Tabel 5. Uji hipotesis parameter regresi untuk data
asli dan data si~nulasiberdasarkan
metode penduga

KESIMPULAN DAN SARAN
Kcsimpulan
Hasil yang diperoleh dengan menggunakan
GEE adalah dapat menduga standar deviasi
parameter yang lebih kecil dibanding MKT.
Penduga standar deviasi pmneter pada GEE
akan terkoreksi ole11 besmya keeratan hubungan
dalam kelompok.
Data yang lnelnpunyai hubungan matematis
menyebabkan pendugaan
standar deviasi
parametemya nol, seliingga POdan P I tidak dapat
diuji.
Saran
Jika dite~nukan data yang bersifat series,
berllubungan antar obyek pengalnatan atau
berkelompok,
untuk
~nengatasi nlasalah
ketakbebasan
data
tersebut
disarankan
menggunakan GEE dalam tnenduga parameter
regresinya

DAFTAR PUSTAKA
Berhane, K. 1991. Regression Analysis of
Longitudinul Data
Using Generalized
Estimating Equations. Dept of Mathematics
and Statistics, University of Guelph
Draper, N. & H. Smith. 1992. Anulisis Regresi
Terapan. Ed. ke-2. Terjernallan Ba~nbang
Sumantri. Gramedia, Jakarta.
Nilai standar deviasi penduga parameter (spJ
dengan metode GEE nntuk data asli manpun data
hasil simulasi pada rasio pembahan 0.75, 1dan 1.5
lebih kecil dibandingkan standar deviasi penduga
parameter dengan metode MKT.
Hal ini mengindikasikan metode GEE lebih
teliti mengoreksi kebebasan pada pengamatan
terkelomnpk dari pada metode MKT.
Pengujian model pada data simulasi dengan
rasio pernbalm 0.75 rnenunjukkan hasil yang
siBnif1kan pada taraf nyata 0.05. Sedangkan
pengujian rnodel pada data simulasi dengan rasio
pernbalian 1 menunjukkan hasil yang tidak
signifikan pada taraf nyata 0.05. Data simulasi
dengan rasio pernbalian 1.5 menunjnkkan
pendugaan model yang negatif dan pengujian
model yang tidak signifikan pada taraf nyata 0.05.

Kurnia, A, A. Saefuddin & B. Juanda. 2000.
Analisis Regresi Pada Data Terkelon~pok.
Forum Statistika dan Komputasi, 5: 17-22
SAS INSTITUTE. 1997. SASISTAT sojhvare :
Changes and Enhance~nentsthrough Release
6.12. Cary, North Carolina : SAS Institute
Sastrawinata, S. 1983. Obstetri Fisiologi, Bagian
Obstetri dan Ginekologi UNPAD. Eleman,
Bandung.
Younger. 1985. A First Course In Linear
Regression second edition. P
Publishing Company, Boston

LAMPIRAN

Tabel Lampiran 1. Data pemeriksaan ibu hamil beserta data-data hasil si~nulasi

Tabel Lan~piran1. (Lanjutan)

Tabel Lampiran 2. GEE Data Asli

Tabel Lampiran 3. GEE Data Simulasi Rasio perubahan 0.75 dengan Pe~nbulatan
Parameter

Estimates

Intercept

53.7439
0.0035
7.2471

X

Scale

Empirical
Std Err
1.0980
0.0010

Eliipirical 95%
ConfidenceLimits
Lower
upper
55.8959
51.5918
0.0014
0.0055

-

z
Pr>lZ/
48.947
3.3492

0.0000
0.0008

Tabel Lampiran 4. GEE Data Simulasi Rasio perubahan 1 dengan Pembulatan

Tabel Lampiran 5. GEE Data Simulasi Rasio perubahan 1.5 dengan Pembulatan

Parameter

Estimates

Std Err

Empirical 95%
Confidence Limits

Lower

Z
Pr>lZl
upper -

p
p
p
p

Intercept

X
Scale

53.3739
-0.0004
9.7263

1.0201
0.0014

-

51.3746
-0.0031

-

55.3732
0.0024

-

52.324
-.2479

0.0000
0.8042

Plot Data Asli

100

200

hari

Gambar Lampiran 1. Plot Data Asli.

Plot Data Sirnulasi Rasio 0.75

.. .. ... . .
.
.
- * ,ma

l

.

l

mm

I

m
mm.

.

l

m u .

-

. m a

..
.
.
im
-. m .
.- . .

m

m
?
.
I

a

l

l

:-.-'I.
m.

m

a

I
l

m

.

mm.

m

e

em

.

6

om

m

6

0"

I

m

6

m

7

0

I

I

103

2W

hari

Gambar Lampiran 2. Plot data simulasi dengan rasio pena~ubahan0.75.

Plot Dzta Sirmlasi Rasio 1
70

. ..
0.

I

w =m.

=

-

"f.'.

a#:

n
40

i.
I

.

. I

I)

.
..
.. ..

.

I

m..
E4

am

.

I

I

I

MO

1CO

hari
Gambar Lampiran 3. Plot data simulasi dengan rasio penambahan 1.

Plot Data Sirnulasi Rasio 1.5

0

100

200

hari
Gallbar Lampiran 4. Plot data si~nulasidengan rasio penambahan 1.5

Uji Kolrnogorov-Smirnov berat badan

K0lm0g0r0~-SmimoYNormality T e s t
D+: 0.039 D-: 0.040 D : 0.040
Approximate P-Value > 0.15

Average: 52.0303
StDev: 7.14831
N: 132

Gambar La~npiran5. Plot kenormalan Data Asli

Uji Kenormalan dan Plot Kuantil-Kuantil Data Simulasi 0.75

,999
,99

-.----.--;-----..------:-------------'

r

------

--.------L..---.----.--L.--_----.----L-_----

40

50

60

brt bdn
Aua~;faSSZl

a h : &ma
N: 132

Kd-cu-Smirnu
Ncrrndih,Tat
Dt-: 0.027 D-: 0 . m D : o m
pppcairndeP-Vdm, 015

Gambar La~npiran6. Plot kenorn~alansi~nulasidengan rasio penamballan 0.75

Uji Kenormalan dan Plot Kuantil-Kuantil Data Simulasi I

8,----.------T--------..-r..rrr-r-...,......

I

A.

,.-...--.---

,

8

L-----------L---.---....,...---

*

,_~_________*________--.r....-------,-_---I

!-----..-..~~~L--..-------..C-...--..----'-----I

45

55

brt bdn

Lampiran 7. Plot kenormalan si~nulasidengan rasio penamballan 1.

Uji Kenormalan dan Plot Kuantil-Kuantil Data Simulasi 1.5

.

- - - - , - - - - - - - , - - - -.-,--.---'- -"
- - - - 2 - - - - '.
..--'. - - '.- ,ool -.-. - ,01 -..---*..-----*-I

40

50

'

'

-I---.

-I--

60

70

-1-

80

90

brt bdn

Gallbar Lampiran 8. Plot kenormalan simulasi dengan rasio pena~ubahan1.5.

Residuals Versus the Fitted Values
(repxseismpsli)

m

3

z
III

.. .
. .'. .. .. .. .
.. . . ..-. . .... .. . .

'-

- * . .

*.

.................................................

W

F
m
10

?

-1 -

-2

-

I

i
Ea

.

I

i

9)

61

I
73

Fitted Value
Gambar Lampiran 9. Plot sisaan dengan dugaan data asli.

Residuals Versus the Fitted Values
(respmseisslm0.m

-

s
n

.. . - .
. .. _.f. .. . + . . ..f.----'
+

*

1-

"7

'-3

o

*

W

F
m

-1

-

o

5

(0

+

$

.

-.. .+..

,

--------

-.----------

.

-. .

-2-

-3-

I

4

50

I

a

Fitted Value
Gan~barLampiran 10. Plot sisaan dengan dugaan simulasi dengan rasio penamballan 0.75

Residuals Versus the Fitted Values
(rsposeirsml)

..

.. :.. ...+'. .
..
-,: .
... ..f .. .... .
+:

I.::::
*.

---.*...--------*..------..

W

'

n

C

-I

2

0)

.2
I

I

41

91

I

m

al

FittedValue

Gambar Lampiran 11. Plot sisaan dengan dugaan simulasi dengan rasio penambahan 1.

Residuals Versus the Fitted Values
( r q c r s i s s i m 1.5)

m

..... - .. .:
... .- .... .
:.. .':: .. +..
. : ..

2-

3

D
V)

I-

++a

a .

2
v

*+
*
_*.
o-.---.-----s.----.-.----*----..-----.------.----.-

v
m

-1

-

!t

-2

-

8

*

.

t

-3 1
40

I

I

53

61

I

m

I

80

I
SO

Fitted Value

Gambar Lampiran 12. Plot sisaan dengan dugaan simulasi dengan rasio penambahan 1.5

2-'

xarr 5

ANKISIS REGRESI UNTUK DATA BERKELOMPOK
(REGRESSION ANALYSIS FOR LONGITUDINAL DATA )

ARlF NUR RACHMAN

JURUSAN STATISTLKA
FAKULTAS MATEMATJKA DAN &MU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGBR
2001

PENDAHULUAN
Lafar Belakang
Analisis regresi ~nerupakan analisis yang
menjelaskan liubungan dua peubd~atau lebil~serta
~~~enelusuri
pengad1 peubali bebas terlmdap
peubab respon. Besarnya pengaruh p e u b d ~ ini
dapat diduga dengan besaran yang ditunjukkan
ole11 koefisien regresi.
Asumsi-aswusi regresi yang hams dipenulu
yailu :

Model regresi secara umum :
Y = Vektor alnatan yang berukuran (nxl)
X = Matriks berukuran (nxk)yang diketahui
p = Vektor parameter yang berukuran Ou;l)
E =Vektor galat yang berukuran (m1)
unsur-unsur E
Dengan E(E)= 0, V(E) = 1$dan
tidak berkorelasi. Karena E(E) = 0 nlaka E (Y) = X
p, sehingga Jumlah Kuadrat Galatnya adalah:
E'E = (Y-Xp)'

1. ~i illellyebar normal
2. Raga~liho~i~ogen,
yaiiu a12
=a;"= ... = ok2
3. Pengarub penball bersifat aditif
4. Antar pcngamatan saling bebas, dan
5 . Khusus unluk regresi berganda, tidak ada
multikolinear

-

Dalan kenyataannya senng kali asumsiasu~nsi tersebut tidak terpenulli. Salah satu kasus
yang dihadapi adalal~ data berkelompok, yaitu
apabiIa dalam observasi dilakukan pengukuran
berulang. Misalnya pengamatan ibu hamil yang
bersifat series, dimana kondisi pada ke-i+l
dipengarulli ole11 kondisi ke-i sehingga sifat
kebebasan antar pengamatan dalain ibu hamil tidak
lcrpenuhi.
Untuk kasus demikian metode GEE
(Ge~ieralizedEstir~ati~~g
Equations) mungkin &pat
diynakan untuk mendapatkan model lmbungan
antara berat badan ibu hamil dengan umur
kellamilan.
Tujuan
Menelaah Ilubungan antara umur kelmmilan
dengan berat badan ibu liarnil, menggunakan
111etodeGEE dan mernbandingkan lmsilnya dengan
MKT (Metode Kuadrat Terkecil).

(Y-X p)
=YY-p'xY+pxxp
= Y Y -2P'XX p

Dengan memi~umu~u~kan
galat tersebut diperolel~
vektor Jamb:

Sifat sifal vektor jawab tersebut adalah (Draper &
Smitl~,1992):
1. Vektor b merupakan dugaan bagi vektor P, yang
bersifat IIIemi~mUInkanJumlal~Kuadrat Gdat
E'E, tidak tergantung pada sifat-sifat sebaran
galat tersebut.
2. Unsur-unsur b yang merupakan fungsi linear
amatan-amatan Yl~Y2,... ,Y,, merupakan nilai
dugaan tak bias bagi unsur-unsur p dan
men~punyairagam terkecil.
5. Bila galat-galat itu bebas dan ~ i - N (0, a2)maka
b merupakan nilai dugaan kemungkinan
maksimnw~i ( maxi~~run~
likeliltood esti~?rate)
bagi p.

Ge~ieralized E s t i ~ ~ ~ a tEqi~alions
i~~g
(GEE)
diperkenalkan Zeger & Liang (1986) ui~tuk
melakukan pendekalan altematif pendugaan
parameter dalain inenyelesaikan kasus-kasus
TINJAUAN PUSTAKA
rnaxinrunr likelihood. GEE diperkcnalkan unluk
mengatasi masald~korelasi dengan menggunakan
teori quasi likelil~ood.
Obselvasi (yjt,xjt) untuk t = 1,2,..., ni dan i =
Analisis regresi diynakan untuk mempelajari 1,2, ...k. yj, adalah respon clan s;, adalah vektor
hubu~gan antarpeubah yang bertnjuan untuk col'ariate b e r u h a n p x 1 sehingga Yj(n sl)d m xi
~lie~l~perkirakan
alau nlenduga Nlai suatu p e u b d ~ (n s p) untuk objek ke-i. Diasumsikan respoll
yang sudal~ diketaliui atau nilai peubah yang mengikuti sebaran keluarga eksponensial, sehingga
diasumsikan berllubungan (Yonnger,1985)
E0.,J=b(8il)=p;,, Var(yi,)=b"(Oi,)ait($)

PENDAHULUAN
Lafar Belakang
Analisis regresi ~nerupakan analisis yang
menjelaskan liubungan dua peubd~atau lebil~serta
~~~enelusuri
pengad1 peubali bebas terlmdap
peubab respon. Besarnya pengaruh p e u b d ~ ini
dapat diduga dengan besaran yang ditunjukkan
ole11 koefisien regresi.
Asumsi-aswusi regresi yang hams dipenulu
yailu :

Model regresi secara umum :
Y = Vektor alnatan yang berukuran (nxl)
X = Matriks berukuran (nxk)yang diketahui
p = Vektor parameter yang berukuran Ou;l)
E =Vektor galat yang berukuran (m1)
unsur-unsur E
Dengan E(E)= 0, V(E) = 1$dan
tidak berkorelasi. Karena E(E) = 0 nlaka E (Y) = X
p, sehingga Jumlah Kuadrat Galatnya adalah:
E'E = (Y-Xp)'

1. ~i illellyebar normal
2. Raga~liho~i~ogen,
yaiiu a12
=a;"= ... = ok2
3. Pengarub penball bersifat aditif
4. Antar pcngamatan saling bebas, dan
5 . Khusus unluk regresi berganda, tidak ada
multikolinear

-

Dalan kenyataannya senng kali asumsiasu~nsi tersebut tidak terpenulli. Salah satu kasus
yang dihadapi adalal~ data berkelompok, yaitu
apabiIa dalam observasi dilakukan pengukuran
berulang. Misalnya pengamatan ibu hamil yang
bersifat series, dimana kondisi pada ke-i+l
dipengarulli ole11 kondisi ke-i sehingga sifat
kebebasan antar pengamatan dalain ibu hamil tidak
lcrpenuhi.
Untuk kasus demikian metode GEE
(Ge~ieralizedEstir~ati~~g
Equations) mungkin &pat
diynakan untuk mendapatkan model lmbungan
antara berat badan ibu hamil dengan umur
kellamilan.
Tujuan
Menelaah Ilubungan antara umur kelmmilan
dengan berat badan ibu liarnil, menggunakan
111etodeGEE dan mernbandingkan lmsilnya dengan
MKT (Metode Kuadrat Terkecil).

(Y-X p)
=YY-p'xY+pxxp
= Y Y -2P'XX p

Dengan memi~umu~u~kan
galat tersebut diperolel~
vektor Jamb:

Sifat sifal vektor jawab tersebut adalah (Draper &
Smitl~,1992):
1. Vektor b merupakan dugaan bagi vektor P, yang
bersifat IIIemi~mUInkanJumlal~Kuadrat Gdat
E'E, tidak tergantung pada sifat-sifat sebaran
galat tersebut.
2. Unsur-unsur b yang merupakan fungsi linear
amatan-amatan Yl~Y2,... ,Y,, merupakan nilai
dugaan tak bias bagi unsur-unsur p dan
men~punyairagam terkecil.
5. Bila galat-galat itu bebas dan ~ i - N (0, a2)maka
b merupakan nilai dugaan kemungkinan
maksimnw~i ( maxi~~run~
likeliltood esti~?rate)
bagi p.

Ge~ieralized E s t i ~ ~ ~ a tEqi~alions
i~~g
(GEE)
diperkenalkan Zeger & Liang (1986) ui~tuk
melakukan pendekalan altematif pendugaan
parameter dalain inenyelesaikan kasus-kasus
TINJAUAN PUSTAKA
rnaxinrunr likelihood. GEE diperkcnalkan unluk
mengatasi masald~korelasi dengan menggunakan
teori quasi likelil~ood.
Obselvasi (yjt,xjt) untuk t = 1,2,..., ni dan i =
Analisis regresi diynakan untuk mempelajari 1,2, ...k. yj, adalah respon clan s;, adalah vektor
hubu~gan antarpeubah yang bertnjuan untuk col'ariate b e r u h a n p x 1 sehingga Yj(n sl)d m xi
~lie~l~perkirakan
alau nlenduga Nlai suatu p e u b d ~ (n s p) untuk objek ke-i. Diasumsikan respoll
yang sudal~ diketaliui atau nilai peubah yang mengikuti sebaran keluarga eksponensial, sehingga
diasumsikan berllubungan (Yonnger,1985)
E0.,J=b(8il)=p;,, Var(yi,)=b"(Oi,)ait($)

Untuk observasi Yi, Vi = (A;"R~ (a)~i''~)/+,
Ai dimana a dapat didekati oleli
adalali inatriks diagonal m, eleinen diagonal ke-t
adalall b"(O;,) dan R; (a) adalali m wforking
correlatio~?rilalrix.
GEE disusun : u~(P)=zw~v;'(Y~-~~)=O
Dengan
Stiratelli, Laird & Ware (1984) &&g! Berlme
ao, all
D =ap,
---.-i
(199 1)
' ao, all, ap
Alternatif lain bentnk R(a) yang iuungkin
Untuk kasus kliusus Ri (a) = I,, . GEE inenjadi IEE
adalali bentuk tridiagonal
adalali

Uittuk suatu a dan 0, iterasi ke (R+1) adalali :
D,,, = fie - [~o',tb,)~-'~,tD,)]-'[~~',tb,)!?.~'~,tb,)~.tD,)]
,.,
,.I
Deilgan r?!(p)= r i [ ~ , & ( p , d ( p1 )dan
) SrYi-wi
Langkali-langkah untuk ~nenyelesaikan kasus
GEE, Berliane (1991) adalali:

+

1. Berikan Nlai awal bagi a dan
untuk
mendapatkan penduga P berdasarkan model
iterasi di atas.
2. Dengan ~nengynakan penduga P yang
diperoleli dari langkah 1, perbaiki nilai a dan
4 (penduga a dibalias berikutnya).

3. Lakukan iterasi pada kedua langkali diatas

sa~npaikonvergen
Bentuk ~vorkiirgcorrelatio17 ~~ratrix
R(a) paling
sederliana disusun berdasarkan matriks korelasi, a
= corr O.,,,y,,'). Jika antar objek pengamatan saling
bebas, maka R(a) inerupakan matriks identitas

Bentuk R(a) yang lain adalall

BAHAN DAN METODE
Sumher Data

Data diperolell dari polikli~kkebidanan dan
kandungan Rumah Sakit Umum Ciawi Bogor
berupa data pemeriksaan ibu hamil periode
1999/2000, dan datadata liasil simulasi.
Mctode
Data yang diamati adalah berat badan ibu lianlil
(peubah respon) pada umur keha~uilan tertentu
(peubah penjelas).
Pengamatan dilakukan pa& 4 kali pe~neriksaan
untuk setiap ibu lmnil. Uinur keliamilan ibu adalali
umur kebamilan saat pemeriksaan, sedangkan berat
badan ibu llamil adalah berat badan pada setiap kali
pemeriksaan.
Simulasi Data
Data pe~neriksaan ibu hamil di RSU Ciawi
tal~un1999/2000 dijadikan acuan untuk data-data
simulasi.
Langkah-langkal~untuk simulasi data (Gambar 1.) :
1. Cari mta-rata perubalan berat badan tiap ibu
liaiiil, katakan sebagai A
2. Kalikan rata-rata perubahan berat badan tiap ibu
hamil dengan rasio perubahan, r, sebesar (a)
.0.75, (b) 1 dan (c)l.S
3. Untuk uinur keliamilan pada pemeriksaan ke-1,
Zl = yl, pe~neriksaankc-2, ZQ= yl + rasio x A,
peineriksaan ke-3, Z3 = y2+ rasio2 x A daii
pemeriksaan ke-4, Zq = y3 + rasio3 x A

Untuk observasi Yi, Vi = (A;"R~ (a)~i''~)/+,
Ai dimana a dapat didekati oleli
adalali inatriks diagonal m, eleinen diagonal ke-t
adalall b"(O;,) dan R; (a) adalali m wforking
correlatio~?rilalrix.
GEE disusun : u~(P)=zw~v;'(Y~-~~)=O
Dengan
Stiratelli, Laird & Ware (1984) &&g! Berlme
ao, all
D =ap,
---.-i
(199 1)
' ao, all, ap
Alternatif lain bentnk R(a) yang iuungkin
Untuk kasus kliusus Ri (a) = I,, . GEE inenjadi IEE
adalali bentuk tridiagonal
adalali

Uittuk suatu a dan 0, iterasi ke (R+1) adalali :
D,,, = fie - [~o',tb,)~-'~,tD,)]-'[~~',tb,)!?.~'~,tb,)~.tD,)]
,.,
,.I
Deilgan r?!(p)= r i [ ~ , & ( p , d ( p1 )dan
) SrYi-wi
Langkali-langkah untuk ~nenyelesaikan kasus
GEE, Berliane (1991) adalali:

+

1. Berikan Nlai awal bagi a dan
untuk
mendapatkan penduga P berdasarkan model
iterasi di atas.
2. Dengan ~nengynakan penduga P yang
diperoleli dari langkah 1, perbaiki nilai a dan
4 (penduga a dibalias berikutnya).

3. Lakukan iterasi pada kedua langkali diatas

sa~npaikonvergen
Bentuk ~vorkiirgcorrelatio17 ~~ratrix
R(a) paling
sederliana disusun berdasarkan matriks korelasi, a
= corr O.,,,y,,'). Jika antar objek pengamatan saling
bebas, maka R(a) inerupakan matriks identitas

Bentuk R(a) yang lain adalall

BAHAN DAN METODE
Sumher Data

Data diperolell dari polikli~kkebidanan dan
kandungan Rumah Sakit Umum Ciawi Bogor
berupa data pemeriksaan ibu hamil periode
1999/2000, dan datadata liasil simulasi.
Mctode
Data yang diamati adalah berat badan ibu lianlil
(peubah respon) pada umur keha~uilan tertentu
(peubah penjelas).
Pengamatan dilakukan pa& 4 kali pe~neriksaan
untuk setiap ibu lmnil. Uinur keliamilan ibu adalali
umur kebamilan saat pemeriksaan, sedangkan berat
badan ibu llamil adalah berat badan pada setiap kali
pemeriksaan.
Simulasi Data
Data pe~neriksaan ibu hamil di RSU Ciawi
tal~un1999/2000 dijadikan acuan untuk data-data
simulasi.
Langkah-langkal~untuk simulasi data (Gambar 1.) :
1. Cari mta-rata perubalan berat badan tiap ibu
liaiiil, katakan sebagai A
2. Kalikan rata-rata perubahan berat badan tiap ibu
hamil dengan rasio perubahan, r, sebesar (a)
.0.75, (b) 1 dan (c)l.S
3. Untuk uinur keliamilan pada pemeriksaan ke-1,
Zl = yl, pe~neriksaankc-2, ZQ= yl + rasio x A,
peineriksaan ke-3, Z3 = y2+ rasio2 x A daii
pemeriksaan ke-4, Zq = y3 + rasio3 x A

Desliripsi Data Asli dan Data Simulasi
Karakteristik data terkelompok dapat dilihat
dengan Illelaman
t&pan-~lapan
sebagai
berikut :
1. Deskripsi data asli dan data sirnulasi
2. Menibuat plot data asli dan data silnulasi
3. Pengepasan model
4. Peuneriksaan asun~sikenonualan sisaan melalui
dengall plot kuantil-kuantil dan pendeteksian
kcl~ounogenanragam yaitu dengan lnelihat plot
antara y-duga dengan sisaamya
5. Transfonnasi data apabila ada asunisi yang
lidak dipenuhi dan kembali ke-3 sanlpai seunua
asumsi dipenuhi.

n

Evaluasi Regresi
Evaluasi Regresi den@
menggunakan
Metode Kuadrat Terkecil (MKT) dan Generalized
Estinlaling Equations (GEE) untuk melihal
parameter penduga model besetta pengujiannya
menggunakan soflvare SAS 6.12.
Tipe working correlalion ~natrix yang
digunakan adalal~REML ( Restricted Estimalio~?~
Maxislusl Likelihood ).
Untuk menduga model dengan metode GEE
digunakan prosedur (SAS INSTITUTE. 1997):
Proc genmod;
class individu;
model y = d dist=normal;
repeated subject=individu/type =RENIL;

R A S E DAN PEMBAHASAN
Simulasi Data
Hasil
simulasi
data
menunjukkan
kecendenmgan pembahan penmbahan berat badan
ibu yang semakin mengecil untuk data dengan
rasio pembahan 0.75.
Data dengan rasio pembahan 1 me~nbedkan
lwsil yang tidak jaulu berbeda dengan data asli.
Data dengan rasio p e ~ b a l u1.5 rnemberikan
pembahan penambahan berat badan yang
meningkat. Secara lengkap dapat dilihat pada
Tabel Lampiran 1.

Cari rata-rata pembahan
berat badan setiap ibu hamil

(a) 0.75 @) 1 (c) 1.5

Deskripsi Data
badan sebelumnya

4 kali

Deskripsi data asli dan data simulasi terlihal
pada Tabel 1. Nilai rata-rata berat badan am1 (YO)
ibu hamil sebesar 48.73 dan standar deviasinya
sebesar 6.77.
tidak
Tabel 1. Deskripsi data asli dan data sitnulasi

Gambar 1. Diagram alir Silnulasi
Nilai rata-mta berat badan ibu hamil dari data
asli sebesar 52.030 kg dengan standar deviasi

Desliripsi Data Asli dan Data Simulasi
Karakteristik data terkelompok dapat dilihat
dengan Illelaman
t&pan-~lapan
sebagai
berikut :
1. Deskripsi data asli dan data sirnulasi
2. Menibuat plot data asli dan data silnulasi
3. Pengepasan model
4. Peuneriksaan asun~sikenonualan sisaan melalui
dengall plot kuantil-kuantil dan pendeteksian
kcl~ounogenanragam yaitu dengan lnelihat plot
antara y-duga dengan sisaamya
5. Transfonnasi data apabila ada asunisi yang
lidak dipenuhi dan kembali ke-3 sanlpai seunua
asumsi dipenuhi.

n

Evaluasi Regresi
Evaluasi Regresi den@
menggunakan
Metode Kuadrat Terkecil (MKT) dan Generalized
Estinlaling Equations (GEE) untuk melihal
parameter penduga model besetta pengujiannya
menggunakan soflvare SAS 6.12.
Tipe working correlalion ~natrix yang
digunakan adalal~REML ( Restricted Estimalio~?~
Maxislusl Likelihood ).
Untuk menduga model dengan metode GEE
digunakan prosedur (SAS INSTITUTE. 1997):
Proc genmod;
class individu;
model y = d dist=normal;
repeated subject=individu/type =RENIL;

R A S E DAN PEMBAHASAN
Simulasi Data
Hasil
simulasi
data
menunjukkan
kecendenmgan pembahan penmbahan berat badan
ibu yang semakin mengecil untuk data dengan
rasio pembahan 0.75.
Data dengan rasio pembahan 1 me~nbedkan
lwsil yang tidak jaulu berbeda dengan data asli.
Data dengan rasio p e ~ b a l u1.5 rnemberikan
pembahan penambahan berat badan yang
meningkat. Secara lengkap dapat dilihat pada
Tabel Lampiran 1.

Cari rata-rata pembahan
berat badan setiap ibu hamil

(a) 0.75 @) 1 (c) 1.5

Deskripsi Data
badan sebelumnya

4 kali

Deskripsi data asli dan data simulasi terlihal
pada Tabel 1. Nilai rata-rata berat badan am1 (YO)
ibu hamil sebesar 48.73 dan standar deviasinya
sebesar 6.77.
tidak
Tabel 1. Deskripsi data asli dan data sitnulasi

Gambar 1. Diagram alir Silnulasi
Nilai rata-mta berat badan ibu hamil dari data
asli sebesar 52.030 kg dengan standar deviasi

7.148 dan korelasi antara umur kehamilan dan
berat badan ibu sebesar 0.318.
Data simulasi dengan rasio perubahan 0.75,
nitai rata-rata berat badannya lebih kecil
dibandingkan dengan data asli yaitu sebesar
50.904, standar deviasi 6.681 dan korelasi umur
keliamilan dan berat badan ibu sebesar 0.168.
Simulasi dengan rasio perubahan 1 memberikan
hasil yang tidak jauh berbeda dengan data aslinya
yaitu sebesar 52.167 kg, s t a n k deviasi 7.005 dan
korelasi u~nurkehamilan dan berat badan ibu
sebesar 0.309.
Rasio pernbal~an simulasi 1.5 menunjnkkan
nilai rataan 55.821, slandar deviasi 9.369 dan
korelasi lunur kehamilan dan berat badan yang
lebih besar dibanding data laimya yaitu 0.587.
Korelasi pemeriksaan umur kehamilan dan
berat badan untuk tiap-tiap ibu lumil menunjukkan
korelasi positif yang tinggi rata-rata sebesar 0.971,
dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2. Korelasi penamballan umur kehamilan
(hari) dengan perubahan berat badan (kg)
untuk tiap ibu hamil

Tabel 3. Nilai statistik uji Kolmogorov-Smirnov
data asli dan data simulasi

Plot sisaan dengan dugaan data si~nulasidan
data asli (Gambar Lampiran 9, 10, 11 dan 12) tidak
menunjnkkan adanya pola hubungan tertentu
sehingga dapat dikatakan bahwa raga111 homogen.
Evaluasi Regresi
Berdasarkan data asli dapat diketahui bahwa
peningkatan umur kehamilan secara nyata akan
meningkatkan berat badan ibu llamil sebesar
0.0404 kg (MKT) dan 0.0459 kg (GEE) untuk
setiap penambahan satu hari umur kehamilan.
Pada Tabel 4. terlihat balwa pendugaan
parameter o model dengan metode GEE lebih
besar dibanding MKT .
Tabel 4. Penduga parameter regresi data asli dan
data simulasi

Plot data asli dan data-data simulasi tampak
pada Gambar Lampiran 1,2,3 dan 4. Secara visual
plot data asli dan plot data simulasi dengan rasio
pernbahan 1 mempunyai kemiripan. Plot data
simulasi dengan rasio pernb%han1.5 terlihat lebih
mengumpul dan lebih c m m dibanding plot data
lainnya .
Plot kuantil-kuantil sisaan dari data simulasi dan
data asli menunjukkan kecenderungan membentuk
garis I w s yang mengindikasikan kenornulan
sisaan ( Gambar Lampiran 5, 6, 7 dan 8 ). Hal ini
didukung dengan nji Kollnogorov Smimov pada
Tabel 3. dengan nilai-p yang lebih besar dari 0.15.

Pengujian liipotesis parameter pi untuk data asli
pada Tabel 5, menunjukkan llasil yang signifikan
pada taraf nyata 0.05.
Pada data simulasi tidak tampak nilai
pengujiannya, nilai-nilai pengujian dapat terlihat
setelah dilakukan pembulatan (Tabel Lampinn 2, 3,
dan 4).

Tabel 5. Uji hipotesis parameter regresi untuk data
asli dan data si~nulasiberdasarkan
metode penduga

KESIMPULAN DAN SARAN
Kcsimpulan
Hasil yang diperoleh dengan menggunakan
GEE adalah dapat menduga standar deviasi
parameter yang lebih kecil dibanding MKT.
Penduga standar deviasi pmneter pada GEE
akan terkoreksi ole11 besmya keeratan hubungan
dalam kelompok.
Data yang lnelnpunyai hubungan matematis
menyebabkan pendugaan
standar deviasi
parametemya nol, seliingga POdan P I tidak dapat
diuji.
Saran
Jika dite~nukan data yang bersifat series,
berllubungan antar obyek pengalnatan atau
berkelompok,
untuk
~nengatasi nlasalah
ketakbebasan
data
tersebut
disarankan
menggunakan GEE dalam tnenduga parameter
regresinya

DAFTAR PUSTAKA
Berhane, K. 1991. Regression Analysis of
Longitudinul Data
Using Generalized
Estimating Equations. Dept of Mathematics
and Statistics, University of Guelph
Draper, N. & H. Smith. 1992. Anulisis Regresi
Terapan. Ed. ke-2. Terjernallan Ba~nbang
Sumantri. Gramedia, Jakarta.
Nilai standar deviasi penduga parameter (spJ
dengan metode GEE nntuk data asli manpun data
hasil simulasi pada rasio pembahan 0.75, 1dan 1.5
lebih kecil dibandingkan standar deviasi penduga
parameter dengan metode MKT.
Hal ini mengindikasikan metode GEE lebih
teliti mengoreksi kebebasan pada pengamatan
terkelomnpk dari pada metode MKT.
Pengujian model pada data simulasi dengan
rasio pernbalm 0.75 rnenunjukkan hasil yang
siBnif1kan pada taraf nyata 0.05. Sedangkan
pengujian rnodel pada data simulasi dengan rasio
pernbalian 1 menunjukkan hasil yang tidak
signifikan pada taraf nyata 0.05. Data simulasi
dengan rasio pernbalian 1.5 menunjnkkan
pendugaan model yang negatif dan pengujian
model yang tidak signifikan pada taraf nyata 0.05.

Kurnia, A, A. Saefuddin & B. Juanda. 2000.
Analisis Regresi Pada Data Terkelon~pok.
Forum Statistika dan Komputasi, 5: 17-22
SAS INSTITUTE. 1997. SASISTAT sojhvare :
Changes and Enhance~nentsthrough Release
6.12. Cary, North Carolina : SAS Institute
Sastrawinata, S. 1983. Obstetri Fisiologi, Bagian
Obstetri dan Ginekologi UNPAD. Eleman,
Bandung.
Younger. 1985. A First Course In Linear
Regression second edition. P
Publishing Company, Boston

Tabel 5. Uji hipotesis parameter regresi untuk data
asli dan data si~nulasiberdasarkan
metode penduga

KESIMPULAN DAN SARAN
Kcsimpulan
Hasil yang diperoleh dengan menggunakan
GEE adalah dapat menduga standar deviasi
parameter yang lebih kecil dibanding MKT.
Penduga standar deviasi pmneter pada GEE
akan terkoreksi ole11 besmya keeratan hubungan
dalam kelompok.
Data yang lnelnpunyai hubungan matematis
menyebabkan pendugaan
standar deviasi
parametemya nol, seliingga POdan P I tidak dapat
diuji.
Saran
Jika dite~nukan data yang bersifat series,
berllubungan antar obyek pengalnatan atau
berkelompok,
untuk
~nengatasi nlasalah
ketakbebasan
data
tersebut
disarankan
menggunakan GEE dalam tnenduga parameter
regresinya

DAFTAR PUSTAKA
Berhane, K. 1991. Regression Analysis of
Longitudinul Data
Using Generalized
Estimating Equations. Dept of Mathematics
and Statistics, University of Guelph
Draper, N. & H. Smith. 1992. Anulisis Regresi
Terapan. Ed. ke-2. Terjernallan Ba~nbang
Sumantri. Gramedia, Jakarta.
Nilai standar deviasi penduga parameter (spJ
dengan metode GEE nntuk data asli manpun data
hasil simulasi pada rasio pembahan 0.75, 1dan 1.5
lebih kecil dibandingkan standar deviasi penduga
parameter dengan metode MKT.
Hal ini mengindikasikan metode GEE lebih
teliti mengoreksi kebebasan pada pengamatan
terkelomnpk dari pada metode MKT.
Pengujian model pada data simulasi dengan
rasio pernbalm 0.75 rnenunjukkan hasil yang
siBnif1kan pada taraf nyata 0.05. Sedangkan
pengujian rnodel pada data simulasi dengan rasio
pernbalian 1 menunjukkan hasil yang tidak
signifikan pada taraf nyata 0.05. Data simulasi
dengan rasio pernbalian 1.5 menunjnkkan
pendugaan model yang negatif dan pengujian
model yang tidak signifikan pada taraf nyata 0.05.

Kurnia, A, A. Saefuddin & B. Juanda. 2000.
Analisis Regresi Pada Data Terkelon~pok.
Forum Statistika dan Komputasi, 5: 17-22
SAS INSTITUTE. 1997. SASISTAT sojhvare :
Changes and Enhance~nentsthrough Release
6.12. Cary, North Carolina : SAS Institute
Sastrawinata, S. 1983. Obstetri Fisiologi, Bagian
Obstetri dan Ginekologi UNPAD. Eleman,
Bandung.
Younger. 1985. A First Course In Linear
Regression second edition. P
Publishing Company, Boston

Tabel 5. Uji hipotesis parameter regresi untuk data
asli dan data si~nulasiberdasarkan
metode penduga

KESIMPULAN DAN SARAN
Kcsimpulan
Hasil yang diperoleh dengan menggunakan
GEE adalah dapat menduga standar deviasi
parameter yang lebih kecil dibanding MKT.
Penduga standar deviasi pmneter pada GEE
akan terkoreksi ole11 besmya keeratan hubungan
dalam kelompok.
Data yang lnelnpunyai hubungan matematis
menyebabkan pendugaan
standar deviasi
parametemya nol, seliingga POdan P I tidak dapat
diuji.
Saran
Jika dite~nukan data yang bersifat series,
berllubungan antar obyek pengalnatan atau
berkelompok,
untuk
~nengatasi nlasalah
ketakbebasan
data
tersebut
disarankan
menggunakan GEE dalam tnenduga parameter
regresinya

DAFTAR PUSTAKA
Berhane, K. 1991. Regression Analysis of
Longitudinul Data
Using Generalized
Estimating Equations. Dept of Mathematics
and Statistics, University of Guelph
Draper, N. & H. Smith. 1992. Anulisis Regresi
Terapan. Ed. ke-2. Terjernallan Ba~nbang
Sumantri. Gramedia, Jakarta.
Nilai standar deviasi penduga parameter (spJ
dengan metode GEE nntuk data asli manpun data
hasil simulasi pada rasio pembahan 0.75, 1dan 1.5
lebih kecil dibandingkan standar deviasi penduga
parameter dengan metode MKT.
Hal ini mengindikasikan metode GEE lebih
teliti mengoreksi kebebasan pada pengamatan
terkelomnpk dari pada metode MKT.
Pengujian model pada data simulasi dengan
rasio pernbalm 0.75 rnenunjukkan hasil yang
siBnif1kan pada taraf nyata 0.05. Sedangkan
pengujian rnodel pada data simulasi dengan rasio
pernbalian 1 menunjukkan hasil yang tidak
signifikan pada taraf nyata 0.05. Data simulasi
dengan rasio pernbalian 1.5 menunjnkkan
pendugaan model yang negatif dan pengujian
model yang tidak signifikan pad