Gelombang bola: ψ () r = exp ( − i k . r )

3.5. Berkas Laguerre-Gauss

Berkas Laguerre-Gauss merupakan solusi persamaan paraksial Helmholtz dalam koordinat silinder r = ( ρ , φ , z ) . Orde terendah dari berkas Laguerre-Gauss adalah Gauss.

3.6. Berkas Bessel

Dalam setiap pencarian bentuk gelombang berkas, merupakan cara alami untuk menentukan kemungkinan dari eksistensi gelombang-gelombang dengan muka-muka gelombang (wavefront) planar, namun dengan distribusi intensitas yang tak-seragam (non-uniform). Pandang suatu fungsi gelombang dengan amplitudo kompleks:

U () r = A ( x , y ) exp( − i β z ) (3.41)

Persamaan gelombang ini memenuhi persamaan Helmholtz, 2 ∇ U k 2 + U = 0 , dimana amplitudo A(x,y,z) memenuhi persamaan:

(3.42) k 2 2 T 2 + β = k

Pers. (3.42) disebut dengan persamaan Helmholtz orde kedua. Dengan substitusi x = ρ cos φ dan y = ρ sin φ , maka diperoleh:

A ( x , y ) = A m J m ()() k T ρ exp im φ ; m = 0 , ± 1 , ± 2 ,... (3.43)

dimana J m adalah fungsi Bessel dan A m adalah konstanta. Untuk m = 0, maka diperoleh fungsi Bessel:

U ( r ) = A 0 J 0 ()( k T ρ exp − i β z ) (3.44)

sehingga memiliki wavefront planar. Normal dari wavefront adalah seluruhnya sejajar dengan sumbu-z. Intensitas berkas Bessel diungkapkan oleh:

0 J 0 () k T ρ (3.45)

yang merupakan simetri sirkular yang berubah terhadap ρ, seperti diilustrasikan pada Gb. 3.8. Intensitas tidak bergantung pada arah perambatan-z, sehingga tidak terjadi pelebaran daya optik. Gelombang ini disebut berkas Bessel. Berkas cahaya Bessel ini banyak digunakan dalam penelitian untuk komunikasi optik dengan menggunakan hollow fibers , sehingga tidak terjadi pengurangan intensitas pulsa dengan pertambahan jarak.

Gambar 3.8 . Distribusi intensitas dari berkas Bessel dalam bidang transverse tidak bergantung pada jarak perambatan z; sehingga berkas tidak mengalami disversi.

Jika dibandingkan antara berkas Gauss dan Bessel, maka terdapat tiga perbedaan mendasar, yaitu :

a. Amplitudo kompleks dari berkas Bessel adalah solusi eksak dari persamaan Helmholtz, sedangkan berkas Gauss adalah solusi aproksimasi (tepatnya complex envelope -nya merupakan solusi eksak dari persamaan paraksial Helmholtz).

b. Distribusi intensitas dari berkas Gauss dan Bessel ditunjukkan pada Gb. 3.9. Perilaku asimtotis dari kedua distribusi pada jarak radial yang besar sangat berbeda.

2 Jika intensitas berkas Gauss berkurang secara eksponensial, 2 I ~ exp

maka intensitas berkas Bessel sebanding dengan J 0 ( k T ρ ) ≅

cos  k T ρ −  , k T ρ

4  dimana merupakan fungsi osilator yang meluruh secara lambat (slowly decay).

c. Root-mean square (rms) dari lebar berkas Gauss adalah terbatas (finite) σ = W ( z ) / 2 , maka rms lebar berkas Bessel adalah tak-terbatas (infinite) pada semua nilai z, namun ada trade-off (kompomi) antara ukuran minimum berkas dengan divergensi. Walaupun divergensi berkas Bessel adalah nol, namun lebar rms-nya tak-terbatas. Berkas Bessel dibangkitkan dengan skema khusus, sedangkan berkas Gauss dapat diperoleh pada resonator speris yang umum pada laser.

Gambar 3.9 . Perbandingan antara distribusi radial dari intensitas berkas Gauss dan berkas Bessel.