Kopling antara Pandu Gelombang

4.4.2. Kopling antara Pandu Gelombang

Bila dua pandu gelombang terpisah oleh jarak yang cukup dekat, dimana medan-medannya overlap satu sama lain, cahaya dapat dikopel dari satu pandu gelombang ke pandu gelombang yang lain. Daya optik yang ditransfer dapat digunakan Bila dua pandu gelombang terpisah oleh jarak yang cukup dekat, dimana medan-medannya overlap satu sama lain, cahaya dapat dikopel dari satu pandu gelombang ke pandu gelombang yang lain. Daya optik yang ditransfer dapat digunakan

Gambar 4.18. Kopling antara dua pandu gelombang yang sejajar. Pada z 1 , cahaya terpusat dalam pandu gelombang-1, pada z 2 cahaya terbagi antara dua pandu

gelombang dan pada z 3 , akan terpusat dalam pandu gelombang-2.

Perambatan cahaya dalam struktur ini dipelajari dengan persamaan-persamaan Maxwell pada daerah-daerah yang berbeda dan menggunakan syarat batas untuk menentukan modus-modus sistem secara keseluruhan. Untuk kopling yang lemah, cukup dengan menggunakan teori modus yang terkopel (coupled modus theory).

Teori modus terkopel berasumsi bahwa modus masing-masing pandu

gelombang, katakanlah: u 1 ( y ) exp ( − i β z ) dan u 2 ( y ) exp () i β . Kopling akan z

memodifikasi amplitudo modus-modus tersebut tanpa mempengaruhi distribusi transversal ruang atau konstanta perambatannya. Karenanya amplitudo-amplitudo

modus pandu gelombang-1 dan -2 adalah fungsi dari z: A 1 (z) dan A 2 (z). Teori modus terkopel ini bertujuan untuk menentukan A 1 (z) dan A 2 (z) pada kondisi batas yang sesuai. Kopling dapat dianggap sebagai efek hamburan. Medan dari pandu gelombang-

1 terhambur dari pandu gelombang-2, membentuk suatu sumber cahaya yang akan merubah amplituto medan dalam pandu gelombang-2. Amplitudo-amplitudo A 1 (z) dan

A 2 (z) diungkapkan oleh persamaan diferensial orde-pertama (penurunannya dapat dilihat pada bagian 4.4.2.2): A 2 (z) diungkapkan oleh persamaan diferensial orde-pertama (penurunannya dapat dilihat pada bagian 4.4.2.2):

i ρ 21 exp ( i ∆ β z )() A 2 z

dz (4.43)

dA 2 = −

i ρ 12 exp ( − i ∆ β z )() A 1 z

dz

dimana: ∆ β = β 1 − β 2 adalah fasa mismatch per-satuan panjang, dan

21 = ( n 2 − n ) u 1 ()() y u 2 y dy

ρ 12 = ( n 1 − n )

2 ()() y u 1 y − dy

adalah koefisien-koefisien kopling. Dengan asumsi bahwa amplitudo cahaya yang masuk ke dalam pandu gelombang-1 adalah A 1 (0) dan tak ada cahaya yang masuk ke dalam pandu gelombang- 2A 2 (0) = 0, maka persamaan dapat diselesaikan dengan syarat batas tersbut, yang akan menghasilkan solusi harmonik:

A 1 () z = A 1 () 0 exp  i

2 () z = A 1 () 0 exp  − i

2 Daya-daya optik 2 P

1 () z ∝ A 1 ( z ) dan P 2 () z ∝ A 2 ( z ) adalah:

P 1 () z = P 1 () 0  cos γ z −   sin γ z  

12 P 2

2 () z = P 1 () 0 2 sin γ z

Daya ini akan saling berpindah secara periodik antara dua pandu gelombang, sebagaimana diilustrasikan dalam Gb. 4.19. Periodanya adalah 2π/γ. Kekekalan daya

memerlukan ρ 12 = ρ 21 = ρ.

Gambar 4.19. Pertukaran daya secara periodic antara pandu gelombang-1 dan -2.

Bila kedua pandu gelombang tersebut identik, yaitu n 1 =n 2 ; β 1 = β 2 , dan ∆β = 0, maka kedua pandu gelombang dikatakan phase matched. Dengan demikian daya-daya optik menjadi:

1 () z = P 1 () 0 cos ρ z

P 2 () z

1 () 0 sin ρ z

dan pertukaran daya antara kedua pandu gelombang menjadi sempurna, seperti diilustrasikan dalam Gb. 4.22.

Gambar 4.20. Pertukaran daya antara pandu gelombang-1 dan -2 untuk kasus phase matched .

Gambar 4.21 adalah contoh piranti optik yang menggunakan kopling dua buah pandu gelombang. Pada jarak z = L 0 = π/2a (jarak transfer), daya akan ditransfer secara sempurna dari pandu gelombang-1 ke pandu gelombang-2 [Gb. 4.21(a)]. Pada jarak z =

L 0 /2, daya setengahnya ditransfer, sehingga piranti tersebut dikatakan sebagai kopler 3- dB, yaitu pemisahan berkas cahaya (beam-splitter) 50/50 [Gb. 4.21(b)].

(a) (a)

(b) (b)

Gambar 4.21. Kopler-kopler optik: (a). switching antara daya dari satu pandu gelombang ke pandu gelombang lain; (b). kopler 3-dB.

4.4.2.1. Switching dengan Kontrol Phase Mismatch

Suatu pandu gelombang kopler dengan panjang yang tetap, L 0 = π/2a merubah rasio daya transfernya bila phase mismatch ∆β kecil. Perbandingan/rasio daya transfer dapat ditulis sebagai fungsi ∆β:

P 2 () L 0 π 

Gambar 4.22 mengilustrasikan kebergantungan rasio transfer daya pada parameter phase mismatch ∆βL 0 . Rasio mempunyai nilai maksimum satu pada ∆βL 0 = 0, dan berkurang dengan meningkatnya nilai ∆βL 0 , kemudian sama dengan nol bila

Gambar 4.22. Kebergantungan dari rasio daya transfer pada parameter mismatch.

Kebergantungan daya yang ditransfer pada paramater mismatch dapat dimanfaatkan dalam pembuatan directional couplers yang dikendalikan secara elektrik.

π 3 , cahaya ditransfer dari pandu gelombang-2 ke pandu gelombang-1. Kontrol ∆β secara elektrik dapat dilakukan dengan bahan elektro-optik (bila indeks bias bahan dapat diubah dengan medan listrik).

Bila mismatch ∆βL 0 diubah antara 0 dan

4.4.2.2. Penurunan Persamaan-persamaan Gelombang Terkopel

Kita akan mencoba menurunkan amplitudo-amplitudo dari modus-modus terkopel A 1 (z) dan A 2 (z). Bila kedua pandu gelombang tidak berinteraksi, masing- masing akan membawa medan optik dengan amplitudo kompleks yang didefinisikan:

E 1 ( y , z ) = A 1 u 1 ()( y exp − i β 1 z )

E 2 ( y , z ) = A 2 u 2 ()( y exp − i β 2 z )

dimana amplitudo-amplitudo A 1 dan A 2 adalah konstanta. Dengan adanya kopling, maka amplitudo-amplitudo tersebut merupakan fungsi dari arah perambatan z, namun konstanta perambatan tidak berubah. Amplitudo A 1 (z) dan A 2 (z) diasumsikan sebagai funsi yang berubah secara lambat terhadap z (slowly varying functions of z). Kehadiran pandu gelombang-2 dianggap sebagai suatu gangguan pada medium diluar pandu gelombang-1 dalam bentuk suatu slab dengan indeks bias n 2 -n dan lebar d pada suatu jarak 2a. Indeks bias (n 2 -n) dan medan E 2 berhubungan dengan rapat polarisasi

P = ( ε 2 − ε ) E 2 = ε 0 ( n 2 2 2 − n ) E 2 yang membentuk suatu radiasi optik ke dalam pandu

gelombang-1:

Untuk menentukan efek sumber radiasi tersebut pada medan dalam pandu gelombang-1, kita gunakan persamaan Helmholtz dengan efek kehadiran suatu sumber yaitu:

2 2 2 ∇ 2 E 1 + k 1 E 1 = − S 1 = − ( k 2 − k ) E 2 (4.52)

Dengan cara yang sama, kita bisa menuliskan persamaan Helmholtz untuk gelombang dalam pandu gelombang-2 dengan suatu sumber yang dibangkitkan hasil dari medan dalam pandu gelombang-1:

2 2 2 ∇ 2 E 2 + k 2 E 2 = − S 2 = − ( k 2 − k ) E 1 (4.53)

dimana k 1 =n 1 k 0 . Persamaan-persamaan adalah dua persamaan diferensial parsial terkopel yang akan kita selesaikan untuk mencari E 1 dan E 2 . Analisis gangguan/perturbasi ini hanya berlaku bila kopling antara pandu gelombang-pandu gelombang tersebut lemah (weakly coupled waveguides). Bila kita andaikan E 1 dan E 2 adalah:

dimana e 1 ( y , z ) = u 1 ( y ) exp ( − i β z ) dan e 2 ( y , z ) = u 2 ( y ) exp ( − i β z ) harus memenuhi

persamaan Helmholtz:

1 + k 1 e 1 = 0 (4.55) ∇ 2 e 2 + k 2 2 e 2 = 0 1 + k 1 e 1 = 0 (4.55) ∇ 2 e 2 + k 2 2 e 2 = 0

E 1 =A 1 e 1 ke dalam pers (4.53) diperoleh:

dA

de 1 2 2

2 1 + 2 = − ( k 2 − k ) A 2 e 2 (4.56)

dz dz dz

Dengan asumsi bahwa A 1 berubah secara lambat (e 1 berubah secara cepat) terhadap z, maka suku pertama diabaikan dibanding suku kedua. Rasio antara kedua suku adalah:

de 1  [ 2 Ψ ( − i β 1 e 1 ) ] 2 β 1 Ψ dz  2

(4.57)

dz  dimana Ψ = dA 1 / dz . Aproksimasi ini berlaku bila d Ψ / Ψ << β 1 z , yaitu bila variasi

A − (z) adalah lambat dibandingkan dengan panjang 1 1

β . Sekarang substitusikan untuk 1

e 1 ( y , z ) = u 1 ( y ) exp ( − i β z ) dan e 2 ( y , z ) = u 2 ( y ) exp ( − i β z ) ke dalam persamaan (4.56)

setelah suku pertama diabaikan, diperoleh:

dA

1 − i β 1 z ) = − ( k 2 − k ) A 2 u 2 ( y ) exp( − i β 2 z ) (4.58) dz

2 1 ( − i β 1 ) u ( y ) exp(

Kalikan kedua sisi dengan u 1 (y) dan kemudian intergalkan terhadap y, serta dengan menggunakan asumsi bahwa u 2 1 ( y ) ternormalisasi (integralnya sama dengan satu), maka:

dA 1

exp( − i β 1 z ) = − i ρ 21 A 2 ()( z exp − i β 2 z )

dz

(4.59)

dA 1 = −

i ρ 12 A 2 () z exp [ i ( β 1 − β 2 ) z ] = − i ρ 12 A 2 () z exp( i ∆ β z )

dz

Dengan menggunakan prosedur yang sama seperti diatas, kita akan memperoleh persamaan pada pandu gelombang-2:

dA

2 = − i ρ 21 A 1 () z exp [ − i ( β 1 − β 2 ) z ] = − i ρ 12 A 1 ()( z exp − i ∆ β z ) (4.60)

dz