PEMECAHAN PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK ELEKTRON DALAM ATOM HIDROGEN

LAMPIRAN 3 PEMECAHAN PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK ELEKTRON DALAM ATOM HIDROGEN

A. Persamaan Schrodinger untuk Elektron dalam Atom Hidrogen

Persamaan Schrodinger untuk elektron atom hidrogen adalah

H   E  (1)*  2

dengan: 2 H     V 

Bila ditulis lengkap persamaan (1)* menjadi

2  2  2  2  E  V    0 (2)*

Dalam koordinat bola (setelah memasukkan nilai V) persamaan (1)* menjadi

Untuk memecahkan persamaan (3)* digunakan teknik pemisahan variabel

  r ,  ,   r R     (4)*

Substitusi pers. (4)* ke pers. (3)* diperoleh

1   2  R 

 R  

  2 2  sin  

 r  r sin    

2 2 1  R  2 m e e   2 2 2  2  E R   0

r sin   

4  o r  4  o r 

2 kemudian dikalikan dengan 2 r sin  diperoleh

2   m maka :   

2  m   0 (6.a)*

4  o r  * (6.b)

(6.b) 2 dibagi dengan sin 

   sin  misalkan

4  o r   sin    

  2 r  E  l  l  1

2   l  l  1

 sin    

   sin 

dengan sedikit aljabar diperoleh

 *   l 

sin

sin  d  

sin  

1 d  2 dR   2 m e  e  l  l  1 

B. Solusi persamaan (6.a) * d 2 

d  persamaan karakteristiknya

2 2 im 

 im   m  0    im , solusinya     Ae  Be

Karena tidak ada gelombang pantul maka suku yang ada konsanta B bernilai nol.

Gambar L.3.1. Sudut  dan 2   keduanya mengidentifikasi bidang meridian yang sama.

Dari gambar terlihat bahwa  dan 2   keduanya mengidentifikasi bidang

meridian yang sama sehingga        2   atau

2  *     m    Ae  Ae      (9)

im 

im

Karena fungsi gelombang harus bernilai tunggal maka untuk memenuhi pers (9) * , m harus berupa bilangan bulat.

m * = 0, 1, 2, 3, …, l (10)

Syarat normalisasi   d   1 memberikan A 

C. Solusi persamaan (7) *

 sin 

  l l    1  2    0

z  cos  dan P  z    maka dz   sin  d  ,

sehingga pers (8) * menjadi

1 z   0 (11)    Persamaan (11) * identik dengan persamaan Legendre

dP

dz

dz

2 1 2  x y "  2 xy 

2 y  0 , m  l  (12)

yang solusinya

P l  x   1  x m P l  x (fungsi Legendre terasosiasi)

dx

2 l !  dx 

  l 1  x

x  1 (formula Rodriguez) (13)

l = 0, 1, 2, 3, …

dengan konstanta normalisasi

 *  l  

P x dx

Beberapa referensi mendefinisikan m P

untuk  l  m  l dengan P l (Boass, 1982: 505).

Jadi solusi pers (7) * atau pers (11)

 z  N lm P l  z

 *    N lm P l  cos   (15)

lm dicari dengan normalisasi  dengan bantuan pers (14) diperoleh lm dicari dengan normalisasi  dengan bantuan pers (14) diperoleh

Dari hubungan  l  m  l dan l = 0, 1, 2, 3, …diperoleh m = 0,  1,  2,  3,…,  l . l =| m |, | m | + 1, | m | + 2, …

D. Solusi persamaan (8) * 1 d  2 dR   2 m e  e  l l  1 

r dr  dr     4  0 r

  Diasumsikan inti diam dan karenanya energi kinetiknya nol, sehingga dengan

memilih referensi energi nol, keadaan batas dari sistem memiliki energi negatif:

E = -|E| Dan didefinisikan

maka pers (8) * menjadi

1 d  2 dR    l  l  1 1  

R  0 , 0     (18)

d 2 R 1 dekat    solusinya dapat diaproksimasi dengan

2 R  0 yang

d  4  / 2 mempunyai solusi / R  2  e . Solusi e  adalah tidak dapat diterima untuk sebuah fungsi eigen, karena meningkat tanpa batas ketika    . Diasumsikan

    L e  

(19) di mana L(  ) adalah sebuah polinomial

   a o  a 1 a

2   ...  a v 

(20) dengan a o  0 dan s adalah bilangan positif (jika s < 0 maka R   jika

 *  0 ). Substitusi pers (19) ke pers (18) diperoleh

2 d L  dL

  1  l  1  0 (21) d

2    2  s  1          s  1  s s

Untuk persaman (21)*, supaya menjaga validnya persamaan maka

s  s  1  l l  1  0 sehingga s = l atau s= -l ( l+ 1 ), karena l  0 maka s = -l ( l+ 1 )

tidak dapat diterima karena perlakuan pada pers (19) * di mana s adalah bilangan positif. Dengan menggunakan s = l maka pers (21) * menjadi

dL

d     d 

   l  1 L  0 (22)

substitusi pers (20) * ke (22) dan dengan pengaturan koefisien dari  diperoleh :

 2 a 2   6 a 3   12 a 4   ... v 1

  v   a

   1 a 1    a 2 2   3 a 3   ...  va v  

 a  1   2 a 2   3 a 3   ...  va v  

  1  a 0  a 1    a 2   a 3   ...  va v    0

Untuk koefisien 0 

atau

a 0  

Untuk koefisien 1 

a a  a l l a a l  1 2  2  2   1 2 2   1      1  1  0 atau 1  1  a 1   1  1 1  2 l  2 

Jadi secara umum

a  1  v  a  * 1  v (23)

  v  1 v  2 l  2 

Deret (20) harus berakhir pada beberapa nilai terbatas dari v . Dengan kata lain, mengikuti pers (23) * ketika v

v  1  a v / v , jadi    , L    e akan

divergen. Untuk menjamin pembatasan ekspansi deret (20) * setelah (katakanlah) suku * v +1, dibutuhkan (menurut (23) ) pemenuhan

 *  v  l  1  n   bilangan bulat positif  (24)

Karena nilai terendah v dapat diasumsikan nol, maka n l

 *  1 atau = 0, 1, 2,…, ( n -1) (25) Dengan meletakkan *   n pada pers (22) maka d 2 L

dL nl

2   2  l  1      n  l  1  L nl  0 (26)

nl

Matematikawan, dengan alasan yang mereka punyai, telah memilih sebuah fungsi L p

q   yaitu polinomial Laguerre terasosiasi yang mana memenuhi

dL q

q  0 (27)

sebuah perbandingan dari (26) * dan (27) menyatakan bahwa 2 l  L 1 L

(28) nl *    n  l  

menggunakan (20) * dan (28) serta s= l diperoleh

   nl    N nl  e L n  l   (29)

Untuk menentukan nilai eigen (yaitu energi), dari keadaan ( n , l , m ) kita kembali ke pers (16) * , dengan meletakkan   n diperoleh

32   0   n 

Menggunakan (30) * pada ekspresi (16) untuk  diperoleh   / 2 na

0 . Jadi dengan meletakkan    r memberikan

 r na 0 R l r 

  R

nl    N nl  2 r / na 0  e L n  l  2 r / na 0  (31)

Syarat normalisasi memberikan N 2 

 n  l   

nl

Menggunakan tabel integral tentu

e   2 l 2 l  1 2 2 2 n  

diperoleh (di mana kita menggunakan   / 2 na 0 )

N * nl   

 na  0  2 n   n  l  !   

E. Bilangan Kuantum Orbital

Dari persamaan

1 d  2 dR   2 m e  e  l  l  1 

2 R  0 (33) r dr

4  0  r

  Persamaan ini hanya mempersoalkan gerak elektron dari aspek radial, yaitu gerak

dr

mendekati atau menjauhi inti, di persamaan tersebut kita melihat E , energi total elektron. Energi total E mencakup energi kinetik gerak orbital yang tak berhubungan langsung dengan gerak radial. Kontradiksi ini dapat dihilangkan degan jalan pikiran sebagai berikut : Energi kinetik K elektron tersebut terdiri dari dua bagian, K radial yang ditimbulkan oleh gerak mendekati atau menjauhi inti, dan K orbital yang ditimbulkan oleh gerak

mengelilingi inti. Energi potensial V dari elektron adalah energi listrik :

4  o r

Jadi energi total elektron ialah

E  K ra dia l  K orbita l  V

K ra dia l  K orbita l 

4  o r Dengan memasukkan rumusan E ke persamaan (33), setelah mengadakan

pengaturan kita peroleh

1 d  2 dR  2 m 

orbita l   2 R  0

  2 K ra dia l  K

r dr  dr    2 mr  Jika kedua suku yang terakhir dalam tanda kurung persegi dalam persamaan itu

saling meniadakan, sehingga kita peroleh apa yang kita inginkan yaitu persamaan diferensial R (r) hanya mengandung fungsi dari vektor radius r saja. Jadi disyaratkan

   1 orbita l * 

Energi kinetik orbital elektron adalah

K orbita l  mv orbita l

karena momentum sudut elektron L ialah

L  mv orbita l r

maka energi kinetik orbital

K orbita l 

2mr

Jadi persamaan (2)

L      1 

* (35) Seperti E , momentum sudut terkuantisasi dan kekal. Kuantitas

 1 , 054 x 10  J . s

h 34

merupakan satuan alamiah dari momentum sudut.

F. Bilangan Kuantum Magnetik

Elektron yang mengelilingi inti dapat dipikirkan sebagai sosok arus kecil dan memiliki dwikutub magnetik. Jadi elektron yang memiliki momentum sudut berinteraksi dengan medan magnetik eksternal B. Bilangan kuantum magnetik m memberi spesifikasi arah L dengan menentukan komponen L dalam arah medan. Gejala ini dikenal dengan kuantisasi ruang.

Jika kita ambil arah medan magnetik sejajar sumbu z, komponen L dalam arah itu ialah

z  m  (35)

Jempol searah dengan vektor momentum sudut

Jari tangan searah dengan gerak rotasional

Gambar L.3.2. Aturan tangan kanan untuk momentum sudut.

Gambar L.3.3. Kuantisasi ruang momentumsudut orbital. Di sini bilangan kuantum orbital l = 2, sehingga terdapat 2 l +1=5

harga yang mungkin untuk bilangan kuantum magnetic m dengan masing-masing harga bersesuaiaan dengan orientasi

yang berbeda relatif terhadap sumbu z .

Pembuktian persamaan (35) * sebagai berikut, kita punya operator momentum angular

(36)   dan persamaan eigen

z  

  * i     L z    (37)

dimana * L

z adalah nilai eigen dari L . Solusi (37) adalah

 *    e

(38)

dari pers. (9) * dan pers. (38) diperoleh