Bagaimana cara menyusun tabel karakter grup C4v

Bagaimana cara menyusun tabel karakter?
Tabel karakter dapat disusun dengan memperhatikan sifat-sifat dari tabel karakter secara
umum. Sifat-sifat tabel karakter beserta contohnya adalah sebagai berikut:
Tabel karakter untuk C2v
C2v

E

C2

σ (xz)

σ (yz)

A1

1

1

1

1

z

x2, y2, z2

B1

1

-1

1

-1

x, Ry

xz

B2

1

-1

-1

1

y, Rx

yz

A2

1

1

-1

-1

Rz

xy

Sifat-sifat tabel karakter adalah sebagai berikut:
a. Jumlah total operasi simetri dalam suatu grup disebut sebagai order (h). Untuk
menentukan order suatu grup, jumlahkan banyaknya operasi simetri yang terdaftar pada
baris teratas tabel karakter.
Contoh:
C2v

E

C2

σ (xz)

σ (yz)

Pada tabel karakter C2v di atas, ada empat operasi simetri yang ada, yaitu E (operasi
simetri identitas), C2 (operasi simetri sumbu 180o), σ(xz), dan σ(yz). Dengan demikian
order (h) = 4.

b. Operasi simetri ditata dalam kelas-kelas. Semua operasi simetri dalam satu kelas memiliki
karakter yang sama untuk matriks transformasinya dan dikelompokkan dalam kolom yang
sama dalam tabel karakter.
Contoh:
Pada tabel karakter C2v di atas, ada empat operasi simetri yang diletakkan dalam kolomkolom yang berbeda, sehingga dalam tabel karakter tersebut ada empat kolom.

c. Banyaknya representasi tak tereduksi sama dengan banyaknya kelas-kelas. Hal ini berarti
tabel karakter memiliki jumlah kolom dan baris yang sama.
FiniApryanti 

Page 1

Contoh:
Tabel karakter C2v memiliki empat baris dan empat kolom.
C2v

E

Kolom

σ (xz)

C2
1

2

C2v

Baris

σ (yz)

3

A1

1

B1

2

B2

3

A2

4

4

d. Jumlah kuadrat dimensi dari representasi tak tereduksi sama dengan order grup.
Contoh:
C2v

E

σ (xz)

C2

σ (yz)

A1

1

1

1

1

B1

1

-1

1

-1

B2

1

-1

-1

1

A2

1

1

-1

-1

h=4
= 12 + 12 + 12 +12 = 12 + (-12) + (-12) + 12
= 12 + 12 + (-12) + (-12) = 12 + (-12) + 12 + (-12) = 4

e. Bagi representasi tak tereduksi manapun, jumlah kuadrat karakter-karakter sama dengan
order grup.
Contoh:
C2v

E

C2

σ (xz)

σ (yz)

A1

1

1

1

1

B1

1

-1

1

-1

B2

1

-1

-1

1

FiniApryanti 

Page 2

A2

1

1

-1

-1

h=4
= 12 + (12) + ( 12) + 12 = 12 + (-12) + 12 + (-12)
= 12 + (-12) + (-12) +12 = 12 + 12 + (-12) + (-12) = 4

f. Representasi-representasi tak tereduksi bersifat ortogonal satu sama lain. Jumlah
perkalian karakter-karakter untuk setiap operasi sepasang representasi tak tereduksi
manapun sama dengan nol.
Contoh:
A1

1

1

1

1

B1

1

-1

1

-1

(1 x 1) + (1 x (-1) + (1 x 1) + (1 x (-1)) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0
B1

1

-1

1

-1

B2

1

-1

-1

1

(1 x 1) + ((-1) x (-1) + (1 x (-1)) + ((-1) x 1) = 1 + 1 - 1 - 1 = 0

B2

1

-1

-1

1

A2

1

1

-1

-1

(1 x 1) + ((-1) x 1) + ((-1) x (-1)) + (1 x (-1)) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0
Sifat yang sama juga berlaku pada representasi tak tereduksi A1B2, A1A2, dan B1A2.
g. Dalam semua grup pasti ada suatu representasi dengan karakter “1” untuk semua operasi.
Contoh:
C2v

E

C2

σ (xz)

σ (yz)

A1

1

1

1

1

B1

1

-1

1

-1

B2

1

-1

-1

1

FiniApryanti 

Page 3

A2

1

1

-1

-1

Setelah memahami sifat-sifat tabel karakter, penyusunan tabel karakter untuk grup
simetri lain dapat dilakukan. Contohnya adalah penyusunan tabel karakter dari grup C4v
berikut:

Langkah pertama:
Menentukan operasi simetri yang ada pada molekul dari grup C4v (disini diambil contoh BrF5).
Dengan menggunakan pengetahuan tentang operasi simetri, kita dapat mengetahui bahwa
BrF5 memiliki operasi simetri E(operasi identitas), 2C4(operasi simetri sumbu 90o),
C2(operasi simetri 180o), 2σv(operasi simetri pencerminan terhadap bidang vertikal), serta
2σd(operasi simetri pencerminan terhadap bidang diagonal).
Langkah kedua:
Data operasi simetri yang telah diketahui disusun dalam baris pertama tabel karakter sesuai
sifat (b):
C4v

E

2C4

C2

2σv

2σd

Data bagian tabel di atas dapat diketahui besar orde dengan memanfaatkan sifat (a) tabel
karakter. h= 1 + 2 + 1 + 2 + 2 = 8

Langkah ke-tiga:
dengan menggunakan sifat (c) tabel karakter, jumlah baris dalam tabel karakter dapat
ditentukan, yaitu sama dengan jumlah kolom. Sehingga dapat dibuat kerangka tabel yang
terdiri dari lima kolom dan lima baris :
C4v

FiniApryanti 

E

2C4

C2

2σv

2σd

Page 4

Langkah ke-empat:
Dengan memanfaatkan sifat (g) tabel karakter, satu baris pada tabel karakter dapat diisi
dengan karakter “1” untuk semua operasi.
C4v

E

2C4

C2

2σv

2σd

1

1

1

1

1

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q

r

s

t

Langkah ke-lima:
Untuk mengisi baris-baris selanjutnya, dapat digunakan sifat (f) tabel karakter. Untuk
memperoleh nilai nol dari (1x1xa) + (1x2xb) + (1x1xc) + (2x1xd) + (2x1xe), kita harus
bermain logika matematika. Yang pertama, apabila kolom a ke bawah diisi dengan karakter 1,
otomatis kolom c juga harus diisi dengan karakter 1 untuk saling mengilangkan dengan
karakter pada kolom lain yang bernilai -1. Jadi, pada kolom b, d, dan e ke bawah ada tiga
nilai yang mungkin, yaitu 1, -1, dan -1. Untuk penempatanya, bisa digunakan teori kombinasi
sebagai berikut:

Kombinasi yang mungkin untuk karakter 1,-1,-1 ada tiga, yaitu:
{-1,1,-1}, {1,-1,-1},{-1,-1,1}

C4v

E

2C4

C2

2σv

2σd

1

1

1

1

1

1

-1

1

1

-1

1

1

1

-1

1

1

-1

1

-1

1

p

q

r

s

t

Langkah ke-enam:
FiniApryanti 

Page 5

Untuk mencari karakter pada kolom p, q, r, s, dan t dapat digunakan sifat (d) tabel karakter.
Untuk operasi simetri E,
12 + 12 + 12 + 12 + p2 = 8
4 + p2

=8

p2

=4

p

=2

untuk operasi simetri 2C4,
2(12 + (-1)2 + 12 + (-1)2 + q2)

=8

2(4+ q2)

=8

2

8+ 2 q

=8

q

=0

untuk operasi C2,
12 + 12 + 12 + 12 + r2 = 8
4 + r2

=8

2

r

=4

r

= -2

untuk operasi 2σv,
2(12 + 12 + (-1)2 + (-1)2 + s2)

=8

2(4+ s2)

=8

8+ 2 s

2

=8

s

=0

untuk operasi simetri 2σd,
2

2

2(1 + (-1)2 + (-1)2 + 1 + t2)

=8

2(4+ t2)

=8

8+ 2 t

2

=8

t

=0

C4v

FiniApryanti 

E

2C4

C2

2σv

2σd

1

1

1

1

1

1

-1

1

1

-1

1

1

1

-1

-1

1

-1

1

-1

1

2

0

-2

0

0

Page 6