BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF KEMBANG API YANG DISUBDIVISI
PERSEMBAHAN
Persembahan kecil untuk kedua orang tuaku tercinta, Ibu Muntinah dan Bapak
Suroyo, adikku Dwi Indah Yanti, keponakan kecilku Restu Ayu Ramadhani, yang
mampu diselesaikan atas izin Alloh SWT, semoga memberi manfaat yang tidak
terputus, Amin.
MOTTO
“ Nothing is Imposible “
(Agus Irawan)
SANWACANA
Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis panjatkan kepada Alloh
SWT atas izin dan ridho-Nya dalam menyelesaikan tesis ini. Shalawat beriring
salam atas Nabi Agung Muhammad SAW, tuntunan dan tauladan utama bagi
seluruh umat manusia. Tesis ini disusun sebagai salah satu syarat untuk
memperoleh gelar magister sains pada program studi Magister Matematika,
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
Penulis ingin mengucapkan terima kasih yang tak berkesudahan kepada
Dr.Asmiati, S.Si.,M.Si., selaku Dosen Pembimbing I yang telah membimbing dan
mengarahkan penelitian tesis ini. Demikian juga Dr. Muslim Ansori, S.Si.,M.Si.,
selaku Dosen Pembimbing II yang telah membantu dan memberikan pengarahan
dalam proses penyusunan tesis ini. Terakhir, Drs. Suharsono, M.S.,M.Sc.,Ph.D.,
selaku Pembimbing Akademik dan Dosen Penguji, atas kesediaannya menguji,
memberikan saran dan kritik yang membangun dalam proses penyelesaian tesis
ini.
Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Drs. Mustofa Usman,
M.A.,Ph.D., selaku Ketua Progran Studi Magister Matematika , Drs. Tiryono
Ruby, M.Sc.,Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika, Prof. Suharso, Ph.D.,
selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung serta Dosen, staf, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA
yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
Kepada kedua orang tuaku tercinta , Ibu Muntinah dan Bapak Suroyo yang telah
memberikan dukungan secara moril dan materi, mengirimkan do‟a, nasihat dan
semangat yang sangat membantu selama penyusunan tesis. Serta Adikku Dwi
Indah Yanti, serta keponakan kecilku Restu Ayu Ramadhani atas Do‟a dan
keceriaannya.
Terima kasih dan salam hangat kepada keluarga besar Sekolah Tinggi Manajemen
Informatika dan Komputer (STMIK) Pringsewu dan keluarga besar SMA Bina
Mulya Gadingrejo Pringsewu atas dukungannya.
Terima kasih dan salam sayang kepada keluarga besar “Magister Matematika
2013”, atas kebersamaan dan kecerianya selama ini, semoga terjalin sampai
kapanpun. Terima kasih juga untuk semua pihak yang telah membantu penulis
dalam menyelesaikan tesis ini, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Semoga amal baik Bapak, Ibu dan saudara mendapatkan balasan dari Alloh SWT.
Akhir kata semoga tulisan ini dapat memberikan manfaat khususnya bagi penulis
dan bagi pembaca umumnya. Semoga Alloh SWT senantiasa memberikan umur
dan ilmu untuk kita semua. Amin Ya Rabbal „Alamin.
Bandar Lampung, 04 Agustus 2015
Penulis
Agus Irawan
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI .................................................................................................
i
DAFTAR GAMBAR ....................................................................................
ii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah .....................................................................
1
1.2 Perumusan Masalah ............................................................................
3
1.3 Tujuan Penelitian ................................................................................
4
1.4 Manfaat Penelitian ..............................................................................
4
BAB II KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON
2.1 Konsep Dasar Graf .............................................................................. 6
2.2 Graf Pohon .......................................................................................... 9
BAB III BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Bilangan Kromatik Lokasi
dengan n, k Bilangan Asli ..............
4.2 Bilangan Kromatik Lokasi
29
dengan n, k Bilangan Asli dan
..................................................................................................
36
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan .............................................................................................
45
5.2 Saran ...................................................................................................
46
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1. Graf kembang api
................................................................. 3
Gambar 2. Contoh graf G dengan 5 titik dan 7 sisi ....................................... 6
Gambar 3. Contoh pohon G dengan enam titik ............................................. 9
Gambar 4. Contoh hutan (forest) ................................................................... 10
Gambar 5. Contoh graf bintang K1,6 ..............................................................
10
Gambar 6. Contoh graf bintang ganda S3,2 ...................................................
10
Gambar 7. Contoh graf ulat C(3, 3, 3)............................................................ 11
.................
11
Gambar 9. Contoh graf almagamasi bintang S3,4 .........................................
11
Gambar 8. Contoh graf almagasi bintang tak seragam
Gambar 10. Contoh graf pohon pisang B3,4 .................................................. 12
Gambar 11. Contoh graf kembang api F3,4 .................................................... 12
Gambar 12. Pewarnaan lokasi minimum graf G ...........................................
17
Gambar 13. Pewarnaan lokasi minimum graf lintasan
18
Gambar 14. Pewarnaan lokasi minimum pada
Gambar 15. Pohon T berorde n dengan
.............................
....................................... 19
..................................... 19
Gambar 16. Graf G dengan 3 titik dominan ..................................................
20
Gambar 17. Pewarnaan lokasi minimum
................................................ 25
Gambar 18. Pewarnaan lokasi minimum
...............................................
26
Gambar 19. Pewarnaan lokasi minimum
...............................................
31
Gambar 20. Pewarnaan lokasi minimum
..............................................
33
Gambar 21. Pewarnaan lokasi minimum
...............................................
36
Gambar 22. Pewarnaan lokasi minimum
...............................................
39
Gambar 23. Pewarnaan lokasi minimum
................................................ 41
Gambar 24. Pewarnaan lokasi minimum
...............................................
44
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Pada tahun 1736, Leonardo Euler memperkenalkan konsep teori graf dalam
permasalahan Jembatan Konigsberg. Teori pewarnaan lokasi merupakan salah
satu teori graf yang memiliki kontribusi besar bagi perkembangan ilmu
pengetahuan. Konsep bilangan kromatik pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.
pada tahun 2002, dengan mengembangkan dua konsep graf, yaitu pewarnaan titik
dan dimensi partisi graf.
Misalkan c suatu pewarnaan titik pada graf G dengan ( )
yang bertetangga di G. Misalkan
himpunan titik – titik yang diberi warna i ,
yang selanjutnya disebut kelas warna, maka
={ ,
,
,
yang terdiri dari kelas – kelas warna dari V(G). Kode warna
k-pasang terurut
{ ( , )|
( ,
} untuk 1
( ) untuk u dan v
), ( ,
),
, ( ,
)
dengan
} adalah himpunan
( ) dari v adalah
( ,
) = min
. Jika setiap G mempunyai kode warna yang
berbeda, maka c disebut pewarnaan lokasi G. Banyaknya warna minimum yang
digunakan untuk pewarnaan lokasi disebut bilangan kromatik lokasi dari G, dan
dinotasikan dengan
( ).
1
Pada tahun 2002, Chartrand dkk. telah menentukan pewarnaan lokasi pada graf
terhubung G. Jika u dan v adalah dua titik yang berbeda di G sedemikian
( )
sehingga d(u,w)=d(v,w) untuk setiap
{ , }, maka
( )
( ).
Secara khusus, jika u dan v titik – titik yang tidak bertetangga di G sedemikian
( )
sehingga
( ), maka ( )
( ). Kemudian telah ditentukan bilangan
kromatik lokasi pada beberapa kelas graf, diantaranya pada graf lintasan
untuk
( ) = 3; pada graf siklus diperoleh dua hasil yaitu untuk n
3 diperolah
(
ganjil diperoleh
bintang ganda
) = 3, dan untuk n genap diperoleh
, 1
,
(
) = 4; pada graf
2, diperoleh
dan
=
,
+ 1.
Dilanjutkan pada tahun 2003, Chartrand dkk. telah menunjukan graf berorde n
dengan bilangan kromatik lokasinya (n – 1) dan juga graf – graf yang mempunyai
bilangan kromatik lokasi dengan batas atasnya (n – 2). Selain itu, Chartrand
5 yang mempunyai
dkk.(2003). menunjukan bahwa terdapat pohon berorde
(3,4,
bilangan kromatik lokasi k jika dan hanya jika
,
2, ).
Selanjutnya pada tahun 2011 dan 2012, Asmiati dkk. telah berhasil menentukan
bilangan kromatik lokasi pada beberapa graf pohon, diantaranya graf kembang
api
,
=
,
2 diperoleh
untuk
(
1, untuk 2
1 dan
graf almagamasi bintang seragam,
bintang K1,m bila
1)
2
+
1
1
(0),
=
untuk
3 dan
) = 4 sedangkan untuk k ≥ 5 diperoleh
,
,
(
,
)=
untuk lainnya; pada
adalah almagamasi dari k buah graf
( )=(
, untuk setiap i diperoleh jika
0,
2, dan
,
=
+
3 maka
untuk
( )
(
,
)=
(0),
+
untuk
1.
2
Selanjutnya, Asmiati (2014) telah telah mendapatkan bilangan kromatik lokasi
graf almagamansi bintang tak homogen.
Permasalahan penentuan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf, masih terbuka
karena belum adanya teorema yang digunakan untuk menentukan bilangan
kromatik lokasi pada sembarang graf. Oleh karena itu, pada penelitian ini akan
dikaji tentang bilangan kromatik lokasi dengan mensubdivisi graf kembang api
,
. Penelitian ini merupakan penelitian lanjutan dari hasil – hasil penelitian
Asmiati dkk. (2012).
1.2 Perumusan Masalah
Graf kembang api seragam,
bintang
,
adalah graf yang diperoleh dari n buah buah graf
dengan cara menghubungkan sebuah daun dari setiap
sebuah lintasan (Chen dkk.(1997)). Misalkan
; = 1,2,
,
2}
1,2,…, ;
= 1,2,…, − 2} .
dan
,
={ ,
,
={ ,
| = 1,2,
,
,
| = 1,2,
1}
,
(
m1
x1
m2
,
=
)
mn
xn
x2
Gambar 1. Graf kembang api
melalui
,
3
Graf kembang api
∗
,
diperoleh dengan mensubdivisi graf kembang api
sebanyak satu titik pada masing – masing sisi
∗
,
Selanjutnya graf kembang api
sebanyak
dan
= { ,
,
= { ,
≥ 2 genap, lintasan
∈[1, ] dan
dan
∗
,
untuk setiap
menjadi sebuah lintasan untuk setiap
∈[1, ]. Misalkan lintasan
[1, ] dan
∈[1, ].
diperoleh dengan mensubdivisi graf
≥ 2 titik genap pada masing – masing sisi
∈[1, ]. Akibatnya
,…,
,
, } untuk setiap
,…,
,
∈
} untuk setiap
≥ 2 genap. Adapun permasalahan akan dibatasi pada penentuan
bilangan kromatik lokasi pada graf kembang api
dan
untuk setiap
,
∗
,
dengan n, k bilangan asli
≥ 2 titik genap.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian tugas akhir ini adalah menentukan bilangan kromatik
lokasi dari graf kembang api
∗
,
dan
∗
,
dengan
, bilangan asli dan
≥
2 titik genap.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mengembangkan wawasan tentang teori graf terutama tentang bilangan
kromatik lokasi pada graf pohon.
2. Memberikan sumbangan pemikiran untuk memperluas dan memperdalam
ilmu matematika dalam bidang teori graf terutama tentang bilangan kromatik
lokasi dari graf pohon.
4
3. Sebagai referensi untuk penelitian lanjutan tentang penentuan bilangan
kromatik lokasi graf pohon.
5
II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON
2.1 Konsep Dasar Graf
Teori dasar mengenai graf yang akan digunakan dalam penelitian ini diambil
dari Deo (1989).
Graf G adalah himpunan terurut (V(G), E(G)), dengan V(G) menyatakan
himpunan titik dari G dengan
yaitu pasangan tak terurut dari
( ) ✧ , dan
( )menyatakan himpuanan sisi
( ). Banyaknya himpunan titik
( ) disebut
orde dari graf G. Misalkan v dan w adalah titik pada graf G, jika v dan w
dihubungkan oleh sisi e, maka v dan w dikatakan bertetangga (adjacent),
sedangkan titik v dan w dikatakan menempel (incident) dengan sisi e, demikian
juga sisi e dikatakan menempel dengan titik v dan w. Himpunan tetangga
(Neigborhood) dari suatu titik v, dinotasikan dengan N(v) adalah himpunan titiktitik yang bertetangga dengan v.
Gambar 2. Contoh graf dengan 5 titik dan 7 sisi
6
Pada Gambar 2. Graf (V, E) dengan
✁
( )
,
,
sedangkan
pada titik
,
,
dan
dan titik
,
,
✂. Titik
✁
,
,
,
bertetangga dengan titik
menempel dengan
. ( )
✁
( )
. Sebaliknya, sisi
,
,
✂
dan
, dan
menempel
✂.
,
Derajat suatu titik v pada graf G adalah banyaknya sisi yang menempel pada titik
v, dinotasikan dengan d(v). Daun (pendant vertex) adalah titik yang berderajat 1.
Pada Gambar 2.
( )
2,
( )
✄,
( )
( )
3,
3 dan
adalah
daun karena berderajat satu.
Loop adalah sisi yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Sisi paralel
adalah sisi yang memiliki dua titik ujung yang sama. Graf yang tidak mempunyai
sisi ganda atau loop disebut graf sederhana. Graf pada Gambar 2. bukan
merupakan graf sederhana karena pada graf tersebut terdapat loop, yaitu pada
titik
.
Pada graf terhubung G, jarak diantara dua titik x dan y adalah panjang lintasan
terpendek diantara kedua titik tersebut, dinotasikan dengan d(x, y). Istilah lain
yang sering muncul pada pembahasan graf adalah jalan (walk), lintasan (path)
dan sirkuit (circuit). Jalan (walk) adalah barisan berhingga dari titik dan sisi
dimulai dan diakhiri sedemikian sehingga setiap sisi menempel dengan titik
sebelum dan sesudahnya. Contoh jalan berdasarkan Gambar 2. adalah
☎ ☎ ☎ ☎ ☎ ☎ ☎ ☎ ☎ ☎
☎ ☎
.
7
Lintasan (path) adalah jalan yang melewati titik yang berbeda-beda. Graf G
dikatakan graf terhubung jika terdapat lintasan yang menghubungkan setiap dua
titik yang berbeda. Pada Gambar 2., Contoh lintasan adalah
✆ ✆ ✆ ✆
✆ ✆ ✆ ✆
.
Sirkuit (circuit) adalah lintasan tertutup (closed path), yaitu lintasan yang
memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Sirkuit dibedakan menjadi dua
macam, yaitu sirkuit genap dan sirkuit ganjil. Sirkuit genap adalah sirkuit dengan
banyaknya titik genap, dan sirkuit ganjil adalah sirkuit dengan banyaknya titik
ganjil. Contoh sirkuit berdasarkan gambar pada Gambar 2. adalah
✆ ✆ ✆
✆ ✆ ✆
.
Berikut ini adalah lemma yang menyatakan kaitan antara jumlah derajat semua
titik pada suatu graf G dengan banyak sisinya.
Lemma 2.1 (Narsing Deo dkk. 1989) Misalkan G(V,E) adalah graf terhubung
dengan ✝
✝✞
, maka :
( )✞2
Sebagai contoh pada graf Gambar 2 adalah
( )+ ( )+ ( )+ ( )+
( ) = 2 + ✟ + 3 + 3 + 1 = 14 = dua kali jumlah sisi .
Teorema 2.1 (Narsing Deo dkk. 1989) Untuk sembarang graf G, banyaknya titik
yang berderajat ganjil, selalu genap.
8
Bukti : Misalkan Vgenap dan Vganjil masing – masing adalah himpunan himpunan
simpul yang berderajat genap dan berderajat ganjil pada G(V,E). Maka
persamaan dapat ditulis sebagi berikut :
( )✠
Karena
untuk setiap
+
✡
,
(
)
maka suku pertama dari ruas kanan
persamaan harus bernilai genap. Ruas kiri persamaan juga harus bernilai genap.
Ninai genap pada ruas kiri hanya benar bila suku kedua dari ruas kanan juga
harus genap. Karena (
dalam
) untuk setiap
✡
, maka banyaknya titik
di
harus genap agar jumlah seluruh derajatnya bernilai genap. Jadi
banyaknya titik yang berderajat ganjil selalu genap.
2.2 Graf Pohon
Graf pohon (tree) adalah suatu graf terhubung yang tidak memuat siklus. Suatu
graf yang setiap titiknya mempunyai derajat satu disebut daun (pendant vertex).
Gambar 3. Contoh pohon G dengan enam titik
Pada Gambar
3, graf
( , ) merupakan graf pohon karena graf tersebut
merupakan graf terhubung dan tidak memuat siklus. Titik
,
,
,
disebut
pendant vertex atau daun. Gabungan dari beberapa pohon disebut hutan (forest).
9
Gambar 4. Contoh hutan (forest)
Selanjutnya, akan diberikan definisi beberapa kelas graf pohon. Suatu graf bintang K1,n
(star) adalah suatu graf terhubung yang mempunyai satu titik berderajat n yang
disebut pusat dan titik lainnya berderajat satu (Chartrand dkk., 1998).
Gambar 5. Contoh graf bintang K1,6
Graf pohon disebut graf bintang ganda (double star) jika graf pohon tersebut
mempunyai tepat dua titik x dan y berderajat lebih dari satu. Jika x dan y berturutturut berderajat a+1 dan b+1, dinotasikan dengan Sa,b , (Chartrand dkk., 1998)
Gambar 6. Contoh graf bintang ganda S3,2
Graf
ulat (caterpillar graf) adalah graf pohon yang memiliki sifat apabila
dihapus semua daunnya akan menghasilkan lintasan (Chartrand dkk., 1998).
10
Gambar 7. Contoh graf ulat C(3, 3, 3)
Misalkan
☛
☞ [1,
untuk setiap
,
bintang tak seragam,
,(
,
,
,
),
] dan
1 . Graf almagamasi
2 adalah graf pohon yang
untuk
diperoleh dengan menyatukan sebuah daun dari setiap graf
tersebut dikatakan sebagai titik pusat dari
,(
,
,
,
),
. Titik penyatuan
dinotasikan dengan x.
Titik – titik yang berjarak 1 dari titik pusat disebut dengan titik antara,
dinotasikan dengan
dengan
untuk
1,
untuk
[1, ]. Titk daun ke-j dari titik
1 (Carlson., 2006).
Gambar 8. Contoh graf almagasi bintang tak seragam
Graf almagamasi bintang seragam,
bintang K1,m bila
=
dinotasikan
,
,( , , , )
adalah almagamasi dari k buah graf
, untuk setiap i (Asmiati dkk., 2012).
Gambar 9. Contoh graf almagamasi bintang
,
11
Graf pohon pisang,
,
adalah graf yang diperoleh dari n buah graf bintang
dengan cara menghubungkan sebuah daun dari setiap
ke suatu titik baru (Chen
dkk.(1997)).
Gambar 10. Contoh graf pohon pisang
Graf kembang api seragam,
bintang
,
,
adalah graf yang diperoleh dari n buah buah graf
dengan cara menghubungkan sebuah daun dari setiap
melalui
sebuah lintasan (Chen dkk.(1997)).
Gambar 11.Contoh graf kembang api
,
Selanjutnya diberikan beberapa teorema mengenai graf pohon sebagai berikut :
Teorema 2.2 (Harsfield, N. dan G. Ringel, 1994) Jika
titik (vertex ) dan
Bukti: Jika
sisi (edge), maka
✌
adalah pohon dengan
+ 1.
adalah pohon dengan satu sisi maka teorema benar untuk
Asumsikan teorema benar untuk semua pohon dengan sisi kurang dari
untuk
✍
, maka
lintasan terpanjang di
✌
+ 1. Misal
dari
ke
pohon dengan
. Titik
.
, artinya
sisi. Kita pilih satu
harus berderajat 1. Karena kalau
12
tidak lintasan akan menjadi lebih panjang atau terbentuk siklus di
kita buang titik
, akibatnya sisi terhubung titik
terbentuk dengan (
diperoleh
✎1✏
. selanjutnya
terbuang. Sehingga pohon
✎ 1) dan ( ✎ 1) sisi dengan asumsi ✎ 1 ✏ ( ✎ 1) + 1)
atau
✏
+ 1.
Teorema 2.3 (Harsfield, N. dan G. Ringel, 1994) Graf
adalah pohon jika dan
hanya jika ada terdapat tepat satu lintasan di antara kedua titik tersebut.
Bukti:
(1) Akan ditunjukkan graf
adalah pohon maka ada terdapat tepat satu lintasan
di antara kedua titik.
Kita asumsikan
adalah pohon. Misal
dihubungkan lintasan
✏
✥
, selanjutnya
juga dalam
pada
dan
titik-titik di . Maka pohon
. Anggaplah dua lintasan dari
✏
✥
. Jika
ke
. Maka kita mempunyai siklus . Jika
. Untuk beberapa ,
yang
, maka kita lihat
, karena ada dua lintasan
dari
yang juga dalam
=
,
berbeda dengan
sampai ditemukan suatu titik yang ada dalam
asumsi. Selanjutnya
dalam
ke
dan
sebagai
sampai ditemukan suatu titik yang ada
dan selanjutnya ambil
dan kita mendapatkan siklus lagi. Tetapi
siklus. Jadi asumsi bahwa ada dua
kembali ke
,
adalah pohon, sehingga tidak ada
lintasan salah.
(2) Akan ditunjukkan ada terdapat tepat satu lintasan di antara kedua titik maka
graf
adalah pohon .
13
Kita asumsikan
adalah graf dengan tepat satu lintasan di antara dua titik .
Pertama perhatikan
✑
karena
terhubung. Anggaplah bahwa
. Jelas bahwa ada dua lintasan dari
ke
memuat siklus
. Ini kontradiksi ,
mempunyai tepat satu lintasan di antara dua titik. Jadi graf
memuat siklus dan
tidak
adalah pohon.
14
III. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF
Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.(2002).
Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan
graf. Pewarnaan titik pada graf adalah
✒
( )
{1,2,3,
, } dengan syarat
untuk setiap titik bertetangga harus memiliki warna yang berbeda. Minimum
banyaknya warna yang digunakan untuk pewarnaan titik pada graf G disebut
bilangan kromatik, yang dinotasikan dengan ( ).
Berikut ini diberikan definisi bilangan kromatik lokasi graf yang diambil dari
Chartrand dkk.(2002). Misalkan c suatu pewarnaan titik pada graf G dengan
( )
( ) untuk u dan v yang bertetangga di G. Misalkan
himpunan titik –
titik yang diberi warna i , yang selanjutnya disebut kelas warna, maka
={ ,
,
,
} adalah himpunan yang terdiri dari kelas – kelas warna dari
V(G). Kode warna
( ,
)) dengan ( ,
( ) dari v adalah k-pasang terurut ( ( ,
) = min { ( , )|
} untuk 1
), ( ,
),...,
. Jika setiap G
mempunyai kode warna yang berbeda, maka c disebut pewarnaan lokasi G.
Banyaknya warna minimum yang digunakan untuk pewarnaan lokasi disebut
bilangan kromatik lokasi dari G, dan dinotasikan dengan
( ). Karena setiap
pewarnaan lokasi juga merupakan suatu pewarnaan, maka ( )
( ).
15
Berikut ini Chartrand dkk.(2002) telah memberikan teorema dasar dari bilangan
kromatik lokasi suatu graf.
Teorema 3.1 (Chartrand dkk, 2002) Misalkan c adalah pewarnaan lokasi pada
graf terhubung G. Jika u dan v adalah dua titik yang berbeda di G sedemikian
sehingga d(u,w)=d(v,w) untuk setiap
✓ ( ) ✔ ✕ , ✖, maka ( )
( ).
Secara khusus, jika u dan v titik – titik yang tidak bertetangga di G sedemikian
( )
sehingga
( ), maka ( )
( ).
Bukti : misalkan c adalah suatu pewarnaan lokasi pada graf terhubung G dan
misalkan
✗ ✘ ✕ , , ✙ , ✖ adalah partisi dari titik – titik G ke dalam kelas
warna
. Untuk suatu titik
,
✓ ( ), andaikan ( ) ✘ ( ) sedemikian
sehingga titik u dan v berada dalam kelas warna yang sama, misalkan
Akibatnya
( ,
)✘ ( ,
) ✘ ✚ . Karena
✓ ( ) ✔ ✕ , ✖ , maka ( , ) ✘
Akibatnya,
( )✘
,
dari ✗ .
( , ) ✘ ( , ) untuk setiap
untuk setiap
,
✛
.
( ) sehingga c bukan pewarnaan lokasi. Jadi ( )
( ).
Akibat dari teorema tersebut, dapat ditentukan batas bawah trivial bilangan
kromatik lokasi graf.
Akibat 3.1 (Chartrand dkk, 2002) Misalkan G adalah graf terhubung dengan
satu titik yang bertetangga dengan k daun, maka
( )
+ 1.
16
Bukti : Misalkan v adalah satu titik yang bertetangga dengan k daun
,✢,
,
di G. Berdasarkan teorema 3.1 , setiap pewarnaan lokasi di G mempunyai warna
yang berbeda untuk setiap
maka v
Akibatnya,
, ✣ ✤ ,✦, ✢ , . Karena v bertetangga dengan semua
harus mempunyai warna yang berbeda dengan semua daun
.
+ ✤.
( )
Selanjutnya, akan diberikan contoh menentukan bilangan kromatik lokasi pada
suatu graf G seperti Gambar 12 berikut ini :
Gambar 12. Pewarnaan lokasi minimum pada graf G
Diberikan graf G seperti terlihat pada Gambar 12. akan ditentukan terlebih
dahulu batas bawah bilangan kromatik lokasi dari graf G. Karena terdapat titik
( )
yang memiliki 3 daun, maka berdasarkan Akibat 3.1,
★.
(3.1.1)
Selanjutnya, akan ditentukan batas atas bilangan kromatik lokasi graf G. Titik –
titik pada
✣✩
,
(✦,✫,✤,★);
( ) dipartisi sebagai berikut :
✪;
✣✩
✪ . Kode warnanya adalah
( ) ✣ (✤,✤,✫,✬);
( ) ✣ (✤,✫,✤,✤);
✣✩
,
,
✣✩
( ) ✣ (✫,✦,✤,★);
( ) ✣ (✫,✤,✤,✦);
( ) ✣ (✫,✤,✦,✦);
✪;
( ) ✣ (✦,✤ ,✫ ,✦);
,
,
✪;
( )✣
( ) ✣ (✤ ,✫ ,✦,✬ );
( ) ✣ (✦,✤,✦,✫).
1✜
Karena kode warna semua titik di
( ) berbeda, maka pewarnaan tersebut
merupakan pewarnaan lokasi, dengan
( )
✭.
(3.1.2)
Berdasarkan persamaan (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh
( ) ✮ ✭.
Teorema 3.2 (Chartrand dkk, 2002) Misalkan k adalah derajat maksimum di
✯+
( )
graf G, maka
.
Berikut ini akan diberikan bilangan kromatik lokasi beberapa kelas graf
sederhana.
Teorema 3.3 (Chartrand dkk, 2002) Bilangan kromatik lokasi graf lintasan
(
✰ ) adalah 3.
Bukti : Perhatikan bahwa
✰ untuk
( ) ✮ ✯ dan
( ) ✮ ✱ . Jelaslah bahwa
✰ . Berdasarkan Teorema 3.2
maksimum. Karena pada
✰ . Jadi terbukti
,
✮ ✱ , maka
( )
( )
( )
✯ + , dengan k derajat titik
✯ + ✱ . Akibatnya
( )
( ) ✮ ✰.
1
2
3
1
2
v1
v2
v3
v4
v5
1 .... 2
....
v6
un-1
1
un
Gambar 13. Pewarnaan lokasi minimum pada graf lintasan
Teorema 3.4 (Chartrand dkk, 2002) Untuk bilangan bulat a dan b dengan
✯
dan
✱
,
✮
+ ✯.
18
Bukti : Berdasarkan Akibat 3.1, diperoleh batas bawah yaitu
Selanjutnya, akan ditentukan batas atasnya yaitu
+ ✲.
,
+ ✲. Misalkan c
,
adalah pewarnaan titik menggunakan (b+1) warna sebagaimana terlihat pada
Gambar
14. Perhatikan bahwa kode warna dari setiap titik
akibatnya c adalah pewarnaan lokasi. Jadi
,
,
berbeda,
+ ✲.
Gambar 14. Pewarnaan lokasi minimum pada
,
Chartrand dkk. (2003) telah mendapatkan bentuk graf pohon berorde
5 yang
memiliki bilangan kromatik lokasi dari 3 sampai n, kecuali n-1, sebagaimana
torema berikut ini.
Teorema 3.5 (Chartrand dkk, 2002) Terdapat Pohon berorde
mempunyai bilangan kromatik k jika dan hanya jika
(3,4,
,
5 yang
2, ).
Pewarnaan Teorema 3.5 dapat diberikan sebagai berikut :
Gambar 15. Pohon T berorde n dengan
( )=
19
Selanjutnya akan diberikan beberapa definisi tentang titik dominan dan clear path
yang diambil dari Asmiati dkk. (2012). Misalkan c adalah k-pewarnaan lokasi
pada graf G(V,E) dan misalkan Π ✳ ✴ ,
,✵ ,
✶ adalah partisi dari V(G) yang
diinduksi oleh c. Titik v VGdikatakan suatu titik dominan jika ( ,
jika v
) ✳ ✷,
. Suatu lintasan yang menghubungkan dua titik dominan di graf G
disebut clear path, jika semua titik internalnya bukan merupakan titik dominan.
Gambar 16. Graf G dengan 3 titik dominan
Titik dominan pada Gambar 16. adalah v2, v4, dan v7. Clear path pada Gambar
16. adalah lintasan yang menghubungkan v4 dan v7 dimana tidak terdapat titik
dominan dalam titik internalnya. Karena graf G pada Gambar 16. mempunyai
bilangan kromatik lokasi tiga, maka panjang clear path dari graf G ganjil.
Lemma 3.1 (Asmiati dkk, 2013) Diberikan graf G dengan
( )✳
maka
terdapat paling banyak k titik dominan di G dan masing-masing titik dominan
memiliki warna yang berbeda.
Bukti : Misalkan v G merupakan titik dominan dan G adalah graf terhubung,
maka ( ,
) ✳ ✸ untuk v
dan ( ,
) ✳ ✷untuk v
. Karena
( )✳ ,
20
maka kelas partisi Πmemuat k kelas warna, katakan
,
,✹ ,
dan setiap xG
memiliki kode warna yang berbeda. Oleh karena itu, G paling banyak memuat
sebanyak k titik dominan dan masing – masing titik dominan pada G memiliki
kode warna yang berbeda.
Lemma 3.2 (Asmiati dkk, 2013) Misalkan graf G dengan
( ) ✺ ✻ , maka
panjang dari setiap clear path di G adalah ganjil.
Bukti : Misalkan G adalah graf terhubung dan P adalah clear path yang
menghubungkan 2 titik dominan x dan y di G. Asumsikan c(x) = 1 dan c(y)=2.
Karena P adalah clear path maka warna dari titik titik didalamnya harus 1 dan 2
berturut-turut. Misalkan x dan y akan membentuk barisan alternating. Karena
banyaknya titik dalam clear path P harus genap, maka panjang P ganjil.
Lemma 3.3 (Asmiati dkk, 2013) Misalkan G adalah graf terhubung dengan
( ) ✺ ✻ Jika memuat 3 titik dominan maka terdapat 3 titik dominan dalam
suatu lintasan.
Bukti : Misalkan G adalah graf terhubung dan x, y dan z adalah tiga titik
dominan dari graf G. P adalah lintasan yang menghubungkan x dan z. Asumsikan
y tidak terdapat dalam lintasan P. Karena G adalah graf terhubung maka terdapat
titik dalam u, sehingga u memiliki jarak terpendek (dibandingkan dengan titik
dalam lainnya) ke y. Lintasan L1 menghubungkan x ke u kemudian ke y. Sehingga
lintasan L1 adalah clear path. Oleh karena itu, panjangnya lintasan tersebut adalah
21
ganjil. Sekarang, pertimbangkan lintasan L2 yang menghubungkan y ke u
kemudian ke z. Maka, L2 merupakan clear path. Oleh karena itu, panjangnya
adalah ganjil. Kedua fakta tersebut menyatakan panjang dari lintasan yang
menghubungkan x ke u ditambahpanjang lintasan yang menghubungkan u ke z
panjangnya adalah genap, kontradiksi.
Selanjutnya Asmiati dkk. (2012) telah mendapatkan bilangan kromatik lokasi
graf kembang api
,
✼ dan
untuk
✽, sebagimana teorema berikut ini.
Teorema 3.6 (Asmiati dkk, 2012) Misalkan
(
i.
ii.
)✾ ✿❀
,
,
graf kembang api, maka:
✼
Untuk k ≥ 5
(
Bukti: Misalkan
= { ,
,
,
,
)✾
=
,
❁ ❂ ❀✼
❀ lainnya
,
| = 1,2,…, − 1} ∪
Pertama akan ditentukan batas bawah dari
3.1, χ (
,
❁❂
= 1,2,…, ; = 1,2,…, − 2
,
= 1,2,…, ;
,
= 1,2,…, − 2} .
untuk n ≥ 2. Berdasarkan Akibat
) ≥ 3 untuk n ≥ 2. Selanjutnya akan ditunjukan bahwa χ (
2, jika ketiga warna itu adalah 1,2,3 maka { (
), (
warna dari l
), (
), (
) ≥ 4.
,
Untuk suatu kontradiksi, andaikan terdapat pewarnaan-3 lokasi untuk
{ (
dan
), (
,
;n ≥
)} =
)} = {1,2,3} sangat jelas, c(m ) ≠ c(m ) , jika tidak, kode
dan l
untuk suatu i,j ∈{1,2} adalah sama, suatu kontradiksi.
Pandang c( ) untuk i = 1,2 . Tanpa mempertimbangkan warna dari
, kode
22
warna titik
akan sama dengan kode warna dari
Akibatnya χ (
,
,
(3.1.3)
,
untuk n ≥ 2. Untuk menunjukan bahwa
) ≤ 4 untuk n ≥ 2, pandang pewarnaan-4 pada
( ) = 1 jika i ganjil dan ( ) = 3 jika i genap.
(
, suatu kontradiksi.
) ≥ 4.
Akan ditentukan batas atas dari
χ (
atau
,
sebagai berikut :
) = 2 untuk setiap i;
Untuk semua titik l , definisikan:
c l
=
4
1
2
jika = 1 , = 1
jika ≥ 2, = 1
jika = 2
Pewarnaan c akan membangun suatu partisi Π pada V(
bahwa kode warna dari semua titik di
,
( ) = (0,1,1, + 1) dan untuk i genap
(
diperoleh
titik – titik
≥ 2,
(
diperoleh
(
,
,
(
(
( ) = (1,1,0, + 1) . Untuk m
) = (11,0,1, + ) untuk
(
≥ 2. Untuk
) = (2,1,0,2) . Untuk
) = (2,1,0, + 3) . Karena kode warna
berbeda, maka c adalah pewarnaan lokasi.
) ≤ 4.
(3.1.4)
Berdasarkan persamaan (3.1.3) dan (3.14), diperoleh χ (
Akan ditunjukan bahwa untuk
; jika 2 ≤
) . Akan ditunjukan
berbeda. Untuk i ganjil diperoleh
) = (2,1,2,0) dan
) = (0,1,2, + 3) dan
dari semua titik
Jadi χ (
) = (1,0,1,1) dan
,
≤
≥ 5,χ (
,
,
) = 4;
) = k dan χ (
≥ 2
,
)=
− 1
− 1. Pandang dua kasus berikut ini :
23
≥ 5 dan 2 ≤
Kasus 1. Untuk
≤
−1
Pertama akan ditentukan batas bawah dari
,
)≥
, untuk
≤
− 1.
− 1.
(3.1.5)
Akan ditunjukan bahwa χ (
) ≤ k − 1 untuk k ≥ 5 dan n ≤ k − 1.
,
Definisikan suatu pewarnaan-( − 1) pada
(
≥ 5dan 2 ≤
bertetangga dengan ( − 2) daun, maka berdasarkan Akibat
Karena setiap titik
3.1, χ (
,
,
sebagai berikut. Beri warna
∈[1, ] dan semua daun:
) = , untuk
= 1,2,…, − 2
{1,2,…,k − 1}\ {i} untuk sembarang i. Selanjutnya definisikan
dengan
( ) , untuk
∈[1, ] secara berturut – turut dengan warna 3, 4, 5, . . . , n, 2,3. Catatan: jika
= 2, maka
(
) = 2 dan
membangun suatu partisi ∏ = {
(
,
) = 3. Akibatnya, pewarnaan c akan
,…,
} pada
,
, dengan
adalah
himpunan dari semua titik yang berwarna i.
Akan ditunjukan bahwa kode warna untuk semua titik di
n ≤ k − 1. Misalkan
, ∈ (
,
,
untuk k ≥ 5 dan
) dan ( ) = ( ) maka pandang kasus –
kasus berikut ini :
Jika
=
karena ( ,
Jika
=
, =
)≠
, =
untuk suatu i, j, h, l dan
( ,
≠ , maka
( )≠
( )
).
untuk suatu i, j, h, dan ≠ , maka karena u bukan titik
dominan dan v harus menjadi titik dominan . Jadi
( )≠
( ).
24
Jika
=
, =
untuk suatu i, j, h, maka terdapat tepat satu himpunan di
Π yang mempunyai jarak 1 di u dan terdapat sedikitnya dua himpunan di Π
( )≠
yang mempunyai jarak 1 di v. Jadi
Jika
=
, =
( ).
untuk suatu i, j dan ≠ , maka karena u harus menjadi
( )≠
titik dominan dan v bukan titik dominan. Jadi
Jika
=
dan
=
maka = 1 dan =
( ).
( )≠
jadi
( ).
Berdasarkan semua kasus di atas dapat disimpulkan bahwa kode warna dari
semua titik di
,
untuk k ≥ 5 dan n ≤ k − 1 adalah berbeda, jadi χ (
k− 1
,
) ≤
(3.1.6)
Berdasarkan persamaan (3.1.5) dan (3.1.6), diperoleh χ
,
= k− 1
untuk
k ≥ 5 dan n ≤ k − 1.
Sebagai ilustrasi, diberikan pewarnaan lokasi dari
,
yang dapat dilihat pada
Gambar 17.
3
2
3
41
1
41
2
3
2
4
2
41
3
3
4
2
3
Gambar 17. Pewarnaan lokasi minimum dari
,
Kasus 2, Untuk k ≥ 5 dan n ≥ k
Akan ditentukan batas bawah untuk k ≥ 5 dan
diperoleh
(
,
)≥
≥
. Berdasarkan Akibat 3.1 ,
− 1. Tetapi akan ditunjukan bahwa k − 1 warna tidaklah
cukup untuk mewarnai. Untuk suatu kontradiksi, andaikan terdapat pewarnaan
25
( k − 1) lokasi c pada
≠
dua i, j,
,
untuk k ≥ 5 dan
Akan ditentukan batas atas dari
≤ k,
. Karena n ≥ k, maka terdapat
sedemikian sehingga { (
1,2,…, − 2} . Akibatnya kode warna
,
≥
)| = 1,2,…, − 2} = {
dan
| =
akan sama, suatu kontradiksi.
untuk k ≥ 5, n ≥ k. Untuk menunjukan
,
k ≥ 5 dan n ≥ k pandang pewarnaan lokasi c pada
,
sebagai
berikut:
( ) = 1 jika i ganjil dan ( ) = 3 jika i genap.
(
Jika
) = 2, untuk setiap i.
= {1,2,…, } , definisikan
\ {1 ,2} jika = 1
\ {2, } lainya.
= 1,2,…, − 1 =
Sangat mudah untuk membuktikan bahwa semua kode warna dari semua titik
berbeda. Akibatnya, c adalah pewarnaan lokasi pada
untuk
,
, jadi
(
,
)≤
,
≥ k.
3
5
3
41
2
3
41
2
1
3
3
41
2
41
2
1
3
3
41
2
3
4
2
1
Gambar 18. Pewarnaan lokasi minimum dari
3
,
Penelitian tesis ini merupakan penelitian lanjutan yang telah dilakukan oleh
Asmiati dkk.(2012). Penelitian ini bertujuan untuk melihat perluasan yang dapat
dilakukan pada graf kembang api
,
sedemikian sehingga mempertahankan
26
bilangan kromatik lokasinya. Perluasan graf kembang api yang peneliti lakukan
adalah dengan memberikan subdivisi pada sisi
untuk setiap
∈[1, ] .
Kasus 1. Graf kembang api yang disubdivisi satu titik pada
∗
,
∈[1, ] , dinotasikan dengan
untuk setiap
. Langkah – langkah untuk menentukan
∗
,
bilangan kromatik lokasi graf kembang api
∗
,
(
1) Penentuan batas bawah dari
adalah sebagai berikut :
) . Berdasarkan Akibat 3.1, dapat
ditentukan batas awal dari bilangan kromatik lokasi .
(
2) Penentuan batas atas dari
∗
,
∗
,
) . Pada graf kembang api
dapat
dilakukan counting untuk menentukan batas atasnya. Pewarnaan lokasinya
sama dengan graf kembang api
untuk setiap
∗
,
dan
∈[1, ] ; untuk setiap
setiap
diperoleh dengan mensubdivisi graf
≥ 2 titik genap pada masing – masing sisi
∈[1, ] . Akibatnya
= { ,
,
,…,
pada
∈[1, ] .
Kasus 2. Graf kembang api
sebanyak
, tetapi disubdivisi satu titik
,
dan
∗
,
untuk setiap
menjadi sebuah lintasan untuk setiap
∈[1, ] dan s ≥ 2 genap. Misalkan lintasan
, } dan lintasan
∈[1, ] ; untuk setiap
= { ,
,
,…,
} untuk
,
∈[1, ] dan s ≥ 2 genap. Langkah – langkah
untuk menentukan bilangan kromatik lokasi graf kembang api
∗
,
adalah
sebagai berikut :
(
1) Penentuan batas bawah dari
∗
, ).
Berdasarkan Akibat 3.1, dapat
ditentukan batas awal dari bilangan kromatik lokasi .
2) Penentuan batas atas dari
(
∗
, ).
Pada graf kembang api
∗
,
dapat
dilakukan counting untuk menentukan batas atasnya. Pewarnaan lokasinya
2❃
sama dengan graf kembang api
∗
,
, tetapi disubdivisi sebanyak
genap pada masing – masing sisi
Untuk (
(
)= (
dan
) = ( ) untuk r ganjil dan (
) untuk r ganjil dan
(
untuk setiap
≥ 2 titik
∈[1, ] .
) = ( ) untuk r genap, untuk
) = ( ) untuk r genap setiap
∈[1, ] dan s ≥ 2 genap.
28
V.
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Pada penentuan bilangan kromatik lokasi graf kembang api
❆
❇ ❈ ❉ ❊❋●❊k
❆
(2012), memperoleh
❏ ❑ ❉ ❊❋●❊k ■ ▲
❇
▲
❆ , Asmiati.dkk
❍ ■ ; sedangkan untuk k ≥ 5,
❏ ❑ dan k
untuk n yang lainnya. Pada
penelitian tesis ini, peneliti melanjutkan penelitian Asmiati.dkk(2012) dengan
mensubdivisi graf kembang api
pada graf kembang api
) = 4 ;n
i.
χ (
ii.
Untuk k ≥ 5
χ (
,
,
)=
k
k
disubdivisi satu titik pada
❆
[1, ] , dinotasikan dengan
,
untuk
setiap
= { ,
setiap
,
∗
,
dan
1
≥ 2 titik genap pada
disubdivisi sebanyak
untuk setiap
∈[1, ] , dinotasikan dengan
dan
menjadi sebuah lintasan untuk setiap
∈[1, ]
dan
,…,
▼
, diperoleh :
1 ;1 n k
; lainnya
masing – masing sisi
Akibatnya
untuk setiap
2
Selanjutnya graf kembang apai
∗
, .
❆ . Apabila salah satu sisi yang bukan sisi daun
s≥ 2
, } dan lintasan
∈[1, ] ; untuk setiap
genap.
= { ,
∈[1, ] ;
Misalkan
,
,…,
lintasan
,
} untuk
∈[1, ] dan s ≥ 2 genap, diperoleh :
❄❅
∗
, )
i.
χ (
ii.
Untuk k ≥ 5
χ (
∗
, )
= 4 ;n ≥ 2
=
k − 1 ;1 ≤ n ≤ k − 1
k
; lainnya
Sehingga terlihat perluasan yang dapat dilakukan pada graf kembang api
,
sedemikian sehingga mempertahankan bilangan kromatik lokasinya.
4.2 Saran
Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan menentukan bilangan kromatik lokasi
graf
,
dengan mensubdivisi n titik pada masing – masing sisi daun.
◆6
DAFTAR PUSTAKA
Asmiati, The Locating-Chromatic Number of Non-Homogeneous Almagamation
of Starts, Far East Journal of Mathematical Science (FJMS), 93(1), 8996, 2014.
Asmiati, Baskoro, E.T, Characteristic pf graphs Containing Cycle with Locatingcromatic Number Three, AIP Conf.Proc., 1450, 351-357, 2012.
Asmiati, Assiyatun, H, Baskoro, E.T, Suprijanto, D, Simanjuntak, R,
Uttunggadewa, S, Locating-Chromatic Number of Firecracker Graph,
Far East Journal of Mathematical Sciences, 63(1), 11-23, 2012.
Asmiati,
Assiatun, H, Baskoro, E.T, Locating-Chromatic
Almagamation of Starts, ITB J.Sci., 43A, 1-8, 2011.
Number
of
Baskoro, E.T, and Purwasih, I.A, The locating-chromatic number of corona
product of graph, Southeast Asian Journal of Science, 1:1 , 89-101, 2011.
Carslon, K., (2006): Generalized books and Cm-snakes are prime graphs, Ars
Combinatorics, 80, 215-221.
Chartrand, G, Erwin, D, Henning, M.A, Slater, P.J, dan Zhang, P.2002. The
locating-chromatic number of a graph, Bull.inst. combin. Apll., 36, 89101.
Chartrand, G, Erwin, D, Henning, M.A, Slater, P.J, dan Zhang, P.2003. graf of
order n with locating-chromatic number n-1, Discrate Math., 269, 65-79.
Chartrand, G.Zhang, P, Chromatic Graph Teory. 2009.CRC Press.
Chen,W., Lii, H., and Yeh, Y., (1997): Operation of Interlaced Tree and Graceful
Tree, Shoutheast Asian Bull. Math.,21, 337-348.
Deo, Narsing. 1989. Graph Teory With Aplications To Engineering And
Computer Science. Prentice-Hall of India Private Lomited.
Hartsfield, N, Gerhard , R. 1990. Pearls in Graph Theory A Comprehensive
Introduction. Academic Press, INC. Harcourt Brace Jovanovich,
Publisher.
Persembahan kecil untuk kedua orang tuaku tercinta, Ibu Muntinah dan Bapak
Suroyo, adikku Dwi Indah Yanti, keponakan kecilku Restu Ayu Ramadhani, yang
mampu diselesaikan atas izin Alloh SWT, semoga memberi manfaat yang tidak
terputus, Amin.
MOTTO
“ Nothing is Imposible “
(Agus Irawan)
SANWACANA
Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis panjatkan kepada Alloh
SWT atas izin dan ridho-Nya dalam menyelesaikan tesis ini. Shalawat beriring
salam atas Nabi Agung Muhammad SAW, tuntunan dan tauladan utama bagi
seluruh umat manusia. Tesis ini disusun sebagai salah satu syarat untuk
memperoleh gelar magister sains pada program studi Magister Matematika,
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
Penulis ingin mengucapkan terima kasih yang tak berkesudahan kepada
Dr.Asmiati, S.Si.,M.Si., selaku Dosen Pembimbing I yang telah membimbing dan
mengarahkan penelitian tesis ini. Demikian juga Dr. Muslim Ansori, S.Si.,M.Si.,
selaku Dosen Pembimbing II yang telah membantu dan memberikan pengarahan
dalam proses penyusunan tesis ini. Terakhir, Drs. Suharsono, M.S.,M.Sc.,Ph.D.,
selaku Pembimbing Akademik dan Dosen Penguji, atas kesediaannya menguji,
memberikan saran dan kritik yang membangun dalam proses penyelesaian tesis
ini.
Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Drs. Mustofa Usman,
M.A.,Ph.D., selaku Ketua Progran Studi Magister Matematika , Drs. Tiryono
Ruby, M.Sc.,Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika, Prof. Suharso, Ph.D.,
selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung serta Dosen, staf, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA
yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
Kepada kedua orang tuaku tercinta , Ibu Muntinah dan Bapak Suroyo yang telah
memberikan dukungan secara moril dan materi, mengirimkan do‟a, nasihat dan
semangat yang sangat membantu selama penyusunan tesis. Serta Adikku Dwi
Indah Yanti, serta keponakan kecilku Restu Ayu Ramadhani atas Do‟a dan
keceriaannya.
Terima kasih dan salam hangat kepada keluarga besar Sekolah Tinggi Manajemen
Informatika dan Komputer (STMIK) Pringsewu dan keluarga besar SMA Bina
Mulya Gadingrejo Pringsewu atas dukungannya.
Terima kasih dan salam sayang kepada keluarga besar “Magister Matematika
2013”, atas kebersamaan dan kecerianya selama ini, semoga terjalin sampai
kapanpun. Terima kasih juga untuk semua pihak yang telah membantu penulis
dalam menyelesaikan tesis ini, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Semoga amal baik Bapak, Ibu dan saudara mendapatkan balasan dari Alloh SWT.
Akhir kata semoga tulisan ini dapat memberikan manfaat khususnya bagi penulis
dan bagi pembaca umumnya. Semoga Alloh SWT senantiasa memberikan umur
dan ilmu untuk kita semua. Amin Ya Rabbal „Alamin.
Bandar Lampung, 04 Agustus 2015
Penulis
Agus Irawan
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI .................................................................................................
i
DAFTAR GAMBAR ....................................................................................
ii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah .....................................................................
1
1.2 Perumusan Masalah ............................................................................
3
1.3 Tujuan Penelitian ................................................................................
4
1.4 Manfaat Penelitian ..............................................................................
4
BAB II KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON
2.1 Konsep Dasar Graf .............................................................................. 6
2.2 Graf Pohon .......................................................................................... 9
BAB III BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Bilangan Kromatik Lokasi
dengan n, k Bilangan Asli ..............
4.2 Bilangan Kromatik Lokasi
29
dengan n, k Bilangan Asli dan
..................................................................................................
36
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan .............................................................................................
45
5.2 Saran ...................................................................................................
46
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1. Graf kembang api
................................................................. 3
Gambar 2. Contoh graf G dengan 5 titik dan 7 sisi ....................................... 6
Gambar 3. Contoh pohon G dengan enam titik ............................................. 9
Gambar 4. Contoh hutan (forest) ................................................................... 10
Gambar 5. Contoh graf bintang K1,6 ..............................................................
10
Gambar 6. Contoh graf bintang ganda S3,2 ...................................................
10
Gambar 7. Contoh graf ulat C(3, 3, 3)............................................................ 11
.................
11
Gambar 9. Contoh graf almagamasi bintang S3,4 .........................................
11
Gambar 8. Contoh graf almagasi bintang tak seragam
Gambar 10. Contoh graf pohon pisang B3,4 .................................................. 12
Gambar 11. Contoh graf kembang api F3,4 .................................................... 12
Gambar 12. Pewarnaan lokasi minimum graf G ...........................................
17
Gambar 13. Pewarnaan lokasi minimum graf lintasan
18
Gambar 14. Pewarnaan lokasi minimum pada
Gambar 15. Pohon T berorde n dengan
.............................
....................................... 19
..................................... 19
Gambar 16. Graf G dengan 3 titik dominan ..................................................
20
Gambar 17. Pewarnaan lokasi minimum
................................................ 25
Gambar 18. Pewarnaan lokasi minimum
...............................................
26
Gambar 19. Pewarnaan lokasi minimum
...............................................
31
Gambar 20. Pewarnaan lokasi minimum
..............................................
33
Gambar 21. Pewarnaan lokasi minimum
...............................................
36
Gambar 22. Pewarnaan lokasi minimum
...............................................
39
Gambar 23. Pewarnaan lokasi minimum
................................................ 41
Gambar 24. Pewarnaan lokasi minimum
...............................................
44
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Pada tahun 1736, Leonardo Euler memperkenalkan konsep teori graf dalam
permasalahan Jembatan Konigsberg. Teori pewarnaan lokasi merupakan salah
satu teori graf yang memiliki kontribusi besar bagi perkembangan ilmu
pengetahuan. Konsep bilangan kromatik pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.
pada tahun 2002, dengan mengembangkan dua konsep graf, yaitu pewarnaan titik
dan dimensi partisi graf.
Misalkan c suatu pewarnaan titik pada graf G dengan ( )
yang bertetangga di G. Misalkan
himpunan titik – titik yang diberi warna i ,
yang selanjutnya disebut kelas warna, maka
={ ,
,
,
yang terdiri dari kelas – kelas warna dari V(G). Kode warna
k-pasang terurut
{ ( , )|
( ,
} untuk 1
( ) untuk u dan v
), ( ,
),
, ( ,
)
dengan
} adalah himpunan
( ) dari v adalah
( ,
) = min
. Jika setiap G mempunyai kode warna yang
berbeda, maka c disebut pewarnaan lokasi G. Banyaknya warna minimum yang
digunakan untuk pewarnaan lokasi disebut bilangan kromatik lokasi dari G, dan
dinotasikan dengan
( ).
1
Pada tahun 2002, Chartrand dkk. telah menentukan pewarnaan lokasi pada graf
terhubung G. Jika u dan v adalah dua titik yang berbeda di G sedemikian
( )
sehingga d(u,w)=d(v,w) untuk setiap
{ , }, maka
( )
( ).
Secara khusus, jika u dan v titik – titik yang tidak bertetangga di G sedemikian
( )
sehingga
( ), maka ( )
( ). Kemudian telah ditentukan bilangan
kromatik lokasi pada beberapa kelas graf, diantaranya pada graf lintasan
untuk
( ) = 3; pada graf siklus diperoleh dua hasil yaitu untuk n
3 diperolah
(
ganjil diperoleh
bintang ganda
) = 3, dan untuk n genap diperoleh
, 1
,
(
) = 4; pada graf
2, diperoleh
dan
=
,
+ 1.
Dilanjutkan pada tahun 2003, Chartrand dkk. telah menunjukan graf berorde n
dengan bilangan kromatik lokasinya (n – 1) dan juga graf – graf yang mempunyai
bilangan kromatik lokasi dengan batas atasnya (n – 2). Selain itu, Chartrand
5 yang mempunyai
dkk.(2003). menunjukan bahwa terdapat pohon berorde
(3,4,
bilangan kromatik lokasi k jika dan hanya jika
,
2, ).
Selanjutnya pada tahun 2011 dan 2012, Asmiati dkk. telah berhasil menentukan
bilangan kromatik lokasi pada beberapa graf pohon, diantaranya graf kembang
api
,
=
,
2 diperoleh
untuk
(
1, untuk 2
1 dan
graf almagamasi bintang seragam,
bintang K1,m bila
1)
2
+
1
1
(0),
=
untuk
3 dan
) = 4 sedangkan untuk k ≥ 5 diperoleh
,
,
(
,
)=
untuk lainnya; pada
adalah almagamasi dari k buah graf
( )=(
, untuk setiap i diperoleh jika
0,
2, dan
,
=
+
3 maka
untuk
( )
(
,
)=
(0),
+
untuk
1.
2
Selanjutnya, Asmiati (2014) telah telah mendapatkan bilangan kromatik lokasi
graf almagamansi bintang tak homogen.
Permasalahan penentuan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf, masih terbuka
karena belum adanya teorema yang digunakan untuk menentukan bilangan
kromatik lokasi pada sembarang graf. Oleh karena itu, pada penelitian ini akan
dikaji tentang bilangan kromatik lokasi dengan mensubdivisi graf kembang api
,
. Penelitian ini merupakan penelitian lanjutan dari hasil – hasil penelitian
Asmiati dkk. (2012).
1.2 Perumusan Masalah
Graf kembang api seragam,
bintang
,
adalah graf yang diperoleh dari n buah buah graf
dengan cara menghubungkan sebuah daun dari setiap
sebuah lintasan (Chen dkk.(1997)). Misalkan
; = 1,2,
,
2}
1,2,…, ;
= 1,2,…, − 2} .
dan
,
={ ,
,
={ ,
| = 1,2,
,
,
| = 1,2,
1}
,
(
m1
x1
m2
,
=
)
mn
xn
x2
Gambar 1. Graf kembang api
melalui
,
3
Graf kembang api
∗
,
diperoleh dengan mensubdivisi graf kembang api
sebanyak satu titik pada masing – masing sisi
∗
,
Selanjutnya graf kembang api
sebanyak
dan
= { ,
,
= { ,
≥ 2 genap, lintasan
∈[1, ] dan
dan
∗
,
untuk setiap
menjadi sebuah lintasan untuk setiap
∈[1, ]. Misalkan lintasan
[1, ] dan
∈[1, ].
diperoleh dengan mensubdivisi graf
≥ 2 titik genap pada masing – masing sisi
∈[1, ]. Akibatnya
,…,
,
, } untuk setiap
,…,
,
∈
} untuk setiap
≥ 2 genap. Adapun permasalahan akan dibatasi pada penentuan
bilangan kromatik lokasi pada graf kembang api
dan
untuk setiap
,
∗
,
dengan n, k bilangan asli
≥ 2 titik genap.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian tugas akhir ini adalah menentukan bilangan kromatik
lokasi dari graf kembang api
∗
,
dan
∗
,
dengan
, bilangan asli dan
≥
2 titik genap.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mengembangkan wawasan tentang teori graf terutama tentang bilangan
kromatik lokasi pada graf pohon.
2. Memberikan sumbangan pemikiran untuk memperluas dan memperdalam
ilmu matematika dalam bidang teori graf terutama tentang bilangan kromatik
lokasi dari graf pohon.
4
3. Sebagai referensi untuk penelitian lanjutan tentang penentuan bilangan
kromatik lokasi graf pohon.
5
II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON
2.1 Konsep Dasar Graf
Teori dasar mengenai graf yang akan digunakan dalam penelitian ini diambil
dari Deo (1989).
Graf G adalah himpunan terurut (V(G), E(G)), dengan V(G) menyatakan
himpunan titik dari G dengan
yaitu pasangan tak terurut dari
( ) ✧ , dan
( )menyatakan himpuanan sisi
( ). Banyaknya himpunan titik
( ) disebut
orde dari graf G. Misalkan v dan w adalah titik pada graf G, jika v dan w
dihubungkan oleh sisi e, maka v dan w dikatakan bertetangga (adjacent),
sedangkan titik v dan w dikatakan menempel (incident) dengan sisi e, demikian
juga sisi e dikatakan menempel dengan titik v dan w. Himpunan tetangga
(Neigborhood) dari suatu titik v, dinotasikan dengan N(v) adalah himpunan titiktitik yang bertetangga dengan v.
Gambar 2. Contoh graf dengan 5 titik dan 7 sisi
6
Pada Gambar 2. Graf (V, E) dengan
✁
( )
,
,
sedangkan
pada titik
,
,
dan
dan titik
,
,
✂. Titik
✁
,
,
,
bertetangga dengan titik
menempel dengan
. ( )
✁
( )
. Sebaliknya, sisi
,
,
✂
dan
, dan
menempel
✂.
,
Derajat suatu titik v pada graf G adalah banyaknya sisi yang menempel pada titik
v, dinotasikan dengan d(v). Daun (pendant vertex) adalah titik yang berderajat 1.
Pada Gambar 2.
( )
2,
( )
✄,
( )
( )
3,
3 dan
adalah
daun karena berderajat satu.
Loop adalah sisi yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Sisi paralel
adalah sisi yang memiliki dua titik ujung yang sama. Graf yang tidak mempunyai
sisi ganda atau loop disebut graf sederhana. Graf pada Gambar 2. bukan
merupakan graf sederhana karena pada graf tersebut terdapat loop, yaitu pada
titik
.
Pada graf terhubung G, jarak diantara dua titik x dan y adalah panjang lintasan
terpendek diantara kedua titik tersebut, dinotasikan dengan d(x, y). Istilah lain
yang sering muncul pada pembahasan graf adalah jalan (walk), lintasan (path)
dan sirkuit (circuit). Jalan (walk) adalah barisan berhingga dari titik dan sisi
dimulai dan diakhiri sedemikian sehingga setiap sisi menempel dengan titik
sebelum dan sesudahnya. Contoh jalan berdasarkan Gambar 2. adalah
☎ ☎ ☎ ☎ ☎ ☎ ☎ ☎ ☎ ☎
☎ ☎
.
7
Lintasan (path) adalah jalan yang melewati titik yang berbeda-beda. Graf G
dikatakan graf terhubung jika terdapat lintasan yang menghubungkan setiap dua
titik yang berbeda. Pada Gambar 2., Contoh lintasan adalah
✆ ✆ ✆ ✆
✆ ✆ ✆ ✆
.
Sirkuit (circuit) adalah lintasan tertutup (closed path), yaitu lintasan yang
memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Sirkuit dibedakan menjadi dua
macam, yaitu sirkuit genap dan sirkuit ganjil. Sirkuit genap adalah sirkuit dengan
banyaknya titik genap, dan sirkuit ganjil adalah sirkuit dengan banyaknya titik
ganjil. Contoh sirkuit berdasarkan gambar pada Gambar 2. adalah
✆ ✆ ✆
✆ ✆ ✆
.
Berikut ini adalah lemma yang menyatakan kaitan antara jumlah derajat semua
titik pada suatu graf G dengan banyak sisinya.
Lemma 2.1 (Narsing Deo dkk. 1989) Misalkan G(V,E) adalah graf terhubung
dengan ✝
✝✞
, maka :
( )✞2
Sebagai contoh pada graf Gambar 2 adalah
( )+ ( )+ ( )+ ( )+
( ) = 2 + ✟ + 3 + 3 + 1 = 14 = dua kali jumlah sisi .
Teorema 2.1 (Narsing Deo dkk. 1989) Untuk sembarang graf G, banyaknya titik
yang berderajat ganjil, selalu genap.
8
Bukti : Misalkan Vgenap dan Vganjil masing – masing adalah himpunan himpunan
simpul yang berderajat genap dan berderajat ganjil pada G(V,E). Maka
persamaan dapat ditulis sebagi berikut :
( )✠
Karena
untuk setiap
+
✡
,
(
)
maka suku pertama dari ruas kanan
persamaan harus bernilai genap. Ruas kiri persamaan juga harus bernilai genap.
Ninai genap pada ruas kiri hanya benar bila suku kedua dari ruas kanan juga
harus genap. Karena (
dalam
) untuk setiap
✡
, maka banyaknya titik
di
harus genap agar jumlah seluruh derajatnya bernilai genap. Jadi
banyaknya titik yang berderajat ganjil selalu genap.
2.2 Graf Pohon
Graf pohon (tree) adalah suatu graf terhubung yang tidak memuat siklus. Suatu
graf yang setiap titiknya mempunyai derajat satu disebut daun (pendant vertex).
Gambar 3. Contoh pohon G dengan enam titik
Pada Gambar
3, graf
( , ) merupakan graf pohon karena graf tersebut
merupakan graf terhubung dan tidak memuat siklus. Titik
,
,
,
disebut
pendant vertex atau daun. Gabungan dari beberapa pohon disebut hutan (forest).
9
Gambar 4. Contoh hutan (forest)
Selanjutnya, akan diberikan definisi beberapa kelas graf pohon. Suatu graf bintang K1,n
(star) adalah suatu graf terhubung yang mempunyai satu titik berderajat n yang
disebut pusat dan titik lainnya berderajat satu (Chartrand dkk., 1998).
Gambar 5. Contoh graf bintang K1,6
Graf pohon disebut graf bintang ganda (double star) jika graf pohon tersebut
mempunyai tepat dua titik x dan y berderajat lebih dari satu. Jika x dan y berturutturut berderajat a+1 dan b+1, dinotasikan dengan Sa,b , (Chartrand dkk., 1998)
Gambar 6. Contoh graf bintang ganda S3,2
Graf
ulat (caterpillar graf) adalah graf pohon yang memiliki sifat apabila
dihapus semua daunnya akan menghasilkan lintasan (Chartrand dkk., 1998).
10
Gambar 7. Contoh graf ulat C(3, 3, 3)
Misalkan
☛
☞ [1,
untuk setiap
,
bintang tak seragam,
,(
,
,
,
),
] dan
1 . Graf almagamasi
2 adalah graf pohon yang
untuk
diperoleh dengan menyatukan sebuah daun dari setiap graf
tersebut dikatakan sebagai titik pusat dari
,(
,
,
,
),
. Titik penyatuan
dinotasikan dengan x.
Titik – titik yang berjarak 1 dari titik pusat disebut dengan titik antara,
dinotasikan dengan
dengan
untuk
1,
untuk
[1, ]. Titk daun ke-j dari titik
1 (Carlson., 2006).
Gambar 8. Contoh graf almagasi bintang tak seragam
Graf almagamasi bintang seragam,
bintang K1,m bila
=
dinotasikan
,
,( , , , )
adalah almagamasi dari k buah graf
, untuk setiap i (Asmiati dkk., 2012).
Gambar 9. Contoh graf almagamasi bintang
,
11
Graf pohon pisang,
,
adalah graf yang diperoleh dari n buah graf bintang
dengan cara menghubungkan sebuah daun dari setiap
ke suatu titik baru (Chen
dkk.(1997)).
Gambar 10. Contoh graf pohon pisang
Graf kembang api seragam,
bintang
,
,
adalah graf yang diperoleh dari n buah buah graf
dengan cara menghubungkan sebuah daun dari setiap
melalui
sebuah lintasan (Chen dkk.(1997)).
Gambar 11.Contoh graf kembang api
,
Selanjutnya diberikan beberapa teorema mengenai graf pohon sebagai berikut :
Teorema 2.2 (Harsfield, N. dan G. Ringel, 1994) Jika
titik (vertex ) dan
Bukti: Jika
sisi (edge), maka
✌
adalah pohon dengan
+ 1.
adalah pohon dengan satu sisi maka teorema benar untuk
Asumsikan teorema benar untuk semua pohon dengan sisi kurang dari
untuk
✍
, maka
lintasan terpanjang di
✌
+ 1. Misal
dari
ke
pohon dengan
. Titik
.
, artinya
sisi. Kita pilih satu
harus berderajat 1. Karena kalau
12
tidak lintasan akan menjadi lebih panjang atau terbentuk siklus di
kita buang titik
, akibatnya sisi terhubung titik
terbentuk dengan (
diperoleh
✎1✏
. selanjutnya
terbuang. Sehingga pohon
✎ 1) dan ( ✎ 1) sisi dengan asumsi ✎ 1 ✏ ( ✎ 1) + 1)
atau
✏
+ 1.
Teorema 2.3 (Harsfield, N. dan G. Ringel, 1994) Graf
adalah pohon jika dan
hanya jika ada terdapat tepat satu lintasan di antara kedua titik tersebut.
Bukti:
(1) Akan ditunjukkan graf
adalah pohon maka ada terdapat tepat satu lintasan
di antara kedua titik.
Kita asumsikan
adalah pohon. Misal
dihubungkan lintasan
✏
✥
, selanjutnya
juga dalam
pada
dan
titik-titik di . Maka pohon
. Anggaplah dua lintasan dari
✏
✥
. Jika
ke
. Maka kita mempunyai siklus . Jika
. Untuk beberapa ,
yang
, maka kita lihat
, karena ada dua lintasan
dari
yang juga dalam
=
,
berbeda dengan
sampai ditemukan suatu titik yang ada dalam
asumsi. Selanjutnya
dalam
ke
dan
sebagai
sampai ditemukan suatu titik yang ada
dan selanjutnya ambil
dan kita mendapatkan siklus lagi. Tetapi
siklus. Jadi asumsi bahwa ada dua
kembali ke
,
adalah pohon, sehingga tidak ada
lintasan salah.
(2) Akan ditunjukkan ada terdapat tepat satu lintasan di antara kedua titik maka
graf
adalah pohon .
13
Kita asumsikan
adalah graf dengan tepat satu lintasan di antara dua titik .
Pertama perhatikan
✑
karena
terhubung. Anggaplah bahwa
. Jelas bahwa ada dua lintasan dari
ke
memuat siklus
. Ini kontradiksi ,
mempunyai tepat satu lintasan di antara dua titik. Jadi graf
memuat siklus dan
tidak
adalah pohon.
14
III. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF
Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.(2002).
Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan
graf. Pewarnaan titik pada graf adalah
✒
( )
{1,2,3,
, } dengan syarat
untuk setiap titik bertetangga harus memiliki warna yang berbeda. Minimum
banyaknya warna yang digunakan untuk pewarnaan titik pada graf G disebut
bilangan kromatik, yang dinotasikan dengan ( ).
Berikut ini diberikan definisi bilangan kromatik lokasi graf yang diambil dari
Chartrand dkk.(2002). Misalkan c suatu pewarnaan titik pada graf G dengan
( )
( ) untuk u dan v yang bertetangga di G. Misalkan
himpunan titik –
titik yang diberi warna i , yang selanjutnya disebut kelas warna, maka
={ ,
,
,
} adalah himpunan yang terdiri dari kelas – kelas warna dari
V(G). Kode warna
( ,
)) dengan ( ,
( ) dari v adalah k-pasang terurut ( ( ,
) = min { ( , )|
} untuk 1
), ( ,
),...,
. Jika setiap G
mempunyai kode warna yang berbeda, maka c disebut pewarnaan lokasi G.
Banyaknya warna minimum yang digunakan untuk pewarnaan lokasi disebut
bilangan kromatik lokasi dari G, dan dinotasikan dengan
( ). Karena setiap
pewarnaan lokasi juga merupakan suatu pewarnaan, maka ( )
( ).
15
Berikut ini Chartrand dkk.(2002) telah memberikan teorema dasar dari bilangan
kromatik lokasi suatu graf.
Teorema 3.1 (Chartrand dkk, 2002) Misalkan c adalah pewarnaan lokasi pada
graf terhubung G. Jika u dan v adalah dua titik yang berbeda di G sedemikian
sehingga d(u,w)=d(v,w) untuk setiap
✓ ( ) ✔ ✕ , ✖, maka ( )
( ).
Secara khusus, jika u dan v titik – titik yang tidak bertetangga di G sedemikian
( )
sehingga
( ), maka ( )
( ).
Bukti : misalkan c adalah suatu pewarnaan lokasi pada graf terhubung G dan
misalkan
✗ ✘ ✕ , , ✙ , ✖ adalah partisi dari titik – titik G ke dalam kelas
warna
. Untuk suatu titik
,
✓ ( ), andaikan ( ) ✘ ( ) sedemikian
sehingga titik u dan v berada dalam kelas warna yang sama, misalkan
Akibatnya
( ,
)✘ ( ,
) ✘ ✚ . Karena
✓ ( ) ✔ ✕ , ✖ , maka ( , ) ✘
Akibatnya,
( )✘
,
dari ✗ .
( , ) ✘ ( , ) untuk setiap
untuk setiap
,
✛
.
( ) sehingga c bukan pewarnaan lokasi. Jadi ( )
( ).
Akibat dari teorema tersebut, dapat ditentukan batas bawah trivial bilangan
kromatik lokasi graf.
Akibat 3.1 (Chartrand dkk, 2002) Misalkan G adalah graf terhubung dengan
satu titik yang bertetangga dengan k daun, maka
( )
+ 1.
16
Bukti : Misalkan v adalah satu titik yang bertetangga dengan k daun
,✢,
,
di G. Berdasarkan teorema 3.1 , setiap pewarnaan lokasi di G mempunyai warna
yang berbeda untuk setiap
maka v
Akibatnya,
, ✣ ✤ ,✦, ✢ , . Karena v bertetangga dengan semua
harus mempunyai warna yang berbeda dengan semua daun
.
+ ✤.
( )
Selanjutnya, akan diberikan contoh menentukan bilangan kromatik lokasi pada
suatu graf G seperti Gambar 12 berikut ini :
Gambar 12. Pewarnaan lokasi minimum pada graf G
Diberikan graf G seperti terlihat pada Gambar 12. akan ditentukan terlebih
dahulu batas bawah bilangan kromatik lokasi dari graf G. Karena terdapat titik
( )
yang memiliki 3 daun, maka berdasarkan Akibat 3.1,
★.
(3.1.1)
Selanjutnya, akan ditentukan batas atas bilangan kromatik lokasi graf G. Titik –
titik pada
✣✩
,
(✦,✫,✤,★);
( ) dipartisi sebagai berikut :
✪;
✣✩
✪ . Kode warnanya adalah
( ) ✣ (✤,✤,✫,✬);
( ) ✣ (✤,✫,✤,✤);
✣✩
,
,
✣✩
( ) ✣ (✫,✦,✤,★);
( ) ✣ (✫,✤,✤,✦);
( ) ✣ (✫,✤,✦,✦);
✪;
( ) ✣ (✦,✤ ,✫ ,✦);
,
,
✪;
( )✣
( ) ✣ (✤ ,✫ ,✦,✬ );
( ) ✣ (✦,✤,✦,✫).
1✜
Karena kode warna semua titik di
( ) berbeda, maka pewarnaan tersebut
merupakan pewarnaan lokasi, dengan
( )
✭.
(3.1.2)
Berdasarkan persamaan (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh
( ) ✮ ✭.
Teorema 3.2 (Chartrand dkk, 2002) Misalkan k adalah derajat maksimum di
✯+
( )
graf G, maka
.
Berikut ini akan diberikan bilangan kromatik lokasi beberapa kelas graf
sederhana.
Teorema 3.3 (Chartrand dkk, 2002) Bilangan kromatik lokasi graf lintasan
(
✰ ) adalah 3.
Bukti : Perhatikan bahwa
✰ untuk
( ) ✮ ✯ dan
( ) ✮ ✱ . Jelaslah bahwa
✰ . Berdasarkan Teorema 3.2
maksimum. Karena pada
✰ . Jadi terbukti
,
✮ ✱ , maka
( )
( )
( )
✯ + , dengan k derajat titik
✯ + ✱ . Akibatnya
( )
( ) ✮ ✰.
1
2
3
1
2
v1
v2
v3
v4
v5
1 .... 2
....
v6
un-1
1
un
Gambar 13. Pewarnaan lokasi minimum pada graf lintasan
Teorema 3.4 (Chartrand dkk, 2002) Untuk bilangan bulat a dan b dengan
✯
dan
✱
,
✮
+ ✯.
18
Bukti : Berdasarkan Akibat 3.1, diperoleh batas bawah yaitu
Selanjutnya, akan ditentukan batas atasnya yaitu
+ ✲.
,
+ ✲. Misalkan c
,
adalah pewarnaan titik menggunakan (b+1) warna sebagaimana terlihat pada
Gambar
14. Perhatikan bahwa kode warna dari setiap titik
akibatnya c adalah pewarnaan lokasi. Jadi
,
,
berbeda,
+ ✲.
Gambar 14. Pewarnaan lokasi minimum pada
,
Chartrand dkk. (2003) telah mendapatkan bentuk graf pohon berorde
5 yang
memiliki bilangan kromatik lokasi dari 3 sampai n, kecuali n-1, sebagaimana
torema berikut ini.
Teorema 3.5 (Chartrand dkk, 2002) Terdapat Pohon berorde
mempunyai bilangan kromatik k jika dan hanya jika
(3,4,
,
5 yang
2, ).
Pewarnaan Teorema 3.5 dapat diberikan sebagai berikut :
Gambar 15. Pohon T berorde n dengan
( )=
19
Selanjutnya akan diberikan beberapa definisi tentang titik dominan dan clear path
yang diambil dari Asmiati dkk. (2012). Misalkan c adalah k-pewarnaan lokasi
pada graf G(V,E) dan misalkan Π ✳ ✴ ,
,✵ ,
✶ adalah partisi dari V(G) yang
diinduksi oleh c. Titik v VGdikatakan suatu titik dominan jika ( ,
jika v
) ✳ ✷,
. Suatu lintasan yang menghubungkan dua titik dominan di graf G
disebut clear path, jika semua titik internalnya bukan merupakan titik dominan.
Gambar 16. Graf G dengan 3 titik dominan
Titik dominan pada Gambar 16. adalah v2, v4, dan v7. Clear path pada Gambar
16. adalah lintasan yang menghubungkan v4 dan v7 dimana tidak terdapat titik
dominan dalam titik internalnya. Karena graf G pada Gambar 16. mempunyai
bilangan kromatik lokasi tiga, maka panjang clear path dari graf G ganjil.
Lemma 3.1 (Asmiati dkk, 2013) Diberikan graf G dengan
( )✳
maka
terdapat paling banyak k titik dominan di G dan masing-masing titik dominan
memiliki warna yang berbeda.
Bukti : Misalkan v G merupakan titik dominan dan G adalah graf terhubung,
maka ( ,
) ✳ ✸ untuk v
dan ( ,
) ✳ ✷untuk v
. Karena
( )✳ ,
20
maka kelas partisi Πmemuat k kelas warna, katakan
,
,✹ ,
dan setiap xG
memiliki kode warna yang berbeda. Oleh karena itu, G paling banyak memuat
sebanyak k titik dominan dan masing – masing titik dominan pada G memiliki
kode warna yang berbeda.
Lemma 3.2 (Asmiati dkk, 2013) Misalkan graf G dengan
( ) ✺ ✻ , maka
panjang dari setiap clear path di G adalah ganjil.
Bukti : Misalkan G adalah graf terhubung dan P adalah clear path yang
menghubungkan 2 titik dominan x dan y di G. Asumsikan c(x) = 1 dan c(y)=2.
Karena P adalah clear path maka warna dari titik titik didalamnya harus 1 dan 2
berturut-turut. Misalkan x dan y akan membentuk barisan alternating. Karena
banyaknya titik dalam clear path P harus genap, maka panjang P ganjil.
Lemma 3.3 (Asmiati dkk, 2013) Misalkan G adalah graf terhubung dengan
( ) ✺ ✻ Jika memuat 3 titik dominan maka terdapat 3 titik dominan dalam
suatu lintasan.
Bukti : Misalkan G adalah graf terhubung dan x, y dan z adalah tiga titik
dominan dari graf G. P adalah lintasan yang menghubungkan x dan z. Asumsikan
y tidak terdapat dalam lintasan P. Karena G adalah graf terhubung maka terdapat
titik dalam u, sehingga u memiliki jarak terpendek (dibandingkan dengan titik
dalam lainnya) ke y. Lintasan L1 menghubungkan x ke u kemudian ke y. Sehingga
lintasan L1 adalah clear path. Oleh karena itu, panjangnya lintasan tersebut adalah
21
ganjil. Sekarang, pertimbangkan lintasan L2 yang menghubungkan y ke u
kemudian ke z. Maka, L2 merupakan clear path. Oleh karena itu, panjangnya
adalah ganjil. Kedua fakta tersebut menyatakan panjang dari lintasan yang
menghubungkan x ke u ditambahpanjang lintasan yang menghubungkan u ke z
panjangnya adalah genap, kontradiksi.
Selanjutnya Asmiati dkk. (2012) telah mendapatkan bilangan kromatik lokasi
graf kembang api
,
✼ dan
untuk
✽, sebagimana teorema berikut ini.
Teorema 3.6 (Asmiati dkk, 2012) Misalkan
(
i.
ii.
)✾ ✿❀
,
,
graf kembang api, maka:
✼
Untuk k ≥ 5
(
Bukti: Misalkan
= { ,
,
,
,
)✾
=
,
❁ ❂ ❀✼
❀ lainnya
,
| = 1,2,…, − 1} ∪
Pertama akan ditentukan batas bawah dari
3.1, χ (
,
❁❂
= 1,2,…, ; = 1,2,…, − 2
,
= 1,2,…, ;
,
= 1,2,…, − 2} .
untuk n ≥ 2. Berdasarkan Akibat
) ≥ 3 untuk n ≥ 2. Selanjutnya akan ditunjukan bahwa χ (
2, jika ketiga warna itu adalah 1,2,3 maka { (
), (
warna dari l
), (
), (
) ≥ 4.
,
Untuk suatu kontradiksi, andaikan terdapat pewarnaan-3 lokasi untuk
{ (
dan
), (
,
;n ≥
)} =
)} = {1,2,3} sangat jelas, c(m ) ≠ c(m ) , jika tidak, kode
dan l
untuk suatu i,j ∈{1,2} adalah sama, suatu kontradiksi.
Pandang c( ) untuk i = 1,2 . Tanpa mempertimbangkan warna dari
, kode
22
warna titik
akan sama dengan kode warna dari
Akibatnya χ (
,
,
(3.1.3)
,
untuk n ≥ 2. Untuk menunjukan bahwa
) ≤ 4 untuk n ≥ 2, pandang pewarnaan-4 pada
( ) = 1 jika i ganjil dan ( ) = 3 jika i genap.
(
, suatu kontradiksi.
) ≥ 4.
Akan ditentukan batas atas dari
χ (
atau
,
sebagai berikut :
) = 2 untuk setiap i;
Untuk semua titik l , definisikan:
c l
=
4
1
2
jika = 1 , = 1
jika ≥ 2, = 1
jika = 2
Pewarnaan c akan membangun suatu partisi Π pada V(
bahwa kode warna dari semua titik di
,
( ) = (0,1,1, + 1) dan untuk i genap
(
diperoleh
titik – titik
≥ 2,
(
diperoleh
(
,
,
(
(
( ) = (1,1,0, + 1) . Untuk m
) = (11,0,1, + ) untuk
(
≥ 2. Untuk
) = (2,1,0,2) . Untuk
) = (2,1,0, + 3) . Karena kode warna
berbeda, maka c adalah pewarnaan lokasi.
) ≤ 4.
(3.1.4)
Berdasarkan persamaan (3.1.3) dan (3.14), diperoleh χ (
Akan ditunjukan bahwa untuk
; jika 2 ≤
) . Akan ditunjukan
berbeda. Untuk i ganjil diperoleh
) = (2,1,2,0) dan
) = (0,1,2, + 3) dan
dari semua titik
Jadi χ (
) = (1,0,1,1) dan
,
≤
≥ 5,χ (
,
,
) = 4;
) = k dan χ (
≥ 2
,
)=
− 1
− 1. Pandang dua kasus berikut ini :
23
≥ 5 dan 2 ≤
Kasus 1. Untuk
≤
−1
Pertama akan ditentukan batas bawah dari
,
)≥
, untuk
≤
− 1.
− 1.
(3.1.5)
Akan ditunjukan bahwa χ (
) ≤ k − 1 untuk k ≥ 5 dan n ≤ k − 1.
,
Definisikan suatu pewarnaan-( − 1) pada
(
≥ 5dan 2 ≤
bertetangga dengan ( − 2) daun, maka berdasarkan Akibat
Karena setiap titik
3.1, χ (
,
,
sebagai berikut. Beri warna
∈[1, ] dan semua daun:
) = , untuk
= 1,2,…, − 2
{1,2,…,k − 1}\ {i} untuk sembarang i. Selanjutnya definisikan
dengan
( ) , untuk
∈[1, ] secara berturut – turut dengan warna 3, 4, 5, . . . , n, 2,3. Catatan: jika
= 2, maka
(
) = 2 dan
membangun suatu partisi ∏ = {
(
,
) = 3. Akibatnya, pewarnaan c akan
,…,
} pada
,
, dengan
adalah
himpunan dari semua titik yang berwarna i.
Akan ditunjukan bahwa kode warna untuk semua titik di
n ≤ k − 1. Misalkan
, ∈ (
,
,
untuk k ≥ 5 dan
) dan ( ) = ( ) maka pandang kasus –
kasus berikut ini :
Jika
=
karena ( ,
Jika
=
, =
)≠
, =
untuk suatu i, j, h, l dan
( ,
≠ , maka
( )≠
( )
).
untuk suatu i, j, h, dan ≠ , maka karena u bukan titik
dominan dan v harus menjadi titik dominan . Jadi
( )≠
( ).
24
Jika
=
, =
untuk suatu i, j, h, maka terdapat tepat satu himpunan di
Π yang mempunyai jarak 1 di u dan terdapat sedikitnya dua himpunan di Π
( )≠
yang mempunyai jarak 1 di v. Jadi
Jika
=
, =
( ).
untuk suatu i, j dan ≠ , maka karena u harus menjadi
( )≠
titik dominan dan v bukan titik dominan. Jadi
Jika
=
dan
=
maka = 1 dan =
( ).
( )≠
jadi
( ).
Berdasarkan semua kasus di atas dapat disimpulkan bahwa kode warna dari
semua titik di
,
untuk k ≥ 5 dan n ≤ k − 1 adalah berbeda, jadi χ (
k− 1
,
) ≤
(3.1.6)
Berdasarkan persamaan (3.1.5) dan (3.1.6), diperoleh χ
,
= k− 1
untuk
k ≥ 5 dan n ≤ k − 1.
Sebagai ilustrasi, diberikan pewarnaan lokasi dari
,
yang dapat dilihat pada
Gambar 17.
3
2
3
41
1
41
2
3
2
4
2
41
3
3
4
2
3
Gambar 17. Pewarnaan lokasi minimum dari
,
Kasus 2, Untuk k ≥ 5 dan n ≥ k
Akan ditentukan batas bawah untuk k ≥ 5 dan
diperoleh
(
,
)≥
≥
. Berdasarkan Akibat 3.1 ,
− 1. Tetapi akan ditunjukan bahwa k − 1 warna tidaklah
cukup untuk mewarnai. Untuk suatu kontradiksi, andaikan terdapat pewarnaan
25
( k − 1) lokasi c pada
≠
dua i, j,
,
untuk k ≥ 5 dan
Akan ditentukan batas atas dari
≤ k,
. Karena n ≥ k, maka terdapat
sedemikian sehingga { (
1,2,…, − 2} . Akibatnya kode warna
,
≥
)| = 1,2,…, − 2} = {
dan
| =
akan sama, suatu kontradiksi.
untuk k ≥ 5, n ≥ k. Untuk menunjukan
,
k ≥ 5 dan n ≥ k pandang pewarnaan lokasi c pada
,
sebagai
berikut:
( ) = 1 jika i ganjil dan ( ) = 3 jika i genap.
(
Jika
) = 2, untuk setiap i.
= {1,2,…, } , definisikan
\ {1 ,2} jika = 1
\ {2, } lainya.
= 1,2,…, − 1 =
Sangat mudah untuk membuktikan bahwa semua kode warna dari semua titik
berbeda. Akibatnya, c adalah pewarnaan lokasi pada
untuk
,
, jadi
(
,
)≤
,
≥ k.
3
5
3
41
2
3
41
2
1
3
3
41
2
41
2
1
3
3
41
2
3
4
2
1
Gambar 18. Pewarnaan lokasi minimum dari
3
,
Penelitian tesis ini merupakan penelitian lanjutan yang telah dilakukan oleh
Asmiati dkk.(2012). Penelitian ini bertujuan untuk melihat perluasan yang dapat
dilakukan pada graf kembang api
,
sedemikian sehingga mempertahankan
26
bilangan kromatik lokasinya. Perluasan graf kembang api yang peneliti lakukan
adalah dengan memberikan subdivisi pada sisi
untuk setiap
∈[1, ] .
Kasus 1. Graf kembang api yang disubdivisi satu titik pada
∗
,
∈[1, ] , dinotasikan dengan
untuk setiap
. Langkah – langkah untuk menentukan
∗
,
bilangan kromatik lokasi graf kembang api
∗
,
(
1) Penentuan batas bawah dari
adalah sebagai berikut :
) . Berdasarkan Akibat 3.1, dapat
ditentukan batas awal dari bilangan kromatik lokasi .
(
2) Penentuan batas atas dari
∗
,
∗
,
) . Pada graf kembang api
dapat
dilakukan counting untuk menentukan batas atasnya. Pewarnaan lokasinya
sama dengan graf kembang api
untuk setiap
∗
,
dan
∈[1, ] ; untuk setiap
setiap
diperoleh dengan mensubdivisi graf
≥ 2 titik genap pada masing – masing sisi
∈[1, ] . Akibatnya
= { ,
,
,…,
pada
∈[1, ] .
Kasus 2. Graf kembang api
sebanyak
, tetapi disubdivisi satu titik
,
dan
∗
,
untuk setiap
menjadi sebuah lintasan untuk setiap
∈[1, ] dan s ≥ 2 genap. Misalkan lintasan
, } dan lintasan
∈[1, ] ; untuk setiap
= { ,
,
,…,
} untuk
,
∈[1, ] dan s ≥ 2 genap. Langkah – langkah
untuk menentukan bilangan kromatik lokasi graf kembang api
∗
,
adalah
sebagai berikut :
(
1) Penentuan batas bawah dari
∗
, ).
Berdasarkan Akibat 3.1, dapat
ditentukan batas awal dari bilangan kromatik lokasi .
2) Penentuan batas atas dari
(
∗
, ).
Pada graf kembang api
∗
,
dapat
dilakukan counting untuk menentukan batas atasnya. Pewarnaan lokasinya
2❃
sama dengan graf kembang api
∗
,
, tetapi disubdivisi sebanyak
genap pada masing – masing sisi
Untuk (
(
)= (
dan
) = ( ) untuk r ganjil dan (
) untuk r ganjil dan
(
untuk setiap
≥ 2 titik
∈[1, ] .
) = ( ) untuk r genap, untuk
) = ( ) untuk r genap setiap
∈[1, ] dan s ≥ 2 genap.
28
V.
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Pada penentuan bilangan kromatik lokasi graf kembang api
❆
❇ ❈ ❉ ❊❋●❊k
❆
(2012), memperoleh
❏ ❑ ❉ ❊❋●❊k ■ ▲
❇
▲
❆ , Asmiati.dkk
❍ ■ ; sedangkan untuk k ≥ 5,
❏ ❑ dan k
untuk n yang lainnya. Pada
penelitian tesis ini, peneliti melanjutkan penelitian Asmiati.dkk(2012) dengan
mensubdivisi graf kembang api
pada graf kembang api
) = 4 ;n
i.
χ (
ii.
Untuk k ≥ 5
χ (
,
,
)=
k
k
disubdivisi satu titik pada
❆
[1, ] , dinotasikan dengan
,
untuk
setiap
= { ,
setiap
,
∗
,
dan
1
≥ 2 titik genap pada
disubdivisi sebanyak
untuk setiap
∈[1, ] , dinotasikan dengan
dan
menjadi sebuah lintasan untuk setiap
∈[1, ]
dan
,…,
▼
, diperoleh :
1 ;1 n k
; lainnya
masing – masing sisi
Akibatnya
untuk setiap
2
Selanjutnya graf kembang apai
∗
, .
❆ . Apabila salah satu sisi yang bukan sisi daun
s≥ 2
, } dan lintasan
∈[1, ] ; untuk setiap
genap.
= { ,
∈[1, ] ;
Misalkan
,
,…,
lintasan
,
} untuk
∈[1, ] dan s ≥ 2 genap, diperoleh :
❄❅
∗
, )
i.
χ (
ii.
Untuk k ≥ 5
χ (
∗
, )
= 4 ;n ≥ 2
=
k − 1 ;1 ≤ n ≤ k − 1
k
; lainnya
Sehingga terlihat perluasan yang dapat dilakukan pada graf kembang api
,
sedemikian sehingga mempertahankan bilangan kromatik lokasinya.
4.2 Saran
Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan menentukan bilangan kromatik lokasi
graf
,
dengan mensubdivisi n titik pada masing – masing sisi daun.
◆6
DAFTAR PUSTAKA
Asmiati, The Locating-Chromatic Number of Non-Homogeneous Almagamation
of Starts, Far East Journal of Mathematical Science (FJMS), 93(1), 8996, 2014.
Asmiati, Baskoro, E.T, Characteristic pf graphs Containing Cycle with Locatingcromatic Number Three, AIP Conf.Proc., 1450, 351-357, 2012.
Asmiati, Assiyatun, H, Baskoro, E.T, Suprijanto, D, Simanjuntak, R,
Uttunggadewa, S, Locating-Chromatic Number of Firecracker Graph,
Far East Journal of Mathematical Sciences, 63(1), 11-23, 2012.
Asmiati,
Assiatun, H, Baskoro, E.T, Locating-Chromatic
Almagamation of Starts, ITB J.Sci., 43A, 1-8, 2011.
Number
of
Baskoro, E.T, and Purwasih, I.A, The locating-chromatic number of corona
product of graph, Southeast Asian Journal of Science, 1:1 , 89-101, 2011.
Carslon, K., (2006): Generalized books and Cm-snakes are prime graphs, Ars
Combinatorics, 80, 215-221.
Chartrand, G, Erwin, D, Henning, M.A, Slater, P.J, dan Zhang, P.2002. The
locating-chromatic number of a graph, Bull.inst. combin. Apll., 36, 89101.
Chartrand, G, Erwin, D, Henning, M.A, Slater, P.J, dan Zhang, P.2003. graf of
order n with locating-chromatic number n-1, Discrate Math., 269, 65-79.
Chartrand, G.Zhang, P, Chromatic Graph Teory. 2009.CRC Press.
Chen,W., Lii, H., and Yeh, Y., (1997): Operation of Interlaced Tree and Graceful
Tree, Shoutheast Asian Bull. Math.,21, 337-348.
Deo, Narsing. 1989. Graph Teory With Aplications To Engineering And
Computer Science. Prentice-Hall of India Private Lomited.
Hartsfield, N, Gerhard , R. 1990. Pearls in Graph Theory A Comprehensive
Introduction. Academic Press, INC. Harcourt Brace Jovanovich,
Publisher.