MATEMATIKA TEKNIK 1
MATEMATIKA TEKNIK 1
3 SKS
TEKNIK ELEKTRO
UDINUS
1
BAB I
BILANGAN KOMPLEKS
Dengan memiliki sistem bilangan real ℝ saja kita tidak
dapat menyelesaikan persamaan x2 +1=0. Jadi
disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru.
Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau
bilangan kompleks.
2
BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA
Definisi 1
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:
a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = –1.
Notasi
Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang
huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy
menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x
dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z.
Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks
z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).
3
OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS
DEFINISI 2
Bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan bilangan kompleks
z2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika
x1=x2 dan y1=y2.
DEFINISI 3
Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2 jumlah
dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb:
z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2)
z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1)
4
Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂ
Jadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }.
Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi
bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan
khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ⊂ℂ . Jika
Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dan
dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner
murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan
imajiner.
5
Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks
Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi
penjumlahan dan perkalian (ℂ ,+,•) membentuk sebuah
lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku
pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3 adalah sebagai
berikut:
1. z1+z2∈ℂ dan z1•z2∈ℂ . (sifat tertutup)
2. z1+z2= z2+z1 dan z1•z2= z2•z1 (sifat komutatif)
3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3)
(sifat assosiatif)
4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distribtif)
5. Ada 0=0+i0∈ℂ , sehingga z+0=z (0 elemen netral
penjumlahan)
6
6. Ada 1=1+i0∈ℂ , sehingga z•1=z (1elemen netral
perkalian
7. Untuk setiap z=x+iyℂ, ada –z=–x–iy)
sehingga z+(–z)=0
8. Untuk setiap z=x+iyℂ, ada z-1=sehingga
z•z-1=1.
Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definsi
yang telah diberikan.
7
Contoh soal:
1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2,
buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2)
2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.
z1
tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan z
2
8
Kompleks Sekawan
Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan
kompleks sekawan dari z ditulis z, didefinisikan sebagai
= (x,–y) = x – iy.
Contoh:
sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan
dari 5i adalah –5i.
Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di
dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat
berikut :
9
Teorema 1 :
a. Jika z bilangan kompleks, maka :
1.
zz
2.
z z 2 Re(z)
3.
z z 2 Im(z)
4.
z z Re(z)2 Im(z)2
10
b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :
1. z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
2.
z1 z2 z1 z2
3.
z1 z1
z z
4. 2
2 , dengan z2≠0.
11
Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks
Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y),
merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z
dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat
Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama
untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y
diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks
tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang z. Jika
kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka
terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x+iy =
(x,y) dapat dipandang sebagai vektor z. Arti geometris
dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks
dapat dilihat pada gambar berikut.
12
Im
z(x, y)
z
O
Bidang Argan
Re
13
Im
z1 z2
z1
z2
O
Re
14
Im
z2
z1
Re
O
z2
z1 z2
15
Tugas :
Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i. Gambarkan pada
bidang kompleks (bidang argand), z1, z2, z1+ z2, z1- z2,
z1, z2, z1 z2, z1 z2
16
Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks
Definisi 4 :
Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus
dari z, ditulis z = x+iy = x 2 y2
Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak
dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua
bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah
(x1 x2 )2 (y1 y2 )2
17
Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif,
maka z – z1 = r merupakan lingkaran yang berpusat di
titik z1 dengan jari-jari r.
Bagaimanakah dengan z – z1 < r dan z – z1 > r
Gambarkanlah pada bidang z.
18
Teorema 2 :
A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
z 2 Re(z)2 Im(z)2
2.
zz
3.
z2 zz
4.
z Re(z) Re(z)
z Im(z) Im(z)
5.
19
B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
z1 z2 z1 z2
2.
z1 z1
z2 z2
3.
z1 z2 z1 z2
4.
z1 z2 z1 z2
5.
z1 z2 z1 z2
Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x+iy,
kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B !
20
1. Bukti:
z1 z2 z1 z2
z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2)
(x1x2 y1y2) i(x1y2 x2y1)
(x1x2 y1y2 )2 (x1y2 x2y1)2
x12x22 y12y22 2x1x2y1y2 x12y22 x22y12 2x1x2y1y2
(x12 y12 ) (x22 y22 )
(x12 y12 ) (x22 y22 )
z1 z2
z1 z2 z1 z2
21
2. Bukti:
z1
x1 iy1 x2 iy2
z2 x2 iy2 x2 iy2
x1x 2 y1y 2 x 2y1 x1y 2
i 2
2
2
x 2 y 22
x2 y2
2
2
x1x 2 y1y 2 x 2y1 x1y 2
2
2
2
2
x2 y2 x2 y2
x12x22 y12y22 2x1x2y1y2 x22y12 x12y22 2x1x2y1y2
(x22 y22 )2
(x12 y12 ) (x22 y22 )
(x22 y22 ) (x22 y22 )
x12 y12
z1
terbukti.
2
2
z
2
x2 y2
22
3. Bukti:
z1 z2 z1 z2
0 (x1y2 x2y1)2
0 x12y22 x22y12 2x1x2y1y2
2x1x2y1y2 x12y22 x22y12
x12x22 y12y22 2x1x2y1y2 x12x22 y12y22 x12y22 x22y12
(x1x2 y1y2 )2 (x12 y12 )(x22 y22 )
2(x1x2 y1y2 ) 2 (x12 y12 )(x22 y22 )
x12 2x1x2 x22 y12 2y1y2 y22
x12 y12 2 (x12 y12 )(x22 y22 ) x22 y22
(x1 x2 ) (y1 y2 )
2
2
y12
x12 y12
x12
(x1 x2 )2 (y1 y2 )2
z1 z2 z1 z2
2
2
2
x2 y2
x22 y22
terbukti
23
4. Bukti:
z1 z2 z1 z2
z1 z1 z2 z2
z1 z2 z2
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
24
Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan
Kompleks
Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y),
bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam
bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,).
Im
z (x, y) (r, )
z r
O
Re
25
Adapun hubungan antara keduanya, (x, y)dan (r, )
adalah :
x = r cos , y = r sin,
y
sehingga = arc tan
x
adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz
2
2
r
x
y
z
didapat juga
Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah
z = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis .
dan sekawan dari z adalah = (r, -) = r(cos - i sin ).
26
Definisi 5 :
Pada bilangan kompleks z = (r, ) = r(cos + i sin ),
sudut disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut
dengan 0 < 2 atau - < disebut argument
utama dari z, ditulis = Arg z. Pembatasan untuk sudut
tersebut dipakai salah satu saja.
Definisi 6 :
Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos 1 + i sin 1) dan z2 =
r2(cos 2 + i sin 2) dikatakan sama, jika r1 = r2, dan 1 =
2.
27
Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) =
r(cos + i sin ) = r cis , maka anda dapat menuliskan z
dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei, dan
sekawannya adalah re-i.
Tugas: Buktikan bahwa ei = cos + i sin , dengan
menggunakan deret MacLaurin untuk cos , sin dan et
dengan mengganti t = i.
28
Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk
polar dan eksponen !
29
Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk
polar dan eksponen !
1
4
Jawab :
z = 1 + i, r = 2 , tan 41 = 1, sehingga 41 = 45⁰= 41
Jadi z =
2 (cos + i sin ) =
2 cos =
2
i
4
e
30
Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks
Perkalian dan Pemangkatan
Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam
bentuk kutub adalah z = r(cos + i sin ).
Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2),
maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai
berikut :
z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) +
i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]
31
Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:
arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2
Pertanyaan :
Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan
z z z z … z = zn ?
32
Jika diketahui:
z1 = r1(cos 1 + i sin 1)
z2 = r2(cos 2 + i sin 2)
zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli,
maka secara induksi matematika, diperoleh
rumus
perkalian z1 z2 … zn = r1 r2 …rn[cos (1 + 2+…+n) + i sin (1 +
2+…+n)] .
Akibatnya jika, z = r(cos + i sin ) maka
zn = rn (cos n + i sin n).
. . . . . . . . . .1
Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre
(cos + i sin )n = cos n + i sin n, n asli.
33
Pembagian:
Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai
z1 r1(cos 1 i sin 1)
berikut:
z2 r2(cos 2 i sin 2 )
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan
sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka
z1 r1
z
diperoleh : 2 r2 [cos ( - ) + i sin ( - )]
1
2
1
2
Dari rumus di atas
z1diperoleh:
z2
arg
1-2 = arg z1 – arg z2.
34
Akibat lain jika z = r(cos + i sin ),
maka:
Untuk:
1 1cos() i sin()
z r
1
1
zn rncos n i sin n .
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan
penyebut, maka didapat :
1 1 cos(n) i sin(n)
zn rn
.......2
35
Dari 1 dan 2 diperoleh:
zn rn cos(n) i sin(n,)
Dalil De-Moivre
berlaku untuk semua n bilangan bulat.
36
Contoh:
Hitunglah :
Jawab :
Misalkan
3 i
6
z 3 i,
maka
r z 3 1 2
tan 1
3
o
o
3
i
2
cos
30
i
sin
30
karena z di kuadran IV, maka dipilih
jadi
3 i
6
30o
26 cos 180o i sin 180o
26(1 0)
26
37
Akar Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari
bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis
z
1
.n
w
Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan
kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w diperoleh:
n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r dan
n= +2k , k bulat.
Akibatnya
1
dan
rn
2k
n
Jadi . . .
38
Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks
w = r(cos+i sin) adalah:
z=
1
2k
n
)
r [cos(
n
+ i sin (
2k
)],
n
k bulat dan n bilangan asli.
Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang
memenuhi persamaan itu.
Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);
0 2k < 2, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn
n
sebagai akar ke-n dari z.
39
Contoh :
Hitunglah (-81)1/4
Jawab :
Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian
persamaan z4 = -81.
Tulis z = (cos +i sin) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800),
sehingga 4(cos4 +i sin4) = 81(cos1800+i sin1800),
2k
diperoleh = 81, atau = 3 dan
4.
Jadi z = 3[cos( 2k)+i sin( 2k)]
4
4
4
Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan
mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.
40
Latihan Soal Bab I
1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan
z = (x,y) = x + iy.
2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i.
Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2
3. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0.
4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi
sifat: a. z-1 = z
dan
b. z z
5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks
berlaku : z1. z 2+ z1.z2 = 2Re(z1. z 2)
6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.
41
7.Gambarkan pada diagram argand dan
sebutkan nama kurva yang terjadi :
a. z – 5 = 6 dan z – 5 > 6
b. z + i = z – i
c. 1 < z – i < 3
8.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam
bentuk polar dan eksponen !
9. Hitunglah (-2+2i)15
10.Tentukan himpunan penyelesaian dari : z3- i = 0
42
3 SKS
TEKNIK ELEKTRO
UDINUS
1
BAB I
BILANGAN KOMPLEKS
Dengan memiliki sistem bilangan real ℝ saja kita tidak
dapat menyelesaikan persamaan x2 +1=0. Jadi
disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru.
Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau
bilangan kompleks.
2
BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA
Definisi 1
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:
a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = –1.
Notasi
Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang
huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy
menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x
dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z.
Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks
z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).
3
OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS
DEFINISI 2
Bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan bilangan kompleks
z2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika
x1=x2 dan y1=y2.
DEFINISI 3
Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2 jumlah
dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb:
z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2)
z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1)
4
Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂ
Jadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }.
Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi
bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan
khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ⊂ℂ . Jika
Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dan
dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner
murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan
imajiner.
5
Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks
Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi
penjumlahan dan perkalian (ℂ ,+,•) membentuk sebuah
lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku
pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3 adalah sebagai
berikut:
1. z1+z2∈ℂ dan z1•z2∈ℂ . (sifat tertutup)
2. z1+z2= z2+z1 dan z1•z2= z2•z1 (sifat komutatif)
3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3)
(sifat assosiatif)
4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distribtif)
5. Ada 0=0+i0∈ℂ , sehingga z+0=z (0 elemen netral
penjumlahan)
6
6. Ada 1=1+i0∈ℂ , sehingga z•1=z (1elemen netral
perkalian
7. Untuk setiap z=x+iyℂ, ada –z=–x–iy)
sehingga z+(–z)=0
8. Untuk setiap z=x+iyℂ, ada z-1=sehingga
z•z-1=1.
Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definsi
yang telah diberikan.
7
Contoh soal:
1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2,
buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2)
2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.
z1
tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan z
2
8
Kompleks Sekawan
Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan
kompleks sekawan dari z ditulis z, didefinisikan sebagai
= (x,–y) = x – iy.
Contoh:
sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan
dari 5i adalah –5i.
Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di
dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat
berikut :
9
Teorema 1 :
a. Jika z bilangan kompleks, maka :
1.
zz
2.
z z 2 Re(z)
3.
z z 2 Im(z)
4.
z z Re(z)2 Im(z)2
10
b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :
1. z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
2.
z1 z2 z1 z2
3.
z1 z1
z z
4. 2
2 , dengan z2≠0.
11
Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks
Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y),
merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z
dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat
Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama
untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y
diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks
tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang z. Jika
kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka
terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x+iy =
(x,y) dapat dipandang sebagai vektor z. Arti geometris
dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks
dapat dilihat pada gambar berikut.
12
Im
z(x, y)
z
O
Bidang Argan
Re
13
Im
z1 z2
z1
z2
O
Re
14
Im
z2
z1
Re
O
z2
z1 z2
15
Tugas :
Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i. Gambarkan pada
bidang kompleks (bidang argand), z1, z2, z1+ z2, z1- z2,
z1, z2, z1 z2, z1 z2
16
Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks
Definisi 4 :
Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus
dari z, ditulis z = x+iy = x 2 y2
Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak
dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua
bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah
(x1 x2 )2 (y1 y2 )2
17
Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif,
maka z – z1 = r merupakan lingkaran yang berpusat di
titik z1 dengan jari-jari r.
Bagaimanakah dengan z – z1 < r dan z – z1 > r
Gambarkanlah pada bidang z.
18
Teorema 2 :
A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
z 2 Re(z)2 Im(z)2
2.
zz
3.
z2 zz
4.
z Re(z) Re(z)
z Im(z) Im(z)
5.
19
B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
z1 z2 z1 z2
2.
z1 z1
z2 z2
3.
z1 z2 z1 z2
4.
z1 z2 z1 z2
5.
z1 z2 z1 z2
Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x+iy,
kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B !
20
1. Bukti:
z1 z2 z1 z2
z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2)
(x1x2 y1y2) i(x1y2 x2y1)
(x1x2 y1y2 )2 (x1y2 x2y1)2
x12x22 y12y22 2x1x2y1y2 x12y22 x22y12 2x1x2y1y2
(x12 y12 ) (x22 y22 )
(x12 y12 ) (x22 y22 )
z1 z2
z1 z2 z1 z2
21
2. Bukti:
z1
x1 iy1 x2 iy2
z2 x2 iy2 x2 iy2
x1x 2 y1y 2 x 2y1 x1y 2
i 2
2
2
x 2 y 22
x2 y2
2
2
x1x 2 y1y 2 x 2y1 x1y 2
2
2
2
2
x2 y2 x2 y2
x12x22 y12y22 2x1x2y1y2 x22y12 x12y22 2x1x2y1y2
(x22 y22 )2
(x12 y12 ) (x22 y22 )
(x22 y22 ) (x22 y22 )
x12 y12
z1
terbukti.
2
2
z
2
x2 y2
22
3. Bukti:
z1 z2 z1 z2
0 (x1y2 x2y1)2
0 x12y22 x22y12 2x1x2y1y2
2x1x2y1y2 x12y22 x22y12
x12x22 y12y22 2x1x2y1y2 x12x22 y12y22 x12y22 x22y12
(x1x2 y1y2 )2 (x12 y12 )(x22 y22 )
2(x1x2 y1y2 ) 2 (x12 y12 )(x22 y22 )
x12 2x1x2 x22 y12 2y1y2 y22
x12 y12 2 (x12 y12 )(x22 y22 ) x22 y22
(x1 x2 ) (y1 y2 )
2
2
y12
x12 y12
x12
(x1 x2 )2 (y1 y2 )2
z1 z2 z1 z2
2
2
2
x2 y2
x22 y22
terbukti
23
4. Bukti:
z1 z2 z1 z2
z1 z1 z2 z2
z1 z2 z2
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
24
Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan
Kompleks
Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y),
bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam
bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,).
Im
z (x, y) (r, )
z r
O
Re
25
Adapun hubungan antara keduanya, (x, y)dan (r, )
adalah :
x = r cos , y = r sin,
y
sehingga = arc tan
x
adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz
2
2
r
x
y
z
didapat juga
Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah
z = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis .
dan sekawan dari z adalah = (r, -) = r(cos - i sin ).
26
Definisi 5 :
Pada bilangan kompleks z = (r, ) = r(cos + i sin ),
sudut disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut
dengan 0 < 2 atau - < disebut argument
utama dari z, ditulis = Arg z. Pembatasan untuk sudut
tersebut dipakai salah satu saja.
Definisi 6 :
Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos 1 + i sin 1) dan z2 =
r2(cos 2 + i sin 2) dikatakan sama, jika r1 = r2, dan 1 =
2.
27
Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) =
r(cos + i sin ) = r cis , maka anda dapat menuliskan z
dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei, dan
sekawannya adalah re-i.
Tugas: Buktikan bahwa ei = cos + i sin , dengan
menggunakan deret MacLaurin untuk cos , sin dan et
dengan mengganti t = i.
28
Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk
polar dan eksponen !
29
Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk
polar dan eksponen !
1
4
Jawab :
z = 1 + i, r = 2 , tan 41 = 1, sehingga 41 = 45⁰= 41
Jadi z =
2 (cos + i sin ) =
2 cos =
2
i
4
e
30
Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks
Perkalian dan Pemangkatan
Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam
bentuk kutub adalah z = r(cos + i sin ).
Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2),
maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai
berikut :
z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) +
i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]
31
Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:
arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2
Pertanyaan :
Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan
z z z z … z = zn ?
32
Jika diketahui:
z1 = r1(cos 1 + i sin 1)
z2 = r2(cos 2 + i sin 2)
zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli,
maka secara induksi matematika, diperoleh
rumus
perkalian z1 z2 … zn = r1 r2 …rn[cos (1 + 2+…+n) + i sin (1 +
2+…+n)] .
Akibatnya jika, z = r(cos + i sin ) maka
zn = rn (cos n + i sin n).
. . . . . . . . . .1
Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre
(cos + i sin )n = cos n + i sin n, n asli.
33
Pembagian:
Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai
z1 r1(cos 1 i sin 1)
berikut:
z2 r2(cos 2 i sin 2 )
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan
sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka
z1 r1
z
diperoleh : 2 r2 [cos ( - ) + i sin ( - )]
1
2
1
2
Dari rumus di atas
z1diperoleh:
z2
arg
1-2 = arg z1 – arg z2.
34
Akibat lain jika z = r(cos + i sin ),
maka:
Untuk:
1 1cos() i sin()
z r
1
1
zn rncos n i sin n .
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan
penyebut, maka didapat :
1 1 cos(n) i sin(n)
zn rn
.......2
35
Dari 1 dan 2 diperoleh:
zn rn cos(n) i sin(n,)
Dalil De-Moivre
berlaku untuk semua n bilangan bulat.
36
Contoh:
Hitunglah :
Jawab :
Misalkan
3 i
6
z 3 i,
maka
r z 3 1 2
tan 1
3
o
o
3
i
2
cos
30
i
sin
30
karena z di kuadran IV, maka dipilih
jadi
3 i
6
30o
26 cos 180o i sin 180o
26(1 0)
26
37
Akar Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari
bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis
z
1
.n
w
Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan
kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w diperoleh:
n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r dan
n= +2k , k bulat.
Akibatnya
1
dan
rn
2k
n
Jadi . . .
38
Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks
w = r(cos+i sin) adalah:
z=
1
2k
n
)
r [cos(
n
+ i sin (
2k
)],
n
k bulat dan n bilangan asli.
Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang
memenuhi persamaan itu.
Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);
0 2k < 2, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn
n
sebagai akar ke-n dari z.
39
Contoh :
Hitunglah (-81)1/4
Jawab :
Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian
persamaan z4 = -81.
Tulis z = (cos +i sin) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800),
sehingga 4(cos4 +i sin4) = 81(cos1800+i sin1800),
2k
diperoleh = 81, atau = 3 dan
4.
Jadi z = 3[cos( 2k)+i sin( 2k)]
4
4
4
Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan
mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.
40
Latihan Soal Bab I
1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan
z = (x,y) = x + iy.
2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i.
Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2
3. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0.
4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi
sifat: a. z-1 = z
dan
b. z z
5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks
berlaku : z1. z 2+ z1.z2 = 2Re(z1. z 2)
6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.
41
7.Gambarkan pada diagram argand dan
sebutkan nama kurva yang terjadi :
a. z – 5 = 6 dan z – 5 > 6
b. z + i = z – i
c. 1 < z – i < 3
8.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam
bentuk polar dan eksponen !
9. Hitunglah (-2+2i)15
10.Tentukan himpunan penyelesaian dari : z3- i = 0
42