MATEMATIKA TEKNIK 2 bab 1 Bil
Bab I
BILANGAN DAN PEUBAH KOMPLEKS
Kelengkapan
i. Kompetensi Program Studi
Pada modul ini akan dibahas mengenai bilangan kompleks dan peubah kompleks yang
diharapkan dapat mengacu pada kompetensi Program Studi Teknik Elektro sebagai berikut :
Kompetensi Utama : Kemampuan menerapkan pengetahuan dasar Rangkaian Listrik pada
Sistem Tenaga Listrik, Telekomunikasi serta Kendali, Komputer &
Elektronika
ii. Sasaran Belajar
Mengacu pada kompetensi program studi, yaitu pengetahuan dasar atau fondasi dari ilmu
keteknikan, maka diharapkan mahasiswa mempunyai pengetahuan memadai tentang bilangan
kompleks sebagai dasar untuk mempelajari ilmu teknik elektro.
iii. Sasaran Pembelajaran
Proses pembelajaran pada modul bilangan kompleks diharapkan mahasiswa :
Mengetahui perbedaan dan persamaan antara bilangan nyata dan bilangan kompleks.
Mengetahui peran bilangan kompleks dalam menyatakan besaran-besaran dua dimensi
seperti parameter-parameter kelistrikan (arus, tegangan, impedansi dan lain-lain).
Mengetahui bentuk-bentuk bilangan kompleks serta pernyataan grafis bilagan kompleks.
Mampu mengkonversi bilangan kompleks dari satu bentuk ke bentuk lainnya.
Mampu melakukan aritmetika bilangan kompleks termasuk memangkatkan dan mencari
akar bilangan kompleks.
Mengetahui komplikasi bilangan kompleks dalam bentuk polar, yaitu bahwa bentuk polar
bilangan kompleks berharga banyak (multi-valued).
iv. Strategi/Metode Pembelajaran
Metode pembelajaran untuk modul ini adalah metode ceramah (lecture class), ditambah
dengan pengenalan perangkat lunak Maple dimana para mahasiswa mencoba sendiri penggunaan
1
Maple, baik di laboratorium kompuer atau di kelas dengan menggunakan computer mobile (lap
top).
v. Indikator/Kriteria Penilaian
Keberhasilan sasaran belajar diketahui ketika mahasiswa mengetahui dan mencapai
sasaran pembelajaran yang telah disebutkan pada bagian sasaran pembelajaran
1. Sistem Bilangan Nyata (R)
Sistem bilangan seperti yang kita kenal sekarang adalah hasil dari perkembangan dalam
sejarah matematika yang merupakan bagian dari sejarah kebudayaan umat manusia. Sistem
bilangan berkembang secara bertahap sejak adanya manusia berikut:
1.
Bilangan asli 1, 2, 3, 4,. . , yang disebut juga bilangan bulat positip. Bilangan asli inilah yang
pertama kali digunakan dalam hitung-menghitung. Simbol-simbolnya berubah dengan berubahnya
waktu. Dikenal misalnya symbol bilangan Romawi I, II, III, IV. . ., Jika a dan b adalah bilangan asli,
jumlah a + b dan perkalian a . b, (a) (b) atau ab juga disebut bilangan asli. Untuk alasan ini himpunan
bilangan asli dikatakan tertutup di bawah operasi penjumlahan dan perkalian atau memenuhi sifat
tertutup (closure) terhadap operasi-operasi ini.
2.
Bilangan bulat negatip dan nol, dilambangkan dengan - 1, - 2, - 3. . . dan 0 yang masingmasing muncul untuk memungkinkan solusi dari persamaan x + b = a, dimana a dan b
adalah bilangan asli. Hal ini kemudian tiba pada operasi pengurangan, atau invers dari
penjumlahan, dan kita tulis sebagai x = a – b.
Himpunan bilangan bulat positip, negatip dan nol disebut HIMPUNAN BILANGAN BULAT
yang tertutup di bawah operasi-operasi penjumlahan, perkalian, dan pengurangan.
3.
Bilangan rasional dan pecahan seperti -
3
,4
8
. . . muncul untuk memungkinkan solusi dari
3
persamaan seperti bx = a untuk semua bilangan bulat a dan b di mana b≠0 ini mengarah ke operasi
divisi atau invers perkalian, dan kita tulis sebagai
x = a/b [disebut hasil bagi a dan b] di mana a adalah pembilang dan b adalah penyebut. Himpunan
bilangan bulat adalah bagian atau subset dari bilangan rasional, karena bilangan bulat sesuai dengan
bilangan rasional a / b dimana b = 1. Himpunan bilangan rasional adalah tertutup di bawah operasioperasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, dengan syarat pembagian dengan
nol tidak diperbolehkan.
2
Bilangan irasional seperti
4.
√ 2 =1.41423. . . dan π = 3. 14159. . .adalah bilangan yang
tidak rasional, yang tidak dapat dinyatakan dengan a/b dimana a dan b adalah bilangan bulat
dan b≠0
Himpunan bilangan rasional dan irasional di sebut dengan himpunan bilangan nyata atau ril.
Diasumsikan bahwa mahasiswa sudah mengetahui berbagai operasi pada bilangan nyata.
2. Garis Bilangan Nyata
Bilangan nyata atau ril dapat direpresentasikan dengan titik-titik pada garis yang disebut
sumbu bilangan nyata, lihat Gambar 1.1, dimana titik yang merepresentasikan bilangan nol
disebut titik asal (point of origin dan disimbolkan dengan huruf O).
−2
-
√3
3
2
atau 1,5
3
4
√2
π
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Gbr.1.1
Ada hubungan satu-satu (one to one) antara setiap titik pada garis bilangan dengan
anggota-anggota dari himpunan bilangan nyata. Artinya setiap bilangan nyata anggota himpunan
bilangan nyata diwakili oleh sebuah dan hanya sebuah titik pada garis bilangan nyata.
Jika nilai-nilai x berada dalam selang a < x 0, dan sama dengan –a untuk a < 0 dan sama dengan 0 untuk a = Jarak antara dua titik a
dan b disumbu yang asli adalah |a−b| .
3
3. Sistem Bilangan kompleks (C)
Tidak ada bilangan asli x yang memenuhi persamaan
x 2+1=0 . Agar solusi dari
persamaan itu ada maka diperkenalkanlah sistem bilangan kompleks.
Definisi bilangan kompleks: Sebuah bilangan kompleks z adalah sepasang bilangan nyata
berurutan (a,b). Jadi z = (a,b).
Bilangan kompleks direpresentasikan dengan sebuah bidang datar yang disebut BIDANG
KOMPLEKS. Lihat gambar 1-2. Terdapat hubungan satu-satu (one to one) antara titik-titik pada
bidang kompleks dengan anggota-anggota himpunan bilangan kompleks C dengan catatan hal ini
tidak berlaku jika bilangan-bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk polar (yang akan
dibicarakan nanti).
Dengan sistem koordinat Kartesius yang sudah kita kenal maka bilangan kompleks dapat
dinyatakan dalam bentuk z = a + bi dimana a dan b adalah bilangan asli dan i, yaitu satuan
bilangan imajiner, yang mempunyai kelengkapan i 2=−1 .
Jika z = a + bi , maka bilangan asli a disebut komponen nyata dari z dan b disebut
bagian khayal atau komponen imajiner dari z dan dinotasikan dengan Re
{ z } dan lm { z }
berturut-turut.
Jadi, jika z = a+bi maka:
Re z = a
dan
Im z = b
Simbol z yang menyatakan semua bilangan-bilangan kompleks disebut variabel
kompleks (complex variable).
Sifat-sifat bilangan kompleks:
4
1. Dua bilangan kompleks a + bi dan c + di adalah sama jika dan hanya jika a = c dan
b = d.
2. Kita dapat mengangap bilangan asli sebagai sebuah bagian dari himpunan bilangan
kompleks dengan b = Re z = 0.
3. Jika a = 0 , maka bilangan kompleks z = 0 + bi disebut bilangan imajiner asli atau
Im z = b.
4. Konjugat kompleks atau sekawan kompleks dari sebuah bilangan kompleks a + bi
adalah bilangan kompleks a-bi . Konjuget kompleks dari sebuah bilangan kompleks
z sering diindikasikan oleh ´z atau z* . Jadi:
´z = a - bi
5. z1 + z2 dan z1 z2 adalah anggota C Hukum Tertutup (Closure)
6. z1 + z2 = z2 +z1
Hukum Komutatif Penjumlahaan
7. z1 + (z2 + z3)= (z1+z2)+z3
Hukum Asosiatif Penjumlahaan
8. z1 z2 = z2 z1
Hukum Komutatif Perkalian
9.
Hukum Asosiatif Perkalian
z1 (z2 z3) = (z1z2) z3
10. z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1z3
Hukum Distributif
11. z1 + 0 = 0 + z1 = z1, 1.z1 = z1.1 = z1, 0 adalah elemen identitas berkenaan dengan dari
penjumlahan, dan 1 adalah elemen identitas dari perkalian.
12. Untuk setiap bilangan kompleks z1 dalam C ada bilangan unik z dalam C sedemikian
sehingga z + z1 = 0; z adalah terpilih searah z1 untuk penjumlahan yang ditunjukkan
oleh –z1.
13. Untuk setiap z1 dalam C ada bilangan unik z dalam C sedemikian sehingga z1z = zz1 =
1; z adalah terpilih berlawanan z1 berkenaan dengan perkalian dan ditunjukan
oleh 1/z1.
4. Operasi dasar pada bilangan kompleks
Operasi dengan bilangan kompleks dapat diproses seperti dalam aljabar bilangan –
bilangan asli, dengan mengganti i 2 oleh -1 ketika i 2 terjadi.
5
1.
2.
Penjumlahan
( a+bi ) + ( c +di )=a+bi+c +di=( a+ c )+ ( b+d ) i
Pengurangan
( a+bi )− ( c+ di )=a+ bi−c−di= ( a−c ) + ( b−d ) i
3. Perkalian
( a+bi ) ( c +di )=ac +adi+bci+bd i2 =( ac−bd ) + ( ad +bc ) i
4. Pemangkatan (perkalian sebuah bilangan kompleks dengan dirinya sendiri)
5. Pembagian
2
a+bi a+bi c −di ac −adi+ bci−bd i
=
.
=
2
2 2
c+ di c+ di c −di
c −d i
ac+bd + ( bc−ad ) i ac+ bd bc−ad
¿
= 2 2+ 2 2 i
c 2 +d 2
c +d
c +d
Contoh:
1. Perlihatkanlah bahwa jika z1 dan z2 adalah dua buah bilangan kompleks, maka z1 + z2 = z2
+ z1 dan ruas kiri maupun ruas kanan dari persamaan itu adalah kompleks (sifat komutatif
dan tertutup pada jumlahan).
Penyelesaian:
Karena z1 dan z2 kompleks, maka:
z1 = x1 + y1 i
dan
z2 = x2 + y2 i
z1 + z2 = (x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = (x1 + x2) + i (y1 + y2)
z2 + z1 = (x2 + y2 i) + (x1 + y1 i) = (x2 + x1) + i (y2 + y1)
= (x1 + x2) + I (y1+ y2)
(mengapa?)
Tampak bahwa z1 + z2 serta z2 + z1 adalah kompleks (jelaskan!) dan z1 + z2 = z2 + z1.
Dengan Maple:
6
>
Tampak bahwa z1 + z2 serta z2 + z1 keduanya kompleks dan z1 + z2 = z2 + z1.
Tugas:
Perlihatkanlah berlakunya sifat 7, 8, 9, 10 dan 11 pada bagian 3.
5. Interpretasi Vektor dari Bilangan-bilangan Kompleks
Bentuk bilangan kompleks z = x + iy dapat dipandang vektor OP dengan titik asal O dan
titik akhir P pada bidang kompleks Z. Titik P identik dengan bilangan kompleks tertentu (x,y),
lihat gambar 1.2. Kadang-kadang kita sebut OP = x+iy sebagi vektor posisi dari P. Pada gambar
1-2 tampak pula vektor AB. Kedua vektor OP dan AB ini memiliki panjang sama atau ukuran
dan arahnya sama tetapi titik awalnya berbeda, sehingga OP dan AB. Dengan kata lain kita dapat
menulis OP = AB = x + iy akan tetapi hanya vektor OP yang yang memberikan titik z = (x,y)
yang tepat.
y
B
7
A
P
z = ( x,y)
O
X
Gambar 1.2
Jumlah bilangan kompleks sebagai jumlah jajaran genjang dari jumlahan vektor
Jumlah dari bilangan kompleks berkorespondensi dengan jumlah jajaran genjang dari
jumlah untuk vektor ( lihat gambar. 1-2). Dengan jumlah bilangan kompleks z1 dan z2, yang
diwakili oleh vetor OA dan OB kita melengkapi jajargenjang OACB dimana untuk sudut OA
dan OB berkorespondensi dengan z1 dan z2. Untuk diagonal OC dari jajargenjang
bekorespondensi dengan z1 + z2. Lihat masalah 5.
A
Z1
z2
z1+ z2
Z2
C
z1
B
O
Gambar. 1-2
Contoh:
>
8
Nilai Mutlak
Nilai Mutlak
atau modulus dari sebuah bilangan kompleks
|a+ bi|=√ a2 +b 2 .
a+bi
didefinisikan sebagai
Notasinya adalah mod. Jadi:
mod z = |a+ bi|=√ a2 +b 2 .
Jika bilangan kompleks z dipandang sebagi vektor maka mod z adalah besar atau panjang
atau norm dari vektor z.
Jika
1.
2.
3.
9
z 1 , z 2 , z 3 ,…., z m adalah bilangan kompleks maka akan berlaku:
|z 1 z 2|
||
=
|z 1|| z2|
||
atau
|z 1 z 2 … z m|=|z 1||z 2|…|z m|
z1
z1
=
jika z 2 ≠ 0
z2
z2
atau
|z 1+ z 2|≦| z1|+| z2|
|z 1+ z 2 +…+ z 3|≦|z1|+|z 2|+ …+|z m|
4.
|z 1+ z 2|≧| z1|−|z 2|
atau
|z 1−z 2|≧|z 1|−|z 2|
Contoh:
1. Jika z = -4 + 2i, maka –
2 ¿2
¿
mod z =
4 ¿ 2+ ¿
¿
|−4 +2i|=√ ¿
Dengan menggunakan software Maple maka contoh soal ini dapat diselesaikan sebagai
berikut:
>
Cara lain untuk menentukan modulus dari sebuah bilangan kompleks adalah dengan
menggunakan simbol harga mutlak ││. Lihat contoh berikut ini:
>
Atau dengan menggunakan perintah polar (perintah untuk menampilkan bentuk polar
dari bilangan kompleks), seperti contoh berikut ini:
10
>
Catatan:
Diatas ini juga diperlihatkan 2 cara untuk mendefinisikan (artinya menentukan isi dari
sebuah variable kompleks z) dalam Maple. Cara pertama hanya menggunakan operator
pendefinisian :=. Cara kedua menggunakan pembentuk bilangan kompleks (complex constructor)
Complex. Perhatikan bahwa perintah-perintah dalam Maple adalah case sensitive (huruf kecil
dibedakan dengan huruf besar). Perintah untuk menghitung harga mutlak atau modulus adalah
abs. Bila diinginkan bentuk decimal (floating point) dari hasil dapat ditambahkan perintah evalf.
2. Jika z1 = (4 + 3i), z2 = -5 + 7i dan z3 = -1 – 2i hitunglah z1 + z2 + z3, z1z2z3, z1/z2,
z1.z2/z3, z3/(z1 + z2)
Jawab:
Untuk penyelesaian contoh 2 ini secara hitung tangan (manual) silahkan mahasiswa
mengerjakannya sendiri.
>
11
Diketahui z = 2 – 6.5i. Hitunglah z2 , z11 , √z
Jawab:
z2 = z . z = (2-6.5i) (2-6.5i) = (2x2 – 2x6.5i – 2x6.5i + 6.5x6.5 i2)
= 4 -26i – 42.25 = - 38.25 – 26i
Dengan Maple:
3.
>
4. Perhatikan contoh-contoh perhitungan dengan Maple berikut ini. Carilah informasi mengenai
setiap perintah Maple yang belum Anda ketahui dari fasilitas Help dari Maple. Cara tercepat
untuk memperoleh informasi dalam Maple adalah dengan perintah ?. Misalnya >?seq akan
menampilkan informasi mengenai perintah seq, yaitu perintah untuk menghitung barisan
bilangan.
>
12
Tugas:
1. Jika z1 = (1,1), z2 = (2, -3) dan z3 = (-2, 1) hitunglah z1+z2+z3, z3-z2-z1, z1z2z3,
z1/z2/z3.
2. Hitung pulalah z12.√z2 serta z33
3. Perlihatkanlah berlakunya hukum tertutup untuk penjumlahan, hukum komutatif untuk
penjumlahan serta hukum asosiatif untuk penjumlahan.
6. Penyajian Grafis Dari Bilangan kompleks
Gambar 1-2 memperlihatkan sebuah bidang kompleks z dengan sistem koordinat
Kartesius. Titik-titik P, Q, R, S dan T telah ditentukan dan koordinat setiap titik adalah bilangan
kompleks yang direpresentasikan oleh titik bersangkutan. Titik P misalnya mempunyai koordinat
(3,4) P = (3,4) dan sesuai dengan definisi bilangan kompleks sebagai pasangan bilangan nyata
berurutan maka (3,4) = 3 + 4i adalah bilangan kompleks yang secara grafis direpresentasikan
oleh titik P.
Jarak antar dua bilangan z1= x1+ iy1 dan z2= x2 + iy2 didalam bidang yang kompleks diberi
√ ( x −x ) +( y − y )
2
oleh | z1- z2|=
13
1
2
2
1
2
Bidang Kompleks Z
Y
P(3,4)
4
Q(-3,3)
3
2
T(2,5,0)
1
-4
-3 -2
-1
R(-2.5,-1.5)
0
1
2
3
4
X
1
2
S(2,-2)
3
Gambar. 1-2
Contoh:
1. Plotlah bilangan-bilangan kompleks 2+3i dan -3-4i pada bidang kompleks.
Jawab:
Dengan menggunakan Maple kita dapat dengan mudah menyelesaikan soal contoh ini.
Perhatikan.
>
14
Catatan:
Perintah restart adalah untuk membersihkan memori (agar tidak berisi definisi-definisi
dari session sebelumnya). Perintah with(plots) adalah untuk memanggil rutin-rutin plotting agar
dimuat di memori dan siap untuk digunakan.
2. Plotlah titik-titik z = 3+5i, sekawan (conjugate) z dan –z.
Jawab:
>
15
3. Plotlah titik-titik 1+2I, 3+4I, 5 – I, 7 – 8I.
Jawab:
Kali ini kita gunakan daftar untuk memplot beberapa titik sekaligus.
16
>
>
4. Hitunglah jarak antara bilangan-bilangan kompleks 2+3i dan -3-4i pada bidang
kompleks.
Jawab:
>
17
>
7. Representasi Bilangan Kompleks secara Proyeksi Stereografis
Misalnya P (gambar 1-3) sebuah titik pada bidang kompleks Z yang mewakili bilangan
kompleks z1. Bola Riemann (Riemann’s sphere) adalah bola berjari-jari satu dengan kutub
selatan S berimpit dengan titik asal O dari sistem koordinat Kartesius yang ditetapkan pada Z.
Bila kita tarik garis PN maka garis tersebut akan memotong bola pada titik P’. Maka titik P’
merupakan proyeksi dari titik P pada bola Riemann.
Cara untuk memetakan titik pada bola disebut proyeksi stereografis. Menarik untuk
mengetahui bahwa semua titik pada tak berhingga diproyeksikan ke kutub utara N.
N
PP
P
P’
Z
P
zzzzzzz
SSssss
x
y
zzzzzz
S
Gambar 1-3 Proyeksi Stereografis dengan bola Riemann (Riemann’s sphere).
8. Bentuk Polar dari Bilangan Kompleks
18
Jika P
adalah titik pada bidang kompleks yang sama dengan bilangan kompleks (x, y)
atau x + iy, maka kita lihat dari Gambar. 1-3 bahwa
x=r cos θ
, dan
y=r sin θ
Y
P(x,y)
r
y
�
X’
x
X
O
Y’
Gambar. 1-4
Tampak bahwa
z=x +iy 1
r= √ x 2+ y 2=|x+iy|
adalah nilai modulus atau nilai mutlak dari
[dinotasikan dengan mod z atau
argument (penjelasan) dari
|z|
]; dan
θ , disebut amplituda atau
z=x +iy [dinotasikan dengan arg z]. θ adalah sudut yang dbuiat
oleh garis OP dengan sumbu x positif.
Oleh karena itu,
z=x +iy 1 =r (cos θ+isin θ )
disebut bentuk polar dari bilangan kompleks, r dan θ disebut koordinat polar (kutub). Kadangkadang mudah untuk menulis singkatan cis θ untuk cos θ+i sin θ .
19
Untuk setiap bilangan kompleks z ≠ 0 terdapat hanya satu nilai yang sesuai dengan θ
untuk 0 ≦ � < 2π. Namun, tambahan kelipatan interval lain sebesar 2π, misalnya - π < θ ≦ π,
dapat digunakan. Dalam matematika teknik (engineering mathematics) pada umumnya kita
bekerja pada nilai utama (principal value) dengan θ dalam selang 0 ≦ � < 2π.
Contoh-contoh:
1. Merubah bentuk Kartesius bilangan kompleks 3+4i ke bentuk polar dengan menggunakan
Maple.
>
>
>
>
>
>
>
2. Merubah bilangan kompleks polar 2∠5 ke bentuk Kartesius:
>
20
3. Dengan Maple kita dapat juga memperoleh bentuk polar dari pernyataan seperti z = a + bI.
Perhatikan contoh berikut:
>
Tugas:
1. Ubahlah ke bentuk polar 2 + 7i, -3-5i, -4+4i, 3-2i.
2. Ubahlah ke bentuk Kartesius 1∠30o, 3∠1, 2∠45o, 4∠2,5.
3. Diketahui bilangan-bilangan kompleks sebagai berikut:
a) 5 + 3 i
d) 2
(
b) 3 + 2 i
π
π
cos + i sin
6
6
e) 2
)
2
3
(
-4i
π
π
cos + i sin
4
4
c) 6 i
)
2
f)
+ 3 i - 12
√2
−
.e
π
i
4
Buatlah plottingnya dan nyatakan bilangan-bilangan kompleks di atas dalam bentukbentuk yang lain.
9. Theorema de Moivre
21
Jika z 1=x 1 +iy 1 =r 1 (cos θ1 +i sinθ 1 ) dan z 2=x 2 +iy 2 =r 2 (cos θ 2 +isin θ2 )
menunjukkan bahwa:
z 1 z 2 =r 1 r 2 {cos (θ1 +θ2 )+i sin(θ1 +θ 2 )}
z1 r1
= {cos(θ1 −θ2 )+i sin(θ1 −θ2 )}
z2 r2
(2)
(3)
Berdasarkan (2) dapat diperlihatkan bahwa:
z 1 z 2 . .. . .. z n =r 1 r 2 . .. .. . r n {cos(θ1 +θ2 .. . ..+θ n )+i sin(θ1 +θ2 .. . ..+θ n )}
dan jika
z 1=z 2 =.. . .. .. . .=z n =z ini menjadi
z n={r (cos θ +isin θ )}n =r n (cos nθ+ isin nθ )
Persamaan (5) ini dikenal sebagai Theorema De Moivre
Contoh:
1. Hitung (5 – 3i)5 dengan menggunakan theorema de Moivre.
Penyelesaian:
>
22
(4)
(5)
kita dapat
10. Akar dari Bilangan Kompleks
Sejumlah w disebut akar n dari bilangan kompleks z jika wn=z, dan kita tulis w=z1/n. Dari
theorema De Moivre kita dapat menunjukkan bahwa jika n adalah bilangan bulat positif, maka
z 1/n={r (cos θ+ isin θ )}1/n
{ (
=r 1 /n cos
θ+2 kπ
θ+2 kπ
+i sin
n
n
)
(
)}
(6)
k = 0,1,2, ........, n-1
1/n
Berikut dapat diperlihatkan bahwa ada n nilai yang berbeda untuk z
, dengan kata lain ada
n akar yg berbeda dari z, dengan syarat z ≠ 0.
Contoh:
1. Tentukan harga (1 + i )
8
.
Penyelesaian:
8
Jika z = (1 + i)
berarti: x = 1 ; y = 1 r =
bentuk polar :
23
√2
dan tg = 1 =
π
4
sehingga dalam
√ 2. e
z=
i.
π
4
z
8
=
π8
4
(√2. e )
i.
=
(√ 2)
8
.e
i2
π
= 16 . e
i2
π
= 16 ( cos 2 + i sin 2)
= 16.
Dengan Maple:
>
2. Berapakah akar pangkat 3 dari 8.
Penyelesaian:
Kita pasti telah tahu bahwa akar pangkat 3 dari 8 adalah 2. Itu sudah cukup jika kita menganggap 8
sebagai bilangan real. Tetapi jika kita kita menganggap 8 adalah bilangan komplekkompleks z = 8 + 0 i,
maka berarti :
x = 8 ; y = 0 ; r = 8 dan tg = 0 = 0 ; 2 ; 4 ; 6 . . . . . = 2 n
Jadi:
i 2n
Sebagai bilangan kompleks 8 = 8 . e
π
Jadi akar pangkat 3 dari 8 adalah:
z
1
3
=8
=2
Untuk n = 0 z
Untuk n = 1 z
24
1
3
1
3
1
3
i
.e
2n
3
π
i
=2.e
2n
3
π
(cos 23n π + i sin 23n π )
=2
= 2 (cos 1200 + i sin 1200) = 1 + i
√3
Untuk n = 2 z
Untuk n = 3 z
1
3
1
3
= 2 (cos 2400 + i sin 2400) = 1 i
√3
= sama dengan untuk n = 0 .................... dst.
Jadi ada 3 macam harga
3
√8
2
−1 + i √ 3
−1 − i √3
{ ¿ } { ¿ } ¿ {}
yaitu =
3. Hitunglah z1/4 jika z = -3+3i dengan menggunakan rumus Euler.
Penyelesaian:
>
11. Rumus Euler
Dengan menggunakan deret tak berhingga
e x =1+ x+
x2 x 3
+ +. .. .
2! 3!
elementer dan mensubstitusi x=iθ , kita peroleh
iθ
e =cos θ+i sinθ e=2,71828
25
(7)
dari kalkulus
yang disebut rumus Euler. Dengan menggunakan rumus Euler ini secara sederhana kita
definisikan
ez = e(x + iy) = ex eiy = ex (cos y + i sin y) = ex cos y + i ex sin y
(8)
Dengan demikian bilangan kompleks z dapat dituliskan sebagai berikut ini:
z = r eiθ = r cos + i r sin θ
Jadi sampai sekarang sudah ada 4 cara yang bisa kita gunakan untuk menuliskan bilangan
kompleks z yaitu: z = (x,y) = x + iy = r∠θ = reiθ.
Contoh 1:
Tuliskan -4 + 5i dalam bentuk reiθ dan hitunglah (-4+5i)7.
Penyelesaian:
>
26
Tugas:
1. Tuliskan z1 = -3-3i, z2 = 3ei2, z3 = (5,1) dan z4 = 3∠0,5 dalam 4 bentuk yang berbeda.
2. Hitunglah z1, z2, z3, dan z4 sampai pangkat ke 5 dengan menggunakan rumus Euler.
27
BILANGAN DAN PEUBAH KOMPLEKS
Kelengkapan
i. Kompetensi Program Studi
Pada modul ini akan dibahas mengenai bilangan kompleks dan peubah kompleks yang
diharapkan dapat mengacu pada kompetensi Program Studi Teknik Elektro sebagai berikut :
Kompetensi Utama : Kemampuan menerapkan pengetahuan dasar Rangkaian Listrik pada
Sistem Tenaga Listrik, Telekomunikasi serta Kendali, Komputer &
Elektronika
ii. Sasaran Belajar
Mengacu pada kompetensi program studi, yaitu pengetahuan dasar atau fondasi dari ilmu
keteknikan, maka diharapkan mahasiswa mempunyai pengetahuan memadai tentang bilangan
kompleks sebagai dasar untuk mempelajari ilmu teknik elektro.
iii. Sasaran Pembelajaran
Proses pembelajaran pada modul bilangan kompleks diharapkan mahasiswa :
Mengetahui perbedaan dan persamaan antara bilangan nyata dan bilangan kompleks.
Mengetahui peran bilangan kompleks dalam menyatakan besaran-besaran dua dimensi
seperti parameter-parameter kelistrikan (arus, tegangan, impedansi dan lain-lain).
Mengetahui bentuk-bentuk bilangan kompleks serta pernyataan grafis bilagan kompleks.
Mampu mengkonversi bilangan kompleks dari satu bentuk ke bentuk lainnya.
Mampu melakukan aritmetika bilangan kompleks termasuk memangkatkan dan mencari
akar bilangan kompleks.
Mengetahui komplikasi bilangan kompleks dalam bentuk polar, yaitu bahwa bentuk polar
bilangan kompleks berharga banyak (multi-valued).
iv. Strategi/Metode Pembelajaran
Metode pembelajaran untuk modul ini adalah metode ceramah (lecture class), ditambah
dengan pengenalan perangkat lunak Maple dimana para mahasiswa mencoba sendiri penggunaan
1
Maple, baik di laboratorium kompuer atau di kelas dengan menggunakan computer mobile (lap
top).
v. Indikator/Kriteria Penilaian
Keberhasilan sasaran belajar diketahui ketika mahasiswa mengetahui dan mencapai
sasaran pembelajaran yang telah disebutkan pada bagian sasaran pembelajaran
1. Sistem Bilangan Nyata (R)
Sistem bilangan seperti yang kita kenal sekarang adalah hasil dari perkembangan dalam
sejarah matematika yang merupakan bagian dari sejarah kebudayaan umat manusia. Sistem
bilangan berkembang secara bertahap sejak adanya manusia berikut:
1.
Bilangan asli 1, 2, 3, 4,. . , yang disebut juga bilangan bulat positip. Bilangan asli inilah yang
pertama kali digunakan dalam hitung-menghitung. Simbol-simbolnya berubah dengan berubahnya
waktu. Dikenal misalnya symbol bilangan Romawi I, II, III, IV. . ., Jika a dan b adalah bilangan asli,
jumlah a + b dan perkalian a . b, (a) (b) atau ab juga disebut bilangan asli. Untuk alasan ini himpunan
bilangan asli dikatakan tertutup di bawah operasi penjumlahan dan perkalian atau memenuhi sifat
tertutup (closure) terhadap operasi-operasi ini.
2.
Bilangan bulat negatip dan nol, dilambangkan dengan - 1, - 2, - 3. . . dan 0 yang masingmasing muncul untuk memungkinkan solusi dari persamaan x + b = a, dimana a dan b
adalah bilangan asli. Hal ini kemudian tiba pada operasi pengurangan, atau invers dari
penjumlahan, dan kita tulis sebagai x = a – b.
Himpunan bilangan bulat positip, negatip dan nol disebut HIMPUNAN BILANGAN BULAT
yang tertutup di bawah operasi-operasi penjumlahan, perkalian, dan pengurangan.
3.
Bilangan rasional dan pecahan seperti -
3
,4
8
. . . muncul untuk memungkinkan solusi dari
3
persamaan seperti bx = a untuk semua bilangan bulat a dan b di mana b≠0 ini mengarah ke operasi
divisi atau invers perkalian, dan kita tulis sebagai
x = a/b [disebut hasil bagi a dan b] di mana a adalah pembilang dan b adalah penyebut. Himpunan
bilangan bulat adalah bagian atau subset dari bilangan rasional, karena bilangan bulat sesuai dengan
bilangan rasional a / b dimana b = 1. Himpunan bilangan rasional adalah tertutup di bawah operasioperasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, dengan syarat pembagian dengan
nol tidak diperbolehkan.
2
Bilangan irasional seperti
4.
√ 2 =1.41423. . . dan π = 3. 14159. . .adalah bilangan yang
tidak rasional, yang tidak dapat dinyatakan dengan a/b dimana a dan b adalah bilangan bulat
dan b≠0
Himpunan bilangan rasional dan irasional di sebut dengan himpunan bilangan nyata atau ril.
Diasumsikan bahwa mahasiswa sudah mengetahui berbagai operasi pada bilangan nyata.
2. Garis Bilangan Nyata
Bilangan nyata atau ril dapat direpresentasikan dengan titik-titik pada garis yang disebut
sumbu bilangan nyata, lihat Gambar 1.1, dimana titik yang merepresentasikan bilangan nol
disebut titik asal (point of origin dan disimbolkan dengan huruf O).
−2
-
√3
3
2
atau 1,5
3
4
√2
π
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Gbr.1.1
Ada hubungan satu-satu (one to one) antara setiap titik pada garis bilangan dengan
anggota-anggota dari himpunan bilangan nyata. Artinya setiap bilangan nyata anggota himpunan
bilangan nyata diwakili oleh sebuah dan hanya sebuah titik pada garis bilangan nyata.
Jika nilai-nilai x berada dalam selang a < x 0, dan sama dengan –a untuk a < 0 dan sama dengan 0 untuk a = Jarak antara dua titik a
dan b disumbu yang asli adalah |a−b| .
3
3. Sistem Bilangan kompleks (C)
Tidak ada bilangan asli x yang memenuhi persamaan
x 2+1=0 . Agar solusi dari
persamaan itu ada maka diperkenalkanlah sistem bilangan kompleks.
Definisi bilangan kompleks: Sebuah bilangan kompleks z adalah sepasang bilangan nyata
berurutan (a,b). Jadi z = (a,b).
Bilangan kompleks direpresentasikan dengan sebuah bidang datar yang disebut BIDANG
KOMPLEKS. Lihat gambar 1-2. Terdapat hubungan satu-satu (one to one) antara titik-titik pada
bidang kompleks dengan anggota-anggota himpunan bilangan kompleks C dengan catatan hal ini
tidak berlaku jika bilangan-bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk polar (yang akan
dibicarakan nanti).
Dengan sistem koordinat Kartesius yang sudah kita kenal maka bilangan kompleks dapat
dinyatakan dalam bentuk z = a + bi dimana a dan b adalah bilangan asli dan i, yaitu satuan
bilangan imajiner, yang mempunyai kelengkapan i 2=−1 .
Jika z = a + bi , maka bilangan asli a disebut komponen nyata dari z dan b disebut
bagian khayal atau komponen imajiner dari z dan dinotasikan dengan Re
{ z } dan lm { z }
berturut-turut.
Jadi, jika z = a+bi maka:
Re z = a
dan
Im z = b
Simbol z yang menyatakan semua bilangan-bilangan kompleks disebut variabel
kompleks (complex variable).
Sifat-sifat bilangan kompleks:
4
1. Dua bilangan kompleks a + bi dan c + di adalah sama jika dan hanya jika a = c dan
b = d.
2. Kita dapat mengangap bilangan asli sebagai sebuah bagian dari himpunan bilangan
kompleks dengan b = Re z = 0.
3. Jika a = 0 , maka bilangan kompleks z = 0 + bi disebut bilangan imajiner asli atau
Im z = b.
4. Konjugat kompleks atau sekawan kompleks dari sebuah bilangan kompleks a + bi
adalah bilangan kompleks a-bi . Konjuget kompleks dari sebuah bilangan kompleks
z sering diindikasikan oleh ´z atau z* . Jadi:
´z = a - bi
5. z1 + z2 dan z1 z2 adalah anggota C Hukum Tertutup (Closure)
6. z1 + z2 = z2 +z1
Hukum Komutatif Penjumlahaan
7. z1 + (z2 + z3)= (z1+z2)+z3
Hukum Asosiatif Penjumlahaan
8. z1 z2 = z2 z1
Hukum Komutatif Perkalian
9.
Hukum Asosiatif Perkalian
z1 (z2 z3) = (z1z2) z3
10. z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1z3
Hukum Distributif
11. z1 + 0 = 0 + z1 = z1, 1.z1 = z1.1 = z1, 0 adalah elemen identitas berkenaan dengan dari
penjumlahan, dan 1 adalah elemen identitas dari perkalian.
12. Untuk setiap bilangan kompleks z1 dalam C ada bilangan unik z dalam C sedemikian
sehingga z + z1 = 0; z adalah terpilih searah z1 untuk penjumlahan yang ditunjukkan
oleh –z1.
13. Untuk setiap z1 dalam C ada bilangan unik z dalam C sedemikian sehingga z1z = zz1 =
1; z adalah terpilih berlawanan z1 berkenaan dengan perkalian dan ditunjukan
oleh 1/z1.
4. Operasi dasar pada bilangan kompleks
Operasi dengan bilangan kompleks dapat diproses seperti dalam aljabar bilangan –
bilangan asli, dengan mengganti i 2 oleh -1 ketika i 2 terjadi.
5
1.
2.
Penjumlahan
( a+bi ) + ( c +di )=a+bi+c +di=( a+ c )+ ( b+d ) i
Pengurangan
( a+bi )− ( c+ di )=a+ bi−c−di= ( a−c ) + ( b−d ) i
3. Perkalian
( a+bi ) ( c +di )=ac +adi+bci+bd i2 =( ac−bd ) + ( ad +bc ) i
4. Pemangkatan (perkalian sebuah bilangan kompleks dengan dirinya sendiri)
5. Pembagian
2
a+bi a+bi c −di ac −adi+ bci−bd i
=
.
=
2
2 2
c+ di c+ di c −di
c −d i
ac+bd + ( bc−ad ) i ac+ bd bc−ad
¿
= 2 2+ 2 2 i
c 2 +d 2
c +d
c +d
Contoh:
1. Perlihatkanlah bahwa jika z1 dan z2 adalah dua buah bilangan kompleks, maka z1 + z2 = z2
+ z1 dan ruas kiri maupun ruas kanan dari persamaan itu adalah kompleks (sifat komutatif
dan tertutup pada jumlahan).
Penyelesaian:
Karena z1 dan z2 kompleks, maka:
z1 = x1 + y1 i
dan
z2 = x2 + y2 i
z1 + z2 = (x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = (x1 + x2) + i (y1 + y2)
z2 + z1 = (x2 + y2 i) + (x1 + y1 i) = (x2 + x1) + i (y2 + y1)
= (x1 + x2) + I (y1+ y2)
(mengapa?)
Tampak bahwa z1 + z2 serta z2 + z1 adalah kompleks (jelaskan!) dan z1 + z2 = z2 + z1.
Dengan Maple:
6
>
Tampak bahwa z1 + z2 serta z2 + z1 keduanya kompleks dan z1 + z2 = z2 + z1.
Tugas:
Perlihatkanlah berlakunya sifat 7, 8, 9, 10 dan 11 pada bagian 3.
5. Interpretasi Vektor dari Bilangan-bilangan Kompleks
Bentuk bilangan kompleks z = x + iy dapat dipandang vektor OP dengan titik asal O dan
titik akhir P pada bidang kompleks Z. Titik P identik dengan bilangan kompleks tertentu (x,y),
lihat gambar 1.2. Kadang-kadang kita sebut OP = x+iy sebagi vektor posisi dari P. Pada gambar
1-2 tampak pula vektor AB. Kedua vektor OP dan AB ini memiliki panjang sama atau ukuran
dan arahnya sama tetapi titik awalnya berbeda, sehingga OP dan AB. Dengan kata lain kita dapat
menulis OP = AB = x + iy akan tetapi hanya vektor OP yang yang memberikan titik z = (x,y)
yang tepat.
y
B
7
A
P
z = ( x,y)
O
X
Gambar 1.2
Jumlah bilangan kompleks sebagai jumlah jajaran genjang dari jumlahan vektor
Jumlah dari bilangan kompleks berkorespondensi dengan jumlah jajaran genjang dari
jumlah untuk vektor ( lihat gambar. 1-2). Dengan jumlah bilangan kompleks z1 dan z2, yang
diwakili oleh vetor OA dan OB kita melengkapi jajargenjang OACB dimana untuk sudut OA
dan OB berkorespondensi dengan z1 dan z2. Untuk diagonal OC dari jajargenjang
bekorespondensi dengan z1 + z2. Lihat masalah 5.
A
Z1
z2
z1+ z2
Z2
C
z1
B
O
Gambar. 1-2
Contoh:
>
8
Nilai Mutlak
Nilai Mutlak
atau modulus dari sebuah bilangan kompleks
|a+ bi|=√ a2 +b 2 .
a+bi
didefinisikan sebagai
Notasinya adalah mod. Jadi:
mod z = |a+ bi|=√ a2 +b 2 .
Jika bilangan kompleks z dipandang sebagi vektor maka mod z adalah besar atau panjang
atau norm dari vektor z.
Jika
1.
2.
3.
9
z 1 , z 2 , z 3 ,…., z m adalah bilangan kompleks maka akan berlaku:
|z 1 z 2|
||
=
|z 1|| z2|
||
atau
|z 1 z 2 … z m|=|z 1||z 2|…|z m|
z1
z1
=
jika z 2 ≠ 0
z2
z2
atau
|z 1+ z 2|≦| z1|+| z2|
|z 1+ z 2 +…+ z 3|≦|z1|+|z 2|+ …+|z m|
4.
|z 1+ z 2|≧| z1|−|z 2|
atau
|z 1−z 2|≧|z 1|−|z 2|
Contoh:
1. Jika z = -4 + 2i, maka –
2 ¿2
¿
mod z =
4 ¿ 2+ ¿
¿
|−4 +2i|=√ ¿
Dengan menggunakan software Maple maka contoh soal ini dapat diselesaikan sebagai
berikut:
>
Cara lain untuk menentukan modulus dari sebuah bilangan kompleks adalah dengan
menggunakan simbol harga mutlak ││. Lihat contoh berikut ini:
>
Atau dengan menggunakan perintah polar (perintah untuk menampilkan bentuk polar
dari bilangan kompleks), seperti contoh berikut ini:
10
>
Catatan:
Diatas ini juga diperlihatkan 2 cara untuk mendefinisikan (artinya menentukan isi dari
sebuah variable kompleks z) dalam Maple. Cara pertama hanya menggunakan operator
pendefinisian :=. Cara kedua menggunakan pembentuk bilangan kompleks (complex constructor)
Complex. Perhatikan bahwa perintah-perintah dalam Maple adalah case sensitive (huruf kecil
dibedakan dengan huruf besar). Perintah untuk menghitung harga mutlak atau modulus adalah
abs. Bila diinginkan bentuk decimal (floating point) dari hasil dapat ditambahkan perintah evalf.
2. Jika z1 = (4 + 3i), z2 = -5 + 7i dan z3 = -1 – 2i hitunglah z1 + z2 + z3, z1z2z3, z1/z2,
z1.z2/z3, z3/(z1 + z2)
Jawab:
Untuk penyelesaian contoh 2 ini secara hitung tangan (manual) silahkan mahasiswa
mengerjakannya sendiri.
>
11
Diketahui z = 2 – 6.5i. Hitunglah z2 , z11 , √z
Jawab:
z2 = z . z = (2-6.5i) (2-6.5i) = (2x2 – 2x6.5i – 2x6.5i + 6.5x6.5 i2)
= 4 -26i – 42.25 = - 38.25 – 26i
Dengan Maple:
3.
>
4. Perhatikan contoh-contoh perhitungan dengan Maple berikut ini. Carilah informasi mengenai
setiap perintah Maple yang belum Anda ketahui dari fasilitas Help dari Maple. Cara tercepat
untuk memperoleh informasi dalam Maple adalah dengan perintah ?. Misalnya >?seq akan
menampilkan informasi mengenai perintah seq, yaitu perintah untuk menghitung barisan
bilangan.
>
12
Tugas:
1. Jika z1 = (1,1), z2 = (2, -3) dan z3 = (-2, 1) hitunglah z1+z2+z3, z3-z2-z1, z1z2z3,
z1/z2/z3.
2. Hitung pulalah z12.√z2 serta z33
3. Perlihatkanlah berlakunya hukum tertutup untuk penjumlahan, hukum komutatif untuk
penjumlahan serta hukum asosiatif untuk penjumlahan.
6. Penyajian Grafis Dari Bilangan kompleks
Gambar 1-2 memperlihatkan sebuah bidang kompleks z dengan sistem koordinat
Kartesius. Titik-titik P, Q, R, S dan T telah ditentukan dan koordinat setiap titik adalah bilangan
kompleks yang direpresentasikan oleh titik bersangkutan. Titik P misalnya mempunyai koordinat
(3,4) P = (3,4) dan sesuai dengan definisi bilangan kompleks sebagai pasangan bilangan nyata
berurutan maka (3,4) = 3 + 4i adalah bilangan kompleks yang secara grafis direpresentasikan
oleh titik P.
Jarak antar dua bilangan z1= x1+ iy1 dan z2= x2 + iy2 didalam bidang yang kompleks diberi
√ ( x −x ) +( y − y )
2
oleh | z1- z2|=
13
1
2
2
1
2
Bidang Kompleks Z
Y
P(3,4)
4
Q(-3,3)
3
2
T(2,5,0)
1
-4
-3 -2
-1
R(-2.5,-1.5)
0
1
2
3
4
X
1
2
S(2,-2)
3
Gambar. 1-2
Contoh:
1. Plotlah bilangan-bilangan kompleks 2+3i dan -3-4i pada bidang kompleks.
Jawab:
Dengan menggunakan Maple kita dapat dengan mudah menyelesaikan soal contoh ini.
Perhatikan.
>
14
Catatan:
Perintah restart adalah untuk membersihkan memori (agar tidak berisi definisi-definisi
dari session sebelumnya). Perintah with(plots) adalah untuk memanggil rutin-rutin plotting agar
dimuat di memori dan siap untuk digunakan.
2. Plotlah titik-titik z = 3+5i, sekawan (conjugate) z dan –z.
Jawab:
>
15
3. Plotlah titik-titik 1+2I, 3+4I, 5 – I, 7 – 8I.
Jawab:
Kali ini kita gunakan daftar untuk memplot beberapa titik sekaligus.
16
>
>
4. Hitunglah jarak antara bilangan-bilangan kompleks 2+3i dan -3-4i pada bidang
kompleks.
Jawab:
>
17
>
7. Representasi Bilangan Kompleks secara Proyeksi Stereografis
Misalnya P (gambar 1-3) sebuah titik pada bidang kompleks Z yang mewakili bilangan
kompleks z1. Bola Riemann (Riemann’s sphere) adalah bola berjari-jari satu dengan kutub
selatan S berimpit dengan titik asal O dari sistem koordinat Kartesius yang ditetapkan pada Z.
Bila kita tarik garis PN maka garis tersebut akan memotong bola pada titik P’. Maka titik P’
merupakan proyeksi dari titik P pada bola Riemann.
Cara untuk memetakan titik pada bola disebut proyeksi stereografis. Menarik untuk
mengetahui bahwa semua titik pada tak berhingga diproyeksikan ke kutub utara N.
N
PP
P
P’
Z
P
zzzzzzz
SSssss
x
y
zzzzzz
S
Gambar 1-3 Proyeksi Stereografis dengan bola Riemann (Riemann’s sphere).
8. Bentuk Polar dari Bilangan Kompleks
18
Jika P
adalah titik pada bidang kompleks yang sama dengan bilangan kompleks (x, y)
atau x + iy, maka kita lihat dari Gambar. 1-3 bahwa
x=r cos θ
, dan
y=r sin θ
Y
P(x,y)
r
y
�
X’
x
X
O
Y’
Gambar. 1-4
Tampak bahwa
z=x +iy 1
r= √ x 2+ y 2=|x+iy|
adalah nilai modulus atau nilai mutlak dari
[dinotasikan dengan mod z atau
argument (penjelasan) dari
|z|
]; dan
θ , disebut amplituda atau
z=x +iy [dinotasikan dengan arg z]. θ adalah sudut yang dbuiat
oleh garis OP dengan sumbu x positif.
Oleh karena itu,
z=x +iy 1 =r (cos θ+isin θ )
disebut bentuk polar dari bilangan kompleks, r dan θ disebut koordinat polar (kutub). Kadangkadang mudah untuk menulis singkatan cis θ untuk cos θ+i sin θ .
19
Untuk setiap bilangan kompleks z ≠ 0 terdapat hanya satu nilai yang sesuai dengan θ
untuk 0 ≦ � < 2π. Namun, tambahan kelipatan interval lain sebesar 2π, misalnya - π < θ ≦ π,
dapat digunakan. Dalam matematika teknik (engineering mathematics) pada umumnya kita
bekerja pada nilai utama (principal value) dengan θ dalam selang 0 ≦ � < 2π.
Contoh-contoh:
1. Merubah bentuk Kartesius bilangan kompleks 3+4i ke bentuk polar dengan menggunakan
Maple.
>
>
>
>
>
>
>
2. Merubah bilangan kompleks polar 2∠5 ke bentuk Kartesius:
>
20
3. Dengan Maple kita dapat juga memperoleh bentuk polar dari pernyataan seperti z = a + bI.
Perhatikan contoh berikut:
>
Tugas:
1. Ubahlah ke bentuk polar 2 + 7i, -3-5i, -4+4i, 3-2i.
2. Ubahlah ke bentuk Kartesius 1∠30o, 3∠1, 2∠45o, 4∠2,5.
3. Diketahui bilangan-bilangan kompleks sebagai berikut:
a) 5 + 3 i
d) 2
(
b) 3 + 2 i
π
π
cos + i sin
6
6
e) 2
)
2
3
(
-4i
π
π
cos + i sin
4
4
c) 6 i
)
2
f)
+ 3 i - 12
√2
−
.e
π
i
4
Buatlah plottingnya dan nyatakan bilangan-bilangan kompleks di atas dalam bentukbentuk yang lain.
9. Theorema de Moivre
21
Jika z 1=x 1 +iy 1 =r 1 (cos θ1 +i sinθ 1 ) dan z 2=x 2 +iy 2 =r 2 (cos θ 2 +isin θ2 )
menunjukkan bahwa:
z 1 z 2 =r 1 r 2 {cos (θ1 +θ2 )+i sin(θ1 +θ 2 )}
z1 r1
= {cos(θ1 −θ2 )+i sin(θ1 −θ2 )}
z2 r2
(2)
(3)
Berdasarkan (2) dapat diperlihatkan bahwa:
z 1 z 2 . .. . .. z n =r 1 r 2 . .. .. . r n {cos(θ1 +θ2 .. . ..+θ n )+i sin(θ1 +θ2 .. . ..+θ n )}
dan jika
z 1=z 2 =.. . .. .. . .=z n =z ini menjadi
z n={r (cos θ +isin θ )}n =r n (cos nθ+ isin nθ )
Persamaan (5) ini dikenal sebagai Theorema De Moivre
Contoh:
1. Hitung (5 – 3i)5 dengan menggunakan theorema de Moivre.
Penyelesaian:
>
22
(4)
(5)
kita dapat
10. Akar dari Bilangan Kompleks
Sejumlah w disebut akar n dari bilangan kompleks z jika wn=z, dan kita tulis w=z1/n. Dari
theorema De Moivre kita dapat menunjukkan bahwa jika n adalah bilangan bulat positif, maka
z 1/n={r (cos θ+ isin θ )}1/n
{ (
=r 1 /n cos
θ+2 kπ
θ+2 kπ
+i sin
n
n
)
(
)}
(6)
k = 0,1,2, ........, n-1
1/n
Berikut dapat diperlihatkan bahwa ada n nilai yang berbeda untuk z
, dengan kata lain ada
n akar yg berbeda dari z, dengan syarat z ≠ 0.
Contoh:
1. Tentukan harga (1 + i )
8
.
Penyelesaian:
8
Jika z = (1 + i)
berarti: x = 1 ; y = 1 r =
bentuk polar :
23
√2
dan tg = 1 =
π
4
sehingga dalam
√ 2. e
z=
i.
π
4
z
8
=
π8
4
(√2. e )
i.
=
(√ 2)
8
.e
i2
π
= 16 . e
i2
π
= 16 ( cos 2 + i sin 2)
= 16.
Dengan Maple:
>
2. Berapakah akar pangkat 3 dari 8.
Penyelesaian:
Kita pasti telah tahu bahwa akar pangkat 3 dari 8 adalah 2. Itu sudah cukup jika kita menganggap 8
sebagai bilangan real. Tetapi jika kita kita menganggap 8 adalah bilangan komplekkompleks z = 8 + 0 i,
maka berarti :
x = 8 ; y = 0 ; r = 8 dan tg = 0 = 0 ; 2 ; 4 ; 6 . . . . . = 2 n
Jadi:
i 2n
Sebagai bilangan kompleks 8 = 8 . e
π
Jadi akar pangkat 3 dari 8 adalah:
z
1
3
=8
=2
Untuk n = 0 z
Untuk n = 1 z
24
1
3
1
3
1
3
i
.e
2n
3
π
i
=2.e
2n
3
π
(cos 23n π + i sin 23n π )
=2
= 2 (cos 1200 + i sin 1200) = 1 + i
√3
Untuk n = 2 z
Untuk n = 3 z
1
3
1
3
= 2 (cos 2400 + i sin 2400) = 1 i
√3
= sama dengan untuk n = 0 .................... dst.
Jadi ada 3 macam harga
3
√8
2
−1 + i √ 3
−1 − i √3
{ ¿ } { ¿ } ¿ {}
yaitu =
3. Hitunglah z1/4 jika z = -3+3i dengan menggunakan rumus Euler.
Penyelesaian:
>
11. Rumus Euler
Dengan menggunakan deret tak berhingga
e x =1+ x+
x2 x 3
+ +. .. .
2! 3!
elementer dan mensubstitusi x=iθ , kita peroleh
iθ
e =cos θ+i sinθ e=2,71828
25
(7)
dari kalkulus
yang disebut rumus Euler. Dengan menggunakan rumus Euler ini secara sederhana kita
definisikan
ez = e(x + iy) = ex eiy = ex (cos y + i sin y) = ex cos y + i ex sin y
(8)
Dengan demikian bilangan kompleks z dapat dituliskan sebagai berikut ini:
z = r eiθ = r cos + i r sin θ
Jadi sampai sekarang sudah ada 4 cara yang bisa kita gunakan untuk menuliskan bilangan
kompleks z yaitu: z = (x,y) = x + iy = r∠θ = reiθ.
Contoh 1:
Tuliskan -4 + 5i dalam bentuk reiθ dan hitunglah (-4+5i)7.
Penyelesaian:
>
26
Tugas:
1. Tuliskan z1 = -3-3i, z2 = 3ei2, z3 = (5,1) dan z4 = 3∠0,5 dalam 4 bentuk yang berbeda.
2. Hitunglah z1, z2, z3, dan z4 sampai pangkat ke 5 dengan menggunakan rumus Euler.
27