ke-n barisan tersebut adalah
2 1
n n
U
n
dengan n { 1, 2, 3, 4, 5,
… }. Pendefinisian seperti ini dinamakan dengan definisi eksplisit. Cara lain untuk mendefinisikan barisan bilangan adalah dengan definisi rekursif.
Contoh: diberikan barisan bilangan dengan definisi rekursif sebagai berikut, U
1
= 3 U
n
= 2U
n-1
+ 1, n 1 Suku-suku berikutnya dapat dicari dengan cara :
U
2
= 2.U
1
+ 1 = 2.3 + 1 = 7 U
3
= 2.U
2
+ 1 = 2.7 + 1 = 15 U
4
= 2.U
3
+ 1 = 2.15 + 1 = 31 dan seterusnya.
Sebuah definisi rekursif memuat dua bagian, pertama adalah kondisi awal untuk memulai barisan dan yang kedua adalah sebuah persamaan rekursif rumus
rekursif untuk menentukan hubungan antara setiap suku barisan dengan suku berikutnya. Definisi rekursif ini banyak dipakai dalam aplikasi-aplikasi komputer.
2. Menentukan Rumus Suku ke-n Suatu Barisan
Jika suatu barisan diberikan beberapa suku pertama, kadang-kadang bisa ditentukan rumus untuk suku ke-n.
Contoh : Tentukan rumus suku ke-n barisan berikut
a. 1, 3, 5, 7, … b. 3, 9, 27, 81, …
9
Jawab : a.
U
1
= 1 = 2.1 1
b. U
1
= 3 = 3
1
U
2
= 3 = 2.2 1
U
2
= 9 = 3
2
U
3
= 5 = 2.3 1
U
3
= 27 = 3
3
U
4
= 7 = 2.4 1
U
4
= 81 = 3
4
….. …..
U
n
= 2.n
1 U
n
= 3
n
Perlu diperhatikan juga bahwa jawaban rumus suku ke-n tidak selalu tunggal, sebagai contoh barisan berikut.
2, 4, 8, … Terlihat sekilas bahwa rumus suku ke-n barisan di atas adalah U
n
= 2
n
. Akan tetapi ternyata rumus U
n
= n
2
– n + 2, juga sesuai untuk barisan diatas. Tidak semua barisan dapat ditentukan rumus untuk suku ke-n. Sebagai contoh
adalah barisan bilangan prima. Bilangan prima ke 100 bisa dicari, tetapi tidak ada rumus umum untuk menghasilkan bilangan prima ke-n.
Latihan 3 1. Carilah 4 suku pertama dan suku ke sepuluh dari barisan bilangan dengan
rumus umum berikut. a. U
n
3n + 1 d.
1 n
n U
n
b.
n 1
U
n n
e.
1 n
2 1
n
U
c. U
n
n – 1n – 2n – 3
10
2. Untuk setiap barisan bilangan berikut tentukan rumus untuk suku ke n.
a. 2, 4, 6, 8, 10, … b. 1, 2, 3, 4, 5, …
c. 2, 1, 4, 7, 10, …
d.
... ,
4 x
, 3
x ,
2 x
x,
4 3
2
e. 15, 5, 5, 15, …
f. 1, 2, 4, 8, 16, … g.
... 1,
, 2
2, ,
2 2
, 4
h. 2, 4, 8, 16, …
i. 2, 6, 12, 20, … 3. Carilah lima suku pertama dari barisan dengan definisi rekursif berikut.
a. U
1
2 U
n
3U
n-1
– 1, untuk n 1 b. U
1
3
2 U
2 1
U
1 n
n n
, untuk n 1 4. Carilah definisi rekursif untuk barisan bilangan berikut.
a. 9, 13, 17, 21, … b. 1, 3, 7, 15, 31, …
c. 81, 27, 9, 3, … d. 1, 3, 6, 10, 15, 21, …
3. Deret Bilangan
11
Konsep tentang deret bilangan telah dikenal sejak abad ke-5 sebelum Masehi yang dikenal dengan nama paradoks Zeno. Dalam paradoks tersebut
dikisahkan Achilles berpacu dengan kura-kura. Karena kecepatan Achilles 12 kali kecepatan kura-kura maka waktu start kura-kura diletakkan di depan
Achilles sejauh 1 stadion suatu ukuran jarak pada masa itu, kira-kira 200 yard. Untuk dapat melampaui kura-kura maka Achilles harus menempuh jarak 1
stadion terlebih dahulu tempat kura-kura semula. Pada saat yang bersamaan kura-kura telah merangkak maju sejauh
12 1
stadion. Saat Achilles menempuh
jarak
12 1
stadion, kura-kura telah bergerak maju
2
12 1
stadion. Berikutnya saat
Achilles menempuh jarak
2
12 1
stadion, kura-kura telah bergerak maju sejauh
3
12 1
stadion. Begitu seterusnya proses ini berulang-ulang sampai tak hingga sehingga disimpulkan bahwa Achilles tidak mungkin melampaui kura-kura.
Kalau dituliskan maka jarak yang ditempuh oleh Achilles adalah 1 +
12 1
+
2
12 1
+
3
12 1
+ … …………………… 5
Tanda titik-titik ini menunjukkan bahwa pola tersebut berulang untuk setiap
bentuk
k
12 1
selalu diikuti oleh bentuk
1 k
12 1
.
Bentuk penjumlahan pada 5 dalam matematika dikenal sebagai deret bilangan atau dengan kata lain deret bilangan adalah penjumlahan dari barisan bilangan.
12
Jika S
n
melambangkan jumlah dari n suku pertama suatu barisan bilangan maka S
n
dapat dinyatakan dalam dua cara yaitu : - Definisi eksplisit untuk S
n
: S
n
= U
1
+ U
2
+ U
3
+ … + U
n
- Definisi rekursif untuk S
n
S
1
= U
1
S
n
= S
n-1
+ U
n
untuk n 1 Dari sini diperoleh hubungan U
n
S
n
S
n 1
untuk n 1 Contoh:
1. Jumlah n suku pertama suatu deret adalah S
n
2
n
1, tentukan U
1
, U
2
, U
3
, U
4
dan U
5
. Jawab:
U
1
S
1
2
1
1 2 1 1 U
2
S
2
S
1
2
2
1 2
1
1 3 1 2 U
3
S
3
S
2
2
3
1 2
2
1 7 3 4 U
4
S
4
S
3
2
4
1 2
3
1 15 7 8 U
5
S
5
S
4
2
5
1 2
4
1 31 15 16 2. Hitung jumlah 5 suku pertama dari setiap deret bilangan jika diketahui rumus
suku ke n berikut.
a. U
n
2n + 3 b. U
n
n
2
+ 2 c. U
n
log 10
n
Jawab: 13
a. S
5
2.1 + 3 + 2.2 + 3 + 2.3 + 3 + 2.4 + 3 + 2.5 + 3 5 + 7 + 9 + 11 + 13 45
b. S
5
1
2
+ 2 + 2
2
+ 2 + 3
2
+ 2 + 4
2
+ 2 + 5
2
+ 2 3 + 6 + 11 + 18 + 27 65
c. S
5
log 10
1
+ log 10
2
+ log 10
3
+ log 10
4
+ log 10
5
1 + 2 + 3 + 4 + 5 15 Cara lain untuk menentukan jumlah n suku pertama deret adalah dengan
mencari pola dari barisan S
1
, S
2
, S
3
, S
4
, …, S
n
. Sebagai contoh pada contoh 2a di atas,
S
1
5 5
1.5 1.1 + 4 S
2
5 + 7 12 2.6 2.2 + 4
S
3
5 + 7 + 9 21 3.7 3.3 + 4
S
4
5 + 7 + 9 + 11 32 4.8 4.4 + 4
…. S
n
nn+4 Latihan 4
1. Tentukan bentuk umum jumlah n suku pertama dari setiap deret bilangan berikut.
a. 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + … b. 4 + 8 + 16 + 32 + …
14
c. – 5 – 3 – 1 + 1 + 3 + … d. 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + …
e. 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + … 2. Tulislah tiga suku pertama dan suku ke sepuluh dari setiap deret bilangan
berikut. a. S
n
n
2
+ 2n b. S
n
n
3
– 2
C. Barisan dan Deret Aritmetika 1. Barisan Aritmetika
