Suku ke-n Barisan Aritmetika Deret Aritmetika

c. – 5 – 3 – 1 + 1 + 3 + … d. 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + … e. 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + … 2. Tulislah tiga suku pertama dan suku ke sepuluh dari setiap deret bilangan berikut. a. S n  n 2 + 2n b. S n  n 3 – 2

C. Barisan dan Deret Aritmetika 1. Barisan Aritmetika

Misalkan U n menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan itu disebut barisan aritmetika jika U n  U n 1 selalu tetap untuk setiap n. U n  U n 1 yang selalu tetap ini dinamakan beda dan dilambangkan dengan b. Jadi : Contoh : 2, 6, 10, 14, … beda = 6  2 = 10  6 = 14 – 10 = 4 10, 3, -4, -11, … beda = 3 – 10 = 4  3 = 11  4 = 7

2. Suku ke-n Barisan Aritmetika

Misalkan a adalah suku pertama barisan aritmetika, b adalah beda dan U n adalah suku ke-n, U n  U n 1 = b  U n = U n 1 + b U 2 = U 1 + b = a + b = a + 1b U 3 = U 2 + b = a + b + b = a + 2b 15 b = U n  U n-1 U 4 = U 3 + b = a + 2b + b = a + 3b U 5 = U 4 + b = a + 3b + b = a + 4b U 6 = U 5 + b = a + 4b + b = a + 5b ……… sehingga U n = a + n 1b Nama barisan aritmetika diberikan karena setiap suku kecuali suku pertama dari barisan ini merupakan rata-rata aritmetik dari suku sebelum dan sesudahnya. Dengan kata lain untuk setiap U k , dengan k ≥ 2 berlaku 2 U U U 1 k 1 k k     .

3. Deret Aritmetika

Rumus untuk menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika dibuat berdasarkan metode yang dipakai oleh matematikawan Carl Friedrich Gauss 1777 1855 ketika ia masih kecil. Dikisahkan suatu ketika salah satu guru Gauss menyuruh murid muridnya untuk menghitung jumlah 100 bilangan asli yang pertama, atau 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100. Murid murid yang lain di kelas memulai dengan menjumlah bilangan satu per satu, tetapi Gauss menemukan metode yang sangat cepat. Ia menuliskan jumlahan dua kali, salah satunya dengan urutan yang dibalik kemudian dijumlahkan secara vertikal. 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 100 + 99 + 98 + … + 2 + 1 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 16 + Dari jumlahan ini diperoleh 100 suku yang masing masing bernilai 101, sehingga 1 + 2 + 3 + … + 100  2 101 100   5050. Jika a adalah suku pertama deret aritmetika, U n suku ke-n, S n jumlah n suku pertama dan b = beda maka rumus untuk jumlah n suku pertama deret aritmetika bisa dicari dengan cara sebagai berikut. S n  a + a+b + a+2b + …. + U n -2b + U n -b + U n S n  U n + U n -b + U n -2b + ….. + a+2b + a+b + a 2S n  a+U n + a+U n + a+U n +… + a+U n + a+U n n suku 2S n  na + U n 2 U na S n n   karena U n  a + n – 1b maka   2 1b - n 2a n S n   Contoh: 1. Tentukan suku ke 20 barisan bilangan berikut : a. 2, 5, 8, 11, … b. 9, 6, 3, 0, … Jawab : a. b  5  2  8  5  11  8  3 a  2 U n  a + n1b 17 U 20  2 + 2013  2 + 19.3  63 b. b  6  9  3  6  0  3  3 a  9 U n  a + n1b U 20  9 + 201.-3  9 + 193  9  57  48 2. Suku ke 10 suatu barisan aritmetika adalah 24, sedangkan suku pertamanya 6. Tentukan : a. beda b. rumus suku ke n Jawab : a. U 10  24, a  6 U n  a + n1b 24  6 + 101b 24  6  9b 18  9b b  2 b. U n  a + n1b U n  6 + n12 U n  4 + 2n 3. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan U 2  6 dan U 11  24 a. Carilah suku pertama dan beda 18 b. Tentukan U 40 c. Hitung jumlah 40 suku pertama dari deret aritmetika yang bersesuaian Jawab: a. U 2  6 U 11  24 a + b  6 ….. 1 a + 10b  24 ….. 2 2 dan 1 a + 10b  24 a + b  6 9b  18 b  2 a + b  6 a + 2  6 a  4 Suku pertama 4, beda 2 b. Suku ke-40 dicari dengan rumus U n  a + n1b U 40  4 + 401.2  4 + 39.2  82 c. 2 U na S n n   1720 86 20 2 82 4 40 2 U 404 S 40 40       Latihan 5 1. Tentukan rumus umum setiap barisan aritmetika berikut dan tentukan suku ke-25. 19 a. 10, 15, 20, 25, … b. 2, –1, –4, –7, … c. 8, 14, 20, … 2. Tentukan n banyak suku dari barisan aritmetika berikut. a. 6, 3, 0, … , 81 b. 20, 18, 16, … , -98 c. 5, 10, 15, 20, …, 205 3. Tentukan beda, suku pertama dan rumus umum suku ke-n barisan aritmetika berikut ini jika diketahui: a. U 4  17 dan U 7  29 b. U 2  11 dan U 9  32 c. U 3 + U 5  60 dan U 4 + U 7  81 4. Tentukan banyaknya bilangan asli yang merupakan kelipatan 5 antara 21 dan 99 5. Hitunglah deret aritmetika berikut ini: a. 3 + 7 + 11 + 15 + … sampai 12 suku b. 20 + 23 + 26 + 29 + … sampai 15 suku c. 100 + 95 + 90 + 85  … sampai 16 suku 6. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ke-3 adalah 12 dan suku ke- 6 adalah 27. Tentukan jumlah 20 suku pertama. 7. Tentukan jumlah 25 bilangan asli pertama yang habis dibagi 4. 8. Tentukan jumlah semua bilangan asli kurang dari 100 yang tidak habis dibagi 5. 20 9. Tiga bilangan membentuk deret aritmetika, jumlah ketiga bilangan itu 30, hasil kalinya 840. Tentukan bilangan-bilangan itu. 10.Suatu perusahaan, pada bulan pertama berdiri memproduksi sebanyak 1000 unit barang. Kenaikan produksi pada bulan-bulan berikutnya adalah 5 1 kali produksi pada bulan pertama. Tentukan jumlah produksi selama satu tahun.

D. Barisan dan Deret Geometri 1. Barisan Geometri