n+1 p−1r n+1 p Petunjuk: Tentukan nilai x sehingga rasio
f x+1 f x
1
11. Misalkan X mempunyai fdp
f x
= 1
3 2
3
x
; x=0,1,2,3, …
, nol untuk lainnya, carilah fdp bersyarat dari X diberikan
X ≥3
12. Misalkan X mempunyai distribusi binomial dengan parameter n dan p = 13. Tentukan n bulat terkecil sehingga P X ≥ 1 ≥0,85
13. Suatu bilangan 1,2,…,6 akan dipilih melalui lantunan dadu takbias. Misalkan percobaan acak ini diulang independen 4 kali. Misalkan peubah acak
X
1
beerakhir dalam himpunan
{
x∨x=1,2,3
}
, dan misalkan peubah acak
X
2
beerakhir dalam himpunan
{
x∨x=4,5
}
. Hitung
P X
1
= 2, X
2
= 1
14. Misalkan f
x
1
, x
2
= x
1
x
2
1 2
x
1
x
2
15 ; x
2
= 0,1, … , x
1
; x
1
= 1,2,3,4,5
nol untuk lainnya, adalah fdp bersama dari X
1
dan X
2
Tentukan a.
E X
2
b.
u x
1
= E
X
1
∨ x
1
c. u
x
1
E ¿
Bandingkan jawaban bagian a dan c Petunjuk:
Buktikan bahwa E X
2
∑
x
1
= 1
5
∑
x
2
= x
1
x
2
f x
1
, x
2
dan gunakan kenyataan bahwa
∑
y=0 n
y n
y 1
2
n
= n2
2.2 Distribusi Poisson
Perhatikan bahwa deret
1+m+ m
2
2 +
m
3
3 +
…=
∑
x=0 ∞
m
x
x Konvergen ke
e
m
untuk semua nilai m. Perhatikan fungsi fx ditentukan oleh
f x = m
x
e
− m
x ; x = 0,1,2,…
= 0 ,untuk lainnya di mana m 0 . Karena m 0 , kemudian f x ≥ 0 dan
∑
x
f x =
∑
x=0 ∞
m
x
e
− m
x =
e
− m
∑
x=0 ∞
m
x
x =
e
− m
e
m
= 1
yaitu memenuhi persyaratan enjadi fdp, dari peubah acak jenis diskrit. Suatu peubah acak yang mempunyai bentuk
f x
ini disebut mempunyai distribusi Poisson dan setiap
f x
yang demikian disebut fdp Posson.
Fpm distribusi Poisson diberikan oleh M t =
∑
x
e
tx
f x =
∑
x=0 ∞
e
tx
m
x
e
− m
x =
e
− m
∑
x=0 ∞
e
t
m
x
x =
e
− m
e
me
t
= e
− m
e
t
− 1
untuk semua nilai real t. Karena M
t =e
m e
t
− 1
m e
t
dan M t=e
m e
t
− 1
me
t 2
+ e
m e
t
− 1
me
t
Maka μ=M 0=m
dan σ
2
= M
0 −μ
2
= m+m
2
− m
2
= m
yaitu distribusi Poisson mempunyai
μ=σ
2
= m
. f x =
μ
x
e
− μ
x ; x=0,1,2,…
= 0 ; untuk lainnya. Pada hitungan ini ,fdp Poisson sering dituliskan
Contoh 1
Andaikan X mempunyai distribusi Poisson dengan
¿ 2
. Kemudian fdp dari X adalah f x =
2
x
e
− 2
x ; x=0,1,2, …
Variansi distribusi ini σ
2
= μ=2 .Jika kita ingin menghitung P X ≥ 1 , kita punyai
P X ≥ 1=1−P X=0 =1−f 0=1−e
− 2
=0,86
Contoh 2
Jika fpm peubah acak X adalah M t =e
4 e
t
− 1
maka X mempunyai distribusi Poisson dengan μ=4 Sesuai dengan itu P X=3 = 4
3
e
− 4
3 =
32 3
e
− 4
Soal-soal Latihan 2.2
1. Jika peubah acak X mempunyai distribusi Poisson sehingga
P X=1
= P
X =2
, carilah P X=4
2. Fpm peubah acak X adalah e
4 e
t
− 1
.Tunjukkan bahwa
P μ−2 σ X μ+2 σ
= 0,931
3. Misalkan fdp f x positif pada dan hanya pada bilangan bulat tidak negatif . Diberikan bahwa f x =
4 x
f x−1; x=1,2,3, … .Carilah
f x
Petunjuk: Perhatikan bahwa f 1=4 f 0 , f 2=
4
2
2 f 0 dan seterusnya, yaitu, carlah setiap
f x dari 1=f 0+f 1+2+… 4. Misalkan X mempunyai distribusi Poisson dengan μ=100. Gunakan pertidaksamaan
Chebyshev untuk menentukan batas bawah dari P 75 X 125 5. Misalkan X dan Y mempunyai fdp bersama
f x , y = e
− 2
x x− y ; y = 0,1,2,…. ; x = 0,1,2,…,y , nol untuk lainnya
a. Carilah fpm M t
1
,t
2
dari distribusi ini b. Hitunglah rataan, variansi, dan koefisien korelasi dari X dan Y.
c. Tentukan rataan bersyarat
E Y ∨x
Petunjuk: Perhatikan
∑
x=0 y
[
exp t
1
x
]
y
[
x y−x
]
=
[
1+exp t
1
]
y
2.3 Distribusi Gamma dan Khi-kuadrat
