Variansi distribusi ini σ
2
= μ=2 .Jika kita ingin menghitung P X ≥ 1 , kita punyai
P X ≥ 1=1−P X=0 =1−f 0=1−e
− 2
=0,86
Contoh 2
Jika fpm peubah acak X adalah M t =e
4 e
t
− 1
maka X mempunyai distribusi Poisson dengan μ=4 Sesuai dengan itu P X=3 = 4
3
e
− 4
3 =
32 3
e
− 4
Soal-soal Latihan 2.2
1. Jika peubah acak X mempunyai distribusi Poisson sehingga
P X=1
= P
X =2
, carilah P X=4
2. Fpm peubah acak X adalah e
4 e
t
− 1
.Tunjukkan bahwa
P μ−2 σ X μ+2 σ
= 0,931
3. Misalkan fdp f x positif pada dan hanya pada bilangan bulat tidak negatif . Diberikan bahwa f x =
4 x
f x−1; x=1,2,3, … .Carilah
f x
Petunjuk: Perhatikan bahwa f 1=4 f 0 , f 2=
4
2
2 f 0 dan seterusnya, yaitu, carlah setiap
f x dari 1=f 0+f 1+2+… 4. Misalkan X mempunyai distribusi Poisson dengan μ=100. Gunakan pertidaksamaan
Chebyshev untuk menentukan batas bawah dari P 75 X 125 5. Misalkan X dan Y mempunyai fdp bersama
f x , y = e
− 2
x x− y ; y = 0,1,2,…. ; x = 0,1,2,…,y , nol untuk lainnya
a. Carilah fpm M t
1
,t
2
dari distribusi ini b. Hitunglah rataan, variansi, dan koefisien korelasi dari X dan Y.
c. Tentukan rataan bersyarat
E Y ∨x
Petunjuk: Perhatikan
∑
x=0 y
[
exp t
1
x
]
y
[
x y−x
]
=
[
1+exp t
1
]
y
2.3 Distribusi Gamma dan Khi-kuadrat
Integral disebut fungsi gamma dari
α
dan ditulis
Γ α =
∫
∞
y
α−1
e
− y
dy Jika kita perkenalkan peubah baru x dengan menulis y = x β , dengan β0 , maka
Γ α = 1
β
α
∫
∞
x
α−1
e
− x β
dx Karena α0, β 0, dan Γ α , kita melihat bahwa
f x = 1
Γ α β
α
x
α −1
e
− x β
; 0 x
∞
= 0 ; untuk lainnya adalah fdp jenis kontinu . Suatu peubah acak X yang bentuk ini disebut mempunyai distribusi
gamma dengan parameter α dan , dan setiap
f x
yang demikian disebut fdp jenis
gamma. Tinjauan
Diatribusi gamma adalah sering model peluang untuk waktu tunggu misalnya, pengujian hidup,waktu tunggu hingga “mati”adalah peubah ack yang erring mempunyai distribusi gamma.
Untuk melihat ini , mari kita andaikan postulat dari proses Poisson dan interval lamanya w merupakan interval waktu . khususnya misalkan peubah acak W adalah waktu yang diperlukan
untuk menyatakan tepat k perubahan kemungkinan mati, di mana k adalah bilangan positif tertentu. Maka fungsi distribusi W adalah
G w=P W ≤ w =1−P W w Bagaimanapun kejadian W w , untuk w 0 adalah ekuivalen terhadap kejadian yang ada lebih
kecil dari pada k perubahan dalam intrrval waktu lamanya w, yaitu , jika peubah acak X adalah banyak perubahan dalam interval wakt yang lamanya w, maka
P W w
=
∑
¿ 0 x
k−1
P X=x
=
∑
x=0 k−1
λw
x
e
− λw
x
Rumus berikut ditinggalkan sebagai untuk menyatakan bahwa z
k−1
e
− z
k−1 dz=
¿
∑
x=0 k−1
λw
x
e
− λw
x
∫
λw ∞
¿ Sebentar lagi jika menerima hasil ini , untuk w 0 kita mempunyai
z
k−1
e
− z
Γ k dz=
¿
∫
λw
z
k−1
e
− z
Γ k dz
G w=1−
∫
λw ∞
¿ = 0 ; untuk lainnya.
Sesuai dengan itu , fdp dari W adalah g w=
λ
k
w
k−1
e
− λw
Γ k ;0 w∞
= 0 ; untuk lainnya. yaitu, W mempunyai distribusi gamma dengan α=k dan β=
1 λ
. Sekarang kita mencari fpm distribusi gamma . Karena
M t =
∫
∞
e
tx
1 Γ α β
α
x
α−1
e
− x β
dx=
∫
∞
1 Γ α β
α
x
α−1
e
− x 1−tβ β
dx kita dapat mengambil y = x 1−tβ β ; t 1
β
, atau x=βy 1−tβ , untuk mempreoleh
M t =
∫
∞
β 1−tβ Γ α β
α
βy 1−βt
− y
e
− y
dy
yakni
M t
= 1
1−βt
α
∫
∞
1 Γ
α y
α−1
e
− y
dy= 1
1−βt
α
;
t 1
β
Sekarang
M t
= −
α 1−βt
− α−1
− β
dan
M t
= −
α −
α−1 1− βt
− α−2
− β
2
Karenanya untuk distribusi gamma kita punyai μ=M
0=αβ dan σ
2
= M
0 −μ
2
= α α+1 β
2
− α
2
β
2
= α β
2
Contoh 1
Misalkan waktu tunggu W mempunyai fdp gamma dengan ¿
k dan β= 1
λ . Seuai dengan itu
EW = k
λ . Jika k = 1 maka EW =
1 λ
, yaitu, waktu tunggu yang diharapkan . Untuk k = 1 perubahan sama dengan kebalikan dari λ .
Contoh 2
Misalkan X adalah peubah acak sehingga E
X
m
= m+3
3 3
m
; m = 1,2,3,… Maka fpm dari X diberikan oleh deret
M t =1+ 4 3
3 t+
5 3
2
3 2 t
2
+ 6 3
3
3 3 t
3
+ …
Bagaimanapun ini adalah
deret Maclaurin untuk 1−3 t
− 4
, asalkan−13t 1 . Sesuai dengan itu X mempunyai distibusi gamma dengan α=4 dan β=3
Sekarang mari kita perhatikan kasus khusus dari distribusi gamma dalam hal ¿
r2 , di mana r bulat positif , dan
β=2
. Suatu peubah acak jenis kontinu yang mempunyai fdp
f x
= 1
Γ r 22
r 2
x
r 2
− 1
e
− x
2
; 0 x ∞ = 0 ; untuk lainnya.
dan fpm
M t
= 1−2t
− r 2
; t 12 disebut mempunyai distribusi khi-kuadrat dan setiap
f x
dari bentuk ini disebut fdp khi- kuadrat
Rataan dan variansi dari distribusi khi-kuadrat berturut-turut adalah
μ=αβ= r 2
2=r
dan σ
2
= α β
2
= r 2 2
2
= 2 r .
Karena tidak jelas alasannya , kita sebut bilangan r derajat kebebasan dari distribusi khi-kuadrat atau dari fdp khi-kuadrat, Karena distribusi khi-kuadrat mempunyai suatu peranan penting
dalam ilmu statistik dan terjadi begitu sering, kita menulis untuk singkatnya X adalah χ
2
r yang berarti peubah acak X mempunyai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan r
Contoh 3
Jika X mempunyai fdp f x = 1
4 x e
− x 2
;0x 8 ,maka X adalah χ
2
2 . Karenanya μ=4, σ
2
= 8 dan M t =1−2 t
− 2
;t 1
2 .
Contoh 4
Jika X mempunyai fpm t =1−2 t
− 8
;t 1
2 , maka X adalah χ
2
16 . Jika peeubah acak X adalah χ
2
r dengan c
1
c
2
, kita mempunyai
P c
1
≤ X ≤ c
2
= P
c
2
− P
c
1
; karena P X=c
1
=
Untuk menghitung peluang seperti itu, kita perlukan nilai integral seperti P X ≤ x =
∫
x
1 Γ r 22
r 2
w
r 2
− 1
e
− w
2
dw Nilai integral ini untuk r dan x tertentu dapat dilihat pada tabel khi-kuadrat.
Contoh 5
Misalkan X mempunyai distribusi gamma dengan ¿
r2 , dengan r bulat positif, dan β0 .Tentukan peubah acak Y = 2X
β
. Kita mencari fdp dari Y Sekarang fungsi distribusi dari Y adalah
G y =P Y ≤ y =P X ≤
βy 2
Jika
y ≤ 0,
maka y =0 , tetap jia y 0 ,maka G y =
∫
βy 2
1 Γ r 2 β
r 2
x
r 2
− 1
e
− x β
d x Sesuai dengan itu fdp dari Y adalah
g y =G y
β 2 Γ r 2 β
r 2
βy 2
r 2
− 1
e
− y 2
= 1
Γ r 22
r 2
y
r 2
− 1
e
− y 2
jika y 0 Jadi Y adalah χ
2
r
Soal-soal Latihan 2.3
1. Jika 1−2 t
− 6
; t 12 adalah fpm dari peubah acak X. Carilah P X 5,23 2. Jika X adalah χ
2
5 , tentukan konstanta c dan d sehingga P c X d =0,95 dan
P X c
= 0,025
3. Jika X mempunyai distribusi gamma dengan α=3 dan β=4 , Carilah
P 3,28 X 25,2
Petunjuk
Perhatikan peluang kejadian ini ekuivalen dengan peluang kejadian 1,64 Y 12,6 , di mana Y =
2 X 4
= X
2 4. Misalkan X adalah peubah acak sehingga E
X
m
= m+12
m
;m=1,2,3, … Tentukan fpm dan distribusi dari X
5. Tunjukkan bahwa
∫
μ ∞
1 Γ k
z
k−1
e
− z
dz=
∑
x=0 k −1
μ
x
e
− μ
x Ini memperlihatkan hubungan antara fungsi distribusi dari gamma dan distribusi Poisson
Petunjuk: Lakukan intergral parsial k – 1 kali atau sederhananya perhatikan bahwa “anti turunan”
dari z
k−1
e
− z
adalah −
z
k−1
e
− z
− k−1 z
k−2
e
− z
− k −1 k−2 z
k−3
e
− z
+ … .+k −1 e
− z
6. Misalkan X mempunyai distribusi Poisson dengan parameter m . Jika m adalah nilai percobaan dari peubah acak yang mempunyai distribusi gamma gamma α=2 dan β=1
. Hitunglah P X=0,1,2 7. Misalkan X mempunyai distribusi seragam dengan fdp f x =1 ;0x 1 , nol untuk
lainnya. Carilah fungsi distribusi dari Y =−2 ln X . Berapakah fdp dari Y? 8. Carilah distribusi seragam jenis kontinu yang mempunyai rataan dan variansi sama
seperti distribusi khi-kuadrat dengan drajat kebebasan 8
2.4 Distribusi Normal
