BAB II BEBERAPA DISTRIBUSI KHUSUS
2.1 Bistribusi Binomial dan Kaitan
Percobaan Bernoulli adalah satu percobaan acak , hasilnya digolongkan dalam satu dari dua cara sailg eksklusif dan lengkap, sebut sukses dan gagal, misalnya perempuan atau laki-laki, hidup
atau mati , tidak rusak atau rusak. Suatu barisan usaha Bernoulli terjadi dilakukan beberapa kali independen. Sehingga peluang sukses sebut p, teap sama dari usaha ke usaha, yaitu barisan yang
demikian kita misalkan p menyatakan peluang sukses pada setiap usaha. Misalkan X peubah acak dihubungkan dengan usaha Bernoulli dengan menetapkannya sebagai berikut,
Xsukses = 1 dan Xgagal = 0 yaitu , dua hasil sukses dan gagal, berturut-turut dinyatakan oleh satu atau nol.
Fdp dari X dapat ditulis sebagai f x = p
x
1− p
1−x
; x=0,1 dan kita katakan bahwa X mempunyai distribusi Bernoulli.
Nilai harapan X adalah μ=E X =
∑
x=0 1
x p
x
1− p
1− x
= 0 1− p+1 p = p
Dan variansi X adalah var X =
¿
∑
x=0 1
x− p
2
p
x
1− p
1− x
= p
2
1−p +1− p
2
p= p 1− p Simpangan baku X adalah
σ =
√
p 1− p
Dalam barisan n usaha Baernoulli dikaitkan dengan usaha ke i.Satu barisan observasi n usaha Bernoulli yang demikian , kita sering tertarik dalam total banyak sukses dan tidak dalam urutan
kejadiannya.Jika kita memisalkan peubah acak X sama dengan banyak observasi sukses dalam n usaha Bernoulli, nilai X yang mungkin adalah 0,1,2,…,n
Jika x sukses terjadi, di mana x = 0,1,2,…n, maka n – x gagal terjadi.Banyak cara pemilihan posisi x untuk x sukses dalam n usaha adalah
n x
= n
x n−x
Karena usaha adalah independen dan karena peluang sukses dan gagal pada setiap usaha berturut-turut p dan 1 – p, peluang setiap cara ini adalah p
x
1− p
n− x
. Jadi fdp dari X sebut fx adalah jumlah peluang dari
n x
kejadian saling eksklusif ini , yaitu f x =
n x
p
x
1− p
n− x
; x=0,1,2 … , n = 0 ; untuk lainnya
Ingat kembali,jika n bulat positif bahwa
a+b
n
=
∑
x=0 n
n x
a
x
b
n− x
Berarti jelas
f x
dan
∑
x
n x
p
x
1− p
n− x
=
[
1− p+ p
]
n
= 1
yakni f x memenuhi persyaratan menjadi fdp peubah acak X dari jenis diskrit yang mempunyai fdp berbentuk
f x
dikatakan distribusi binomial dan setiap
f x
yang demikian disebut fdp binomial . Distribusi binomial akan dinyatakan dengan symbol bn,p.
Konstanta n dan p disebut parameter distribusi binomial.Jadi, jika kita menyatakan bahwa X
adalah b 5,
1 3
kita artikan bahwa X mempunyai fdp binomial f x =
5 x
1 2
x
2 3
n−x
; x=0,1,2 … ,5 = 0 ; untuk lainnya
Fpm distribusi binomial mudah dicari. Itu adalah e
tx
f x = ¿
∑
x=0 n
e
tx
n x
p
x
1− p
n− x
M t=
∑
x=0 n
¿
= p
e
t
¿ ¿
n x
¿
∑
x=0 n
¿ =
[
1− p+ p e
t
]
n
untuk semua nilai real t. Rataan
μ
dan variansi σ
2
dari X dapat dihitung dari Mt Karena M
t =n
[
1− p+ p e
t
]
n−1
p e
t
dan M t=n n−1
[
1− p+ p e
t
]
n−2
p e
t 2
+ n
[
1− p+ p e
t
]
n−1
p e
t
mengakibatkan bahwa
μ=M 0=np
dan M 0−μ
2
= np+n n−1 p
2
− np
2
= np 1− p
Contoh 1 Misalkan X merupakan banyak muka sukses dalam n = 7 lantunan independen dari koin tak
bias.Fdp dari X adalah
f x = 7
x 1
2
x
1− 1
2
7− x
; x=0,1,2, … , 7 Maka X mempunyai fpm
M t = 1
2 +
1 2
e
t 7
mempunyai rataa μ=np= 7
2 , dan variansiσ
2
= np 1− p=
7 4
Selanjutnya kita mempunyai P 0≤ X ≤ 1=
∑
x=0 1
f x = 1
128 +
7 128
= 8
128 dan P X=5 =
¿ f
x =
7 5 2
1 2
5
1 2
2
= 21
128
Contoh 2 Jika fpm peubah acak X adalah
M t = 2
3 +
1 3
e
t 5
maka X mempunyai distribusi binomial dengan n = 5 dan p = 13 , yaitu fdp dari X adalah f x =
5 x
1 3
x
2 3
5− x
; x=0,1,2, … , 5 Di sini μ=np=
5 3
dan σ
2
= np 1− p =
10 9
Contoh 3
Jika Y adalah
b n ,
1 3
, maka P Y ≥ 1
= 1−P
Y 0 =
1− 2
3
n
Andaikan kita menginginkan mencari nilai n terkecil yang menghasilkan
Y ≥1 0,80
, kita mempunyai 1−
2 3
n
0,80 dan 0,20 2
3
n
. Melalui pemeriksaan atau menggunakan logaritma , kita melihat bahwa solusinya n = 4, yaitu peluang paling sedikit sukses seluruhnya
n = 4 ulangan independen dari percobaan acak dengan peluang sukses p = 13 lebih besar 0,80
Contoh 4 Misalkan peubah acak Y sama dengan banyak sukses seluruhnya n ulangan independen dari
percobaan acak dengan peluang sukses p, yaitu Y adalah b n , p dan rasio Yn disebut frekuensi relatif sukses.Untuk ε0 kita mempunyai
P
|
Y n
− p
|
≥ ε =
P
|
Y −np
|
≥ εn =
P
|
Y −μ
|
≥ ε
√
n p 1− p
σ di mana μ=np dan σ
2
= np 1−p .Sesuai dengan pertidaksamaan Chebyshev dengan k=
ε
√
n p 1− p
, kita mempunyai P
|
Y −μ
|
≥ ε
√
n p 1− p
σ ≤
p 1− p n ε
2
dan karenanya P
|
Y n
− p
|
≥ ε ≤
p 1− p n ε
2
Sekarang untuk setiap ε0 tertentu , ruas kanan pertidaksamaan di atas mendekati nol untuk n cukup besar , yaitu
lim
n →∞
P
|
Y n
− p
|
≥ ε =
0 dan lim
n →∞
P
|
Y n
− p
|
ε =
1 Karena ini benar untuk ε0 tertentu, kita melihat dalam keadaan tertentu , bahwa frekuensi
relatif sukses untuk nilai n besar mendekati peluang sukses p
Contoh 5 Misalkan peubah acak independen X
1
, X
2
, X
3
mempunyai fungsi distribusi yang sama Fx. Misalkan Y nilai tengah dari X
1
, X
2
, X
3
. Untuk menentukan fungsi distribusi dari Y sebut
G y
= P
Y ≤ y
, kita perhatikan Y ≤ y jika dan hanya jika paling sedikit dua peubah acak dari
X
1
, X
2
, X
3
lebih kecil atau sama dengan y . Misalkan kita mengatakan bahwa “usaha” ke i adalah sukses jika
X
i
≤ y
, i =1,2,3, di sini setiap “usaha” mempunyai peluang sukses Fy. Dalam termlnologi ini , maka G y =P Y ≤ y adalah paling sedikit dua sukses dalam tiga
usaha independen .Jadi G y = 3
2
[
F y
]
2
[
1−F y
]
+
[
F y
]
3
Jika Fx fungsi distribusi sehingga fdp dari X sehingga F x =f x , maka fdp dari adalah
g y =G y =6 F y
[
1−F y
]
f y Distribusi binomial diperumum ke distribusi multinomial sebagai berikt.Misalkan percobaan
acak diulang n kali independen . Padaa setiap pengulangan , percobaan berakhir, tetapi dalam satu dari k cara saling eksklusif dan lengkap, sebut C
1
, C
2
, … ,C
k
. Misalkan p
i
peluang
bahwa hasil adalah unsur C
i
. . Misalkan p
i
tetap konstan seluruhnya n pengulangan independen, i=1,2,…,k . Tentukan peubah acak X
i
sama dengan banyak hasil unsur C
i
;i=1,2, … , k−1 . Selanjutnya misalkan x
1
+ x
2
+ …+x
k−1
≤n . Maka peluang bahwa tepat x
1
mengakhiri percobaan ada di dalam C
1
, … .tepat x
k−1
mengakhiri ada di dalam C
k−1
dan karenanya tepat n -
x
1
+ x
2
+ …+x
k−1
¿
mengakhiri ada di dalam
C
k
adalah n
x
1
x
2
… x
k−1
x
k
p
1 x
1
p
2 x
2
… p
k−1 x
k−1
p
k x
k
di mana x
k
semata-mata singkatan untuk n - x
1
+ x
2
+ …+x
k−1
¿ Ini adalah fdp multinomial dari k – 1 peubah acak n x
1
, x
2
, … x
k−1
¿ dari jenis diskrit.
Apabila k = 3 , kita sering memisalkan X =X
1
,dan Y =X
2
, maka n− X−Y =X
3
. Kita menyatakan bahwa X dan Y mempunyai distribusi trinomial
Fdp dari X dan Y adalah f x , y =
n x y n−x− y
p
1 x
p
2 y
p
3 n− x− y
di mana x dan y bilangan bulat tidak negatif dengan
x+ y ≤ n , dan p
1
+ p
2
+ p
3
= 1
, dan misalkan f x , y =0 untuk lainnya. Sesuai dengan itu, f x , y memenuhi persyaratan
untuk menjadi fdp bersama dari dua peubah acak X dan Y jenis diskrit, yaitu
f x , y
tidak negatif dan jumlahnya atas titik x , y pada mana f x , y positif sama dengan
p
1
+ p
2
+ p
3 n
= 1
Jika n bulat positif dan
a
1
, a
2
, a
3
konstanta , kita punyai
∑
x=0 n
∑
y=0 n−x
n x y n−x− y
a
1 x
a
2 y
a
3 n−x− y
=
∑
x=0 n
n a
1 x
x n−x
∑
y=0 n−x
n−x y n−x− y
a
2 y
a
3 n −x− y
=
∑
x=0 n
n a
1 x
x n−x a
2
+ a
3 n− x
= a
1
+ a
2
+ a
3 n
1 Akibatnya ,fpm distribusi trinomial, sesuai dengan Persamaan 1, diberikan oleh
M t
1
,t
2
=
∑
x=0 n
∑
y=0 n− x
n x y n−x − y
p
1
e
t
1
x
p
2
e
t
2
y
p
3 n−x− y
=
p
1
e
t
1
+ p
2
e
t
2
+ p
3 n
untuk semua nilai
t
1
dan t
2
. Fungsi pembangkiy momen dari distribusi marginal dari X dan Y berturut-turut adalah
M t
1
,0 =
p
1
e
t
1
+ p
2
+ p
3 n
=
[
1−p
1
+ p
1
e
t
1
]
n
dan M 0,t
2
= p
1
+ p
2
e
t
2
+ p
3 n
= ¿
[
1−p
2
+ p
2
e
t
2
]
n
Segera terlihat bahwa X dan Y peubah acak dependen.
Sebagai tambahan, X adalah b n , p
1
dan Y adalah b n , p
2
.Sesuai dengan itu , berturut- turut rataan, dan variansi dari X dan Y adalah μ
1
= n p
1
, μ
2
= n p
2
;σ
1 2
= n p
1
1− p
1
, σ
2 2
= n p
2
1− p
2
Berikut perhatikan fdp bersyarat dari Y, diberikan X = x. Kita mempunyai f
2∨1
y∨x = ¿
n−x x y n−x− y
p
2
1− p
1 y
p
3
1− p
1 n−x− y
; y =0,1, … , n−x = 0 ; untuk lainnya.
Jadi distribusi bersyarat dari Y, diberikan X = x adalah b n−x ,
p
2
1− p
1
. Karenanya rataan bersyarat dari Y, diberikan X = x adalah fungsi linear
E Y ∨x =n−x p
2
1− p
1
Kita juga peroleh distribusi bersyarat dari X, diberikan Y = y adalah b n−x ,
p
1
1− p
1
dan berarti
E X∨ y =n−x p
1
1−p
2
Dalamcontoh 2 pasal1.3
bahwa kudrat koefisien korelasi sebut ρ
2
, sama dengan perkalian dari
− p
2
1− p
1
dan −
p
1
1− p
2
koefisien x dan y dalam rataan bersyarat. Karena kedua koefisien ini negatif dan berarti ρ adalah negatif , kita mempunyai
ρ= ¿
√
p
1
p
2
1−p
1
1− p
2
Pada umumnya fpm dari distribusi multinomial diberikan oleh M
t
1
, … ,t
k−1
= p
1
e
t
1
+ …+ p
k−1
e
t
k−1
+ p
k n
untuk semua nilai real t
1
, t
2
, … , t
k−1.
Jadi setiap fdp marginal satu peubah adalah binomial, setiap fdp marginal 2 peubah adalah trinomial demikian seterusnya.
Soal-soal Latihan 2.1
1. Jika fpm peubah acak X adalah
1 3
+ 2
3 e
t 3
, carilah P X=2 atau 3
2. Fpm peubah acak X adalah 2
3 +
1 3
e
t 9
. Tunjukkan bahwa P μ−2 σ X μ+2 σ =
∑
x=1 5
9 x
1 3
x
2 3
9 −x
3. Jika
X adalah b n , p
tunjukkan bahwa E X
n =
p dan E
[
X n
− p
2
]
= p 1−p
n 4. Misalkan X
1
, X
2
, X
3
peubah acak independen mempnyai fdp yang sama f x=3 x
2
, 0 x 1, nol untuk lainnya. Carilah peluang secara tepat dua dari tiga peubah melebihi
1 2
5. Misalkan Y adalah banyak sujses dalam n pengulangan independen dari percobaan acak yg mempunyai peluang sukses p =
1 4
.Tentukan nilai terkecil n sehingga P Y ≥ 1≥ 0.7
6. Misalkan Y adalah banyak sujses dalam n pengulangan independen dari percobaan acak yg mempunyai peluang sukses p =
2 3
. Jika n = 3 ,hitung
P Y ≥ 2
.
Jika n = 5, hitung
P Y ≥ 3
7. Misalkan
X
1
dan X
2
peubah acak independen berturut-turut mempunyai distribusi binomial dengan parameter n
1
= 3, p
1
= 2
3 dan n
2
= 4, p
2
= 1
2 . Hitung P
X
1
= X
2
Petunjuk: Daftarkan empat cara saling eksklusif bahwa
X
1
= X
2
dan hitung peluang masing-masing.
8. Misalkan X
1
, X
2
,… , X
k−1
mempunyai distribusi multinomial. a. Carilah fpm dari X
1
, X
2
,… , X
k−1
b. Berapakah fdp X
1
, X
2
,… , X
k−1
c. Tentukan fdp bersyarat dari X
1
diberikan bahwa X
2
= x
2
, … , X
k−1
= x
k−1
d. Berapakah ekspektasi bersyarat E
[
X
1
∨ x
2
, … , x
k−1
]
9. Misalkan
X adalah b 2, p
dan
Y adalah b 4, p
. Jika P X ≥ 1= 5
8 , carilah
P Y ≥ 1
10. Jika n = r adalah modus tunggal distribusi yaitu
b n , p
, tunjukkan bahwa
n+1 p−1r n+1 p Petunjuk: Tentukan nilai x sehingga rasio
f x+1 f x
1
11. Misalkan X mempunyai fdp
f x
= 1
3 2
3
x
; x=0,1,2,3, …
, nol untuk lainnya, carilah fdp bersyarat dari X diberikan
X ≥3
12. Misalkan X mempunyai distribusi binomial dengan parameter n dan p = 13. Tentukan n bulat terkecil sehingga P X ≥ 1 ≥0,85
13. Suatu bilangan 1,2,…,6 akan dipilih melalui lantunan dadu takbias. Misalkan percobaan acak ini diulang independen 4 kali. Misalkan peubah acak
X
1
beerakhir dalam himpunan
{
x∨x=1,2,3
}
, dan misalkan peubah acak
X
2
beerakhir dalam himpunan
{
x∨x=4,5
}
. Hitung
P X
1
= 2, X
2
= 1
14. Misalkan f
x
1
, x
2
= x
1
x
2
1 2
x
1
x
2
15 ; x
2
= 0,1, … , x
1
; x
1
= 1,2,3,4,5
nol untuk lainnya, adalah fdp bersama dari X
1
dan X
2
Tentukan a.
E X
2
b.
u x
1
= E
X
1
∨ x
1
c. u
x
1
E ¿
Bandingkan jawaban bagian a dan c Petunjuk:
Buktikan bahwa E X
2
∑
x
1
= 1
5
∑
x
2
= x
1
x
2
f x
1
, x
2
dan gunakan kenyataan bahwa
∑
y=0 n
y n
y 1
2
n
= n2
2.2 Distribusi Poisson