Bistribusi Binomial dan Kaitan

BAB II BEBERAPA DISTRIBUSI KHUSUS

2.1 Bistribusi Binomial dan Kaitan

Percobaan Bernoulli adalah satu percobaan acak , hasilnya digolongkan dalam satu dari dua cara sailg eksklusif dan lengkap, sebut sukses dan gagal, misalnya perempuan atau laki-laki, hidup atau mati , tidak rusak atau rusak. Suatu barisan usaha Bernoulli terjadi dilakukan beberapa kali independen. Sehingga peluang sukses sebut p, teap sama dari usaha ke usaha, yaitu barisan yang demikian kita misalkan p menyatakan peluang sukses pada setiap usaha. Misalkan X peubah acak dihubungkan dengan usaha Bernoulli dengan menetapkannya sebagai berikut, Xsukses = 1 dan Xgagal = 0 yaitu , dua hasil sukses dan gagal, berturut-turut dinyatakan oleh satu atau nol. Fdp dari X dapat ditulis sebagai f x = p x 1− p 1−x ; x=0,1 dan kita katakan bahwa X mempunyai distribusi Bernoulli. Nilai harapan X adalah μ=E X = ∑ x=0 1 x p x 1− p 1− x = 0 1− p+1 p = p Dan variansi X adalah var X = ¿ ∑ x=0 1 x− p 2 p x 1− p 1− x = p 2 1−p +1− p 2 p= p 1− p Simpangan baku X adalah σ = √ p 1− p Dalam barisan n usaha Baernoulli dikaitkan dengan usaha ke i.Satu barisan observasi n usaha Bernoulli yang demikian , kita sering tertarik dalam total banyak sukses dan tidak dalam urutan kejadiannya.Jika kita memisalkan peubah acak X sama dengan banyak observasi sukses dalam n usaha Bernoulli, nilai X yang mungkin adalah 0,1,2,…,n Jika x sukses terjadi, di mana x = 0,1,2,…n, maka n – x gagal terjadi.Banyak cara pemilihan posisi x untuk x sukses dalam n usaha adalah n x = n x n−x Karena usaha adalah independen dan karena peluang sukses dan gagal pada setiap usaha berturut-turut p dan 1 – p, peluang setiap cara ini adalah p x 1− p n− x . Jadi fdp dari X sebut fx adalah jumlah peluang dari n x kejadian saling eksklusif ini , yaitu f x = n x p x 1− p n− x ; x=0,1,2 … , n = 0 ; untuk lainnya Ingat kembali,jika n bulat positif bahwa a+b n = ∑ x=0 n n x a x b n− x Berarti jelas f x dan ∑ x n x p x 1− p n− x = [ 1− p+ p ] n = 1 yakni f x memenuhi persyaratan menjadi fdp peubah acak X dari jenis diskrit yang mempunyai fdp berbentuk f x dikatakan distribusi binomial dan setiap f x yang demikian disebut fdp binomial . Distribusi binomial akan dinyatakan dengan symbol bn,p. Konstanta n dan p disebut parameter distribusi binomial.Jadi, jika kita menyatakan bahwa X adalah b 5, 1 3 kita artikan bahwa X mempunyai fdp binomial f x = 5 x 1 2 x 2 3 n−x ; x=0,1,2 … ,5 = 0 ; untuk lainnya Fpm distribusi binomial mudah dicari. Itu adalah e tx f x = ¿ ∑ x=0 n e tx n x p x 1− p n− x M t= ∑ x=0 n ¿ = p e t ¿ ¿ n x ¿ ∑ x=0 n ¿ = [ 1− p+ p e t ] n untuk semua nilai real t. Rataan μ dan variansi σ 2 dari X dapat dihitung dari Mt Karena M t =n [ 1− p+ p e t ] n−1 p e t dan M t=n n−1 [ 1− p+ p e t ] n−2 p e t 2 + n [ 1− p+ p e t ] n−1 p e t mengakibatkan bahwa μ=M 0=np dan M 0−μ 2 = np+n n−1 p 2 − np 2 = np 1− p Contoh 1 Misalkan X merupakan banyak muka sukses dalam n = 7 lantunan independen dari koin tak bias.Fdp dari X adalah f x = 7 x 1 2 x 1− 1 2 7− x ; x=0,1,2, … , 7 Maka X mempunyai fpm M t = 1 2 + 1 2 e t 7 mempunyai rataa μ=np= 7 2 , dan variansiσ 2 = np 1− p= 7 4 Selanjutnya kita mempunyai P 0≤ X ≤ 1= ∑ x=0 1 f x = 1 128 + 7 128 = 8 128 dan P X=5 = ¿ f x = 7 5 2 1 2 5 1 2 2 = 21 128 Contoh 2 Jika fpm peubah acak X adalah M t = 2 3 + 1 3 e t 5 maka X mempunyai distribusi binomial dengan n = 5 dan p = 13 , yaitu fdp dari X adalah f x = 5 x 1 3 x 2 3 5− x ; x=0,1,2, … , 5 Di sini μ=np= 5 3 dan σ 2 = np 1− p = 10 9 Contoh 3 Jika Y adalah b n , 1 3 , maka P Y ≥ 1 = 1−P Y 0 = 1− 2 3 n Andaikan kita menginginkan mencari nilai n terkecil yang menghasilkan Y ≥1 0,80 , kita mempunyai 1− 2 3 n 0,80 dan 0,20 2 3 n . Melalui pemeriksaan atau menggunakan logaritma , kita melihat bahwa solusinya n = 4, yaitu peluang paling sedikit sukses seluruhnya n = 4 ulangan independen dari percobaan acak dengan peluang sukses p = 13 lebih besar 0,80 Contoh 4 Misalkan peubah acak Y sama dengan banyak sukses seluruhnya n ulangan independen dari percobaan acak dengan peluang sukses p, yaitu Y adalah b n , p dan rasio Yn disebut frekuensi relatif sukses.Untuk ε0 kita mempunyai P | Y n − p | ≥ ε = P | Y −np | ≥ εn = P | Y −μ | ≥ ε √ n p 1− p σ di mana μ=np dan σ 2 = np 1−p .Sesuai dengan pertidaksamaan Chebyshev dengan k= ε √ n p 1− p , kita mempunyai P | Y −μ | ≥ ε √ n p 1− p σ ≤ p 1− p n ε 2 dan karenanya P | Y n − p | ≥ ε ≤ p 1− p n ε 2 Sekarang untuk setiap ε0 tertentu , ruas kanan pertidaksamaan di atas mendekati nol untuk n cukup besar , yaitu lim n →∞ P | Y n − p | ≥ ε = 0 dan lim n →∞ P | Y n − p | ε = 1 Karena ini benar untuk ε0 tertentu, kita melihat dalam keadaan tertentu , bahwa frekuensi relatif sukses untuk nilai n besar mendekati peluang sukses p Contoh 5 Misalkan peubah acak independen X 1 , X 2 , X 3 mempunyai fungsi distribusi yang sama Fx. Misalkan Y nilai tengah dari X 1 , X 2 , X 3 . Untuk menentukan fungsi distribusi dari Y sebut G y = P Y ≤ y , kita perhatikan Y ≤ y jika dan hanya jika paling sedikit dua peubah acak dari X 1 , X 2 , X 3 lebih kecil atau sama dengan y . Misalkan kita mengatakan bahwa “usaha” ke i adalah sukses jika X i ≤ y , i =1,2,3, di sini setiap “usaha” mempunyai peluang sukses Fy. Dalam termlnologi ini , maka G y =P Y ≤ y adalah paling sedikit dua sukses dalam tiga usaha independen .Jadi G y = 3 2 [ F y ] 2 [ 1−F y ] + [ F y ] 3 Jika Fx fungsi distribusi sehingga fdp dari X sehingga F x =f x , maka fdp dari adalah g y =G y =6 F y [ 1−F y ] f y Distribusi binomial diperumum ke distribusi multinomial sebagai berikt.Misalkan percobaan acak diulang n kali independen . Padaa setiap pengulangan , percobaan berakhir, tetapi dalam satu dari k cara saling eksklusif dan lengkap, sebut C 1 , C 2 , … ,C k . Misalkan p i peluang bahwa hasil adalah unsur C i . . Misalkan p i tetap konstan seluruhnya n pengulangan independen, i=1,2,…,k . Tentukan peubah acak X i sama dengan banyak hasil unsur C i ;i=1,2, … , k−1 . Selanjutnya misalkan x 1 + x 2 + …+x k−1 ≤n . Maka peluang bahwa tepat x 1 mengakhiri percobaan ada di dalam C 1 , … .tepat x k−1 mengakhiri ada di dalam C k−1 dan karenanya tepat n - x 1 + x 2 + …+x k−1 ¿ mengakhiri ada di dalam C k adalah n x 1 x 2 … x k−1 x k p 1 x 1 p 2 x 2 … p k−1 x k−1 p k x k di mana x k semata-mata singkatan untuk n - x 1 + x 2 + …+x k−1 ¿ Ini adalah fdp multinomial dari k – 1 peubah acak n x 1 , x 2 , … x k−1 ¿ dari jenis diskrit. Apabila k = 3 , kita sering memisalkan X =X 1 ,dan Y =X 2 , maka n− X−Y =X 3 . Kita menyatakan bahwa X dan Y mempunyai distribusi trinomial Fdp dari X dan Y adalah f x , y = n x y n−x− y p 1 x p 2 y p 3 n− x− y di mana x dan y bilangan bulat tidak negatif dengan x+ y ≤ n , dan p 1 + p 2 + p 3 = 1 , dan misalkan f x , y =0 untuk lainnya. Sesuai dengan itu, f x , y memenuhi persyaratan untuk menjadi fdp bersama dari dua peubah acak X dan Y jenis diskrit, yaitu f x , y tidak negatif dan jumlahnya atas titik x , y pada mana f x , y positif sama dengan p 1 + p 2 + p 3 n = 1 Jika n bulat positif dan a 1 , a 2 , a 3 konstanta , kita punyai ∑ x=0 n ∑ y=0 n−x n x y n−x− y a 1 x a 2 y a 3 n−x− y = ∑ x=0 n n a 1 x x n−x ∑ y=0 n−x n−x y n−x− y a 2 y a 3 n −x− y = ∑ x=0 n n a 1 x x n−x a 2 + a 3 n− x = a 1 + a 2 + a 3 n 1 Akibatnya ,fpm distribusi trinomial, sesuai dengan Persamaan 1, diberikan oleh M t 1 ,t 2 = ∑ x=0 n ∑ y=0 n− x n x y n−x − y p 1 e t 1 x p 2 e t 2 y p 3 n−x− y = p 1 e t 1 + p 2 e t 2 + p 3 n untuk semua nilai t 1 dan t 2 . Fungsi pembangkiy momen dari distribusi marginal dari X dan Y berturut-turut adalah M t 1 ,0 = p 1 e t 1 + p 2 + p 3 n = [ 1−p 1 + p 1 e t 1 ] n dan M 0,t 2 = p 1 + p 2 e t 2 + p 3 n = ¿ [ 1−p 2 + p 2 e t 2 ] n Segera terlihat bahwa X dan Y peubah acak dependen. Sebagai tambahan, X adalah b n , p 1 dan Y adalah b n , p 2 .Sesuai dengan itu , berturut- turut rataan, dan variansi dari X dan Y adalah μ 1 = n p 1 , μ 2 = n p 2 ;σ 1 2 = n p 1 1− p 1 , σ 2 2 = n p 2 1− p 2 Berikut perhatikan fdp bersyarat dari Y, diberikan X = x. Kita mempunyai f 2∨1 y∨x = ¿ n−x x y n−x− y p 2 1− p 1 y p 3 1− p 1 n−x− y ; y =0,1, … , n−x = 0 ; untuk lainnya. Jadi distribusi bersyarat dari Y, diberikan X = x adalah b n−x , p 2 1− p 1 . Karenanya rataan bersyarat dari Y, diberikan X = x adalah fungsi linear E Y ∨x =n−x p 2 1− p 1 Kita juga peroleh distribusi bersyarat dari X, diberikan Y = y adalah b n−x , p 1 1− p 1 dan berarti E X∨ y =n−x p 1 1−p 2 Dalamcontoh 2 pasal1.3 bahwa kudrat koefisien korelasi sebut ρ 2 , sama dengan perkalian dari − p 2 1− p 1 dan − p 1 1− p 2 koefisien x dan y dalam rataan bersyarat. Karena kedua koefisien ini negatif dan berarti ρ adalah negatif , kita mempunyai ρ= ¿ √ p 1 p 2 1−p 1 1− p 2 Pada umumnya fpm dari distribusi multinomial diberikan oleh M t 1 , … ,t k−1 = p 1 e t 1 + …+ p k−1 e t k−1 + p k n untuk semua nilai real t 1 , t 2 , … , t k−1. Jadi setiap fdp marginal satu peubah adalah binomial, setiap fdp marginal 2 peubah adalah trinomial demikian seterusnya. Soal-soal Latihan 2.1 1. Jika fpm peubah acak X adalah 1 3 + 2 3 e t 3 , carilah P X=2 atau 3 2. Fpm peubah acak X adalah 2 3 + 1 3 e t 9 . Tunjukkan bahwa P μ−2 σ X μ+2 σ = ∑ x=1 5 9 x 1 3 x 2 3 9 −x 3. Jika X adalah b n , p tunjukkan bahwa E X n = p dan E [ X n − p 2 ] = p 1−p n 4. Misalkan X 1 , X 2 , X 3 peubah acak independen mempnyai fdp yang sama f x=3 x 2 , 0 x 1, nol untuk lainnya. Carilah peluang secara tepat dua dari tiga peubah melebihi 1 2 5. Misalkan Y adalah banyak sujses dalam n pengulangan independen dari percobaan acak yg mempunyai peluang sukses p = 1 4 .Tentukan nilai terkecil n sehingga P Y ≥ 1≥ 0.7 6. Misalkan Y adalah banyak sujses dalam n pengulangan independen dari percobaan acak yg mempunyai peluang sukses p = 2 3 . Jika n = 3 ,hitung P Y ≥ 2 . Jika n = 5, hitung P Y ≥ 3 7. Misalkan X 1 dan X 2 peubah acak independen berturut-turut mempunyai distribusi binomial dengan parameter n 1 = 3, p 1 = 2 3 dan n 2 = 4, p 2 = 1 2 . Hitung P X 1 = X 2 Petunjuk: Daftarkan empat cara saling eksklusif bahwa X 1 = X 2 dan hitung peluang masing-masing. 8. Misalkan X 1 , X 2 ,… , X k−1 mempunyai distribusi multinomial. a. Carilah fpm dari X 1 , X 2 ,… , X k−1 b. Berapakah fdp X 1 , X 2 ,… , X k−1 c. Tentukan fdp bersyarat dari X 1 diberikan bahwa X 2 = x 2 , … , X k−1 = x k−1 d. Berapakah ekspektasi bersyarat E [ X 1 ∨ x 2 , … , x k−1 ] 9. Misalkan X adalah b 2, p dan Y adalah b 4, p . Jika P X ≥ 1= 5 8 , carilah P Y ≥ 1 10. Jika n = r adalah modus tunggal distribusi yaitu b n , p , tunjukkan bahwa n+1 p−1r n+1 p Petunjuk: Tentukan nilai x sehingga rasio f x+1 f x 1 11. Misalkan X mempunyai fdp f x = 1 3 2 3 x ; x=0,1,2,3, … , nol untuk lainnya, carilah fdp bersyarat dari X diberikan X ≥3 12. Misalkan X mempunyai distribusi binomial dengan parameter n dan p = 13. Tentukan n bulat terkecil sehingga P X ≥ 1 ≥0,85 13. Suatu bilangan 1,2,…,6 akan dipilih melalui lantunan dadu takbias. Misalkan percobaan acak ini diulang independen 4 kali. Misalkan peubah acak X 1 beerakhir dalam himpunan { x∨x=1,2,3 } , dan misalkan peubah acak X 2 beerakhir dalam himpunan { x∨x=4,5 } . Hitung P X 1 = 2, X 2 = 1 14. Misalkan f x 1 , x 2 = x 1 x 2 1 2 x 1 x 2 15 ; x 2 = 0,1, … , x 1 ; x 1 = 1,2,3,4,5 nol untuk lainnya, adalah fdp bersama dari X 1 dan X 2 Tentukan a. E X 2 b. u x 1 = E X 1 ∨ x 1 c. u x 1 E ¿ Bandingkan jawaban bagian a dan c Petunjuk: Buktikan bahwa E X 2 ∑ x 1 = 1 5 ∑ x 2 = x 1 x 2 f x 1 , x 2 dan gunakan kenyataan bahwa ∑ y=0 n y n y 1 2 n = n2

2.2 Distribusi Poisson