Perhatikan peluang kejadian ini ekuivalen dengan peluang kejadian 1,64 Y 12,6 , di mana Y =
2 X 4
= X
2 4. Misalkan X adalah peubah acak sehingga E
X
m
= m+12
m
;m=1,2,3, … Tentukan fpm dan distribusi dari X
5. Tunjukkan bahwa
∫
μ ∞
1 Γ k
z
k−1
e
− z
dz=
∑
x=0 k −1
μ
x
e
− μ
x Ini memperlihatkan hubungan antara fungsi distribusi dari gamma dan distribusi Poisson
Petunjuk: Lakukan intergral parsial k – 1 kali atau sederhananya perhatikan bahwa “anti turunan”
dari z
k−1
e
− z
adalah −
z
k−1
e
− z
− k−1 z
k−2
e
− z
− k −1 k−2 z
k−3
e
− z
+ … .+k −1 e
− z
6. Misalkan X mempunyai distribusi Poisson dengan parameter m . Jika m adalah nilai percobaan dari peubah acak yang mempunyai distribusi gamma gamma α=2 dan β=1
. Hitunglah P X=0,1,2 7. Misalkan X mempunyai distribusi seragam dengan fdp f x =1 ;0x 1 , nol untuk
lainnya. Carilah fungsi distribusi dari Y =−2 ln X . Berapakah fdp dari Y? 8. Carilah distribusi seragam jenis kontinu yang mempunyai rataan dan variansi sama
seperti distribusi khi-kuadrat dengan drajat kebebasan 8
2.4 Distribusi Normal
Perhatikan integral I=
∫
− ∞
∞
exp −
y
2
2 dy
Integral ini ada karena integran adalah fungsi kontinu positif dan dibatasi oleh fungsi yang integrabel 0exp
− y
2
2 exp
−
|
y
|
+ 1
;−∞x ∞
dan
∫
− ∞
∞
e xp −
|
y
|
+ 1
dy=2 e
Untuk menghitung integral I . kita perhatikan bahwa I 0 dan I
2
dapat ditulis I
2
=
∫
− ∞
∞
∫
− ∞
∞
exp −
x
2
+ y
2
2 dydx
Integral berulang ini dapat dihitung dengan merubah ke koordinat polar, Jika kita mengambil
y=r cos θ dan z=r sin θ
kita mempunyai I
2
=
∫
2 π
∫
∞
e
− r
2
rdrdθ=
∫
2 π
dθ=2 π Sesuai dengan itu I=
√
2 π dan
∫
− ∞
∞
1
√
2 π exp
− y
2
2 dy=1
Jika kita perkenalkan peubah baru dari integrasi, sebut x dengan menuliskan y=
x−a b
, b0 integral di atas menjadi
∫
− ∞
∞
1 b
√
2 π exp
[
− x−a
2
2 b
2
]
dx=1 Karena b 0 , ini mengakibatkan bahwa
f x = 1
b
√
2 π exp
[
− x−a
2
2 b
2
]
;−∞x∞ memenuhi persyaratan menjadi fdp jenis kontinu dari peubah acak . Suatu peubah acak jenis
kontinu yang mempunyai fdp berbentuk
f x
dikatakan mempunyai distribusi normal , dan setiap f x bentuk ini fdp normal.
Kita dapat mencari fpm distribusi normal sebagai berikut. Dalam M t =
∫
− ∞
∞
e
tx
1 b
√
2 π exp
[
− x−a
2
2b
2
]
dx
=
∫
− ∞
∞
1 b
√
2 π exp
[
−− 2 b
2
tx+x
2
− 2 ax+a
2
2 b
2
]
dx kita membuat kudrat sempurna dalam eksponen . Jadi M t menjadi
M t =exp
[
− a
2
− a+b
2
t
2
2b
2
]
∫
− ∞
∞
1 b
√
2 π exp
[
− x −a−b
2
t
2
2 b
2
]
dx
= exp
[
at + b
2
t
2
2
]
karena integran dalam integral terakhir dapat menjadi alasan sebagai fdp normal dengan a digantikan oleh a+b
2
t dan karenanya integral itu sama dengan satu. Rataan
μ
dan variansi σ
2
dari distribusi normal akan dihitung dari M t . Sekarang M
t =M t a+b
2
t dan M
t=M t
a+b
2
t +
M t b
2
= M t a+b
2
t
2
+ M t
b
2
Jadi μ=M 0=a
dan σ
2
= M
0 −μ
2
= b
2
+ a
2
− a
2
= a
2
Ini menunjukkan kita, untuk menulis fdp normal dalam bentuk dari f x =
1 σ
√
2 π exp
[
− x−a
2
2 σ
2
]
;−∞x∞ Satu bentuk yang menunjukkan secara eksplisit nilai
μ dan σ
2
. Maka fpm
M t
dapat ditulis M t =exp
[
μt + σ
2
t
2
2
]
Contoh 1
Jika X mempunyai fpm
M t
= e
2 t +32t
t
maka X mempunyai distribusi normal dengan μ=2,
σ
2
= 64
. Fdp normal begitu sering terjadi dalam bagian statistik tertentu yang kita nyatakan itu, untuk singkatnya oleh N
μ , σ
2
. Jadi jika kita katakan bahwa peubah acak X adalah N0,1, kita mengartikan bahwa X
mempunyai distribusi normal dengan rataan
μ=0
dan variansi σ
2
= 1 , sehinngga fdp dari
X adalah f x =
1
√
2 π exp
[
− x
2
2
]
;−∞x∞ Jika kita mengatakan bahwa X adalah N5,4 ,kita megartikan bahwa X mempunyai distribusi
normal dengan rataan μ=5
dan variansi σ
2
= 4
. Sehingga fdp dari X adalah
f x = 1
2
√
2 π exp
[
− x −5
2
24
]
;−∞x ∞ Selanjutnya, jika M t =e
2 t
maka X adalah N0,1 Grafik dari
f x = 1
σ
√
2 π exp
[
− x−a
2
2 σ
2
]
;−∞x∞ dilihat
1. Simetrik terhadap garis vertikal melalui x =
μ
2. Mempunyai maksimum 1
σ
√
2 π pada x =
μ
3. Mempunyai sb-x sebagai asimtot datar 4. Mempunyai titik belo pada x =
μ ± σ
Teorema 1
Jika peubah acak X adalah μ , σ
2
;σ
2
0 , maka peubah acak W= X −μ
σ adalah N0,1
Bukti
Fungsi distribusi Gw dari W adalah G w=P
X−μ σ
≤ w =
P X ≤ wσ+μ
yaitu G w=
∫
− ∞
wσ + μ
1 σ
√
2 π exp
[
− x−a
2
2σ
2
]
dx
Jika kita mengubah peubah integrasi dengan menuliskan y= x−μ
σ ; maka
G w
= ¿
∫
− ∞
w
1
√
2 π exp
[
− y
2
2
]
dy Sesuai dengan itu fdp g w=G
w dari peubah acak jenis kontinu W adalah g w=
1
√
2 π e
− w
2
2
;−∞x∞
Teorema 2
Jika peubah acak X adalah N μ , σ
2
; σ
2
0 , maka peubah acak V = x−μ
2
σ
2
adalah χ
2
1
Bukti
Karena V =W
2
dimana W= X −μ
σ adalah N0,1 fungsi distribusi dari V untuk
v ≥ 0
,adalah G v =P
W
2
≤ v =
P −
√
v ≤W ≤
√
v yaitu, G v =2
∫
√
v
1
√
2 π e
− w
2
2
dw ;v ≥0 = 0 ; untuk lainnya
Jadi kita mengubah peubah integrasi melalui penulisa ¿
√
v , maka G v =
∫
v
1
√
2 π
√
y e
− y 2
dy Karenanya fdp g v=G
v dari peubah acak jenis kontinu V adalah g v =
1
√
2 π
√
v e
− v 2
;0∞ = 0 ; untuk lainnya.
Karena g v adalah fdp, dan karenanya
∫
∞
g v dv=1
integral ini harus menjadi bahwa Γ 1
2 =
√
π dan berarti V adalah χ
2
1
Sol-soal Latihan
1. Jika X adalah N75,100, carilah P X 60 dan P70 X 100 . 2. Jika X adalah N
μ , σ
2
, carilah b sehingga
P −
b X−60b =
0,90
3. Misalkan X adalah N μ , σ
2
sehingga P X 89=0,90 dan P X 94 =0,95 Carilah μ dan σ
2
4. Yunjukkan bahwa konstanta c dapat dipilih sehingga f c=e 2
− x
2
;−∞ x∞ , memenuhi persyaratan dari fdp normal.
Petunjuk: Tulis
2=e
ln 2
.
5. Jika X adalah N μ , σ
2
tunjukkan bahwa
|
X −μ
|
= σ
√
2 π . 6. Tunjukkan bahwa grafik fdp N
μ , σ
2
mempunyai titik belok pada
x=μ−σ
dan x=μ−σ .
7. Misalkan peubah acak X mempunyai fdp
Carilah rataan dan variasi X Petunjuk:
Secara langsung hitung E X dan E X
2
dengan membandingkan dengan membanding kan integral itu dengan integral yang menggambarkan variansi peubah yaitu N0,1.
8. Misalkan X adalah N5,10. Carilah P 0,04x −5
2
38,4 .
9. Jika X adalah N1,2 , hitunglah P 1 χ
2
9 .
10. Misalkan X peubah acak sehingga E X
2 m
= 2 m
2
m
m ; m =1,2,3,…dan E
X
2 m−1
= 0 ,
m = 1,2.3….. Carilah fpm dan fdp dari X 11. Misalkan peubah acak X mempunyai distribusi yaitu N
μ , σ
2
a. Adakah peubah acak
Y = X
2
juga mempunyai distribusi normal? b. Adakah peubah acak Y=aX , a dan b
c. konstanta tak nol’ Petunjuk: Dalam setiap kasus pertama tentukan
P Y ≤ y
. 12. Misalkan peubah acak X adalah N
μ , σ
2
. Apakah akan ada distribusi ini jika
σ
2
= 0 ?
Petunjuk: Lihat pada fpm dari X untuk σ
2
0 dan selidiki limitnya jika σ
2
→0 . 13. Misalkan X dan Y peubah acak independen , masing-masing dengan distribusi N0,1.
Misalkan Y = X + Y . Carilah integral yang mewakili fungsi distribusi G z=P X+Y ≤ z dari Z. tentukan fdp dari Z
Petunjuk : Kita mempunyai bahwa G z =
∫
− ∞
∞
H x , z dx , di mana
H x , z=
∫
− ∞
z −x
1 2 π
exp
[
− x
2
+ y
2
2
]
dy
Carilah G z dengan menghitung
∫
− ∞
∞
[
∂ H x , z ∂ z
]
2 dx
2.5 Distribusi Normal Bivariat
