FORMULE matematika 1

FORMULE – Matematika 1 & 2
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih kutova

0

0
sin
cos

0
1

tg

0

ctg

±∞

30 


45 

60 

90 

π

π

π

π

6
1
2

4


3

2

3
2
3
3

3

3
2
1
2

2
2
2

2

1
0

180 

π
0
-1

-1
0

1

3

±∞


0

±∞

1

3
3

0

±∞

0

Funkcije komplementarnih kutova


π
sin  − x  = cos x


2

π
tg  − x  = ctgx

2

270 

2


π
cos − x  = sin x

2

π
ctg  − x  = tgx


2

n

x

lim1 +  = e x
n →∞
 n
sin x
lim
=1
x →0
x

cos(− x) = cos x
ctg (− x) = −ctgx

II.

III.
IV.

ϕ
kvadrant: ϕ = π − ϕ 0
kvadrant: ϕ = π + ϕ 0
kvadrant: ϕ = 2π − ϕ 0
kvadrant:

x →0

sin 2 x = 2 sin x cos x
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 1 − 2 sin 2 x

lim cos x = 1
x →0

tg 2 x =

sin( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y

cos( x ± y ) = cos x cos y  sin x sin y
tgx ± tgy
tg ( x ± y ) =
1  tgxtgy
ctgxctgy  1
ctg ( x ± y ) =
ctgx ± ctgx

sin 2 x + cos 2 x = 1

1 + tg 2 x =

sin x =

1
cos 2 x

sin 2

tg


2tg

x
2

1 + tg 2

tgx =

2tg

1
sin 2 x

x
2
cos x =
x
1 + tg 2

2
1 − tg 2

x
2

x
2

x
1 − tg
2
1 − cos 2 x
sin 2 x =
2
2

sin x
1
tgx =

=
cos x ctgx
1 + ctg 2 x =

ctgx =

1 − tg 2

2tgx
1 − tg 2 x

ctg 2 x =

ctg 2 x − 1
2ctgx

Funkcije polovičnog argumenta

Relacije među trigonometrijskim funkcijama

Pretvorbe
I.

lim(1 + x ) = e

Adicijske formule

Parnost funkcija

sin(− x) = − sin x
tg (− x) = −tgx

Funkcije dvostrukog argumenta

1
x

x
2

x
2tg
2
1 + cos 2 x
cos 2 x =
2

x 1 − cos x
=
2
2

cos 2

x 1 − cos x
=
2
sin x

sin 2 x =

1 − cos 2 x
2

x 1 + cos x
=
2
2

x 1 + cos x
=
2
sin x

ctg

cos 2 x =

1 + cos 2 x
2

Veza realnog broja i kuta

α =

x rad ⋅ 180 

π

x rad =

α  : 180  = x rad : π
y
z 

+
x y ′z ′′ =  x +

60 3600 



Logaritam

y = log a x ⇔ a y = x

log a x =

log b x
log b a



α  ⋅π
180 

Tablica derivacija
Tablica integrala

f ′(x)

f (x)

c

0

xn

nx n −1 , n ∈ ℜ

ax

a x ⋅ ln a

ex

ex
1
x ln a
1
x
cos x

log a x

ln x
sin x
cos x
tgx
ctgx

arcsin x

arccos x
arctgx
arcctgx
shx
chx
thx
cthx

1.

− sin x
1
cos 2 x
1

sin 2 x
1


1− x
1

2

1− x2
1
1+ x2
1

1+ x2
chx

shx
1
ch 2 x
1
− 2
sh x

� � � �� =
� ≠ −1

Parcijalna integracija
∫ ��� = �� − ∫ ���

Binomni integral

∫ � � ∙ (� + �� � )� �� ; �, �, � ∈ ℚ
1) � ∈ ℤ
� +1

∈ ℤ ; supst: � + �� � = � � , � je nazivnik
razlomka �
� +1

3)
+ � ∈ ℤ ; supst: � + � = � �

2)







Trigonometrijske supstitucije


�� = � → � = 2������

� �+1
+ �,
�+1

��
= ��|�| + �


11.

� �ℎ��� = �ℎ� + �

12.

� �ℎ��� = �ℎ� + �

13.



��
= �ℎ� + �
�ℎ2 �

2.



3.

� � � �� =

4.

� � � �� = � � + �

14.



��
= −��ℎ� + �
�ℎ2 �

5.

� ������ = −���� + �

15.



��
1

= ����� + �
�2 + � 2 �


6.

� ������ = ���� + �

16.

7.



��
= ��� + �
��� 2 �

8.



��
= −���� + �
���2 �

9.

10.

��
+�
���



��
1
�+�
=
�� �
�+�
�2 − � 2 2�
�−�

17.



��
1
�−�
=
�� �
�+�
� 2 − �2 2�
�+�

18.



� ����� = −��|����| + �

19.



� ������ = ��|����| + �

20.



2

�� =

2��

1+� 2

; ���� =

2�

1+� 2

; ���� =

1−� 2
1+� 2

��

√�2 − � 2
��

√� 2 + 1
��

√� 2 − 1


= ������ + �


= ���ℎ� + �
= ���ℎ� + �

21. ∫

��

�� 2 +�

Volumen tijela nastalog rotacijom oko:

= ���� + √� 2 + �� + �

Integrali oblika ∫ √��� + �� + � �� svode se na:
1)

∫ √�2



�2

�� =



2



√�2



�2

�2

+

2



1) osi x

������ + � , � > 0

1 + cos 2 x
2

2) �, � �����, supst: cos x =
2

sin 2 x =

1 − cos 2 x
2

sin 2 x = 2 sin x cos x

Integrali oblika ∫ ���� ��� :

1) � �������: ∫ ���� ��� = ∫(1 − ��� 2 �)� ������ =
|���� = �|
2) � �����: ∫ ���� ��� = ∫ �

1−��� 2� �
2

� �� = |2� = �|

Integrali oblika ∫ ���� ���:

1) � �������: ∫ ��� � ��� = ∫(1 − ���2 �)� ������ =
|���� = �|
2) � �����: ∫ ��� � ��� = ∫ �

1+��� 2� �
2

� �� = |2� = �|



�� = � �([�(�)]2 − [�(�)]2 )��
2) osi y





�� = 2� � ��(�)��

1) � �������, supst: ���� = �
2) � �������, supst: ���� = �

2






Integrali oblika ∫ ���� ����� ��� �, � ∈ ℤ:



�� = � �[�(�)] �� = � � � 2 ��



2) ∫ √� 2 + � �� = √� 2 + � + ���� + √� 2 + �� + �
2
2







�� = � � � 2 ��
Duljina luka krivulje


� = ∫� �1 + �´2 ��



Kriterij konv./div. redova s članovima promjenljivog
predznaka:

Konvergencija redova realnih brojeva:
Nužan uvjet: lim�→∞ �� = 0

Suma reda: �� = ∑��=1 ��
Geometrijski red:

|�| = �

�−1
∑∞
�=1 ��

< 1 → lim �� =
�→∞

1

=


∑∞
�=0 ��

; �� = �1

1−� �
1−�

�1
→ ��� ����. → � = lim ��
�→∞
1−�
≥ 1 → ��� ���.

Harmonijski red: ∑ divergira!

Red ∑

1

��



> 1 → ��� ����.
→�=�
≤ 1 → ��� ���.

Kriterij konv./div. redova s pozitivnim članovima:
1) K. uspoređivanja I
��


��� ����.
� →
≥ �
��� ���.

2) K. uspoređivanja II

lim

�→∞

��
≠0
��

ravnate se po nizu �� s kojim ste uspoređivali!
3) D´Alambertov k.

< 1 → ��� ����.
��+1
> 1 → ��� ���.
lim
=�
�→∞ ��
= 1 → ��� �� ���� ������

4) Cauchyev k.

< 1 → ��� ����.

> 1 → ��� ���.
lim ��� = � = �
�→∞
= 1 → ��� �� ���� ������

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE


Leibnizov k.
Alternirani red konv. ako:

1) HOMOGENE DJ: �´ = � � �

1) ∃�0 ∈ ℕ ∶ � ≥ �0 → |��+1 | ≤ |�� |

2) LINEARNE DJ: �´ + �(�)� = �(�)

2) lim �� = 0

- supst: � =

- rješava se pripadna homogena dj:
�(�) = 0

1) Cauchyev k.




|�| <

1

1


1 1

→ � ∈ 〈− , 〉 → ��� ���� … �������� ����.




� = … ������� ����.


2) D´Alambertov k.
lim�→∞ �
|�| <

1


� � +1 � � +1
�� �

1 1

� � +1
��

� ∙ |�| = � ∙ |�|

→ � ∈ 〈− , 〉 → ��� ���� … �������� ����.

Taylorov red



�(�) = �(�0 ) + ∑∞
�=1

�´ + �(�)� = 0

- uzimamo konst c kao �(�)

3) BERNOULLIJEVA DJ: �´ + �(�)� = �(�) ∙ � � ,
� ∈ ℛ\{0,1}
- supst: � =

1

� � −1

→ �´ =

- svodimo na linearnu:

� = lim�→∞ �




- metoda varijacije konstanti:


Redovi potencija: ∑∞
�=0 �� (� − �0 )

lim�→∞ �|�� � � | = lim�→∞ �|�� | ∙ |�| = � ∙ |�|





� (� ) (� 0 )
�!

(� − �0 )�

Taylorov razvoj u točki �0 = 0 → MacLaurinov red:
�(�) = �(0) + ∑∞
�=1

� (� ) (0)
�!

(�)�

(1−�)�´
��

- rješava se homogena dj
- � → �(�)

4) CLAIRAUTOVA DJ: � = ��´ + �(�´)

- deriviramo: → �´´ = 0 & � + �´(�´) = 0
�´ = �

sing. rj.

5) LAGRANGEOVA DJ: � = � ∙ �(�´) + �(�´)
- deriviramo po x: �´ = �

6) EGZAKTNE DJ: �(�, �)�� + �(�, �)�� = 0


��
��



=

��
��

� �(�, �0 )�� + � �(�0 , �)�� = �

�0

�0