FORMULE matematika 1
FORMULE – Matematika 1 & 2
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih kutova
0
0
sin
cos
0
1
tg
0
ctg
±∞
30
45
60
90
π
π
π
π
6
1
2
4
3
2
3
2
3
3
3
3
2
1
2
2
2
2
2
1
0
180
π
0
-1
-1
0
1
3
±∞
0
±∞
1
3
3
0
±∞
0
Funkcije komplementarnih kutova
π
sin − x = cos x
2
π
tg − x = ctgx
2
270
3π
2
π
cos − x = sin x
2
π
ctg − x = tgx
2
n
x
lim1 + = e x
n →∞
n
sin x
lim
=1
x →0
x
cos(− x) = cos x
ctg (− x) = −ctgx
II.
III.
IV.
ϕ
kvadrant: ϕ = π − ϕ 0
kvadrant: ϕ = π + ϕ 0
kvadrant: ϕ = 2π − ϕ 0
kvadrant:
x →0
sin 2 x = 2 sin x cos x
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 1 − 2 sin 2 x
lim cos x = 1
x →0
tg 2 x =
sin( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y
cos( x ± y ) = cos x cos y sin x sin y
tgx ± tgy
tg ( x ± y ) =
1 tgxtgy
ctgxctgy 1
ctg ( x ± y ) =
ctgx ± ctgx
sin 2 x + cos 2 x = 1
1 + tg 2 x =
sin x =
1
cos 2 x
sin 2
tg
2tg
x
2
1 + tg 2
tgx =
2tg
1
sin 2 x
x
2
cos x =
x
1 + tg 2
2
1 − tg 2
x
2
x
2
x
1 − tg
2
1 − cos 2 x
sin 2 x =
2
2
sin x
1
tgx =
=
cos x ctgx
1 + ctg 2 x =
ctgx =
1 − tg 2
2tgx
1 − tg 2 x
ctg 2 x =
ctg 2 x − 1
2ctgx
Funkcije polovičnog argumenta
Relacije među trigonometrijskim funkcijama
Pretvorbe
I.
lim(1 + x ) = e
Adicijske formule
Parnost funkcija
sin(− x) = − sin x
tg (− x) = −tgx
Funkcije dvostrukog argumenta
1
x
x
2
x
2tg
2
1 + cos 2 x
cos 2 x =
2
x 1 − cos x
=
2
2
cos 2
x 1 − cos x
=
2
sin x
sin 2 x =
1 − cos 2 x
2
x 1 + cos x
=
2
2
x 1 + cos x
=
2
sin x
ctg
cos 2 x =
1 + cos 2 x
2
Veza realnog broja i kuta
α =
x rad ⋅ 180
π
x rad =
α : 180 = x rad : π
y
z
+
x y ′z ′′ = x +
60 3600
Logaritam
y = log a x ⇔ a y = x
log a x =
log b x
log b a
α ⋅π
180
Tablica derivacija
Tablica integrala
f ′(x)
f (x)
c
0
xn
nx n −1 , n ∈ ℜ
ax
a x ⋅ ln a
ex
ex
1
x ln a
1
x
cos x
log a x
ln x
sin x
cos x
tgx
ctgx
arcsin x
arccos x
arctgx
arcctgx
shx
chx
thx
cthx
1.
− sin x
1
cos 2 x
1
−
sin 2 x
1
−
1− x
1
2
1− x2
1
1+ x2
1
−
1+ x2
chx
shx
1
ch 2 x
1
− 2
sh x
� � � �� =
� ≠ −1
Parcijalna integracija
∫ ��� = �� − ∫ ���
Binomni integral
∫ � � ∙ (� + �� � )� �� ; �, �, � ∈ ℚ
1) � ∈ ℤ
� +1
∈ ℤ ; supst: � + �� � = � � , � je nazivnik
razlomka �
� +1
�
3)
+ � ∈ ℤ ; supst: � + � = � �
2)
�
�
�
Trigonometrijske supstitucije
�
�� = � → � = 2������
� �+1
+ �,
�+1
��
= ��|�| + �
�
11.
� �ℎ��� = �ℎ� + �
12.
� �ℎ��� = �ℎ� + �
13.
�
��
= �ℎ� + �
�ℎ2 �
2.
�
3.
� � � �� =
4.
� � � �� = � � + �
14.
�
��
= −��ℎ� + �
�ℎ2 �
5.
� ������ = −���� + �
15.
�
��
1
�
= ����� + �
�2 + � 2 �
�
6.
� ������ = ���� + �
16.
7.
�
��
= ��� + �
��� 2 �
8.
�
��
= −���� + �
���2 �
9.
10.
��
+�
���
�
��
1
�+�
=
�� �
�+�
�2 − � 2 2�
�−�
17.
�
��
1
�−�
=
�� �
�+�
� 2 − �2 2�
�+�
18.
�
� ����� = −��|����| + �
19.
�
� ������ = ��|����| + �
20.
�
2
�� =
2��
1+� 2
; ���� =
2�
1+� 2
; ���� =
1−� 2
1+� 2
��
√�2 − � 2
��
√� 2 + 1
��
√� 2 − 1
�
= ������ + �
�
= ���ℎ� + �
= ���ℎ� + �
21. ∫
��
�� 2 +�
Volumen tijela nastalog rotacijom oko:
= ���� + √� 2 + �� + �
Integrali oblika ∫ √��� + �� + � �� svode se na:
1)
∫ √�2
−
�2
�� =
�
2
�
√�2
−
�2
�2
+
2
�
1) osi x
������ + � , � > 0
1 + cos 2 x
2
2) �, � �����, supst: cos x =
2
sin 2 x =
1 − cos 2 x
2
sin 2 x = 2 sin x cos x
Integrali oblika ∫ ���� ��� :
1) � �������: ∫ ���� ��� = ∫(1 − ��� 2 �)� ������ =
|���� = �|
2) � �����: ∫ ���� ��� = ∫ �
1−��� 2� �
2
� �� = |2� = �|
Integrali oblika ∫ ���� ���:
1) � �������: ∫ ��� � ��� = ∫(1 − ���2 �)� ������ =
|���� = �|
2) � �����: ∫ ��� � ��� = ∫ �
1+��� 2� �
2
� �� = |2� = �|
�
�� = � �([�(�)]2 − [�(�)]2 )��
2) osi y
�
�
�� = 2� � ��(�)��
1) � �������, supst: ���� = �
2) � �������, supst: ���� = �
2
�
�
�
Integrali oblika ∫ ���� ����� ��� �, � ∈ ℤ:
�
�� = � �[�(�)] �� = � � � 2 ��
�
2) ∫ √� 2 + � �� = √� 2 + � + ���� + √� 2 + �� + �
2
2
�
�
�
�� = � � � 2 ��
Duljina luka krivulje
�
� = ∫� �1 + �´2 ��
�
Kriterij konv./div. redova s članovima promjenljivog
predznaka:
Konvergencija redova realnih brojeva:
Nužan uvjet: lim�→∞ �� = 0
Suma reda: �� = ∑��=1 ��
Geometrijski red:
|�| = �
�−1
∑∞
�=1 ��
< 1 → lim �� =
�→∞
1
=
�
∑∞
�=0 ��
; �� = �1
1−� �
1−�
�1
→ ��� ����. → � = lim ��
�→∞
1−�
≥ 1 → ��� ���.
Harmonijski red: ∑ divergira!
Red ∑
1
��
�
> 1 → ��� ����.
→�=�
≤ 1 → ��� ���.
Kriterij konv./div. redova s pozitivnim članovima:
1) K. uspoređivanja I
��
≤
��� ����.
� →
≥ �
��� ���.
2) K. uspoređivanja II
lim
�→∞
��
≠0
��
ravnate se po nizu �� s kojim ste uspoređivali!
3) D´Alambertov k.
< 1 → ��� ����.
��+1
> 1 → ��� ���.
lim
=�
�→∞ ��
= 1 → ��� �� ���� ������
4) Cauchyev k.
< 1 → ��� ����.
�
> 1 → ��� ���.
lim ��� = � = �
�→∞
= 1 → ��� �� ���� ������
DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
�
Leibnizov k.
Alternirani red konv. ako:
1) HOMOGENE DJ: �´ = � � �
1) ∃�0 ∈ ℕ ∶ � ≥ �0 → |��+1 | ≤ |�� |
2) LINEARNE DJ: �´ + �(�)� = �(�)
2) lim �� = 0
- supst: � =
- rješava se pripadna homogena dj:
�(�) = 0
1) Cauchyev k.
�
�
|�| <
1
1
�
1 1
→ � ∈ 〈− , 〉 → ��� ���� … �������� ����.
�
�
� = … ������� ����.
�
2) D´Alambertov k.
lim�→∞ �
|�| <
1
�
� � +1 � � +1
�� �
1 1
� � +1
��
� ∙ |�| = � ∙ |�|
→ � ∈ 〈− , 〉 → ��� ���� … �������� ����.
Taylorov red
�
�(�) = �(�0 ) + ∑∞
�=1
�´ + �(�)� = 0
- uzimamo konst c kao �(�)
3) BERNOULLIJEVA DJ: �´ + �(�)� = �(�) ∙ � � ,
� ∈ ℛ\{0,1}
- supst: � =
1
� � −1
→ �´ =
- svodimo na linearnu:
� = lim�→∞ �
�
�
- metoda varijacije konstanti:
�
Redovi potencija: ∑∞
�=0 �� (� − �0 )
lim�→∞ �|�� � � | = lim�→∞ �|�� | ∙ |�| = � ∙ |�|
�
�
� (� ) (� 0 )
�!
(� − �0 )�
Taylorov razvoj u točki �0 = 0 → MacLaurinov red:
�(�) = �(0) + ∑∞
�=1
� (� ) (0)
�!
(�)�
(1−�)�´
��
- rješava se homogena dj
- � → �(�)
4) CLAIRAUTOVA DJ: � = ��´ + �(�´)
- deriviramo: → �´´ = 0 & � + �´(�´) = 0
�´ = �
sing. rj.
5) LAGRANGEOVA DJ: � = � ∙ �(�´) + �(�´)
- deriviramo po x: �´ = �
6) EGZAKTNE DJ: �(�, �)�� + �(�, �)�� = 0
�
��
��
�
=
��
��
� �(�, �0 )�� + � �(�0 , �)�� = �
�0
�0
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih kutova
0
0
sin
cos
0
1
tg
0
ctg
±∞
30
45
60
90
π
π
π
π
6
1
2
4
3
2
3
2
3
3
3
3
2
1
2
2
2
2
2
1
0
180
π
0
-1
-1
0
1
3
±∞
0
±∞
1
3
3
0
±∞
0
Funkcije komplementarnih kutova
π
sin − x = cos x
2
π
tg − x = ctgx
2
270
3π
2
π
cos − x = sin x
2
π
ctg − x = tgx
2
n
x
lim1 + = e x
n →∞
n
sin x
lim
=1
x →0
x
cos(− x) = cos x
ctg (− x) = −ctgx
II.
III.
IV.
ϕ
kvadrant: ϕ = π − ϕ 0
kvadrant: ϕ = π + ϕ 0
kvadrant: ϕ = 2π − ϕ 0
kvadrant:
x →0
sin 2 x = 2 sin x cos x
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 1 − 2 sin 2 x
lim cos x = 1
x →0
tg 2 x =
sin( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y
cos( x ± y ) = cos x cos y sin x sin y
tgx ± tgy
tg ( x ± y ) =
1 tgxtgy
ctgxctgy 1
ctg ( x ± y ) =
ctgx ± ctgx
sin 2 x + cos 2 x = 1
1 + tg 2 x =
sin x =
1
cos 2 x
sin 2
tg
2tg
x
2
1 + tg 2
tgx =
2tg
1
sin 2 x
x
2
cos x =
x
1 + tg 2
2
1 − tg 2
x
2
x
2
x
1 − tg
2
1 − cos 2 x
sin 2 x =
2
2
sin x
1
tgx =
=
cos x ctgx
1 + ctg 2 x =
ctgx =
1 − tg 2
2tgx
1 − tg 2 x
ctg 2 x =
ctg 2 x − 1
2ctgx
Funkcije polovičnog argumenta
Relacije među trigonometrijskim funkcijama
Pretvorbe
I.
lim(1 + x ) = e
Adicijske formule
Parnost funkcija
sin(− x) = − sin x
tg (− x) = −tgx
Funkcije dvostrukog argumenta
1
x
x
2
x
2tg
2
1 + cos 2 x
cos 2 x =
2
x 1 − cos x
=
2
2
cos 2
x 1 − cos x
=
2
sin x
sin 2 x =
1 − cos 2 x
2
x 1 + cos x
=
2
2
x 1 + cos x
=
2
sin x
ctg
cos 2 x =
1 + cos 2 x
2
Veza realnog broja i kuta
α =
x rad ⋅ 180
π
x rad =
α : 180 = x rad : π
y
z
+
x y ′z ′′ = x +
60 3600
Logaritam
y = log a x ⇔ a y = x
log a x =
log b x
log b a
α ⋅π
180
Tablica derivacija
Tablica integrala
f ′(x)
f (x)
c
0
xn
nx n −1 , n ∈ ℜ
ax
a x ⋅ ln a
ex
ex
1
x ln a
1
x
cos x
log a x
ln x
sin x
cos x
tgx
ctgx
arcsin x
arccos x
arctgx
arcctgx
shx
chx
thx
cthx
1.
− sin x
1
cos 2 x
1
−
sin 2 x
1
−
1− x
1
2
1− x2
1
1+ x2
1
−
1+ x2
chx
shx
1
ch 2 x
1
− 2
sh x
� � � �� =
� ≠ −1
Parcijalna integracija
∫ ��� = �� − ∫ ���
Binomni integral
∫ � � ∙ (� + �� � )� �� ; �, �, � ∈ ℚ
1) � ∈ ℤ
� +1
∈ ℤ ; supst: � + �� � = � � , � je nazivnik
razlomka �
� +1
�
3)
+ � ∈ ℤ ; supst: � + � = � �
2)
�
�
�
Trigonometrijske supstitucije
�
�� = � → � = 2������
� �+1
+ �,
�+1
��
= ��|�| + �
�
11.
� �ℎ��� = �ℎ� + �
12.
� �ℎ��� = �ℎ� + �
13.
�
��
= �ℎ� + �
�ℎ2 �
2.
�
3.
� � � �� =
4.
� � � �� = � � + �
14.
�
��
= −��ℎ� + �
�ℎ2 �
5.
� ������ = −���� + �
15.
�
��
1
�
= ����� + �
�2 + � 2 �
�
6.
� ������ = ���� + �
16.
7.
�
��
= ��� + �
��� 2 �
8.
�
��
= −���� + �
���2 �
9.
10.
��
+�
���
�
��
1
�+�
=
�� �
�+�
�2 − � 2 2�
�−�
17.
�
��
1
�−�
=
�� �
�+�
� 2 − �2 2�
�+�
18.
�
� ����� = −��|����| + �
19.
�
� ������ = ��|����| + �
20.
�
2
�� =
2��
1+� 2
; ���� =
2�
1+� 2
; ���� =
1−� 2
1+� 2
��
√�2 − � 2
��
√� 2 + 1
��
√� 2 − 1
�
= ������ + �
�
= ���ℎ� + �
= ���ℎ� + �
21. ∫
��
�� 2 +�
Volumen tijela nastalog rotacijom oko:
= ���� + √� 2 + �� + �
Integrali oblika ∫ √��� + �� + � �� svode se na:
1)
∫ √�2
−
�2
�� =
�
2
�
√�2
−
�2
�2
+
2
�
1) osi x
������ + � , � > 0
1 + cos 2 x
2
2) �, � �����, supst: cos x =
2
sin 2 x =
1 − cos 2 x
2
sin 2 x = 2 sin x cos x
Integrali oblika ∫ ���� ��� :
1) � �������: ∫ ���� ��� = ∫(1 − ��� 2 �)� ������ =
|���� = �|
2) � �����: ∫ ���� ��� = ∫ �
1−��� 2� �
2
� �� = |2� = �|
Integrali oblika ∫ ���� ���:
1) � �������: ∫ ��� � ��� = ∫(1 − ���2 �)� ������ =
|���� = �|
2) � �����: ∫ ��� � ��� = ∫ �
1+��� 2� �
2
� �� = |2� = �|
�
�� = � �([�(�)]2 − [�(�)]2 )��
2) osi y
�
�
�� = 2� � ��(�)��
1) � �������, supst: ���� = �
2) � �������, supst: ���� = �
2
�
�
�
Integrali oblika ∫ ���� ����� ��� �, � ∈ ℤ:
�
�� = � �[�(�)] �� = � � � 2 ��
�
2) ∫ √� 2 + � �� = √� 2 + � + ���� + √� 2 + �� + �
2
2
�
�
�
�� = � � � 2 ��
Duljina luka krivulje
�
� = ∫� �1 + �´2 ��
�
Kriterij konv./div. redova s članovima promjenljivog
predznaka:
Konvergencija redova realnih brojeva:
Nužan uvjet: lim�→∞ �� = 0
Suma reda: �� = ∑��=1 ��
Geometrijski red:
|�| = �
�−1
∑∞
�=1 ��
< 1 → lim �� =
�→∞
1
=
�
∑∞
�=0 ��
; �� = �1
1−� �
1−�
�1
→ ��� ����. → � = lim ��
�→∞
1−�
≥ 1 → ��� ���.
Harmonijski red: ∑ divergira!
Red ∑
1
��
�
> 1 → ��� ����.
→�=�
≤ 1 → ��� ���.
Kriterij konv./div. redova s pozitivnim članovima:
1) K. uspoređivanja I
��
≤
��� ����.
� →
≥ �
��� ���.
2) K. uspoređivanja II
lim
�→∞
��
≠0
��
ravnate se po nizu �� s kojim ste uspoređivali!
3) D´Alambertov k.
< 1 → ��� ����.
��+1
> 1 → ��� ���.
lim
=�
�→∞ ��
= 1 → ��� �� ���� ������
4) Cauchyev k.
< 1 → ��� ����.
�
> 1 → ��� ���.
lim ��� = � = �
�→∞
= 1 → ��� �� ���� ������
DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
�
Leibnizov k.
Alternirani red konv. ako:
1) HOMOGENE DJ: �´ = � � �
1) ∃�0 ∈ ℕ ∶ � ≥ �0 → |��+1 | ≤ |�� |
2) LINEARNE DJ: �´ + �(�)� = �(�)
2) lim �� = 0
- supst: � =
- rješava se pripadna homogena dj:
�(�) = 0
1) Cauchyev k.
�
�
|�| <
1
1
�
1 1
→ � ∈ 〈− , 〉 → ��� ���� … �������� ����.
�
�
� = … ������� ����.
�
2) D´Alambertov k.
lim�→∞ �
|�| <
1
�
� � +1 � � +1
�� �
1 1
� � +1
��
� ∙ |�| = � ∙ |�|
→ � ∈ 〈− , 〉 → ��� ���� … �������� ����.
Taylorov red
�
�(�) = �(�0 ) + ∑∞
�=1
�´ + �(�)� = 0
- uzimamo konst c kao �(�)
3) BERNOULLIJEVA DJ: �´ + �(�)� = �(�) ∙ � � ,
� ∈ ℛ\{0,1}
- supst: � =
1
� � −1
→ �´ =
- svodimo na linearnu:
� = lim�→∞ �
�
�
- metoda varijacije konstanti:
�
Redovi potencija: ∑∞
�=0 �� (� − �0 )
lim�→∞ �|�� � � | = lim�→∞ �|�� | ∙ |�| = � ∙ |�|
�
�
� (� ) (� 0 )
�!
(� − �0 )�
Taylorov razvoj u točki �0 = 0 → MacLaurinov red:
�(�) = �(0) + ∑∞
�=1
� (� ) (0)
�!
(�)�
(1−�)�´
��
- rješava se homogena dj
- � → �(�)
4) CLAIRAUTOVA DJ: � = ��´ + �(�´)
- deriviramo: → �´´ = 0 & � + �´(�´) = 0
�´ = �
sing. rj.
5) LAGRANGEOVA DJ: � = � ∙ �(�´) + �(�´)
- deriviramo po x: �´ = �
6) EGZAKTNE DJ: �(�, �)�� + �(�, �)�� = 0
�
��
��
�
=
��
��
� �(�, �0 )�� + � �(�0 , �)�� = �
�0
�0