materi bilngn prima teori bilangan matem

  Relatif Prima

  Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika PBB(a, b) = 1. 

  Contoh 5. 20 dan 3 relatif prima sebab PBB(20, 3) = 1. Begitu juga 7 dan 11 relatif 

  prima karena PBB(7, 11) = 1. Tetapi 20 dan 5 tidak relatif prima sebab PBB(20, 5) = 5  1. Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga 

  ma + nb = 1 (2) Contoh 6. Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena PBB(20, 3) =1, atau dapat

   ditulis 2 . 20 + (–13) . 3 = 1 dengan m = 2 dan n = –13. Tetapi 20 dan 5 tidak relatif prima karena PBB(20, 5) = 5  1 sehingga 20 dan 5 tidak dapat dinyatakan dalam m . 20 + n . 5 = 1.

  Bilangan Prima

  Bilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan  p.

  Contoh: 23 adalah bilangan prima karena ia hanya habis dibagi oleh 1 dan 23.  Karena bilangan prima harus lebih besar dari 1, maka barisan bilangan prima dimulai  dari 2, yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, …. Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali 2 yang merupakan bilangan genap. Bilangan selain prima disebut bilangan komposit (composite). Misalnya 20 adalah  bilangan komposit karena 20 dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.

  

Teorema 3. (The Fundamental Theorem of Arithmetic). Setiap bilangan bulat positif yang

  lebih besar atau sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.

  Contoh 15.

  9 = 3 (2 buah faktor prima)  3 100 = 2 (4 buah faktor prima)

   2  5  5 13 = 13 (atau 1  13) (1 buah faktor prima)

  Untuk menguji apakah n merupakan bilangan prima atau komposit, kita cukup  membagi n dengan sejumlah bilangan prima, mulai dari 2, 3, … , bilangan prima 

  n. Jika n habis dibagi dengan salah satu dari bilangan prima tersebut, maka n adalah bilangan komposit, tetapi jika n tidak habis dibagi oleh semua bilangan prima tersebut, maka n adalah bilangan prima.

  Contoh 16.

  Tunjukkan apakah (i) 171 dan (ii) 199 merupakan bilangan prima atau komposit. Penyelesaian: (i)

  171 = 13.077. Bilangan prima yang  171 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 171 habis dibagi 3, maka 171 adalah bilangan komposit. (ii)

  199 = 14.107. Bilangan prima yang  199 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 199 tidak habis dibagi 2, 3, 5, 7, 11, dan 13, maka 199 adalah bilangan prima. Terdapat metode lain yang dapat digunakan untuk menguji keprimaan suatu bilangan  bulat, yang terkenal dengan Teorema Fermat. Fermat (dibaca “Fair-ma”) adalah seorang matematikawan Perancis pada tahun 1640.

  

Teorema 4 (Teorema Fermat). Jika p adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat

  yang tidak habis dibagi dengan p, yaitu PBB(a, p) = 1, maka

  p–1 a

   1 (mod p) Contoh 17. Kita akan menguji apakah 17 dan 21 bilangan prima atau bukan. Di sini kita mengambil nilai

  a = 2 karena PBB(17, 2) = 1 dan PBB(21, 2) = 1. Untuk 17, 17–1

  2 = 65536  1 (mod 17)

  ¿ karena 17 tidak membagi 65536 – 1 = 65535 (65535 17 = 3855).

  Untuk 21,

  21–1

  2 =1048576 \ 1 (mod 21) karena 21 tidak habis membagi 1048576 – 1 = 1048575.

  n–1

  Kelemahan Teorema Fermat: terdapat bilangan komposit n sedemikian sehingga 2 

   1 (mod n). Bilangan bulat seperti itu disebut bilangan prima semu (pseudoprimes). Misalnya komposit 341 (yaitu 341 = 11  31) adalah bilangan prima semu karena

   menurut teorema Fermat,

  340

  2  1 (mod 341) Untunglah bilangan prima semu relatif jarang terdapat.

  Contoh 18.

  16

  6 Periksalah bahwa (i) 3  1 (mod 17) dan (ii) 18  1 (mod 49).

  Penyelesaian:

  

3

  (i) Dengan mengetahui bahwa kongruen 3  10 (mod 17), kuadratkan kongruen tersebut menghasilkan

  6

  3  100  –2 (mod 17)

  Kuadratkan lagi untuk menghasilkan

  12

  3  4 (mod 17)

  16

  12

3 Dengan demikian, 3

   3  3  3  4  10  3  120  1 (mod 17) (ii) Caranya sama seperti penyelesaian (i) di atas:

  2

  18  324  30 (mod 49)

  4

  18  900  18 (mod 49)

  6

  4

  2

  18  18  18  18  30  540  1 (mod 49)

  //http://faisalrespatiadi25.blogspot.com/2013/07/modulo.html Relatif Prima Definisi: Dua buah bilangan bulat dan dikatakan relatif prima jika FPB/GCD (x,y)=1 Contoh : 7 dan 11 adalah relatif prima karena FPB/GCD (7,11) = 1 31 dan 268 adalah relatif prima karena FPB/GCD (31,268) = 1. 9 dan 132 bukan relatif prima karena FPB/GCD (9, 132) = 3. Jika dan relatif prima, maka dapat ditemukan bilangan bulat dan sedemikian sehingga . Contoh: Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena FPB (20, 3)=1, atau dapat ditulis dengan dan .

  //http://jopraz.wordpress.com/2013/02/04/matematika-diskrit-teori-bilangan/ Bilangan Prima Bilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p.

  Contoh: 23 adalah bilangan prima karena ia hanya habis dibagi oleh 1 dan 23. Karena bilangan prima harus lebih besar dari 1, maka barisan bilangan prima dimulai dari 2, yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, …. Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali 2 yang merupakan bilangan genap. Bilangan selain prima disebut bilangan komposit (composite). Misalnya 20 adalah bilangan komposit karena 20 dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.

  //http://mattady.students-blog.undip.ac.id/2010/09/20/teori-bilangan-dalam-matematika- diskrit/ Bilangan Prima Bilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p. Contoh: 23 adalah bilangan prima karena ia hanya habis dibagi oleh 1 dan 23. Karena bilangan prima harus lebih besar dari 1, maka barisan bilangan prima dimulai dari 2, yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, …. Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali 2 yang merupakan bilangan genap. Bilangan selain prima disebut bilangan komposit (composite). Misalnya 20 adalah bilangan komposit karena 20 dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri. The Fundamental Theorem of Arithmetic

  Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima. Contoh : 9 = 3 ´ 3 (2 buah faktor prima) 100 = 2 ´ 2 ´ 5 ´ 5 (4 buah faktor prima) 13 = 13 (atau 1 ´ 13) (1 buah faktor prima) Untuk menguji apakah n merupakan bilangan prima atau komposit, kita cukup membagi n dengan sejumlah bilangan prima, mulai dari 2, 3, … , bilangan prima £ Ön. Bilangan Komposit à n habis dibagi dengan salah satu dari bilangan prima. Bilangan Prima à n tidak habis dibagi oleh semua bilangan prima. Contoh : Tunjukkan apakah 171 dan 199 merupakan bilangan prima atau komposit.

  Penyelesaian: Ö171 = 13.077. Bilangan prima yang £ Ö171 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 171 habis dibagi 3, maka 171 adalah bilangan komposit. Ö199 = 14.107 Bilangan prima yang £ Ö199 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 199 tidak habis dibagi 2, 3, 5, 7, 11, dan 13, maka 199 adalah bilangan prima. Terdapat metode lain yang dapat digunakan untuk menguji keprimaan suatu bilangan bulat, yang terkenal dengan Teorema Fermat. Fermat (dibaca “Fair-ma”) adalah seorang matematikawan Perancis pada tahun 1640. Teorema 5 (Teorema Fermat). Jika p adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi dengan p, yaitu PBB(a, p) = 1, maka ap–1 º 1 (mod p) Contoh : Kita akan menguji apakah 17 dan 21 bilangan prima atau bukan. Di sini kita mengambil nilai a = 2 karena PBB(17, 2) = 1 dan PBB(21, 2) = 1. Untuk 17, 217–1 = 65536 º 1 (mod 17) à Bilangan Prima karena 17 habis membagi 65536 – 1 = 65535 (6553517 = 3855).

  221–1 =1048576 º\ 1 (mod 21) à Bilangan Komposit karena 21 tidak habis membagi 1048576 – 1 = 1048575. Pseudoprimes / Bilangan Prima Semu Kelemahan Teorema Fermat: terdapat bilangan komposit n sedemikian sehingga 2n–1 º 1 (mod n). Bilangan bulat seperti itu disebut bilangan prima semu (pseudoprimes). Misalnya komposit 341 (yaitu 341 = 11 × 31) adalah bilangan prima semu karena menurut teorema Fermat, 2340 º 1 (mod 341) Contoh : Periksalah bahwa 316 º 1 (mod 17) dan 186 º 1 (mod 49). Penyelesaian: Dengan mengetahui bahwa kongruen 33 º 10 (mod 17), kuadratkan kongruen tersebut menghasilkan 31 º 3 º 3 (mod 17) 33 º 27 º 10 (mod 17) … Kuadratkan lagi untuk menghasilkan 312 º 4 (mod 17) Dengan demikian, 316 º 312 × 33 × 3 º 4 × 10 × 3 º 120 º 1 (mod 17) Caranya sama seperti penyelesaian (i) di atas: 182 º 324 º 30 (mod 49) 184 º 900 º 18 (mod 49) 186 º 184 × 182 º 18 × 30 º 540 º 1 (mod 49).

  //http://usmcr010.blogspot.com/2012/08/pembahasan-soal-olimpiade.html

1. Bilangan Prima dan Komposit

  Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya dapat dibagi oleh bilangan itu sendiri dan satu. Dengan perkataan lain, bilangan prima hanya mempunyai dua faktor. Misalnya 2, 3, 5, 7, 11, … bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua faktor disebut bilangan komposit (majemuk). Misal 4, 6, 8, 9, …

  Teorema : (Topik Erotosthenes) Untuk setiap bilangan komposit n ada bilangan prima p sehingga p|n dan p .

  Teorema di atas mempunyai makna yang sama dengan “jika tidak ada bilangan prima p yang dapat membagi n dengan p maka n adalah bilagan prima”.

  Contoh soal 4 Tentukan bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima atau majemuk.

  a). 157 b). 221 penyelesaian : a). Bilangan-bilangan prima yang adalah 2, 3, 5, 7, 11. Karena tidak ada dari bilangan- bilangan prima 2, 3, 5, 7, 11 yang dapat dibagi 157, maka 157 merupakan bilangan prima.

  b). Bilangan-bilangan prima yang adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 13|221 maka 221 merupakan bilangan komposit.

  Contoh soal 5

  2

  2 Tentukan pasangan-pasangan bilangan asli a dan b sehingga a – b = 1991.

  Penyelesaian : Karena 1991 merupakan bilangan komposit (1991 = 11 X 181) maka :

  2

2 A – b = 1991

  (a – b)(a + b) = 1991 (1 X 1991 atau 11 X 181) atau (a – b)(a + b) = 11 X 181

  Kemungkinan I Kemungkinan II

  a + b = 1991 a + b = 181

• a - b = 1 + a – b = 11 2a = 1992 2a = 192 a = 996 a = 96 b = 995 b = 85

  2

  2 Jadi pasangan-pasangan bilangan asli a dan b yang memenuhi a – b = 1991 adalah (996,

  995) dan (96, 85)

  1. Bilangan kuadrat

  Ada tiga hal penting yang perlu duketahui tentang bilangan kuadrat, yaitu : Angka satuan yang mungkin untuk bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, dan 9 1.

  2. Setiap bilangan kuadrat dibagi 4 maka sisanya 0 atau 1

  

2

  2

  2

  3. Jika p bilangan prima dan p|n maka p |n Contoh soal 6

  Carilah suatu bilangan kuadrat sempurna yang angka-angkanya berturut-turut adalah : k, k + 1, k + 2, 3k, k + 3 penyelesaian :

  Angka pertama adalah k maka k yang mungkin adalah 1, 2, 3, … , 9

   ……………………… (1) Angka ketiga adalah 3k maka k yang mungkin adalah 0, 1, 2, 3

   …………………………….. (2) Dari (1) dan (2), maka k yang mungkin terjadi 1, 2, 3.

   Bilangan kuadrat yang mungkin adalah 12334, 233465, 34596.

  Selanjutnya 12334 dibagi 4 bersisa 2 berarti 12334 bukan bilangan kuadrat.  5 karena 4693 tidak lagi dapat dibagi 5 maka 23465 bukan bilangan kuadrat.

   2

  2

  2 2 34596 bilangan 334596 = 2 . 3 . 31 , berarti 34596 merupakan bilangan kuadrat.

  2 17298 3 8649 3 2883 31 961 31 31

  1 Jadi bilangan kuadrat yang dicari adalah 34596.

1. GCD DAN ALGORITMA EUCLID

  Jika a dan b sembarang bilangan bulat dan d bilangan bulat yang memenuhi sifat d|a dan d|b, maka d disebut pembagi persekutuan dari a dan b. Nilai terbesar dari d disebut pembagi persekutuan terbesar Greater Common Divisor (GCD) dan ditulis dengan GCD (a, b) Misal : GCD (8, 12) = 4 Pembagi persekutuan terbesar dapat juga ditentukan dengan menggunakan Algoritma Euclede.

  Teorema (Algoritma Euclede)

  Diberikan dua bilangan bulat a dan b dengan a > b > 0, maka GCD (a, b) bisa dicari dengan mengulang algoritma pembagian. a = q

  1 b + r 1 0 < r 1 < b

  b = q r + r 0 < r < r

  2

  1

  2

  2

  1

  r = q r + r 0 < r < r

  1

  3

  2

  3

  3

  2

  r n-2 = q n r n-1 + r n 0 < r n-1 < r n-2 r n-1 = q n+1 r n + 0 maka r n , sisa terakhir dari pembagian di atas yang bukan nol merupakan GCD (a, b).

  Contoh Soal 7

  Tentukan GCD (4840, 1512) Penyelesaian : 4840 = 3 X 1512 + 304 1512 = 4 X 304 + 296 304 = 1 X 296 + 8 296 = 37 X 8 + 0 Jadi : GCD (4840, 1512) = 8 Jika GCD (a, b) = c maka ada bilangan bulat m dan n sehingga am + bn = c. Mencari m dan n digunakan AlgoritmaEuclede.

  Seperti pada contoh soal 7 di dapat bahwa GCD (4840, 1512) = 8, maka ada bilangan bulat m dan n segingga 4840m + 1512n = 8. Mencari m dan n dimulai dari baris kedua dari bawah pada Algoritma EucledeI. 8 = 304 – 296 = 304 – (1512 – 4 X 304) = -1512 + 5 X 304 = -1512 + 5 (4840 – 3 X 1512) 8 = 5 X 4840 – 16 X 1512 maka m = 5 dan n = -16 Jika GCD (a, b) = 1 maka a dan b dikatakan saling prima.

  Contoh soal 8

  Buktikan bahwa jika GCD (a, b) = 1 dan a|bc, maka a|c Bukti : Karena GCD (a, b) = 1, maka terdapat bilangan-bilangan m dan n sehingga 1 = ma + nb.

  Diketahui a|bc, berarti terdapat bilangan bulat k sehingga bc = ak. Dengan menggandakan persamaan 1 = ma + nb dengan c didapat : c = mac + nbc c = mac + nak c = a(mc + nk)

   a|c

  Contoh soal 9 Jika GCD (a, m) = GCD (b, m) = 1, maka buktikan bahwa GCD (ab, m) = 1.

  Bukti : 1 = ax + my = bx + my

  1

  1 Sehingga : (ax + bx 1 ) = (1 – my )(1 – my 1 )

  2

  = 1 – m (y

  1 + y – my y 1 )

  Tulis : y + y – my y = y , maka :

  1

  1

  2

  ab (x x ) + m(y ) = 1 maka GCD (ab, m) = 1

  1

  2