Bilangan prima marsenne Tantawi Mahasisw
Bilangan prima marsenne
Tantawi
Mahasiswa Program Studi Matematika STKIP Bina Bangsa Getsempena Banda Aceh
email : [email protected]
Abstrak : artikel ini membahas tentang bilangan prima marsenne.
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari 1 dan hanya
mempunyai dua pembagi, yaitu 1 dan bilangan tersebut. bilangan prima
Marsenne adalah bilangan prima yang ber bentuk
M p = 2 p - 1.
Namun bukan pada saat p = 11, karna pada saat p = 11 maka
M p tudak
memenuhi dari sifat bilangan prima. Oleh karena itu bentuk dari bilangan
prima tersebut, tidak bisa dijadikan pedoman sebagai rumus dalam mencari
bilangan prima. Karena sesuai pernyataan
M p = 2 p - 1, tidak
menghasilkan semua anggota bilangan prima. Dan bahkan ada yang tidak
memenuhi dari aturan bilangan prima. Seperti kita ketahui, bilangan prima
terbesar yang diketahui saat ini adalah bilangan prima yang ditemukan
dengan menggunakan rumus dari bilangan prima marsenne.
Kata kunci : bilangan prima, distribusi bilangan prima, prima marsenne,
uji prima little tes.
Pendahuluan
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pengukuran.
Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut
sebagai angka atau lambang bilangan. Bilangan prima telah dikenal sejak sekolah
dasar, yaitu bilangan yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri.
Bilangan prima memegang peranan penting karena pada dasarnya konsep apapun yang
dibahas dalam teori bilangan selalu dikaitkan dengan bilangan prima. Bilangan prima
adalah dasar dari matematika, termasuk salah satu misteri alam semesta. Tidak pernah
terbayangkan oleh manusia sebelumnya, sampai ditemukan bahwa bilangan prima
juga merupakan dasar dari kehidupan alam, yang dengan usaha keras ingin dijelaskan
oleh ilmu ini dalam sains.
1
Bilangan prima Marsenne adalah bilangan prima yang ber bentuk
Mp =
2 p - 1. Nama Mersenne selalu muncul pada riwayat Fermat, Descartes, Pascal,
Roberval, dan Desargues. Memang nama Mersenne menjadi titik pusat atau alamat
bagi korespondensi di antara para matematikawan itu tidak hanya dikenal dengan
kaitannya dengan koneksi Perancis, tetapi juga menyebarkan karya-karya
matematikawan terkenal Eropa lainnya.
Secara umum, bilangan yang ditemukan dengan rumus
M p = 2p - 1
disebut bilangan Mersenne . Bilangan Mersenne terkadang didefinisikan memiliki
persyaratan tambahan yang menjadi syarat dikatakannya bahwa
M p itu bilangan
prima. Seperti untuk p = 11 akan didapatkan 2047. Yang ternyata angka tersebut bukan
merupakan bilangan prima karena 2047 = 23 x 89, akan tetapi Marsenne yakin bahwa
untuk p > 11 akan menghasilkan bilangan prima.
Kajian pustaka
1.Bilangan prima
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari 1 dan hanya mempunyai
dua pembagi, yaitu 1 dan bilangan tersebut. Hampir semua bilangan prima adalah
bilangan ganjil dan angka 2 merupakan satu satunya bilangan prima genap. Dari
definisi di atas, angka 1 tidak termasuk dalam bilangan prima, tetapi beberapa
matematikawan pada abad XIX beranggapan bahwa angka 1 termasuk dalam
himpunan bilangan prima.
1.1 Teorema teorema bilangan prima
1.1.1
Teorema 2.1 Fundamental Aritmatika
Definisi : ( Suatu bilangan bulat p > 1 dikatakan prima jika factor positifnya
hanyalah 1 dan p (dirinya sendiri)). Bilangan bulat lebih dari 1 yang bukan prima
disebut komposit. Diantara 10 bilangan bulat pertama, 2,3,5,7 adalah prima dan
4,6,8,10 adalah komposit. Berdasarkan definisi ini hanya ada satu bilangan prima yang
genap yaitu. Bilangan 1 bukan prima dan bukan komposit. Suatu bilangan p adalah
komposit jika ada bilangan bulat a dan b sehingga p = ab. Tentunya dipenuhi 0 < a,b
< p.
2
Teorema 2.1. Jika p prima dan p|ab maka p|a atau p|b.
Bukti, Bila ternyata p|a maka teorema terbukti, selesai. Bila p - a maka
pastilah gcd(a,b) = 1 sebab faktor p hanyalah 1 atau p. Berdasarkan Teorema
disimpulkan p|b.
Teorema ini menyatakan bahwa jika suatu bilangan prima p membagi
perkalian dua bilangan bulat maka p pasti membagi salah satu diantara keduanya.
Fakta ini dapat diperluas untuk bentuk perkalian beberapa bilangan bulat.
Akibat 2.1. Bila p prima dan p| a1 a2 ···anmaka p|akuntuk suatu k ∈ {1,··· ,n}.
Bukti. Dibuktikan dengan menggunakan prinsip induksi matematika. Untuk n
= 1, pernyataan berlaku secara otomatis. Untuk n = 2 pernyataan benar berdasarkan
Teorema 2.1. Andaikan berlaku untuk n = i, yaitu p| a1 a2 ··· ai
→ p|ak untuk
suatu k ∈ {1,··· ,i}. Untuk n = i + 1, diketahui p|( a1 a2 ··· ai )( ai +1).
Berdasarkan Teorema 2.1 maka p| a1 a2 ···aiatau p| ai +1, yakni p|ak untuk suatu
k ∈ {1,··· ,i+ 1}.
Akibat 2.2. Bila p, q1 ,··· , q n
semuanya prima dan p| q1 q 12 ···qn maka p =
q k untuk
suatu k ∈ {1,··· ,n}.
Bukti. Berdasarkan akibat 2.1, p| q k
untuk suatu k ∈ {1,··· ,n}. Karena
qkprima maka tidak ada faktor lain selain 1 dan dirinya sendiri
=
q k . Jadi haruslah p
q k . Pada awal bab ini telah diilustrasikan bahwa suatu bilangan bulat dapat
disajikan dalam bentuk perkalian bilangan-bilangan prima. Formalisasi keadaan ini
disajikan dalam bentuk Teorema Fundamental Aritmatika (TFA) yang merupakan
bagian terpenting dalam teori bilangan.
1.2 Distribusi Bilangan Prima
Diperhatikan terdapat 4 bilangan prima diantara 1 dan 10, ada 21 bilangan
prima diantara 10 dan 100, ada 21 bilangan prima diantara 100 dan 200, ada 16
3
bilangan prima diantara 200 dan 300. Berdasarkan data empiris ini, distribusi bilangan
prima semakin lama semakin jarang. Mungkinkah suatu saat bilangan prima tidak
muncul lagi diantara kumpulan bilangan bulat yang sangat besar. Teorema berikut
memberian jawabannya. Teorema ini dikenal dengan Teorema Euclides.
1.2.1
Teorema 2.5. Terdapat takberhingga banyak bilangan prima.
Bukti. Dibuktikan dengan kontradiksi. Andai hanya terdapat berhingga banyak
bilangan prima, katakan secara berurutan
p1 = 2, p2 = 3,··· , pn . Ambil
bilangan bulat N yang didenisikan sebagai :
N=
p1 p2 ··· pn+1 .
Karena N > 1 maka berdasarkan TFA, P mesti dapat dibagi oleh suatu
bilangan prima p. Tetapi kita telah mengandaikan bahwa hanya
bilangan prima yang ada. Jadi haruslah p =
p1 p2 ··· pn
pk untuk suatu k ∈ {1,··· ,n}. Kita
mempunyai dua fakta, yaitu p|N dan p| p1 p2 ··· pn . Akibatnya p|( N −
p1 p2
··· pn ) atau p|1. Hal ini menimbulkan kontradiksi karena p > 1. Jadi tidaklah benar
bahwa banyaknya bilangan prima berhingga.
Pembahasan mengenai bilangan prima banyak menyimpan misteri yang belum
terselesaikan. Sampai saat ini belum ada formula eksplisit atau cara efektif untuk
mengidentifikasi bilangan prima.
1.2.2
Teorema 2.6. Terdapat takberhingga banyak bilangan prima yang berbentuk
4 q +3 .
Bukti. Bukti dengan kontradiksi. Andai hanya terdapat berhingga bilangan
prima bentuk ini, katakan
sehingga m berbentuk
p1 p2 ··· pk . Ambil m = 4 p1 p2 ··· pk−1 ,
4 q +3 yaitu dengan mengambil q =
p1 p2 ··· pk+1 .
Karena m ganjil maka setiap bilangan prima p yang membagi m juga ganjil, atau
secara ekuivalen berbentuk p =
4 q +1 atau p = 4 q +3 . Bila p berbentuk 4 q +1
maka m juga mempunyai bentuk ini, padahal m berbentuk
4 q +3 .
4
Jadi haruslah m terbagi oleh suatu bilangan prima p yang berbentuk
Karena diasumsikan hanya ada
haruslah p =
4 q +3 .
p1 p2 ··· pk , bilangan prima bentuk ini maka
pi untuk suatu i ∈ {1,··· ,k}. Jadi p| p1 p2 ··· pk , dan juga p|m.
Diperoleh p|4 p1 p2 ··· pk−m , atau p|1 suatu kontradiksi.
2.Bilangan prima marsenne
Banyak pertanyaan mendasar tentang bilangan prima Mersenne yang belum
terselesaikan. Bahkan tidak diketahui apakah himpunan bilangan prima Mersenne
terbatas ataupun tidak terbatas. Hal ini juga tidak diketahui apakah bilangan prima
marsenne terhingga maupun tak terhingga. Empat bilangan prima pertama smarsenne
adalah : ( lihat table 1.1 )
p
Mp
2
3
3
7
5
31
7
127
Table 1.1 empat bilangan prima Marsenne pertama
Sebuah teorema dasar tentang bilangan prima Mersenne adalah jika
Mp
suatu bilangan prima, maka eksponen p juga harus prima. Ini mengikuti dari sifat
identitas. Tidak adanya tes sederhana untuk menentukan apakah suatu bilangan yang
diberikan itu adalah prima. The Lucas Lehmer mengembangkan suatu tes primality
(LLT), dimana tes primality sangat efisien yang sangat membantu dalam menentukan
apakah bilangan tersebut prima atau bukan. Pencarian ini dilakukan untuk mencari
bilangan prima terbesar. Akibatnya, banyak daya komputer telah dikeluarkan untuk
mencari bilangan prima Mersenne baru, banyak yang sekarang dilakukan dengan
menggunakan komputasi terdistribusi. Berikut ini rumus bilangan prima marsenne
adalah :
M p = 2p - 1
Tetapi untuk p = 11, maka
M 11 = 211 + 1 = 2047, dimana angka 2047
itu sama dengan 23 × 89, dan bisa disimpulkan apabila p = 11 bukan prima. Akan
tetapi Marsenne yakin bahwa untuk p > 11, bilangan yang dihasilkan pasti bilangan
prima.
5
2.1 Sejarah marsenne
Marin Mersenne dilahirkan dekat Oize , Maine (sekarang Sarthe ) pada
tanggal 8 September 1588. Dia memulai pendidikannya di College du Mans , dan
dilanjutkan di Jesuit College La Fleche. Pada 1609 , ia pindah ke Paris untuk belajar
teologi di Sorbonne , dan ditahbiskan pada 1613 . Dua tahun sebelum itu , Mersenne
bergabung dengan Orde Minims , akhirnya yang bertempat tinggal di biara mereka di
Paris . Tampaknya Minims memberikan Mersenne kebebasan besar untuk mengejar
kepentingan akademik , dan tinggal di biarra selama sisa hidupnya .
Karya filosofis awal Mersenne yang ditandai dengan conservativism ortodoks.
Ia menerbitkan sebuah serangan terhadap astronomi Copernicus pada 1623, dan pada
awalnya diterima banyak filsafat skolastik tradisional. Perkembangan ini dalam
pemikirannya berhubungan dengan mengambil peran komunikasi ide .
Di luar filsafat dan teologi ,Mersenne mengembangkan matematika dan teori
musik . Hari ini , ia dikenal dalam matematika sehubungan dengan rumus untuk satu
set tertentu dari bilangan prima :
2
p
- 1 , di mana p adalah prima . Meskipun
Mersenne tidak menemukan rumus , karyanya pada menentukan nilai ' p '
menghasilkan bilangan prima menyebabkan serangkaian angka yang dijuluki "
bilangan prima Mersenne . " Dalam teori musik, Mersenne bekerja pada penentuan
hubungan matematis antara frekuensi getar nada yang berbeda .
Pada tahun 1648 , Mersenne meninggal di Paris dari komplikasi yang timbul
dari abses paru. Dia meninggalkan koleksi tebal huruf, dan tanda yang signifikan pada
bentuk kegiatan akademik di Eropa (new world encyclopedia : 2011 ).
2.2 Mencari bilangan prima Mersenne
Empat bilangan prima Mersenne pertama adalah
M 5 = 31 dan
M 2 = 3,
M 7 = 127 yang dikenal di zaman kuno. Kelima,
M 3 = 7,
M 13 = 8191,
ditemukan anonymously sebelum tahun 1461. Dan kemudian ditemukan 2 berikutnya
adalah
M 17 dan
M 19 yang ditemukan oleh Cataldi pada tahun 1588. Setelah
hampir dua abad, baru ditemukan lagi
M 31 yang ditemukan oleh Euler pada tahun
1772. Berikutnya dalam sejarah non numeric ditemukan bilangan prima marsenne
dengan
M 127 , ditemukan oleh Lucas pada tahun 1876, kemudian
M 61 oleh
6
Pervushin pada tahun 1883. Dua berikutnya yaitu
M 89 dan
M 107 ditemukan
pada awal abad ke-20, oleh Powers pada tahun 1911 dan tahun 1914.
Metode terbaik saat ini dikenal untuk menguji primality nomor Mersenne
adalah tes primality Lucas Lehmer. Secara khusus, dapat ditunjukkan bahwa untuk
prima p> 2,
M p = 2 p -1 adalah prima jika dan hanya jika
M p membagi
s p−2 , di mana S0 = 4 dan, untuk k> 0.
Pencarian bilangan prima Mersenne telah berevolusi melalui pengenalan
komputer digital elektronik. Salah satunya adalah proyek GIMPS. Ini adalah pertama
bilangan prima Mersenne diidentifikasi melalui computer.
Pada bulan September 2008, matematikawan di UCLA berpartisipasi dalam
GIMPS memenangkan bagian dari $ 100.000 hadiah dari Electronic Frontier
Foundation untuk penemuan mereka sangat hampir 13 juta digit Mersenne prima.
Hadiah, akhirnya dikonfirmasi pada bulan Oktober 2009, untuk pertama dikenal
perdana dengan setidaknya 10 juta digit. Perdana ditemukan melalui Dell OptiPlex
745 pada tanggal 23 Agustus 2008. Ini adalah kedelapan Mersenne prima ditemukan
di UCLA.
Pada tanggal 25 Januari 2013, Curtis Cooper, seorang matematikawan di
University of Central Missouri, menemukan ke-48 Mersenne prima, 257.885.161 - 1
(nomor dengan digit 17.425.170), sebagai hasil dari pencarian dieksekusi oleh server
jaringan GIMPS [12. ] ini adalah ketiga Mersenne prima ditemukan oleh Dr Cooper
dan timnya dalam tujuh tahun terakhir.
2.3 Teorema tentang bilangan Mersenne
Teorema 1 : Jika dan p adalah bilangan asli sehingga
a
p
- 1 adalah prima, maka a
= 2 atau p = 1.
Bukti : a ≡ 1 (mod - 1), Kemudian
≡ 0 (mod - 1). Jadi
-1=
ap
ap - 1 | ap
a
p
- 1. Namun,
≡ 1 (mod - 1), sehingga
ap
a
p
-1
- 1 adalah prima, sehingga a
- 1 atau a - 1 = ± 1. Dalam kasus yang pertama, a =
a p , maka a = 0, 1
(yang merupakan kontradiksi, karena tidak ada 1 atau 0 yang merupakan bilangan
7
prima) atau p = 1. Dalam kasus terakhir, a = 2 atau a = 0. Jika a = 0, bagaimanapun 0p
- 1 = 0 - 1 = -1 yang tidak prima. Oleh karena itu a = 2.
Teorema 2 : Jika 2p - 1 adalah prima, maka p adalah prima.
misalkan p komposit, maka dapat ditulis p = a ⋅ b dengan a dan b > 1.
2a - 1 adalah prima, tapi b > 1 dan a
2
¿ ¿b
Kemudian (
> 2, bertentangan
pernyataan 1.
Teorema 3 : Jika p adalah prima ganjil, maka setiap q prima yang membagi
harus 1 ditambah kelipatan 2 p . Hal ini berlaku bahkan ketika
2
p
2
p
-1
- 1 adalah
prima.
Bukti : Jika q membagi
Fermat Little,
2
p
- 1 maka ≡ 1 ( mod q )
2
p
. Oleh teorema
2(q −1) ≡ 1 ( mod q ) . Asumsikan p dan q - 1 relatif prima , aplikasi
serupa Fermat Little Teorema mengatakan bahwa
ada sejumlah x ≡
( p−1)
(q−1)
nomor yang ( q - 1 ) ( x – 1) =
( p−1)
(q−1)
≡ 1 ( mod p ) . Jadi
yang ( q - 1 ) (x) ≡ 1 ( mod p ) , dan karena itu k
k p . Sejak 2(q −1) ≡ 1 ( mod q ) , meningkatkan
kedua sisi kesesuaian dengan daya x memberikan
2(q −1) x ≡ 1 , dan karena 2 p ≡
kp
1 ( mod q ) , meningkatkan kedua sisi keselarasan dengan k listrik memberikan
2(q −1 ) x / 2k
≡ 1 . Jadi
(q-1)x-
p
=
2(q −1 ) x−k
p
2
≡ 1 ( mod q ) . Namun menurut definisi ,
k p = 1 , menyiratkan bahwa 21 ≡ 1 ( mod q ) , dengan kata lain ,
bahwa q membagi 1 . Dengan demikian asumsi awal bahwa p dan q - 1 relatif prima
tidak dapat dipertahankan . Karena p adalah prima q - 1 harus kelipatan dari p . Tentu
saja, jika jumlah m = ( q - 1 ) / p adalah ganjil, maka q akan lebih , karena sama
mp
dengan
+ 1. Tapi q adalah prima dan tidak bisa sama dengan 2.
Catatan:
Fakta ini memberikan bukti ketakterbatasan bilangan prima yang berbeda dari
Teorema Euclid: jika ada hasil dari bilangan prima, dengan p menjadi yang terbesar,
kami mencapai kontradiksi langsung karena semua bilangan prima membagi
2p - 1
harus lebih besar dari p.
8
2p - 1
Teorema 4 : Jika p adalah prima ganjil, maka setiap q prima yang membagi
harus sama dengan ± 1 (mod 8).
Bukti:
2 p+1 = 2 \ p mod q, jadi { 2 p+1 / 2 } adalah akar kuadrat dari 2
modulo q. Dengan timbal balik kuadrat, setiap modulo perdana yang 2 memiliki akar
kuadrat kongruen dengan ± 1 (mod 8).
Teorema 5 : Sebuah Mersenne prima tidak bisa menjadi Wieferich prima.
Bukti: Kami menunjukkan jika p =
kesesuaian antara
2p
m
2
- 1 adalah prima Mersenne, maka
- 1 ≡ 1 tidak memuaskan. Oleh teorema Fermat Little, m \
p2
mid p-1. Sekarang kita tulis, p-1 = mλ. Jika kesesuaian maka diberikan
¿
{m
- 1, sehingga 0 ≡ ( 2mλ
mid 2 ¿
2
λ−1 m
2
m
≡ λ mod ( 2m
- 1) / ( 2m
- 1} Oleh karena
- 1 ini menyebabkan p - 1 ≥ m ( 2m
2
m
- 1) = 1 + 2m
+
2
\
2m
+ ... +
- 1 \ mid \ λ, dan karenanya λ ≥
- 1), yang tidak mungkin m ≥ 2.
Catatan :
Wieferich prima adalah bilangan prima p dimana
2
p
2
p
daapat membagi
– 1 - 1, karena apabila menghubungkan bilangan prima dengan teorema Fermat
kecil , yang menyatakan bahwa setiap bilangan prima p membagi
2
p
– 1 - 1.
Bilangan prima Wieferich pertama kali dijelaskan oleh Arthur Wieferich tahun 1909
dalam karya-karya yang berkaitan dengan teorema terakhir Fermat, pada saat kedua
teorema Fermat sudah dikenal oleh matematikawan ( Wikipedia :2013).
Teorema 6 : Sebuah bilangan prima membagi paling banyak satu prime eksponen
Mersenne
Teorema 7 : Jika p dan
2
p
+ 1 keduanya prima (artinya p adalah Sophie Germain
prima), dan p adalah sama dengan 3 (mod 4), maka 2p + 1 membagi 2p - 1.
Contoh: 11 dan 23 keduanya prima, dan 11 = 2 × 4 + 3, jadi 23 dibagi 211-1.
Teorema 8 : Semua pembagi komposit bilangan prima Mersenne eksponen lulus tes
primality Fermat untuk dasar 2.
9
3.Nomor Mersenne di alam dan di tempat lain
Bilangan prima menjadi amat penting pada proses pengkodean dengan
komputer. Salah satu tekniknya yang dikenal dengan enkripsi. Enkripsi adalah suatu
proses transformasi data menggunakan perhitungan tertentu sehingga tidak dapat
dibaca oleh orang lain kecuali bagi mereka yang telah mengetahui cara perhitungan
tersebut. Aplikasi dari bilangan prima ini digunakan untuk kode-kode rahasa pada
kartu ATM suatu bank, brankas, dll.
Dalam ilmu komputer, unsigned n-bit integer dapat digunakan untuk
mengekspresikan angka sampai dengan
dapat mengekspresikan nilai antara ( M n
M n . Signed (n + 1) bit bilangan bulat
+ 1) dan
M n , menggunakan
representasi komplemen dua itu. Dalam masalah matematika Menara Hanoi,
memecahkan teka-teki dengan menara n disc membutuhkan langkah
M n , dengan
asumsi tidak ada kesalahan yang dibuat.
Kesimpulan
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari 1 dan hanya
mempunyai dua pembagi, yaitu 1 dan bilangan tersebut.
Bilangan prima Mersenne adalah sebuah bilangan prima dengan rumus :
M p = 2 p − 1. Tetapi untuk p = 11, maka
M 11 = 211 + 1 = 2047, dimana
angka 2047 itu sama dengan 23 × 89, dan bisa disimpulkan apabila p = 11 bukan
prima. Akan tetapi Marsenne yakin bahwa untuk p > 11, bilangan yang dihasilkan
pasti bilangan prima.
Rumus bilangan prima yang dikemukakan oleh marsennepun terdapat banyak
kekurangan. Dimulai pada saat angka 11 tidak memenuhi sifat dari bilangan prima,
dan juga tidak mendaftar semua anggota dari bilangan prima itu sendiri.
Maka, masih banyak yang perlu dikaji atau diteliti, untuk mencari suatu
kepastian dari rumus bilangan prima itu sendiri. Dalam matematika itu sendiri masih
banyak yang belom dikaji.
Dari kesimpulan diatas, Penulis menyarankan bagi pembaca, bila ingin jadi
penemu didalam bidang matematika masih terbuka lebar. Pembaca bisa mencari yang
baru ( rumus matematika ), atau pembaca juga bisa mengkaji rumus – rumus
sebelumnya dan mencari kesalahan dengan membuktikan kebenaran yang ada. Mudah
10
– mudahan dari artikel ini dapat menjadi penyemangat pembaca untuk melakukan
penelitian dalam dunia matematika.
Daftar pustaka
( Wikipedia : 2013 ) Marsenne Prima . melalui. Diakses pada tangal 24 melalui web:
http://www.ask.com/wiki/Fermat_primality_test?qsrc=3044
(new world encyclopedia : 2011 ). Marin Marsenne . melalui. Diakses pada tangal 24
melalui web:
https://www.newworldencyclopedia.org/entry/Marin_Mersenne
( Wikipedia : 2013 ) Marsenne Prima . melalui. Diakses pada tangal 24 melalui web:
http://www.ask.com/wiki/Wieferich_prime?qsrc=3044
http://eprints.undip.ac.id/32339/6/M93_Murbowati_chapter_II.pdf
11
Tantawi
Mahasiswa Program Studi Matematika STKIP Bina Bangsa Getsempena Banda Aceh
email : [email protected]
Abstrak : artikel ini membahas tentang bilangan prima marsenne.
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari 1 dan hanya
mempunyai dua pembagi, yaitu 1 dan bilangan tersebut. bilangan prima
Marsenne adalah bilangan prima yang ber bentuk
M p = 2 p - 1.
Namun bukan pada saat p = 11, karna pada saat p = 11 maka
M p tudak
memenuhi dari sifat bilangan prima. Oleh karena itu bentuk dari bilangan
prima tersebut, tidak bisa dijadikan pedoman sebagai rumus dalam mencari
bilangan prima. Karena sesuai pernyataan
M p = 2 p - 1, tidak
menghasilkan semua anggota bilangan prima. Dan bahkan ada yang tidak
memenuhi dari aturan bilangan prima. Seperti kita ketahui, bilangan prima
terbesar yang diketahui saat ini adalah bilangan prima yang ditemukan
dengan menggunakan rumus dari bilangan prima marsenne.
Kata kunci : bilangan prima, distribusi bilangan prima, prima marsenne,
uji prima little tes.
Pendahuluan
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pengukuran.
Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut
sebagai angka atau lambang bilangan. Bilangan prima telah dikenal sejak sekolah
dasar, yaitu bilangan yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri.
Bilangan prima memegang peranan penting karena pada dasarnya konsep apapun yang
dibahas dalam teori bilangan selalu dikaitkan dengan bilangan prima. Bilangan prima
adalah dasar dari matematika, termasuk salah satu misteri alam semesta. Tidak pernah
terbayangkan oleh manusia sebelumnya, sampai ditemukan bahwa bilangan prima
juga merupakan dasar dari kehidupan alam, yang dengan usaha keras ingin dijelaskan
oleh ilmu ini dalam sains.
1
Bilangan prima Marsenne adalah bilangan prima yang ber bentuk
Mp =
2 p - 1. Nama Mersenne selalu muncul pada riwayat Fermat, Descartes, Pascal,
Roberval, dan Desargues. Memang nama Mersenne menjadi titik pusat atau alamat
bagi korespondensi di antara para matematikawan itu tidak hanya dikenal dengan
kaitannya dengan koneksi Perancis, tetapi juga menyebarkan karya-karya
matematikawan terkenal Eropa lainnya.
Secara umum, bilangan yang ditemukan dengan rumus
M p = 2p - 1
disebut bilangan Mersenne . Bilangan Mersenne terkadang didefinisikan memiliki
persyaratan tambahan yang menjadi syarat dikatakannya bahwa
M p itu bilangan
prima. Seperti untuk p = 11 akan didapatkan 2047. Yang ternyata angka tersebut bukan
merupakan bilangan prima karena 2047 = 23 x 89, akan tetapi Marsenne yakin bahwa
untuk p > 11 akan menghasilkan bilangan prima.
Kajian pustaka
1.Bilangan prima
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari 1 dan hanya mempunyai
dua pembagi, yaitu 1 dan bilangan tersebut. Hampir semua bilangan prima adalah
bilangan ganjil dan angka 2 merupakan satu satunya bilangan prima genap. Dari
definisi di atas, angka 1 tidak termasuk dalam bilangan prima, tetapi beberapa
matematikawan pada abad XIX beranggapan bahwa angka 1 termasuk dalam
himpunan bilangan prima.
1.1 Teorema teorema bilangan prima
1.1.1
Teorema 2.1 Fundamental Aritmatika
Definisi : ( Suatu bilangan bulat p > 1 dikatakan prima jika factor positifnya
hanyalah 1 dan p (dirinya sendiri)). Bilangan bulat lebih dari 1 yang bukan prima
disebut komposit. Diantara 10 bilangan bulat pertama, 2,3,5,7 adalah prima dan
4,6,8,10 adalah komposit. Berdasarkan definisi ini hanya ada satu bilangan prima yang
genap yaitu. Bilangan 1 bukan prima dan bukan komposit. Suatu bilangan p adalah
komposit jika ada bilangan bulat a dan b sehingga p = ab. Tentunya dipenuhi 0 < a,b
< p.
2
Teorema 2.1. Jika p prima dan p|ab maka p|a atau p|b.
Bukti, Bila ternyata p|a maka teorema terbukti, selesai. Bila p - a maka
pastilah gcd(a,b) = 1 sebab faktor p hanyalah 1 atau p. Berdasarkan Teorema
disimpulkan p|b.
Teorema ini menyatakan bahwa jika suatu bilangan prima p membagi
perkalian dua bilangan bulat maka p pasti membagi salah satu diantara keduanya.
Fakta ini dapat diperluas untuk bentuk perkalian beberapa bilangan bulat.
Akibat 2.1. Bila p prima dan p| a1 a2 ···anmaka p|akuntuk suatu k ∈ {1,··· ,n}.
Bukti. Dibuktikan dengan menggunakan prinsip induksi matematika. Untuk n
= 1, pernyataan berlaku secara otomatis. Untuk n = 2 pernyataan benar berdasarkan
Teorema 2.1. Andaikan berlaku untuk n = i, yaitu p| a1 a2 ··· ai
→ p|ak untuk
suatu k ∈ {1,··· ,i}. Untuk n = i + 1, diketahui p|( a1 a2 ··· ai )( ai +1).
Berdasarkan Teorema 2.1 maka p| a1 a2 ···aiatau p| ai +1, yakni p|ak untuk suatu
k ∈ {1,··· ,i+ 1}.
Akibat 2.2. Bila p, q1 ,··· , q n
semuanya prima dan p| q1 q 12 ···qn maka p =
q k untuk
suatu k ∈ {1,··· ,n}.
Bukti. Berdasarkan akibat 2.1, p| q k
untuk suatu k ∈ {1,··· ,n}. Karena
qkprima maka tidak ada faktor lain selain 1 dan dirinya sendiri
=
q k . Jadi haruslah p
q k . Pada awal bab ini telah diilustrasikan bahwa suatu bilangan bulat dapat
disajikan dalam bentuk perkalian bilangan-bilangan prima. Formalisasi keadaan ini
disajikan dalam bentuk Teorema Fundamental Aritmatika (TFA) yang merupakan
bagian terpenting dalam teori bilangan.
1.2 Distribusi Bilangan Prima
Diperhatikan terdapat 4 bilangan prima diantara 1 dan 10, ada 21 bilangan
prima diantara 10 dan 100, ada 21 bilangan prima diantara 100 dan 200, ada 16
3
bilangan prima diantara 200 dan 300. Berdasarkan data empiris ini, distribusi bilangan
prima semakin lama semakin jarang. Mungkinkah suatu saat bilangan prima tidak
muncul lagi diantara kumpulan bilangan bulat yang sangat besar. Teorema berikut
memberian jawabannya. Teorema ini dikenal dengan Teorema Euclides.
1.2.1
Teorema 2.5. Terdapat takberhingga banyak bilangan prima.
Bukti. Dibuktikan dengan kontradiksi. Andai hanya terdapat berhingga banyak
bilangan prima, katakan secara berurutan
p1 = 2, p2 = 3,··· , pn . Ambil
bilangan bulat N yang didenisikan sebagai :
N=
p1 p2 ··· pn+1 .
Karena N > 1 maka berdasarkan TFA, P mesti dapat dibagi oleh suatu
bilangan prima p. Tetapi kita telah mengandaikan bahwa hanya
bilangan prima yang ada. Jadi haruslah p =
p1 p2 ··· pn
pk untuk suatu k ∈ {1,··· ,n}. Kita
mempunyai dua fakta, yaitu p|N dan p| p1 p2 ··· pn . Akibatnya p|( N −
p1 p2
··· pn ) atau p|1. Hal ini menimbulkan kontradiksi karena p > 1. Jadi tidaklah benar
bahwa banyaknya bilangan prima berhingga.
Pembahasan mengenai bilangan prima banyak menyimpan misteri yang belum
terselesaikan. Sampai saat ini belum ada formula eksplisit atau cara efektif untuk
mengidentifikasi bilangan prima.
1.2.2
Teorema 2.6. Terdapat takberhingga banyak bilangan prima yang berbentuk
4 q +3 .
Bukti. Bukti dengan kontradiksi. Andai hanya terdapat berhingga bilangan
prima bentuk ini, katakan
sehingga m berbentuk
p1 p2 ··· pk . Ambil m = 4 p1 p2 ··· pk−1 ,
4 q +3 yaitu dengan mengambil q =
p1 p2 ··· pk+1 .
Karena m ganjil maka setiap bilangan prima p yang membagi m juga ganjil, atau
secara ekuivalen berbentuk p =
4 q +1 atau p = 4 q +3 . Bila p berbentuk 4 q +1
maka m juga mempunyai bentuk ini, padahal m berbentuk
4 q +3 .
4
Jadi haruslah m terbagi oleh suatu bilangan prima p yang berbentuk
Karena diasumsikan hanya ada
haruslah p =
4 q +3 .
p1 p2 ··· pk , bilangan prima bentuk ini maka
pi untuk suatu i ∈ {1,··· ,k}. Jadi p| p1 p2 ··· pk , dan juga p|m.
Diperoleh p|4 p1 p2 ··· pk−m , atau p|1 suatu kontradiksi.
2.Bilangan prima marsenne
Banyak pertanyaan mendasar tentang bilangan prima Mersenne yang belum
terselesaikan. Bahkan tidak diketahui apakah himpunan bilangan prima Mersenne
terbatas ataupun tidak terbatas. Hal ini juga tidak diketahui apakah bilangan prima
marsenne terhingga maupun tak terhingga. Empat bilangan prima pertama smarsenne
adalah : ( lihat table 1.1 )
p
Mp
2
3
3
7
5
31
7
127
Table 1.1 empat bilangan prima Marsenne pertama
Sebuah teorema dasar tentang bilangan prima Mersenne adalah jika
Mp
suatu bilangan prima, maka eksponen p juga harus prima. Ini mengikuti dari sifat
identitas. Tidak adanya tes sederhana untuk menentukan apakah suatu bilangan yang
diberikan itu adalah prima. The Lucas Lehmer mengembangkan suatu tes primality
(LLT), dimana tes primality sangat efisien yang sangat membantu dalam menentukan
apakah bilangan tersebut prima atau bukan. Pencarian ini dilakukan untuk mencari
bilangan prima terbesar. Akibatnya, banyak daya komputer telah dikeluarkan untuk
mencari bilangan prima Mersenne baru, banyak yang sekarang dilakukan dengan
menggunakan komputasi terdistribusi. Berikut ini rumus bilangan prima marsenne
adalah :
M p = 2p - 1
Tetapi untuk p = 11, maka
M 11 = 211 + 1 = 2047, dimana angka 2047
itu sama dengan 23 × 89, dan bisa disimpulkan apabila p = 11 bukan prima. Akan
tetapi Marsenne yakin bahwa untuk p > 11, bilangan yang dihasilkan pasti bilangan
prima.
5
2.1 Sejarah marsenne
Marin Mersenne dilahirkan dekat Oize , Maine (sekarang Sarthe ) pada
tanggal 8 September 1588. Dia memulai pendidikannya di College du Mans , dan
dilanjutkan di Jesuit College La Fleche. Pada 1609 , ia pindah ke Paris untuk belajar
teologi di Sorbonne , dan ditahbiskan pada 1613 . Dua tahun sebelum itu , Mersenne
bergabung dengan Orde Minims , akhirnya yang bertempat tinggal di biara mereka di
Paris . Tampaknya Minims memberikan Mersenne kebebasan besar untuk mengejar
kepentingan akademik , dan tinggal di biarra selama sisa hidupnya .
Karya filosofis awal Mersenne yang ditandai dengan conservativism ortodoks.
Ia menerbitkan sebuah serangan terhadap astronomi Copernicus pada 1623, dan pada
awalnya diterima banyak filsafat skolastik tradisional. Perkembangan ini dalam
pemikirannya berhubungan dengan mengambil peran komunikasi ide .
Di luar filsafat dan teologi ,Mersenne mengembangkan matematika dan teori
musik . Hari ini , ia dikenal dalam matematika sehubungan dengan rumus untuk satu
set tertentu dari bilangan prima :
2
p
- 1 , di mana p adalah prima . Meskipun
Mersenne tidak menemukan rumus , karyanya pada menentukan nilai ' p '
menghasilkan bilangan prima menyebabkan serangkaian angka yang dijuluki "
bilangan prima Mersenne . " Dalam teori musik, Mersenne bekerja pada penentuan
hubungan matematis antara frekuensi getar nada yang berbeda .
Pada tahun 1648 , Mersenne meninggal di Paris dari komplikasi yang timbul
dari abses paru. Dia meninggalkan koleksi tebal huruf, dan tanda yang signifikan pada
bentuk kegiatan akademik di Eropa (new world encyclopedia : 2011 ).
2.2 Mencari bilangan prima Mersenne
Empat bilangan prima Mersenne pertama adalah
M 5 = 31 dan
M 2 = 3,
M 7 = 127 yang dikenal di zaman kuno. Kelima,
M 3 = 7,
M 13 = 8191,
ditemukan anonymously sebelum tahun 1461. Dan kemudian ditemukan 2 berikutnya
adalah
M 17 dan
M 19 yang ditemukan oleh Cataldi pada tahun 1588. Setelah
hampir dua abad, baru ditemukan lagi
M 31 yang ditemukan oleh Euler pada tahun
1772. Berikutnya dalam sejarah non numeric ditemukan bilangan prima marsenne
dengan
M 127 , ditemukan oleh Lucas pada tahun 1876, kemudian
M 61 oleh
6
Pervushin pada tahun 1883. Dua berikutnya yaitu
M 89 dan
M 107 ditemukan
pada awal abad ke-20, oleh Powers pada tahun 1911 dan tahun 1914.
Metode terbaik saat ini dikenal untuk menguji primality nomor Mersenne
adalah tes primality Lucas Lehmer. Secara khusus, dapat ditunjukkan bahwa untuk
prima p> 2,
M p = 2 p -1 adalah prima jika dan hanya jika
M p membagi
s p−2 , di mana S0 = 4 dan, untuk k> 0.
Pencarian bilangan prima Mersenne telah berevolusi melalui pengenalan
komputer digital elektronik. Salah satunya adalah proyek GIMPS. Ini adalah pertama
bilangan prima Mersenne diidentifikasi melalui computer.
Pada bulan September 2008, matematikawan di UCLA berpartisipasi dalam
GIMPS memenangkan bagian dari $ 100.000 hadiah dari Electronic Frontier
Foundation untuk penemuan mereka sangat hampir 13 juta digit Mersenne prima.
Hadiah, akhirnya dikonfirmasi pada bulan Oktober 2009, untuk pertama dikenal
perdana dengan setidaknya 10 juta digit. Perdana ditemukan melalui Dell OptiPlex
745 pada tanggal 23 Agustus 2008. Ini adalah kedelapan Mersenne prima ditemukan
di UCLA.
Pada tanggal 25 Januari 2013, Curtis Cooper, seorang matematikawan di
University of Central Missouri, menemukan ke-48 Mersenne prima, 257.885.161 - 1
(nomor dengan digit 17.425.170), sebagai hasil dari pencarian dieksekusi oleh server
jaringan GIMPS [12. ] ini adalah ketiga Mersenne prima ditemukan oleh Dr Cooper
dan timnya dalam tujuh tahun terakhir.
2.3 Teorema tentang bilangan Mersenne
Teorema 1 : Jika dan p adalah bilangan asli sehingga
a
p
- 1 adalah prima, maka a
= 2 atau p = 1.
Bukti : a ≡ 1 (mod - 1), Kemudian
≡ 0 (mod - 1). Jadi
-1=
ap
ap - 1 | ap
a
p
- 1. Namun,
≡ 1 (mod - 1), sehingga
ap
a
p
-1
- 1 adalah prima, sehingga a
- 1 atau a - 1 = ± 1. Dalam kasus yang pertama, a =
a p , maka a = 0, 1
(yang merupakan kontradiksi, karena tidak ada 1 atau 0 yang merupakan bilangan
7
prima) atau p = 1. Dalam kasus terakhir, a = 2 atau a = 0. Jika a = 0, bagaimanapun 0p
- 1 = 0 - 1 = -1 yang tidak prima. Oleh karena itu a = 2.
Teorema 2 : Jika 2p - 1 adalah prima, maka p adalah prima.
misalkan p komposit, maka dapat ditulis p = a ⋅ b dengan a dan b > 1.
2a - 1 adalah prima, tapi b > 1 dan a
2
¿ ¿b
Kemudian (
> 2, bertentangan
pernyataan 1.
Teorema 3 : Jika p adalah prima ganjil, maka setiap q prima yang membagi
harus 1 ditambah kelipatan 2 p . Hal ini berlaku bahkan ketika
2
p
2
p
-1
- 1 adalah
prima.
Bukti : Jika q membagi
Fermat Little,
2
p
- 1 maka ≡ 1 ( mod q )
2
p
. Oleh teorema
2(q −1) ≡ 1 ( mod q ) . Asumsikan p dan q - 1 relatif prima , aplikasi
serupa Fermat Little Teorema mengatakan bahwa
ada sejumlah x ≡
( p−1)
(q−1)
nomor yang ( q - 1 ) ( x – 1) =
( p−1)
(q−1)
≡ 1 ( mod p ) . Jadi
yang ( q - 1 ) (x) ≡ 1 ( mod p ) , dan karena itu k
k p . Sejak 2(q −1) ≡ 1 ( mod q ) , meningkatkan
kedua sisi kesesuaian dengan daya x memberikan
2(q −1) x ≡ 1 , dan karena 2 p ≡
kp
1 ( mod q ) , meningkatkan kedua sisi keselarasan dengan k listrik memberikan
2(q −1 ) x / 2k
≡ 1 . Jadi
(q-1)x-
p
=
2(q −1 ) x−k
p
2
≡ 1 ( mod q ) . Namun menurut definisi ,
k p = 1 , menyiratkan bahwa 21 ≡ 1 ( mod q ) , dengan kata lain ,
bahwa q membagi 1 . Dengan demikian asumsi awal bahwa p dan q - 1 relatif prima
tidak dapat dipertahankan . Karena p adalah prima q - 1 harus kelipatan dari p . Tentu
saja, jika jumlah m = ( q - 1 ) / p adalah ganjil, maka q akan lebih , karena sama
mp
dengan
+ 1. Tapi q adalah prima dan tidak bisa sama dengan 2.
Catatan:
Fakta ini memberikan bukti ketakterbatasan bilangan prima yang berbeda dari
Teorema Euclid: jika ada hasil dari bilangan prima, dengan p menjadi yang terbesar,
kami mencapai kontradiksi langsung karena semua bilangan prima membagi
2p - 1
harus lebih besar dari p.
8
2p - 1
Teorema 4 : Jika p adalah prima ganjil, maka setiap q prima yang membagi
harus sama dengan ± 1 (mod 8).
Bukti:
2 p+1 = 2 \ p mod q, jadi { 2 p+1 / 2 } adalah akar kuadrat dari 2
modulo q. Dengan timbal balik kuadrat, setiap modulo perdana yang 2 memiliki akar
kuadrat kongruen dengan ± 1 (mod 8).
Teorema 5 : Sebuah Mersenne prima tidak bisa menjadi Wieferich prima.
Bukti: Kami menunjukkan jika p =
kesesuaian antara
2p
m
2
- 1 adalah prima Mersenne, maka
- 1 ≡ 1 tidak memuaskan. Oleh teorema Fermat Little, m \
p2
mid p-1. Sekarang kita tulis, p-1 = mλ. Jika kesesuaian maka diberikan
¿
{m
- 1, sehingga 0 ≡ ( 2mλ
mid 2 ¿
2
λ−1 m
2
m
≡ λ mod ( 2m
- 1) / ( 2m
- 1} Oleh karena
- 1 ini menyebabkan p - 1 ≥ m ( 2m
2
m
- 1) = 1 + 2m
+
2
\
2m
+ ... +
- 1 \ mid \ λ, dan karenanya λ ≥
- 1), yang tidak mungkin m ≥ 2.
Catatan :
Wieferich prima adalah bilangan prima p dimana
2
p
2
p
daapat membagi
– 1 - 1, karena apabila menghubungkan bilangan prima dengan teorema Fermat
kecil , yang menyatakan bahwa setiap bilangan prima p membagi
2
p
– 1 - 1.
Bilangan prima Wieferich pertama kali dijelaskan oleh Arthur Wieferich tahun 1909
dalam karya-karya yang berkaitan dengan teorema terakhir Fermat, pada saat kedua
teorema Fermat sudah dikenal oleh matematikawan ( Wikipedia :2013).
Teorema 6 : Sebuah bilangan prima membagi paling banyak satu prime eksponen
Mersenne
Teorema 7 : Jika p dan
2
p
+ 1 keduanya prima (artinya p adalah Sophie Germain
prima), dan p adalah sama dengan 3 (mod 4), maka 2p + 1 membagi 2p - 1.
Contoh: 11 dan 23 keduanya prima, dan 11 = 2 × 4 + 3, jadi 23 dibagi 211-1.
Teorema 8 : Semua pembagi komposit bilangan prima Mersenne eksponen lulus tes
primality Fermat untuk dasar 2.
9
3.Nomor Mersenne di alam dan di tempat lain
Bilangan prima menjadi amat penting pada proses pengkodean dengan
komputer. Salah satu tekniknya yang dikenal dengan enkripsi. Enkripsi adalah suatu
proses transformasi data menggunakan perhitungan tertentu sehingga tidak dapat
dibaca oleh orang lain kecuali bagi mereka yang telah mengetahui cara perhitungan
tersebut. Aplikasi dari bilangan prima ini digunakan untuk kode-kode rahasa pada
kartu ATM suatu bank, brankas, dll.
Dalam ilmu komputer, unsigned n-bit integer dapat digunakan untuk
mengekspresikan angka sampai dengan
dapat mengekspresikan nilai antara ( M n
M n . Signed (n + 1) bit bilangan bulat
+ 1) dan
M n , menggunakan
representasi komplemen dua itu. Dalam masalah matematika Menara Hanoi,
memecahkan teka-teki dengan menara n disc membutuhkan langkah
M n , dengan
asumsi tidak ada kesalahan yang dibuat.
Kesimpulan
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari 1 dan hanya
mempunyai dua pembagi, yaitu 1 dan bilangan tersebut.
Bilangan prima Mersenne adalah sebuah bilangan prima dengan rumus :
M p = 2 p − 1. Tetapi untuk p = 11, maka
M 11 = 211 + 1 = 2047, dimana
angka 2047 itu sama dengan 23 × 89, dan bisa disimpulkan apabila p = 11 bukan
prima. Akan tetapi Marsenne yakin bahwa untuk p > 11, bilangan yang dihasilkan
pasti bilangan prima.
Rumus bilangan prima yang dikemukakan oleh marsennepun terdapat banyak
kekurangan. Dimulai pada saat angka 11 tidak memenuhi sifat dari bilangan prima,
dan juga tidak mendaftar semua anggota dari bilangan prima itu sendiri.
Maka, masih banyak yang perlu dikaji atau diteliti, untuk mencari suatu
kepastian dari rumus bilangan prima itu sendiri. Dalam matematika itu sendiri masih
banyak yang belom dikaji.
Dari kesimpulan diatas, Penulis menyarankan bagi pembaca, bila ingin jadi
penemu didalam bidang matematika masih terbuka lebar. Pembaca bisa mencari yang
baru ( rumus matematika ), atau pembaca juga bisa mengkaji rumus – rumus
sebelumnya dan mencari kesalahan dengan membuktikan kebenaran yang ada. Mudah
10
– mudahan dari artikel ini dapat menjadi penyemangat pembaca untuk melakukan
penelitian dalam dunia matematika.
Daftar pustaka
( Wikipedia : 2013 ) Marsenne Prima . melalui. Diakses pada tangal 24 melalui web:
http://www.ask.com/wiki/Fermat_primality_test?qsrc=3044
(new world encyclopedia : 2011 ). Marin Marsenne . melalui. Diakses pada tangal 24
melalui web:
https://www.newworldencyclopedia.org/entry/Marin_Mersenne
( Wikipedia : 2013 ) Marsenne Prima . melalui. Diakses pada tangal 24 melalui web:
http://www.ask.com/wiki/Wieferich_prime?qsrc=3044
http://eprints.undip.ac.id/32339/6/M93_Murbowati_chapter_II.pdf
11