The Application of Homotopy Perturbation Method to Solve Nutrition Recycle Problems
ABSTRACT
NURUL AIN. The Application of Homotopy Perturbation Method to Solve Nutrition Recycle
Problems. Under supervision of Jaharuddin and Ali Kusnanto.
Ecosystem is an ecological system that is formed by a mutual inseparable relationship between
living organism and environment. The interaction among the components within an ecosystem,
especially the nutrition recycle, can be modeled by using mathematical equation. The nutrition
recycle model can be classified as a nonlinear problem. This phenomenon can be best represented
by homotopy perturbation method. Homotopy perturbation method is defined as an analytical
approach to solve a nonlinear problem. Based on this method, it can be concluded that the solution
of nutrition recycle problem has a form of power series. By using MATHEMATICA software, it
has been shown that the higher order of series used, the better model can be obtained. The model is
expected to resemble the real solution. If the growth rate of autotroph is higher than its mortality
rate, then the amount of abiotic nutrition and detritus organism will be declining, but the number
of autotroph will increase. In the case rate of equal growth and mortality rate of autotroph, it will
result into a decrease in abiotic nutrition, detritus organism, and autotroph number.
Keywords: homotopy perturbation method, ecosystems, and nonlinear problem.
ABSTRAK
NURUL AIN. Penyelesaian Masalah Daur Ulang Nutrisi dengan Menggunakan Metode Perturbasi
Homotopi. Dibimbing oleh Jaharuddin dan Ali Kusnanto.
Ekosistem adalah suatu sistem ekologi yang terbentuk karena hubungan timbal balik tidak
terpisahkan antara makhluk hidup dengan lingkungannya. Interaksi berbagai komponen pada suatu
ekosistem, khususnya proses daur ulang nutrisi dimodelkan secara matematika. Model proses
daur ulang nutrisi yang diperoleh merupakan masalah taklinear. Model ini diselesaikan dengan
metode perturbasi homotopi. Metode perturbasi homotopi merupakan suatu metode pendekatan
analitik untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Berdasarkan metode ini diperoleh bahwa
penyelesaian model daur ulang nutrisi berbentuk deret pangkat. Dengan menggunakan bantuan
software MATHEMATICA diperoleh bahwa semakin tinggi orde deret yang digunakan, semakin
mendekati penyelesaian sesungguhnya. Jika tingkat pertumbuhan autotrof lebih besar dari laju
kematiannya, maka banyaknya nutrisi abiotik dan organisme detritus mengalami penurunan
sedangkan organisme autotrof mengalami peningkatan. Jika tingkat pertumbuhan dan laju
kematian autotrof sama, maka banyaknya nutrisi abiotik, organisme autotrof, dan organisme
detritus mengalami penurunan.
Kata kunci: metode perturbasi homotopi, ekosistem, dan masalah taklinear
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Model matematika dapat digunakan
sebagai penjelasan terhadap suatu fenomena
(alami atau buatan) dan sering muncul dalam
permasalahan di bidang biologi, fisika,
ekonomi, teknik, dan lainnya. Salah satu
model matematika yang akan dibahas dalam
karya ilmiah ini didasarkan pada interaksi
berbagai komponen pada suatu ekosistem,
khususnya ekosistem kolam air tawar.
Ekosistem adalah suatu sistem ekologi
yang terbentuk karena hubungan timbal balik
tidak terpisahkan antara makhluk hidup
dengan lingkungannya. Komponen penyusun
ekosistem terdiri dari faktor abiotik dan faktor
biotik. Faktor abiotik adalah komponen yang
bukan berasal dari makhluk hidup, seperti air,
udara, sinar matahari, mineral-mineral, dan
lainnya. Sebagian nutrisi abiotik dapat berupa
bahan organik dan senyawa anorganik yang
kemudian diubah menjadi senyawa organik
oleh organisme detritus (pengurai) untuk
dimanfaatkan oleh organisme
autotrof
(organisme yang dapat membuat makanannya
sendiri). Sedangkan, komponen biotik adalah
komponen yang berasal dari makhluk hidup,
seperti tumbuhan, hewan, organisme tingkat
rendah, dan organisme autotrof.
Penelitian mengenai proses daur ulang
nutrisi pada suatu ekosistem telah banyak
dilakukan, antara lain penelitian pada
penyelesaian analisis kestabilan dari model
proses daur ulang nutrisi dalam suatu kolam
nutrisi (Yusfridawati 2005) tetapi, tidak
mencari
penyelesaian
hampiran
dan
penyelesaian numerik dari model tersebut.
Penelitian lain, yang ditulis oleh Blachet
(2008) difokuskan pada hubungan antara
mangsa dan pemangsa dengan melibatkan
komponen biotik, abiotik, dan organisme
detritus.
Dalam banyak kasus, masalah taklinear
sulit
untuk
diselesaikan,
khususnya
penyelesaian secara analitik. Model proses
daur ulang nutrisi yang dibahas dalam karya
ilmiah ini merupakan masalah taklinear yang
akan diselesaikan dengan metode perturbasi
homotopi. Metode homotopi merupakan
bentuk umum dari metode perturbasi dan
metode dekomposisi adomian (Jaharuddin
2008). Terdapat beberapa keunggulan dari
metode homotopi diantaranya tetap valid
sekalipun masalah taklinear tersebut memuat
sembarang parameter. Selain itu, dapat
melakukan penyesuaian dan pembatasan
daerah kekonvergenan serta tingkat hampiran
deret sesuai keperluan, kemudian dapat
mengefisienkan penyelesaian hampiran dari
masalah taklinear (Liao 2004). Metode
perturbasi homotopi diperkenalkan oleh He
(1999).
Metode
perturbasi
homotopi
merupakan suatu metode pendekatan analitik
untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear.
Metode ini berhasil diterapkan untuk
menyelesaikan berbagai masalah taklinear
seperti pada ilmu fisika, ilmu komputer, ilmu
biologi, dan lainnya (He 2008). Dalam bidang
biologi, khususnya diterapkan pada interaksi
berbagai komponen di suatu kolam nutrisi.
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas
proses daur ulang nutrisi yang terjadi pada
suatu kolam yang didalamnya terdapat tiga
komponen. Komponen pertama adalah nutrisi
abiotik. Komponen kedua adalah organisme
autotrof. Sedangkan, komponen ketiga adalah
organisme detritus. Model proses daur ulang
nutrisi ini akan diselesaikan dengan metode
perturbasi
homotopi
(Odibat
2009).
Berdasarkan
metode
ini
pula
akan
dibandingkan penyelesaian hampiran metode
perturbasi homotopi dengan penyelesaian
numerik dari model ekosistem.
1.2 Tujuan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka
tujuan karya ilmiah ini adalah:
1. Menggunakan metode perturbasi homotopi
untuk menyelesaikan model proses daur
ulang nutrisi dalam suatu kolam.
2. Menggambarkan grafik penyelesaian
model proses daur ulang nutrisi dalam
kolam dan memberikan tafsiran fisisnya.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri atas empat bab.
Bab pertama merupakan pendahuluan yang
berisi uraian mengenai latar belakang, tujuan,
dan sistematika penulisan. Bab kedua
merupakan landasan teori yang berisi asumsi
dan model ekosistem serta konsep metode
perturbasi homotopi untuk menyelesaikan
masalah taklinear. Bab ketiga merupakan
pembahasan yang berisi analisis metode
perturbasi homotopi yang dihunakan untuk
menyelesaikan model proses daur ulang
nutrisi, aplikasi metode untuk persamaan
diferensial umum, dan contoh kasus
menyelesaikan model proses daur ulang
nutrisi
dengan
menggunakan
metode
perturbasi homotopi. Bab terakhir pada tulisan
ini berisi kesimpulan dari keseluruhan
penulisan.
II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori
yang digunakan dalam menyusun karya ilmiah
ini. Teori-teori tersebut meliputi asumsi dan
model ekosistem serta metode perturbasi
homotopi.
2.1 Asumsi dan Model
Dalam suatu ekosistem dapat terjadi
proses daur ulang nutrisi. Komponen
penyusun daur ulang nutrisi ini terdiri dari tiga
komponen. Komponen pertama adalah nutrisi
abiotik berupa kalium (K), fosfor (P), oksigen
(O2), karbon dioksida (CO2), dan mineralmineral lainnya. Komponen kedua adalah
organisme autotrof, seperti algae plankton.
Kemudian,
komponen ketiga adalah
organisme detritus yang berupa bakteri dan
fungi (jamur). Komponen penyusun daur
ulang nutrisi ini dinamakan kolam nutrisi.
Nutrisi abiotik yang berada pada kolam
nutrisi berperan sebagai bahan mentah yang
digunakan oleh autotrof (produsen) untuk
membuat makanannya sendiri. Kemudian
nutrisi biotik yang berupa organisme autotrof
dimakan oleh organisme yang berperan
sebagai
konsumen
tingkat
pertama.
Dinamakan konsumen tingkat pertama, karena
organisme tersebut pertama kali mengambil
makanan dari produsen. Setelah itu, proses
berlanjut pada tingkat konsumen yang lebih
tinggi sampai akhirnya konsumen tingkat
akhir mati dan berakhir pada organisme
detritus.
Detritus merupakan organisme yang
menguraikan bahan organik yang berasal dari
organisme mati, seperti feses, daun yang
gugur, dan bangkai organisme mati dari
semua tingkat trofik (Campbell et al. 2004).
Pengurai disebut juga komponen makro
(sapotrof) karena makanan yang dimakan
berukuran lebih besar. Detritus menguraikan
kembali konsumen dan produsen tingkat akhir
menjadi nutrisi abiotik. Organisme pengurai
menyerap sebagian hasil penguraian tersebut
melepaskan bahan-bahan sederhana sehingga
dapat digunakan kembali oleh produsen.
Model proses daur ulang nutrisi yang ditinjau
adalah model yang disusun oleh (Deangelis et
al. 1986). Pada proses permodelan, sistem
yang ditinjau dibagi atas tiga komponen,
yaitu: nutrisi abiotik, organisme autotrof, dan
organisme detritus seperti dalam Gambar 1.
Misalkan banyaknya nutrisi abiotik dalam
kolam nutrisi adalah , banyaknya autotrof
dalam kolam nutrisi adalah , dan banyaknya
detritus dalam kolam nutrisi adalah .
Gambar 1 Model tiga komponen dari kolam
nutrisi abiotik, autotrof, dan
detritus.
Berdasarkan Gambar 1 laju perubahan
banyaknya nutrisi yang berada dalam kolam
nutrisi dipengaruhi oleh:
1. Banyaknya nutrisi yang masuk ke dalam
kolam nutrisi per satuan waktu,
dinotasikan .
2. Banyaknya nutrisi yang hilang per satuan
waktu, karena keluarnya air dari dalam
kolam. Keluarnya air dari dalam kolam
nutrisi dapat disebabkan oleh kebocoran
atau hal lainnya. Banyaknya nutrisi yang
. Dengan
suatu
hilang dinotasikan
konstanta yang disebut tingkat kehilangan
nutrisi.
3. Banyaknya nutrisi dalam kolam nutrisi
yang dimakan oleh organisme autotrof per
satuan waktu adalah
, dengan
bergantung pada banyaknya nutrisi pada
, dengan
kolam nutrisi dinotasikan
suatu
konstanta
yang
menyatakan
perbandingan banyaknya nutrisi dengan
banyaknya organisme autotrof
dan
dan
detritus. Untuk masing-masing
menyatakan tingkat pertumbuhan autotrof
dan tingkat jenuh nutrisi.
4. Banyaknya nutrisi yang diperoleh dari
hasil urai yang dilakukan oleh organisme
detritus per satuan waktu, dinotasikan
, dengan
suatu konstanta yang
menyatakan perbandingan banyaknya
nutrisi dengan banyaknya organisme
autotrof dan detritus. Konstanta
adalah
laju
reminearilisasi yang
dilakukan oleh detritus. Reminearilisasi
adalah proses kembalinya menjadi
mineral.
3
Oleh karena itu, laju perubahan banyaknya
nutrisi yang berada dalam kolam, secara
matematis dinyatakan dengan:
.
Laju perubahan banyaknya organisme
autotrof yang berupa nutrisi dipengaruhi
oleh:
1. Banyaknya organisme autotrof yang
keluar dan diuraikan oleh organisme
pengurai per satuan waktu, dinotasikan
dengan
suatu konstanta yang
disebut laju kematian autotrof yang
memengaruhi detritus.
2. Banyaknya organisme autotrof yang
keluar dan tidak diuraikan oleh organisme
pengurai per satuan waktu, tetapi
meninggalkan sistem, dinotasikan
suatu konstanta yang disebut
dengan
laju kematian autotrof yang tidak dapat
diuraikan.
3. Banyaknya organisme autotrof yang
terbentuk per satuan waktu karena
tersedianya nutrisi yang ada pada kolam
nutrisi, yaitu
.
Oleh karena itu, laju perubahan banyaknya
autotrof yang berada dalam kolam, secara
matematis dinyatakan oleh :
.
Model bagi masalah daur ulang nutrisi
pada kolam sederhana yang diberikan oleh
sistem persamaan (2.1) akan diselesaikan
dengan menggunakan metode perturbasi
homotopi. Metode ini akan dijelaskan sebagai
berikut:
2.2 Metode Perturbasi Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar
metode homotopi berdasarkan alur pada
pustaka
(Jaharuddin
2008).
Misalkan
diberikan persamaan diferensial berikut:
Ω
,
Selanjutnya, laju perubahan banyaknya
organisme detritus dipengaruhi oleh :
1. Banyaknya organisme autotrof yang
diuraikan oleh organisme detritus per
.
satuan waktu yang dinotasikan oleh
2. Banyaknya hasil urai dari organisme
detritus yang menjadi nutrisi dalam kolam
nutrisi per satuan waktu yang dinotasikan
.
3. Banyaknya organisme detritus yang
meninggalkan sistem per satuan waktu
dengan laju .
Oleh karena itu, laju perubahan banyaknya
detritus yang berada dalam kolam, secara
matematis diperoleh :
.
Dengan demikian, proses daur ulang nutrisi
dalam kasus ini dimodelkan oleh sistem
persamaan sebagai berikut:
(2.2)
dengan
suatu operator turunan yang
taklinear dan
fungsi yang akan
ditentukan dan bergantung pada peubah bebas
. Selanjutnya didefnisikan pula suatu
operator linear yang memenuhi
.
, bila
.
.
(2.3)
Sehingga operator
dapat dibagi menjadi
dua bagian, yaitu
dan
yang masingmasing merupakan operator linear dan
taklinear. Jadi, persamaan diferensial (2.2)
dapat ditulis:
.
(2.4)
pendekatan awal dari
Misalkan
penyelesaian persamaan (2.2) dan
,
suatu parameter. Didefinisikan fungsi real
, :Ω
,
, dan suatu fungsi H
sebagai berikut:
,
atau
,
.
(2.5)
Berdasarkan persamaan (2.5), maka untuk
dan
masing-masing memberikan
persamaan berikut:
4
dan
,
,
,
,
,
atau
,
.
dan
,
masing-masing merupakan penyelesaian dari
persamaan
,
,
,
,
.
Jadi, untuk
diperoleh
dari persamaan (2.6)
∞
,
,
Karena
.
; , ,
|
dan dinotasikan
; , ,
Deret Taylor dari fungsi
,
adalah
; , ,
; , ,
∞
; , ,
|
!
.
, maka diperoleh
∞
Dengan demikian peningkatan nilai dari 0
ke 1 menyatakan perubahan nilai
, dari
ke
. Dalam topologi, proses
ini disebut deformasi. Proses deformasi yang
ditinjau meliputi deformasi orde nol dan orde
tinggi. Pada deformasi orde nol memberikan
, sedangkan deformasi
penyelesaian awal
orde tinggi memberikan penyelesaian
, , … , . Untuk menentukan
, , , . . . dilakukan sebagai berikut. Jika
persamaan (2.5) diturunkan terhadap
hingga
kali dan dihitung pada
kemudian dibagi oleh !, maka diperoleh
persamaan berikut:
!
.
Berdasarkan persamaan (2.5), maka diperoleh
,
!
.
Dalam metode perturbasi homotopi, fungsi
, yang dinyatakan pada persamaan (2.6)
merupakan penyelesaian dari persamaan
,
,
dan
.
,
Sehingga menurut persamaan (2.2)
persamaan (2.3) diperoleh bahwa fungsi
dan
∞
|
.
terhadap
.
Hasil ini menunjukkan hubungan antara
penyelesaian eksak dari persamaan (2.2)
,
dan
dengan pendekatan awal
, , … yang akan ditentukan. Persamaan
,
, ,…
untuk
menentukan
diperoleh dengan menggunakan metode
perturbasi,
dimana
persamaan
(2.6)
disubstitusikan ke dalam persamaan (2.5) dan
. Secara umum
diperoleh
diperoleh
dengan menyamakan koefisien kepangkatan
merupakan pendekatan awal dari
, dan
penyelesaian
. Selanjutnya, misalkan
diberikan suatu masalah yang dinyatakan oleh
sistem persamaan diferensial berikut :
,
.
dengan syarat awal
.
(2.8)
Penyelesaian eksak masalah nilai awal (2.8)
adalah
e
e
5
e
e.
.
Berikut ini akan dicari penyelesaian dari
masalah nilai awal persamaan (2.8) dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi.
Berdasarkan persamaan (2.5) dan persamaan
(2.7) diperoleh persamaan berikut:
,
(2.10)
Misalkan penyelesaian persamaan
dinyatakan dalam persamaan berikut:
(2.10)
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Jika persamaan
(2.12) diintegralkan
terhadap , maka diperoleh
,
,
.
.
.
Bentuk lain dari
dan
,
, dengan
, , , , (dibuktikan dalam lampiran 1).
Selajutnya, diperoleh penyelesaian untuk
dan dari persamaan (2.7) dengan syarat
awal
dan
hingga orde
kelima, sebagai berikut:
(2.11)
Jika persamaan (2.11) disubstitusikan ke
dalam persamaan (2.10), kemudian dipisahkan
berdasarkan derajat kepangkatan , maka
memberikan
koefisien
,
Gambar 2 Grafik perbandingan penyelesaian eksak (2.9) dan metode perturbasi homotopi dari
masalah nilai awal (2.7).
Berdasarkan Gambar 2 diperoleh bahwa
penyelesaian pendekatan dari masalah nilai
awal (2.7) mendekati penyelesaian eksaknya
dengan cukup baik. Hasil ini menunjukkan
bahwa metode perturbasi homotopi dapat
digunakan untuk menyelesaikan sistem
persamaan diferensial dengan nilai awal atau
nilai batas yang diberikan.
III PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan
metode
perturbasi
homotopi
untuk
menyelesaikan suatu masalah taklinear.
Metode ini digunakan untuk menyelesaikan
model matematika bagi proses daur ulang
nutrisi dalam suatu kolam.
3.1 Analisis Metode
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas suatu
masalah taklinear, khususnya pada masalah
ekosistem, digunakan metode perturbasi
homotopi untuk menentukan penyelesaian
pendekatannya.
Berikut ini akan dibahas perluasan dari
konsep dasar metode homotopi seperti yang
diuraikan pada landasan teori. Untuk itu
diperlukan fungsi
, , ,
yang tidak
hanya bergantung pada dan , tetapi juga
bergantung pada parameter bantu
dan
fungsi bantu
. Misalkan fungsi H
dinyatakan sebagai berikut
; , ,
; , ,
; , ,
.
; , ,
atau
; , ,
; , ,
.
Kedua penyelesaian di atas bergantung
pada parameter bantu h dan fungsi bantu
yang dipilih sembarang, pemilihan
parameter bantu h, fungsi bantu T (x),
, dan operator linear
pendekatan awal
perlu memperhatikan validitas dari metode
homotopi. Dengan pemilihan ini terjamin
adanya fungsi
; , ,
dan turunanturunannya terhadap untuk setiap
, .
Turunan ke
dari fungsi
; , ,
terhadap yang dihitung di
adalah:
; , ,
!
, , ,
persamaan
|
; , ,
!
|
; , ,
; , ,
; , ,
.
(3.2)
; , ,
; , ,
.
Berdasarkan
persamaan
(2.2)
dan
persamaan (2.3), maka penyelesaian dari
persamaan
; , ,
dan
; , ,
masing-masing adalah
∞
; , ,
!
atau
.
; , ,
Deret Taylor dari fungsi
sekitar
adalah
Berdasarkan persamaan (3.1), maka untuk
dan
masing-masing
memberikan persamaan berikut:
dan
; , ,
(3.1)
, , ,
; , ,
dan
dan dinotasikan
Selanjutnya, misalkan fungsi
merupakan penyelesaian dari
berikut:
atau
; , ,
; , ,
di
|
∞
.
; , ,
(3.3)
Selanjutnya dengan pemilihan ,
,
,
dan
juga
mengakibatkan
kekonvergenan dari deret (3.3) di
. Jadi
untuk
, dari persamaan (3.3) diperoleh
∞
; , ,
.
(3.4)
7
; , ,
Karena
, maka diperoleh
∞
.
(3.5)
Hasil ini menunjukkan hubungan antara
penyelesaian eksak dari persamaan (2.2)
,
dan
dengan pendekatan awal
, , … yang akan ditentukan. Persamaan
,
, ,…
untuk
menentukan
diperoleh dengan menggunakan metode
perturbasi,
dimana
persamaan
(3.3)
disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2),
dengan menyamakan koefisien dari derajat
kepangkatan , maka diperoleh penyelesaian
dari persamaan (3.5).
3.2 Aplikasi Metode
Untuk lebih memahami metode yang telah
dijelaskan pada bagian sebelumnya. Tinjau
sistem persamaan diferensial berikut:
.
Secara umum persamaan (3.8)
dinyatakan dalam persamaan berikut:
(3.8)
dapat
,
(3.9)
dengan
suatu operator linear dan
operator taklinear. Berdasarkan persamaan
(3.1) dan persamaan (3.6) diperoleh
.
Secara umum sistem persamaan diferensial
(3.6) dapat dinyatakan dalam persamaan
berikut:
. ,
.
dengan nilai awal
,
,…,
Berdasarkan persamaan (2.4) dan persamaan
(3.6), diperoleh
Secara umum persamaan (3.10)
dinyatakan dalam persamaan berikut:
(3.10)
dapat
,
(3.11)
8
dengan
,
dan
merupakan
penyelesaian pendekatan awal. Parameter
mengalami peningkatan dari 0 sampai 1.
Misalkan penyelesaian dari persamaan (3.7)
dinyatakan dalam deret kuasa berikut :
,
dan
,
,
dengan syarat awal
, memberikan persamaan
Koefisien
berikut:
,
,
,
dengan syarat batas
,
dengan
,
,
, , ,…,
,
(3.12)
Sebagai ilustarasi, misalkan
.
Dimisalkan penyelesaian pendekatan awal
,
merupakan suatu konstanta.
Jika persaman (3.12) disubstitusikan ke dalam
persamaan (3.11), kemudian dipisahkan
berdasarkan derajat kepangkatan , maka
memberikan persamaan berikut:
koefisien
,
,
,
.
,
,
,
,
.
,
, memberikan persamaan
Koefisien
berikut:
,
,
dengan syarat batas
.
,
(3.14)
Penyelesaian masalah nilai awal persamaan
(3.13) adalah
,
,
Koefisien
berikut:
,
,
dan
,
,
,
,
,
,
memberikan
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
persamaan
,
.
,
,
,
,
,
,
.
(3.17)
(Bukti dapat dilihat pada lampiran 2)
Berdasarkan ilustrasi yang telah djelaskan
di atas diperoleh bahwa, jika diberikan
masalah
taklinear
dengan
persamaan
diferensial pada sistem persamaan (3.6),
maka dengan metode perturbasi homotopi
diperoleh penyelesaian pendekatan berbentuk
dengan
(3.17)
.
,
.
,
,
(3.15)
Secara umum untuk sembarang koefisien
memberikan persamaan berikut:
,
dengan syarat batas
,
,
,
Secara umum, untuk koefisien
,
, ,…
dapat dinyatakan dalam persaman berikut:
(3.13)
dan
,
,
,
dengan syarat awal
,
,
,
.
.
diperoleh dari persamaan
3.3 Contoh Kasus pada Masalah Daur
Ulang Nutrisi
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan
metode
perturbasi
homotopi
untuk
menyelesaikan model ekosistem yang berupa
ekosistem kolam. Model matematika yang
ditinjau diberikan oleh sistem persamaan
diferensial taklinear pada persamaan (2.1).
,
dan
masing-masing
Misalkan
menyatakan banyaknya nutrisi abiotik dalam
kolam nutrisi, banyaknya organisme autotrof
dalam kolam nutrisi, dan banyaknya
9
organisme detritus dalam kolam nutrisi, maka
persamaan (2.1) menjadi persamaan berikut:
,
,
,
,
dan
,
,
(3.19)
dengan syarat awal
.
,
dan
,
.
,
(3.20)
, , ,
,
,
,
,
,
dan
merupakan
parameter-parameter
pada
persamaan (2.1). Dalam proses ini,
dimisalkan:
, ,
, ,
,
•
,
•
,
,
,
•
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Berdasarkan persamaan (319), diperoleh
,
,
,
,
(3.21)
,
,
,
,
,
Bentuk lain dari
, dan
, dengan
, , , , (dibuktikan dalam lampiran 4).
Nilai
ditentukan
berdasarkan
,
persamaan (3.16) dan persamaan (3.17).
Berdasarkan persamaan (3.16) dan persamaan
(3.19) diperoleh penyelesaian berikut:
,
,
.
,
,
.
,
.
Berdasarkan persamaan (3.17) dan persamaan
(3.19) diperoleh persamaan berikut:
,
Berikut ini akan ditentukan penyelesaian
dari masalah nilai awal persamaan (3.19)
dengan metode perturbasi homotopi yang
telah diuraikan pada bagian sebelumnya.
Sehingga, penyelesaian masalah nilai awal
persamaan (3.19) hingga orde kelima
berbentuk:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
(3.22)
Berikut ini akan dilakukan kajian tentang
masalah daur ulang nutrisi untuk
. ,
,
. ,
.
,
. ,
. ,
. . Ditinjau dua kasus
berdasarkan tingkat pertumbuhan dan laju
kematian autotrof. Kasus pertama bilamana
tingkat pertumbuhan dan laju kematian
autotrof berbeda. Sedangkan kasus kedua
bilamana tingkat pertumbuhan dan laju
kematian autotrof sama.
Kasus 1. Misalkan
. ,
.
.
Berdasarkan persamaan (3.22) dan persamaan
(3.20) diperoleh penyelesaian masalah nilai
awal persamaan (3.19) berbentuk
10
,
.
,
,
Kasus 2. Misalkan
.
.
t
t
.
.
t
,
.
.
Berdasarkan persamaan (3.22) dan
persamaan (3.20) diperoleh
penyelesaian
masalah nilai awal persamaan (3.19)
berbentuk
,
,
Bentuk
,
, , , ,
,
.
.
.
dan
t
t
.
.
t
.
dengan
dan
, ,
,
(dibuktikan dalam lampiran 3).
Dengan demikian penyelesaian masalah daur
ulang nutrisi pada persamaan (2.1), untuk
komponen N, X, D yang masing‐masing
menyatakan banyaknya nutrisi abiotik dalam
kolam nutrisi, banyaknya autotrof dalam
kolam nutrisi, dan banyaknya detritus dalam
kolam nutrisi. Untuk kasus dan kasus
hingga orde kelima adalah
.
.
.
.
t
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
t
.
.
.
.
.
t
t
t
t
t
.
.
.
t
.
.
t
t
t
t
.
.
t
t
.
.
t
t
t
t
Tabel 1 berikut ini menunjukkan bahwa
tingkat kesalahan untuk penyelesaian nutrisi
biotik (N), organisme autotrof (X), dan
organisme detritus (D) pada kasus 1 hingga
orde kelima dengan penyelesaian numeriknya
sangat kecil.
Tabel Tingkat kesalahan metode perturbasi homotopi orde kelima dengan penyelesaian numerik
pada kasus 1
Tingkat kesalahan
t
(satuan waktu)
Nutrisi biotik (N)
Organisme autotrof (X)
Organisme detritus (D)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Berdasarkan Tabel
dapat disimpulkan
bahwa semakin tinggi orde yang
digunakan, maka semakin mendekati
penyelesaian sebenarnya.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gambar 3 dan Ganbar 4 berikut ini
menunjukkan grafik penyelesaian untuk
nutrisi biotik (N), organisme autotrof (X), dan
organisme detritus (D) yang didekati hingga
orde kelima.
11
Gambar 3 Grafik penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dari masalah nilai awal (2.1)
orde kelima untuk kasus 1.
Gambar 4 Grafik penyelesaian numerik dari masalah nilai awal (2.1) untuk kasus 1.
12
Gambar 3 dan Gambar 4 memperlihatkan
perilaku nutrisi abiotik, organisme autotrof,
dan organisme detritus selama proses daur
ulang nutrisi berlangsung. Pada kasus pertama
perilaku nutrisi abiotik menunjukkan bahwa
banyaknya nutrisi abiotik pada saat terjadi
proses daur ulang nutrisi menurun dengan
sangat lambat. Hal ini dikarenakan oleh
beberapa hal, diantaranya banyaknya nutrisi
yang hilang dari kolam karena keluarnya air
dari kolam nutrisi yang disebabkan oleh
kebocoran pada kolam. Penyebab lainnya
adalah banyaknya nutrisi yang digunakan
oleh organisme autotrof untuk membuat
makanannya sendiri. Selain itu, tingginya
tingkat pertumbuhan autotrof mengakibatkan
tingginya jumlah organisme autotrof. Seiring
dengan penurunan nutrisi abiotik organisme
autotrof mengalami peningkatan dengan lebih
cepat. Sedangkan, untuk organisme detritus
mengalami penurunan dengan lebih cepat, hal
ini terjadi karena banyaknya organisme
autotrof
yang telah mati
tidak dapat
diuraikan oleh detritus. Detritus yang tidak
dapat menguraikan autotrof disebabkan oleh
adanya kebocoran pada kolam.
Tabel 2 berikut ini menunjukkan bahwa
galat untuk penyelesaian N, X, D pada kasus 2
hingga orde kelima dengan penyelesaian
numeriknya sangat kecil.
Tabel Tingkat kesalahan metode perturbasi homotopi orde kelima dengan penyelesaian numerik
pada kasus 2
Tingkat kesalahan
t
(satuan waktu)
Nutrisi biotik (N)
Organisme autotrof (X)
Organisme detritus (D)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Berdasarkan Tabel dapat disimpulkan
bahwa semakin tinggi orde yang
digunakan, maka semakin mendekati
penyelesaian sebenarnya.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gambar 5 dan Gambar 6 berikut ini
menunjukkan grafik penyelesaian untuk
nutrisi biotik (N), organisme autotrof (X), dan
organisme detritus (D) yang didekati hingga
orde kelima.
13
Gambar 5 Grafik penyellesaian dengann metode pertturbasi homotoopi dari masallah nilai awal (2.1)
ordde kelima untu
uk kasus 2.
mbar 6 Grafik penyelesaian numerik dari masalah nilai awal (2.1) unntuk kasus 2.
Gam
14
Gambar 5 dan Gambar 6 memperlihatkan
perilaku nutrisi abiotik, organisme autotrof,
dan organisme detritus selama proses daur
ulang nutrisi berlangsung. Untuk kasus kedua
perilaku nutrisi abiotik menunjukkan bahwa
banyaknya nutrisi abiotik pada saat terjadi
proses daur ulang nutrisi mengalami
penurunan dengan sangat lambat. Untuk
organisme autotrof
pun mengalami
penurunan dengan sangat lambat, hal ini
dikarenakan oleh beberapa hal, diantaranya
nutrisi yang digunakan untuk membuat
makanannya sendiri berkurang atau adanya
kebocoran pada kolam sehingga nutrisi keluar
dari kolam. Penyebab lain dari penurunan
organisme autotrof adalah tingginya tingkat
kematian autotrof atau rendahnya tingkat
pertumbuhan autotrof. Dalam waktu yang
bersamaan detritus pun mengalami penurunan
seiring penurunan jumlah autotrof. Hal ini
dikarenakan oleh jumlah organisme autotrof
yang menurun mengakibatkan penguraian
autotrof oleh detritus menjadi berkurang.
IV SIMPULAN
Metode perturbasi homotopi yang
digunakan untuk menyelesaikan model proses
daur ulang nutrisi dalam suatu kolam nutrisi
sangat sederhana karena hanya melibatkan
pengintegralan biasa. Model proses daur
ulang nutrisi yang ditinjau berupa kolam air
tawar yang didalamnya terdapat tiga
komponen, yaitu nutrisi biotik, organisme
autotrof, organisme detritus. Dalam metode
perturbasi homotopi diperoleh bahwa semakin
tinggi orde yang digunakan semakin
mendekati penyelesaian sesungguhnya. Hal
ini terlihat pada galat (tingkat kesalahan) dari
orde kelima dengan penyelesaian numeriknya
lebih kecil dibandingkan penyelesaian
numerik dari orde keempat.
Dalam karya ilmiah ini, disimulasikan dua
kasus model proses daur ulang nutrisi. Kedua
kasus
tersebut
berdasarkan
tingkat
pertumbuhan dan laju kematian autotrof. Pada
kasus pertama, jika tingkat pertumbuhan
autotrof lebih tinggi dibandingkan dengan
laju kematian autotrof, diperoleh hasil bahwa:
1. Banyaknya nutrisi abiotik mengalami
penurunan.
2. Banyaknya organisme autotrof mengalami
peningkatan.
3. Banyaknya organisme detritus mengalami
penurunan.
Pada
kasus
kedua,
jika
tingkat
pertumbuhan dan laju kematian autotrof
sama, diperoleh hasil bahwa:
1. Banyaknya nutrisi abiotik mengalami
penurunan.
2. Banyaknya organisme autotrof mengalami
penurunan.
3. Banyaknya organisme detritus mengalami
penurunan.
PENYELESAIAN MASALAH DAUR ULANG NUTRISI
DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
NURUL AIN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
DAFTAR PUSTAKA
Blanchet S, Loot G, Dodson JJ. 2008.
Competition, predation and flow rate as
mediators of direct and indirect effects in a
stream food chain. Springer-Verlag.
Campbell NA, Reece JB, Mitchell LH. 2004.
Biologi Jilid 3. Jakarta: Erlangga. Lestari R,
penerjemah. Terjemahan dari: Biology.
Deangelis DL. 1986. Nutrient Recycling and
System Resillence in a Model of an
Experimental Aquatic System. Mathematical
Ecology, 189-215.
He JH. 1999. Homotopy Perturbation Tehcnique.
Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering 178:257-262.
He JH. 2008. Topological Methods in Nonlinear
Analysis. Recent Development of the Homotopy
Perturbation Method 31:205-209.
Jaharuddin. 2008. Analisis Homotopi dalam
Penyelesaian suatu Masalah Taklinear. Jurnal
Matematika dan Aplikasinya, 7:6-16.
Liao S. 2004. Beyond Perturbation: Introduction to
the Homotopi Analysis Method. Boca Raton,
London, New York Washington, D.C.
Odibat Z, Bertelle C. 2009. Application of
Homotopy Perturbation Method for Ecosystem
Modelling.
http://wwwlih.univlehavre.fr/~bertelle/cossombook/odibat4cosso
m06.pdf [8 Desember 2010].
Yusfridawati. 2005. Analisi Kestabilan Model
Proses Daur ulang Nutrisi dalam Suatu Kolam
Nutrisi [Skripsi]. Bogor: Institut Pertanian
Bogor.
PENYELESAIAN MASALAH DAUR ULANG NUTRISI
DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
NURUL AIN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
ABSTRACT
NURUL AIN. The Application of Homotopy Perturbation Method to Solve Nutrition Recycle
Problems. Under supervision of Jaharuddin and Ali Kusnanto.
Ecosystem is an ecological system that is formed by a mutual inseparable relationship between
living organism and environment. The interaction among the components within an ecosystem,
especially the nutrition recycle, can be modeled by using mathematical equation. The nutrition
recycle model can be classified as a nonlinear problem. This phenomenon can be best represented
by homotopy perturbation method. Homotopy perturbation method is defined as an analytical
approach to solve a nonlinear problem. Based on this method, it can be concluded that the solution
of nutrition recycle problem has a form of power series. By using MATHEMATICA software, it
has been shown that the higher order of series used, the better model can be obtained. The model is
expected to resemble the real solution. If the growth rate of autotroph is higher than its mortality
rate, then the amount of abiotic nutrition and detritus organism will be declining, but the number
of autotroph will increase. In the case rate of equal growth and mortality rate of autotroph, it will
result into a decrease in abiotic nutrition, detritus organism, and autotroph number.
Keywords: homotopy perturbation method, ecosystems, and nonlinear problem.
ABSTRAK
NURUL AIN. Penyelesaian Masalah Daur Ulang Nutrisi dengan Menggunakan Metode Perturbasi
Homotopi. Dibimbing oleh Jaharuddin dan Ali Kusnanto.
Ekosistem adalah suatu sistem ekologi yang terbentuk karena hubungan timbal balik tidak
terpisahkan antara makhluk hidup dengan lingkungannya. Interaksi berbagai komponen pada suatu
ekosistem, khususnya proses daur ulang nutrisi dimodelkan secara matematika. Model proses
daur ulang nutrisi yang diperoleh merupakan masalah taklinear. Model ini diselesaikan dengan
metode perturbasi homotopi. Metode perturbasi homotopi merupakan suatu metode pendekatan
analitik untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Berdasarkan metode ini diperoleh bahwa
penyelesaian model daur ulang nutrisi berbentuk deret pangkat. Dengan menggunakan bantuan
software MATHEMATICA diperoleh bahwa semakin tinggi orde deret yang digunakan, semakin
mendekati penyelesaian sesungguhnya. Jika tingkat pertumbuhan autotrof lebih besar dari laju
kematiannya, maka banyaknya nutrisi abiotik dan organisme detritus mengalami penurunan
sedangkan organisme autotrof mengalami peningkatan. Jika tingkat pertumbuhan dan laju
kematian autotrof sama, maka banyaknya nutrisi abiotik, organisme autotrof, dan organisme
detritus mengalami penurunan.
Kata kunci: metode perturbasi homotopi, ekosistem, dan masalah taklinear
PENYELESAIAN MASALAH DAUR ULANG NUTRISI
DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
NURUL AIN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2011
Judul : Penyelesaian Masalah Daur Ulang Nutrisi dengan Menggunakan
Metode Perturbasi Homotopi
Nama : Nurul Ain
NRP : G54070025
Menyetujui,
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Jaharuddin, M.S.
NIP. 19651102 199302 1001
Drs. Ali Kusnanto, M.Si.
NIP. 19650820 199003 1001
Mengetahui
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, M.S.
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena atas segala rahmat dan karuniaNya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas
dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya
kepada:
1. Keluargaku tercinta: Ayah dan Ibu (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan,
dan kasih sayangnya), adik-adikku (terima kasih atas doa, dukungan, kasih sayang, dan
dukungannya), serta keluarga besar baik dari Ayah maupun dari Ibu (terima kasih atas doanya).
2. Dr. Jaharuddin, M.S. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, masukan,
arahan, kesabaran, dukungan, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).
3. Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, saran,
dan dukungannya).
4. Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya).
5. Segenap dosen Departemen Matematika: Bu Anggi, Bu Ida, Pak Donny, Pak Hadi, Pak Wayan,
Pak Prapto, dan lainnya (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan).
6. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Bu Susi, Mas Heri, Pak Bono, Bu Ade, Mas Deni,
dan lainnya (terima kasih atas bantuan dan dukungannya).
7. Sahabat-sahabatku:Finny, ririh, yuli (terima kasih atas motivasi dan bantuannya).
8. Tutor-tutor: Wahyu, Ririh, Mba ana (terima kasih atas saran, motivasi dan bantuannya).
9. Kakak-kakak Matematika S2, 41, 42, dan 43: Mbak Ana, Pak Hadi, Kak Erni, Kak Andrew,
Kak Aini, Kak Apri, Kak Agung, Kak Vera, Kak Cici, Kak Iput, Kak Nanu, Ka Narsih, dan
lainnya (terima kasih atas ilmu, bantuan, dan semuanya).
10. Teman-teman Matematika angkatan 44:Ririh, Yuli, Wahyu, Yuyun, Lingga, Masay, Diana,
Yogie, Lugina, Ayum, Iam, Yanti, Selvie, Nurul, Pepi, Devi, Istiti, Iresa, Sari, Anis, Fikri,
Wenti, Sri, Fajar, Mutia, Rachma, Ayung, Iful, Cita, Tanty, Arina, Deva, Aqil, Lilis, Imam,
Aswin, Eka, Aze, Ali, Vianey, Nadiroh, Nurus, Na’im, Dhika, Ima, Dora, Atik, Fani, Phunny,
Dian, Rofi, Della, Tyas, Denda, Pandi, Rizqy, Indin, Sholih, Siska, Lili, Tita, Lina, Endro,
Ruhi, Lukman, Puying, Tendhy, Ikhsan, Chopa, dan Zae (terima kasih atas doa, semangat,
dukungan, bantuan, dan kebersamaannya).
11. Adik-adik Matematika angkatan 45 dan 46: Aci, Vivi, Ade, Santi, Rahma, Prama, Irma, Heru,
Putri, Isna, Rischa, Regita, Tya, Mega, Bram, Heryanto, Hardono, Fenny, Anggun, Ali Vikri,
Kunedi, andri, windy, ivon, dan lainnya (terima kasih atas dukungan dan bantuannya).
12. Teman-teman BEM FMIPA Kabinet Totalitas kebangkitan: Yakub, Aci, Asep, Debie, Ayu,
Arina, Ary, Tiara, Lida, Ade, Ayu, Cipta, Kirana, Panji, James, Teguh, dan lainnya (terima
kasih atas motivasi dan kebersamaannya).
13. Teman-teman kosan tanjung atas:Finny, Ria, Cli, Kak Ana, Teh Uli, Teh Tri, dan Aya (terima
kasih atas motivasi dan dukungannya).
14. Teman-teman lainnya yang telah mendukung secara moril selama ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika
dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Agustus 2011
Nurul Ain
RIWAYAT HIDUP
Penulis merupakan anak pertama dari enam bersaudara, puteri pasangan Safrin dan Ida
Asyidda. Penulis lahir di Jakrta pada tanggal 27 mei 1989. Pendidikan SD ditempuh pada tahun
1995-2001 di SD Negeri Cikampek Utara 1, penulis melanjutkan sekolah di SLTP Negeri 2
Cikampek pada tahun 2001-2004. Pendidikan menengah atas ditempuh oleh penulis pada tahun
2004- 2007 di SMA Negeri 1 Cikampek.
Penulis diterima sebagai mahasiswi di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi
Masuk IPB (USMI) pada tahun 2007. Penulis memilih mayor Matematika minor Kewirausahaan
Agribisnis. Selama menjadi mahasiswa penulis tercatat sebagai staf divisi kewirausahaan Gugus
Mahasiswa Matematika periode 2008-2009 dan staf internal Badan Eksekutif Mahasiswa Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor (Kabinet Totalitas Kebangkitan)
periode 2009-2010. Selain itu, penulis juga aktif dalam berbagai kegiatan kepanitiaan dan
pelatihan yang diselenggarakan oleh GUMATIKA dan BEM Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
Penulis memperoleh beasiswa peningkatan prestasi akademik (PPA) pada pada tahun 20072009 dan mendapatkan beasiswa Karya Salemba Empat (KSE) pada tahun 2008-2011. Penulis
juga mengajar di lembaga bimbingan belajar GUMATIKA dan KATALIS. Selain itu penulis juga
pernah menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Kalkulus III.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ................................................................................................................... ix
DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................................
ix
DAFTAR LAMPIRAN .......................................................................................................
ix
PENDAHULUAN ..............................................................................................................
1
II LANDASAN TEORI
2.1 Asumsi dan Model ......................................................................................................
2.2 Metode Perturbasi Homotopi ......................................................................................
2
3
III PEMBAHASAN
3.1 Analisis Metode ..........................................................................................................
3.2 Aplikasi Metode ..........................................................................................................
3.3 Contoh Kasus Pada Masalah Daur Ulang Nutrisi .......................................................
6
7
8
I
IV KESIMPULAN .................................................................................................................. 15
DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................................. 16
LAMPIRAN ............................................................................................................................. 17
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Tingkat kesalahan metode perturbasi homotopi orde kelima dengan penyelesaian
numerik pada kasus 1 ............................................................................................................ 10
2 Tingkat kesalahan metode perturbasi homotopi orde kelima dengan penyelesaian
numerik pada kasus 2 ............................................................................................................ 12
3 Tingkat kesalahan metode perturbasi homotopi orde keempat dengan penyelesaian
numerik pada kasus 1 ............................................................................................................ 29
4 Tingkat kesalahan metode perturbasi homotopi orde keempat dengan penyelesaian
numerik pada kasus 2 ............................................................................................................ 29
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Model tiga komponen dari kolam nutrisi abiotik, autotrof, dan detritus ................................
2 Grafik perbandingan penyelesaian eksak dan metode homotopi masalah nilai awal (2.7) ....
3 Grafik penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dari masalah nilai awal (2.1)
orde kelima untuk kasus 1 .....................................................................................................
4 Grafik penyelesaian numerik dari masalah nilai awal (2.1) untuk kasus 1 ............................
5 Grafik penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dari masalah nilai awal (2.1)
orde kelima untuk kasus 2 .....................................................................................................
6 Grafik penyelesaian numerik dari masalah nilai awal (2.1) untuk kasus 2 ............................
2
5
11
11
13
13
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1
2
3
4
5
6
Metode perturbasi homotopi untuk masalah nilai awal (2.7) .................................................
Penurunan persamaan (3.17) ..................................................................................................
Penyelesaian sistem persamaan (3.19) ...................................................................................
Program penyelesaian numerik Gambar 4 .............................................................................
Program penyelesaian numerik Gambar 6 .............................................................................
Tingkat kesalahan metode perturbasi homotopi orde keempat dengan
penyelesaian numeriknya pada kasus 1 ..................................................................................
7 Tingkat kesalahan metode perturbasi homotopi orde keempat dengan
penyelesaian numeriknya pada kasus 2 .................................................................................
18
20
23
28
28
29
29
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Model matematika dapat digunakan
sebagai penjelasan terhadap suatu fenomena
(alami atau buatan) dan sering muncul dalam
permasalahan di bidang biologi, fisika,
ekonomi, teknik, dan lainnya. Salah satu
model matematika yang akan dibahas dalam
karya ilmiah ini didasarkan pada interaksi
berbagai komponen pada suatu ekosistem,
khususnya ekosistem kolam air tawar.
Ekosistem adalah suatu sistem ekologi
yang terbentuk karena hubungan timbal balik
tidak terpisahkan antara makhluk hidup
dengan lingkungannya. Komponen penyusun
ekosistem terdiri dari faktor abiotik dan faktor
biotik. Faktor abiotik adalah komponen yang
bukan berasal dari makhluk hidup, seperti air,
udara, sinar matahari, mineral-mineral, dan
lainnya. Sebagian nutrisi abiotik dapat berupa
bahan organik dan senyawa anorganik yang
kemudian diubah menjadi senyawa organik
oleh organisme detritus (pengurai) untuk
dimanfaatkan oleh organisme
autotrof
(organisme yang dapat membuat makanannya
sendiri). Sedangkan, komponen biotik adalah
komponen yang berasal dari makhluk hidup,
seperti tumbuhan, hewan, organisme tingkat
rendah, dan organisme autotrof.
Penelitian mengenai proses daur ulang
nutrisi pada suatu ekosistem telah banyak
dilakukan, antara lain penelitian pada
penyelesaian analisis kestabilan dari model
proses daur ulang nutrisi dalam suatu kolam
nutrisi (Yusfridawati 2005) tetapi, tidak
mencari
penyelesaian
hampiran
dan
penyelesaian numerik dari model tersebut.
Penelitian lain, yang ditulis oleh Blachet
(2008) difokuskan pada hubungan antara
mangsa dan pemangsa dengan melibatkan
komponen biotik, abiotik, dan organisme
detritus.
Dalam banyak kasus, masalah taklinear
sulit
untuk
diselesaikan,
khususnya
penyelesaian secara analitik. Model proses
daur ulang nutrisi yang dibahas dalam karya
ilmiah ini merupakan masalah taklinear yang
akan diselesaikan dengan metode perturbasi
homotopi. Metode homotopi merupakan
bentuk umum dari metode perturbasi dan
metode dekomposisi adomian (Jaharuddin
2008). Terdapat beberapa keunggulan dari
metode homotopi diantaranya tetap valid
sekalipun masalah taklinear tersebut memuat
sembarang parameter. Selain itu, dapat
melakukan penyesuaian dan pembatasan
daerah kekonvergenan serta tingkat hampiran
deret sesuai keperluan, kemudian dapat
mengefisienkan penyelesaian hampiran dari
masalah taklinear (Liao 2004). Metode
perturbasi homotopi diperkenalkan oleh He
(1999).
Metode
perturbasi
homotopi
merupakan suatu metode pendekatan analitik
untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear.
Metode ini berhasil diterapkan untuk
menyelesaikan berbagai masalah taklinear
seperti pada ilmu fisika, ilmu komputer, ilmu
biologi, dan lainnya (He 2008). Dalam bidang
biologi, khususnya diterapkan pada interaksi
berbagai komponen di suatu kolam nutrisi.
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas
proses daur ulang nutrisi yang terjadi pada
suatu kolam yang didalamnya terdapat tiga
komponen. Komponen pertama adalah nutrisi
abiotik. Komponen kedua adalah organisme
autotrof. Sedangkan, komponen ketiga adalah
organisme detritus. Model proses daur ulang
nutrisi ini akan diselesaikan dengan metode
perturbasi
homotopi
(Odibat
2009).
Berdasarkan
metode
ini
pula
akan
dibandingkan penyelesaian hampiran metode
perturbasi homotopi dengan penyelesaian
numerik dari model ekosistem.
1.2 Tujuan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka
tujuan karya ilmiah ini adalah:
1. Menggunakan metode perturbasi homotopi
untuk menyelesaikan model proses daur
ulang nutrisi dalam suatu kolam.
2. Menggambarkan grafik penyelesaian
model proses daur ulang nutrisi dalam
kolam dan memberikan tafsiran fisisnya.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri atas empat bab.
Bab pertama merupakan pendahuluan yang
berisi uraian mengenai latar belakang, tujuan,
dan sistematika penulisan. Bab kedua
merupakan landasan teori yang berisi asumsi
dan model ekosistem serta konsep metode
perturbasi homotopi untuk menyelesaikan
masalah taklinear. Bab ketiga merupakan
pembahasan yang berisi analisis metode
perturbasi homotopi yang dihunakan untuk
menyelesaikan model proses daur ulang
nutrisi, aplikasi metode untuk persamaan
diferensial umum, dan contoh kasus
menyelesaikan model proses daur ulang
nutrisi
dengan
menggunakan
metode
perturbasi homotopi. Bab terakhir pada tulisan
ini berisi kesimpulan dari keseluruhan
penulisan.
II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori
yang digunakan dalam menyusun karya ilmiah
ini. Teori-teori tersebut meliputi asumsi dan
model ekosistem serta metode perturbasi
homotopi.
2.1 Asumsi dan Model
Dalam suatu ekosistem dapat terjadi
proses daur ulang nutrisi. Komponen
penyusun daur ulang nutrisi ini terdiri dari tiga
komponen. Komponen pertama adalah nutrisi
abiotik berupa kalium (K), fosfor (P), oksigen
(O2), karbon dioksida (CO2), dan mineralmineral lainnya. Komponen kedua adalah
organisme autotrof, seperti algae plankton.
Kemudian,
komponen ketiga adalah
organisme detritus yang berupa bakteri dan
fungi (jamur). Komponen penyusun daur
ulang nutrisi ini dinamakan kolam nutrisi.
Nutrisi abiotik yang berada pada kolam
nutrisi berperan sebagai bahan mentah yang
digunakan oleh autotrof (produsen) untuk
membuat makanannya sendiri. Kemudian
nutrisi biotik yang berupa organisme autotrof
dimakan oleh organisme yang berperan
sebagai
konsumen
tingkat
pertama.
Dinamakan konsumen tingkat pertama, karena
organisme tersebut pertama kali mengambil
makanan dari produsen. Setelah itu, proses
berlanjut pada tingkat konsumen yang lebih
tinggi sampai akhirnya konsumen tingkat
akhir mati dan berakhir pada organisme
detritus.
Detritus merupakan organisme yang
menguraikan bahan organik yang berasal dari
organisme mati, seperti feses, daun yang
gugur, dan bangkai organisme mati dari
semua tingkat trofik (Campbell et al. 2004).
Pengurai disebut juga komponen makro
(sapotrof) karena makanan yang dimakan
berukuran lebih besar. Detritus menguraikan
kembali konsumen dan produsen tingkat akhir
menjadi nutrisi abiotik. Organisme pengurai
menyerap sebagian hasil penguraian tersebut
melepaskan bahan-bahan sederhana sehingga
dapat digunakan kembali oleh produsen.
Model proses daur ulang nutrisi yang ditinjau
adalah model yang disusun oleh (Deangelis et
al. 1986). Pada proses permodelan, sistem
yang ditinjau dibagi atas tiga komponen,
yaitu: nutrisi abiotik, organisme autotrof, dan
organisme detritus seperti dalam Gambar 1.
Misalkan banyaknya nutrisi abiotik dalam
kolam nutrisi adalah , banyaknya autotrof
dalam kolam nutrisi adalah , dan banyaknya
detritus dalam kolam nutrisi adalah .
Gambar 1 Model tiga komponen dari kolam
nutrisi abiotik, autotrof, dan
detritus.
Berdasarkan Gambar 1 laju perubahan
banyaknya nutrisi yang berada dalam kolam
nutrisi dipengaruhi oleh:
1. Banyaknya nutrisi yang masuk ke dalam
kolam nutrisi per satuan waktu,
dinotasikan .
2. Banyaknya nutrisi yang hilang per satuan
waktu, karena keluarnya air dari dalam
kolam. Keluarnya air dari dalam kolam
nutrisi dapat disebabkan oleh kebocoran
atau hal lainnya. Banyaknya nutrisi yang
. Dengan
suatu
hilang dinotasikan
konstanta yang disebut tingkat kehilangan
nutrisi.
3. Banyaknya nutrisi dalam kolam nutrisi
yang dimakan oleh organisme autotrof per
satuan waktu adalah
, dengan
bergantung pada banyaknya nutrisi pada
, dengan
kolam nutrisi dinotasikan
suatu
konstanta
yang
menyatakan
perbandingan banyaknya nutrisi dengan
banyaknya organisme autotr
NURUL AIN. The Application of Homotopy Perturbation Method to Solve Nutrition Recycle
Problems. Under supervision of Jaharuddin and Ali Kusnanto.
Ecosystem is an ecological system that is formed by a mutual inseparable relationship between
living organism and environment. The interaction among the components within an ecosystem,
especially the nutrition recycle, can be modeled by using mathematical equation. The nutrition
recycle model can be classified as a nonlinear problem. This phenomenon can be best represented
by homotopy perturbation method. Homotopy perturbation method is defined as an analytical
approach to solve a nonlinear problem. Based on this method, it can be concluded that the solution
of nutrition recycle problem has a form of power series. By using MATHEMATICA software, it
has been shown that the higher order of series used, the better model can be obtained. The model is
expected to resemble the real solution. If the growth rate of autotroph is higher than its mortality
rate, then the amount of abiotic nutrition and detritus organism will be declining, but the number
of autotroph will increase. In the case rate of equal growth and mortality rate of autotroph, it will
result into a decrease in abiotic nutrition, detritus organism, and autotroph number.
Keywords: homotopy perturbation method, ecosystems, and nonlinear problem.
ABSTRAK
NURUL AIN. Penyelesaian Masalah Daur Ulang Nutrisi dengan Menggunakan Metode Perturbasi
Homotopi. Dibimbing oleh Jaharuddin dan Ali Kusnanto.
Ekosistem adalah suatu sistem ekologi yang terbentuk karena hubungan timbal balik tidak
terpisahkan antara makhluk hidup dengan lingkungannya. Interaksi berbagai komponen pada suatu
ekosistem, khususnya proses daur ulang nutrisi dimodelkan secara matematika. Model proses
daur ulang nutrisi yang diperoleh merupakan masalah taklinear. Model ini diselesaikan dengan
metode perturbasi homotopi. Metode perturbasi homotopi merupakan suatu metode pendekatan
analitik untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Berdasarkan metode ini diperoleh bahwa
penyelesaian model daur ulang nutrisi berbentuk deret pangkat. Dengan menggunakan bantuan
software MATHEMATICA diperoleh bahwa semakin tinggi orde deret yang digunakan, semakin
mendekati penyelesaian sesungguhnya. Jika tingkat pertumbuhan autotrof lebih besar dari laju
kematiannya, maka banyaknya nutrisi abiotik dan organisme detritus mengalami penurunan
sedangkan organisme autotrof mengalami peningkatan. Jika tingkat pertumbuhan dan laju
kematian autotrof sama, maka banyaknya nutrisi abiotik, organisme autotrof, dan organisme
detritus mengalami penurunan.
Kata kunci: metode perturbasi homotopi, ekosistem, dan masalah taklinear
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Model matematika dapat digunakan
sebagai penjelasan terhadap suatu fenomena
(alami atau buatan) dan sering muncul dalam
permasalahan di bidang biologi, fisika,
ekonomi, teknik, dan lainnya. Salah satu
model matematika yang akan dibahas dalam
karya ilmiah ini didasarkan pada interaksi
berbagai komponen pada suatu ekosistem,
khususnya ekosistem kolam air tawar.
Ekosistem adalah suatu sistem ekologi
yang terbentuk karena hubungan timbal balik
tidak terpisahkan antara makhluk hidup
dengan lingkungannya. Komponen penyusun
ekosistem terdiri dari faktor abiotik dan faktor
biotik. Faktor abiotik adalah komponen yang
bukan berasal dari makhluk hidup, seperti air,
udara, sinar matahari, mineral-mineral, dan
lainnya. Sebagian nutrisi abiotik dapat berupa
bahan organik dan senyawa anorganik yang
kemudian diubah menjadi senyawa organik
oleh organisme detritus (pengurai) untuk
dimanfaatkan oleh organisme
autotrof
(organisme yang dapat membuat makanannya
sendiri). Sedangkan, komponen biotik adalah
komponen yang berasal dari makhluk hidup,
seperti tumbuhan, hewan, organisme tingkat
rendah, dan organisme autotrof.
Penelitian mengenai proses daur ulang
nutrisi pada suatu ekosistem telah banyak
dilakukan, antara lain penelitian pada
penyelesaian analisis kestabilan dari model
proses daur ulang nutrisi dalam suatu kolam
nutrisi (Yusfridawati 2005) tetapi, tidak
mencari
penyelesaian
hampiran
dan
penyelesaian numerik dari model tersebut.
Penelitian lain, yang ditulis oleh Blachet
(2008) difokuskan pada hubungan antara
mangsa dan pemangsa dengan melibatkan
komponen biotik, abiotik, dan organisme
detritus.
Dalam banyak kasus, masalah taklinear
sulit
untuk
diselesaikan,
khususnya
penyelesaian secara analitik. Model proses
daur ulang nutrisi yang dibahas dalam karya
ilmiah ini merupakan masalah taklinear yang
akan diselesaikan dengan metode perturbasi
homotopi. Metode homotopi merupakan
bentuk umum dari metode perturbasi dan
metode dekomposisi adomian (Jaharuddin
2008). Terdapat beberapa keunggulan dari
metode homotopi diantaranya tetap valid
sekalipun masalah taklinear tersebut memuat
sembarang parameter. Selain itu, dapat
melakukan penyesuaian dan pembatasan
daerah kekonvergenan serta tingkat hampiran
deret sesuai keperluan, kemudian dapat
mengefisienkan penyelesaian hampiran dari
masalah taklinear (Liao 2004). Metode
perturbasi homotopi diperkenalkan oleh He
(1999).
Metode
perturbasi
homotopi
merupakan suatu metode pendekatan analitik
untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear.
Metode ini berhasil diterapkan untuk
menyelesaikan berbagai masalah taklinear
seperti pada ilmu fisika, ilmu komputer, ilmu
biologi, dan lainnya (He 2008). Dalam bidang
biologi, khususnya diterapkan pada interaksi
berbagai komponen di suatu kolam nutrisi.
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas
proses daur ulang nutrisi yang terjadi pada
suatu kolam yang didalamnya terdapat tiga
komponen. Komponen pertama adalah nutrisi
abiotik. Komponen kedua adalah organisme
autotrof. Sedangkan, komponen ketiga adalah
organisme detritus. Model proses daur ulang
nutrisi ini akan diselesaikan dengan metode
perturbasi
homotopi
(Odibat
2009).
Berdasarkan
metode
ini
pula
akan
dibandingkan penyelesaian hampiran metode
perturbasi homotopi dengan penyelesaian
numerik dari model ekosistem.
1.2 Tujuan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka
tujuan karya ilmiah ini adalah:
1. Menggunakan metode perturbasi homotopi
untuk menyelesaikan model proses daur
ulang nutrisi dalam suatu kolam.
2. Menggambarkan grafik penyelesaian
model proses daur ulang nutrisi dalam
kolam dan memberikan tafsiran fisisnya.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri atas empat bab.
Bab pertama merupakan pendahuluan yang
berisi uraian mengenai latar belakang, tujuan,
dan sistematika penulisan. Bab kedua
merupakan landasan teori yang berisi asumsi
dan model ekosistem serta konsep metode
perturbasi homotopi untuk menyelesaikan
masalah taklinear. Bab ketiga merupakan
pembahasan yang berisi analisis metode
perturbasi homotopi yang dihunakan untuk
menyelesaikan model proses daur ulang
nutrisi, aplikasi metode untuk persamaan
diferensial umum, dan contoh kasus
menyelesaikan model proses daur ulang
nutrisi
dengan
menggunakan
metode
perturbasi homotopi. Bab terakhir pada tulisan
ini berisi kesimpulan dari keseluruhan
penulisan.
II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori
yang digunakan dalam menyusun karya ilmiah
ini. Teori-teori tersebut meliputi asumsi dan
model ekosistem serta metode perturbasi
homotopi.
2.1 Asumsi dan Model
Dalam suatu ekosistem dapat terjadi
proses daur ulang nutrisi. Komponen
penyusun daur ulang nutrisi ini terdiri dari tiga
komponen. Komponen pertama adalah nutrisi
abiotik berupa kalium (K), fosfor (P), oksigen
(O2), karbon dioksida (CO2), dan mineralmineral lainnya. Komponen kedua adalah
organisme autotrof, seperti algae plankton.
Kemudian,
komponen ketiga adalah
organisme detritus yang berupa bakteri dan
fungi (jamur). Komponen penyusun daur
ulang nutrisi ini dinamakan kolam nutrisi.
Nutrisi abiotik yang berada pada kolam
nutrisi berperan sebagai bahan mentah yang
digunakan oleh autotrof (produsen) untuk
membuat makanannya sendiri. Kemudian
nutrisi biotik yang berupa organisme autotrof
dimakan oleh organisme yang berperan
sebagai
konsumen
tingkat
pertama.
Dinamakan konsumen tingkat pertama, karena
organisme tersebut pertama kali mengambil
makanan dari produsen. Setelah itu, proses
berlanjut pada tingkat konsumen yang lebih
tinggi sampai akhirnya konsumen tingkat
akhir mati dan berakhir pada organisme
detritus.
Detritus merupakan organisme yang
menguraikan bahan organik yang berasal dari
organisme mati, seperti feses, daun yang
gugur, dan bangkai organisme mati dari
semua tingkat trofik (Campbell et al. 2004).
Pengurai disebut juga komponen makro
(sapotrof) karena makanan yang dimakan
berukuran lebih besar. Detritus menguraikan
kembali konsumen dan produsen tingkat akhir
menjadi nutrisi abiotik. Organisme pengurai
menyerap sebagian hasil penguraian tersebut
melepaskan bahan-bahan sederhana sehingga
dapat digunakan kembali oleh produsen.
Model proses daur ulang nutrisi yang ditinjau
adalah model yang disusun oleh (Deangelis et
al. 1986). Pada proses permodelan, sistem
yang ditinjau dibagi atas tiga komponen,
yaitu: nutrisi abiotik, organisme autotrof, dan
organisme detritus seperti dalam Gambar 1.
Misalkan banyaknya nutrisi abiotik dalam
kolam nutrisi adalah , banyaknya autotrof
dalam kolam nutrisi adalah , dan banyaknya
detritus dalam kolam nutrisi adalah .
Gambar 1 Model tiga komponen dari kolam
nutrisi abiotik, autotrof, dan
detritus.
Berdasarkan Gambar 1 laju perubahan
banyaknya nutrisi yang berada dalam kolam
nutrisi dipengaruhi oleh:
1. Banyaknya nutrisi yang masuk ke dalam
kolam nutrisi per satuan waktu,
dinotasikan .
2. Banyaknya nutrisi yang hilang per satuan
waktu, karena keluarnya air dari dalam
kolam. Keluarnya air dari dalam kolam
nutrisi dapat disebabkan oleh kebocoran
atau hal lainnya. Banyaknya nutrisi yang
. Dengan
suatu
hilang dinotasikan
konstanta yang disebut tingkat kehilangan
nutrisi.
3. Banyaknya nutrisi dalam kolam nutrisi
yang dimakan oleh organisme autotrof per
satuan waktu adalah
, dengan
bergantung pada banyaknya nutrisi pada
, dengan
kolam nutrisi dinotasikan
suatu
konstanta
yang
menyatakan
perbandingan banyaknya nutrisi dengan
banyaknya organisme autotrof
dan
dan
detritus. Untuk masing-masing
menyatakan tingkat pertumbuhan autotrof
dan tingkat jenuh nutrisi.
4. Banyaknya nutrisi yang diperoleh dari
hasil urai yang dilakukan oleh organisme
detritus per satuan waktu, dinotasikan
, dengan
suatu konstanta yang
menyatakan perbandingan banyaknya
nutrisi dengan banyaknya organisme
autotrof dan detritus. Konstanta
adalah
laju
reminearilisasi yang
dilakukan oleh detritus. Reminearilisasi
adalah proses kembalinya menjadi
mineral.
3
Oleh karena itu, laju perubahan banyaknya
nutrisi yang berada dalam kolam, secara
matematis dinyatakan dengan:
.
Laju perubahan banyaknya organisme
autotrof yang berupa nutrisi dipengaruhi
oleh:
1. Banyaknya organisme autotrof yang
keluar dan diuraikan oleh organisme
pengurai per satuan waktu, dinotasikan
dengan
suatu konstanta yang
disebut laju kematian autotrof yang
memengaruhi detritus.
2. Banyaknya organisme autotrof yang
keluar dan tidak diuraikan oleh organisme
pengurai per satuan waktu, tetapi
meninggalkan sistem, dinotasikan
suatu konstanta yang disebut
dengan
laju kematian autotrof yang tidak dapat
diuraikan.
3. Banyaknya organisme autotrof yang
terbentuk per satuan waktu karena
tersedianya nutrisi yang ada pada kolam
nutrisi, yaitu
.
Oleh karena itu, laju perubahan banyaknya
autotrof yang berada dalam kolam, secara
matematis dinyatakan oleh :
.
Model bagi masalah daur ulang nutrisi
pada kolam sederhana yang diberikan oleh
sistem persamaan (2.1) akan diselesaikan
dengan menggunakan metode perturbasi
homotopi. Metode ini akan dijelaskan sebagai
berikut:
2.2 Metode Perturbasi Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar
metode homotopi berdasarkan alur pada
pustaka
(Jaharuddin
2008).
Misalkan
diberikan persamaan diferensial berikut:
Ω
,
Selanjutnya, laju perubahan banyaknya
organisme detritus dipengaruhi oleh :
1. Banyaknya organisme autotrof yang
diuraikan oleh organisme detritus per
.
satuan waktu yang dinotasikan oleh
2. Banyaknya hasil urai dari organisme
detritus yang menjadi nutrisi dalam kolam
nutrisi per satuan waktu yang dinotasikan
.
3. Banyaknya organisme detritus yang
meninggalkan sistem per satuan waktu
dengan laju .
Oleh karena itu, laju perubahan banyaknya
detritus yang berada dalam kolam, secara
matematis diperoleh :
.
Dengan demikian, proses daur ulang nutrisi
dalam kasus ini dimodelkan oleh sistem
persamaan sebagai berikut:
(2.2)
dengan
suatu operator turunan yang
taklinear dan
fungsi yang akan
ditentukan dan bergantung pada peubah bebas
. Selanjutnya didefnisikan pula suatu
operator linear yang memenuhi
.
, bila
.
.
(2.3)
Sehingga operator
dapat dibagi menjadi
dua bagian, yaitu
dan
yang masingmasing merupakan operator linear dan
taklinear. Jadi, persamaan diferensial (2.2)
dapat ditulis:
.
(2.4)
pendekatan awal dari
Misalkan
penyelesaian persamaan (2.2) dan
,
suatu parameter. Didefinisikan fungsi real
, :Ω
,
, dan suatu fungsi H
sebagai berikut:
,
atau
,
.
(2.5)
Berdasarkan persamaan (2.5), maka untuk
dan
masing-masing memberikan
persamaan berikut:
4
dan
,
,
,
,
,
atau
,
.
dan
,
masing-masing merupakan penyelesaian dari
persamaan
,
,
,
,
.
Jadi, untuk
diperoleh
dari persamaan (2.6)
∞
,
,
Karena
.
; , ,
|
dan dinotasikan
; , ,
Deret Taylor dari fungsi
,
adalah
; , ,
; , ,
∞
; , ,
|
!
.
, maka diperoleh
∞
Dengan demikian peningkatan nilai dari 0
ke 1 menyatakan perubahan nilai
, dari
ke
. Dalam topologi, proses
ini disebut deformasi. Proses deformasi yang
ditinjau meliputi deformasi orde nol dan orde
tinggi. Pada deformasi orde nol memberikan
, sedangkan deformasi
penyelesaian awal
orde tinggi memberikan penyelesaian
, , … , . Untuk menentukan
, , , . . . dilakukan sebagai berikut. Jika
persamaan (2.5) diturunkan terhadap
hingga
kali dan dihitung pada
kemudian dibagi oleh !, maka diperoleh
persamaan berikut:
!
.
Berdasarkan persamaan (2.5), maka diperoleh
,
!
.
Dalam metode perturbasi homotopi, fungsi
, yang dinyatakan pada persamaan (2.6)
merupakan penyelesaian dari persamaan
,
,
dan
.
,
Sehingga menurut persamaan (2.2)
persamaan (2.3) diperoleh bahwa fungsi
dan
∞
|
.
terhadap
.
Hasil ini menunjukkan hubungan antara
penyelesaian eksak dari persamaan (2.2)
,
dan
dengan pendekatan awal
, , … yang akan ditentukan. Persamaan
,
, ,…
untuk
menentukan
diperoleh dengan menggunakan metode
perturbasi,
dimana
persamaan
(2.6)
disubstitusikan ke dalam persamaan (2.5) dan
. Secara umum
diperoleh
diperoleh
dengan menyamakan koefisien kepangkatan
merupakan pendekatan awal dari
, dan
penyelesaian
. Selanjutnya, misalkan
diberikan suatu masalah yang dinyatakan oleh
sistem persamaan diferensial berikut :
,
.
dengan syarat awal
.
(2.8)
Penyelesaian eksak masalah nilai awal (2.8)
adalah
e
e
5
e
e.
.
Berikut ini akan dicari penyelesaian dari
masalah nilai awal persamaan (2.8) dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi.
Berdasarkan persamaan (2.5) dan persamaan
(2.7) diperoleh persamaan berikut:
,
(2.10)
Misalkan penyelesaian persamaan
dinyatakan dalam persamaan berikut:
(2.10)
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Jika persamaan
(2.12) diintegralkan
terhadap , maka diperoleh
,
,
.
.
.
Bentuk lain dari
dan
,
, dengan
, , , , (dibuktikan dalam lampiran 1).
Selajutnya, diperoleh penyelesaian untuk
dan dari persamaan (2.7) dengan syarat
awal
dan
hingga orde
kelima, sebagai berikut:
(2.11)
Jika persamaan (2.11) disubstitusikan ke
dalam persamaan (2.10), kemudian dipisahkan
berdasarkan derajat kepangkatan , maka
memberikan
koefisien
,
Gambar 2 Grafik perbandingan penyelesaian eksak (2.9) dan metode perturbasi homotopi dari
masalah nilai awal (2.7).
Berdasarkan Gambar 2 diperoleh bahwa
penyelesaian pendekatan dari masalah nilai
awal (2.7) mendekati penyelesaian eksaknya
dengan cukup baik. Hasil ini menunjukkan
bahwa metode perturbasi homotopi dapat
digunakan untuk menyelesaikan sistem
persamaan diferensial dengan nilai awal atau
nilai batas yang diberikan.
III PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan
metode
perturbasi
homotopi
untuk
menyelesaikan suatu masalah taklinear.
Metode ini digunakan untuk menyelesaikan
model matematika bagi proses daur ulang
nutrisi dalam suatu kolam.
3.1 Analisis Metode
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas suatu
masalah taklinear, khususnya pada masalah
ekosistem, digunakan metode perturbasi
homotopi untuk menentukan penyelesaian
pendekatannya.
Berikut ini akan dibahas perluasan dari
konsep dasar metode homotopi seperti yang
diuraikan pada landasan teori. Untuk itu
diperlukan fungsi
, , ,
yang tidak
hanya bergantung pada dan , tetapi juga
bergantung pada parameter bantu
dan
fungsi bantu
. Misalkan fungsi H
dinyatakan sebagai berikut
; , ,
; , ,
; , ,
.
; , ,
atau
; , ,
; , ,
.
Kedua penyelesaian di atas bergantung
pada parameter bantu h dan fungsi bantu
yang dipilih sembarang, pemilihan
parameter bantu h, fungsi bantu T (x),
, dan operator linear
pendekatan awal
perlu memperhatikan validitas dari metode
homotopi. Dengan pemilihan ini terjamin
adanya fungsi
; , ,
dan turunanturunannya terhadap untuk setiap
, .
Turunan ke
dari fungsi
; , ,
terhadap yang dihitung di
adalah:
; , ,
!
, , ,
persamaan
|
; , ,
!
|
; , ,
; , ,
; , ,
.
(3.2)
; , ,
; , ,
.
Berdasarkan
persamaan
(2.2)
dan
persamaan (2.3), maka penyelesaian dari
persamaan
; , ,
dan
; , ,
masing-masing adalah
∞
; , ,
!
atau
.
; , ,
Deret Taylor dari fungsi
sekitar
adalah
Berdasarkan persamaan (3.1), maka untuk
dan
masing-masing
memberikan persamaan berikut:
dan
; , ,
(3.1)
, , ,
; , ,
dan
dan dinotasikan
Selanjutnya, misalkan fungsi
merupakan penyelesaian dari
berikut:
atau
; , ,
; , ,
di
|
∞
.
; , ,
(3.3)
Selanjutnya dengan pemilihan ,
,
,
dan
juga
mengakibatkan
kekonvergenan dari deret (3.3) di
. Jadi
untuk
, dari persamaan (3.3) diperoleh
∞
; , ,
.
(3.4)
7
; , ,
Karena
, maka diperoleh
∞
.
(3.5)
Hasil ini menunjukkan hubungan antara
penyelesaian eksak dari persamaan (2.2)
,
dan
dengan pendekatan awal
, , … yang akan ditentukan. Persamaan
,
, ,…
untuk
menentukan
diperoleh dengan menggunakan metode
perturbasi,
dimana
persamaan
(3.3)
disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2),
dengan menyamakan koefisien dari derajat
kepangkatan , maka diperoleh penyelesaian
dari persamaan (3.5).
3.2 Aplikasi Metode
Untuk lebih memahami metode yang telah
dijelaskan pada bagian sebelumnya. Tinjau
sistem persamaan diferensial berikut:
.
Secara umum persamaan (3.8)
dinyatakan dalam persamaan berikut:
(3.8)
dapat
,
(3.9)
dengan
suatu operator linear dan
operator taklinear. Berdasarkan persamaan
(3.1) dan persamaan (3.6) diperoleh
.
Secara umum sistem persamaan diferensial
(3.6) dapat dinyatakan dalam persamaan
berikut:
. ,
.
dengan nilai awal
,
,…,
Berdasarkan persamaan (2.4) dan persamaan
(3.6), diperoleh
Secara umum persamaan (3.10)
dinyatakan dalam persamaan berikut:
(3.10)
dapat
,
(3.11)
8
dengan
,
dan
merupakan
penyelesaian pendekatan awal. Parameter
mengalami peningkatan dari 0 sampai 1.
Misalkan penyelesaian dari persamaan (3.7)
dinyatakan dalam deret kuasa berikut :
,
dan
,
,
dengan syarat awal
, memberikan persamaan
Koefisien
berikut:
,
,
,
dengan syarat batas
,
dengan
,
,
, , ,…,
,
(3.12)
Sebagai ilustarasi, misalkan
.
Dimisalkan penyelesaian pendekatan awal
,
merupakan suatu konstanta.
Jika persaman (3.12) disubstitusikan ke dalam
persamaan (3.11), kemudian dipisahkan
berdasarkan derajat kepangkatan , maka
memberikan persamaan berikut:
koefisien
,
,
,
.
,
,
,
,
.
,
, memberikan persamaan
Koefisien
berikut:
,
,
dengan syarat batas
.
,
(3.14)
Penyelesaian masalah nilai awal persamaan
(3.13) adalah
,
,
Koefisien
berikut:
,
,
dan
,
,
,
,
,
,
memberikan
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
persamaan
,
.
,
,
,
,
,
,
.
(3.17)
(Bukti dapat dilihat pada lampiran 2)
Berdasarkan ilustrasi yang telah djelaskan
di atas diperoleh bahwa, jika diberikan
masalah
taklinear
dengan
persamaan
diferensial pada sistem persamaan (3.6),
maka dengan metode perturbasi homotopi
diperoleh penyelesaian pendekatan berbentuk
dengan
(3.17)
.
,
.
,
,
(3.15)
Secara umum untuk sembarang koefisien
memberikan persamaan berikut:
,
dengan syarat batas
,
,
,
Secara umum, untuk koefisien
,
, ,…
dapat dinyatakan dalam persaman berikut:
(3.13)
dan
,
,
,
dengan syarat awal
,
,
,
.
.
diperoleh dari persamaan
3.3 Contoh Kasus pada Masalah Daur
Ulang Nutrisi
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan
metode
perturbasi
homotopi
untuk
menyelesaikan model ekosistem yang berupa
ekosistem kolam. Model matematika yang
ditinjau diberikan oleh sistem persamaan
diferensial taklinear pada persamaan (2.1).
,
dan
masing-masing
Misalkan
menyatakan banyaknya nutrisi abiotik dalam
kolam nutrisi, banyaknya organisme autotrof
dalam kolam nutrisi, dan banyaknya
9
organisme detritus dalam kolam nutrisi, maka
persamaan (2.1) menjadi persamaan berikut:
,
,
,
,
dan
,
,
(3.19)
dengan syarat awal
.
,
dan
,
.
,
(3.20)
, , ,
,
,
,
,
,
dan
merupakan
parameter-parameter
pada
persamaan (2.1). Dalam proses ini,
dimisalkan:
, ,
, ,
,
•
,
•
,
,
,
•
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Berdasarkan persamaan (319), diperoleh
,
,
,
,
(3.21)
,
,
,
,
,
Bentuk lain dari
, dan
, dengan
, , , , (dibuktikan dalam lampiran 4).
Nilai
ditentukan
berdasarkan
,
persamaan (3.16) dan persamaan (3.17).
Berdasarkan persamaan (3.16) dan persamaan
(3.19) diperoleh penyelesaian berikut:
,
,
.
,
,
.
,
.
Berdasarkan persamaan (3.17) dan persamaan
(3.19) diperoleh persamaan berikut:
,
Berikut ini akan ditentukan penyelesaian
dari masalah nilai awal persamaan (3.19)
dengan metode perturbasi homotopi yang
telah diuraikan pada bagian sebelumnya.
Sehingga, penyelesaian masalah nilai awal
persamaan (3.19) hingga orde kelima
berbentuk:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
(3.22)
Berikut ini akan dilakukan kajian tentang
masalah daur ulang nutrisi untuk
. ,
,
. ,
.
,
. ,
. ,
. . Ditinjau dua kasus
berdasarkan tingkat pertumbuhan dan laju
kematian autotrof. Kasus pertama bilamana
tingkat pertumbuhan dan laju kematian
autotrof berbeda. Sedangkan kasus kedua
bilamana tingkat pertumbuhan dan laju
kematian autotrof sama.
Kasus 1. Misalkan
. ,
.
.
Berdasarkan persamaan (3.22) dan persamaan
(3.20) diperoleh penyelesaian masalah nilai
awal persamaan (3.19) berbentuk
10
,
.
,
,
Kasus 2. Misalkan
.
.
t
t
.
.
t
,
.
.
Berdasarkan persamaan (3.22) dan
persamaan (3.20) diperoleh
penyelesaian
masalah nilai awal persamaan (3.19)
berbentuk
,
,
Bentuk
,
, , , ,
,
.
.
.
dan
t
t
.
.
t
.
dengan
dan
, ,
,
(dibuktikan dalam lampiran 3).
Dengan demikian penyelesaian masalah daur
ulang nutrisi pada persamaan (2.1), untuk
komponen N, X, D yang masing‐masing
menyatakan banyaknya nutrisi abiotik dalam
kolam nutrisi, banyaknya autotrof dalam
kolam nutrisi, dan banyaknya detritus dalam
kolam nutrisi. Untuk kasus dan kasus
hingga orde kelima adalah
.
.
.
.
t
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
t
.
.
.
.
.
t
t
t
t
t
.
.
.
t
.
.
t
t
t
t
.
.
t
t
.
.
t
t
t
t
Tabel 1 berikut ini menunjukkan bahwa
tingkat kesalahan untuk penyelesaian nutrisi
biotik (N), organisme autotrof (X), dan
organisme detritus (D) pada kasus 1 hingga
orde kelima dengan penyelesaian numeriknya
sangat kecil.
Tabel Tingkat kesalahan metode perturbasi homotopi orde kelima dengan penyelesaian numerik
pada kasus 1
Tingkat kesalahan
t
(satuan waktu)
Nutrisi biotik (N)
Organisme autotrof (X)
Organisme detritus (D)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Berdasarkan Tabel
dapat disimpulkan
bahwa semakin tinggi orde yang
digunakan, maka semakin mendekati
penyelesaian sebenarnya.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gambar 3 dan Ganbar 4 berikut ini
menunjukkan grafik penyelesaian untuk
nutrisi biotik (N), organisme autotrof (X), dan
organisme detritus (D) yang didekati hingga
orde kelima.
11
Gambar 3 Grafik penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dari masalah nilai awal (2.1)
orde kelima untuk kasus 1.
Gambar 4 Grafik penyelesaian numerik dari masalah nilai awal (2.1) untuk kasus 1.
12
Gambar 3 dan Gambar 4 memperlihatkan
perilaku nutrisi abiotik, organisme autotrof,
dan organisme detritus selama proses daur
ulang nutrisi berlangsung. Pada kasus pertama
perilaku nutrisi abiotik menunjukkan bahwa
banyaknya nutrisi abiotik pada saat terjadi
proses daur ulang nutrisi menurun dengan
sangat lambat. Hal ini dikarenakan oleh
beberapa hal, diantaranya banyaknya nutrisi
yang hilang dari kolam karena keluarnya air
dari kolam nutrisi yang disebabkan oleh
kebocoran pada kolam. Penyebab lainnya
adalah banyaknya nutrisi yang digunakan
oleh organisme autotrof untuk membuat
makanannya sendiri. Selain itu, tingginya
tingkat pertumbuhan autotrof mengakibatkan
tingginya jumlah organisme autotrof. Seiring
dengan penurunan nutrisi abiotik organisme
autotrof mengalami peningkatan dengan lebih
cepat. Sedangkan, untuk organisme detritus
mengalami penurunan dengan lebih cepat, hal
ini terjadi karena banyaknya organisme
autotrof
yang telah mati
tidak dapat
diuraikan oleh detritus. Detritus yang tidak
dapat menguraikan autotrof disebabkan oleh
adanya kebocoran pada kolam.
Tabel 2 berikut ini menunjukkan bahwa
galat untuk penyelesaian N, X, D pada kasus 2
hingga orde kelima dengan penyelesaian
numeriknya sangat kecil.
Tabel Tingkat kesalahan metode perturbasi homotopi orde kelima dengan penyelesaian numerik
pada kasus 2
Tingkat kesalahan
t
(satuan waktu)
Nutrisi biotik (N)
Organisme autotrof (X)
Organisme detritus (D)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Berdasarkan Tabel dapat disimpulkan
bahwa semakin tinggi orde yang
digunakan, maka semakin mendekati
penyelesaian sebenarnya.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gambar 5 dan Gambar 6 berikut ini
menunjukkan grafik penyelesaian untuk
nutrisi biotik (N), organisme autotrof (X), dan
organisme detritus (D) yang didekati hingga
orde kelima.
13
Gambar 5 Grafik penyellesaian dengann metode pertturbasi homotoopi dari masallah nilai awal (2.1)
ordde kelima untu
uk kasus 2.
mbar 6 Grafik penyelesaian numerik dari masalah nilai awal (2.1) unntuk kasus 2.
Gam
14
Gambar 5 dan Gambar 6 memperlihatkan
perilaku nutrisi abiotik, organisme autotrof,
dan organisme detritus selama proses daur
ulang nutrisi berlangsung. Untuk kasus kedua
perilaku nutrisi abiotik menunjukkan bahwa
banyaknya nutrisi abiotik pada saat terjadi
proses daur ulang nutrisi mengalami
penurunan dengan sangat lambat. Untuk
organisme autotrof
pun mengalami
penurunan dengan sangat lambat, hal ini
dikarenakan oleh beberapa hal, diantaranya
nutrisi yang digunakan untuk membuat
makanannya sendiri berkurang atau adanya
kebocoran pada kolam sehingga nutrisi keluar
dari kolam. Penyebab lain dari penurunan
organisme autotrof adalah tingginya tingkat
kematian autotrof atau rendahnya tingkat
pertumbuhan autotrof. Dalam waktu yang
bersamaan detritus pun mengalami penurunan
seiring penurunan jumlah autotrof. Hal ini
dikarenakan oleh jumlah organisme autotrof
yang menurun mengakibatkan penguraian
autotrof oleh detritus menjadi berkurang.
IV SIMPULAN
Metode perturbasi homotopi yang
digunakan untuk menyelesaikan model proses
daur ulang nutrisi dalam suatu kolam nutrisi
sangat sederhana karena hanya melibatkan
pengintegralan biasa. Model proses daur
ulang nutrisi yang ditinjau berupa kolam air
tawar yang didalamnya terdapat tiga
komponen, yaitu nutrisi biotik, organisme
autotrof, organisme detritus. Dalam metode
perturbasi homotopi diperoleh bahwa semakin
tinggi orde yang digunakan semakin
mendekati penyelesaian sesungguhnya. Hal
ini terlihat pada galat (tingkat kesalahan) dari
orde kelima dengan penyelesaian numeriknya
lebih kecil dibandingkan penyelesaian
numerik dari orde keempat.
Dalam karya ilmiah ini, disimulasikan dua
kasus model proses daur ulang nutrisi. Kedua
kasus
tersebut
berdasarkan
tingkat
pertumbuhan dan laju kematian autotrof. Pada
kasus pertama, jika tingkat pertumbuhan
autotrof lebih tinggi dibandingkan dengan
laju kematian autotrof, diperoleh hasil bahwa:
1. Banyaknya nutrisi abiotik mengalami
penurunan.
2. Banyaknya organisme autotrof mengalami
peningkatan.
3. Banyaknya organisme detritus mengalami
penurunan.
Pada
kasus
kedua,
jika
tingkat
pertumbuhan dan laju kematian autotrof
sama, diperoleh hasil bahwa:
1. Banyaknya nutrisi abiotik mengalami
penurunan.
2. Banyaknya organisme autotrof mengalami
penurunan.
3. Banyaknya organisme detritus mengalami
penurunan.
PENYELESAIAN MASALAH DAUR ULANG NUTRISI
DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
NURUL AIN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
DAFTAR PUSTAKA
Blanchet S, Loot G, Dodson JJ. 2008.
Competition, predation and flow rate as
mediators of direct and indirect effects in a
stream food chain. Springer-Verlag.
Campbell NA, Reece JB, Mitchell LH. 2004.
Biologi Jilid 3. Jakarta: Erlangga. Lestari R,
penerjemah. Terjemahan dari: Biology.
Deangelis DL. 1986. Nutrient Recycling and
System Resillence in a Model of an
Experimental Aquatic System. Mathematical
Ecology, 189-215.
He JH. 1999. Homotopy Perturbation Tehcnique.
Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering 178:257-262.
He JH. 2008. Topological Methods in Nonlinear
Analysis. Recent Development of the Homotopy
Perturbation Method 31:205-209.
Jaharuddin. 2008. Analisis Homotopi dalam
Penyelesaian suatu Masalah Taklinear. Jurnal
Matematika dan Aplikasinya, 7:6-16.
Liao S. 2004. Beyond Perturbation: Introduction to
the Homotopi Analysis Method. Boca Raton,
London, New York Washington, D.C.
Odibat Z, Bertelle C. 2009. Application of
Homotopy Perturbation Method for Ecosystem
Modelling.
http://wwwlih.univlehavre.fr/~bertelle/cossombook/odibat4cosso
m06.pdf [8 Desember 2010].
Yusfridawati. 2005. Analisi Kestabilan Model
Proses Daur ulang Nutrisi dalam Suatu Kolam
Nutrisi [Skripsi]. Bogor: Institut Pertanian
Bogor.
PENYELESAIAN MASALAH DAUR ULANG NUTRISI
DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
NURUL AIN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
ABSTRACT
NURUL AIN. The Application of Homotopy Perturbation Method to Solve Nutrition Recycle
Problems. Under supervision of Jaharuddin and Ali Kusnanto.
Ecosystem is an ecological system that is formed by a mutual inseparable relationship between
living organism and environment. The interaction among the components within an ecosystem,
especially the nutrition recycle, can be modeled by using mathematical equation. The nutrition
recycle model can be classified as a nonlinear problem. This phenomenon can be best represented
by homotopy perturbation method. Homotopy perturbation method is defined as an analytical
approach to solve a nonlinear problem. Based on this method, it can be concluded that the solution
of nutrition recycle problem has a form of power series. By using MATHEMATICA software, it
has been shown that the higher order of series used, the better model can be obtained. The model is
expected to resemble the real solution. If the growth rate of autotroph is higher than its mortality
rate, then the amount of abiotic nutrition and detritus organism will be declining, but the number
of autotroph will increase. In the case rate of equal growth and mortality rate of autotroph, it will
result into a decrease in abiotic nutrition, detritus organism, and autotroph number.
Keywords: homotopy perturbation method, ecosystems, and nonlinear problem.
ABSTRAK
NURUL AIN. Penyelesaian Masalah Daur Ulang Nutrisi dengan Menggunakan Metode Perturbasi
Homotopi. Dibimbing oleh Jaharuddin dan Ali Kusnanto.
Ekosistem adalah suatu sistem ekologi yang terbentuk karena hubungan timbal balik tidak
terpisahkan antara makhluk hidup dengan lingkungannya. Interaksi berbagai komponen pada suatu
ekosistem, khususnya proses daur ulang nutrisi dimodelkan secara matematika. Model proses
daur ulang nutrisi yang diperoleh merupakan masalah taklinear. Model ini diselesaikan dengan
metode perturbasi homotopi. Metode perturbasi homotopi merupakan suatu metode pendekatan
analitik untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Berdasarkan metode ini diperoleh bahwa
penyelesaian model daur ulang nutrisi berbentuk deret pangkat. Dengan menggunakan bantuan
software MATHEMATICA diperoleh bahwa semakin tinggi orde deret yang digunakan, semakin
mendekati penyelesaian sesungguhnya. Jika tingkat pertumbuhan autotrof lebih besar dari laju
kematiannya, maka banyaknya nutrisi abiotik dan organisme detritus mengalami penurunan
sedangkan organisme autotrof mengalami peningkatan. Jika tingkat pertumbuhan dan laju
kematian autotrof sama, maka banyaknya nutrisi abiotik, organisme autotrof, dan organisme
detritus mengalami penurunan.
Kata kunci: metode perturbasi homotopi, ekosistem, dan masalah taklinear
PENYELESAIAN MASALAH DAUR ULANG NUTRISI
DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
NURUL AIN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2011
Judul : Penyelesaian Masalah Daur Ulang Nutrisi dengan Menggunakan
Metode Perturbasi Homotopi
Nama : Nurul Ain
NRP : G54070025
Menyetujui,
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Jaharuddin, M.S.
NIP. 19651102 199302 1001
Drs. Ali Kusnanto, M.Si.
NIP. 19650820 199003 1001
Mengetahui
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, M.S.
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena atas segala rahmat dan karuniaNya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas
dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya
kepada:
1. Keluargaku tercinta: Ayah dan Ibu (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan,
dan kasih sayangnya), adik-adikku (terima kasih atas doa, dukungan, kasih sayang, dan
dukungannya), serta keluarga besar baik dari Ayah maupun dari Ibu (terima kasih atas doanya).
2. Dr. Jaharuddin, M.S. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, masukan,
arahan, kesabaran, dukungan, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).
3. Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, saran,
dan dukungannya).
4. Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya).
5. Segenap dosen Departemen Matematika: Bu Anggi, Bu Ida, Pak Donny, Pak Hadi, Pak Wayan,
Pak Prapto, dan lainnya (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan).
6. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Bu Susi, Mas Heri, Pak Bono, Bu Ade, Mas Deni,
dan lainnya (terima kasih atas bantuan dan dukungannya).
7. Sahabat-sahabatku:Finny, ririh, yuli (terima kasih atas motivasi dan bantuannya).
8. Tutor-tutor: Wahyu, Ririh, Mba ana (terima kasih atas saran, motivasi dan bantuannya).
9. Kakak-kakak Matematika S2, 41, 42, dan 43: Mbak Ana, Pak Hadi, Kak Erni, Kak Andrew,
Kak Aini, Kak Apri, Kak Agung, Kak Vera, Kak Cici, Kak Iput, Kak Nanu, Ka Narsih, dan
lainnya (terima kasih atas ilmu, bantuan, dan semuanya).
10. Teman-teman Matematika angkatan 44:Ririh, Yuli, Wahyu, Yuyun, Lingga, Masay, Diana,
Yogie, Lugina, Ayum, Iam, Yanti, Selvie, Nurul, Pepi, Devi, Istiti, Iresa, Sari, Anis, Fikri,
Wenti, Sri, Fajar, Mutia, Rachma, Ayung, Iful, Cita, Tanty, Arina, Deva, Aqil, Lilis, Imam,
Aswin, Eka, Aze, Ali, Vianey, Nadiroh, Nurus, Na’im, Dhika, Ima, Dora, Atik, Fani, Phunny,
Dian, Rofi, Della, Tyas, Denda, Pandi, Rizqy, Indin, Sholih, Siska, Lili, Tita, Lina, Endro,
Ruhi, Lukman, Puying, Tendhy, Ikhsan, Chopa, dan Zae (terima kasih atas doa, semangat,
dukungan, bantuan, dan kebersamaannya).
11. Adik-adik Matematika angkatan 45 dan 46: Aci, Vivi, Ade, Santi, Rahma, Prama, Irma, Heru,
Putri, Isna, Rischa, Regita, Tya, Mega, Bram, Heryanto, Hardono, Fenny, Anggun, Ali Vikri,
Kunedi, andri, windy, ivon, dan lainnya (terima kasih atas dukungan dan bantuannya).
12. Teman-teman BEM FMIPA Kabinet Totalitas kebangkitan: Yakub, Aci, Asep, Debie, Ayu,
Arina, Ary, Tiara, Lida, Ade, Ayu, Cipta, Kirana, Panji, James, Teguh, dan lainnya (terima
kasih atas motivasi dan kebersamaannya).
13. Teman-teman kosan tanjung atas:Finny, Ria, Cli, Kak Ana, Teh Uli, Teh Tri, dan Aya (terima
kasih atas motivasi dan dukungannya).
14. Teman-teman lainnya yang telah mendukung secara moril selama ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika
dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Agustus 2011
Nurul Ain
RIWAYAT HIDUP
Penulis merupakan anak pertama dari enam bersaudara, puteri pasangan Safrin dan Ida
Asyidda. Penulis lahir di Jakrta pada tanggal 27 mei 1989. Pendidikan SD ditempuh pada tahun
1995-2001 di SD Negeri Cikampek Utara 1, penulis melanjutkan sekolah di SLTP Negeri 2
Cikampek pada tahun 2001-2004. Pendidikan menengah atas ditempuh oleh penulis pada tahun
2004- 2007 di SMA Negeri 1 Cikampek.
Penulis diterima sebagai mahasiswi di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi
Masuk IPB (USMI) pada tahun 2007. Penulis memilih mayor Matematika minor Kewirausahaan
Agribisnis. Selama menjadi mahasiswa penulis tercatat sebagai staf divisi kewirausahaan Gugus
Mahasiswa Matematika periode 2008-2009 dan staf internal Badan Eksekutif Mahasiswa Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor (Kabinet Totalitas Kebangkitan)
periode 2009-2010. Selain itu, penulis juga aktif dalam berbagai kegiatan kepanitiaan dan
pelatihan yang diselenggarakan oleh GUMATIKA dan BEM Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
Penulis memperoleh beasiswa peningkatan prestasi akademik (PPA) pada pada tahun 20072009 dan mendapatkan beasiswa Karya Salemba Empat (KSE) pada tahun 2008-2011. Penulis
juga mengajar di lembaga bimbingan belajar GUMATIKA dan KATALIS. Selain itu penulis juga
pernah menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Kalkulus III.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ................................................................................................................... ix
DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................................
ix
DAFTAR LAMPIRAN .......................................................................................................
ix
PENDAHULUAN ..............................................................................................................
1
II LANDASAN TEORI
2.1 Asumsi dan Model ......................................................................................................
2.2 Metode Perturbasi Homotopi ......................................................................................
2
3
III PEMBAHASAN
3.1 Analisis Metode ..........................................................................................................
3.2 Aplikasi Metode ..........................................................................................................
3.3 Contoh Kasus Pada Masalah Daur Ulang Nutrisi .......................................................
6
7
8
I
IV KESIMPULAN .................................................................................................................. 15
DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................................. 16
LAMPIRAN ............................................................................................................................. 17
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Tingkat kesalahan metode perturbasi homotopi orde kelima dengan penyelesaian
numerik pada kasus 1 ............................................................................................................ 10
2 Tingkat kesalahan metode perturbasi homotopi orde kelima dengan penyelesaian
numerik pada kasus 2 ............................................................................................................ 12
3 Tingkat kesalahan metode perturbasi homotopi orde keempat dengan penyelesaian
numerik pada kasus 1 ............................................................................................................ 29
4 Tingkat kesalahan metode perturbasi homotopi orde keempat dengan penyelesaian
numerik pada kasus 2 ............................................................................................................ 29
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Model tiga komponen dari kolam nutrisi abiotik, autotrof, dan detritus ................................
2 Grafik perbandingan penyelesaian eksak dan metode homotopi masalah nilai awal (2.7) ....
3 Grafik penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dari masalah nilai awal (2.1)
orde kelima untuk kasus 1 .....................................................................................................
4 Grafik penyelesaian numerik dari masalah nilai awal (2.1) untuk kasus 1 ............................
5 Grafik penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dari masalah nilai awal (2.1)
orde kelima untuk kasus 2 .....................................................................................................
6 Grafik penyelesaian numerik dari masalah nilai awal (2.1) untuk kasus 2 ............................
2
5
11
11
13
13
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1
2
3
4
5
6
Metode perturbasi homotopi untuk masalah nilai awal (2.7) .................................................
Penurunan persamaan (3.17) ..................................................................................................
Penyelesaian sistem persamaan (3.19) ...................................................................................
Program penyelesaian numerik Gambar 4 .............................................................................
Program penyelesaian numerik Gambar 6 .............................................................................
Tingkat kesalahan metode perturbasi homotopi orde keempat dengan
penyelesaian numeriknya pada kasus 1 ..................................................................................
7 Tingkat kesalahan metode perturbasi homotopi orde keempat dengan
penyelesaian numeriknya pada kasus 2 .................................................................................
18
20
23
28
28
29
29
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Model matematika dapat digunakan
sebagai penjelasan terhadap suatu fenomena
(alami atau buatan) dan sering muncul dalam
permasalahan di bidang biologi, fisika,
ekonomi, teknik, dan lainnya. Salah satu
model matematika yang akan dibahas dalam
karya ilmiah ini didasarkan pada interaksi
berbagai komponen pada suatu ekosistem,
khususnya ekosistem kolam air tawar.
Ekosistem adalah suatu sistem ekologi
yang terbentuk karena hubungan timbal balik
tidak terpisahkan antara makhluk hidup
dengan lingkungannya. Komponen penyusun
ekosistem terdiri dari faktor abiotik dan faktor
biotik. Faktor abiotik adalah komponen yang
bukan berasal dari makhluk hidup, seperti air,
udara, sinar matahari, mineral-mineral, dan
lainnya. Sebagian nutrisi abiotik dapat berupa
bahan organik dan senyawa anorganik yang
kemudian diubah menjadi senyawa organik
oleh organisme detritus (pengurai) untuk
dimanfaatkan oleh organisme
autotrof
(organisme yang dapat membuat makanannya
sendiri). Sedangkan, komponen biotik adalah
komponen yang berasal dari makhluk hidup,
seperti tumbuhan, hewan, organisme tingkat
rendah, dan organisme autotrof.
Penelitian mengenai proses daur ulang
nutrisi pada suatu ekosistem telah banyak
dilakukan, antara lain penelitian pada
penyelesaian analisis kestabilan dari model
proses daur ulang nutrisi dalam suatu kolam
nutrisi (Yusfridawati 2005) tetapi, tidak
mencari
penyelesaian
hampiran
dan
penyelesaian numerik dari model tersebut.
Penelitian lain, yang ditulis oleh Blachet
(2008) difokuskan pada hubungan antara
mangsa dan pemangsa dengan melibatkan
komponen biotik, abiotik, dan organisme
detritus.
Dalam banyak kasus, masalah taklinear
sulit
untuk
diselesaikan,
khususnya
penyelesaian secara analitik. Model proses
daur ulang nutrisi yang dibahas dalam karya
ilmiah ini merupakan masalah taklinear yang
akan diselesaikan dengan metode perturbasi
homotopi. Metode homotopi merupakan
bentuk umum dari metode perturbasi dan
metode dekomposisi adomian (Jaharuddin
2008). Terdapat beberapa keunggulan dari
metode homotopi diantaranya tetap valid
sekalipun masalah taklinear tersebut memuat
sembarang parameter. Selain itu, dapat
melakukan penyesuaian dan pembatasan
daerah kekonvergenan serta tingkat hampiran
deret sesuai keperluan, kemudian dapat
mengefisienkan penyelesaian hampiran dari
masalah taklinear (Liao 2004). Metode
perturbasi homotopi diperkenalkan oleh He
(1999).
Metode
perturbasi
homotopi
merupakan suatu metode pendekatan analitik
untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear.
Metode ini berhasil diterapkan untuk
menyelesaikan berbagai masalah taklinear
seperti pada ilmu fisika, ilmu komputer, ilmu
biologi, dan lainnya (He 2008). Dalam bidang
biologi, khususnya diterapkan pada interaksi
berbagai komponen di suatu kolam nutrisi.
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas
proses daur ulang nutrisi yang terjadi pada
suatu kolam yang didalamnya terdapat tiga
komponen. Komponen pertama adalah nutrisi
abiotik. Komponen kedua adalah organisme
autotrof. Sedangkan, komponen ketiga adalah
organisme detritus. Model proses daur ulang
nutrisi ini akan diselesaikan dengan metode
perturbasi
homotopi
(Odibat
2009).
Berdasarkan
metode
ini
pula
akan
dibandingkan penyelesaian hampiran metode
perturbasi homotopi dengan penyelesaian
numerik dari model ekosistem.
1.2 Tujuan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka
tujuan karya ilmiah ini adalah:
1. Menggunakan metode perturbasi homotopi
untuk menyelesaikan model proses daur
ulang nutrisi dalam suatu kolam.
2. Menggambarkan grafik penyelesaian
model proses daur ulang nutrisi dalam
kolam dan memberikan tafsiran fisisnya.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri atas empat bab.
Bab pertama merupakan pendahuluan yang
berisi uraian mengenai latar belakang, tujuan,
dan sistematika penulisan. Bab kedua
merupakan landasan teori yang berisi asumsi
dan model ekosistem serta konsep metode
perturbasi homotopi untuk menyelesaikan
masalah taklinear. Bab ketiga merupakan
pembahasan yang berisi analisis metode
perturbasi homotopi yang dihunakan untuk
menyelesaikan model proses daur ulang
nutrisi, aplikasi metode untuk persamaan
diferensial umum, dan contoh kasus
menyelesaikan model proses daur ulang
nutrisi
dengan
menggunakan
metode
perturbasi homotopi. Bab terakhir pada tulisan
ini berisi kesimpulan dari keseluruhan
penulisan.
II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori
yang digunakan dalam menyusun karya ilmiah
ini. Teori-teori tersebut meliputi asumsi dan
model ekosistem serta metode perturbasi
homotopi.
2.1 Asumsi dan Model
Dalam suatu ekosistem dapat terjadi
proses daur ulang nutrisi. Komponen
penyusun daur ulang nutrisi ini terdiri dari tiga
komponen. Komponen pertama adalah nutrisi
abiotik berupa kalium (K), fosfor (P), oksigen
(O2), karbon dioksida (CO2), dan mineralmineral lainnya. Komponen kedua adalah
organisme autotrof, seperti algae plankton.
Kemudian,
komponen ketiga adalah
organisme detritus yang berupa bakteri dan
fungi (jamur). Komponen penyusun daur
ulang nutrisi ini dinamakan kolam nutrisi.
Nutrisi abiotik yang berada pada kolam
nutrisi berperan sebagai bahan mentah yang
digunakan oleh autotrof (produsen) untuk
membuat makanannya sendiri. Kemudian
nutrisi biotik yang berupa organisme autotrof
dimakan oleh organisme yang berperan
sebagai
konsumen
tingkat
pertama.
Dinamakan konsumen tingkat pertama, karena
organisme tersebut pertama kali mengambil
makanan dari produsen. Setelah itu, proses
berlanjut pada tingkat konsumen yang lebih
tinggi sampai akhirnya konsumen tingkat
akhir mati dan berakhir pada organisme
detritus.
Detritus merupakan organisme yang
menguraikan bahan organik yang berasal dari
organisme mati, seperti feses, daun yang
gugur, dan bangkai organisme mati dari
semua tingkat trofik (Campbell et al. 2004).
Pengurai disebut juga komponen makro
(sapotrof) karena makanan yang dimakan
berukuran lebih besar. Detritus menguraikan
kembali konsumen dan produsen tingkat akhir
menjadi nutrisi abiotik. Organisme pengurai
menyerap sebagian hasil penguraian tersebut
melepaskan bahan-bahan sederhana sehingga
dapat digunakan kembali oleh produsen.
Model proses daur ulang nutrisi yang ditinjau
adalah model yang disusun oleh (Deangelis et
al. 1986). Pada proses permodelan, sistem
yang ditinjau dibagi atas tiga komponen,
yaitu: nutrisi abiotik, organisme autotrof, dan
organisme detritus seperti dalam Gambar 1.
Misalkan banyaknya nutrisi abiotik dalam
kolam nutrisi adalah , banyaknya autotrof
dalam kolam nutrisi adalah , dan banyaknya
detritus dalam kolam nutrisi adalah .
Gambar 1 Model tiga komponen dari kolam
nutrisi abiotik, autotrof, dan
detritus.
Berdasarkan Gambar 1 laju perubahan
banyaknya nutrisi yang berada dalam kolam
nutrisi dipengaruhi oleh:
1. Banyaknya nutrisi yang masuk ke dalam
kolam nutrisi per satuan waktu,
dinotasikan .
2. Banyaknya nutrisi yang hilang per satuan
waktu, karena keluarnya air dari dalam
kolam. Keluarnya air dari dalam kolam
nutrisi dapat disebabkan oleh kebocoran
atau hal lainnya. Banyaknya nutrisi yang
. Dengan
suatu
hilang dinotasikan
konstanta yang disebut tingkat kehilangan
nutrisi.
3. Banyaknya nutrisi dalam kolam nutrisi
yang dimakan oleh organisme autotrof per
satuan waktu adalah
, dengan
bergantung pada banyaknya nutrisi pada
, dengan
kolam nutrisi dinotasikan
suatu
konstanta
yang
menyatakan
perbandingan banyaknya nutrisi dengan
banyaknya organisme autotr