Application of Pade' Homotopy Method to Solve Logistic Lotka–Volterra Problem

PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI PADE'

UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH

LOTKA

–

VOLTERRA LOGISTIK

EMBAY ROHAETI

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

PERNYATAAN MENGENAI TESIS

DAN SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis “Penggunaan Metode Homotopi Pade

'

untuk Menyelesaikan Masalah Lotka–Volterra Logistik” adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau kutipan dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Juni 2012

Embay Rohaeti

ABSTRACT

EMBAY ROHAETI. Application of Pade

'

Homotopy Method to Solve Logistic Lotka–Volterra Problem. Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO.

In this research, the problems of Lotka–Volterra and Lotka–Volterra with prey logistic growth models are solved by using homotopy and Pade' homotopy methods. The homotopy method is an analytical approach to solve non linear problems. The solution of homotopy method is common series. The solution of the problem using Pade' homotopy method is obtained by using the result of applying the homotopy method and then transforming the equation into the form of rational function. The results of homotopy and Pade' homotopy methods are compared with some numerical solutions. The result shows that in solving Lotka– Volterra and Lotka–Volterra with prey logistic growth, the Pade' homotopy method is better than homotopy method because the Pade' homotopy method covers a larger area of convergence and produces smaller errors.

Keywords: Homotopy, Pade' homotopy, Lotka–Volterra, Lotka–Volterra with logistic growth.

RINGKASAN

EMBAY ROHAETI. Penggunaan metode homotopi Pade

'

untuk menyelesaikan masalah Lotka–Volterra logistik. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.

Makhluk hidup di bumi ini terdiri dari bermacam–macam spesies yang berbentuk populasi dan hidup bersama. Makhluk hidup selalu bergantung kepada makhluk hidup yang lain. Tiap individu akan selalu berinteraksi dengan individu lain yang sejenis atau lain jenis, baik individu–individu dalam satu populasi atau individu–individu dari populasi lain. Ada beberapa jenis interaksi yang dapat terjadi antar spesies. Salah satu interaksi tersebut adalah predasi yaitu hubungan antara mangsa (prey) dan pemangsa (predator).

Model Lotka–Volterra atau model mangsa–pemangsa merupakan model interaksi antar spesies mangsa dan spesies pemangsa pada sebuah lingkungan. Interaksi spesies tersebut memiliki peranan penting pada pertumbuhan populasi yang berubah secara dinamik seiring dengan perubahan populasi yang ada. Model Lotka–Volterra logistik dibentuk berdasarkan pada model Lotka–Volterra dengan menambahkan asumsi keterbatasan logistik untuk spesies mangsa. Sumber makanan yang terbatas untuk spesies mangsa, dapat mempengaruhi laju pertumbuhan pada spesies mangsa. Model Lotka–Volterra dan model Lotka– Volterra logistik, suatu model matematika yang dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan diferensial taklinear. Sistem persamaan diferensial taklinear ini tidak dapat diselesaikan secara eksak, maka pada penelitian ini penyelesaian acuan yang digunakan adalah penyelesaian numerik dengan metode Runge Kutta empat (RK4).

Metode homotopi adalah suatu metode pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi ini dilakukan dengan memisalkan penyelesaiannya dalam bentuk deret yang umum. Metode homotopi Pade' merupakan pengembangan dari metode homotopi. Hasil penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi Pade' dilakukan dengan menggunakan penyelesaian yang diperoleh dari metode homotopi. Dalam hal ini persamaan dari penyelesaian dengan metode homotopi diubah ke dalam bentuk fungsi rasional dengan koefisien–koefisien bergantung pada penyelesaian dengan metode homotopi.

Penelitian ini merupakan pengembangan dari penelitian sebelumnya oleh Faghidian pada tahun 2011, yaitu penggunaan metode homotopi Pade' untuk menyelesaikan model Lotka–Volterra. Dalam penelitian ini, metode homotopi dan metode homotopi Pade' digunakan untuk menyelesaikan model Lotka–Volterra logistik. Dalam penelitian ini diselesaikan dua kasus untuk model Lotka–Volterra dan model Lotka–Volterra logistik. Pada kasus pertama, mangsa lebih banyak dari pemangsa, sedangkan kasus kedua mangsa lebih sedikit dari pemangsa.

Dalam penelitian ini, masalah nilai awal pada model Lotka–Volterra dan model Lotka–Volterra logistik diselesaikan dengan menggunakan metode homotopi dan metode homotopi Pade' sampai pada suku keempat dalam deret penyelesaian. Penyelesaian yang diperoleh dengan metode homotopi dan metode homotopi Pade' dibandingkan dengan penyelesaian numerik yang dijadikan

sebagai penyelesaian acuan atau penyelesaian pembanding. Hasil perbandingan tersebut menunjukkan bahwa keakuratan penyelesaian yang diperoleh dengan metode homotopi dan metode homotopi Pade' didasarkan pada banyaknya suku yang digunakan. Semakin banyak suku yang digunakan, penyelesaiannya akan semakin mendekati penyelesaian pembanding. Dari hasil perbandingan suku yang digunakan tersebut diperoleh bahwa metode homotopi Pade' lebih baik dari metode homotopi. Hal ini terlihat pada daerah kekonvergenan metode homotopi Pade' yang lebih luas dan galat yang dihasilkan lebih kecil. Metode homotopi Pade' mempunyai kelemahan berupa proses komputasi yang lama. Hal ini dikarenakan dengan metode homotopi Pade', penyelesaiannya berupa fungsi rasional yang diperoleh secara rekursif.

Kata Kunci: Homotopi, Homotopi Pade', Lotka–Volterra, Lotka–Volterra dengan logistik.

© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2012

Hak Cipta dilindungi undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjuan suatu masalah.

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI PADE'

UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH

LOTKA

–

VOLTERRA LOGISTIK

EMBAY ROHAETI

Tesis

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

Judul Tesis : Penggunaan Metode Homotopi Pade' untuk Menyelesaikan Masalah Lotka–Volterra Logistik.

Nama : Embay Rohaeti

NIM : G551100011

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Jaharuddin, M.S. Drs. Ali Kusnanto, M.Si. Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana IPB S2 Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, atas segala rahmat dan inayah dari–Nya sehingga tesis yang berjudul “Penggunaan Metode Homotopi Pade' untuk Menyelesaikan Masalah Lotka–Volterra Logistik” dapat diselesaikan untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam penyelasaian studi pada Program Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.

Terimakasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Jaharuddin, M.S. dan Bapak Ali Kusnanto, M.Si. selaku pembimbing yang telah banyak memberikan arahan dan bimbingan sehingga selesainya tesis ini. Terimakasih juga penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Endar H Nugrahani, MS. selaku penguji luar komisi dan Ibu Dr. Berlian Setiawaty, M.S., selaku penguji pendamping yang telah banyak memberikan saran. Ungkapan terimakasih juga disampaikan kepada kedua orangtua atas segala doanya, dosen-dosen departemen Matematika Terapan IPB, sahabat dan semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan tesis ini. Semoga penelitian ini bermanfaat.

Bogor, Juni 2012 Embay Rohaeti

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 4 Januari 1979 dari Bapak Nazaruddin Latief dan Ibu Uun Sayunah.

Tahun 1996 penulis lulus dari SMUN Leuwiliang Bogor, dan pada tahun yang sama menempuh pendidikan sarjana di Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Pakuan Bogor. Pada tahun 2010, penulis diterima di Program Studi Matematika Terapan pada Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.

Penulis bekerja di Program Studi Matematika FMIPA Universitas Pakuan sejak tahun 2000 sampai sekarang.

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... i

DAFTAR LAMPIRAN ... ... ii

I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 2

1.3 Sistematika Penulisan ... 2

II LANDASAN TEORI ... 3

2.1 Metode Homotopi ... 3

2.2 Perluasan Metode Homotopi ... 6

2.3 Metode Homotopi Pade' ... 9

2.4 Perluasan Metode Homotopi Pade' ... 9

2.5 Contoh Masalah ... 11

2.6 Model Matematika... 14

2.6.1 Model Lotka–Volterra ... 14

2.6.2 Analisis Model Lotka–Volterra ... 16

2.6.3 Model Lotka–Volterra Logistik ... 17

2.6.4 Analisis Model Lotka–Volterra Logistik ... 18

III HASIL DAN PEMBAHASAN ... 21

3.1 Model Lotka–Volterra ... 21

3.1.1 Kasus Pertama Model Lotka–Volterra ... 24

3.1.2 Kasus Kedua Model Lotka–Volterra ... 26

3.2 Model Lotka–Volterra Logistik ... 27

3.2.1 Kasus Pertama Model Lotka–Volterra Logistik ... 30

3.2.2 Kasus Kedua Model Lotka–Volterra Logistik ... 32

3.2.3 Perbandingan Penyelesaian Model Lotka–Volterra Logistik ... 34

IV KESIMPULAN DAN SARAN ... 35

4.1 Kesimpulan... 35

DAFTAR PUSTAKA ... 37

LAMPIRAN ... 38

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1 Penyelesaian masalah nilai awal (2.18). ... 13

2 Galat penyelesaian masalah nilai awal (2.18)... 14

3 Bidang phase masalah nilai awal (2.23). ... 17

4 Penyelesaian numerik masalah nilai awal (2.23). ... 17

5 Bidang phase masalah nilai awal (2.25). ... 20

6 Penyelesaian numerik masalah nilai awal (2.25). ... 20

7 Penyelesaian masalah nilai awal (3.1) kasus pertama. ... 25

8 Galat penyelesaian masalah nilai awal (3.1) kasus pertama. ... 25

9 Penyelesaian masalah nilai awal (3.1) kasus kedua. ... 27

10 Penyelesaian masalah nilai awal (3.7) kasus pertama. ... 31

11 Galat penyelesaian masalah nilai awal (3.7) kasus pertama. ... 32

12 Penyelesaian masalah nilai awal (3.7) kasus kedua. ... 33

13 Perbandingan penyelesaian model Lotka–Volterra logistik. ... 34

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Penurunan persamaan (2.8) ... 39

2 Penurunan persamaan (2.21) ... 43

3 Penyelesaian masalah nilai awal (2.18)... 48

4 Penurunan persamaan (3.4) ... 49

5 Penyelesaian masalah nilai awal (2.22)... 54

6 Penurunan persamaan (3.10) ... 55

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Makhluk hidup di bumi ini terdiri dari bermacam–macam spesies yang berbentuk populasi dan hidup bersama. Makhluk hidup selalu bergantung kepada makhluk hidup yang lain. Tiap individu akan selalu berinteraksi dengan individu lain yang sejenis atau lain jenis, baik individu–individu dalam satu populasi atau individu–individu dari populasi lain. Ada beberapa jenis interaksi yang dapat terjadi antar spesies. Salah satu interaksi tersebut adalah predasi yaitu hubungan antara mangsa (prey) dan pemangsa (predator). Interaksi ini sangat erat kaitannya karena tanpa mangsa, predator tidak dapat bertahan hidup karena tidak ada sumber makanan. Sebaliknya predator berfungsi sebagai pengontrol populasi mangsa.

Fenomena tersebut dapat dijelaskan dalam suatu model matematika yaitu model Lotka–Volterra. Model matematika tersebut umumnya dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan diferensial taklinear. Sistem persamaan diferensial taklinear ini tidak dapat diselesaikan secara eksak, maka pada penelitian ini digunakan penyelesaian numerik sebagai penyelesaian acuan atau penyelesaian pembanding.

Beberapa penelitian difokuskan pada penemuan metode untuk memperoleh penyelesaian dari masalah yang dimodelkan dalam persamaan taklinear. Beberapa metode yang telah digunakan untuk menyelesaikan model Lotka–Volterra antara lain metode dekomposisi Adomian (Biazar 2005), metode iterasi variational (Rafei 2007a) dan metode homotopi pertubasi (Rafei 2007b).

Dalam penelitian ini akan digunakan metode homotopi Pade' (Liao 2004) yang merupakan pengembangan dari metode homotopi yaitu suatu metode pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Penyelesaian masalah taklinear dengan menggunakan metode homotopi Pade' dilakukan dengan menggunakan penyelesaian yang diperoleh dari metode homotopi. Dalam hal ini bentuknya berupa fungsi rasional. Pada metode homotopi, penyelesaiannya dimisalkan dalam bentuk deret yang umum.

Penelitian ini merupakan pengembangan dari penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh Faghidian pada tahun 2011, yaitu penggunaan metode homotopi Pade' untuk menyelesaikan model Lotka–Volterra. Dalam penelitian ini, model yang digunakan yaitu model Lotka–Volterra logistik. Model Lotka–Volterra logistik diselesaikan dengan metode homotopi Pade' dan metode homotopi, hasil penyelesaian kedua metode tersebut kemudian dibandingkan dengan penyelesaian numerik untuk memperoleh metode yang terbaik dalam menyelesaikan model Lotka–Volterra logistik.

1.2 Tujuan

Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah a. Menggunakan metode homotopi dan metode homotopi Pade' untuk

menyelesaikan model Lotka–Volterra dan Lotka–Volterra logistik.

b. Membandingkan penyelesaian numerik dengan penyelesaian metode homotopi dan metode homotopi Pade'.

1.3 Sistematika Penulisan

Penulisan dalam tesis ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang, tujuan penelitian, dan sistematika penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang berisi metode homotopi, metode homotopi Pade' dan perluasan dari kedua metode tersebut, model matematika yang dikaji yaitu model Lotka–Volterra dan Lotka–Volterra logistik, analisis model Lotka–Volterra dan Lotka–Volterra logistik, contoh masalah. Bab ketiga berupa hasil dan pembahasan metode homotopi dan metode homotopi Pade' dalam menyelesaikan model Lotka–Volterra dan Lotka–Volterra logistik. Dalam bab ini juga dibahas studi kasus untuk model Lotka–Volterra dan Lotka–Volterra logistik. Bab terakhir berisi kesimpulan dari keseluruhan penulisan dan beberapa saran untuk kelanjutan dari penelitian ini.

II LANDASAN TEORI

Pada bagian ini akan dibahas teori–teori yang digunakan dalam penelitian ini. Teori–teori tersebut meliputi, konsep dasar metode homotopi dan metode homotopi Pade' dan perluasan kedua metode tersebut, model Lotka–Volterra dan model Lotka–Volterra logistik, analisis model Lotka–Volterra dan model Lotka– Volterra logistik berdasarkan pada Haberman (2003).

2.1 Metode Homotopi

Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode homotopi berdasarkan alur pada Liao (2004), Jaharuddin (2008) dan Faghidian (2011). Misalkan diberikan persamaan diferensial berikut

A[y(t)]0, (2.1) dengan A suatu operator turunan yang taklinear dan � fungsi yang akan

ditentukan dan bergantung pada t. Selanjutnya, didefinisikan pula suatu operator linear ℒ yang memenuhi

[f]0, bila f 0. (2.2) Didefinisikan suatu fungsi homotopi  sebagai berikut

[(t,q),q] = (1q) ℒ[(t,q) y0(t)]+qA[(t,q)] (2.3)

dengan  fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada t dan parameter q.

Fungsi y₀(t) merupakan pendekatan awal dari penyelesaian. Berdasarkan persamaan (2.3), pada saat q0 diperoleh persamaan

berikut

((t,0), 0) = ℒ [(t,0) – yo(t)],



((t,1), 1) = A[(t,1)]. Berdasarkan persamaan (2.2), maka penyelesaian persamaan ((t,0), 0) = 0

diperoleh sebagai berikut

(t,0)= y_o(t).

Kemudian berdasarkan persamaan (2.1), maka penyelesaian persamaan ((t,1), 1) = 0 diperoleh sebagai berikut

(t,1) = y(t).

Selanjutnya, diberikan fungsi homotopi yang bergantung pada fungsi bantu B(t)

dan parameter bantu h yang didefinisikan sebagai berikut

[(t,q),B(t),h,q] = (1q)ℒ[(t,q)–yo(t)] - qhB(t)A[(t,q)], (2.4)

dengan ℒ operator linear, Aoperator turunan yang bentuknya tak linear,  merupakan fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada t dan parameter q. Fungsi yo(t) adalah pendekatan awal.

Berdasarkan persamaan (2.4), pada saat q = 0 diperoleh persamaan berikut

((t,0),B(t),h, 0) = ℒ [(t,0) – y_o(t)], dan pada saat q = 1, diperoleh

((t,1),B(t),h, 1) = - hB(t) A[(t,1)]. Berdasarkan persamaan (2.2), maka penyelesaian persamaan ((t,0),B(t),h,

0)=0 diperoleh sebagai berikut

(t,0)= y_o(t).

Kemudian berdasarkan persamaan (2.1), maka penyelesaian persamaan ((t,1),B(t),h, 1) = 0 diperoleh sebagai berikut

(t,1) = y(t). Notasikan

 

, .

! )

( 1 _0

 

 m _{m q}

m

q q t m

t

y



(2.5)

Deret Taylor dari fungsi (t,q) terhadap q di sekitar q = 0adalah

 

₀

1 0

1

 

 

 





m _{m q}

m q

q t m

t y q

t ,

! )

( )

,

(





m.

q (2.6)

( , ) ( )



( ) .



  

1 0

m

m m t q

y t

y q t



Karena



(t,1) y(t), maka pada saat q = 1 diperoleh ( ) ( )



( ).

 

 

1 0

m

m t

y t

y t

y

Jika h1dan B(t)1, maka dari persamaan (2.4) diperoleh [(t,q),q,1,1] = [(t,q),q].

Selanjutnya, fungsi (t,q) adalah penyelesaian dari persamaan berikut: [(t,q),B(t),h,q] = 0

atau

(1q)ℒ [(t,q)–yo(t)] = qhB(t) A[(t,q)]. (2.7)

Kemudian jika kedua ruas pada persamaan (2.7) diturunkan terhadap q hingga m kali, maka diperoleh sebagai berikut :

ℒ[y_m(t)_my_m1(t)] = hB(t) ( 1) 

m m y

R (2.8) dengan

y_{m 1}(t) (y₀(t), y₁(t),..., y_m(t)) 



( _1) 

m m y

R = _{1 0}

1

1 1

 

  

 m q

m

q q t A m

)] , ( [ )!

(



(2.9) dan

  

  

. ,

,

1 1

1 0

m m

m



(2.10)

Penurunan persamaan (2.8) dapat dilihat pada Lampiran 1.

Jadi penyelesaian pendekatan dari persamaan (2.1) dengan metode homotopi adalah

, ) ( )

( )

(



 

 

1 0

m

m t

y t

y t y

dengan ym(t), m1,2,... diperoleh dari persamaan (2.8), dan y0(t)merupakan pendekatan awal yang diberikan.

2.2 Perluasan Metode Homotopi

Pada bagian ini akan dibahas perluasan dari konsep dasar metode homotopi yang telah diuraikan di atas. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial berikut :

A₁[u(t),v(t)]0

A₂[u(t),v(t)]0, (2.11)

dengan A₁ dan A₂ suatu operator turunan yang bentuknya taklinear, u dan v

fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada t.

Selanjutnya, didefinisikan suatu fungsi homotopi dan  sebagai berikut

[(t,q),(t,q),q] = (1q)ℒ1[(t,q)–uo(t)]+qh1A1[(t,q),(t,q)]

[(t,q),(t,q),q] = (1q)ℒ2[(t,q)–vo(t)]+qh2A2[(t,q),(t,q)],

(2.12) dengan ℒ1 dan ℒ2 suatu operator linear ,  dan  fungsi yang akan ditentukan

dan bergantung pada t dan parameter q serta u₀(t) dan v₀(t) merupakan

pendekatan awal dari penyelesaian. Berdasarkan persamaan (2.12) pada saat q0, diperoleh persamaan

berikut

[(t,0),(t,0),0]= ℒ1[(t,0)–u_o(t)]

[(t,0),(t,0),0]= ℒ2[(t,0)–vo(t)],

dan pada saat q1, diperoleh persamaan berikut [(t,1),(t,1),1]= h1A1[(t,1),(t,1)]

[(t,1),(t,1),1]= h₂A₂[(t,1),(t,1)].

Berdasarkan sifat operator linear ℒ1 dan ℒ2 pada persamaan (2.2), maka

penyelesaian persamaan ((t,0),0)=0 dan ((t,0),0)=0 masing–masing adalah

(t,0)=

u

o

(

t

)

dan (t,0)=

v

o

(

t

)

.

Berdasarkan persamaan (2.11), maka penyelesaian persamaan((t,1),1)=0 dan ((t,1),1)=0 masing–masing adalah

Deret Taylor dari (t,q) dan (t,q)terhadap q di sekitar q = 0 adalah )

, ( )

,

(t 0 ₀ t 0

  atau (t,0)₀(t)

) , ( )

,

(t 0 ₀ t 0

  atau (t,0)₀(t), (2.13) dengan ₀(t)u₀(t) dan ₀(t)v₀(t). Pada saat q1dan persamaan (2.13),

diperoleh persamaan berikut





  

1

0 1

1

m

m t

t

t, ) ( ) ( , )

(  



( , ) ( )



( , ).

 

 

1

0 1

1

m

m t

t

t  

 Karena (t,1)= u(t) dan (t,1)= v(t), maka diperoleh







 

1 0

m

m t

u t

u t

u( ) ( ) ( )

, ) ( )

( )

(





  

1 0

m

m t

v t

v t v

dengan u_m(t) dan vm(t), m1,2,... yang akan ditentukan dan u0(t)dan

) (t

v₀ merupakan pendekatan awal yang diberikan.

Selanjutnya, fungsi (t,q) dan (t,q) adalah penyelesaian dari persamaan berikut

[(t,q),(t,q),q] = 0 [(t,q),(t,q),q] = 0 atau

(1q)ℒ1[(t,q)–uo(t)] = qh1A1[(t,q),(t,q)]

(1q)ℒ2[(t,q)–vo(t)] = qh2A2[(t,q),(t,q)]. (2.14) Kemudian jika kedua ruas pada persamaan (2.14) diturunkan terhadap q hingga m kali, maka diperoleh sebagai berikut

ℒ1[um(t)mum1(t)] = h1 , ( , ) 

  

1 1 1m um vm

R ℒ2 [v_m(t)_mv_m1(t)] = h_{2 ,} ( , ),

   

1 1 2m um vm

R (2.15)

) , ( ,     1 1 1m um vm

R = ₀

1 1 1 1 1     

 m q

m q q t q t A m )] , ( ), , ( [ )! (   ) , ( ,     1 1 2m um vm

R = ₀

1 2 1 1 1     

 m q

m q q t q t A m )] , ( ), , ( [ )! (   (2.16)

u_{m 1}(t)(u₀(t),u₁(t),..., u_m(t)) 



v_m1(t)(v₀(t),v₁(t),..., v_m(t))

      . , , 1 1 1 0 m m m  (2.17)

Jadi berdasarkan metode homotopi diperoleh penyelesaian pendekatan sistem persamaan (2.11) sebagai berikut



    1 0 m m t u t u t

u( ) ( ) ( )

( ) ( )



( ),     1 0 m m t v t v t v

dengan um(t), vm(t), m1,2,...diperoleh dari persamaan (2.15) dan u0(t) dan v₀(t) merupakan pendekatan awal yang diberikan.

2.3 Metode Homotopi Pade'

Metode homotopi Pade' merupakan pengembangan dari metode homotopi. Dalam hal ini penyelesaian masalah taklinear dinyatakan dalam bentuk





   _n k k k m k k k n m t q t p t R 0 0 ) ( , ,

dengan p_k dan q_k ditentukan berdasarkan penyelesaian dalam metode homotopi, dan m, n masing–masing suku yang digunakan.

Secara singkat penggunaan metode homotopi Pade' untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear adalah

1. Masalah taklinear diselesaikan dengan metode homotopi dan penyelesaiannya dinyatakan dalam bentuk deret sebagai berikut

. ) ( )

(





 

0

m

m t

x t

x

2. Metode homotopi Pade' untuk masalah taklinear tersebut dilakukan dengan langkah–langkah berikut :

a. Membentuk persamaan berikut x(t).q_n(t) p_m(t) 0,

dengan x(t) penyelesaian yang diperoleh dari penyelesaian metode homotopi.

b. Menentukan nilai p_k dan q_k dari langkah (a).

c. Menggunakan p_k dan q_k yang telah diperoleh pada (b) ke dalam penyelesaian R_m,n(t)yang merupakan penyelesaian masalah taklinear dengan metode homotopi Pade'.

2.4 Perluasan Metode Homotopi Pade'

Pada bagian ini dibahas perluasan dari metode homotopi Pade' yang diterapkan dalam masalah model Lotka–Volterra dan Lotka–Volterra logistik. Adapun penyelesaian masalah pada model Lotka–Volterra dan Lotka–Volterra logistik berdasarkan moetode homotopi Pade' dinyatakan dalam bentuk

, )

(

,





 

 _n

k

k k m

k

k k n

m

t q

t p t

R

0 0

dengan p_k dan q_k ditentukan berdasarkan penyelesaian dalam metode homotopi, dan m, n masing–masing suku yang digunakan.

Secara singkat penggunaan metode homotopi Pade' untuk menyelesaikan suatu masalah pada model Lotka–Volterra dan Lotka–Volterra logistik adalah 1. Masalah pada model Lotka–Volterra dan Lotka–Volterra logistik diselesaikan

berdasarkan metode homotopi dan penyelesaiannya dinyatakan dalam bentuk deret sebagai berikut





 

0

m

m t

u t

u( ) ( ) dan





 

0

m

m t

v t

v( ) ( )

2. Metode homotopi Pade' untuk masalah pada model Lotka–Volterra dan Lotka–Volterra logistik tersebut dilakukan dengan langkah–langkah berikut : a. Membentuk persamaan berikut

u(t).q_n(t) p_m(t) 0 dan v(t).q_n(t) p_m(t)0,

dengan u(t) dan v(t) merupakan penyelesaian yang diperoleh dari penyelesaian metode homotopi.

b. Menentukan nilai p_k dan q_k dari langkah (a).

c. Menggunakan p_k dan q_k yang telah diperoleh pada (b) ke dalam penyelesaian R_m,n(t) yang merupakan penyelesaian masalah pada model Lotka–Volterra dan Lotka–Volterra logistik menggunakan metode homotopi Pade'.

2.5 Contoh Masalah

Untuk lebih memahami kedua metode yang telah dibahas di atas, misalkan diberikan suatu masalah nilai awal berikut

y x dt

dx _{ }

,

y x dt

dy _{ }

4 (2.18)

dengan syarat awal x(0)n₁dan y(0)n₂. Penyelesaian eksak masalah nilai awal persamaan (2.18) adalah

) (

) (

) (

) (

t t

t

t t

t

e n n e n n e

t y

e n n e n n e t

x

4 2 2 4 1 1

4 2 2 4 1 1

2 2 2

1

2 2 4 1

  

 

  



 

Berikut ini akan dicari penyelesaian masalah nilai awal (2.18) dengan menggunakan metode homotopi dan metode homotopi Pade'. Misalkan didefinisikan operator berikut

ℒ1 [(t,q)]

t q t    ( , ) ℒ2 [(t,q)]

t q t    ( , ) ) , ( ) , ( ) , ( )] , ( ), , (

[ t q t q

t q t q t q t

A     

   1 ) , ( ) , ( ) , ( )] , ( ), , (

[ t q t q

t q t q t q t

A      

 

 4

2

dengan q merupakan suatu parameter, (t,q) dan (t,q)adalah suatu fungsi yang bergantung pada t dan q. Penyelesaian masalah nilai awal persamaan (2.18) dengan metode homotopi dinyatakan dalam persamaan berikut



    1 0 m m t x t x t

x( ) ( ) ( )

, ) ( ) ( ) (



    1 0 m m t y t y t y

dengan x_m(t)dan y_m(t), m1,2,3... yang akan ditentukan.

Jika kedua ruas pada persamaan (2.8) diintegralkan dan persamaan (2.9) digunakan, maka diperoleh persamaan berikut

ds q q s q s A m h t x t x t q m m m m m



    _     0 0 1 1 1 1 1 1

1 [ ( , ), ( , )] )! ( ) ( ) (    , )] , ( ), , ( [ )! ( ) ( ) (



    _     t q m m m m m ds q q s q s A m h t y t y 0 0 1 2 1 2 1 1

1  

 (2.20)

dengan m diberikan pada persamaan (2.10).

Misalkan penyelesaian pendekatan awal x0(t)n1t dan

, )

(t n t

y₀  ₂  maka untuk m1 dan berdasarkan persamaan (2.20) diperoleh

] ) [( ) ( 2 2 1 1

1 t h 1 n n t t

x    

] )

[( )

( _{2 1 2} 2

1

2 5 4

1 n n t t

h t

dan untuk m2, diperoleh                        3 2 3 1 1 3 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 t t n n t n n h t t n n h t

x ( ) [( ) ] ( )

_              

 1 2 2 3

2 1 6 5 2 4 1 t t n n h h                      

 1 2 2 3

2 1 2 2 2 2 1 2 2 6 5 2 4 6 4 1 2 5 4

1 n n t t h n n t n n t t

h t

y ( ) [( ) ] ( )

_      _        

 1 2 2 3

2 1 6 5 2 1

4hh n n t t

Jika proses dilanjutkan, maka diperoleh penyelesaian x₃(t),x₄(t),x₅(t),... dan

),... ( ), ( ),

(t y t y t

y3 4 5 Jika dipilih h1 h2 1, maka penyelesaian masalah nilai awal (2.18) berdasarkan metode homotopi adalah

( ) ₁( ₁ ₂) ( ₁ ₂) 2  3 ...

6 7 2

5n n t t

t n n n t x ... ) ( ) ( )

(  ₂  ₁ ₂   ₁ ₂ 2  3  6 13 5

8 10

4n n t n n t t

n t

y (2.21)

Penurunan persamaan (2.21) dapat dilihat pada Lampiran 2. Selanjutnya, penyelesaian masalah nilai awal (2.18) dengan menggunakan metode homotopi Pade' berbentuk





   ₂ 0 2 0 k k k k k k t q t p t

x( ) dan ( ) .





     ₂ 0 2 0 k k k k k k t q t p t y

Nilai-nilai pk,qk,pk*,qk* masing–masing sampai suku keempat diperoleh dengan bantuan software Mathematica dapat dilihat pada Lampiran 3.

Gambar 1 menyatakan perbandingan penyelesaian masalah nilai awal (2.18) secara eksak dengan penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi dan metode homotopi Pade' sampai suku yang keempat dengan h1 h2 1,

,

18

1 

n n2 14. Berdasarkan Gambar 1 penyelesaian dengan menggunakan

metode homotopi Pade' lebih mendekati penyelesaian eksak dengan daerah kekonvergenan yang lebih luas dibandingkan dengan penyelesaian dengan metode

homotopi, dalam hal ini yang berarti bahwa hampiran dari penyelesaian metode homotopi Pade' mendekati atau hampir sama dengan penyelesaian numerik untuk daerah atau selang yang luas. Dalam tulisan ini, yang dimaksudkan dengan daerah kekonvergenan adalah daerah pada daerah asal fungsi hampiran (penyelesaian dengan metode homotopi Pade') yang memiliki galat yang hampir sama dengan nol.

Gambar 1 Penyelesaian masalah nilai awal (2.18).

Pada Gambar 2 terlihat galat antara penyelesaian eksak, penyelesaian metode homotopi dan metode homotopi Pade'. Dalam Gambar 2 diperoleh bahwa dengan metode homotopi Pade' membentuk daerah kekonvergenan yang lebih luas dibandingkan dengan metode homotopi, hal ini terlihat pada galat yang muncul.

0.2 0.4 0.6 0.8 t 50

100 150 200 250

Eksak y Homotopi y P ade y Eksak x Homotopi x P ade x

) (t y

) (t x

Gambar 2 Galat penyelesaian masalah nilai awal (2.18).

2.6 Model Matematika

Pada bagian ini akan dibahas model matematika untuk menjelaskan interaksi antara dua spesies yang berbeda, satu spesies disebut mangsa (Prey) dan spesies lainnya disebut pemangsa (Predator) berdasarkan pada Haberman (2003).

2.6.1 Model Lotka–Volterra

Model Lotka–Volterra merupakan model yang memperhitungkan interaksi spesies pada sebuah lingkungan. Interaksi spesies tersebut memiliki peranan penting pada pertumbuhan populasi yang berubah secara dinamik seiring dengan perubahan populasi yang ada.

Model ini ditemukan oleh Volterra pada tahun 1926, setelah mengamati penurunan dan kenaikan banyaknya ikan–ikan di Laut Adriatic yang terjadi secara berkala. Saat terjadi penurunan banyaknya ikan, nelayan di daerah tersebut sangat dirugikan. Model tersebut juga dikenal sebagai model Lotka–Volterra, karena Lotka juga menemukan model yang sama di waktu yang relatif bersamaan.

Model Lotka–Volterra adalah model antara populasi pemangsa dan populasi mangsa pada sebuah lingkungan yang bergantung satu sama lain berdasarkan hubungan interaksi antara kedua spesies. Misalkan x(t) dan y(t)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

t

0.5 1.0 1.5

galat

Galat X

P ade Homotopi

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

t

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

galat

Galat Y

P ade Homotopi

masing–masing menunjukan banyaknya spesies mangsa dan pemangsa pada waktu (t). Jika mangsa dan pemangsa tidak saling berinteraksi, maka model pertumbuhan populasi mangsa adalah

). (t ax dt

dx _

Dalam hal ini a menunjukkan laju kelahiran dari populasi mangsa. Jika populasi mangsa berkurang, maka akan mengakibatkan populasi pemangsa berkurang. Hal ini dikarenakan mangsa merupakan sumber makanan untuk pemangsa. Jadi laju pertumbuhan populasi pemangsa bergantung pada banyaknya populasi mangsa, yaitu

), (t ey dt

dy _

dengan e menunjukkan laju kematian dari populasi pemangsa. Hal ini disebabkan karena spesies pemangsa bergantung pada mangsa dan akan berkurang jumlahnya. Selanjutnya, jika kedua spesies tersebut saling berinteraksi dan populasi pemangsa bergantung pada populasi mangsa sebagai sumber makanan, maka model yang

diungkapkan oleh Lotka–Volterra adalah

). ( ) ( )

(

) ( ) ( ) (

t y t f x t

ey dt

dy

t y t cx t

ax dt dx

 



 

(2.22)

Parameter a, c, e, f menunjukkan interaksi antara kedua spesies tersebut, dengan a menunjukkan laju kelahiran dari populasi mangsa, c menunjukkan tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang berpengaruh terhadap mangsa atau menunjukkan adanya predasi yang mengakibatkan berkurangnya mangsa, e menunjukkan laju kematian dari populasi pemangsa dan bergantung pada mangsa dan kematian alami yang mengakibatkan berkurangnya pemangsa, f menunjukkan tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang berpengaruh pada pemangsa.

Pada bagian ini akan dibahas kestabilan titik tetap pada model Lotka– Volterra. Perhatikan model Lotka–Volterra yang telah diberikan pada persamaan (2.22) sebagai berikut

. f xy ey

dt dy

cxy ax

dt dx

  

 

Titik tetap pada model Lotka–Volterra di atas diperoleh berdasarkan sistem persamaan berikut

. ) (

) (

0 0

 



 

fx e y

cy a x

Penyelesaian persamaan di atas memberikan titik tetap T₁(0,0) dan ( , ) c a f e

T2 .

Dengan melinearkan model Lotka–Volterra di atas, akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut

_

  

 

 

 



f x e f y

cx cy

a

J .

Matriks Jacobi untuk titik tetap pertama T₁(0,0)adalah

_

  

 

 

e a J_T

0 0 1

.

Nilai eigen matriks Jacobi tersebut adalah ₁  a dan ₂  e. Karena kedua nilai eigen yang diperoleh berbeda tanda, maka titik tetap T1(0,0)bersifat sadel.

Jadi sistem tidak stabil pada titik tetap tersebut. Matriks Jacobi untuk titik tetap kedua ( , ) c a f e

T2 adalah

      

   

 _



0 0

2

c af

f ce JT

.

Nilai eigen matriks Jacobi tersebut adalah _1,2 i ae. Karena kedua nilai eigen berbentuk imajiner, maka titik tetap ( , )

c a f e

T2 bersifat center. Jadi sistem stabil pada titik tetap tersebut.

. . .

.

xy y

y

xy x

x

1 0 5 0

1 0

 

  

 

(2.23)

dengan syarat awal x(0)7, y(0)5. Dalam hal ini dipilih parameter a1, ,

.1 0 

c e0.5, f 0.1.

Dengan menggunakan software Mathematica diperoleh bidang phase untuk masalah nilai awal (2.23) yang ditunjukkan pada Gambar 3. Berdasarkan Gambar 3 diperoleh bahwa pada titik tetap T₁ sistem tidak stabil, sedangkan pada titik tetap T2 sistem stabil.

Gambar 3 Bidang phase masalah nilai awal (2.23).

Dengan bantuan software Mathematica diperoleh penyelesaian numerik masalah nilai awal (2.23), seperti digambarkan pada Gambar 4 berikut.

Gambar 4 Penyelesaian numerik masalah nilai awal (2.23).

2.6.3 Model Lotka–Volterra Logistik

Model Lotka–Volterra logistik dibentuk berdasarkan pada model Lotka– Volterra tetapi diberikan asumsi bahwa sumber makanan untuk mangsa yang terbatas, sehingga mempengaruhi laju pertumbuhan logistik pada mangsa. Jika sumber makanan terbatas, maka mengakibatkan interaksi antar spesies mangsa

0 5 1 0 1 5

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5

5 1 0 1 5 2 0 t 5

1 0 1 5

y x

1

T

2

T

y

untuk mendapatkan makanan, sehingga spesies mangsa berkurang. Jadi laju pertumbuhan logistik untuk populasi mangsa adalah

). (t bx dt

dx   2

Jika laju pertumbuhan logistik mangsa mempengaruhi model Lotka–Volterra pada persamaan (2.22) dan terjadi interaksi antara mangsa dan pemangsa, maka model Lotka–Volterra logistik adalah

). ( ) ( )

(

) ( ) ( ) ( )

(

t y t f x t

ey dt

dy

t y t cx t

bx t

ax dt dx

 



 

 2

(2.24)

Parameter a, b, c, e, f menunjukkan interaksi antara kedua spesies tersebut, dengan a menunjukkan laju kelahiran dari populasi mangsa, b menunjukkan tingkat interaksi antar spesies mangsa untuk mendapatkan makanan, c menunjukkan tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang berpengaruh terhadap mangsa atau menunjukkan adanya predasi yang mengakibatkan berkurangnya mangsa, e menunjukkan laju kematian dari populasi pemangsa karena bergantung pada mangsa dan kematian alami yang mengakibatkan berkurangnya pemangsa, f menunjukkan tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang berpengaruh pada pemangsa.

2.6.4 Analisis Model Lotka–Volterra Logistik

Pada bagian ini akan dibahas kestabilan titik tetap pada model Lotka– Volterra logistik. Perhatikan model Lotka–Volterra logistik yang telah diberikan pada persamaan (2.24) sebagai berikut

.

f xy ey

dt dy

cxy bx

ax dt dx

  

 

 2

Titik tetap pada model Lotka–Volterra logistik pada persamaan (2.24) diperoleh berdasarkan sistem persamaan berikut

. ) (

) (

0 0

 



  

fx e y

cy bx a x

Penyelesaian persamaan di atas memberikan titik tetap T1(0,0), 2( ,0)

b a

T dan

) ,

(

cf be c a f e

T₃  . Dengan melinearkan model Lotka–Volterra logistik di atas, akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut

_

  

 

 

 

 

f x e f y

cx cy

bx a

J 2 .

Matriks Jacobi untuk titik tetap pertama T₁(0,0)adalah

_

  

 

 

e a JT

0 0

1 .

Nilai eigen matriks Jacobi tersebut adalah ₁  a dan ₂  e. Karena kedua nilai eigen berbeda tanda, maka titik tetap T1(0,0) bersifat sadel. Jadi sistem

tidak stabil pada titik tetap tersebut.

Matriks Jacobi untuk titik tetap kedua 2( ,0) b a

T adalah

     

   

 

 



b af e

b ac a

J_T

0

2

.

Nilai eigen matriks Jacobi tersebut adalah ₁ a dan

b af e  

2

 . Ini

berarti, jika af be negatif, maka nilai eigen _{2( ,0)}

b a

T keduanya bernilai

negatif, sehingga titik tetap 2( ,0) b a

T bersifat stabil. Jika af be positif, (1 negatif dan ₂ positif), maka titik tetap 2( ,0)

b a

T bersifat sadel.

Matriks Jacobi untuk titik tetap ketiga ( , ) cf be c a f e

T₃  adalah

      

    



 



0 1

3

) (af be c

f ce f

be

J_T .

Jadi jika af benegatif maka 1 positif dan 2 negatif. Hal ini mengakibatkan titik tetap ( , )

cf be c a f e

T3  bersifat sadel, dan jika af be positif maka 1 dan 2bernilai negatif, sehingga titik tetap ( , )

cf be c a f e

T3  bernilai

Selanjutnya, tinjau masalah nilai awal berikut

. . .

. .

xy y

y

xy x

x x

1 0 5 0

1 0 1

0

2 2

 



 



 

(2.25)

dengan syarat awal x(0)10, y(0)5. Dalam hal ini dipilih parameter

,

2 

a b0.1,c0.1, e0.5, f 0.1.

Dengan menggunakan software Mathematica diperoleh bidang phase untuk masalah nilai awal (2.25) yang ditunjukkan pada Gambar 5. Berdasarkan Gambar 5 diperoleh bahwa pada titik tetap T₁ sistem tidak stabil, T₂ bersifat stabil untuk af be negatif dan bersifat tidak stabil untuk af bepositif, sedangkan

3

T bernilai negatif .

Gambar 5 Bidang phase masalah nilai awal (2.25).

Dengan bantuan software Mathematica diperoleh penyelesaian numerik masalah nilai awal (2.25), seperti digambarkan pada Gambar 6 berikut.

Gambar 6 Penyelesaian numerik masalah nilai awal (2.25).

0 5 1 0 1 5

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

5 10 15 20 t 5

10 15

y x

1

T

x

2

T

y

III HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode homotopi dan metode homotopi Pade' untuk menyelesaikan masalah pada model Lotka–Volterra dan model Lotka–Volterra dengan logistik.

3.1 Model Lotka–Volterra

Perhatikan model Lotka–Volterra berikut ini

), ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

t y t f x t

ey dt

dy

t y t cx t ax dt dx

 



 

(3.1)

syarat awal x(0)n₁ dan y(0)n₂, dengan n₁ dan n₂ masing–masing banyaknya mangsa dan pemangsa pada saat awal. Karena model Lotka–Volterra merupakan masalah taklinear dan tidak dapat diselesaikan secara eksak, maka berikut ini akan dicari penyelesaian masalah nilai awal (3.1) dengan menggunakan metode homotopi dan metode homotopi Pade'.

Misalkan didefinisikan operator sebagai berikut : ℒ1

t q t q

t

   ( , )

)] , (

[ 

ℒ2

t q t q

t

 

 ( , )

)] , (

[ 

[ ( , ), ( , )] ( , ) a (t,q) c (t,q) (t,q)

t q t q

t q t

A        

  

1

[ ( , ), ( , )] ( , ) e (t,q) f (t,q) (t,q),

t q t q

t q t

A        

  

2

dengan q merupakan suatu parameter, (t,q) dan (t,q) adalah suatu fungsi yang bergantung pada t dan q.

Penyelesaian masalah nilai awal persamaan (3.1) dengan metode homotopi dinyatakan dalam persamaan berikut



    1 0 m m t x t x t

x( ) ( ) ( ) dan ( ) ( )



( ),

    1 0 m m t y t y t y

dengan x_m(t) dan y_m(t), m1,2,3... yang akan ditentukan. Jika kedua ruas pada persamaan (2.15) diintegralkan dan persamaan (2.16) digunakan, maka diperoleh persamaan berikut

ds q q s q s A m h t x t x t q m m m m m



    _     0 0 1 1 1 1 1 1

1 [ ( , ), ( , )] )! ( ) ( ) (    , )] , ( ), , ( [ )! ( ) ( ) (



    _     t q m m m m m ds q q s q s A m h t y t y 0 0 1 2 1 2 1 1

1  

 (3.2)

dengan _m diberikan pada persamaan (2.17).

Misalkan penyelesaian pendekatan awal x0(t)n1t dan

, )

(t n t

y₀  ₂  maka untuk m1 dan berdasarkan persamaan (3.2) diperoleh ] ) ) ( ( ) [( )

( 1 _{1 1 2 1 2} 2 3

1 6 6 6 3 3 2

6 an cnn t c n n a t ct

h t

x       

]. )) ( ( ) [( )

( 2 _{2 1 2 1 2} 2 3

1 6 6 6 3 3 2

6 en f nn t e f n n t f t

h t

y        (3.3)

Untuk m2, diperoleh

3 6 2 5 1 1 2 4 2 3 1 2 1 1 1 1 2 2 6 2

1 h t h h h t h c h h t

h t

x ( )[  (  )] [ (     )] [ (     )]

5 9 1 4 8 2 7 1 1 15 24 t h t h h h ] [ )] ( [       3 6 1 5 2 2 2 4 1 3 2 2 2 2 1 2 2 2 6 2

1 h t h h h t h h h f t

h t

y ( )[  (  )] [ (     )] [ (     )]

5 9 2 4 8 1 7 2 2 15 24 t h t h h h ] [ )] ( [       (3.4) dengan 2 1 1

1 1an cnn 

a cn

cn  

 _{1 2}

2 

)] (

[ 2 _{2 2}

1 2

3 2cn 2an ca cn 2a2cn 

)] (

[ _{2 1}

1

4 cn 1n e fn 

) (

)

(a cn cn cn a

cn a

c 3 2

4 1 2 2 2

2

5      



)] (

[ ₁2 _{2 1 2}

6 c 2 fn 2en n e3fn



ac n

n

c2 3 ₁ 5 ₂ 5

7  (  ) 

)

( 1 2

8 c 3e5fn 3fn 

2 1 2

9 c h cfh



2 1 2

1 1en  fn n 

2 1 2 e fn  fn 

2 2 1 2 2 1

2 2

3 2en (e  f)2n(f efn ) f nn



)

( _{1 1 2} 1

2

4  fn an cnn  

2 1 2 2

1 2 2

5 e 4f 3efn  fn(3fn 2e) f n



)] (

[ _{2 2}2 _{1 2}

6  f an 2cn n 2a3cn



ef n f n

f 3 5

5 2 ₁ 2 ₂

7   



)

( _{1 2}

8  f 3a3cn 5cn 

1 2 2

9  f h cfh 

Penurunan lengkap dapat dilihat pada Lampiran 4.

Jika proses dilanjutkan, maka diperoleh penyelesaian x3(t),x4(t),x5(t),...

dan y3(t),y4(t),y5(t),...Jadi berdasarkan metode homotopi diperoleh

penyelesaian pendekatan masalah taklinear persamaan (3.1) sebagai berikut



 

 

1 0

m

m t

x t

x t

x( ) ( ) ( )

( ) ( )



( ),



  

1 0

m

m t

y t

y t

y (3.5)

3.1.1 Kasus Pertama Model Lotka–Volterra

Berikut ini diberikan kasus untuk penyelesaian masalah pada model Lotka–Volterra yang diberikan pada persamaan (3.1). Dalam kasus ini terdapat interaksi dua spesies antara spesies mangsa dan spesies pemangsa. Misalkan pada kondisi awal banyaknya mangsa n₁ 7 dan banyaknya pemangsa n₂ 5 dan dipilih laju kelahiran mangsa a1, tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang mengakibatkan berkurangnya mangsa c0.1, laju kematian pemangsa

5 0.



e dan tingkat interaksi antara pamangsa dan mangsa yang mengakibatkan bertambahnya pemangsa f 0.1. Interpretasi fisis pada kasus ini adalah laju kelahiran mangsa sebesar satu unit per hari dan laju kematian pemangsa sebesar satu unit per dua hari, tingkat interaksi antara mangsa dan pemangsa yang mengakibatkan berkurangnya mangsa dalam sepuluh hari kemungkinan mangsa akan dimangsa sebesar satu unit dan tingkat interaksi antara pemangsa dan mangsa yang mengakibatkan pemangsa akan bertambah dalam sepuluh hari sebesar satu unit.

Penyelesaian persamaan (3.1) kasus pertama dengan menggunakan metode homotopi sampai suku yang keempat diperoleh dalam bentuk

) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

(t x t x t x t x t x t

x  ₀  ₁  ₂  ₃  ₄

), ( )

( )

( )

( ) ( )

(t y t y t y t y t y t

y  ₀  ₁  ₂  ₃  ₄ (3.6)

dengan x0(t) n1 t, y0(t) n2 t, dan xi(t),yi(t),i 1,2,3,4

dihitung dengan bantuan software Mathematica dan diberikan pada Lampiran 5. Grafik penyelesaian persamaan (3.1) untuk kasus pertama dengan menggunakan metode homotopi dapat dilihat pada Gambar 7. Berdasarkan penyelesaian x(t)

dan y(t) pada persamaan (3.6), maka penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi Pade' dari persamaan (3.5) dengan koefisien p_k dan q_k diperoleh dengan bantuan software Mathematica dan diberikan pada Lampiran 5. Grafik penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi Pade' dapat dilihat pada Gambar 7. Pada Gambar 7 juga diperlihatkan perbandingan antara

penyelesaian pembanding masalah nilai awal (3.1) dengan penyelesaian menggunakan metode homotopi dan metode homotopi Pade' untuk kasus pertama.

Gambar 7 Penyelesaian masalah nilai awal (3.1) kasus pertama.

Berdasarkan Gambar 7 penyelesaian dengan metode homotopi Pade' lebih mendekati penyelesaian pembanding, dengan daerah kekonvergenan yang lebih luas dibandingkan penyelesaian metode homotopi.

Gambar 8 Galat penyelesaian masalah nilai awal (3.1) kasus pertama. Dalam Gambar 8 diperoleh bahwa dengan metode homotopi Pade

'

memberikan daerah kekonvergenan yang luas dibandingkan pada metode

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 t 5

10 15 20 25

Numerik y Homotopi y P ade y Numerik x Homotopi x P ade x

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

t

0.5 1.0 1.5

galat

Galat X

P ade Homotopi

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

galat

Galat Y

P ade Homotopi

) (t x

) (t y

Lampiran 6 Penurunan Persamaan ( 3.10 )

Perhatikan model Lotka–Volterra logistik berikut

ax bx cxy

dt

dx _{ } 2 _

ey f xy,

dt

dy _{  }

(L.21) dengan syarat awal x(0)n₁dan y(0)n₂. Misalkan didefinisikan operator linear sebagai berikut

ℒ1

t q t q

t

   ( , )

)] , (

[ 

ℒ2[ ( , )] ( , ). t

q t q

t

   

 (L.22)

Operator taklinear dari persamaan (L.21) didefinisikan sebagai berikut

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( )] , ( ), , (

[ a t q b t q t q c t q t q

t q t q

t q t

A           

   1

dan (L.23)

), , ( ) , ( ) , ( )

, ( )]

, ( ), , (

[ e t q f t q t q

t q t q

t q t

A        

   2

Jika kedua ruas pada persamaan (2.14) diturunkan terhadap q hingga m kali, maka diperoleh sebagai berikut

ℒ1[xm(t)mxm1(t)] = h1B1(t) 1, ( 1)

 m m x

R ℒ2[ym(t)



mym1(t)] = h2B2(t) 2, ( 1).

 m m y

R (L.24)

Misal B1(t)B2(t)1, persamaan (L.24) menjadi

ℒ1[xm(t)mxm1(t)] = h1 1, ( 1)

 m m x

R ℒ2[ym(t)mym1(t)] = h2 2,

(

1

).



m m

y

R

(L.25)

Dengan menggunakan persamaan (L.22), maka persamaan (L.25) menjadi

t 



)] ( )

(

[x_m t _mx_m1 t = h₁ 1, ( 1)

 m m x

R

t 



)] ( )

(

[y_m t _my_m1 t = h₂ 2, ( 1)

 m m y

Jika kedua ruas pada persamaan (L.26) diintegralkan, maka diperoleh

ds x

R h t x t

x _{m m}

t m

m

m 

     

 



1 1 0

1 1( ) ,

)

( 

, )

( )

(t y t h R _, y ds

y _{m m}

t m

m

m 

     

 



2 1 0

2 1

 (L.27)

dengan

) (

, 1

1 



m m x

R = ₀

1 1

1 1

1

 



 

 m q

m

q

q t q t A m

)] , ( ), , ( [ )!

(





) (

, 1

2 



m m y

R =

0 1

2 1

1 1

 



 

 m q

m

q

q t q t A m

)] , ( ), , ( [ )!

(



 _(L.28)

dan

  

  

. ,

,

1 1

1 0

m m m



Jika persamaan (L.28) disubstitusikan pada persamaan (L.27), maka diperoleh



 



  _  _

 t

q m

m m

m

m ds

q

q t q t A m

h t x t

x

0 0

1 1

1 1

1

1

1 [ ( , ), ( , )]

)! (

) ( )

(   



 



 _

  

 t

q m

m m

m

m ds

q

q t q t A m

h t y t

y

0 0

1 2

1 2

1

1

1 [ ( , ), ( , )]

)! (

) ( )

(   

(L.29) Karena

) , ( )

(t t q

x0  , y0(t)(t,q)

 

0

1

 



 m _{m q}

m

q q t m

t

x ,

! )

(



 

0

1

 



 m _{m q}

m

q q t m

t

y ,

! )

(



dan pendekatan awal x₀(t)n₁t, y₀(t)n₂ t, maka diperoleh penyelesaian sebagai berikut

 untuk m1





 

t

q ds

q s q s A h t x t

x

0

0 1

1 0

1

ds s n s n c s n s n b s n a s

s n h

t x

t

)] )(

( ) )(

( ) (

) (

[ )

(        

  



_

_{1 1 1 1 2}

0 1 1

1

} ) ( ] )

( [ ] {[

)

( 1 _{1 1}2 _{1 2 1 2 1} 2 3

1 6 6 6 3 6 3 2

6 an bn cnn t c n n bn a t b c t

h t

x          

(L.30) dan







 y t h t A s q s q _q ds t

y

0

0 2

2 0

1

1( )  ( ) [( , ),( , )]

ds s n s n f s n e s

s n h

t y

t

)] )(

( ) (

) (

[ )

(     

  





2 1 2

0 2 2

1

} )]

( [

] {[

)

( 2 1 2 1 2 2 3

2

1 6 6 6 3 3 2

6 en f nn t e f n n t f t

h t

y       

(L.31)

 untuk m2



 

 

 t

q

ds q

s q s A q h t x t

x

0 0

1 1

1 2

2( )  ( ) { [( , ),( , )]}

ds s y s x s y s x c s x s bx s ax s

s x h t x t x

t

)]} ( ) ( ) ( ) ( [ ) ( ) ( ) ( ) ( { )

( )

( _{1 0 1 1 0 0 1}

0 1 1 1

2 _    

 



_

Jika persamaan (3.9) dan (3.10) disubstitusikan ke dalam persamaan di atas, maka diperoleh

} ) ( ] )

( [ ] {[

)

( 2 3

1 2

1 2

1 2 1 1

1 _{6 6 6 3 6 3 2}

6 an bn cnn t c n n bn a t b c t

h t

x          

] ) ( ) )

( ( )

[( 1 2 1 2 1 2 3

2 1 1 2

1

2 3

6 3

6 6

6 6

6 an bn cn n t c n n bn a t b c bt

h _{        }



4 3

2 2 1 1 2

2 1 2

1 1

2 2

1

4 2

3 3

3 3

6 t

ac ab t a acn acn abn t

n acn abn

n a a

h ( )

) (

)

[(         



3 2 1 2

1 2 1 2 1 2

2 2 1 3

1 2 2 1 1

2 1

3 4

3 2 3

3 3

3

6 bn abn b n bcn n t b abn b n bcn bcnn t

h

) (

)

[(        



( 1 1 2) 4 ( ) 5]

2

5 2 2 4

3 5

8 3

t c b t

bcn bcn

n b

ab   _ 

 

2 1 2 2 1 1

2 2 2 1 2 2 2 1 2

1 2

2 1

3 2

2 2 3

3 3

3

6 cn acnn bcn n c nn t c acn bcn c nn

h _{      }

 [( ) (

] ) (

) (

) 5

2 4

2 2

2 1 2 1 3

2 2 2 2 1 2

5 2 2 4

2 5

3 6

3

2bcnn c n t ac bcn c n c n bcn t bc c t

acn          



3 2 1 1 2 1 2

2 2 2 1 2

1 1

2 1

3 2

2 3

3 3

6 cn cenn cfn n t c cen cfnn cen cfn t

h h

) (

)

[(       



( 1 2) 4 5]

5 2 4

5 5

3

t cf t

cf n cf n

ce  _



3 6 2 5 1 1

2 4 2 3 1 2 1 1

1 1

2 2

6 2

1 h t h h h t h b c h h t

h t

x ( )[  (  )] [ (     )] [ ( (  )    )]

4 1 ₉ 5 8

2 7 1 1

15

24 t

h t h h

h

] [

)] (

[     



(L.32) dengan

2 1 2 1 1

1 1an bn cn n



a bn n

n

c   

 _{1 2 1}

2 ( ) 2



a cn bn an

n n b abn a

c b

n₁ 3 2 2 ₁ 2 ₁2 ₂ 2 2 ₁ 2 ₁2 ₂2 2

3  (     ) (    )



)]

[ _{2 1 2}

1

4 cn 1en  fn n



) (

) (

)

(b c bn bn a cn bn a

a      

 1 1 1 1

2

5 4 4 5 3



)] (

) (

[ _{1 2 1 1 2}

6 c 2e n 2n cfn n 3n



) )(

( )

( b bc c b c cn a

n     

 2

2 2

1

7 8 11 3 5



)] (

[ _{1 2}

8 c3e f 5n 3n



2 1 9 (1c)(bc)h cfh



Selanjutnya, untuk menentukan y₂(t) dilakukan dengan langkah–langkah sebagai berikut :





 

t

q ds

q s q s A h t y t

y

0

0 2

2 1

2

2( )  ( ) { [( , ),( , )]}

( ) ( ) { ( ) ey (s) f[x (s)y (s) x (s)y (s)]}ds. s

s y h

t y t y

t

1 0 0

1 1

0 1 2 1

2 _   

 

Jika persamaan (3.9) dan (3.10) disubstitusikan ke dalam persamaan di atas, maka diperoleh

] ))

( (

) [(

)

( 2 1 2 1 2 2 3

2

2 6 6 6 3 3 2

6 en f nn t e f n n t f t

h t

y       

] ))

( (

)

[( 2 3

2 1 2

1 2

2

2 _{6 6 6 3 3 2}

6 en fn n t e f n n t ft

h _{     }



[( ) ( ( )) 3 4]

2 1 2

2 2 1 2

2 2

2

4 2 3

3 3

6 t

ef t

n n ef e t n efn n

e e

h _{     }



2 1 2

1 1

2 2 2 1 2

2 1 2

1 2

2

1 _{3 3 3 3 2 2 2 3}

6 f n af nn bf n n cf n n t f af n bf n cf nn

h h

 

  

 

 [( ) (

] ) (

) (

) 3 1 1 2 2 4 5

2 2 2 1 2

5 2 4

2 5

3 3

3

2bfnn cfn t af bfn cfn cfn bfn t bf cf t

afn          



3 2 1 2 1 2 1 2 2 2

2 2 1 2 2 1 1

2

2 _{3 3 3 2 2}

6 fn efn n f n n t f efn f n n efn f n t

h

) (

)

[(       



( ) 5]

4 4

2 2 1 2

5 2 4

3 3

t f t n f n f

ef   _



3 6

1 5 2 2 2 4 1 3 2 2 2 2

1 2

2 2

6 2

1 h t h h h t h h h f t

h t

y ( )[  (  )] [ (     )] [ (     )]

5 9 2 4 8 1 7 2 2

15

24 t

h t h h

h

] [

)] (

[     



(L.33) dengan

2 1 2

1 1en  fn n



)

( _{1 2}

2 e f n n



) (

)

( _{1 2 2} 2 ₁ 2 ₁2

3 2e2f n n n e 2efn  f n



)

( _{1 1}2 ₁2

2

4  fn 1an bn cn



) (

)

( _{1 2 1}

1 2

5 e 4f  fn 2e fn  fn 3e fn



) (

) (

)

( _{1 1 2 2 2}

1

6 2f 2fn abn  fn n 3c2b  fn acn



ef n

n

f 2 ₁ 3 ₂ 5

7  (  )



af b c fn c b

fn 5 2 3

3 _{1 2}

8  (  ) (  )



1 2

4

9  f h (bf cf)h

Lampiran 7 Penyelesaian Masalah Nilai Awal ( 2.24 )

Tinjau persamaan (2.24) berikut ini

ax bx cxy

dt

dx _{ } 2 _

ey f xy,

dt

dy _{  }

dengan syarat awal x(0)n₁dan y(0)n₂. Dengan bantuan software Mathematica, penyelesaian dengan metode homotopi dan metode homotopi Pade' sampai suku yang keempat untuk masalah nilai awal (2.24), untuk kasus pertama mengikuti langkah–langkah berikut :

Needs["PlotLegends`"]; n1:=10;n2:=5;

a:=2;b:=.1;c:=.1;e:=.5; f:=.1

sol=NDSolve[{x'[t]-a x[t]+b x[t] x[t]+c x[t] y[t]฀0, y'[t]+e y[t]-f x[t] y[t]฀0,

x[0]฀n1,y[0]฀n2},{x[t],y[t]},{t,0,20}]

); ] [ ( :

_] [

m ax





  n

i

i i t q x

t xx

0

); ] [ ( :

_] [

m ax





 n

i

i i t q y

t yy

0 funx=xx[t]; funy=yy[t];

Untuk kasus kedua mengikuti langkah–langkah berikut :

Needs["PlotLegends`"]; n1:=5;n2:=10;

a:=2;b:=.1;c:=.1;e:=.5; f:=.1

sol=NDSolve[{x'[t]-a x[t]+b x[t] x[t]+c x[t] y[t]฀0, y'[t]+e y[t]-f x[t] y[t]฀0,

x[0]฀n1,y[0]฀n2},{x[t],y[t]},{t,0,20}]

); ] [ ( :

_] [

m ax





  n

i

i i t q x

t xx

0

); ] [ ( :

_] [

m ax





 n

i

i i t q y

t yy

0 funx=xx[t]; funy=yy[t];