The use of homotopy perturbation method to solve fuzzy volterra integral equations

PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI

UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN

INTEGRAL FUZZY VOLTERRA

QURROTUL A’YUN

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

QURROTUL A’YUN. Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Persamaan Integral Fuzzy Volterra. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI.

Banyak fenomena yang terjadi alam dapat dijelaskan dengan model matematika. Salah satu model matematika tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan integral fuzzy Volterra. Persamaan integral fuzzy Volterra yang dihasilkan biasanya dalam bentuk taklinear. Secara analitik masalah taklinear ini sulit diselesaikan. Dalam tulisan ini, persamaan integral fuzzy Volterra diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi yang dapat dinyatakan dalam suatu deret pangkat terhadap suatu parameter �dan memenuhi suatu fungsi homotopi yang didefinisikan. Diberikan dua studi kasus yaitu kernel dari fungsi linear dan trigonometri. Berdasarkan dua kasus tersebut diperoleh bahwa semakin tinggi orde penyelesaian yang digunakan semakin mendekati penyelesaian sesungguhnya.

ABSTRACT

QURROTUL A’YUN. The Use of Homotopy Perturbation Method to Solve fuzzy Volterra integral equations. Supervised by JAHARUDDIN and SISWANDI.

Most phenomena in nature can be explained in mathematical models, such as fuzzy Volterra integral equation. The fuzzy Volterra integral equation is a nonlinear integral problem, which is usually difficult to solve by an analytical solution. In this paper, fuzzy Volterra integral equation is solved using perturbation homotopy method, which can be written as a power series in � and satisfies a certain homotopy function. This manuscript discuss two case studies, i.e. the case of linear and trigonometric kernel functions. The result shows that the greater approximation order being used, the wider convergence solution area will be.

Keywords: homotopy perturbation method, fuzzy Volterra integral equation, and nonlinear problem

UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN

INTEGRAL FUZZY VOLTERRA

QURROTUL A’YUN

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

Judul Skripsi : Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan

Persamaan Integral Fuzzy Volterra

Nama

:

Qurrotul A’yun

NIM

: G54070009

Menyetujui

Pembimbing I

Dr. Jaharuddin, MS

NIP. 19651102 199302 1 001

Pembimbing II

Drs. Siswandi, M.Si.

NIP. 19650820 199003 1001

Mengetahui

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS

NIP. 19650505 198903 2 004

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada ALLAH SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Keluarga tercinta : Muchtar (ayah), Bidayah (umi), dan adik Moqoddas Al-Aslami dan Mawaddah Addini atas semua doa, dukungan, semangat, pengorbanan, nasihat, pendidikan, perhatian, cinta dan kasih sayangnya.

2. Dr. Jaharuddin, M.S. dan Drs. Siswandi, M.Si. masing-masing sebagai dosen pembimbing I dan dosen pembimbing II atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini.

3. Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku dosen penguji.

4. Semua dosen Departemen Matematika, atas semua ilmu yang telah diberikan.

5. Keluarga besar dan staf Departemen Matematika: Pak Yono, Bu Susi, Bu Ade, Pak Bono, Mas Hery, Mas Deni.

6. Kakak Math 43 atas saran dan semua ilmunya.

7. Teman-teman Math 44 : Ucu, Istiti, Wewe, Devi, Deva, Nunuy, Resa, Anis, Sari, Ruru, Siska, Lingga, Lugina, Diana, Yanti, Lilis, Ririh, Eka, Aswin, Wahyu, Aqil, Aze, Tanto, Rachma, Melon, Lili, Tita, Cicit, Selvi, Tendi, Ali, Lina, Ayum, Sri, Yuli, Zae, Dian, Vianey, Pepi, Igoy, Copa, Ayung, Endro, Dora, Ima, Fajar, Fani “kodok”, Masayu, Dika, Fani, Ikhsan, Della, Pandi, Abe, Tyas, Arina, Imam, Nadiroh, Rofi, Indin, Iyam, Olih,

Ipul, Nurus, Lukman, Puyink, dan Na’im.

8. Teman-teman Math 45 : bolo, Isna, rischa, Gita, Mega, Santi, Agustina, Yunda, Aci dan lain-lain.

9. Anak-anak Kosan RZ : Caca, Laras, Ika, Ka Lana, Ka Minal, Ka Nurma, Ka Eli, Ka Dwi, Ka Surya, Ka Ana, dan Ka Erika.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Agustus 2011

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 26 September 1990 sebagai anak pertama dari tiga bersaudara dari pasangan Muchtar dan Bidayah.

Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di TK Islam Madarijut Thalibin lulus pada tahun 1995, MI Madarijut Thalibin lulus pada tahun 2001, MTsN 4 Jakarta lulus pada tahun 2004, MAN 13 Jakarta lulus pada tahun 2007 dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai staf Sosinkom (Sosial Informasi dan Komunikasi). Selain itu penulis juga pernah menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Kalkulus II dan Kalkulus III.

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... ix

DAFTAR TABEL ... ix

DAFTAR LAMPIRAN ... ix

I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 1

1.3 Sistematika Penulisan ... 1

II LANDASAN TEORI ... 2

2.1 Himpunan Fuzzy dan Bilangan Fuzzy ... 2

2.2 Persamaan Integral Fuzzy ... 3

2.3 Metode Perturbasi Homotopi ... 3

III PEMBAHASAN ... 6

3.1 Analisis Metode ... 6

3.2 Aplikasi Metode ... 8

V SIMPULAN ... 14

DAFTAR PUSTAKA ... 15

ix

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Grafik Perbandingan penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan metode

perturbasi homotopi persamaan (2.16). ... 5

2 Grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian persamaan (3.18) ... 11

3 Grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian persamaan (3.31) ... 13

DAFTAR TABEL Halaman 1 Galat antara penyelesaian eksak dan metode pertubasi homotopi hingga orde 3 dengan �=1 2 ... 11

2 Galat antara penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi suntuk �=�₄ ... 13

DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Penurunan Persamaan (2.7) ... 17

2 Penyelesaian Persamaan (2.16) ... 18

3 Penurunan Persamaan (3.9) ... 20

4 Program Maple untuk Gambar 2 ... 25

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Persamaan integral sering muncul dalam permasalahan di bidang matematika terapan, fisika, teknik, biologi dan lain sebagainya. Model seperti laju pertumbuhan penduduk, laju kelahiran, transfer radiasi dan proses penyaringan asap rokok merupakan model yang disajikan dalam bentuk persamaan integral. Persamaan integral merupakan suatu bentuk persamaan dimana variabel yang ingin

diketahui terdapat dalam integrand

persamaan integral tersebut. Jerri (1985)

mengklasifikasikan persamaan integral

berdasarkan batas pengintegralan pada

integral yang muncul menjadi dua bagian yaitu persamaan integral Volterra dan persamaan integral Fredholm. Golberg (1978) telah memberikan beberapa metode numerik untuk menyelesaikan persamaan integral, khususnya untuk menyelesaikan persamaan

integral Fredholm diantaranya metode

pendekatan kernel, kuadratur, galerkin, semianalitik dan proyeksi.

Pembahasan mengenai persamaan integral Volterra telah banyak dilakukan. Babolian dan Davari (2006) menyelesaikan persamaan

integral Volterra dengan menggunakan

dekomposisi Adomian. Beberapa penelitian difokuskan untuk memperoleh penyelesaian dari persamaan yang dimodelkan dalam persamaan taklinear. Dalam beberapa tahun terakhir, para peneliti memfokuskan pada penyelesaian persamaan integral Volterra secara numerik, seperti penggunaan metode implicity Linear collocation.

Teori himpunan fuzzy merupakan cara yang sering digunakan untuk pemodelan ketidakpastian dan untuk suatu proses yang samar-samar atau informasi subjektif dalam suatu model matematika. Konsep ini pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh (1965).

Terapan dari himpunan fuzzy dalam

kehidupan nyata antara lain mencakup kendali proses, klasifikasi dan pencocokan pola, manajemen dan pengambilan keputusan, riset operasi, teknik, dan ekonomi.

Konsep pengintegrasian fungsi fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Dubois dan Prade (1982). Pembahasan mengenai metode numerik untuk menyelesaikan persamaan integral fuzzy telah banyak dilakukaan

akhir-akhir ini terutama yang berkaitan dengan kontrol fuzzy. Dalam karya ilmiah ini akan digunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua. Metode perturbasi homotopi [He,2000] merupakan suatu metode pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah tak linear. Dalam metode ini, akan didefinisikan suatu operator taklinear yang didasarkan pada bentuk tak linear dari masalah taklinear tersebut. penyelesaian masalah taklinear dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dimisalkan dalam bentuk deret yang umum, sehingga tidak perlu dimisalkan dalam bentuk deret pangkat (polinomial) seperti yang dilakukan pada

metode dekomposisi Adomian. Metode

perturbasi homotopi merupakan suatu metode perpaduan dari metode homotopi dengan metode perturbasi.

Dalam karya ilmiah ini akan dibahas

penyelesaian persamaan integral fuzzy

Volterra tipe kedua dengan menggunakan metode perturbasi homotopi..

1.2Tujuan

Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan karya ilmiah ini adalah :

a. Menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.

b. Membandingkan penyelesaian eksak

dengan hampiran penyelesaian yang

diperoleh.

1.3 Sistematika Penulisan

Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang dan tujuan penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang berisi beberapa istilah dan konsep dari metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua

pada pembahasan. Bab ketiga berupa

pembahasan yang berisi analisis metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua. Dalam bab ini juga disajikan hasil numerik untuk membandingkan penyelesaian eksak dengan hampiran penyelesaian yang diperoleh. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dari keseluruhan penulisan.

II LANDASAN TEORI

Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang

digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi himpunan fuzzy yang disarikan dari [Kusumadewi, 2004], bilangan fuzzy, persamaan integral

fuzzy Volterra yang disarikan dari

[T.Allahviranloo, 2010 ] dan metode perturbasi homotopi yang disarikan dari [He, 2000].

2.1 Himpunan Fuzzy dan Bilangan Fuzzy

Himpunan fuzzy merupakan perluasan

konsep dari himpunan klasik yang

menggunakan nilai keanggotaan {0,1}

menjadi [0,1]. Pada himpunan klasik, nilai

keanggotaan suatu item dalam suatu

himpunan , yang sering ditulis [ ], memiliki dua kemungkinan yaitu, 1 yang berarti bahwa suatu item menjadi anggota dalam suatu himpunan dan 0 yang berarti bahwa suatu item tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan. Sedangkan pada himpunan fuzzy nilai keanggotaan terletak pada rentang 0 sampai 1. Nilai 0 menunjukkan salah, nilai 1 menunjukkan benar, dan masih ada nilai-nilai yang terletak antara benar dan

salah. Himpunan fuzzy dapat juga

didefinisikan sebagai sekumpulan objek di mana masing-masing objek memiliki nilai

keanggotaan atau disebut juga nilai

kebenaran. Jika � adalah sekumpulan objek dan adalah anggota dari �, maka himpunan

fuzzy yang memiliki domain �

didefinisikan sebagai

= ,� ∈ � ,

dengan � merupakan nilai keanggotaan pada himpunan fuzzy yang bernilai [0,1].

Suatu bilangan fuzzy ∈ ℜ didefinisikan

sebagai pasangan ( , ) dari fungsi

( (�), (�)) yang memenuhi sifat – sifat berikut :

1. Fungsi merupakan fungsi yang monoton naik, terbatas, dan kontinu kiri pada [0,1]. 2. Fungsi merupakan fungsi yang monoton

turun, terbatas, dan kontinu kanan pada [0,1].

3. � � dengan 0 � 1.

Untuk lebih memahami bilangan fuzzy, berikut ini diberikan salah satu contoh bilangan fuzzy yaitu bilangan fuzzy segitiga

dengan parameter = ( , , ) yang

didefinisikan dengan

= −

+ 1, − , −

+ 1, + ,

0, �� �

dan diperoleh bentuk parametrik sebagai berikut:

� = − 1− � , � = + 1− � .

Berikut ini operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada himpunan bilangan fuzzy. Untuk sembarang bilangan fuzzy

= ( , ) dan = ( , ) didefinisikan penjumlahan ( + ) sebagai berikut:

+ � = � + (�),

+ � = � + � (2.1) dan untuk bilangan real �> 0 didefinisikan perkalian skalar sembarang bilangan fuzzy sebagai berikut:

� � = � �

,� � , � ≥0; � � ,� � , �< 0.

(2.2)

Selanjutnya, untuk sembarang bilangan

fuzzy = ( , ) dan = ( , )

didefinisikan fungsi jarak antara dan sebagai berikut

, = max sup

0 r 1 � − �

, sup

0 r 1 � − � .

(2.3)

Misalkan : 1→[0,1] memenuhi

, = 0, , > 0 ∀ ≠ , , = ( , ), dan , , + ( , ), maka merupakan metrik untuk 1 dan ( 1 _{, D) merupakan suatu ruang metrik karena}

himpunan 1 dilengkapi dengan suatu metrik .

Berikut ini akan didefinisikan konsep

integral dari fungsi fuzzy dengan

menggunakan konsep integral Rieman. Misalkan : �, → 1. untuk setiap

partisi �= { 0, 1,…, } dengan =

dan untuk sembarang �_� dengan _�−1

�� �, 1 � , misalkan

�� = �=1 �� �− �−1 (2.4)

Integral ( ) pada [�, ] didefinisikan sebagai berikut :

_� = lim _→0��,

(2.5)

asalkan limit tersebut ada terhadap metrik D. Jika kontinu terhadap metrik , maka integral tentu dari ( ) tersebut ada, kemudian didefinisikan

_� ,� = _� ,� _� ,� = _� ,�

(2.6)

2.2 Persamaan Integral Fuzzy Volterra

Persamaan integral Volterra tipe kedua dapat dinyatakan dalam bentuk berikut:

= + �( , ) �

, (2.7)

dengan � , didefinisikan sebagai fungsi

kernel pada daerah persegi � dan

� . Fungsi ( ) merupakan fungsi

dari dengan � .

Persamaan integral Volterra tipe kedua pada persamaan (2.7) banyak muncul pada masalah osilasi dalam fisika. Masalah osilasi dinyatakan dalam persamaan differensial biasa orde dua berikut

"( ) + ( ) ′+ ( ) = ( ), penyelesaian persamaan differensial biasa tersebut berupa suatu persamaan integral Volterra tipe kedua.

(Lampiran 1)

Pada persamaan integral Volterra tipe kedua jika ( ) berupa fungsi fuzzy yaitu fungsi = ( ,�), maka persamaan tersebut akan memiliki penyelesaian dalam

bentuk fuzzy. Misalkan ,� =

,� , ( ,�) dan ,� = ( ,� , ( ,�)), 0 � 1 yang masing-masing merupakan bentuk parametrik dari fungsi ( ) dan ( ) untuk ∈ �, ,

maka bentuk persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua adalah:

,� = ,�

+ �1 , , ,� , ,� ,

� ,� = ,�

+ �₂ , , ,� , ,� �

(2.8) dengan

�1 , , ,� , ,�

= � , ,� ,� , ≥0;

� , ,� ,� , < 0 (2.9) dan

�2 , , ,� , ,�

= � , ,� , � , ≥0;

� , ,� , � , < 0, (2.10) untuk setiap 0 � 1 dan ≥ �.

2.3 Metode Perturbasi Homotopi

Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode perturbasi homotopi berdasarkan alur pada pustaka [He, 2000]. Misalkan secara umum diberikan suatu persamaan integral sebagai berikut:

= , ∈ Ω (2.11)

dengan merupakan suatu operator yang

melibatkan persamaan integral, merupakan

fungsi yang akan ditentukan dan ( )

merupakan fungsi yang diketahui. Selanjutnya didefinisikan pula suatu operator linear � yang memenuhi

� = 0, bila = 0. (2.12)

Misalkan 0( ) pendekatan awal dari

penyelesaian persamaan (2.11) dan � ∈[0,1] suatu parameter. Didefinisikan fungsi real

� , 0 :Ω × [0,1] → ℜ dan suatu fungsi � sebagai berikut:

� �,� = 1− � [� � − �[ ₀]] +� �

− (2.13) Berdasarkan persamaan (2.13), maka untuk

�= 0 dan �= 1 masing-masing memberikan persamaan berikut:

4

dan

� �( , 1),1 = [� , 1 ]− ( ) Sehingga menurut persamaan (2.11) dan persamaan (2.12) diperoleh bahwa fungsi

� , 0 = ₀( ) dan

� , 1 = ( )

masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan

� �( , 0),0 = 0 dan

� �( , 1),1 = 0.

Dengan demikian peningkatan nilai � dari 0 ke 1 menyatakan perubahan nilai �(�,�) dari �[� − 0] ke [�]− ( ). Dalam

topologi, proses ini disebut deformasi. Proses deformasi yang ditinjau meliputi deformasi orde nol dan orde tinggi. Pada deformasi orde

nol memberikan penyelesaian awal 0,

sedangkan deformasi orde tinggi memberikan penyelesaian 1, 2,⋯, �.

Dalam metode perturbasi homotopi, Penyelesaian fungsi � �,� = 0 diasumsikan dapat ditulis dalam bentuk deret Taylor fungsi

�( ,�) terhadap � sebagai berikut:

� ,� = 0 + �

∞ �=1

��_. (2.14) Berdasarkan persamaan (2.14) untuk �= 1, maka akan diperoleh

� , 1 = 0 + �( )

∞ �=1

Karena =�( , 1), maka diperoleh ( ) = ₀ + _�( ). (2.15)

∞ �=1

Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan (2.11) dengan pendekatan awal 0( ) dan �( ), �= 1,2,… yang akan ditentukan. Untuk menentukan _�( ), �= 1,2,… diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi, dimana persamaan (2.14) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.13) dan diperoleh _�.

Secara umum _� diperoleh dengan

menyamakan koefisien perpangkatan �, dan

0( ) merupakan pendekatan awal dari

penyelesaian ( ).

Selanjutnya, untuk lebih memahami metode ini, misalkan diberikan sebuah persamaan integral Volterra tipe kedua sebagai berikut:

= ex+1 2 e

2x_{−1 −} 2_{( )} 0

. (2.16) dengan

= +1 2 (

2 ₋₁₎

dan

� , = .

Penyelesaian eksak persamaan (2.16) adalah

= .

Berikut ini akan dicari penyelesaian dari

persamaan (2.16) dengan menggunakan

metode perturbasi homotopi. Selanjutnya didefinisikan operator � sebagai berikut

�[�] =� dan

� =� − �( , )�( )

0

sehingga berdasarkan persamaan (2.13)

diperoleh persamaan fungsi � sebagai berikut: � �,� = 1− � � ,� − 0

+� � ,� − ( ) − � , �( )

0

, atau

� �,� = 1− � � .� − 0

+� � ,� − �2 0

− −1

2

2 _{−1 . (2.17)}

dengan �( ,�) merupakan peyelesaian dari

� ,� = 1− � 0

− � − −1₂ 2 ₋₁

+ �2 ,�

0

. (2.18)

Misalkan penyelesaian persamaan (2.18) dinyatakan dalam bentuk:

� ,� = 0+� 1+�2 2+⋯. (2.19)

Jika persamaan (2.19) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.18), maka koefisien

�0_,�1_,�2_{,⋯ masing-masing memberikan}

sebagai berikut

0 = 0 , 1 =− 02 ,

0

2 =− ₀ 2 0 1 ,

dan seterusnya diperoleh 3 , 4 , dan ⋯.

(Lampiran 2)

Karena dipilih pendekatan awal sebagai berikut:

0 = ex+

1 2 e

2x_{−1 ,}

maka diperoleh:

1 =

1465 1152 −

3 8e

2x_x−1

3e

3x_x2₊1

9e

3x_x

+ex_x2_−ex_x− 1

16e

4x_x3₊ 1

32e

4x_x2 − 1

128e

4x_{x +}1

4e

2x_x3₋1

4e

2x_x2₋ 1

12x

4

dan seterusnya diperoleh pula 2( ), 3( ), 4( ), ⋯.

Berdasarkan persamaan (2.15), maka

hampiran penyelesaian dari persamaan (2.16) adalah

≈ex₊1

2 e

2x_{−1 +}1465

1152 − 3 8e 2x_x −1 3e

3x_x2₊1

9e

3x_{x + e}x_x2

+⋯

Perbandingan penyelesaian eksak persamaan (2.16) dan penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi diberikan pada Gambar 1. Pada Gambar 1 terlihat bahwa penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi terlihat sangat dekat untuk nilai tertentu.

Gambar 1 Perbandingan penyelesaian eksak

dan penyelesaian dengan menggunakan

III PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dibahas kegunaan

metode perturbasi homotopi untuk

menyelesaikan suatu masalah taklinear.

Metode ini akan digunakan untuk

menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua. Agar validitas metode ini terjamin, maka akan diberikan suatu contoh kasus dari persamaan integral fuzzy Volterra dan membandingkan penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian yang diperoleh dengan metode perturbasi homotopi.

3.1Analisis Metode

Dalam karya ilmiah ini akan digunakan

metode perturbasi homotopi untuk

menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua. Bentuk umum dari persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua diberikan pada persamaan (2.8). Perluasan dari konsep dasar metode perturbasi homotopi yang telah diuraikan di landasan teori memerlukan fungsi �( ,�,�) yang tidak hanya bergantung pada parameter dan �, tetapi juga bergantung pada parameter �

dengan 0 � 1. Misalkan fungsi �

dinyatakan sebagai berikut

� � ,�,� ,� = 1− � � ,�,� − �0 ,�

+� � ,�,� − ,� − � , � ,�,� − � , � ,�,� �

atau

� � ,�,� ,� =� ,�,� − �0 ,�

+� �0 ,� − ,� − � , � ,�,� − � , � ,�,�

� dan

� � ,�,� ,� = 1− � � ,�,� − � 0 ,�

+� � ,�,� − ,� − � , � ,�,� �

− � , � ,�,�

atau

� � ,�,� ,� =� ,�,� − � 0 ,�

+� � 0 ,� − ,� − � , � ,�,�

�

− � , � ,�,� (3.1) Selanjutnya, berdasarkan persamaan (3.1)

untuk nilai �= 0 diperoleh

� � , 0,� , 0 =� , 0,� − �0 ,�

dan

� � , 0,� ,� =� , 0,� − � 0 ,� .

(3.2) Kemudian untuk nilai �= 1 diperoleh persamaan berikut

� � , 1,� , 1 =� , 1,� − ,� − � , � , 1,�

�

− � , � , 1,� dan

� � ,�,� ,� =� , 1,� − ,� − � , � , 1,�

�

− � , � , 1,� (3.3) Misalkan fungsi �( ,�,�) dan �( ,�,�) masing-masing merupakan penyelesaian dari

� � ,�,� ,� = 0 dan � � ,�,� ,� = 0. Berdasarkan persamaan (3.1), maka akan diperoleh

� ,�,� =�0 ,�

+� ,� − �₀ ,� + � , � ,�,�

�

+ � , � ,�,� dan

� ,�,� =�0 ,�

+� ,� − �0 ,�

+ � , � ,�,� �

+ � , � ,�,� . (3.4) Fungsi �( ,�,� ,�) dan �( ,�,� ,�) tidak hanya bergantung pada parameter dan

�, tetapi juga bergantung pada parameter �. Berdasarkan persamaan (3.4), maka untuk

�= 0 diperoleh masing-masing penyelesaian dari persamaan � � , 0,� , 0 = 0 dan

� � , 0,� , 0 = 0 sebagai berikut

� , 0,� =�0 ,�

dan

� , 0,� =�0 ,� .

Selanjutnya, untuk �= 1 diperoleh

penyelesaian persamaan berikut

� , 1,� = ,� + � , � , 1,� �

+ � , � , 1,� dan

� , 1,� = ,� + � , � , 1,� �

+ � , � , 1,� (3.5) Berdasarkan metode perturbasi homotopi, fungsi �( ,�,�) dan �( ,�,�) dapat diasumsikan dalam bentuk deret pangkat dalam � berikut

� ,�,� = �� _� ,� , ∞ �=0 dan � ,�,� = �� _�( ,�) ∞ �=0 . (3.6)

Berdasarkan persamaan (3.6) dan

persamaan (3.4), maka akan diperoleh koefisien dari perpangkatan �. Koefisien �0 memberikan

0 ,� =�0( ,�)

dan

0 ,� =�0( ,�).

(3.7) Selanjutnya, koefisien untuk �1 _memberikan

1 ,� = ,� − �0 ,�

+ � , ₀ ,� �

+ � , 0 ,�

dan

1 ,� = ,� − �0 ,�

+ � , 0 ,�

�

+ � , 0 ,� .

8

Secara umum, koefisien ��+1 untuk � ≥1 memberikan

�+1 ,� = � , � ,� �

+ � , _� ,� dan

�+1 ,� = � , � ,�

�

+ � , _� ,� . (3.9) (Lampiran 3)

Dengan membuat nilai �= 1, maka akan diperoleh

,� = lim

�→1� ,�,� = � ,�

∞

�=0

dan

,� = lim

�→1� ,�,� = � ,�

∞

�=0

. (3.10) Dengan demikian apabila diberikan suatu persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua seperti pada persamaan (2.8), maka dengan menggunakan metode perturbasi homotopi

akan diperoleh hampiran penyelesaian

persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua sebagai berikut ,� ≈ _� ,� ∞ �=0 dan ,� ≈ _� ,� , ∞ �=0 (3.11) dengan _�( ,�) dan _�( ,�) diperoleh dari persamaan (3.8) dan persamaan (3.9) serta

0( ,�) dan 0( ,�) merupakan pendekatan

awal yang dipilih.

3.2 Aplikasi Metode

Tinjau persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua yang diberikan pada persamaan (2.8). Berdasarkan persamaan (2.9) dan persamaan (2.10), maka persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua dapat ditulis sebagai berikut: ,� = ,� + � , ,� � + � , ,� dan ,� = ,� + � , ,� � + � , ,� , (3.12) dengan �( , ) merupakan fungsi kernel. Nilai ditentukan berdasarkan nilai �( , )

taknegatif untuk � dan �( , )

takpositif untuk .

Untuk lebih memahami penggunaan

metode perturbasi homotopi pada persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua, maka berikut ini diberikan dua ilustrasi persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua dengan fungsi kernel yang berbeda. Pada kasus pertama fungsi kernel yang diberikan berupa fungsi linear dan pada kasus kedua diberikan fungsi kernel berupa fungsi trigonometri.

Kasus I: kernel berupa fungsi linear

Misal

� ,

= 2 1−2 , (3.13) dengan

0 1 dan 0 serta �= 0, = 1,

dan diberikan fungsi ( ,�) dan ,� sebagai berikut:

,� =� − 2 2

3�

3₋4

3

3₋1

2�

2

+ 2+ 1 12� − 1

12 (3.14) dan

,� = 2− � + 2 2

3�

3₋1

2�

2₊ 1

12� − 1 12 (3.15) Penyelesaian eksak untuk kasus 1 ini adalah:

dan

,� = 2− � . (3.17) Pada contoh ini, diperoleh nilai �( , )

taknegatif untuk 0 1

2 dan �( , )

takpositif untuk 1

2 , sehingga

diperoleh =1

2.

Berdasarkan persamaan (3.12), maka akan memberikan bentuk persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua dari persamaan (3.14) dan persamaan (3.15) sebagai berikut

,� = ,� + � , ,� 1 2 0 + � , ,� 1 2 dan ,� = ,� + � , ,� 1 2 0 + � , ,� 1 2 (3.18) Berdasarkan pendekatan metode homotopi yang telah diuraikan di awal, maka berdasarkan persamaan (3.4) akan diperoleh

penyelesaian persamaan homotopi dari

persamaan (3.18) sebagai berikut

�( ,�,�) =�0 ,� +�[ ,� − �0 ,�

+ � , � ,�,� 1 2 0 + � , � ,�,� 1 2 ] dan

�( ,�,�) =�0 ,� +�[ ,� − �0 ,�

+ � , � ,�,� 1 2 0 + � , �( ,�,�) ]. 1 2 (3.19)

Untuk memperoleh hampiran penyelesaian dari persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua, maka akan ditentukan terlebih dahulu koefisien dari perpangkatan �. Berdasarkan persamaan (3.7) -(3.9), diperoleh koefisien �0, dan �1 masing-masing memberikan

0 ,� =�0 ,� ,

1 ,� = ,� − �0 ,�

+ � , ₀ ,�

1 2

0

+ � ₁ , 0 ,� 2

. Secara umum diperoleh

�+1 ,� = � , � ,� 1 2 0 + � , _� ,� 1 2 . Selain itu, koefisien �0, dan �1 masing-masing memberikan

0 ,� =�0 ,� ,

1 ,� = ,� − �0 ,�

+ � , 0 ,� 1

2

0

+ � ₁ , 0 ,� 2

. Secara umum diperoleh

�+1 ,� = � , � ,� 1 2 0 + � , _� ,� 1 2

Selanjutnya, pilih pendekatan awal

�0 ,� = 0 dan �0 ,� = 0, maka akan

10

Berdasarkan uraian di atas, maka diperoleh

2 3 3 2 2

1

2 4 1

( , ) [ ]

3 3 2

u x r rxx rx  x  rx x , (3.20)

2 3 2

1

2 1 1 1

( , ) (2 ) [ ]

3 2 12 12

u x r  r xx rx  rx  r , (3.21)

2 2 4 5 5 6 6 7 8 9

4 2

23

23

49

25

5

4

( , )

280

280

2

36

36

24

24

10

18

21

x

rx

rx

x

rx

x

rx

rx

rx

rx

u

x r

 





x

















, (3.22)

2 2 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9

2

23 23 25 5 5 8 4

( , )

280 280 2 36 36 24 24 5 10 9 18 21 21

x rx rx x rx x rx x rx x rx x rx

u x r             

, (3.23)

2 2 5 5 6 6 7 8

3

8 9 9 10 10 11 11 12 12

13 13

149773

149773

23

23

23

23

( , )

127733760

127733760

840

840

560

560

10

216

61

103

7

43

43

47

47

216

72

504

480

480

405

810

315

630

16

8

,

231

231

x

rx

x

rx

x

rx

rx

x

u

x r

rx

x

rx

x

rx

x

rx

x

rx

x

rx

 





































(3.24),

2 2 5 5 6 6 7 7

3

8 8 9 9 10 10 11 12 13

149773 149773 23 23 23 23

( )

127733760 127733760 840 840 560 560 5 10

121 61 199 103 43 47 8

.

216 216 504 504 96 480 810 630 231

x rx x rx x rx x rx

u x

x rx x rx x rx rx rx rx

       

        

(3. 25), Dengan demikian, penyelesaian persamaan

integral fuzzy Volterra tipe kedua yang dinyatakan oleh persamaan (3.18) hingga orde tiga berbentuk

,� ≈ ₀ ,� + ₁ ,� + ₂ ,� + ₃ ,� ,

dan

,� ≈ 0 ,� + 1 ,� + 2 ,�

+ 3 ,� .

Dengan menggunakan software MAPLE

diperoleh grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian persamaan (3.18) seperti yang diberikan pada Gambar 2.

Gambar 2 Grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian persamaan (3.18)

Gambar 2 merupakan grafik terhadap

� dengan nilai 0 � 1. Berikut ini akan diberikan Tabel 1 yang merupakan selisih antara penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dengan orde tiga.

Tabel 1 Galat antara penyelesaian eksak dan metode perturbasi homotopi hingga orde 3

dengan =1

2.

r �

1

2;� − � ,� � 1

2;� − � ,�

0.0 1.9699e-006 2.5140e-002

0.1 1.7457e-006 2.2898e-002

0.2 1.5215e-006 2.0656e-003

0.3 1.2973e-006 1.8414e-003

0.4 1.0731e-006 1.6172e-003

0.5 8.4893e-007 1.3930e-003

0.6 6.2474e-007 1.1688e-003

0.7 4.0054e-007 9.4464e-003

0.8 1.7634e-007 7.2404e-003

0.9 4.7853e-008 4.9625e-003

1.0 2.7205e-007 2.7205e-004

Kasus II: kernel berupa fungsi trigonometri

Misal

� , = − , (3.26) dengan

0 �

2 dan 0 serta �= 0, =

�

2,

dan diberikan fungsi ( ,�) dan ( ,�) sebagai berikut:

,� = 2 �5_{+ 2� [3−3 cos −} 2_]

(3.27) dan

,� = 6 2− �3 _{[3−3 cos −} 2_]

(3.28) Penyelesaian eksak yang diberikan untuk kasus ini adalah sebagai berikut:

,� = 3 _�5_{+ 2� (3.29)}

dan

,� = 3 _6−3�3 _(3.30)

Pada contoh ini, nilai �( , ) selalu

bernilai taknegatif untuk 0 ,

Sehingga diperoleh nilai = .

Berdasarkan persamaan (3.12) akan

memberikan bentuk persamaan integral fuzzy

Volterra tipe kedua dari persamaan (3.27) dan persamaan (3.28) sebagai berikut

,� = ,� + � , ,� 0 dan ,� = ,� + � , ,� 0 . (3.31) Berdasarkan pendekatan metode homotopi

yang telah diuraikan di awal, maka

berdasarkan persamaan (3.4) diperoleh

penyelesaian persamaan homotopi dari

persamaan (3.31) sebagai berikut

�( ,�,�) =�₀ ,�

+� ,� − �0 ,�

+ � , �( ,�,�)

0

dan

�( ,�,�) =�0 ,�

+� ,� − �0 ,�

+ � , �( ,�,�)

0

. (3.32) Untuk memperoleh hampiran penyelesaian dari persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua yang dinyatakan pada persamaan (3.31), maka akan ditentukan terlebih dahulu koefisien dari perpangkatan �.

Berdasarkan persamaan (3.7)-(3.6), maka diperoleh koefisien �0, dan �1, masing-masing memberikan

0 ,� =�0 ,� ,

1 ,� = ,� − �0 ,�

+ � , ₀ ,�

0

.

Secara umum diperoleh

�+1 ,� = � , � ,� 0

12

Selain itu, koefisien �0_{, dan �}1

masing-masing memberikan

0 ,� =�0 ,� ,

1 ,� = ,� − �0 ,�

+ � , ₀ ,�

0

.

Secara umum diperoleh

�+1 ,� = � , � ,�

0

. Selanjutnya, dipilih pendekatan awal

�0 ,� = 0 dan �0 ,� = 0, sehingga

diperoleh 0 ,� = 0 dan 0 ,� = 0.

Berdasarkan uraian di atas, maka diperoleh

5 2

1

( , )

2(2

) (3

3

[ ])

u x r



r



r

x



x



Cos x

, (3.33)

3 2

1

( , )

6(2

) (3

3

[ ])

u x r





r x



x



Cos x

, (3.34)

4 2 2

2

3

( , )

(2

) (4( 3

)

(12

)

[ ]

[ ])

2

u

x r

 

r



r

x

 

x





x Cos x



xSin x

, (3.35)

3 2 2

2

9

( , )

( 2

) (4( 3

) (12

)

[ ]

[ ])

2

u x r



 

r x

 

x





x Cos x



xSin x

, (3.36)

4 2 2 4 2

3

1

( , )

(2

) (288( 3

) 3(288 25

)

[ ]

(69 10

)

[ ])

16

u x r

 

r



r x

 

x





x



x cos x



x



x sin x

(3.37)

3 2 2 4 2

3

3

( , )

( 2

) (288( 3

) 3(288 25

)

[ ]

(69 10 )

[ ])

16

u x r



 

r x

 

x





x



x cos x



x



x sin x

(3.38) Dengan demikian penyelesaian persamaan

integral fuzzy volterra tipe kedua yang dinyatakan oleh persamaan (3.31) hingga orde tiga berbentuk

,� ≈ ₀ ,� + ₁ ,� + ₂ ,� + ₃ ,� ,

dan

,� ≈ 0 ,� + 1 ,� + 2 ,�

+ 3 ,� .

Dengan menggunakan Software MAPLE

diperoleh grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua pada contoh ini seperti diberikan pada Gambar 3.

Gambar 3 Grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian.persamaan (3.31)

Gambar 3 merupakan grafik terhadap �

dengan nilai 0 � 1. Selisih dari

penyelesaian eksak dan hampiran

penyelesaian yang merupakan tingkat

kesalahan metode perturbasi homotopi yang diberikan pada Table 2.

Tabel 2. Galat antara penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan metode Perturbasi homotopi

untuk =�

4.

r

�

1

2;� − � ,� �

1

2;� − � ,�

0.0 0 4.4552e-003

0.1 1.1518e-004 3.4535e-003

0.2 2.3053e-004 3.4414e-003

0.3 3.4692e-004 3.4086e-003

0.4 4.6659e-004 3.3447e-003

0.5 5.9387e-004 3.2393e-003

0.6 7.3582e-004 3.0821e-003

0.7 9.0300e-004 2.8626e-003

0.8 1.1101e-003 2.5707e-003

0.9 1.3766e-003 2.1958e-003

IV SIMPULAN

Metode perturbasi homotopi merupakan salah satu metode analitik yang dapat

digunakan untuk menyelesaikan suatu

masalah taklinear. Dalam metode ini terdapat suatu parameter dan suatu fungsi yang dapat dipilih sembarang. Pemilihan kedua parameter ini dapat mengakibatkan perluasan daerah

kekonvergenan (daerah dimana nilai

penyelesaian hampiran mendekati nilai

penyelesaian eksak).

Salah satu aplikasi dari penggunaan

metode perturbasi homotopi adalah

penerapannya untuk menyelesaikan

persamaan integral fuzzy Volterra. Persamaan integral ini menggunakan konsep bilangan fuzzy sehingga persamaan tersebut dinyatakan dalam bentuk parametrik dengan parameter 0 dan 1.

Dengan menggunakan program MAPLE diperoleh grafik penyelesaian eksak dan

hampiran penyelesaian dari persamaan

integral fuzzy Volterra. Grafik yang diperoleh

menunjukkan bahwa penyelesaian yang

diperoleh dengan metode perturbasi homotopi sangat dekat dengan penyelesaian eksak untuk nilai variabel bebas tertentu.

Allahviranloo T, Khezerloo M, Ghanbari M, Khezerloo S. 2010.The Homotopy perturbation method for fuzzy Volterra integral equations. International journal of computational cognition, vol. 8, No.2.

Babolian,E, A. Davari. 2005. Numerical

implementation of Adomian

decomposition method for linear voltera integral equations of the second kind,

Appli. Math. Comput. 165, 223-227.

Dubois D, Prade H. 1982. Towards fuzzy

differential calculus:Part 3,

differentiation, Fuzzy Sets and System. 8:225-233.

Golberg M A. 1978. Solution Methods for Integral Equations: A Survey of

Numerical Methods for Integral Equation. Plennum Press, New York, 1-58.

He, J.H., 2000. A coupling method of homotopy technique and perturbation

technique for nonlinear problems.

International Journal Nonlinear Mechanic., Vol.35, No.1:37-43.

Jerri A J. 1985. Introduction to Integral Equation with Applications, Marcel Dekker Inc., New York.

Kusumadewi, S. 2002. Analisis dan Desain Sistem Fuzzy, Graha Ilmu.

Lampiran 1 Penurunan Persamaan (2.7)

Tinjau persamaan differensial biasa orde dua

" + ( ) ′+ ( ) = ( ). dengan kondisi awal berikut

� = 0, ′ � = ′0.

Jika persamaan differensial biasa di atas diintegralkan terhadap , maka diperoleh

′ _{=− ′} �

−

�

+ �

+ ′0,

atau

′ _{=− − −} ′ �

+ �

+ � ₀+ ′₀.

Jika persamaan differensial di atas diintegralkan untuk yang kedua kalinya, maka diperoleh

=− �

−

�

− ′ �

+

�

�

+ � 0+ ′0 − � + 0.

Karena

�

( ) �

= − �

maka persamaan untuk menjadi

=− + − − ′ �

+ − �

+ � 0+ ′0 − � + 0.

Misalkan

� , = − − ′ − , = −

�

� 0+ ′0 − � + 0.

Persamaan untuk ( ) menjadi

= + � , �

18

Lampiran 2 Penyelesaian Persamaan (2.16)

Tinjau persamaan (2.16) sebagai berikut:

= ex+1 2 e

2x_{−1 −} 2_{( )} 0

.

Persamaan tersebut merupakan persamaan integral volterra tipe kedua dengan

= ex₊1

2 e

2x₋₁

dan

� , = . Berdasarkan persamaan (2.18) diperoleh

� ,� = 1− � ₀ − � −ex₋1

2 e

2x_{−1 + �}2_{( ,�)} 0

. Misalkan penyelesaian persamaan integral tersebut dinyatakan sebagai berikut:

� ,� = 0 +� 1 +�2 2 +⋯+�� �( ). Jika persamaan (2.19) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.18), maka diperoleh

0 +� 1 +⋯

= 1− � 0 − � −ex−1

2 e

2x_{−1 +}

0 +� 1 +⋯ 2 0

. Koefisien �1 memberikan

1 =− 0 − −ex−

1 2 e

2x_{−1 +}

02 0

. Koefisien �2 memberikan

2 =− 2 0 1( ) 0

. Misalkan dipilih pendekatan 0 = ex+

1 2 e

2x_{−1 , maka diperoleh}

1 =

1465 1152 −

3 8e

2x_x−1

3e

3x_x2₊1

9e

3x_{x + e}x_x2_−ex_x− 1

16e

4x_x3₊ 1

32e

4x_x2 − 1

128e

4x_{x +}1

4e

2x_x3₋1

4e

2x_x2₋ 1

12x

4_.

2 =− 2 −(ex+

1 2 e

2x_{−1 )}1465

1152 − 3 8e

2x_x−1

3e

3x_x2₊1

9e

3x_{x + e}x_x2_−ex_x 0

− 1 16e

4x_x3₊ 1

32e

4x_x2₋ 1

128e

4x_{x +}1

4e

2x_x3₋1

4e

2x_x2₋ 1

12x

Dengan demikian penyelesaian persamaan (2.16) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi adalah

= 0 + 1 + 2 +⋯

atau

=−(ex₊1

2 e

2x_{−1 ) +}1465

1152 − 3 8e

2x_x−1

3e

3x_x2₊1

9e

3x_{x + e}x_x2_−ex_x −₁₆1 e4x_x3₊ 1

32e

4x_x2₋ 1

128e

4x_{x +}1

4e

2x_x3₋1

4e

2x_x2₋ 1

12x

20

Lampiran 3 Penurunan Persamaan (3.9)

Berdasarkan persamaan (3.4) berikut:

�( ,�,�) =�0 ,� +�[ ,� − �0 ,� + � , � ,�,�

� + � , �( ,�,�) ] dan

�( ,�,�) =�₀ ,� +�[ ,� − �₀ ,� + � , �( ,�,�) �

+ � , �( ,�,�) ]

Misalkan

� ,�,� = �� _�( ,�)

∞

�=0

� ,�,� = �� _�( ,�)

∞

�=0

Jika persamaan (3.6) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.4), maka diperoleh Untuk �= 1 diperoleh

0( ,�) +� 1( ,�)

=�0 ,�

+� ,� − �0 ,� + � , 0 ,� +� 1 ,�

�

+ � , 0( ,�) +� 1( ,�) . 0 ,� +� 1 ,�

=�₀ ,� +� ,� − ��₀ ,� +� � , ₀ ,� �

+� � , 0 ,� +�2 �( , )

�

1( ,�))

+�2 _{� ,}

1 ,� .

Koefisien �1 memberikan

1 ,� = ,� − �0 ,� + � , 0 ,�

�

Kemudian

0 ,� +� 1 ,�

=�0 ,�

+� ,� − �₀ ,� + � , ₀ ,� +� ₁ ,� �

+ � , 0 ,� +� 1 ,� .

0 ,� +� 1 ,�

=�0 ,� +� ,� − ��0 ,�

+� � , 0 ,� +� � , 0 ,�

�

+�2 �( , ) �

1 ,� +�2 �( , ) 1 ,� .

Koefisien �1 memberikan

1 ,� = ,� − �0 ,� + � , 0 ,� + � , 0 ,� .

� Untuk �= 2 diperoleh

0 ,� +� 1 ,� +�2 2( ,�)

=�0 ,�

+� ,� − �0 ,�

+ � , 0 ,� +� 1 ,� +�2 2( ,�)

�

+ � , ₀ ,� +� ₁ ,� +�2

2( ,�) .

0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,�

=�0 ,� +� ,� − ��0 ,�

+� � , 0 ,� +� � , 0 ,�

�

+�2 � , 1 ,� +�2 � , 1 ,�

� +�3 _{� ,}

2 ,�

�

+�3 _{�( , )}

22

Koefisien �2 _memberikan

2 ,� = � , 1 ,�

�

+ � , 1 ,� .

Kemudian

0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,�

=�0 ,�

+� ,� − �0 ,� + � , 0 ,� +� 1 ,� +�2 ,�

�

+ � , 0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,� .

0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,�

=�₀ ,� +� ,� − ��₀ ,�

+� � , 0 ,� +�2 �( , ) 1 ,�

� �

+�3 _{�( , )} 2 ,�

�

+� � , 0 ,� +�2 �( , ) 1 ,�

+�3 �( , ) 2 ,� .

Koefisien �2 memberikan

2 ,� = �( , ) 1 ,�

�

+ �( , ) 1 ,� .

Untuk �= 3 diperoleh

0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,� +�3 3 ,�

=�0 ,�

+� ,� − �0 ,�

+ � , 0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,� +�3 3 ,�

�

0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,� +�3 3 ,�

=�0 ,� +� ,� − ��0 ,�

+� � , ₀ ,� +�2 _{�( , )}

�

1 ,� +�3 �( , )

�

2 ,�

�

+�4 _{�( , )}

�

3 ,�

+� � , 0 ,� +�2 �( , ) 1 ,� +�3 �( , ) 2 ,�

+�4 _{�( , )}

3 ,� .

Koefisien �3 memberikan

3 ,� = �( , )

�

2 ,� + �( , ) 2 ,� .

Kemudian

0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,� +�3 3 ,�

=�0 ,�

+� ,� − �0 ,�

+ � , 0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,� +�3 3 ,�

�

+ � , 0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,� +�3 3 ,� .

0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,� +�3 3 ,�

=�₀ ,� +� ,� − ��₀ ,� +� � , 0 ,� +�2 �( , )

�

1 ,�

�

+�3 _{�( , )}

�

2 ,� +�4 �( , )

�

3 ,�

+� � , 0 ,� +�2 �( , ) 1 ,�

+�3 �( , ) 2 ,� +�4 �( , ) 3 ,� .

Koefisien �3 _memberikan

3 ,� = �( , )

�

24

Secara umum, untuk � ≥1 diperoleh

�+1 ,� = �( , )

�

Lampiran 4 Program Maple untuk Gambar 2

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

26

>

>

>

>

>

>

>

>

>

Lampiran 5 Program Maple untuk Gambar 3

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

Koefisien �2 _memberikan

2 ,� = � , 1 ,�

�

+ � , 1 ,� .

Kemudian

0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,�

=�0 ,�

+� ,� − �0 ,� + � , 0 ,� +� 1 ,� +�2 ,�

�

+ � , 0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,� .

0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,�

=�₀ ,� +� ,� − ��₀ ,�

+� � , 0 ,� +�2 �( , ) 1 ,�

� �

+�3 _{�( , )} 2 ,�

�

+� � , 0 ,� +�2 �( , ) 1 ,�

+�3 �( , ) 2 ,� .

Koefisien �2 memberikan

2 ,� = �( , ) 1 ,�

�

+ �( , ) 1 ,� .

Untuk �= 3 diperoleh

0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,� +�3 3 ,�

=�0 ,�

+� ,� − �0 ,�

+ � , 0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,� +�3 3 ,�

�

0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,� +�3 3 ,�

=�0 ,� +� ,� − ��0 ,�

+� � , ₀ ,� +�2 _{�( , )}

�

1 ,� +�3 �( , )

�

2 ,�

�

+�4 _{�( , )}

�

3 ,�

+� � , 0 ,� +�2 �( , ) 1 ,� +�3 �( , ) 2 ,�

+�4 _{�( , )}

3 ,� .

Koefisien �3 memberikan

3 ,� = �( , )

�

2 ,� + �( , ) 2 ,� .

Kemudian

0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,� +�3 3 ,�

=�0 ,�

+� ,� − �0 ,�

+ � , 0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,� +�3 3 ,�

�

+ � , 0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,� +�3 3 ,� .

0 ,� +� 1 ,� +�2 2 ,� +�3 3 ,�

=�₀ ,� +� ,� − ��₀ ,�

+� � , 0 ,� +�2 �( , )

�

1 ,�

�

+�3 _{�( , )}

�

2 ,� +�4 �( , )

�

3 ,�

+� � , 0 ,� +�2 �( , ) 1 ,�

+�3 �( , ) 2 ,� +�4 �( , ) 3 ,� .

Koefisien �3 _memberikan

3 ,� = �( , )

�

Secara umum, untuk � ≥1 diperoleh

�+1 ,� = �( , )

�

Lampiran 4 Program Maple untuk Gambar 2

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

Lampiran 5 Program Maple untuk Gambar 3

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>