MA1114 Kalkulus I 2
4.1 Konsep Turunan
c x
c f
x f
m
PQ
4.1.1 Turunan di satu titik
Pendahuluan dua masalah dalam satu tema
a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :
c fc
P
x fx
Q
x-c fx-fc
Jika x c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di
ttk P dgn kemiringan
c x
fc fx
m
c x
lim
MA1114 Kalkulus I 3
b. Kecepatan Sesaat
Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = ft. Pada saat t = c benda
berada di fc dan saat t = c + h benda berada di fc+h.
Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah
c c+h
Perubahan waktu Perubahan
posisi
s fc
fc+h
h c
f h
c f
v
rata rata
MA1114 Kalkulus I 4
Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :
Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk
Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema,
yaitu turunan
Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi didefinisikan sebagai berikut:
bila limit diatas ada
h c
f h
c f
v v
h rata
rata h
lim lim
c x
fc fx
v
c x
lim
c f
c x
fc fx
c f
c x
lim
MA1114 Kalkulus I 5
Notasi lain :
Contoh : Diketahui tentukan
, c
y dx
c df
x x
f 1
3 3
3
3
x f
fx lim
f
x
3 3
1 1
lim
3
x x
x
xx x
x
3 3
3 lim
3
9 1
3 1
lim
3
x
x
3 f
xx x
x
3 3
3 lim
3
MA1114 Kalkulus I 6
4.1.2 Turunan Sepihak
Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
bila limit ini ada.
Fungsi f dikatakan mempunyai turunandiferensiabel di c atau ada, jika
sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.
c f
c f
c x
c f
x f
c f
c x
lim
c x
fc fx
c f
c x
lim
c f
c f
c f
c f
_
dan
MA1114 Kalkulus I 7
Contoh : Diketahui
1
, 2
1 1
x x
x f
Selidiki apakah fx diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan
Jawab :
a.
b.
Jadi, f diferensiabel di x=1.
. 1
1 dan
f
1 f
1 1
1
1
x f
x f
lim f
x
1 1
2 1
3
2 1
x x
x lim
x
1
2 1
x x
x lim
x
1 1
1
1
x x
x lim
x
1 1
1
1
x f
x f
lim f
x
1 1
2 1
2 1
1
x x
lim
x
1 2
2
1
x x
lim
x
1 1
1 1
2
1
x x
x lim
x
MA1114 Kalkulus I 8
Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c f kontinu di c.
Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah
Perhatikan bahwa
Maka
Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh
contoh berikut.
lim c
f x
f
c x
c x
c x
c x
c f
x f
c f
x f
, .
lim lim
c x
c x
c f
x f
c f
x f
c x
c x
lim .
lim lim
c x
c x
c f
x f
c f
c x
c x
c x
. c
f c
f
= fc. Terbukti.
MA1114 Kalkulus I 9
Contoh Tunjukkan bahwa f x = | x | kontinu di x
= 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0 Jawab
Akan ditunjukkan bahwa fx=|x| kontinu di x=0
, ,
| |
x x
x x
x x
f
x f
lim
x
x lim
x
x f
lim
x
x lim
x
lim
x f
x
lim f
x f
x
f0 = 0
f kontinu di x=0
MA1114 Kalkulus I 10
x f
x f
lim f
x
1
x x
lim x
x lim
x x
x f
x f
lim f
x
. x
x lim
x x
lim
x x
1
Selidiki apakah f terdiferensialkan di x=0
1 1
f f
Karena
maka f tidak diferensiabel di 0.
MA1114 Kalkulus I 11
Contoh: Tentukan konstanta a dan b agar fungsi fx berikut diferensiabel di x=1
;
1
, 1
,
2
x ax
x b
x x
f
. lim
lim 1
1 1
x f
x f
f
x x
Jawab : Agar fx terdiferensialkan di x = 1, haruslah a. f kontinu di x = 1 syarat perlu
b. Turunan kiri = turunan kanan di x = 1 syarat cukup
f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan kontinu kanan di x = 1 atau
1 1
lim lim
1 2
1
a b
a b
a ax
b x
a
x x
MA1114 Kalkulus I 12
1 1
lim 1
1
x f
x f
f
x
2 1
1
a f
f
Maka diperoleh : a = 2 dan b = 1.
1
2
1
x a
b x
lim
x
1 1
2
1
x a
a x
lim
x
1 1
2 1
x x
lim
x
1 1
1
1
x x
x lim
x
2 1
1
x lim
x
1 1
lim 1
1
x f
x f
f
x
1
1
x a
ax lim
x
a x
x lim
a
x
1 1
1
MA1114 Kalkulus I 13
Soal Latihan
f x a x
x x
bx x
; ;
3 0 1
1
2
f x ax b
x x
x ;
;
2
2 1
2
2
f x x
x ax b
x ;
;
2
1 3
2 3
Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di titik yang diberikan.
, x = 1
,
x = 2
,
x = 3
1.
2.
3.
MA1114 Kalkulus I 14
4.2 Aturan Pencarian Turunan
Fungsi Turunan Pertama
Definisi 4.2 Misalkan f x terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan
pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai
atau jika h=t-x
bila limitnya ada.
Notasi lain , bentuk dikenal
sebagai notasi Leibniz.
x x
t x
f t
f x
f
x t
, lim
x h
x f
h x
f x
f
h
, lim
, ,
, ,
x f
D y
D dx
x df
dx dy
y
x x
dx dy
x f
MA1114 Kalkulus I 15
Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut :
1. Jika f x=k, maka
2.
3.
4.
5.
dengan gx 0.
R r
x r
dx x
d
r r
;
1
x g
x f
dx gx
fx d
x g
x f
x g
x f
dx x
g x
f d
2
x g
x g
x f
x g
x f
dx d
x g
x f
x
f
MA1114 Kalkulus I 16
Bukti aturan ke-4 Misal hx = fxgx
h x
h h
x h
x h
h
lim
h x
g x
f h
x g
h x
f
h
lim
h x
g x
f x
g h
x f
x g
h x
f h
x g
h x
f
h
lim
h x
f h
x f
h x
g h
x g
h x
g h
x f
h
lim
h x
f h
x f
h x
g h
x g
h x
g h
x f
h h
h h
lim lim
lim lim
x f
x g
x g
x f
x g
x f
x g
x f
MA1114 Kalkulus I 17
1 3
2
x
x x
f
2 2
2 2
1 2
6 1
x x
x x
2 2
2
1 3
2 1
1 x
x x
x .
x f
3.Tentukan turunan pertama dari
. x
x x
2 2
2
1 1
6
Contoh 1. Tentukan turunan pertama dari
4 3
2 3
x
x x
f Jawab :
2 .
3 3
2
x
x x
f
x x
6 3
2
2. Tentukan turunan pertama dari
3 2
1
2 3
x x
x x
f
Jawab : 2
2 1
3 2
3
3 2
2
x x
x x
x x
f
2 2
2 2
9 6
3
3 4
2 3
4
x
x x
x x
x 2
2 9
8 5
2 3
4
x
x x
x
Jawab :
MA1114 Kalkulus I 18
Soal Latihan
Tentukan fungsi turunan pertama dari
1 2
1
3
x x
x x
f
1 1
x
x x
f
1
2
x x
x f
1 1
2 2
x
x x
f
1
3 2
2 1
x
x x
f
1.
2.
3.
4.
5.
MA1114 Kalkulus I 19
Bukti:
a. Misal fx = sin x maka
x x
f x
x f
a cos
sin .
x
x f
x x
f b
sin cos
.
x t
x t
x f
x t
sin sin
lim
2 2
sin lim
. 2
cos lim
2
x t
x t
x t
x t
x t
x t
x t
x t
x t
2 sin
2 cos
2 lim
. cos
1 .
cos x
x
MA1114 Kalkulus I 20
b. Misal fx = cos x maka
h x
h x
x f
h
cos cos
lim
h x
x x
h
cos sinh
sin cosh
cos lim
h x
x
h
sinh sin
1 cosh
cos lim
h x
h h
x
h
sinh sin
2 sin
cos lim
2
sinh sin
4 2
2 sin
cos lim
2 2
h x
h h
h x
h
h x
h h
h x
h h
sinh lim
sin 4
2 2
sin lim
cos
2 2
x x
x sin
sin .
cos
MA1114 Kalkulus I 21
Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan
menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk uv
dx d
dx x
d c
x x
cos sin
tan .
x x
x
2 2
2
cos sin
cos
x
2
cos 1
x
2
sec
dx d
dx x
d d
x x
sin cos
cot .
x x
x
2 2
2
sin cos
sin
x
2
sin 1
x
2
csc
dx d
dx x
d e
x cos
1
sec .
x x
2
cos sin
x x
x cos
1 cos
sin
x x sec
tan
dx d
dx x
d f
x sin
1
csc .
x x
2
sin cos
x x
x sin
1 sin
cos
x x cot
csc
MA1114 Kalkulus I 22
4.4 Aturan Rantai