Konsep Turunan Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : Aturan Pencarian Turunan

MA1114 Kalkulus I 2

4.1 Konsep Turunan

c x c f x f m PQ   

4.1.1 Turunan di satu titik

Pendahuluan dua masalah dalam satu tema

a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :

c fc P x fx Q x-c fx-fc Jika x  c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan c x fc fx m c x     lim MA1114 Kalkulus I 3 

b. Kecepatan Sesaat

Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = ft. Pada saat t = c benda berada di fc dan saat t = c + h benda berada di fc+h.  Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah c c+h Perubahan waktu Perubahan posisi s fc fc+h h c f h c f v rata rata     MA1114 Kalkulus I 4 Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c : Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi didefinisikan sebagai berikut: bila limit diatas ada h c f h c f v v h rata rata h lim lim        c x fc fx v c x     lim c f c x fc fx c f c x     lim MA1114 Kalkulus I 5 Notasi lain : Contoh : Diketahui tentukan , c y dx c df x x f 1       3 3 3 3 x f fx lim f x 3 3 1 1 lim 3    x x x      xx x x 3 3 3 lim 3 9 1 3 1 lim 3      x x 3 f xx x x 3 3 3 lim 3     MA1114 Kalkulus I 6

4.1.2 Turunan Sepihak

Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai : Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai : bila limit ini ada. Fungsi f dikatakan mempunyai turunandiferensiabel di c atau ada, jika sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c. c f c f    c x c f x f c f c x       lim c x fc fx c f c x       lim c f c f c f c f _    dan MA1114 Kalkulus I 7 Contoh : Diketahui      1 , 2 1 1 x x x f Selidiki apakah fx diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan Jawab : a. b. Jadi, f diferensiabel di x=1. . 1 1 dan  f 1 f 1 1 1 1       x f x f lim f x 1 1 2 1 3 2 1        x x x lim x 1 2 1     x x x lim x 1 1 1 1      x x x lim x 1 1 1 1       x f x f lim f x 1 1 2 1 2 1 1       x x lim x 1 2 2 1     x x lim x 1 1 1 1 2 1       x x x lim x MA1114 Kalkulus I 8  Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c f kontinu di c.  Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah  Perhatikan bahwa  Maka  Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut. lim c f x f c x   c x c x c x c f x f c f x f       , .              lim lim c x c x c f x f c f x f c x c x lim . lim lim c x c x c f x f c f c x c x c x         . c f c f   = fc. Terbukti. MA1114 Kalkulus I 9 Contoh Tunjukkan bahwa f x = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0 Jawab Akan ditunjukkan bahwa fx=|x| kontinu di x=0         , , | | x x x x x x f x f lim x       x lim x x f lim x      x lim x lim   x f x lim f x f x   f0 = 0    f kontinu di x=0 MA1114 Kalkulus I 10       x f x f lim f x 1          x x lim x x lim x x       x f x f lim f x . x x lim x x lim x x 1       Selidiki apakah f terdiferensialkan di x=0 1 1       f f Karena maka f tidak diferensiabel di 0. MA1114 Kalkulus I 11 Contoh: Tentukan konstanta a dan b agar fungsi fx berikut diferensiabel di x=1 ;        1 , 1 , 2 x ax x b x x f . lim lim 1 1 1 x f x f f x x       Jawab : Agar fx terdiferensialkan di x = 1, haruslah a. f kontinu di x = 1 syarat perlu b. Turunan kiri = turunan kanan di x = 1 syarat cukup f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan kontinu kanan di x = 1 atau 1 1 lim lim 1 2 1             a b a b a ax b x a x x MA1114 Kalkulus I 12 1 1 lim 1 1       x f x f f x 2 1 1      a f f Maka diperoleh : a = 2 dan b = 1. 1 2 1      x a b x lim x 1 1 2 1       x a a x lim x 1 1 2 1     x x lim x 1 1 1 1      x x x lim x 2 1 1     x lim x 1 1 lim 1 1       x f x f f x 1 1     x a ax lim x a x x lim a x      1 1 1 MA1114 Kalkulus I 13 Soal Latihan f x a x x x bx x ; ;          3 0 1 1 2 f x ax b x x x ; ;         2 2 1 2 2 f x x x ax b x ; ;          2 1 3 2 3 Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di titik yang diberikan. , x = 1 , x = 2 , x = 3 1. 2. 3. MA1114 Kalkulus I 14

4.2 Aturan Pencarian Turunan

 Fungsi Turunan Pertama  Definisi 4.2 Misalkan f x terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai  atau jika h=t-x bila limitnya ada.  Notasi lain , bentuk dikenal sebagai notasi Leibniz.        x x t x f t f x f x t , lim        x h x f h x f x f h , lim , , , , x f D y D dx x df dx dy y x x dx dy x f MA1114 Kalkulus I 15  Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut : 1. Jika f x=k, maka 2. 3. 4. 5. dengan gx 0.   R r x r dx x d r r    ; 1   x g x f dx gx fx d      x g x f x g x f dx x g x f d     2 x g x g x f x g x f dx d x g x f     x f MA1114 Kalkulus I 16 Bukti aturan ke-4 Misal hx = fxgx h x h h x h x h h lim     h x g x f h x g h x f h lim      h x g x f x g h x f x g h x f h x g h x f h lim                         h x f h x f h x g h x g h x g h x f h lim h x f h x f h x g h x g h x g h x f h h h h lim lim lim lim             x f x g x g x f   x g x f x g x f   MA1114 Kalkulus I 17 1 3 2    x x x f 2 2 2 2 1 2 6 1 x x x x      2 2 2 1 3 2 1 1 x x x x . x f      3.Tentukan turunan pertama dari . x x x 2 2 2 1 1 6      Contoh 1. Tentukan turunan pertama dari 4 3 2 3    x x x f Jawab : 2 . 3 3 2    x x x f x x 6 3 2   2. Tentukan turunan pertama dari 3 2 1 2 3     x x x x f Jawab : 2 2 1 3 2 3 3 2 2       x x x x x x f 2 2 2 2 9 6 3 3 4 2 3 4        x x x x x x 2 2 9 8 5 2 3 4      x x x x Jawab : MA1114 Kalkulus I 18 Soal Latihan Tentukan fungsi turunan pertama dari 1 2 1 3     x x x x f 1 1    x x x f 1 2   x x x f 1 1 2 2    x x x f 1 3 2 2 1    x x x f 1. 2. 3. 4. 5. MA1114 Kalkulus I 19 Bukti: a. Misal fx = sin x maka x x f x x f a cos sin .    x x f x x f b sin cos .     x t x t x f x t     sin sin lim 2 2 sin lim . 2 cos lim 2 x t x t x t x t x t        x t x t x t x t                  2 sin 2 cos 2 lim . cos 1 . cos x x   MA1114 Kalkulus I 20 b. Misal fx = cos x maka h x h x x f h cos cos lim     h x x x h cos sinh sin cosh cos lim     h x x h sinh sin 1 cosh cos lim     h x h h x h sinh sin 2 sin cos lim 2     sinh sin 4 2 2 sin cos lim 2 2 h x h h h x h     h x h h h x h h sinh lim sin 4 2 2 sin lim cos 2 2            x x x sin sin . cos     MA1114 Kalkulus I 21 Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk uv     dx d dx x d c x x cos sin tan .  x x x 2 2 2 cos sin cos   x 2 cos 1  x 2 sec      dx d dx x d d x x sin cos cot .  x x x 2 2 2 sin cos sin    x 2 sin 1   x 2 csc       dx d dx x d e x cos 1 sec .  x x 2 cos sin  x x x cos 1 cos sin  x x sec tan      dx d dx x d f x sin 1 csc .  x x 2 sin cos   x x x sin 1 sin cos   x x cot csc   MA1114 Kalkulus I 22

4.4 Aturan Rantai