Analisa Perbandingan Perhitungan Elemen Hingga Dengan Menggunakan Elemen Segitiga (Constant Strain Triangle) Dan Elemen Segiempat (Bilinear Quadrilateral)
ANALISA PERBANDINGAN PERHITUNGAN ELEMEN HINGGA
DENGAN MENGGUNAKAN
ELEMEN SEGITIGA (CONSTANT STRAIN TRIANGLE) DAN
ELEMEN SEGIEMPAT (BILINEAR QUADRILATERAL)
TUGAS AKHIR
Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil
Disusun oleh :
S A D V E N T M P U R B A
N I M : 0 8 0 4 0 4 0 4 6
S U B J U R U S A N S T R U K T U R
D E P A R T E M E N T E K N I K S I P I L
F A K U L T A S T E K N I K
U N I V E R S I T A S S U M A T E R A U T A R A
M E D A N
(2)
LEMBAR PENGESAHAN
ANALISA PERBANDINGAN PERHITUNGAN ELEMEN HINGGA
DENGAN MENGGUNAKAN
ELEMEN SEGITIGA (CONSTANT STRAIN TRIANGLE) DAN
ELEMEN SEGIEMPAT (BILINEAR QUADRILATERAL)
TUGAS AKHIR
Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil
Disusun oleh :
S A D V E N T M P U R B A
N I M : 0 8 0 4 0 4 0 4 6
Pembimbing
Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan NIP : 19561224 198103 1 002
Penguji I Penguji II Penguji III
Ir. Besman Surbakti Ir. Daniel Rumbi Teruna Ir. Torang Sitorus
NIP:19541012 198003 1 004 NIP:19590707 198710 1 001 NIP:19571002 198601 1 001
Mengesahkan :
Ketua Departemen Teknik Sipil Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara
Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan NIP : 19561224 198103 1 002 SUB JURUSAN STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN
(3)
STRAK
Penyusunan tugas akhir ini, merupakan pencarian nilai lendutan daripada balok dengan Metode Elemen Hingga, yakni dengan elemen segitiga dan elemen segiempat serta dibandingkan dengan nilai yang diperoleh secara eksak. Nilai matriks kekakuan disusun secara analitis dengan bantuan Microsoft Exel 2007.
Dalam Tugas Akhir ini, disajikan teori-teori dasar tentang Metode Elemen Hingga juga elemen segitiga dan elemen segiempat serta penurunan rumus untuk mencari lendutan. Pada akhir penulisan Tugas Akhir ini akan terlihat bagaimana perbandingan nilai lendutan yang diperoleh antara elemen segitiga, elemen segiempat dan secara eksak.
(4)
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena limpahan kasih karunia-Nya maka penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan judul “Analisa Perbandingan Perhitungan Elemen Hingga Dengan Menggunakan Elemen Segitiga (Constant Strain Triangle) Dan Elemen Segiempat (Bilinear Quadrilateral)”.
Tugas akhir ini ditulis dan disusun sedemikian rupa sebagai syarat dalam ujian sarjana Teknik Sipil bidang studi Struktur pada Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara, Medan. Penulis menyadari bahwa isi dari tugas akhir ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari sempurna karena keterbatasan pengetahuan penulis. Sehingga untuk penyempurnaanya maka penulis menerima saran dan kritik dari bapak dan ibu dosen serta dari rekan-rekan mahasiswa.
Penulis juga menyadari bahwa tanpa bimbingan, bantuan dan dorongan semangat dari berbagai pihak tugas akhir ini tidak mungkin dapat diselesaikan dengan baik. Sehingga dengan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan, selaku Ketua Jurusan Departemen Tekik Sipil Universitas Sumatera Utara, dan juga selaku dosen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu, tenaga dan pikiran untuk memberikan bimbingan dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
2. Bapak Ir. Syahrizal, MT, selaku Sekretaris Jurusan Departemen Tekik Sipil Universitas Sumatera Utara.
3. Bapak Ir. Syahril Dulman, selaku dosen wali sekaligus dosen pengajar saya selama saya menempuh studi.
4. Bapak/Ibu dosen pengajar Departemen Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara. 5. Seluruh pegawai administrasi yang telah memberikan baantuan dalam kemudahan
(5)
6. Kedua orangtuaku terkasih M. Purba dan R. br Silaban, yang telah mengasihi saya dengan segenap hati, yang telah membentuk saya dengan nasehat dan kasihnya, yang telah memberikan segala sesuatu yang ada pada dirinya demi anak-anaknya tercinta. Serta abang dan kakakku yang sangat kukasihi dan kubanggakan, Kak Hemia, Kak Anci, Lae Situmorang, Bang Pahala, Kak Ahon, Kak Perdian, Lae Barutu, Bang Saur, Kak Mangidup, Kak Ardi, Lae Tobing, Kak Deora dan Lae Siahaan yang telah menjadi pendorong semangat dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Tugas akhir ini kupersembahkan untuk untuk keluargaku yang sangat aku banggakan.
7. Pemimpin kelompok kecilku “Biji Sesawi” Bang Adrianto dan kawan kelompok kecilku yang telah banyak memberi bimbingan dan dorongan semangat untuk terus berjuang dan berkarya sehingga saya tetap berdiri teguh dan bersemnagat untuk terus berkarya buat Tuhan
8. Teman kebaktian kelompok sel gereja, Kak Henny dan teman-teman yang selalu berdoa dan memberi dukungan semangat. Terimakasih atas doa-doa yang selama ini sangat memberkati. Semoga kita semua sama-sama bertumbuh di dalam Tuhan. 9. Rekan-rekan mahasiswa Departeman Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara
angkatan ‟08 khusunya ; Sahabatku Dapot, Sumanro, Ahmad, Arif yang selalu memberi support. Buat Handiman, Agus, Felix, Dini, Rosiva, Ayu, anak-anak struktur. Juga buat orang-orang yang selalu menjadi teman-teman belajar di silvia‟s room , yang telah memberikan dukungan pada penulis dalam meyelesaikan tugas akhir ini.
10.Rekan-rekan mahasiswa Departemen Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara dari seluruh angkatan yang telah banyak membantu baik dalam perkuliahan maupun memberikan masukan dalam tugas akhir ini.
(6)
Dengan kesadaran dalam keterbatasan dari ketidaksempurnaan bahwa tugas akhir ini tidak luput dari kesalahan baik dalam penulisan atau penyusunannya, maka dengan hati yang tulus mengucapkan maaf. Akhir kata penulis berharap tugas akhir ini berguna bagi semua pihak yang memerlukan.
Medan, Juli 2012
Sadvent M Purba 08 0404 046
(7)
DAFTAR ISI
Lembar Pengesahan ...
Abstrak ... i
Kata Pengantar ... ii
Daftar Isi ... v
Daftar Gambar ... viii
Daftar Notasi ... x
BAB I Pendahuluan ... 1
I.1. Umum ... 1
I.2. Latar Belakang Masalah ... 4
I.3. Tujuan ... 6
I.4. Pembatasan Masalah ... 6
I.5. Metodologi ... 6
I.6. Sistematika Pembahasana ... 7
BAB II Tinjauan Pustaka ... 8
II.1. Umum ... 8
II.2. Konsep Elemen Hingga ... 8
II.3. Sejarah Singkat Metode Elemen Hingga ... 12
II.4. Dasar-dasar Metode Elemen Hingga ... 13
II.4.1. Matriks dan Persamaan Penting ... 13
II.4.2. Teori Elastisitas ... 16
(8)
II.4.4. Interpolasi Polinomial ... 20
II.4.4.1. Elemen Simpleks satu dimensi ... 21
II.4.4.2. Elemen Simpleks dua dimensi ... 22
II.4.4.3. Elemen Simpleks tiga dimensi ... 25
BAB III METODE ANALISA & APLIKASI ... 27
III.1. Elemen Segitiga Isoparametrik dengan Tiga Node . ... 27
III.1.1. Elemen Segitiga dengan Tiga Node ... 27
III.1.2. Elemen Segitiga dalam Sistem Koordinat Lokal ... 43
III.1.3. Transformasi Koordinat Lokal ke Global ... 46
III.1.4. Gabungan/ Assemblage Elemen ... 48
III.1.5. Elemen Segitiga dalam Koordinat Natural ... 49
III.2. Elemen Quadrilateral Empat Node Isoparametrik ... 55
III.2.1. Koordinat Natural dari Elemen ... 55
III.2.2. Strain Elemen-Matriks Displacement ... 57
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 65
III.1. Umum ... 65
III.2. Elemen Segitiga (Constant Strain Triangle) ... 67
III.3. Elemen Segiempat (Linera Quadrilateral) ... 73
III.4. Perhitungan Secara Eksak ... 82
(9)
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN ... 85
V.1. Kesimpulan ... 85
V.2. Saran ... 87
Daftar Pustaka ... xii
(10)
DAFTAR GAMBAR
Gambar.1.1 : Elemen segitiga regangan konstan. ... 3
Gambar.1.2 : Elemen segiempat ... 3
Gambar.1.3 : Gambar sketsa ... 4
Gambar.1.4 : Pengerjaan dengan Elemen segitiga regangan konstan. ... 5
Gambar.1.5 : Pengerjaan dengan Elemen segiempat. ... 5
Gambar.2.1a : Struktur bidang dengan bentuk sembarang ... 9
Gambar.2.1b : Model elemen hingga yang mungkin pada struktur tersebut ... 9
Gambar.2.1c : elemen segiempat bidang dengan gaya-gaya titik kumpul phi dan qhi. Garis putus-putus memperlihatkan ragam deformasi sehubungan dengan peralihan arah x titik 3 ... 9
Gambar.2.2 : 2 Fungsi kombinasi dan elemen tipikal yang dapat digunakan untuk mendekatinya ... 10
Gambar.2.3 : Elemen balok ... 14
Gambar.2.4a : Struktur yang mempunyai tiga d.o.f. aktif (u1,u2,u3). “Elemen hingga” disini adalah pegas linier dengan kekakuan k1,k2,k3 ... 15
Gambar.2.4b : Gaya-gaya dan d.o.f. titik kumpul untuk elemen tipikal i 3 ... 15
Gambar.2.5 : Tegangan dan gaya benda persatuan volume yang bekerja pada elemen bidang yang sangat kecil, yang mempunyai tebal konstan t . Notasi koma menunjukkan turunan parsial ... 16
Gambar.2.6 : Pemodelan Ritz ... 19
Gambar.2.7 : Pemodelan dengan FEM ... 19
... Gambar.2.8 : Elemen simpleks satu dimensi ... 21
(11)
Gambar.2.9 : Elemen Simpleks Dua Dimensi ... 22
Gambar.2.10 : Elemen Simpleks Tiga Dimensi (Tetrahedron) ... 25
Gambar.3.1 : Elemen segitiga dengan penomoran Lokal ... 27
Gambar.3.2 : Tensile Stress pada bidang x dalam arah sumbu x ... 34
Gambar.3.3 : Normal stress dan shear stress pada bidang x dan y ... 34
Gambar.3.4 : Stress pada satu titik dalam kasus plane Strain ... 35
Gambar.3.5 : Contoh Stress Traksi ... 40
Gambar.3.6 : Elemen Segitiga Dalam Sistem Koordinat Lokal ... 43
Gambar.3.7 : Penggabungan 2 buah Elemen Segitiga... 48
Gambar.3.8 : Elemen Segitiga dalam Koordinat Global dan Koordinat Natural ... 50
Gambar.3.9 : Elemen Quadrilateral ... 55
(12)
DAFTAR NOTASI
A = Luas Penampang
[B] = Matriks dalam perhitungan Cx = Kosinus arah x suatu batang Cy = Kosinus arah y suatu batang Cz = Kosinus arah z suatu batang
{d} = Vektor dari perpindahan (displacement) du = Perpindahan sejauh u
dv = Perpindahan sejauh v
dx = Perpindahan titik kumpul arah x dy = Perpindahan titik kumpul arah y dz = Perpindahan titik kumpul arah z E = Modulus elastisitas
[E] = Modulus Elastisitas
{f} =Vektor dari gaya-gaya luar pada titik simpul F = Gaya Luar
Fx = Gaya sejajar sumbu x Fy = Gaya sejajar sumbu y Fz = Gaya sejajar sumbu z h = tebal elemen
i = Vektor satuan dalam arah sumbu x
j = Vektor satuan dalam arah sumbu y
k = Vektor satuan dalam arah sumbu z [K] = Matriks Kekakuan
(13)
k = koefisien kekakuan pegas
k = Vektor satuan dalam arah sumbu z L = Panjang elemen
M = Momen lentur P = Gaya batang
Rx = Reaksi perletakan dalam arah sumbu x Ry = Reaksi perletakan dalam arah sumbu y Rz = Reaksi perletakan dalam arah sumbu z T = Torsi pada batang
U = Energi
V = Potensial dari gaya luar
v = poison ratio dari material
= Energi Potensial Total
i = Suatu fungsi
= Tegangan Normal {} = vektor stress (tegangan)
= Tegangan Geser
= Regangan Normal {} = vektor strain (regangan)
(14)
STRAK
Penyusunan tugas akhir ini, merupakan pencarian nilai lendutan daripada balok dengan Metode Elemen Hingga, yakni dengan elemen segitiga dan elemen segiempat serta dibandingkan dengan nilai yang diperoleh secara eksak. Nilai matriks kekakuan disusun secara analitis dengan bantuan Microsoft Exel 2007.
Dalam Tugas Akhir ini, disajikan teori-teori dasar tentang Metode Elemen Hingga juga elemen segitiga dan elemen segiempat serta penurunan rumus untuk mencari lendutan. Pada akhir penulisan Tugas Akhir ini akan terlihat bagaimana perbandingan nilai lendutan yang diperoleh antara elemen segitiga, elemen segiempat dan secara eksak.
(15)
BAB I PENDAHULUAN I.1 Umum
Seiring dengan perkembangan teknologi, maka perencanaan bangunan sipil juga semakin sulit. Ini dapat terlihat di kota-kota besar. Selain bangunan sipil yang berupa bangunan gedung, terdapat juga bangunan-bangunan sipil bukan gedung, misalnya jembatan, menara pemancar, atau rangka-rangka bangunan baja yang lain, yang memerlukan perhitungan dan perencanaan yang lebih matang.
Metode Elemen Hingga (Finite Element Method) banyak memberikan andil dalam melahirkan penemuan-penemuan bidang riset dan industri, hal ini dikarenakan dapat berperan sebagai research tool pada eksperimen numerik. Metode Elemen Hingga (Finite Element Method) adalah metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan teknik dan problem matematis dari suatu gejala phisis.
Tipe masalah teknik dan matematis yang dapat diselesaikan dengan metode elemen hingga terbagi dalam dua kelompok, yakni kelompok analisa struktur dan kelompok masalah-masalah nonstruktur. Adapun tipe-tipe permasalah-masalahan struktur meliputi: analisa tegangan/stress (yakni analisa truss dan frame serta masalah-masalah yang berhubungan dengan tegangan-tegangan yang terkonsentrasi), buckling, analisa getaran. Problem non struktur yang dapat diselesaikan dengan metode ini meliputi: perpindahan panas dan massa, mekanika fluida termasuk aliran fluida lewat media porus, distribusi dari potensial listrik dan potensial magnet.
Dalam persoalan-persoalan yang menyangkut geometri yang rumit, seperti persoalan pembebanan terhadap struktur yang kompleks, pada umumnya sulit dipecahkan melalui matematika analisis. Hal ini disebabkan karena matematika analisis memerlukan besaran atau harga yang harus diketahui pada setiap titik pada struktur yang dikaji. Penyelesaian analisis
(16)
dari suatu persamaan diferensial suatu geometri yang kompleks, pembebanan yang rumit, tidak mudah diperoleh. Formulasi dari metode elemen hingga dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan ini. Metode ini akan mengadakan pendekatan terhadap harga-harga yang tidak diketahui pada setiap titik secara diskrit. Dimulai dengan pemodelan suatu benda dengan membagi-bagi dalam bagian yang kecil yang secara keseluruhan masih mempunyai sifat yang sama dengan benda yang utuh sebelum terbagi dalam bagian yang terkecil.
Setelah dekade delapan puluhan perekembangan metode ini sangat pesat, karena pada saat itu juga telah dikembangkan dan digunakan komputer untuk penyelesaian masalah numeriknya. Jika tidak menggunakan komputer, metode elemen hingga ini mungkin sampai sekarang tidak akan digunakan dalam perhitungan praktis, karena akan memerlukan waktu yang cukup lama dan keakuratan yang kuran baik. Kemudian setelah dikembangkan komputer maka metode ini menjadi maju sangat pesat dan menjadi alat yang handal bagi para praktisi teknik sipil untuk meyelesaikan berbagai permasalahan yang ada didalam perhitungan analisa struktur. Pada awalnya banyak dikembangkan bahasa pemrograman yang low level languange dengan diperkenalkannya bahasa assembly dan high level languange seperti Fortran, Basic, Pascal dan lain-lain.
Pada penulisan tugas akhir ini struktur yang ditinjau adalah elemen dua dimensi yakni perbandingan perhitungan dengan elemen segitiga regangan konstan (constant strain triangle) dan elemen segiempat (linear quadrilateral)
Elemen segitiga merupakan jenis elemen yang paling sederhana. Elemen semacam ini sering dinamakan elemen segitiga regangan konstan karena dapat dibuktikan regangan di setiap titik pada elemen tersebut adalah konstan. Matriks kekakuan dan matriks beban nodal konsisten dari elemen ini dapat diturunkan dengan menggunakan persamaan standar yang sederhana. Pada setiap nodal terdapat paling sedikit 2 derajat kebebasan yaitu u yang merupakan perpindahan di arah x dan v yang merupakan perpindahan di arah y. Dengan
(17)
demikian akan terdapat 3 derajat kebebasan masing-masing untuk u dan v yang dapat dinyatakan sebagai fungsi perpindahan polinomial dengan 3 buah konstanta.
Gambar 1.1 Elemen segitiga regangan konstan.
Untuk Elemen Quadrilateral, matriks B dari suatu elemen tidak tidak lagi merupakan konstanta yang dapat dikeluarkan dari integrasi, karena kedua matriks tersebut masih merupakan fungsi dari Koordinat natural s dan t
Gambar 1.2 Elemen segiempat.
1.2 Latar Belakang Masalah
Pekerjaaan dalam perencanaan teknik sipil dengan menggunakan perhitungan sruktur dua dimensi memerlukan waktu lama serta ketelitian yang cukup besar jika dilakukan secara manual dan terdapat juga ketidakpastian pemikiran antara perbandingan penggunaan elemen
(18)
segitiga dan elemen segiempat, elemen manakah yang lebih akurat atau tidak dipergunakan. Oleh karena itu, diperlukan suatu alat bantu yang dapat mempermudah pekerjaan dalam menyelesaikan perhitungan tersebut dan oleh karena itu dipakailah Program Microsoft Excel yang nantinya akan sangat membantu dalam mengerjakan perhitungan yang akan dibuat.
Adapun struktur dua dimensi yang akan dibahas, memiliki gambaran umum sebagai berikut:
200 mm
2000 mm
1000 mm
Gambar 1.3 Gambar sketsa
Kemudian, struktur ini akan dihitung dengan menggunakan elemen segitiga atau segiempat.
(19)
200 mm
2000 mm
1000 mm
Gambar 1.4 Pengerjaan dengan Elemen segitiga regangan konstan.
200 mm
2000 mm
1000 mm
Gambar 1.5 Pengerjaan dengan Elemen segiempat. I.3 Tujuan
Adapun tujuan penulisan tugas akhir ini adalah untuk membandingkan hasil yang diperoleh yaitu dengan perhitungan struktur jika menggunakan elemen segitiga regangan konstan (constant strain triangle) dan elemen segiempat (linear quadrilateral) serta membandingkannya dengan nilai secara eksak. Didalam tugas akhir ini juga akan dibahas seberapa besar keakuratan dari hasil perhitungan kedua elemen tersebut.
10000mm
(20)
I.4 Pembatasan Masalah
Pada tugas akhir ini, ditinjau suatu struktur dengan bentang yang cukup panjag dengan karakteristik tertentu. Yang menjadi batasan masalah adalah :
1. Model struktur bangunan adalah struktur dengan panjang, lebar dan tebal struktur yang tertentu.
2. Menganalisa Lendutan yang terjadi akibat beban.
Analisis struktur yang dilakukan adalah adalah dengan Finite Element Method untuk dua dimensi.
I.5 Metodologi
Metode yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah analisa yaitu dengan mengumpulkan data-data dan keterangan dari buku yang berhubungan dengan pembahasan tugas akhir ini serta masukan-masukan dari dosen pembimbing, untuk perhitungan tabel-tabel dan matriks dilakukan dengan bantuan progran Microsoft Exel 2007. Sedangkan untuk perhitungan gaya-gaya dalam yang terjadi pada komponen struktur dilakukan dengan Finite Element Method.
I.6 Sistematika Pembahasan
Penulisan tugas akhir ini dilakukan dengan sistematika pembahasan sebagai berikut : BAB I Pendahuluan
BAB II Tinjauan Pustaka
BAB III Metode Analisa & Aplikasi BAB IV Hasil dan Pembahasan BAB V Kesimpulan dan Saran
(21)
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA II.1 Umum
Dewasa ini pemodelan struktur sudah semakin kompleks. Tidak dapat dipungkiri karena pengaruh ilmu pengetahuan yang semakin maju dan selera masyarakat yang semakin berbeda sehingga memungkinkan terbentuknya pemodelan-pemodelan dengan struktur yang bervariasi dan semakin mendekati ambang batas keamanan dari struktur tersebut. Dengan demikian, untuk menjawab kebutuhan-kebutuhan tersebut maka diperlukan adanya alat yang dapat digunakan untuk membantu dan menjawab pesoalan tersebut yakni semakin berkembangnya program-program komputer yang dapat memodelkan berbagai bentuk struktur sampai dengan mengukur ketahanan dan kestabilan dari pemodelan struktur tersebut.
Pemograman komputer tersebut dibuat berbasiskan konsep perhitungan analisa struktur. Salah satunya adalah pemograman komputer yang berbasiskan perhitungan dengan konsep Elemen Hingga. Jadi, setiap pengerjaan data atau yang disebut dengan output dari pemograman komputer tersebut dihitung dengan konsep tersebut walaupun tidak dijabar secara mendetail setiap proses perhitungan sehingga mendapatkan hasil yang sedemikian rupa.
II.2 Konsep Elemen Hingga
Metode elemen hingga adalah prosedur numerik untuk memecahkan masalah mekanika kontinum dengan ketelitian yang dapat diterima oleh rekayasawan. Seperti terlihat dalam gambar 2.1(a) bahwa tegangan dan peralihan pada suatu struktur harus dicari, jawaban numeriknya tidak akan ada pada buku manapun. Metode-metode klasik menunjukkan bahwa masalah ini berupa persamaan differensial parsial, akan tetapi jawabannya tidak ada karena geometri dan pembebanannya terlalu kompleks. Secara praktis banyak sekali masalah yang terlalu kompleks untuk diperoleh jawaban tertutupnya (clos form solution). Untuk itu
(22)
diperlukan solusi numerik, dan salah satu yang cukup memadai adalah metode elemen hingga.
Gambar 2.1 (a) struktur bidang dengan bentuk sembarang
(b) model elemen hingga yang mungkin pada struktur tersebut
(c) elemen segiempat bidang dengan gaya-gaya titik kumpul phi dan qhi. Garis putus-putus memperlihatkan ragam deformasi sehubungan dengan peralihan arah x titik 3 [Konsep dan Aplikasi Metode Elemen Hingga. Robert D Cook, 1990]
Pada gambar 2.1(b) diperlihatkan metode elemen hingga. Daerah yang berupa segitiga dan kuadrilateral adalah elemen-elemen hingga. Titik-titik hitam adalah titik simpul (node) dimana elemen yang satu berhubungan dengan yang lainnya. Suatu jaring (mesh) adalah susunan titik simpul dan elemen. Bentuk jaring pada gambar tersebut diatas terdiri atas elemen segitiga dan kuadrilateral, ada yang mempunyai titik simpul pada sisinya dan ada pula yang hanya pada ujungnya.
Pada dasarnya, elemen hingga merupakan bagian-bagian kecil dari struktur aktual. Akan tetapi kita tidak dapat mengubah gambar 2.2 a menjadi gambar 2.2 b hanya dengan membuat potongan sembarang seperti potongan-potongan material yang terikat pada titik kumpul. Apabila terpotong demikian, struktur tersebut akan sangat melemah. Selain itu, potongan-potongan tersebut akan mempunyai konsentrasi regangan pada titik-titik kumpulnya dan akan cenderung menjadi tumpang tindih atau terpisahkan di sepanjang potongan. Jelasnya pada struktur aktual tidak akan terjadi demikian, jadi elemen hingga harus dapat berdeformasi dengan cara yang terbatas. Sebagai contoh, apabila ujung-ujung elemen dikendalikan untuk tetap lurus seperti yang terlihat pada gambar 2.1 (c) maka elemen yang bersebelahan dengannya tidak akan bertumpang tindih maupun terpisahkan.
Untuk memformulasikan suatu elemen, maka harus dicari gaya-gaya titik simpul (nodal forces) yang menghasilkan berbagai ragam deformasi elemen. Gaya-gaya ini dapat
(23)
dicari dengan teori dasar untuk elemen hingga “alami” seperti balok (beam) atau batang (bar). Akan tetapi untuk elemen-elemen yang didefenisikan dengan menggambarkan garis-garis pada suatu kontinum seperti gambar 2.1 (a), (b) dan (c) diperlukan prosedur baru.
Metode elemen hingga tidak dibatasi pada masalah-masalah mekanika struktural. Pada gambar 2.2 diperlihatkan bagaimana permukaan yang berubah secara halus dapat didekati dengan permukaan yang datar. Elemen bertitik simpul empat dan delapan yang masing-masing diperlihatkan dengan permukaan terpilin dan lengkung merupakan pendekatan yang baik ke fungsi situasinya. Pendekatan ini akan semakin baik apabila elemen yang digunakan semakin banyak.
Gambar 2.2 Fungsi kombinasi (x,y)dan elemen tipikal yang dapat digunakan untuk mendekatinya [Konsep dan Aplikasi Metode Elemen Hingga. Robert D Cook, 1990]
Di dalam suatu elemen segiempat pada gambar 2.2 adalah fungsi linier dari x dan y. Elevasi dan inklanasi elemen dapat didefenisikan dengan tiga harga titik simpul dari . Dua elemen tidak harus mempunyai elevasi dan kemiringan yang sama. Sketsa ini memperlihatkan esensi metode elemen hingga yaitu pendekatan bagian demi bagian untuk fungsi dengan menggunakan polinomial yang mana masing-masing terdefenisi pada daerah (elemen) yang kecil dan dinyatakan dalam harga-harga titik simpul dari fungsi tersebut.
Elemen adalah susunan materi yang mempunyai bentuk relatif teratur. Elemen ini akan mempunyai sifat-sifat tertentu yang tergantung kepada bentuk fisik dan materi
(24)
penyusunnya. Bentuk fisik dan materi penyusun elemen tersebut akan menyebutkan totalitas elemen tersebut. Totalitas sifat elemen inilah disebut dengan kekakuan elemen. Jika diperinci maka sebuah struktur mempunyai Modulus elastis (E), modulus geser (G), luas penampang (A), panjang (L), dan Inersia (I). Hal inilah yang salah satu perlu untuk dipahami di dalam pemahaman elemen hingga nantinya, bahwa kekakuan adalah fungsi E,G,A,L,I.
Sebagaimana telah didefenisikan para pendahulu-pendahulu, bahwa energi itu adalah kekal dan jika aksi (energi) dilakukan terhadap suatu materi, maka materi akan melakukan suatu reaksi sebesar aksi tersebut. Reaksi dari materi ini akan disebut dengan gaya dalam. Gaya dalam yang ada dalam struktur didefenisikan yaitu, gaya normal, gaya lintang dan gaya momen yang akan mempengaruhi bentuk fisik materi tersebut. Perubahan bentuk fisik materi ini disebut dengan peralihan (displacement). Metode elemen hingga adalah suatu metode pemaparan bagaimana perjalanan aksi hingga timbul reaksi dalam materi, atau metode untuk meramal besar reaksi dan reaksi apa yang timbul dari materi tersebut.
II.3 Sejarah Singkat Metode Elemen Hingga
Pada tahun 1906 dan tahun-tahun berikutnya para ahli riset mengusulkan metode “analogi lattice” untuk memecahkan masalah kontinum. Disini suatu kontinum didekati dengan jaring yang teratur yang terbentuk oleh jaring-jaring yang teratur yang terbentuk oleh batang-batang elastis. Selanjutnya metode ini berkembang menjadi metode untuk menganalisis struktur rangka. Pada tahun 1941, seorang ahli matematik Courant mengusulkan interpolasi polinomial bagian demi bagian pada daerah segitiga, sebagai cara untuk mendapatkan solusi numerik pendekatan. Courant memperkenalkan metodenya sebagai solusi Rayleigh-Ritz untuk masalah variasional. Inilah yang dikenal sebagai metode elemen
(25)
hingga dewasa ini. Apa yang dikerjakan Courant tersebut semula dilupakan orang, sampai pada suatu saat para rekayasawan berhasil mengembangkannya.
Pada waktu itu pendapat para ahli masih dianggap tidak praktis karena belum ada komputer yang dapat dipakai untuk melakukan perhitungan. Setelah tahun 1953, para rekayasawan menuliskan persamaan kekakuan dalam notasi matriks dan dapat memecahkan permasalahan tersebut dengan bantuan komputer digital. Makalah klasik yang ditulis oleh Turner, Clough, Martin dan Topp diterbitkan tahun 1956. Dengan makalah ini, ditambah dengan tulisan-tulisan lainnya mulailah terjadi kemajuan yang sangat pesat dalam pengembangan metode elemen hingga dalam bidang rekayasa. Nama „elemen hingga‟ disebutkan pertama kali pada tahun 1960. Sejak tahun 1963, metode ini mulai dikenal sebagai sesuatu yang sangat menarik dipelajari oleh para cendekiawan. Pada tahun 1967, banyak rekayasawan dan matematikawan yang bekerja dengan metode elemen hingga tetapi tidak saling memperhatikan. Pada tahun 1961 telah diterbitkan sepuluh makalah mengenai elemen hingga, 134 makalah pada tahun 1966 dan 844 pada tahun 1971. Pada tahun 1979, dua dekade setelah aplikasi rekayasa dimulai, jumlah komulatif publikasi mengenai elemen hingga telah melampaui 7000.
II.4 Dasar-dasar Metode Elemen Hingga II.4.1 Matriks dan Persamaan Penting
Derajat kebebasan (degree of freedom; d.o.f) didefenisikan sebagai peralihan atau rotasi suatu titik kumpul. Dengan demikian untuk sebuah elemen dengan d.o.f., dapat ditulisakn persamaan :
1 1
2 12 1
11d k d ... k d r
k n n
3 2
2 22 1
21d k d ... k d r
k n n
3 3
2 32 1
31d k d ... k d r
k n n
(26)
dimana di merupakan d.o.f ke i dan ri adalah gaya atau momen padanannya yang bekerja pada elemen, kij adalah koefisien kekakuan. Apabila diringkas menjadi bentuk matriks maka persamaan 2.1 dapat ditulis sebagai :
[k] {d} = {r} ...pers. 2.2
yang mana [k] adalah matriks kekakuan elemen, {d} adalah vektor peralihan titik simpul elemen dan {r} adalah vektor beban titik simpul elemen. Sehingga dapat diketahui bahwa
metode kekakuan atau disebut juga metode peralihan yang mana peralihan merupakan bilangan anu yang utama yang harus dihitung. Tegangan adalah variabel sekunder dan dapat dihitung dari peralihan. Metode peralihan merupakan bentuk yang populer dari metode elemen hingga di dalam mekanika struktur.
Untuk menjelaskan arti [k], maka tinjaulah gambar 2.3 maka persamaan 2.2 menjadi : [k]4x4 { w1 Ɵ1 w2 Ɵ2 } = {r} ...pers. 2.3
Apabila semua d.o.f adalah nol kecuali d.o.f yang ke j, dan apabila dj =1, terlihat bahwa {r} = {kij}, yaitu kolom ke- j dari matriks {k}. Jelasnya, kolom ke-j dari matriks {k} adalah vektor gaya-gaya (mungkin juga momen) harus diberikan pada elemen agar terjadi dj = 1, dan harus memenuhi keseimbangan statik di saat d lainnya nol. Pernyataan ini berlaku untuk setiap matriks kekakuan elemen. Dua dari empat ragam deformasi balok diperlihatkan dalam gambar 2.3(b) dan gambar 2.3(c). Gaya kij diperlihatkan pada gambar sebagai arah positif yang dimisalkan yaitu yang searah dengan d.o.f pada gambar 2.3 (a). Jelaslah bahwa
k31 dan k32 harus memenuhi tanda negatif. Untuk elemen yang sederhana ini, dari teori balok diperoleh kesimpulan bahwa kij dapat dinyatakan dalam L dan kekakuan lentur EI.
Gambar 2.3 (a) Elemen balok standar dengan d.o.f. nya {d}
(27)
(c) Ragam deformasi {d}= {0 1 0 0} dan gaya-gaya yang diperlukan ki2 [Konsep dan Aplikasi Metode
Elemen Hingga. Robert D Cook, 1990]
Interpretasi yang diberikan pada kolom [k] berlaku juga untuk taraf struktur. Pada gambar 2.4 dengan menerapkan satu satuan peralihan pada masing-masing titik kumpul secara bergantian, dan setiap kali peralihan dituliskan gaya yang diperlukan, maka kita peroleh matriks 4x4 yang berbentuk :
3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 ) 0 ( ) 0 0 ( 0 ) ( ) 0 ( 0 0 ) 0 ( ) ( 0 ) 0 0 ( ) 0 ( k k k k k k k k k k k k 4 3 2 1 u u u u = 4 0 0 R P ...pers. 2.4
Setiap garis putus-putus dalam persamaan 2.4 merupakan batas matriks kekakuan elemen, seperti yang terlihat dengan meninjau ui = 1, kemudian ui+1 =1, pada gambar 2.4 (b). Susunan suku-suku dalam persamaan 2.4 memperlihatkan bahwa matriks struktur dapat dibuat dengan menjumlahkan matriks-matriks elemen dengan cara yang tumpang tindih. Titik dalam gambar 2.4(a) ditahan dahulu terhadap gerakan; ini berarti u4 = 0. Dengan demikian persamaan yang menghubungkan d.o.f yang aktif adalah:
3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 k k k k k k k k k 3 2 1 u u u = 0 0 P ...pers. 2.5
Atau [K] {d} = {R} ...pers. 2.6
Matriks dalam persamaan 2.6 diberi nama yang sama dengan suku-suku yang sama dengan yang dipakai pada matriks dalam persamaan 2.3, hanya saja sebutannya menjadi “struktur” atau “global”, tidak lagi “elemen”
Gambar 2.4
(a) Struktur yang mempunyai tiga d.o.f. aktif (u1,u2,u3). “Elemen hingga” disini adalah pegas linier dengan
kekakuan k1,k2,k3
(b) Gaya-gaya dan d.o.f. titik kumpul untuk elemen tipikal i 3 [ Konsep dan Aplikasi Metode Elemen Hingga. Robert D Cook, 1990]
(28)
Persamaan 2.6 dapat dipecahkan untuk mencari {D}. Karena {d} untuk masing-masing elemen terkandung di dalam {D}, maka deformasi semua elemen dapat diketahui. Dari deformasi kita dapat menghitung tegangan. Dengan demikian solusinya sudah lengkap. Proses ini pada umumnya dapat diterapkan, tidak dibatasi pada elemen pegas atau batang saja.
II.4.2 Teori Elastisitas
Teori elastisitas banyak membantu dalam memahami pengertian metode elemen hingga. Pada gambar 2.5 diperlihakan elemen yang sangat kecil (differential element), bukan elemen hingga. Gaya-gaya benda Fx dan Fy mempunyai dimensi gaya persatuan volume dan dapat berasal dari gravitasi, percepatan, medan magnetik dan sebagainya. Gaya-gaya ini positif apabila bekerja dalam arah koordinat positif. Pada setiap volume (dV= 1 dx dy), Fx dan Fy menyebabkan gaya-gaya total FxdV dan FydV. Pada umumnya tegangan merupakan fungsi dari koordinat. Dengan demikian, sebagai contoh, x,x adalah laju perubahan x terhadap x, dan x,xdx merupakan perubahan x pada jarak dx. Keseimbangan gaya-gaya dalam arah-x harus terpenuhi yaitu:
x dy - xy t dx+(x + x.x dx) t dy + (xy+ xy dy) t dx + Fx t dx dy =0
...pers. 2.7
Gambar 2.5 Tegangan dan gaya benda persatuan volume yang bekerja pada elemen bidang yang sangat kecil, yang mempunyai tebal konstan t . Notasi koma menunjukkan turunan parsial. Sebagai contoh x.x = x / x 3
[Konsep dan Aplikasi Metode Elemen Hingga. Robert D Cook, 1990]
Dalam arah-y pun harus terpenuhi persamaan keseimbangan gayanya. Keduanya diperlihatkan dalam bentuk yang lebih sederhana di dalam gambar 3.6. Dalam tiga dimensi, vektor gaya bada adalah :
(29)
dan persamaan diferensial keseimbangannya adalah :
x.x +xy .y +zx.z + Fx =0
xy .x + y.y +yz .z + Fx = 0 ...pers. 2.9
zx .x +yz .y + z.z + Fx =0
II.4.3 Metode Elemen Hingga Rayleigh-Ritz
Sebenarnya metode Finite Element adalah modifikasi dari metode Ritz. Metode ritz sudah lama dikenal, namun setelah lama baru diketahui bahwa metode Finite Element adalah modifikasi metode Ritz.
Energi Potensial
= U (v) + V (u) minimum ...pers. 2.10
Dimana, = Energi Potensial Total
V = Potensial dari gaya luar (terjadi bila gaya luar benda mempunyai arah) U = Energi regangan (disebut juga reaksi)
Ritz V x a x
a
T n
i i i
1
) ( . )
(
...pers 2.11 Dimana 1 = suatu fungsi
v = lendutan
= minimum jika,
0
1
a
(i = 1,2,3, ..., n) atau
0
a
...pers 2.12
Pada suatu balok yang berlaku adalah :
dx x v d d I E U
L
. .
. 2
1 2
....pers. 2.13
L
j dx dV Mj vj Fj dx
v q
V . . . . .
(30)
l j j Mjv Fjvj dv qv Iv E ) ( 2 ) ' ( ) 2 '' . ( 2 1 ...pers. 2.15Dari persamaan 3.15 dan 3.14 diperoleh :
n i j n i n i n i xj i ai j xj i ai Fj dx i ai q dx i ai E1 ( ) 1 1
1 2
1 ( . '')2 ( .) [ . .( ) . . ( )]
}) { } { } { } { ( . } { } { } { } '' }{ '' { } { ) ( ) ( 2
1 E a a dx q a dx Fj j T a Mj j T a
j l
T T
T
}) ]{ } { } { } { ( . } { } { [ } .{ } '' }{ '' {{ } ) ( ) ( 21a E dx a q a dx Fj j T a Mj j T a
j l
T T
T
} { } { } ]{ [ } { 21 a T K a f T a
0 } { } ]{ [ } { f a K a ...pers. 2.16
Pada FEM (metode elemen hingga) akan dibagi dalam beberapa elemen. Untuk setiap elemen berlaku seperti gambar 2.6 dan 2.7
Ritz :
Gambar 2.6 Pemodelan Ritz
(31)
Gambar 2.7 Pemodelan dengan FEM
Pada metode elemen hingga, energi potensial dapat dijumlahkan dari sebuah elemen yang ada, sehingga menjadi bentuk persamaan :
[K] {d} – {f} = 0 ...pers. 2.17
II.4.4 Interpolasi Polinomial
Metode elemen hingga didasarkan atas konsep pendekatan dari fungsi-fungsi kontinyu (seperti temperatur, tekanan dan displacement) ke model diskrit. Bentuk yang sangat populer dari fungsi interpolasi adalah bentul polinomial. Derajat dari polinomial yang dipilih bergantung pada banyaknya item yang diketahui dari fungsi kontniyu pada setiap elemen. Terdapat tiga macam fungsi interpolasi yang dipakai dalam Metode Elemen Hingga yakni simpleks, kompleks dan multipleks. Dan akan dijelaskan dua macam pertama.
Elemen simpleks adalah pendekatan yang dilakukan dengan polinomial yang terdiri dari term(suku) konstan dan term linier. Banyaknya koefisien dalam polinomial sama dengan dimensi dari koordinat ruang yang ada ditambah satu. Sebagai contoh bentuk polinomial = a1 + a2 x + a3 y adalah fungsi simpleks untuk bidang dua dimensi dari elemen berbentuk segitiga. Polinomial tersebut linier dalam x dan y dengan tiga buah koefisien karena segitiga mempunyai tiga buah titik. Elemen kompleks adalah fungsi polinomial yang terdiri dari term konstan dan term-term linier atau term-term berderajat dua atau lebih. Variabel x dan y yang digunakan sebagai penyusun fungsi interpolasi biasanya diambil dari susunan segitiga pascal dibawah ini :
1
x y
x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x4 ... y4
(32)
Sebagai contoh fungsi interpolasi dari sebuah elemen segitiga dengan enam buah node dipilih : = a1 + a2 x + a3 y + a4 x2 + a5 x y + a6 y2
II.4.4.1 Elemen simpleks satu dimensi
Elemen simpleks satu dimensi merupakan segmen garis dengan panjang L, yang dibatasi oleh dua buah node pada kedua ujungnya. Persamaan interpolasi untuk elemen ini adalah :
= a1 + a2 ...pers. 2.18
Gambar 2.8 Elemen simpleks satu dimensi
Masing-masing koefisien dari fungsi interpolasi yang dipilih, ditentukan dari syarat batas yang diketahui dalam gambar 2.8
Pada x = xi, dan = i dan pada x = xj, dan = j. Substitusikan harga-harga ini ke persamaan 2.18
i = a1 + a2 xi
j = a1 + a2 xj
Dari kedua persamaan ini diperoleh masing-masing koefisien a1 dan a2
L x x
a1i jj i
L a21j i
Substitusikan kembali kedua harga ini kepersamaan 2.18 maka diperoleh :
x L L
x
x j i
i i j j i
) (
)
(
(33)
Atur kembali persamaan 3.19 dalam suku-suku i dan j diperoleh :
j i i
j
L x x L
x x
( ) ( ) ...pers. 2.20
Persamaan 2.20 diringkas menjadi :
= Ni i + Nj j ...pers. 2.21
Dimana
L x x
Ni j dan
L x x
N i
j
masing-masing adalah shape function dari fungsi
interpolasi yang dipilih.
II.4.4.2 Elemen simpleks dua dimensi
Elemen simpleks dua dimensi berupa sebuah segitiga seperti nampak pada gambar berikut ini.
Gambar 2.9 Elemen Simpleks Dua Dimensi
Persamaan interpolasi polinomial adalah:
= a1 + a2 . x + a3. y ...pers. 2.22 Perhatikan gambar 2.9 dapat dituliskan syarat batas berikut ini:
Pada x = xi , y = yi , harga = i Pada x = xj , y = yj , harga = j Pada x = xk , y = yk , harga = k
Substitusikan harga-harga ini ke persamaa 2.22, akan diperoleh sistem persamaan:
i = a1 + a2 . xi + a3. yi
(34)
k = a1 + a2 . xk + a3. yk
Dalam bentuk matrik sistem persamaan diatas ditulis menjadi :
3 2 1 3 2 1 1 1 1 a a a y x y x y x k k j j i i ...pers. 2.23
yang dalam bentuk simbol ditulis sebagai :
{} = [x] {a} ....pers. 2.24
Untuk menghitung matriks {a} dinyatakan dalam besaran lain, maka : {a} = [x]-1 {} dimana [x]-1 adalah invers dari matriks [x]
Hitung harga dari masing-masing a dari persamaan 2.24 akan dihasilkan:
3 2 1 3 2 1 1 1 1 k k j j i i y x y x y x a a a ...pers. 2.25
Persamaan 2.25 menghasilkan harga a masing-masing
] ) ( ) ( ) [( 2 1
1 xiyk xkyj i xkyi xiyk j xiyj xjyi k
A
a
] ) ( ) ( ) [( 2 1
2 yj yk i yk yi j yi yj k
A
a
] ) ( ) ( ) [( 2 1
3 xk xj i xi xk j xj xi k
A
a
Dimana: 2A = k k j j i i y x y x y x 1 1 1
dan A adalah luas elemen segitiga
Substitusikan masing-masing harga a1, a2, dan a3 ke persamaan 2.22 dan akan dihasilkan:
= N1i + N2 . j + N3. k ...pers. 2.26 Dimana N1, N2, dan N3 adalah shape function (faktor bentuk) yang masing-masing besarnya adalah :
(35)
N1 =
A
2 1
( ai + bi x + ci y ) dan
j k i
k j i
j k k j i
x x c
y y b
y x y x a
... pers. 2.26a
N2 =
A
2 1
( aj + bj x + cj y ) dan
k i j
i k j
k i i k j
x x c
y y b
y x y x a
... pers. 2.26b
N3 =
A
2 1
( ak + bk x + ck y ) dan
i j k
j i k
i j j i k
x x c
y y b
y x y x a
... pers. 2.26c
II.4.4.3 Elemen simpleks tiga dimensi
Elemen simpleks tiga dimensi. Merupakan elemen Tetrahedron, dengan bentuk seperti terlihat dalam gambar 2.10 berikut ini:
Gambar 2.10 Elemen Simpleks Tiga Dimensi (Tetrahedron)
Ke empat node yang ada dilabelkan dengan huruf-huruf i, j, k dan l dimana i, j, k dalam arah CCW (conter clock wise/lawan arah putar jarum jam) pada suatu bidang dan 1 pada lawan arah berlawanan pada bidang.
Fungsi interpolasi untuk tetrahedron adalah:
= a1 + a2 . x + a3. y + a4. z ...pers. 2.27 Koefisien a dalam persamaan diatas, ditentukan dari syarat batas atau kondisi nodal
i = a1 + a2 . xi + a3. yi + a4. zi
(36)
k = a1 + a2 . xk + a3. yk + a4. zk ...pers. 2.28
l = a1 + a2 . xl + a3. yl + a4. zl
Dalam bentuk matriks sistem persamaan diatas ditulis sebagai
{} = [C] {a} ...pers. 2.29
Dimana
{ }T = ( i j k l ) , dan { a }T = ( a1 a2 a3 a4 ) Dan
[ C ] =
l l l
k k k
j j j
i i i
z y x
z y x
z y x
z y x
1 1 1 1
Matriks koefisien {a} diperoleh dengan mengalikan persamaan 2.29 dengan matriks [ C ]-1, dari muka.
{a} x [ C ]-1. {} ...pers. 2.30 Persamaan 2.28 dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai :
4 3 2 1
] 1
[
a a a a z y x
...pers. 2.31
Substitusikan {a} dari persamaan 2.30 ke persamaan 2.31 diperoleh :
1 x y z.[C]1
...pers 2.32 Diringkas menjadi = [N] {}
(37)
BAB III
METODE ANALISA DAN APLIKASI III.1 Elemen Segitiga Isoparametrik dengan Tiga Node
Untuk keperluan analisa suatu continum yang berupa luasan, diperlukan pengambilan elemen berupa elemen berbentuk luasan pula. Bagian ini akan membahas permasalahan yang ada disekitar elemen segitiga dengan tiga node seperti matrik kekakuan elemen, Plain Strain dan Plain Stress serta vektor-vektor gaya yang bekerja pada elemen. Secara terperinci hal-hal yang disebutkan di atas akan ditinjau dalam sistem Koordinat Lokal, Global dan Sistem Koordinat. Akan dibandingkan apakah keuntungan dan kerugian dalam penggunaan setiap sistem koordinat yang dipakai.
III.1.1 Elemen Segitiga dengan Tiga Node
Perhatikan sebuah elemen segitiga dengan 3 node dalam gambar di bawah ini:
Gambar 3.1 Elemen segitiga dengan penomoran Lokal
Dalam urutan penomeran dilakukan dengan arah berlawanan dengan perputaran jarum jam (CCW). Elemen segitiga dalam gambar diatas disebut elemen Isoprametrik.
Elemen Isoparametrik adalah elemen yang menggunakan koefisien interpolasi yang sama antara fungsi displacement dan fungsi koordinat spasial.
Langkah 1 : Menentukan fungsi displacement
Koordinat lokal tiap dari tiap node dinyatakan dalam : u = untuk arah horisontal
(38)
koordinat lokal dalam kaitan dengan Koordinat Global dihubungkan lewat persamaan: u ( x , y ) = 1 + 2 x + 3 y ...pers 3.1 (a) v ( x , y ) = 1 + 2 x + 3 y ...pers 3.1 (b) Kenakan syarat batas bahwa:
Pada x = x1 , dan u = u1 Pada x = x2 , dan u = u2 Pada x = x3 , dan u = u3
Pada persamaan 3.1 a diperoleh sistem persamaan linier berikut: u1 = 1 + 2 x1 + 3 y1
u2 = 1 + 2 x2 + 3 y2 u3 = 1 + 2 x3 + 3 y3 Ketiga persamaan ini, dalam bentuk matriks ditulis sebagai :
3 2 1
3 3
2 2
1 1
3 2 1
1 1 1
y x
y x
y x
u u u
...pers. 3.2 Atau {q1} = [ A1 ] {}
dimana {q1} = Matriks Displacement Horisontal Lokal [ A1 ] = Matriks Absis Global
{} = Matriks Koefisien Demikian pula, syarat batas:
Pada y = y1 , dan v = v1 Pada y = y2 , dan v = v2 Pada y = y3 , dan v = v3 Yang dikenakan pada persamaan 3.1 (b) diperoleh :
3 2 1
3 3
2 2
1 1
3 2 1
1 1 1
y x
y x
y x
v v v
(39)
Untuk selanjutnya yang akan diturunkan hanya untuk u saja, sedangkan untuk v diambil analogi dengan hasil yang diperoleh dari u.
Dari persamaan 3.2 diturunkan :
{} = [ A1 ]-1{q1} ...pers. 3.4 Dimana [ A1 ]-1 adalah invers dari matriks [ A1 ]
1 1 3 3 2 2 1 1 1 _ min det int 1 1 1 A dari an er A dari ajo y x y x y x A
3 3 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 c c c b b b a a aA matriks ajoint ...pers. 3.4(a)
Dimana = dterminan dari matriks [ A1 ]
= (x2y3-x3y2) – (x1y3-x3y1) + (x1y2-x2y1) = 2 kali luas elemen segitiga
Catatan :
Ajoint dari satu matriks diperoleh dengan menghitung matrik kofaktor kemudian transpose pada hasil dari matriks kofaktor tersebut
3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 y x y x y xA matriks kofaktornya adalah :
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 1 2 1 2 2 1 1 3 1 3 1 3 3 1 2 3 2 3 2 3 3 2 x x y y y x y x x x y y y x y x x x y y y x y x
Transpose matriks ini (ubah baris menjadi kolom, dan kolom menjadi baris) diperoleh
1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2 x x x x x x y y y y y y y x y x y x y x y x y x
(40)
Matriks diatas diubah menjadi: 3 2 1 3 3 2 1 2 1 c c c b b b a a a Dimana :
a1 = x2 y3 - x3 y2 b1 = y2 - y3 c1 = x3 - x2 a2 = x3 y 1 - x1 y3 b2 = y3 - y1 c2 = x1 - x3
a3 = x1 y2 - x2 y1 b3 = y1 - y2 c3 = x2 - x1 ....pers. 3.5 Kembali kita tinjau persamaan 3.1(a) :
u = 1 + 2 x + 3 y
atau
3 2 1 1 y x u
atau u
1 x y
Substitusikan {} dari persamaan 3.5 ke persamaan ini, dan akan dihasilkan :
11 1
1 x y A q
u ....pers. 3.6
Dimana :
3 2 1 1 u u u q
Demikian pula untuk v (ordinat lokal)
21 1
1 x y A q
v
Dimana :
3 2 1 2 v v v q
Tinjau kembali persamaan 3.6 dengan syarat substitusi [ A1]-1 dari persamaan 3.5 (a)
3 2 1 3 2 1 3 3 2 1 2 1 1 1 u u u c c c b b b a a a y x u(41)
3 2 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 u u u y c x b a y c x b a y c x b a u
3 2 1 3 2 1 u u u N N Nu ....pers 3.7 (a)
3 2 1 3 2 1 v v v N N Nv ....pers 3.7 (b)
Dimana : N1 1
a1b1xc1y
N2 1
a2 b2xc2y
a b x c y
N3 3 3 3
1
Ni = shape function dari node ke-i
Gabungkan kedua persamaan 3.7 (a) dan 3.7 (b) diperoleh:
3 3 2 2 1 1 3 2 1 \ 3 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 v u v u v u N N N N N N N N ....pers. 3.8
Dalam bentuk simbol ditulis:
{u}= [ N ] {q} ...pers 3.8 (a)
Langkah 2: Menurunkan persamaan Strain dan Energi Strain
Sebelum menurunkan persamaan srai dan energi Strain terlebih dahulu akan dibahas defenisi dari Strain, Stress dan hubungan dari keduanya.
Anggap terjadi deformasi yang kecil pada suatu kontinum sejauh u, v dan w berturut-turut pada arah sumbu x, y dan z.
(42)
x u x , y v y z w z
...pers. 3.9Shearing Strain masing-masing:
x v y u xy y w z v yz z u x w zx ...pers 3.10 Kedua persamaan 3.9 dan 3.10 ditulis dalam bentuk matriks menjadi :
w v u x z y z x y z y x zx yz xy z y x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...pers. 3.11
Gambar 3.2 Tensile Stress pada bidang x dalam arah sumbu x
Gambar 3.3 normal stress dan shear stress pada bidang x dan y Untuk kasus uniaxial (lihat gambar 3.2) hubungan Stress-Strain adalah:
(43)
= E x ....pers. 3.11(a) Dimana E = modulus elastisitas
Dalam kasus ini Strain dalam arah y dan z tidak sama dengan nol, tetapi y= z = -v x Dimana v = poison ratio dari material
Plane Stress
Dalam kasus ini, komponen-komponen dari Normal Stress dan Shear Stress bekerja dalam dua arah saja (tidak pada arah sumbu z) sehingga:
z = zx = zy = 0 Hubungan antara Stress dan Strain adalah :
x y
x v
v E
) 1
( 2
y x
y v
v
E
) 1
( 2
xy xy
xy G
v
E
) 1 ( 2
Persamaan konstitutif dalam bentuk matriks dibentuk dari persamaan di atas adalah:
xy y x
xy y x
v v
v v
E
2 1 0 0
0 1
0 1
1 2 ....pers. 3.12
Atau dapat diringkas = c } ....pers. 3.12 a
Dengan = vektor stress/tegangan
c = matriks konstitusi untuk plane stress
(44)
Plane Strain
Gambar 3.4 Stress pada satu titik dalam kasus plane Strain Hubungan Stress – Strain dalam kasus ini adalah :
x y
x v v
v v
E
(1 )
) 2 1 )( 1 (
x y
y v v
v v
E
(1 )
) 2 1 )( 1 (
( ) ) 2 1 )( 1( x y x y
z v
v v
vE
xy xy xy G v
E
) 1 ( 2
Hubungan-hubungan di atas dalam bentuk matrik ditulis sebagai
xy y x xy y x v v v v v v v E 2 2 1 0 0 0 1 0 1 ) 2 1 )( 1 ( ...pers 3.13 Atau {} = [C] ( ) ...pers. 3.13 (a) Dimana [C] adalah matriks konstituif untuk kasus plane Strain
Tinjau kembali persamaan 3.9 dan 3.10 dalam bentuk diferensial parsial
x u x , y v y x v y u xy
(45)
v u x y y x xy y x 0 0 ...pers. 3.14 Substitusi v u
persamaan 3.8 ke persamaan terakhir ini:
x y y x xy y x 0 0 3 3 2 2 1 1 3 2 1 \ 3 2 1 0 0 0 0 0 0 v u v u v u N N N N N N ...pers. 3.15 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 v u v u v u x N y N x N y N x N y N x N y N y N x N x N x N xy y x 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 1 v u v u v u b c b c b c c c c b b b xy y x ...pers. 3.16
Besarnya b dan c lihat persamaan 3.5
Ingat = x2y3- x3y2– x1y3 - x3y1 + x1y2 - x2y1 = 2 kali luas elemen segitiga
Dalam bentuk simbol dapat ditulis :
(46)
Energi Strain
Energi Strain dari suatu continum dalam kasus perhitungan Plane Stre ss adalah:
d c U { }T[ ]{ }
2
1
...pers. 3.17
Dimana adalah volume kontinum dan [c] dinyatakan dalam persamaan 3.43 Substitusi persamaan 3.16(a) ke persamaan 3.17 diperoleh :
d q B c B q
U { }T[ ]T[ ][ ]{ } 2
1
...pers. 3.18
Diingatkan [A.B]T = [B]T.[A]T
Volume elemen d dalam persamaan 3.18 dapat diganti dengan d = h. dA
dimana h = tebal elemen dA = luas elemen
Masing-masing {q}T, [B]T , [c], dan [B] dan {q} bukan fungsi luasan dA , sehingga matriks-matriks tersebut dapat dikeluarkan dari tanda integral.
Persamaan 3.18 diubah menjadi:
A T
T
dA h q B c B q
U { } [ ] [ ][ ]{ } . 2
1
Jadi Energi Strain dari satu elemen segitiga adalah:
A h q B c B q
U { }T[ ]T[ ][ ]{ } . 2
1
...pers. 3.19
Dimana A= luas elemen =21 kali determinan
Langkah 3 : Menurunkan Fungsi Energi Akibat Pembebanan
Ada 3 jenis pembebanan yaitu : 1. Gaya terkonsentrasi pada node
(47)
3. Gaya berat dari elemen (body force)
Masing-masing jenis gaya tersebut di atas dijelaskan secara rinci sebagai berikut : 1. Gaya terkonsentrasi pada node (Node Force)
Energi potensial V akibat gaya F diberikan (dengan komponen Fx dan Fy) adalah : V : - Fx u - Fy v ...pers. 3.20 Energi potensial dari node 1 yang dikenai gaya (dengan komponen Fx1 dan Fy1 ) adalah : V1 : - Fx1 u1 - Fy1 v1 ...pers. 3.21 Kembangkanlah persamaan ini untuk semua node pada elemen maka diperoleh energi potensial akibat gaya terkonsentrasi pada node-node adalah:
T NF
NF q q
V { } { } ...pers. 3.22
Untuk elemen segitiga:
3 3 2 2 1 1
} {
y x y x y x
NF
F F F F F F
q
2. Gaya terdistribusi sepanjang sisi elemen
Gaya terdistribusi dapat berupa tiap satuan panjang sisi atau gaya tiap satuan luas permukaan (disebut vektor stress traksi = T ). Contoh dari vektor stress traksi nampak pada gambar 3.5 berikut ini:
Gambar 3.5 Contoh Stress Traksi Gaya yang bekerja pada luasan dA adalah:
(48)
n dA T F
d . . narahgayatraksi
Energi potensial akibat gaya dFadalah : (gunakan persamaan 3.21) adalah:
dAv T u dA T
dVT x Y
Dimana u dan v adalah komponen Displacement dai sembarang node pada elemen. Jika h adalah tebal elemen pada gambar 3.5 maka:
dS T T v u V
y x s
T
[ ]Substitusi [ u v ] dari 3.8 (a) ke persamaan ini didapatkan :
hdST T N q
V
y x T s
T T
]Ditinjau kembali : [ A . B ]T = [B]T. [A]T
Karena {q}T bukan fungsi dari S maka term ini dapat dikeluarkan dari integrasi, sehingga persamaan akhir dapat ditulis sebagai :
dST T N q
h V
y x T s
T T
] ...pers.3.233. Gaya berat dari elemen (Body Force)
Gaya yang dikenakan pada setiap massa elemen dari suatu kontinum disebut Body Force. Salah satu contoh dari body force adalah gaya gravitasi. Satuan dari body force adalah gaya/volume. Sebuah elemen yang dikenai gaya body Bx memiliki energi potensial :
v d B u Bd
dVBF y
h dA BB v u
y x
(49)
Dari persamaan terakhir diperoleh energi potensial sebesar :
dAB B N q h V y x T s T BF
] ...pers.3.24Langkah 4 : Jumlah Energi
Jumlah energi dari sebuah elemen terdiri dari energi Strain U dan energi akibat pembebanan (baik pembebanan tunggal pada node (VNF), energi dari body force (VBF) dan energi dari gaya traksi (VT).
Jadi = U + VNF + VBF + VT
dA B B N q h ds T T N q h F F F F F F q d q B c B q y x T A T y x T S T y x y x y x T T
] [ } { ] [ } { } { } ]{ ][ [ ] }[ { 2 1 3 3 2 2 1 1 ...pers.3.25Langkah 5: Penggunaan dari prinsip energi minimum
Pembebanan yang dihasilkan adalah
dA B B N h ds T T N h F F F F F F v u v u v u d B c B y x T A y x T S y x y x y x T
] [ ] [ ] ][ [ ] [ 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 ...pers. 3.26(50)
Atau [ k ] { q } = { Q }NF + { Q }T + { Q }BF ...pers. 3.26(a) Dimana :
[ k ] = [B]T . [c] . [B] h. A adalah mariks kekakuan elemen (pers. 3.26(b)) { q } = vektor displacement nodal elemen
{ Q }NF = vektor gaya pada node elemen
{ Q }T = vektor gaya resultan dari gaya terdistribusi pada sisi elemen { Q }BF = vektor gaya resultan dari distribusi body force
III.1.2 Elemen Segitiga dalam Sistem Koordinat Lokal
Sistem koordinat lokal hanya berlaku untuk titik-titik atau node pada elemen itu saja. Untuk elemen segitiga, biasanya node 1 diambil sebagai titik asal sistem koordinat dan sumbu x diambil pada sisi 1-2 dari elemen tersebut (lihat gambar berikut ini)
Gambar 3.6 Elemen Segitiga Dalam Sistem Koordinat Lokal
Langkah-langkah yang dilakukan seperti pada perhitungan dengan menggunakan Sistem Koordinat Global.
Langkah 1: Menentukan fungsi Displacement
(perhatikan, tanda bar diatas x dan y menandakan Koordinat Lokal)
Substitusi syarat batas dalam persamaan ini, seperti juga pada perhitungan dengan Koordinat Gloal diperoleh:
(51)
3 2 1 3 3 2 3 2 1 1 0 1 0 0 1 y x x U U U
Atau { q1 } = [ A1 ] {} ...pers. 3.27
Demikian pula untuk Displacement nodal v
1
3 2 1 A q v v v ...pers. 3.28
Dari persamaan 3.27 yakni { q1 } = [ A1 ] {} maka
{ } = [ A1 ]-1 {q1} ...pers. 3.27(a)
Maka kofaktor dari [ A1 ] adalah
2 2 3 2 3 3 3 2 0 0 0 x x y x x y y x
Transpose dari matriks terakhir ini disebut ajoint dari [ A1 ]
Ajoint [ A1 ] =
3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 3 3 2 0 0 0 c c c b b b a a a x x x x y y y x
Dimana a1 = x2y3 a2 = 0 a3 = 0 b1= -y3 b2 = y3 b3=0 c1=x3-x2 c2 = - x3 c3 = x2 determinan = 2 kali luas segitiga = 2. ½. x2. y3
Dari persamaan 3.28 diperoleh :
{ } = [ A1]-1 { q2} ...pers. 3.28(a)
11
1 . int
det 1
A ajo A
(52)
Substitusi persamaan 3.27(a) dan 3.28 (a) ke persamaan 3.26 didapatkan: 3 3 2 2 1 1 2 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 v u v u v u N N N N N N v u ...pers. 3.29 Dimana 3 2 2 3 2 3 1 ) ( ) ( y x x x y x x y
N
3 2 3 3 2 y x yx xy
N
3 2 2 1 y x yx N
Dalam bentuk simbolik persamaan 3.29 ditulis sebagai {u} = [ N ] {q} pers. 3.29(a)
Langkah 2 : Menurunkan Strain dan Energi Strain
Gunakan persamaan 3.46 dan 3.47
x y y x xy y x 0 0 3 3 2 2 1 1 3 2 1 \ 3 2 1 0 0 0 0 0 0 v u v u v u N N N N N N
(53)
3 3 2 2 1 1
2 3 3 3
2 3
2 3
2 3
3 3
3 2
0 0 0
0
0 0 0 0
1
v u v u v u
x y x y
x x
x x
x x
y y
y x
xy y x
diringkas menjadi : { } = [ B ] { q } ...pers. 3.30
Langkah 2 : Menentukan Persamaan energi akibat pembebanan
Langkah ini seperti yang pernah dijelaskan. Hanya saja harus diadakan transformasi dari Koordinat Global ke Koordinat Lokal. Untuk itu akan dijelaskan pada bagian berikutnya.
Langkah 4 : Penjumlahan energi yang timbul
Demikian pula untuk langkah 4 ini. Persamaan sebelumnya dapat dipakai, hanya saja Koordinat Global yang dipakai harus ditransformasikan ke Koordinat Lokal
Langkah 5 : Penggunaan dari prinsip energi Minimum
Persamaan dapat dipakai dengan catatan bahwa semua koordinat dinyatakan dalam Sistem Koordinat Lokal:
y x NF y
x NF y
x NF y
x y
x q Q Q Q
K] { } { } { } { }
[ ...pers.3.31
III.1.3 Transformasi Koordinat Lokal ke Global
Dari hasil pembahasan sebelumnya mengenai penggunaan Koordinat Global dan penggunaan Sistem Koordinat Lokal dapat ditarik kesimpulan bahwa matriks-matriks yang disajikan dalam Sistem Koordinat Lokal mempunyai elemen-elemen matriks yang lebih sederhana. Dengan alasan ini maka penggunaan Sistem Koordinat Global akan menimbulkan
round of error yang lebih besar dibandingkan dengan jika menggunakan Sistem Koordinat Lokal.
(54)
Di pihak lain, jika suatu kontinum dibagi menjadi banyak elemen, maka setiap elemen akan memiliki Sistem Koordinat Lokal yang hanya berlaku bagi dirinya sendiri. Hal ini tentu akan memepersulit perhitungan karena akan melibatkan banyak Sistem Koordinat Lokal.
Untuk mengatasi hal ini perlu dilakukan transformasi dari Sistem Koordinat Lokal ke global.
Matriks Transformasi Koordinat Global ke Lokal
cos sin sin cos T
Matriks Transformasi Koordinat Lokal ke Global
cos sin sin cos 1 T
yang merupakan invers atau Transpose dari matriks T
Catatan : Matriks T adalah Matriks Orthogonal sehingga T-1=TT
Untuk merotasikan sebuah bar (dengan 2 node pada ujung-ujungnya) diperlukan Matriks Transformasi berordo 4 x 4. Karena setiap node mempunyai 2 derajat kebebasan yaitu x dan y.
Untuk merotasikan sebuah elemen segitiga, diperlukan transformasi sebanyak 2 x 3 derajat kebebasan sehingga diperlukan matriks berordo 6 x 6 . Jadi transformasi gaya pada Sistem Koordinat Global dilakukan perhitungan sebagai berikut :
3 3 2 2 1 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 y x y x y x y x y x y x F F F F F F T T T F F F F F F ...pers.3.32
Dimana
cos sin sin cos 1
(55)
Secara simbolik persamaan 3.32 ditulis
{ Q }xy = [ T1*] [ Q ] ...pers.3.32(b) Untuk mentransformasikan matriks kekakuan
{ Q }xy = [ T1*] [ k ] [T1* ]T ...pers.3.33
III.1.4 Gabungan/ Assemblage Elemen
Perhatikan suatu continum yang dibagi menjadi 2 buah elemen segitiga dalam gambar berikut ini :
Gambar 3. 7 Penggabungan 2 buah Elemen Segitiga [Dasar-dasar metode Elemen Hingga, Yerri Susatio, 2004]
Elemen 1 : Berbatas node 1, 4 dan 3 Elemen 2 : Berbatas node 1, 2 dan 3
Node 1 : Diberi nomor 1 untuk Displacement datar global Diberi nomor 2 untuk Displacement tegak global Node 2 : Diberi nomor 3 untuk Displacement datar global
Diberi nomor 4 untuk Displacement tegak global Node 3 : Diberi nomor 5 untuk Displacement datar global
Diberi nomor 6 untuk Displacement tegak global Node 4 : Diberi nomor 7 untuk Displacement datar global
Diberi nomor 8 untuk Displacement tegak global
Matriks kekakuan Global adalah gabungan dari matriks kekakuan elemen-elemen penyusun dengan memperhatikan urutan di atas. Matriks kekakuan global berukuran 8 x8.
(56)
Perhatikan matrik berukuran 8 baris x 8 kolom pada halaman berikutnya. Yang diarsir tegak adalah matriks kekakuan elemen 2, sedangkan elemen 1 diwakili oleh elemen-elemen matriks dengan baris dan kolom bernomor 1,2,5,6,7,8 (diarsir datar).
Daerah yang diarsir tegak maupun datar (daerah overlap) berarti jumlah dari dua elemen atau dengan kata lain terdapat node-node yang sama yang juga dipakai oleh kedua elemen. Dalam gambar 3.17 diatas, ode global 1, 2, 5, dan 6 (lihat matriks dibawah) kedua sub matrik diarsir baik datar maupun tegak.
III.1.5 Elemen Segitiga dalam Koordinat Natural
Jika sebelumnya telah dibahas tentang penggunaan Sistem Koordinat Lokal dan Global, serta hubungan antara Sistem Koordinat Lokal-Global atau sebaliknya.
Bagian ini akan membahas tentang penggunaan sistem Koordinat Natural dalam menyatakan fungsi Displacement. Elemen segitiga yang dianalisa, bersifat Isoparametrik. Artinya koefisien-koefisien dari fungsi Displacement, sama dengan koefisien-koefisien yang dipakai dalam fungsi koordinat spasial/Shape function. Tahapan yang dilakukan dalam analisa dengan Sistem Koordinat Natural diperinci sebagai berikut :
(57)
Langkah 1 : Pemilihan Fungsi Displacement
Fungsi Displacement nodal dinyatakan dalam Koordinat Natural adalah: u = L1 u1 + L2 u2 + L3 u3
v = L1 v1 + L2 v2 + L3 v3 ...pers.3.34 mengingat bahwa L1 + L2 + L3 = 1 maka persamaan 3.34 dapat dinyatakan sebagai:
u = L1u1 + L2u2 + ( 1 - L1 - L2 ) u3
v = L1v1 + L2v2 + ( 1 - L1 - L2 ) v3 ...pers.3.34 (a) Dengan pertimbangan bahwa elemen yang diambil bersifat Isoparametrik, maka fungsi koordinat spasial, dapat dinyatakan sebagai :
x = L1 x1 + L2 x2 + L3 x3 ...pers.3.35 atau
x = L1 x1 + L2 x2 + ( 1 - L1 - L2 ) x3 ...pers.3.35 (a) dan = L1y1 + L2y2 + ( 1 - L1 - L2 ) y3 ...pers.3.35 (b)
Gambar 3. 8 Elemen Segitiga dalam Koordinat Global dan Koordinat Natural
Perhatikan dalam gambar 3. 8 diatas, bahwa L1 dinyatakan dalam arah tegak lurus sisi 1, L2 dinyatakan dalam arah sisi 2, dan L3 dinyatakan dalam arah tegak lurus pada sisi 3.
Langkah 2 : Penurunan Strain Elemen
(1)
IV. 3 Elemen Segiempat (Linear Quadrilateral)
KOORDINAT GLOBAL
91
1 2 11 12 21 22 31 32 41 42
3
2 19 20 37 38 55 56 73 74
21
100 cm 100 cm 100 cm 100 cm 100 cm 100 cm 100 cm 100 cm 100 cm 100 cm 25 cm
1000 cm
22 39 40 57 58 75 76 92
4
17 18 35 36 53 54 71 72 89 90 99
15 33 34 51 52 69 70 87 88 98
16 6
13 31 32 49 50 67 68 85 86 97
14
11 12 29 30 47 48 65 66 83 84 96
9 10 27 28 45 46 63 64 81 82 95
7 8 25 26 43 44 61 62 79 80 94
5 6 23 24 41 42 59 60 77 78 93
25 cm 25 cm 25 cm 25 cm 25 cm 25 cm 25 cm
(2)
IV. 5 Grafik dan Perbandingan
Secara Eksak Elemen Segitiga Elemen Segitiga Keterangan Titik tinjau
1 = -0,064285178 cm 1 = -0,087057419 cm 1 = -0,071008140 cm
= titik 12 = titik 20 2 = -0,064285178 cm 2 = -0,085233640 cm 2 = -0,07640210 cm
= titik 30 = titik 56
Grafik Perbandingan
: secara eksak : elemen segiempat : elemen segitiga
0 -0,064285178 -0,064285178 0 0 -0,087057419 -0,08523364 0 0 -0,07100814 -0,0764021 0 -0,12 -0,115 -0,11 -0,105 -0,1 -0,095 -0,09 -0,085 -0,08 -0,075 -0,07 -0,065 -0,06 -0,055 -0,05 -0,045 -0,04 -0,035 -0,03 -0,025 -0,02 -0,015 -0,01 -0,005 2,5E-16
(3)
0 -0,064285178 -0,064285178 0 0 -0,087057419 -0,08523364 0 0 -0,07100814 -0,0764021 0 -0,12 -0,115-0,11 -0,105-0,1 -0,095 -0,09 -0,085-0,08 -0,075-0,07 -0,065-0,06 -0,055 -0,05 -0,045 -0,04 -0,035-0,03 -0,025-0,02 -0,015 -0,01 -0,005 2,7E-16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
V.1 KESIMPULAN
1. Dalam tugas akhir ini dibuat suatu verifikasi yang digunakan untuk membandingkan hasil-hasil yang didapat dari perhitungan manual dan program Exel. Besarnya perpindahan yang didapat dengan pembagian Elemen Segitiga yakni 80 elemen dengan 55 titik global adalah : di titik 12 (titik tinjau 1) diperoleh u = -0,087057419 cm dan v = 0,191331061 cm dan di titik 32 (titik tinjau 2) diperoleh u = -0,08523364 cm dan v = 0,2201640 cm. Sedangkan untuk pembagian dengan Elemen Segiempat dengan 99 titik global adalah : di titik 20 (titik tinjau 1) diperoleh u = -0,07100814 cm dan v = 0,0102564 dan dititik 56 (titik tinjau 2) diperoleh u = -0,0764021 cm dan v = 0,0124371 cm
Secara Eksak Elemen Segitiga Elemen SegiEmpat Keterangan Titik tinjau
1 = -0,064285178 cm 1 = -0,087057419 cm 1 = -0,071008140 cm
= titik 12
= titik 20
2 = -0,064285178 cm 2 = -0,085233640 cm 2 = -0,07640210 cm
= titik 30
= titik 56
Grafik Perbandingan
(4)
2. Sedangkan dengan perhitungan secara eksak akan diperoleh perpindahan akibat gaya 1 = -8,035178 x 10-2 dan perpindahan akibat momen 2 = -5,62500 x 10-2. Sehingga besarnya diperoleh adalah 1 - 2 = -6,4285178 x 10-2 atau -0,064285178 cm
3. Adapun selisih antara setiap Elemen dengan nilai Eksak adalah : Selisih dengan Elemen Segitiga
Titik tinjau 1 = -0,087057419 cm – (-0,064285178cm ) = 0,022772319 cm Titik tinjau 2 = -0,08523364 cm – (-0,064285178cm ) = 0,020948462 cm Selisih dengan Elemen Segiempat
Titik tinjau 1 = -0,07100814 cm – (-0,064285178cm ) = 0,00672304 cm Titik tinjau 2 = -0,0764021 cm – (-0,064285178cm ) = 0,012116922 cm
4. Jika dibandingkan antara hasil yang diperoleh dengan cara perhitungan Exel dan eksak terdapat selisih. Dan nilai yang lebih mendekati adalah nilai Elemen Segiempat, yakni memiliki selisih paling kecil sebesar : 0,00672304 cm
5. Data yang di input ke dalam program Exel haruslah tepat. Kalau tidak tepat maka hasil keluaran output pasti akan salah juga.
6. Diperlukan tingkat konsentrasi dan ketelitian dalam melakukan perhitungan di Exel saat melakukan penjumlahan matriks sera perkaliannya agar kesalahan tidaklah besar.
(5)
V.2 SARAN
1. Perbedaan hasil dari perhitungan Microsoft Exel dengan perhitungan secara eksak disebabkan karena pembulatan koma .
2. Dalam mengerjakan soal Metode Elemen Hingga sangatlah diperlukan ketelitian dan tingkat konsentrasi agar meminimalkan kesalahan dalam penjumlahan atau penggabungan matris dari setiap elemen-elemen yang ada.
(6)
DAFTAR PUSTAKA
D Cook, Robert. 1990. Konsep dan Aplikasi Metode Elemen Hingga. Terjemahan Ir. Bambang Suryoatmono. Bandung: PT ERESCO.
Lumantarna Benjamin dan Benny santoso. 2000. Jurnal: Aplikasi Visual untuk Program Elemen Hingga dengan Elemen Segitiga dan Segiempat Subparametrik
dan Isoparametrik. Dimensi Teknik Sipil, Vol.2, No.2, Sepetember 2000 (77-82) Pinem, Mhd.Daud. 2010. Analisis Struktur dengan Metode elemen Hingga (Finite Element
Method). Bandung: Rekayasa Sains.
Sofia W. Alisjahbana. 1998. Jurnal: Elemen Segitiga untuk Masalah Elastisitas Dua Dimensi. Jurnal Teknik Sipil F.T. UNTAR/No.1 Tahun Ke IV – Maret/ 1998.
Susatio, Yerri Ir. 2004. Dasar-dasar Metode Elemen Hingga. Yokyakarta: Penerbit Andi. Utaja. 2005. Jurnal: Pembentukan Elemen dan Node untuk Mendukung Pemakaian Metoda
Elemen Hingga. Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XVI, Agustus 2005 (153-168)
Weaver, JR William dan Paul R Johnston. 1993. Finite Elements for Structural Analysis (Elemen Hingga untuk Analisis Struktur) . Terjemahan oleh Markus Rubijanto Kusuma. Bandung: PT. Eresco.