Menetukan Lintasan Terpendek Fuzzy dengan Metoda Rangking Fuzzy Sukamto dan Harison

  

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

Menetukan Lintasan Terpendek Fuzzy dengan Metoda

Rangking Fuzzy

  

Sukamto dan Harison

Matematika FMIPA Universitas Riau Pekanbaru

E-mail: amto_s@yahoo.co.id

  

Abstrak. Pada makalah ini dibahas tentang lintasan terpendek fuzzy, yaitu panjang

lintasan berbentuk bilangan fuzzy triangular. Suatu algoritma diusulkan untuk

menentukan lintasan terpendek fuzzy, yaitu menghitung lintasan dari verteks awal

menuju verteks terakhir dengan semua verteks harus dikunjungi. Pada algoritma tersebut

diterapkan operasi penjumlahan bilangan fuzzy triangular dan pendekatan rangking

fuzzy. Lintasan yang dihasilkan merupakan lintasan terpendek dari beberapa lintasan

yang mungkin terjadi.

  Kata Kunci. Bilangan fuzzy triangular, Lintasan terpendek fuzzy, Rangking fuzzy.

  yang mungkin dalam suatu jaringan

  PENDAHULUAN menggunakan logika fuzzy.

  Masalah lintasan terpendek banyak dijumpai pada jaringan, transportasi, METODE PENELITIAN komunikasi, dan lain-lain, yang

  Penelitian ini dilakukan dalam bentuk direpresentasikan dalam bentuk graf. studi literatur dari berbagai buku teks dan

  Algoritma pencarian lintasan tidak selalu jurnal dengan langkah-langkah sebagai berdasarkan pada data yang tepat, yaitu berikut: panjang lintasan selalu dalam bentuk a. bilangan riil. Sebagai contoh, misalkan Menentukan verteks awal dan memilih verteks-verteks adjasen dari verteks panjang lintasan bersifat fuzzy (p

  1 = kira-

  awal tersebut; kira 5), p = kira-kira 9, dan p = kira-kira

  2

  3 b.

  3). Sehingga untuk menentukan lintasan Menentukan lintasan terpendek dari verteks awal ke verteks-verteks adjasen terpendeknya memerlukan suatu teori. menggunakan rangking fuzzy. Untuk itu peranan teori fuzzy sangat c. penting dan perlu dikembangkan. Kunjungi verteks dengan lintasan terpendek, ulangi langkah (a) dan (b).

  Logika fuzzy diperkenalkan oleh Lotfi Zadeh dari Universitas California,

HASIL DAN PEMBAHASAN

  Berkeley, pada 1965. Masalah lintasan terpendek fuzzy telah dibahas oleh Klein

  Bilangan Fuzzy Triangular

  [2] dan Okada dan Gen [5]. Okada dan Bilangan fuzzy triangular A dinyatakan

  Soper [6] mengembangkan suatu dengan adalah himpunan algoritma yang didasarkan pada fuzzy A di yang fungsi pendekatan pelabelan ganda. Lin dan keanggotaannya adalah : Chen [3] menemukan panjang lintasan

  ( x  a ) /( b  a ), a  x  a  _{1 1 1 2}

  terpendek fuzzy pada jaringan dengan

  

   ( x ) ( a x ) /( a a ), a x a _{A }      _{3 3 2 2 3} (15) cara pendekatan pemrograman linear

   , x  a dan x  a _{1 3} 

  fuzzy.

  Misalkan A dan B adalah dua bilangan Dalam penelitian ini, diusulkan suatu fuzzy dengan A = (a , a , a ) dan B = (b ,

  1

  2

  3

  1

  algoritma untuk mencari lintasan

  b 2 , b 3 ), maka A  B = (a 1 , a 2 , a 3 )  (b 1 ,

  terpendek fuzzy di antara semua lintasan

  b 2 , b 3 ) Semirata 2013 FMIPA Unila |511

  

Sukamto dan Harison: Menetukan Lintasan Terpendek Fuzzy dengan Metoda

Rangking Fuzzy

  A  B  ( a  b , a  b , a  b ) _{1 1 2 2 3 3}

  (16) Perhatikan gambar berikut.Tentukan

  

Rangking Fuzzy lintasan terpendek dari verteks 1 ke

Metoda rangking fuzzy dikemukakan verteks 5.

  oleh [1], yang merupakan jarak antara titik centroid (x , y ) dan titik asalnya, yaitu : _{2 2} R ( A )  ( x )  ( y ) (17)

  Supp A x  ( x ) dx _A

  dimana atau

   x  Supp A  ( x ) dx _{A 3 3}  ₃ a ( a  a )  a ( a  a )  a ( a  a ) _{1 3 2 2 3 1 3 2 1} x 

  (18)

  3 ( a  a )( a  a )( a  a ) _{2 1 3 2 3 1}

  dan

  a  ₁ 4 a  a _{2 3} y  Penyelesaian.

  (19)

  3 ( a  ₁ 2 a  a ) _{2 3} Langkah 1. Inisialisasi : { Algoritma Lintasan Terpendek

  EL [u] = (0, , )

  Dalam mencari lintasan terpendek dari Visit[u] = False sumber (source) ke tujuan (destination), Pre[u] = null } semua lokasi yang ada harus dikunjungi.

  Langkah 2. Misalkan EL[1] = (0, 0, 0)

  EL [ ] : Edge Length (panjang lintasan)

  Pilih verteks berikutnya: (2, 3, 4, 5) Pre[ ] : Previous edge (lintasan

  Langkah 3. Tempatkan semua verteks sebelumnya) dalam Q. Visit[ ] : Kunjungi verteks

  Q = prioritas_queue(2, 3, 4, 5) Q : Queue

  Langkah 4. Pilih u = MinLen(Q) = 1 MinLen[ ]: Minimum Length (panjang minimum)

  Langkah 5. Tentukan semua v  Adj[1] Adj[ ] : Adjacent vertices (verteks

  Ada dua verteks adjasen untuk verteks adjacen) 1, yaitu verteks 2 dan verteks 3.

  W (u, v) : Weight (bobot)

  Langkah 6. Tentukan lintasan terpendek: Langkah 1. Inisialisasi : {

  Untuk R(1, 2) adalah :

  EL [v] = (0, , ) EL [1]  W(1, 2).

  Visit[v] = False Hitung jarak dengan rangking fuzzy

  Pre[v] = null } untuk R(1, 2): Langkah 2. Misalkan EL[s] = (0, 0, 0)

  R (EL[1]  W(1, 2)) = (0 ,0, 0)  (20,

  Pilih verteks berikutnya 23, 26)

  Langkah 3. Tempatkan semua verteks

  R (1, 2) = (20, 23, 26)

  dalam Nilai x dan y dihitung menggunakan persamaan (4) dan (5), diperoleh:

  Langkah 4. Pilih u = MinLen(Q) _{3 3 3}      20 (

  26 23 ) 23 (

  26 20 ) 26 (

  23 20 ) Langkah 5. Tentukan semua v

   Adj[u] x  3 ( 23  20 )( 26  23 )( 26  20 )

  Langkah 6. Tentukan lintasan terpendek:

  x  924 . 2593

  Langkah 7. Ganti EL[v] = EL[u]  W(u, v) dan Hapus (Q, v, EL[v]) dan Pre[v] = u

  20 4 ( 23 )

  26   y

   Langkah 8. Ulangi langkah 3.

  3 ( 20  2 ( 23 )  26 ) Sampai prioritas_queue kosong. y  .

  5 Langkah 9. Diperoleh hasil lintasan

  Sehingga dengan persamaan (3) terpendek. diperoleh

  Contoh Pembahasan ^{2 2} R

  ( 1 , 2 )  ( 924 . 2593 )  ( . 5 )

  R  ( 1 , 2 ) 924 . 2594

  

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

Semirata 2013 FMIPA Unila |513

  30 ^{3 3 3}   

  Sehingga diperoleh _{2 2} )

  y  5 . y

    

  30  

  4

  35 (

  2 30 ( 3 40 )

  35 (

  dan ) 40 )

  x  1178 3333 . x

       

  35 40 (

  4 , 2 ( 

  30 40 ( 35 )

  30 35 ( 40 )

  3 )

  35 40 (

  30 35 )( 30 40 )(

  Nilai x dan y dihitung menggunakan persamaan (4) dan (5), diperoleh: )

  R (2, 4) = (30, 35, 40)

  = (20, 23, 26)  (10, 12, 14)

  (2, 4) = R(1, 2)  W(2, 4))

  R

  Untuk R(2, 4) adalah : R(1, 2)  W(2, 4). Hitung jarak untuk R(2, 4):

  ( 5 . ) 3333 . 1178 ( ) 4 , R 2 (   ) 1178 3334 .

  R

  3 , 2 ( 

  x 2096  x

  R 2 ( 

  R 2096 ) 5 ,

  ( 5 . ) 2096 ( ) 5 , 2 (  

  Sehingga diperoleh _{2 2} )

  5 .  y

  42      y

  4

  48 (

  2 42 ( 3 54 )

  ) 54 ) 48 (

  dan

       

  Untuk R(2, 5) adalah : R(1, 2)  W(2, 5). Hitung jarak untuk R(2, 5):

  42 ^{3 3 3}   

  48 54 (

  42 54 ( 48 )

  42 48 ( 54 )

  3 )

  42 48 (

  42 54 )( 48 54 )(

  Nilai x dan y dihitung menggunakan persamaan (4) dan (5), diperoleh: )

  R (2, 5) = (42, 48, 54)

  = (20, 23, 26)  (22, 25, 28)

  (2, 5) = R(1, 2)  W(2, 5))

  R

  R

  R ) 750 0002 .

  Untuk R(1, 3) adalah : EL[1]  W(1, 3). Hitung jarak untuk R(1, 3):

  ) 46 ) 43 (

  R

  3 , 1 ( 

  R 1 (   ) 5932 4074 .

  ) ( 5 . ) 2593 . 924 ( ) 3 ,

   5 . y Sehingga diperoleh _{2 2}

  y

    

  40  

  4

  43 (

  2 40 ( 3 46 )

   5932 40741 . x dan

  Hapus vertex 1 dari Q dan Pre[2] = 1 Langkah 8. Ulangi langkah 3 sampai langkah 7.

        x

  40 ^{3 3 3}   

  43 46 (

  40 46 ( 43 )

  40 43 ( 46 )

  3 )

  40 43 (

  40 46 )( 43 46 )(

  Nilai x dan y dihitung menggunakan persamaan (4) dan (5), diperoleh: )

  R (1, 3) = (40, 43, 46)

  43, 46)

  R (EL[1]  W(1, 3)) = (0, 0, 0)  (40,

  Nilai R(1, 2) = 924.2594 dan R (1, 3) = 5932.4074. Sehingga R(1, 2) adalah terpendek. Langkah 7. Ganti d[1] = 924.2594.

  Langkah 3. Tempatkan semua verteks dalam Q.

  ( 5 . ) 750 ( ) 3 , 2 (  

  25 ^{3 3 3}          x

  Sehingga diperoleh _{2 2} )

   y

  y 5 .

    

  25  

  4

  30 (

  2 25 ( 3 35 )

  30 (

  dan ) 35 )

  750  x

  30 35 (

  Q = prioritas_queue(3, 4, 5)

  25 35 ( 30 )

  25 30 ( 35 )

  25 30 ( 3 )

  25 35 )( 30 35 )(

  )

  Nilai x dan y dihitung menggunakan persamaan (4) dan (5), diperoleh:

  R (2, 3) = (25, 30, 35)

   W(2, 3)) = (20, 23, 26)  (5, 7, 9)

  R (2, 3) = R(1, 2)

  Hitung jarak dengan rangking fuzzy untuk R(2, 3):

   Adj[2] Ada tiga verteks adjasen untuk verteks 2 di dalam queue, yaitu verteks 3, verteks 4, dan verteks 5. Langkah 6. Tentukan liontasan terpendek: R (1, 2)  W(2, 3).

  Langkah 4. Pilih u = MinLen(Q) = 2 Langkah 5. Tentukan semua v

  Nilai R(2, 3) = 750, R(2, 4) = 1178.3334, dan R(2, 5) = 2096. Sehingga R(2, 3) adalah terpendek.

  

Sukamto dan Harison: Menetukan Lintasan Terpendek Fuzzy dengan Metoda

Rangking Fuzzy

        x

  Ada satu verteks adjasen untuk verteks 4 di dalam queue, yaitu verteks 5. Langkah 6. Tentukan jarak R(4, 5)

  Langkah 7. Ganti d[2] = 750, Hapus vertex 2 dari Q dan Pre[3] = 2

  Dari hasil pembahasan dapat disimpulkan bahwa lintasan terpendek fuzzy dari lokasi sumber sampai lokasi tujuan dengan semua lokasi dikunjungi dapat ditentukan berdasarkan minimum dari verteks-verteks yang adjasen. Jarak lintasan terpendek fuzzy dapat dihitung menggunakan pendekatan rangking fuzzy. Di dalam pembahasan ini bilangan fuzzy yang digunakan adalah bilangan fuzzy triangular, disarankan untuk menggunakan bilangan fuzzy trapezoidal.

  KESIMPULAN

   Adj[5] Tidak ada satu verteks adjasen untuk verteks 5 di dalam queue, sehingga prioritas_queue kosong. Langkah 9. Diperoleh hasil lintasan terpendek, yaitu 1 – 2 – 3 – 4 – 5 dengan jarak 1783.3834.

  Nilai x dan y dihitung menggunakan persamaan (4) dan (5), diperoleh: )

  45 67 )( 47 67 )(

  45 47 (

  3 )

  45 47 ( 67 )

  45 67 ( 47 )

  47 67 (

  45 ^{3 3 3}   

   1783 3833 . x

  Q = prioritas_queue(4, 5)

  dan ) 67 )

  47 (

  2 45 ( 3 67 )

  47 (

  4

  45  

     y

   4854 . y

  Sehingga diperoleh _{2 2} ) 4854 . ( ) 3833 . 1783 ( ) 5 ,

  4 (  

  R ) 1783 3834 .

  5 , 4 ( 

  R Langkah 7. Ganti d[4] = 1783.3834.

  Hapus verteks 4 dari Q dan Pre[5] = 4 Langkah 8. Ulangi langkah 3. Langkah 3. Tempatkan semua verteks dalam Q.

  Langkah 4. Pilih u = MinLen(Q) = 4 Langkah 5. Tentukan semua v  Adj[4]

  Langkah 8. Ulangi langkah 3 sampai langkah 7. Langkah 3. Tempatkan semua verteks dalam Q.

  Langkah 4. Pilih u = MinLen(Q) = 5 Langkah 5. Tentukan semua v

  35 50 ( 42 )

  Langkah 8. Ulangi langkah 3 sampai langkah 7. Langkah 3. Tempatkan semua verteks dalam Q.

  Q = prioritas_queue(3, 4, 5)

  Langkah 4. Pilih u = MinLen(Q) = 3 Langkah 5. Tentukan semua v  Adj[3]

  Ada satu verteks adjasen untuk verteks 3 di dalam queue, yaitu verteks 4. Langkah 6. Tentukan jarak R(3, 4):

  Hitung jarak dengan rangking fuzzy untuk R(3, 4):

  R (3, 4) = R(2, 3)  W(3, 4))

  = (25, 30, 35)  (10, 12, 15)

  R (3, 4) = (35, 42, 50)

  Nilai x dan y dihitung menggunakan persamaan (4) dan (5), diperoleh: )

  35 50 )( 42 50 )(

  35 42 (

  3 )

  35 42 ( 50 )

  42 50 (

  Langkah 7. Ganti d[3] = 924.3334, Hapus verteks 3 dari Q dan Pre[4] = 3

  35 ^{3 3 3}   

        x 924 3333 .

   x

  dan

  ) 50 ) 42 (

  2 35 ( 3 50 )

  42 (

  4

  35      y

   5 . y

  Sehingga diperoleh _{2 2} )

  ( 5 . ) 3333 . 924 ( ) 4 , 3 (  

  R ) 924 3334 .

  4 , 3 (  R

  Q = prioritas_queue(5)

DAFTAR PUSTAKA

  R (4, 5) = (45, 47, 67)

  = (35, 42, 50)  (10, 15, 17)

  R (4, 5) = R(3, 4)  W(4, 5))

  C. H. Cheng. (1998). A New Approach for Ranking Fuzzy Numbers by Distance Method. Fuzzy Sets and

  Systems , Vol. 95, 1998 p. 307 – 317.

  Hitung jarak dengan rangking fuzzy untuk R(4, 5):

  

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

  C. M. Klein. (1991). Fuzzy Shortest Paths. Problems. Fuzzy Sets and Systems, Vol.

  Fuzzy Sets and Systems , Vol. 39, 125, 2002 p. 355 – 368.

  1991E p. 27 – 41.

  S. Okada and M. Gen. (1994). Fuzzy K. Lin and M. Chen. 1993. The Fuzzy Shortest Path Problem. Comput.

• – Shortest Path Problem and Its Most Industrial Eng., Vol. 27, 1994 p. 465 Vital Arcs. Fuzzy Sets and Systems, 468. Vol. 58(3), 1993 p. 343 – 353.

  S. Okada and T. Soper. (2000). A Shortest M. Blue, B. Bush and J. Puckett. (2002). Path Problem on a Network with Fuzzy

  Unfied Approach to Fuzzy Graph are Lengths. Fuzzy Sets and Systems, Vol. 109, 2000 p. 129 – 140.

  Semirata 2013 FMIPA Unila |515