1 2
3
4 5
6 7
3 2
4 1
3. Senarai Ketetanggaan Adjency Matrix Kelemahan matriks ketetanggaan adalah bila graf memiliki jumlah edge
relative sedikit, karena matriksnya bersifat jarang sparse, yaitu mengandung banyak elemen nol, sedangkan elemen bukan nol sedikit. Senarai ketetanggaan
mengenumerasi verteks yang bertetangga dengan setiap verteks di dalam graf. Contoh:
Gambar 2.17 Senarai ketetanggaan
2.2 Pewarnaan Graf
Teori pewarnaan graf merupakan suatu cabang teori graf yang mempelajari cara mewarnai suatu graf sedemikian sehingga tidak terdapat dua verteks saling
bertetangga pada graf tersebut yang berwarna sama. Terdapat beberapa metode pewarnaan graf, yaitu metode pewarnaan verteks, pewarnaan edge, dan pewarnaan
region Munir, 2007. Definisi 2.15 Pewarnaan verteks adalah pemberian warna pada verteks di dalam graf
sedemikian sehingga verteks-verteks bertetangga mempunyai warna yang berbeda. Contoh:
Gambar 2.18 Pewarnaan verteks Senarai
ketetanggaan 1: 2,3
2: 1, 3, 4 3: 1, 2, 4
4: 2, 3
Universitas Sumatera Utara
3 2
1
4
Merah
Biru Hijau
Pink Merah
Biru Hijau
Pink
2 3
4
5 6
1
Definisi 2.16 Pewaranaan edge adalah pemberian warna pada edge di dalam graf sedemikian sehingga edge-edge bertetangga mempunyai warna yang berbeda.
Contoh:
Gambar 2.19 Pewarnaan edge Definisi 2.17 Pewaranaan region adalah pemberian warna pada region di dalam graf
sedemikian sehingga region-region bertetangga mempunyai warna yang berbeda. Contoh:
Gambar 2.20 Pewarnaan region Berhubung metode pewarnaan edge dan region memiliki konsep yang mirip
dengan metode pewarnaan verteks, penulis hanya mempelajari metode pewarnaan verteks saja dalam penulisan ini. Pemberian sembarang warna pada verteks
diperbolehkan asalkan berbeda dengan verteks tetangganya.
2.3 Algoritma Tabu Search
Menurut Glover dan Laguna 1997 kata tabu atau “taboo” berasal dari bahasa Tongan, suatu bahasa Polinesia yang digunakan oleh suku Aborigin pulau Tonga
untuk mengindikasikan suatu hal yang tidak boleh “disentuh” karena kesakralannya.
Universitas Sumatera Utara
Tabu menunjukkan tidak bolehterlarang untuk dilakukan penting yang berkaitan erat dengan memori sosial dari suatu kelompok masyarakat. Menurut kasus
Webster, tabu berarti larangan yang dipaksakan oleh kebudayaan sosial sebagai suatu tindakan pencegahan atau sesuatu yang dilarang karena berbahaya.
Algoritma tabu search pertama kali diperkenalkan oleh Glover sekitar tahun 1986. Glover menyatakan bahwa tabu search adalah salah satu prosedur metaheuristik
tingkat tinggi untuk penyelesaian permasalahan optimisasi kombinatorial. Algoritma tabu search ini dirancang untuk mengarahkan metode-metode lain untuk keluar atau
menghindari ke dalam solusi optimal yang bersifat lokal. Kemampuan algoritma tabu search dalam menghasilkan solusi yang mendekati optimal telah dimanfaatkan dalam
beragam permasalahan di berbagai bidang seperti masalah pewarnaan graf. Struktur memori fundamental dalam algoritma tabu search dinamakan tabu
list. Tabu list menyimpan atribut dari sebagian move transisi solusi yang telah diterapkan pada iterasi-iterasi sebelumnya. Algoritma tabu search menggunakan tabu
list untuk menolak solusi solusi yang memenuhi atribut tertentu guna mencegah proses pencarian mengalami cycling pada daerah solusi yang sama, dan menuntun
proses pencarian menelusuri daerah solusi yang belum dikunjungi. Tanpa menggunakan strategi ini, local search yang sudah menemukan solusi optimum local
dapat terjebak pada daerah solusi optimum local tersebut pada iterasi-iterasi berikutnya.
Perekaman solusi secara lengkap dalam sebuah forbidden list dan pengecekan apakah sebuah kandidat solusi tercatat dalam list. Jadi, tabu list hanya menyimpan
langkah transisi move yang merupakan lawan atau kebalikan dari langkah yang telah digunakan dalam iterasi sebelumnya untuk bergerak dari satu solusi ke solusi
berikutnya. Dengan kata lain tabu list berisi langkah-langkah yang mengembalikan solusi yang baru ke solusi yang lama.
Universitas Sumatera Utara
Pada tiap iterasi, dipilih solusi baru yang merupakan solusi terbaik dalam neighbourhood dan tidak tergolong sebagai tabu. Apabila solusi baru ini memiliki
nilai fungsi objektif lebih baik dibandingkan solusi terbaik yang telah dicapai sebelumnya, maka solusi baru ini dicatat sebagai solusi terbaik yang baru.
Algoritma tabu search memiliki kemampuan untuk keluar dari solusi optimum lokal, tetapi tabu search tidak dapat menentukan optimum global. Algoritma tabu
search harus memiliki batasan maksimum jumlah iterasi dan ukuran tabu list yang ditentukan sendiri oleh individu yang menggunakan metode iniadministrator sistem.
Jumlah iterasi yaitu banyaknya iterasi yang akan dilakukan untuk mengeksplorasi berbagai space search area. Semakin besar jumlah maksimum iterasi, semakin besar
pula peluang untuk menentukan solusi optimal secara global, namun memerlukan waktu perhitungan yang lama.
Berikut ini merupakan prosedur algoritma dasar tabu search adalah sebagai berikut:
algoritma tabu search begin
T:= [ ]; x:=Pilih solusi awal;
x:=x repeat
Mencari solusi yang memenuhi x’ є Nx;
if fx’ fx then x:=x’ x:=x’;
Perbaharui Tabu list T; until kondisi berhenti terpenuhi:
End;
Universitas Sumatera Utara
Langkah-langkah algoritma dasar tabu search adalah sebagai berikut: 1. Pilih solusi awal x.
2. Cari subset dari N x neighborhood x yang tidak dalam Tabu list. 3. Mencari yang terbaik x dalam set N x.
4. Jika fx f x, maka set x = x. 5. Memodifikasi Tabu list.
6. Jika kondisi berhenti terpenuhi kemudian berhenti, maka pergi ke langkah dua.
Flowchart dari algoritma tabu search adalah sebagai berikut:
Gambar 2.21 Flowchart algoritma Tabu Search Hal-hal tersebut dapat dikatakan sebagai bahan dasar dari metode algoritma
tabu search yang nantinya akan digunakan untuk memecahkan masalah pewarnaan graf pada pembahasan selanjutnya.
Universitas Sumatera Utara
C
1
1 2
3 4
5 6
7 8
C
3
1 2
3 4
5 6
7 8
C
2
1 2
3 4
5 6
7 8
BAB 3 PEMBAHASAN
3.1 Masalah Pewarnaan Graf
Masalah pewarnaan graf merupakan konsep dari graf tak berarah. Diberikan suatu graf tak berarah GV, E, bagaimana mewarnakan n verteks dengan k warna tertentu
sedemikian sehingga dua verteks yang berdekatan menerima warna yang berbeda disebut masalah pewarnaan graf. Pada masalah pewarnaan graf yang menarik adalah
menentukan minimum jumlah warna atau pewarnaan optimal yang digunakan untuk mewarnakan graf Deo, 1986.
Gambar 3.1. Graf pewarnaan optimal Pada Gambar 3.1, pewarnaan pada C
1
menggunakan empat warna, pewarnaan pada C
2
menggunakan 3 warna dan pewarnaan pada C
3
hanya menggunakan dua warna saja yang merupakan pewarnaan optimal yaitu jumlah warna yang digunakan
untuk mewarnai verteks adalah minimum.
Universitas Sumatera Utara
2
1
6 5
3
4
7
2
1
6 5
3
4
7
2
1
6 5
3
4
7
Salah satu algoritma yang cukup dikenal secara luas untuk menangani permasalahan pewarnaan graf adalah algoritma Welch-Powell. Prosedur dari
algoritma Welch-Powell dan contohnya sebagai berikut:
Gambar 3.2 Graf dengan 7 verteks 1. Urutkan semua verteks berdasarkan derajatnya, dari derajat besar ke derajat
kecil yaitu 4, 2, 3, 6, 7, 1, 5. 2. Ambil warna pertama misalnya biru, warnai verteks pertama yang sudah di
urutkan berdasarkan derajatnya tadi.
3. Kemudian warnai verteks berikutnya yang tidak berdampingan dengan verteks pertama tadi dengan warna yang masih sama biru.
Universitas Sumatera Utara
2
1
6 5
3
4
7
4. Kemudian lanjutkan dengan warna ke dua, dan seterusnya sampai semua verteks telah diberi warna.
Gambar 3.3 Graf dengan 7 verteks dan 3 warna Di dalam teori pewarnaan graf, khususnya untuk metode pewarnaan verteks,
jumlah minimum warna yang dibutuhkan sedemikian sehingga dapat melakukan pewarnaan graf dinamakan bilangan kromatik graf dan
dilambangkan dengan χG. Suatu graf G yang memerlukan k warna yang berbeda untuk melakukan pewarnaan
yang tepat, disebut k kromatik graf dan bilangan k disebut dengan bilangan kromatik dari graf G dan dilambangkan dengan
χG= χk Lipschuts dan Lipson, 2002.
Terdapat beberapa sifat mengenai bilangan kromatik ini Deo, 1986 antara lain:
1. Graf yang terdiri dari verteks-verteks yang terpisah atau terpencil adalah χG = 1.
2. Graf dengan satu atau lebih edge paling kurang mempunyai χG = 2.
3. Jika graf lengkap yang terdiri dari n verteks adalah χG = n, maka semua
verteksnya saling berbatasan. Oleh karena itu graf yang memuat graf lengkap dengan r
verteks mempunyai paling sedikit χG = r. Sebagai contoh, setiap graf yang mempunyai triangle adalah
χG = 3. 4. Jika n adalah bilangan genap, maka graf yang terdiri dari hanya satu sirkuit
dengan n ≥ 3 verteks adalah χG = 2 dan jika n adalah bilangan ganjil, maka
χG = 3.
Universitas Sumatera Utara
Misalkan G = V, E merupakan suatu graf dengan V dan E yang masing- masing verteks dan edge ditetapkan dan k merupakan suatu bilangan bulat positif
maka diperoleh beberapa definisi masalah pewarnaan graf sebagai berikut: Definisi 3.1 Pewarnaan graf dan k pewarnaan dari graf G adalah k kromatik graf jika
dan hanya jika terdapat sedikitnya satu pewarna verteks yang menggunakan k warna, yaitu fungsi c : V
→ {1, 2,…..,k} untuk {i,j} ∈ E, ci ≠ cj.
Definisi 3.2 Representasi pewarnaan ditunjukkan dengan fungsi c: V →{1, 2, …, k}
oleh c = c 1, c 2, …, c | V |. C adalah solusi untuk masalah pewarnaan G, K. Selain itu, c dikatakan sebagai pewarnaan yang tepat jika dan hanya jika c i
≠ c j, ∀ {i, j}
∈ E. Jika tidak, maka c adalah pewarnaan yang tidak tepat. Definisi 3.3 Suatu k pewarnaan c = c 1, c 2,......, c | V | adalah suatu partisi
{c
1
, c
2
,. . . , c
k
} pada V untuk x ∈ V, x ∈ c
i
⇔ cx = i. Pada bagian ini, c
i
adalah warna i kelas disebabkan c pewarnaan, yaitu himpunan verteks i memiliki warna dalam c.
Definisi 3.4 Mengingat konfigurasi c, disebut konflik atau tepi bertentangan setiap tepi yang memiliki kedua ujung sama warna dalam c. Set konflik dinotasikan dengan
cE c dan jumlah konflik yaitu | cE c | juga disebut sebagai jumlah konflik c adalah tujuan fungsi fc. Sebuah simpul bertentangan adalah titik v
∈ V, yang terdapat suatu edge {v, u} dalam cE c.
Pada tulisan ini menguraikan permasalahan k pewarnaan, yaitu diberikannya suatu graf G dan suatu bilangan bulat k, dengan tujuan untuk memperoleh suatu k
pewarnaan yang diperbolehkan. Dilihat dari persoalan optimisasi, objeknya adalah untuk menentukan suatu k pewarnaan dengan meminimalisasi jumlah konflik fc.
Universitas Sumatera Utara
3.2 Algoritma Tabu Search untuk Masalah Pewarnaan Graf
