Kontribusi Penelitian Metode Penelitian Teori Graf

Algoritma tabu search pertama kali diperkenalkan oleh Glover sekitar tahun 1986. Glover menyatakan bahwa algoritma tabu search adalah salah satu prosedur heuristik untuk penyelesaian permasalahan optimisasi kombinatorial. Algoritma tabu search ini dirancang untuk mengarahkan metode-metode lain untuk keluar atau menghindari solusi optimal yang bersifat lokal. Kemampuan algoritma tabu search dalam menghasilkan solusi yang mendekati optimal telah dimanfaatkan dalam beragam permasalahan di berbagai bidang mulai bidang penjadwalan hingga bidang telekomunikasiGlover, 1995.

1.5 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Untuk menyelesaikan masalah pewarnaan graf menggunakan algoritma tabu search.

2. Untuk mencari solusi optimum dari masalah pewarnaan graf menggunakan

algoritma tabu search.

1.6 Kontribusi Penelitian

Kontribusi setelah melakukan penelitian ini, penulis berharap penelitian ini dapat digunakan sebagai informasi dan wawasan pengetahuan tentang teori graf dan algoritma, khususnya tentang pewarnaan graf dan algoritma tabu search. Penulisan ini juga dapat digunakan untuk bahan pembanding yang ingin mengetahui lebih banyak tentang masalah pewarnaan graf dan algoritma tabu search serta dapat diaplikasikan dalam kehidupan nyata seperti masalah penjadwalan kuliah, penjadwalan pekerjaan, penjadawalan job shop, pewarnaan pada peta, pengaturan lampu lalu lintas, penggunaan frekwensi radio, penyimpanan barang, pengaturan jalan raya, dan lain sebagainya. Universitas Sumatera Utara

1.7 Metode Penelitian

Metode penelitian ini digunakan sebagai pedoman dalam melaksanakan penelitian agar hasil yang dicapai tidak menyimpang dari tujuan yang telah ditentukan sebelumnya. Penulis mengumpulkan data dengan studi literature yaitu menggunakan sumber-sumber otentik dari buku, jurnal, artikel, dan browsing internet untuk mendapatkan data dan informasi yang berkaitan dengan judul yang diambil. Metode penelitian ini bersifat literatur yaitu memperkenalkan teori graf, definisi graf, jenis- jenis graph, terminologi dasar graf, graf sederhana khusus, representasi matriks graf, pewarnaan graf, algoritma tabu search, membahas masalah pewarnaan graf, membahas algoritma tabu search untuk masalah pewarnaan graf dan mengimplementasikan algoritma tabu search ke dalam sebuah program komputer dengan menggunakan bahasa pemrograman Java. Universitas Sumatera Utara BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 Teori Graf

Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah bulatan, titik atau verteks, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis atau edge Munir, 2007.

2.1.1 Definisi Graf

Definisi 2.1 Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan V, E, ditulis dengan G = V, E yang dalam hal ini adalah himpunan V adalah himpunan tidak kosong dari verteks-verteks dan E adalah himpunan edge yang menghubungkan sepasang verteks. Verteks pada graf dapat dinomori dengan huruf dan bilangan asli. Sedangkan sisi yang menghubungkan verteks u dan v dinyatakan dengan pasangan u, v atau dinyatakan dengan lambang e1, e2, e3,…. Dengan kata lain, jika e adalah sisi yang menghubungkan verteks u dan verteks v, maka e dapat ditulis sebagai e = u, v. Universitas Sumatera Utara 3 2 1 1 4 e1 e2 e4 e3 e7 e6 e5 Contoh: Gambar 2.1 Graf sederhana

2.1.2 Jenis-jenis Graf

Berdasarkan ada tidaknya loop atau edge ganda pada suatu graf, maka secara umum graf dapat dibedakan sebagai berikut: 1. Graf sederhana Graf yang tidak mengandung loop maupun edge ganda dinamakan graf sederhana. Pada graf sedehana ini, verteks adalah pasangan tidak terurut. Jadi menuliskan verteks v, u sama saja dengan u, v. Dapat juga didefinisikan graf sederhana G = V, E terdiri dari himpunan tidak kosong verteks dan E adalah himpunan pasangan tidak terurut yang berbeda yang disebut dengan verteks. 2. Graf tak-sederhana Graf yang mengandung edge ganda atau loop dinamakan graf tak-sederhana. Graf tak-sederhana ada 2 jenis yaitu graf ganda dan graf semu. Graf ganda adalah yang mengandung verteks ganda. Edge ganda yang menghubungkan sepasang verteks biasa lebih dari dua buah. Verteks ganda dapat diasosiasikan sebagai pasangan tidak teurut yang sama. Dapat juga didefinisikan graf ganda G = V, E terdiri dari himpunan tidak kosong verteks dan E adalah himpunan ganda yang mengandung edge ganda. Graf semu adalah graf yang mengandung loop. Jumlah verteks pada graf disebut sebagai kardinalitas graf, dan dinyatakan dengan n = |V|, dan jumlah edge dinyatakan dengan m = |E|. Universitas Sumatera Utara 3 2 1 1 4 Edge pada graf dapat mempunyai orientasi arah. Berdasarkan orientasi arah pada edge, graf dapat dibedakan sebagai berikut: 1. Graf tak-berarah Graf yang edge nya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah. Pada graf tak-berarah, urutan pasangan verteks yang dihubungkan oleh edge tidak diperhatikan. Jadi u, v = v, u adalah edge yang sama. 2. Graf berarah Graf yang setiap edgenya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah dan edge berarah disebut busur. Pada graf berarah, u, v dan v, u menyatakan dua busur yang berbeda, dengan kata lain , u, v ≠ v, u. Untuk busur u, v, verteks u dinamakan initial veteks dan verteks v dinamakan terminal verteks. Contoh: Gambar 2.2 Graf berarah

2.1.3 Terminologi Dasar

Terminologi yang berkaitan dengan graf yang sering dipakai adalah sebagai berikut: 1. Bertetangga Adjacent Definisi 2.2 Dua buah verteks pada graf tak-berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah edge. Dengan kata lain u bertetangga dengan v jika u, v adalah sebuah edge pada graf G. Pada graf berarah, edge berarah disebut busur. Jika u, v adalah busur, maka u dikatakan bertetangga dengan v dan v dikatakan tetangga dari u. Universitas Sumatera Utara 3 2 1 4 3 2 1 Contoh: Gambar 2.3 Graf bertetangga Pada graf di atas, verteks 1 bertetangga dengan verteks 2 dan 3, tetapi tidak betetangga dengan verteks 4. 2. Bersisian Incident Definisi 2.3 Untuk sembarang edge e = u, v, edge e dikatakan bersisian dengan verteks u dan verteks v. Contoh: Pada Gambar 2.3, edge 2, 3 bersisian dengan verteks 2 dan 3, edge 2, 4 bersisian dengan verteks 2 dan 4, tetapi edge 1, 2 tidak bersisian dengan verteks 4. 3. Verteks Terpencil Isolated Definisi 2.4 Verteks terpencil adalah verteks yang tidak mempunyai edge yang bersisian dengannya atau dapat juga dinyatakan bahwa verteks terpencil adalah yang tidak satupun bertetangga dengan verteks lainnya. Contoh: Gambar 2.4 Graf terpencil 4. Graf Kosong Null Graph Definisi 2.5 Graf yang himpunan edgenya merupakan himpunan kosong disebut sebagai graf kosong dan ditulis sebagai N n. Dalam hal ini n adalah jumlah verteks. Universitas Sumatera Utara 3 2 1 4 5 Contoh: Gambar 2.5 Graf kosong 5. Derajat Degree Definisi 2.6 Derajat suatu verteks pada graf tak-berarah adalah jumlah edge yang bersisian dengan verteks tersebut. Notasi dv menyatakan derajat verteks v. Verteks terpencil adalah verteks dengan dv = 0, karena tidak ada satupun edge yang bersisian dengan verteks tersebut. Loop dihitung berderajat dua. Secara umum, jika terdapat g buah loop dan e buah edge bukan loop yang bersisian dengan verteks v, maka derajat verteks v adalah dv = 2 g + e 2.1 Verteks yang berderajat satu disebut anting-anting. Dengan kata lain, anting- anting hanya bertetangga dengan sebuah verteks. Contoh: Pada Gambar 2.3, d1 = d4 = 2 dan d2 = d3 = 3. 6. Lintasan Path Definisi 2.7 Lintasan yang panjangnya n dari verteks awal v o ke verteks tujuan v n di dalam graf G adalah barisan berselang-seling verteks dan edge-edge yang berbentuk v o , e 1, v 1, e 2, ,……. v n-1, e n , v n sedemikian sehingga e 1 = v o, v 1 , e 2 = v 1 , v 2 ,………e n = v n-1 , v n adalah edge-edge dari graf G. Contoh: Pada Gambar 2.3, lintasaan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan satu, lintasan 1, 2, 4, 3, 1 adalah lintasan dua dan lintasan 1, 2, 4, 3, 2, adalah lintasan tiga. Jadi panjang lintasannya adalah 3. Universitas Sumatera Utara 3 2 1 4 5 3 2 1 4 5 2 1 4 5 3 2 1 5 G G 1 G 2 7. Siklus Cycle atau Sirkuit Circuit Definisi 2.8 Lintasan yang berawal dan berakhir pada verteks yang sama disebut sirkuit atau siklus. Contoh: Pada Gambar 2.3, sirkuitnya adalah 1, 2, 3, 1. 8. Terhubung Connected Definisi 2.9 Jika graf tak-berarah G disebut graf terhubung maka untuk setiap pasang verteks u dan v di dalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke v yang juga harus berarti ada lintasan dari u ke v. Jika tidak, maka G disebut graf tak- terhubung disconnected graph. Contoh: Gambar 2.6 Graf terhubung 9. Subgraf dan Komplemen Subgraf Definisi 2.10 Misalkan G = V, E adalah sebuag graf. G 1 = V 1 , E 1 adalah subgraf dari G jika V 1 bagian dari V dan E 1 bagian dari E. Definisi 2.11. Komplemen dari subgraf terhadap graf G adalah graf G 2 = V 2, E 2 sedemikian sehingga E 1 = E – E 1 dan V 2 adalah himpunan verteks anggota-anggota E 2 bersisian dengannya. Contoh: Gambar. 2.7 Subgraf dan Komplemen Subgraf Universitas Sumatera Utara 3 2 1 4 5 3 2 1 4 5 G G 1 3 2 1 4 5 6 3 2 1 4 5 6 b a c e d 10 12 14 16 18 20 22 10. Subgraf Merentang Spanning Subgraph Definisi 2.12 Subgraf G 1 = V 1 , E 1 dari G = V, E dikatakan subgraf merentang jika V 1 = V yaitu G 1 mengandung semua verteks dari G. Contoh: Gambar 2.8 Subgraf merentang 11. Cut-Set Definisi 2.13 Cut-set dari graf terhubung G adalah himpunan edge yang dihapus dari G menyebabkan G tidak terhubung. Jadi, cut-set selalu menghasilkan dua buah komponen terhubung. Contoh: Gambar 2.9 Gambar Cut-Set 12. Graf Berbobot Weighted Graph Definisi 2.14 Graf berbobot adalah graf yang setiap edgenya diberi sebuah harga bobot. Contoh: Gambar 2.10 Graf berbobot Universitas Sumatera Utara

2.1.4 Graf Sederhana Khusus

Graf sederhana khusus yang dijumpai pada banyak aplikasi antara lain sebagai berikut: 1. Graf Lengkap Complete Graph Graf lengkap adalah graf sederhana yang seteiap verteks mempunyai edge ke semua verteks lainya. Graf lengkap dengan n buah verteks dilambangkan dengan K n . Setiap verteks pada K n berderajat n – 1. Jumlah edge pada graf lengkap yang terdiri dari n buah verteks adalah nn - 12. Karena setiap edge terhitung dua kali untuk pasangan verteks yang bersisian dengannya, maka jumlah edge seluruhnya dibagi dua. Contoh: Gambar 2.11 Graf lengkap K 4 2. Graf Lingkaran Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap verteks berderajat dua. Graf lingkaran dengan n verteks dilambangkan dengan C n . Contoh: Gambar 2.12 Graf lingkaran 3. Graf Teratur Regular Graph Graf yang setiap verteks mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur. Apabila derajat setiap verteks adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r. Universitas Sumatera Utara Contoh: Gambar 2.13 Graf teratur dengan n = 6 dan r = 3 4. Graf Bipartit Bipartite Graph Graf bipartite adalah graf G yang himpunan verteks dapat dikelompokkan menjadi dua bagian V 1 dan V 2, sedemikian sehingga setiap edge di dalam G menghubungkan sebuah verteks di V 1 ke sebuah verteks V 2 . Dengan kata lain, setiap pasang verteks di V 1 demikian pula dengan verteks di V 2 tidak bertetangga. Apabila setiap verteks di V 1 bertetangga dengan semua verteks di V 2 , maka GV 1 ,V 2 disebut sebagai graf bipartite lengkap, dilambangkan dengan K m, n . Jumlah edge pada graf bipartite lengkap adalah m x n. Contoh: Gambar 2.14 Bipartit lengkap K 2, 3 Universitas Sumatera Utara 3 2 4 1 3 2 4 1 e1 e2 e3 e5 e4

2.1.5 Representasi Graf

Bila graf akan diproses dengan program komputer, maka graf harus direpresentasikan di dalam memori. Terdapat beberapa representasi yang mungkin untuk graf sebagai berikut: 1. Matriks Ketetanggaan Adjacency Matrix Matiks ketetanggaan adalah representasi graf yang paling umum. Misalkan G = V, E adalah graf dengan n verteks, n ≥ 1. Matriks ketetanggaan G adalah matriks dwimatra yang berukuran n x n. Misalkan matriks tersebut dinamakan A = [a ij ], jika verteks i dan j bertetangga, maka a ij = 1, sebaliknya jika i dan j tidak bertetangga, maka a ij =0. Contoh: Gambar 2.15 Matriks ketetanggaan 2. Matriks Bersisian Incidency Matrix Matriks bersisian adalah matriks yang menyatakan kebersisian verteks dan edge. Contoh: Gambar 2.16 Matriks bersisian 1 2 3 4 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 4 1 1 e1 e2 e3 e4 e5 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 4 1 1 Universitas Sumatera Utara 1 2 3 4 5 6 7 3 2 4 1 3. Senarai Ketetanggaan Adjency Matrix Kelemahan matriks ketetanggaan adalah bila graf memiliki jumlah edge relative sedikit, karena matriksnya bersifat jarang sparse, yaitu mengandung banyak elemen nol, sedangkan elemen bukan nol sedikit. Senarai ketetanggaan mengenumerasi verteks yang bertetangga dengan setiap verteks di dalam graf. Contoh: Gambar 2.17 Senarai ketetanggaan

2.2 Pewarnaan Graf