Soal UTS Komputasi Numerik
Pembahasan
1. Pengerjaan untuk soal pertama dilakukan dengan membuat matriks 5×5 pada Microsoft Excel beserta dengan matriks hasilnya. Berikut adalah tampilannya.
Penyelesaian dari matriks ini dapat dilakukan dengan memakai rumus matriks awal berikut.
Ax=b
di mana matriks A adalah matriks 5×5 yang ada di sebelah kiri, dan matriks b adalah matriks 1×5 yang ada di sebelah kanan. Pemutaran rumus menghasilkan: −
1
x= A b
Matriks x dapat dicari dengan memakai formula Excel berikut pada 5 cell yang ada di antara kedua matriks tersebut: {=(MMULT(MINVERSE(B29:F33),H29:H33))} di mana B29:F33 adalah array dari matriks A, dan H29:H33 adalah array dari matriks b. Fungsi MMULT merupakan fungsi yang digunakan untuk mengalikan matriks satu invers terhadap matriks yang bersangkutan. Berikut adalah hasilnya.
Hasil di atas adalah hasil untuk pertanyaan a. Berikut adalah hasil untuk pertanyaan b.
2. Persamaan yang ada pada soal masih belum dalam bentuk yang dapat diturunkan dengan mudah. Oleh karena itu, pada kedua ruas dilakukan logaritma natural (ln) sebagai berikut.
a
2
2 ln P ( T )=a a ∙ T a ∙ ln(T ) + + +
v
1
3 T Lalu, nilai ln P ( T ) dibuat sebagai nilai y, sehingga dalam melakukan perhitungan
v lebih lanjut, kita perlu merubah nilai P yang ada menjadi nilai logaritma naturalnya.
Kemudian, persamaan simpangan baku dapat dibuat sebagai berikut:
2
a
2
2 S= y−a − a ∙ T − − a ∙ ln (T ) =
1
3
( T )
Lalu, turunan parsial dari S terhadap masing-masing parameter adalah:
dS
2
1
- = N ∙ a T ∙a ∙ a ln(T )∙ a = + +
1
2 3 y
d a T dS
2
4
2
2 = T ∙ a T ∙ a T ∙ a ln(T )∙T ∙ a T + + = +
1
2
3
y d a
1 ln (T )
dS
1 1 y = ∙ a T ∙ a ∙ a ∙ a = + + +
1
2
3
2
d a T T T
ln (T )
dS
2
2 ln(T )∙ a ln(T )∙T ∙ a ∙ a ln ( T ) ∙ a
=
- ln(T )∙ y + + =
1
2
3
d a T
3 Maka, dapat dibuat matriks dengan bentuk Ax=b dan dengan isi sebagai berikut.
2
1 ln (T )
N T ∑ ∑ ∑ ∑
T y
2 4 ∑
a
∑ ∑
2 T T
2 T ln(T )∙ T
∑ ∑ T ∙ y ∑ a
1 = ln(T )
1
y
1
a ∑ ∑
2
2
∑ T
T
∑ ∑ T T T a
(
3 )
2 ln (T ) 2 ln(T )∙ y
( ∑ )
ln(T ) ln (T ) ∙T ln ( T )
∑ ∑ ∑ ∑ T
( )
Dengan 15 titik data yang sudah ada, maka setiap nilai sigma/penjumlahan di atas dapat
Pada gambar di atas, cell yang berawrna biru adalah hasil penjumlahan dari setiap nilai yang dimaksudkan di atas. Berikut adalah tampilan matriksnya.
Dari matriks A dan b ini, kita dapat mencari nilai matriks x yang berisi nilai parameter a , a , a , dan a . Formula yang digunakan adalah:
1
2
3 {=(MMULT(MINVERSE(L23:O26),Q23:Q26))} di mana L23:O26 adalah array dari matriks A, dan Q23:Q26 adalah array dari matriks b.
Berikut adalah hasil dari setiap parameter yang ada.
Dari keempat parameter yang sudah kita dapatkan, kita dapat menghitung ulang nilai tekanan uap Metana dengan rumus awal, yaitu:
a
2
2 P ( T )=exp a a ∙T a ∙ ln (T ) + + +
v
1
3
( ) T
Lalu, galat/kesalahan perhitungan bisa didapat dari persamaan berikut:
P − P | v v ,cal | galat= ×100 P v
di mana P v,cal adalah nilai tekanan uap hasil perhitungan. Nilai galat yang dikehendaki
- 4 adalah di bawah 10 . Berikut adalah hasil perhitungan galatnya.