Pengantar Analisis dan Komputasi Metode Numerik

TURUNAN DAN BAB

  III

3.1. Rasionalisasi

  1 f ( x ) dx

  

Mendapatkan nilai dari f’(3) atau secara analitik



  2

dari fungsi f(x) = x atau f(x) = sin (3x) bukanlah pekerjaan

sulit, karena formula fungsi tersebut cukup sederhana dan

dengan mudah dapat ditentukan secara anlitik. Akan tetapi

  1 g ( x ) dx

mendapatkan g’(3) dan secara analitik dari

  



3 x sin x

    2 x cos( e ) tan ln( xe )   

    bukanlah pekerjaan g ( x ) 

  2 sin 2 x 3 x   x e  ln x sin

4 xe

mudah, karena bentuk fungsinya cukup kompleks sehingga

membutuhkan multi subtitusi fungsi untuk mendapatkan nilai

  1 g ( x ) dx

dari f’(3) maupun . Penyelesaian secara numerik

  

menjadi alternatif yang epektif dan efesien untuk

  1 g ( x ) dx mendapatkan penyelesaian f’(3) dan .

  

Demikian juga halnya apabila ingin mendapatkan luas daerah

seperti pada peta pada gambar 3.1 di bawah.

Gambar 3.1 Peta wilayah kota Mataram NTB Penyelesaian secara analitik dengan konsep integral tentunya tidak dapat dilakukan, karena fungsi dari kurva peta tersebut tidak diketahui. Melakukan rekontruksi fungsi dengan interpolasi kemungkinan akan menjadi proses yang cukup panjang. Penyelesaian dengan teknik inegrasi secara numerik menjadi alternatif solusi pendekatan yang efektif dan efesien.

3.2 Turunan Numerik

  Turunan berasal dari kata turun yang dalam konsep matematika dapat dipandang sebagai ukuran kemiringan pada suatu titik permukaan kurva. Untuk memahami aksioma turunan tersebut, pandanglah suatu tanjakan pada permukaan bumi atau tanah. Pada tanjakan tersebut akan memuat kondisi menurun. Ukuran menurunya sangat tergantung dari tingkat keterjalannya. Keterjalan atau kemiringan tanjakan tersebut ditentukan dari besarnya sudut yang dibentuk atau raiso antara perubahan tinggi tanjakan dengan lebar dasar tanjakan.

   y  y

  1

  

2

  

  ∆y x x

   

  1

  

1

∆y

  1

  2 α

  ∆x ∆x

  2

1 Tanjakan 2

  Tanjakan 1

Gambar 3.2 Kemiringan garis Tanjakan 1 lebih terjal atau lebih miring dari tanjakan 2. Hal ini

  dapat diketahui dari fakta bahwa jika kita mendaki tankan 1 akan lebih membutuhkan energi atau tenaga yang lebih banyak dari tanjakan 2. Kenyataan ini memberikan rumusan matematika yang dapat menyatakan keterjalan atau kemiringan suatu tanjakan adalah dengan menentukan besarnya sudut yang dibentuk atau nilai perbandingan ∆y dengan ∆x. Misalkan ukuran kemiringan disimbolkan m (awal hurup dari kata miring) maka alternatif perbandingannya adalah sebagai berikut: y y

   

  y

  1

  2

   

  1. m  bernilai bernilai benar, karena sesuai x x x  

  

  1

  1 dengan fakta alam yang menyatakan bahwa tanjakan 1 lebih terjal/miring dari tanjakan 2. x x x

    

  1

  2 m

   

  2. bernilai bernilai salah, karena tidak

   y

  y y

   

  1

  1 sesuai dengan fakta alam yang menyatakan bahwa tanjakan 1 lebih terjal/miring dari tanjakan 2.

  Definisi 3.1 Kemiringan suatuu garis i i i+1 i+1

  

Misalkan suatu garis melalui titik (x , y ) dan (x ,y ) maka

   y

  m

ukuran kemiringan dari garis tersebut adalah  dengan

x

  

  ∆y = y i+1 – y i dan ∆x = x i+1 - x i

Lebih lanjut defnisi turunan dalam konsep matematika yang

didasari dari defnisi kemiringan tersebut diuraiakan secara

singkat berikut ini.

3.2.1 Turunan Pertuama

  

Defnisi turunan dalam konsep matematika dikontruksi dari

tiga aksioma yaitu beda maju, beda mundur dan beda tengah/

pusat.

3.2.1.1 Beda Maju

  

Misalkan dimiliki fungsi y = f(x), kemudian dikontruksi garis

melalui titik (x,f(x)) dan (x+h, f(x+h)) dengan kemiringan m

sebagaimana ilustrasi pada gambar di bawah ini, maka ukuran

kemiringan garis tersebut ditentukan dengan rasio perubahan

panjang pada sumbu y (∆y) dengan perubahan panjang pada

sumbu x (∆x). Secara matematis ditulis sebagai

y f ( x h ) f ( x )

     m

    x h

  

Gambar 3.3 Tafsiran geometris turunan fungsi dengan beda maju

  

Jika nilai h diambil sedekat mungkin dengan 0, maka x+h akan

mendekati x dan f(x+h) akan mendekati f(x). Kondisi ini akan

menciptakan suatu garis singgung pada kurva tersebut pada

titik (x,f(x)) dengan kemiringan

  y f ( x h ) f ( x )    m lim

    h    x h

   Karena posisis titik x+h berada di depan titik x, maka nilai h = ∆x = (x+h) – x dan ∆y = f(x+h) – f(x) disebut sebagai selisih maju atau beda maju.

  Berdasarkan uraian sebelumnya, bahwa persamaan umum 2 n

  1 2 n fungsi polinomial adalah f(x) = a + a x + a x + … + a x dimana fungsi tersebut dapat menghampiri semua jenis fungsi, y

   lim

  maka evaluasi nilai dari diperoleh sebagai berikut: h    x

  

  2 3 n

  1

  2 3 n f(x+h) = a + a (x+h) + a (x+h) +a (x+h) +…+ a (x+h)

  2

  2 = a + a 1 x + a 1 h + a 2 (x +2xh + h )

  3

  2

  2 3 n n

• a 3 (x +3x h+3xh +h )+ …+ a n (x +…+h )

  2

  2

  3

  2

  1

  1

  2

  

2

  2

  3

  3 = a +a x + a h + a x + 2a xh + a h + a x + 3a x h +

  2

  3 3a 3 xh + a 3 h + … n n

• a n x + … + a n h

  2

  2 f(x+h)-f(x) = (a + a 1 x + a +

1 h + a

2 x + 2a 2 xh + a 2 h

  3

  2

  2

  

3

a 3 x +3a 3 x h+3a 3 xh +a 3 h + …) – (a + a 1 x +

  2

  3 a 2 x +a 3 x +…)

  2

  2 = h(a 1 + 2a 2 x + a 2 h+3a 3 x +3a 3 xh+a 3 h +…) y f ( x h ) f ( x )

     m lim lim

    h    h    x h

  

  2

  2 h ( a 2 a x a h 3 a x 3 a xh a h  )

       

  1

  2

  2

  3

  3

  3 lim  h    h

  2 a 2 a x 3 a x 

     

  1

  2

3 Perolehan fungsi yang menyatakan kemiringan garis singgung

  kurva ini memberikan fakta bahwa derajatu fungsi polinomial akan tuurun satu tingkatan apabila diambil nilai dari y f ( x h ) f ( x )

     m lim lim

    . Kenyataan ini memberikan h    h    x h

   definisi tuurunan fungsi sebagai kemiringan garis singgung pada kurva yang secara anlitik memberikan dampak terhadap penurunan derajatu fungsi tersebut 1 (satu) tingkat.

  Definisi 3.2 Turunan fungsi beda maju

a. Defnisi Analitik

  

y dy f ( x h ) f ( x )

   m lim lim f ( x )

        x    h    x dx h

   disebut sebagai turunan analitik beda maju dari f(x) terhadap x

b. Defnisi Numerik

  f f f y dy    i 1 i i

  



m lim lim f 

      i x h

          x dx h h

  Disebut sebagai turunan numeric beda maju dari f i terhadap x i .

  Teladan 3.1

  3 Dapatkan turunan f’(3) dari f(x) = x +3x+6 dengan mengunakan cara analitik dan numerik.

  Solusi:

  a. Penyelesaian analitik f ( x h ) f ( x )

    f  ( x ) lim

   h

   h

  3

  3 x h 3 ( x h )

6 x

3 x

  6          lim  h  h

  3

  2

  2

  3

  3          x 3 x h 3 xh h 3 x 3 h 6 x 3 x

  6  lim h

   h

  2

  2 h 3 x 3 xh h

  3      lim  h

   h

  2

  3

  3  x 

  2 f  (

  3 )

  3

  3

  3

  30   

  x = 3    Jadi f’(3) = 30

  b. Penyelesaian numeric dengan beda maju f ( 3  . 1 )  f (

3 )

   h=0.1  f ( 3 )  .

  1

  3

  3 3 .

  1

  3 3 .

  1

  6

  

3

  3

  3

  6          30.91 

   .

  1 30 .

  91

  30  Error relatif = x 100 % 3.033%.

  

  30

  f ( 3 . 01 ) f ( 3 )   f ( 3 ) h=0.01    .

  01

  3

  3 3 .

  01

  3 3 .

  01

  6

  

3

  3

  3

  6         

  30.0901  .

  01

  30 . 0901 

  30 Error relatif = x 100 %  0.30033%

  30 Pemeriksaan lebih lanjut menggunakan pemograman

  komputer sebagaimana di bawah untuk h lebih mendekati 0

• 6

  (nol) menunjukkan nilai f’(3) = 30 untuk h=10 . Nilai ini sesuai dengan nilai eksak dari f’(3)=30 yang diperoleh dari penyelesaian anlitik sebelumnya. f=inline('x^3+3*x+6'); x=3; h=[0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001]; for i=1:7 df(i)=(f(x+h(i))-f(x))/h(i); end df = 30.9100 30.0901 30.0090 30.0009 30.0001 30.0000 30.0000 Teladan 3.2 Tentukan secara analitik dan numerik f’(x) pada domain 0.8≤x≤ 0.8000001 dari fungsi

  3 x sin x

    2 x cos( e )  tan ln( xe )     .

  f ( x )

  

  2 sin 2 x 3 x   x e  ln x sin

  4 xe

  Solusi Penyelesaian secara analitik memerlukan konsep turunan berantai yang cukup banyak sehingga akan menajdi proses yang cukup rumit. Hasil evaluasi turunan analitik mengunakan komputer dengan kode program syms x f1=2*x*cos(exp(3*x))-tan(log(x*exp(sqrt(sin(x))))); f2=(x^2)*exp(sin(2*x-3))+log(x)*sin(4*x*exp(-x)); f=f1/f2; diff(f,x); diperoleh hasil sebagai berikut: f'(x) = ((tan(log(x*exp(sin(x)^(1/2)))) - 2*x*cos(exp(3*x)))*(sin((4*x)/exp(x))/x +

  2*x*exp(sin(2*x - 3)) +

• 2*x^2*exp(sin(2*x - 3))*cos(2*x - 3)))/(x^2*exp(sin(2*x - 3)) + sin((4*x)/exp(x))*log(x))^2 - (6*x*exp(3*x)*sin(exp(3*x)) - 2*cos(exp(3*x)) + ((tan(log(x*exp(sin(x)^(1/2))))^2 + 1)*(exp(sin(x)^(1/2)) + (x*exp(sin(x)^(1/2))*cos(x))/(2*sin(x)^(1/2))))/(x
• exp(sin(x)^(1/2))))/(x^2*exp(sin(2*x - 3)) + sin((4*x)/exp(x))*log(x))

  23 6948.462

  ) ( 8 . ) 4 sin

  ) 8 . ln( ( 8 .

  ) ) ) 8 . ln(( tan cos( ) ( 8 .

  2 0.0000001

  1

  e e e e = 6875.231517 Perhitungan dengan kode komputer di bawah memberikan output komputasi sebagai:

  i x i f i+1 f i Numerik Analitik Error Relatif f' ^{I = (f i+1 -} f i )/h f'(x i )

  |f' ^{I - f'(x i )|/|} f'(xi)|

  0.8

  42

  26 6948.3884

  441 0.001065 238 %

  ( 8 .

  1 0.80000

  01

  6

  42 6948.2404

  07 6948.314

  419 0.001065 181 %

  2 0.80000

  02

  79

  6 6948.0923

  93 6948.166

  3

  2 ) 8 . sin( )

  402 0.001065 161 %

    ) 0.8000001 ( 0.8000001 3 ) (

  cos((4*x)/exp(x))*log(x)*(4/exp(x) - (4*x)/exp(x))

  Turunan anlitik dari f(x) memiliki formula yang jauh lebih rumit dari fungsi f(x) sendiri. Kenyataan ini akan memberikan kesulitan dalam memeriksa atau mengunakan f’(x) tersebut dalam penyelesaian matematika. Penyelesaian secara numerik menjadi alternatif yang baik dengan mengambil nilai h sedekat mungkin dengan 0 (nol).

  Misalkan dipilih h = 0.0001, maka perhitungan turunan pertama dari f(x) secara numerik sebagai berikut: 0.8000001 )

  ( 8 . ) 0.8000001 ( 8 . ) ( 8 . f f f

     

         

       

       

     

     

    

  2 sin

  2 sin

  2 ) 0.8000001 sin( ) 0.8000001 (

  3 ) 0.8000001 ( ) 4 sin 0.8000001 ln( ) 0.8000001 (

  ) ) 0.8000001 ln( tan ) cos( ) 0.8000001 (

  2 0.0000001

  1 e e e e

       

       

     

    

   

  

 )

( 8 . ( 8 . 3 )

• 38.124351
• 38.125046
• 38.123656
• 38.124351
• 38.122961
• 38.123656

• 0.80000 38.122961 6947.9443 6948.018 0.001065

  3 03 -38.122267

  79 78 389 22 %

• 0.80000 38.121572 6947.7963 6947.870 0.001065

  4

  04 22 -38.122267 78 382 126 %

• 0.80000 38.120877 38.121572 6947.6483 6947.722 0.001065

  5

  05

  45

  22 78 379 117 %

• 0.80000 38.120182 38.120877 6947.5003 6947.574 0.001065

  6

  06

  7

  45 76 381 184 %

• 0.80000 38.119487 38.120182 6947.3523 6947.426 0.001065

  7

  07

  97

  7 9 387 111 %

• 0.80000 38.118793 38.119487 6947.2044 6947.278 0.001065

  8

  08

  25

  97 04 399 097 %

• 0.80000 38.118098 38.118793 6947.0564 6947.130 0.001065

  9

  09

  54

  25 22 415 085 %

• 1 0.80000 38.117403 38.118098 6946.9084 6946.982 0.001065

  1

  85

  54 45 436 077 %

  Hasil komputasi sebagaimana pada tabel di atas, menunjukkan kesalahan relatif perhitungan f’(x) secara numerik berada pada toleransi kesalahan. Hal ini terlihat dari prosentase kesalahan relatif hingga ketelitian 0.001%. syms x f1=2*x*cos(exp(3*x))-tan(log(x*exp(sqrt(sin(x))))); f2=(x^2)*exp(sin(2*x-3))+log(x)*sin(4*x*exp(-x)); f=f1/f2; h=0.0000001; d=[0.8:h:0.800001]; n=length(d); for i=1:n fh(i)=subs(f,d(i)+h); fx(i)=subs(f,d(i)); df(i)=(fh(i)-fx(i))/h; end g=diff(f,x); dF=subs(g,d); error=(abs(dF-df)./dF)*100; H=[d;fh;fx;df;dF;error]'; xlswrite( 'Hasil' ,H) subplot(3,1,1) ezplot(f,[0.8 1.8]) subplot(3,1,2) plot(d,df, '-r' ) hold on plot(d,dF) xlabel( 'x' ) ylabel( 'df(x)' )

title( 'Grafik turunan numerik beda maju pada domain

[0.8 0.800001]' ) subplot(3,1,3) plot(d,error) xlabel( 'xi' ) ylabel( 'error ke-i' ) title( 'Error relatif pada domain [0.8 0.800001]' ) _{-(tan(log(x ex p(s in(x ) ))) - 2 x c os (ex p(3 x )))/(x ex p(s in(2 x - 3)) + s in((4 x )/ exp(x )) log(x)) 6 4 1/2 2 -4 -2}

  2 _{-12 -10 -8} -6

  0.8 ^{0.9 1 1. 1 1.2 1.3} _x ^{1.4 1.5 1.6 1.7 1.8}

  _{6948.8 6948.4 6948.2 6948.6} Grafik turunan numerik beda maju pada domain [0. 8 0. 800001] _{A nalitik Numerik x ) ( 6947.8 f d 6947.2 6947.4 6947.6} 6948 _{1. 0653 6946.8} 6947 _{0.8 x 10 -3 0.8 Error relat if pada dom ain [ 0. 8 0.800001] 0.8 0. 8 x 0.8 0.8 0. 8 r k e - i o 1. 0652 1. 0652 1. 0652} 1. 0652 _{1. 0652 e r} r _{1. 0651 1. 0651 1. 0651 1. 0651} 1. 0651 _{0. 8 0.8 0.8 0. 8 x i 0.8 0.8 0. 8}

Gambar 3.4 Grafk fungsi f(x), turunan f(x) secara analitik dan numerik dengan beda maju dan error relative

3.2.1.2 Beda Mundur

  Pada uraian di atas, telah dibahas turunan pertama dengan mengunakan konsep beda maju. Konsep lain turunan fungsi dapat diperoleh dengan membentuk selisih mundur. Perhatikan ilustrasi grafs di bawah ini.

Gambar 3.5 Tafsiran geometris turunan fungsi dengan beda mundur

  

Pada gambar 3.5 di atas, kemiringan garis singing pada kurva

diberikan oleh y f ( x ) f ( x h ) df

     m lim lim f ( x )

       . Kenyataan ini h    h    y h dx

  

memberikan defnisi turuna fungsi berdasarkan beda mundur.

  Definisi 3.3 Turunan fungsi beda mundur

a. Defnisi Analitik

  y dy f ( x ) f ( x h )    m lim lim f  ( x )

      x h

      x dx    h 

disebut sebagai turunan analitik beda mundur dari f(x)

terhadap x b. Defnisi Numerik  y dy f  f  f i i 1 i

    m  lim   lim   f i

   x    h     x dx h h

Disebut sebagai turunan numerik beda mundur dari f i

terhadap x i .

  Teladan 3.3 Selesaikan teladan 3.1 di atas dengan mengunakan beda mundur! Solusi

Diketahui fungsi analitik pada teladan 3.1 yaitu f(x) =

  3

x +3x+6, maka dengan cara analitik mengunakan defnisi

beda mundur diperoleh f ( x ) f ( x h )

    f  ( x ) lim

   h

   h

  3

  

3

       x 3 x 6 ( x h ) 3 ( x h )

  6    

   lim h  h

  3

  3

  

2

  2

  3 x 3 x 6 x 3 x h 3 xh h 3 x 3 h

  6            lim  h

   h

  2

  2 h 3 x 3 xh h

  3      lim  h  h

  2  x 3 

  3

  2 f  (

  3 )

  3

  3

  3

    Penyelesaian numerik dengan beda mundur diperoleh sebagai berikut: f (

3 )  f (

3  . 1 )

  30 Sehingga untuk x = 3 , maka   

   Untuk h = 0.1, maka f ( 3 )  .

  1

  3

  3

  3

  3

  3

  

6

2 .

  9

  3 2 .

  9

  6          29.11 

   .

  1 29 .

  11

  30  Error relatif = x 100 % 2.97%.

  



  30 f ( 3 ) f ( 3 . 01 )

    f  ( 3 )

  Untuk h = 0.01, maka  .

  01

  3

  3 3 

  3 3 

6 

2 . 99 

  3 2 . 99 

  6    

   .

  01 29.9101  29 . 9101 

  30 Error relatif = x 100 %  0.2997%.

  30 Untuk meperkecil kesalahan maka disimulasikan dengan mengambil nilai h lebih mendekati 0 (nol). f=inline('x^3+3*x+6'); x=3; h=[0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001]; for i=1:6 df(i)=(f(x)-f(x-h(i)))/h(i); end df = 29.1100 29.9101 29.9910 29.9991 29.9999 30.0000

  Hasil komputasi di atas menunjukkan bahwa semakin dekat h dengan nol, nilai f’(3) semakin dekat denngan 30, dan untuk h

• 6

  = 10 diperoleh f’(3) = 30. Nilai turunan numerik ini sama dengan nilai turunan analitik.

  Teladan 3.4 Selesaikan teladan 3.2 di atas dengan mengunakan defnisi beda mundur! Solusi

  4 0.001065 1 %

  23 6948.31

  6 0.001065 1 %

  07 6948.16

  66 6948.2404

  1

  2

  2 0.800000

  4 0.001065 1 %

  14 6948.3884

  3

  6

  1

  1 0.800000

  2 0.001065 1 %

  51 6948.46

  63 6948.5364

  1

  0.8

  3 0.800000

  7

  i x i f i-1 f i Numerik Analitik Error Relatif f' ^{I = (f i - f i-} _{1 )/h f'(x i ) |f' I}

  7

  78 6947.57

  6947.6483

  6

  6 0.800000

  2 0.001065 1 %

  78 6947.72

  22 6947.7963

  5

  18 6948.0923

  5 0.800000

  0.001065 1 %

  7 6947.9443 83 6947.87

  2

  4

  4 0.800000

  8 0.001065 1 %

  93 6948.01

  )|/|f'(xi)|

  = 6948.536451 Pemeriksaan nilai f’(x) pada domain [0.8 0.8000001] lebih lanjut dilakukan dengan computer sebagaimana kode program di bawah. Hasil komputasi yang diperoleh disajikan dalam table berikut:

  Diketahui fungsi analitik pada teladan 3.2 adalah x x x x xe x e x xe e x x f

  0000001 .

    

     

       

       

      f f f

  ) ( 8 .

  ) 0000001 . ( 8 . ) ( 8 .

  ) ( ) ( ) (    

    ) ( 8 . ( 8 . 3 )

  3

, maka penerapan beda

mundur untuk mendapatkan f’(x) pada domain [0.8 0.800001] dengan h=0.0000001 adalah h h x f x f x f

  3 2 sin 2 sin

  2 ) (

  ) ln( tan ) cos(

    4 sin ln

    

     

   

   

  2 sin

  1 e e e e

     

  2 0.0000001

  ) ) 0.7999999 ln( tan ) cos( ) 0.7999999 (

  3 ) 0.7999999 ( ) 4 sin 0.7999999 ln( ) 0.7999999 (

  2 ) 0.7999999 sin( ) 0.7999999 (

  ) 0.7999999 ( 0.7999999 3 ) ( 2 sin

   



     

       

  2 ) 8 . sin( )

  e e e e      

  1

  2 0.0000001

  ) ) ) 8 . ln( tan cos( ) ( 8 .

  ) 8 . ln( ( 8 .

  ) ( 8 . ) 4 sin

  3

  ( 8 .

• f'(x _i
• 38.12574
• 38.12504
• 38.12504
• 38.12435
• 38.12435
• 38.12365
• 38.12365
• 38.12296
• 38.12296
• 38.12226
• 38.12226
• 38.12157
• 38.12157
• 38.12087
• 38.12087

• 38.12018

• 38.12018
• 38.11948
• 38.11948
• 38.11879
• 38.11879
• 38.11809

  22 6946.98 2 0.001065 %

  85 6947.0564

  3

  1 0.800001

  32 6947.2044 04 6947.13 0.001065 %

  8

  9

  9 0.800000

  9 6947.27 8 0.001065 %

  8 6947.3523

  3

  8

  8 0.800000

  6 0.001065 1 %

  81 6947.42

  27 6947.5003

  7

  7

  7 0.800000

  75

  2

  |f' ^{I - f'(x i )|/|f'(xi)|}

  i x i f i-1 f i Numerik Analitik Error Relatif f' ^{I = (f i - f i-} _{1 )/h f'(x i )}

  Hasil komputasi pada table di atas dengan mengunakan cara numerik dan analitik diperoleh hasil yang tidak berbeda signifkan. Hal tersebut dapat dilihat dari kesalahan relatif yang masih berada pada rentang toleransi kesalahan 0.001%.

• _{-(tan(log(x exp(sin(x) ))) - 2 x cos(exp(3 x)))/(x exp(sin(2 x - 3)) + sin((4 x)/exp(x)) log(x)) -5}
₅ 1/2 2<
• 10
_{0.8 Grafik turunan numerik beda mundur pada domain [0.8 0.800001] 0.9 1 1.1 1.2 1.3 x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 f d ( x ) 6948 6946} 6950 _1.0652

  0.8 _{x 10 -3} ^0.8 _{Error relatif pada domain [0.8 0.800001]} ^{0.8 0.8} _x ^{0.8 0.8 0.8} _- i _{e e r r o r k 1.0651 1.065 0.8 0.8 0.8 0.8 xi 0.8 0.8 0.8} Gambar 3.5 Turunan f(x) dengan beda mundur dan error relatif syms x f1=2*x*cos(exp(3*x))-tan(log(x*exp(sqrt(sin(x))))); f2=(x^2)*exp(sin(2*x-3))+log(x)*sin(4*x*exp(-x)); f=f1/f2; h=0.0000001; d=[0.8:h:0.800001]; n=length(d); for i=1:n fh(i)=subs(f,d(i)-h); fx(i)=subs(f,d(i)); df(i)=(fx(i)-fh(i))/h; end g=diff(f,x);

  dF=subs(g,d); error=(abs(dF-df)./dF)*100; H=[d;fh;fx;df;dF;error]'; xlswrite( 'Hasil' ,H) subplot(3,1,1) ezplot(f,[0.8 1.8]) subplot(3,1,2) plot(d,df, '-r' ) hold on plot(d,dF) xlabel( 'x' ) ylabel( 'df(x)' ) title( 'Grafk turunan numerik beda mundur pada domain [0.8 0.800001]' ) subplot(3,1,3) plot(d,error) xlabel( 'xi' ) ylabel( 'error ke-i' ) title( 'Error relatif pada domain [0.8 0.800001]' )

3.2.1.3 Beda Tengah

  Pada uraian sebelumnya telah di bahas defnisi turunan fungsi berdasarkan beda maju dan mundur. Dengan mengambil nilai beda tengah yakni ∆x = (x+h) –(x-h) dan ∆f = f(x+h) – f(x-h). Untuk mendapatkan tafsiran geometris dari beda tengah, maka dari suatu fungsi f(x) dapat dikontruksi suatu kemiringan garis yang melalui titik ((x+h),f(x+h)) dan titik ((x-h),f(x-h)).

  Gmbar 3.6 Tafsiran geometris turun fungsi dengan beda tengah/pusat

  Pada gambar 3.6 di atas, dari titik x, ditentukan titik ke kanan sejauh h yang disebut x+h dan kekiri sejauh h yang disebut x- h. Jika jika h tersebut dibuat sedekat mungkin dengan 0 (nol) , maka akan diperoleh titik x, x-h dan x+h akan berdempetan dan titik f(x), f(x-h) dan f(x+h) akan berdempetan. Kondisi ini akan menyebabkan garis yang melalui titik (x-h,f(x-h)) dan (x+h,f(x+h)) akan menjadi garis singgung pada kurva f(x) di titik (x,f(x)). Kemiringan garis singgung tersebut y f ( x h ) f ( x h ) df

      m lim lim f  ( x )

      yang h h

        y 2 h dx

   selanjutnya disebut turunan pertama fungsi f(x) yang ditentukan dengan beda tengah/pusat.

  Defnisi 3.4 Turunan fungsi beda tengah/pusat

a. Defnisi Analitik

  y f ( x h ) f ( x h ) dy     m lim lim f ( x )

       x h

         x

2 h dx

   disebut sebagai turunan analitik beda maju dari f(x) terhadap x

b. Defnisi Numerik

  f f  y  i 1 i

  1   m lim lim f 

     i x h

          x 2 h

  Disebut sebagai turunan numeric beda maju dari f i terhadap x i .

  Teladan 3.5 Selesaikan teladan 3.1 di atas dengan mengunakan defnisi turunan beda tengah! Solusi Fungsi yang didefnisikan pada teladan 3.1 di atas adalah f(x)

  3 = x + 3x + 6. Dengan konsep beda tengah, maka turunan analitiknya adalah f ( x  h )  f ( x  h )

   f ( x )  lim h

     2 h

  3

  3 ( x  h )  3 ( x  h )  6  ( x  h )  3 ( x  h ) 

  6 lim  h

     2 h

  3

  2

  2

  3

  3

  2

  2

  3 x 

  3 x h  3 h x  h   3 x  3 h  6  x  3 x h  3 h x  h  3 x  3 h 

  6 lim 

  h  

  2 h

  2 h ( 6 x 6 hx 6 )

   

  2 lim 3 x

  3    h  

  2 h

  2 f  (

  3 )

  3

  3

  3

    Penyelesaian secara numerik diberikan sebagai berikut: f ( 3 . 1 ) f ( 3 . 1 )

  30 Sehingga untuk x = 3 diperoleh nilai   

     f  ( 3 )

   Untuk h = 0.1 

2 ( .

1 )

  3

  3 (3  0.1) 

  3 3  . 1  6  2 . 9 

  3 2 . 9 

  6    

   2 ( . 1 ) =

  30.01 30 .

  01

  30  x 100 %

  Error relatif =  0.033%. Untuk meperkecil

  30 kesalahan maka disimulasikan dengan mengambil nilai h lebih mendekati 0 (nol). f ( 3 . 01 ) f ( 3 . 01 )

     f  ( 3 )

   h = 0.01  2 ( .

01 )

  3

  3 (3 0.01)

  3 3 .

  01

  6 2 .

  99

  3 2 .

  99

  6             2 ( . 01 )

  = 30.0001

  30 . 0001 

  30 Eror relative = x 100 %  0.00033%

  30 Pemeriksaan lebih lanjut dengan kode komputer untuk h lebih

  dekat dengan 0 (nol) sebagai berikut: f=inline('x^3+3*x+6'); x=3; h=[0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001]; for i=1:6 df(i)=(f(x+h(i))-f(x-h(i)))/(2*h(i)); end df = 30.0100 30.0001 30.0000 30.0000 30.0000 30.0000 Hasil komputasi di atas menunjukkan bahwa untuk h = 0.001, sudah dapat memberikan nilai f’(3) = 30 sesuai dengan nilai eksaknya.

  Teladan 3.6 Selesaikan teladan 3.2 di atas dengan mengunakan beda tengah.

  5.53E- %

  57

  6948.16

  62

  02

  2 0.80000

  5.75E- 08 %

  44

  15 6948.31

  46 6948.3144

  01

  2.48E- 08 %

  1 0.80000

  5.51E- 08 %

  24

  37 6948.46

  41 6948.4624

  51

  0.8

  f' ^{I = (f i+1 - f i-} _{1 )/2h f'(x i )} |f' ^{I - f'(x i )|/|} f'(xi)|

  64

  3 0.80000

  % = 0.00000005.51%. Nilai ini cukup kecil dan berada pada toleransi kesalahan. Hasil komputasi numerik dengan kode program di bawah diperoleh sebagai berikut:

  04

  1.52E- 08 % 6 0.80000 - - 6947.5743 6947.57

  24

  78 6947.72

  67 6947.7223

  77

  05

  5 0.80000

  1.78E- 08 %

  81 6947.87

  03

  62 6947.8703

  72

  04

  4 0.80000

  6.13E- 08 %

  84

  85 6948.01

  57 6948.0183

  67

  i x i f i+1 f i-1 Numerik Analitik Error Relatif

  = 5.51 x 10

  Solusi: Diketahui fungsi analitik dari pada teladan 3.2 di atas adalah x x x x xe x e x xe e x x f

    0.7999999 0000001 .

  2 sin

       ) 8000001 . ( . 8000001 3 ) (

  2 ) ( ) ( ) ( 8 .

  , sehingga h h x f h x f f

  h x h x x

  8 .

  . 0000001 80000001 . 8 .

  8 .

         

  3 ) 8000001 . ( ) 4 sin 8000001 . ln( ) 8000001 . (

    

  3 . Turunan dari f(x) pada domain [0.8 0.800001] dengan h = 0.0000001 diperoleh dengan mengunakan beda tengah/pusat sebagai berikut:

  3 2 sin 2 sin

  2 ) (

  ) ln( tan ) cos(

    4 sin ln

    

     

   

  2 ) 8000001 . sin(

) 8000001 . (

  ) ) 8000001 . ln( tan ) cos( ) 8000001 . (

  = 6948.462437 Pemeriksaan dengan komputer nilai eksak dari f’(0.8) = 6948.4624. Error relatif dari nilai numerik tersebut adalah e r

  ) ) 7999999 . ln( tan ) cos( ) 7999999 . (

   e e e e

     

     

     

       

  1  

  2

  2 ) 0000001 . (

  3 ) 7999999 . ( ) 4 sin 7999999 . ln( ) 7999999 . (

  2 ) 0000001 . (

  2 ) 7999999 . sin(

) 7999999 . (

  ) 7999999 . ( . 7999999 3 ) ( 2 sin

   e e e e

     

     

     

       

  1  

  2

• 8
• 38.1243
• 38.1257
• 38.1236
• 38.1250
• 38.1229
• 38.1243 51 6948.1664
• 38.1222
• 38.1236
• 38.1215
• 38.1229
• 38.1208
• 38.1222
Numerik Analitik Error Relatif x i f i+1 f i-1 f' ^{I = (f i+1 - f i- |f' I - f'(x i )|/|} i )/2h f'(x i ) f'(xi)| ₁ 38.1201 38.1215

  06

  83

  72

  77

  44

  08

• 0.80000 38.1194 38.1208 6947.4263 6947.42

  3.01E-

  7

  07

  88

  77

  85

  64 08 %

• 0.80000 38.1187 38.1201 6947.2783 6947.27

  3.21E-

  8

  08

  93

  83

  97

  84 08 %

• 0.80000 38.1180 38.1194 6947.1304 6947.13

  2.97E-

  9

  09

  99

  88

  13

  04 08 %

• 0.80000 38.1174 38.1187 6946.9824 6946.98

  3.16E-

  1 ₅

  1

  04 _{-(tan(log(x exp(sin(x) ))) - 2 x cos(exp(3 x)))/(x exp(sin(2 x - 3)) + sin((4 x)/exp(x)) log(x)) 1/2}

  93 ₂

  34

  24 08 %

• _-10 -5
_{0.8 0.9 1 1.1 1.2}

_1.3

_x

_{1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 ) ( f x 6948.5 6947.5 6948}

Grafik turunan numerik beda mundur pada domain [0.8 0.800001]

  d _{6946.5 6947 0.8 -8 0.8 0.8 Error relatif pada domain [0.8 0.800001]}

_0.8

_x

_{0.8 0.8 0.8 o r k e - i 4 6 8} x 10 _{r e} r _{2 0.8 0.8 0.8}

_0.8

_xi

_{0.8 0.8 0.8}
Gambar 3.6. Garif f(x) dan turunan dengan beda tengah/pusat syms x

  f1=2*x*cos(exp(3*x))-tan(log(x*exp(sqrt(sin(x))))); f2=(x^2)*exp(sin(2*x-3))+log(x)*sin(4*x*exp(-x)); f=f1/f2; h=0.0000001; d=[0.8:h:0.800001]; n=length(d); for i=1:n fh1(i)=subs(f,d(i)+h); fh2(i)=subs(f,d(i)-h); df(i)=(fh1(i)-fh2(i))/(2*h); end g=diff(f,x); dF=subs(g,d); error=(abs(dF-df)./dF)*100; H=[d;fh1;fh2;df;dF;error]'; xlswrite( 'Hasil' ,H) subplot(3,1,1) ezplot(f,[0.8 1.8]) subplot(3,1,2) plot(d,df, '-r' ) hold on plot(d,dF) xlabel( 'x' ) ylabel( 'df(x)' )

title( 'Grafik turunan numerik beda mundur pada domain

[0.8 0.800001]' ) subplot(3,1,3) plot(d,error) xlabel( 'xi' ) ylabel( 'error ke-i' ) title( 'Error relatif pada domain [0.8 0.800001]' )

3.2.2 Turunan Kedua

  

Pendefnisian turunan kedua secara numerik dihampiri dengan

pendekatan aproksimasi deret taylor.

  2 ( x x ) f   ( x )



f ( x )  f ( x )  x  x f  ( x )   

    2 !

  Jika f(x) ≈ P 2 (x), maka f(x) =

  2 ( x  x ) f   ( x ) f ( x )  x  x f  ( x ) 

    2 !

  Jika x = x +h , maka x-x = x +h-x = h, dan Jika x = x -h, maka x-x = x -h-x = -h, sehingga

  2 h f   ( x )

   ………………(a) f ( x  h )  f ( x )  h f ( x ) 

  2 !

  2 h f   ( x )

  ……………...(b) f ( x  h )  f ( x )  h f  ( x ) 

  2 ! Dari (a) dan (b) diperoleh hasil jumlah sebagai berikut:

  2 h f   ( x ) sehingga dapat f ( x h ) f ( x h ) 2 f ( x )

  2     

  

2

diperoleh rumusan turunan kedua adalah f ( x  h )  2 f ( x )  f ( x  h ) f   ( x ) 

  2 h

  Definisi 3.5 Turunan kedua Jika f(x) fungsi kontinu, maka turunan kedua dari f(x) adalah

  a. Defnisi analitik f ( x h )

2 f ( x ) f ( x h )

      f   ( x ) lim

  

  2 h    h

  b. Defnisi Numerik   f 2 f f i 1 i i

  1     f  i

  2 h

  Teladan 3.7

3 Tentukan f’’(3) dari f(x) = x – 3x +6 secara analitik dan

  numerik Solusi:

  3 f(x) = x – 3x + 6

  3 f(x+h) = (x + h) – 3(x+h) + 6

  3

  2

  2

  3 = x + 3x h + 3xh + h – 3x – 3h + 6

  3 f(x-h) = (x – h) – 3(x-h) + 6

  3

  2

  2

  3 = x -3x h +3xh -h – 3x + 3h + 6

  3

• 2f(x) = -2x +6x – 12

  3

  2

  2

  3 f(x+h)-2f(x) + f(x-h) = (x + 3x h + 3xh + h – 3x – 3h + 6)+( -

  3 2x +6x – 12)

  3

  2

  

2

  3