Pengantar Analisis dan Komputasi Metode Numerik
BAB
INTERPOLASI 1.
2.1 Rasionalisasi
Dalam penyelesaian masalah matematika yang terkait dengan 2 integral, diferensial dan lainnya dari fungsi f(x) = x + 2x + 6 secara anlitik umumnya dengan mudah dapat kita selesaikan. 1
sin x dx
Akan tetapi dalam upaya menyelesaikan secara
x
analitik menjadi bukan pekerjaan yang gampang. Butuh pengetahuan yang luas dengan penguasaan analisis yang
sin x f ( x )
tinggi. Sementara fungsi sangat banyak
x
digunakan dalam kehidupan karena fungsi tersebut merupakan model dari gelombang suara yang dibutuhkan dalam kehidupan sehari-hari. 0.8 1 s in(x)/x 0.2 0.4
0.6
- 0. 2 -15 -10 -5
x
5 10 15 Gambar 2.1 Grafk fungsi f(x) = sin (x)/x sin x f ( x ) - + = 0 +(1)x +(0)x + ...
- f(x) = a + a x = f(x 1 1 ) - x x 1 x x x x
- f(x 1 ) f(x) = 68 .
- 2.68 = 2.33 Jadi nilai t tabel = 2.33 pada taraf signifkan 5% dengan dk = 47.
- -80 -70 -60 -50 -40 Perkiraan bentuk Das ar Sungai Jarak Pengukuran K e d a la m a n s u n g a i
- 0.002200000000000
- 0.310000000000003 0.008000000000000
- 0.000028000000000 Dari hasil komputasi tersebut diperoleh fungsi interpolasi kubik yaitu f(x) = 2 3 38.999999999999986–0.31x + 0.008x – 0.000028x .
- 0.04107666666667 0.00062416666667
- 0.00000382333333 0.00000001033333
- 0.00000000001040 Hasil komputasi tersebut diperoleh nilai untuk 2 a = 1.35999999999998 x 10 1 2 a = -0.04107666666667 x 10 2 a 2 = 0.00062416666667 x 10 2 a 3 = -0.00000382333333 x 10 2 a 4 = 0.00000001033333 x 10 2 a 5 = -0.00000000001040 x 10 sehingga persamaan polynomial diperoleh adalah
- 0.000382333333x +0.000001033333x - 5 0.00000000104x f=poly2sym([k(6) k(5) k(4) k(3) k(2) k(1)]); pretty(f)
Mengubah bentuk fungsi menjadi fungsi
x
polynomial lainnya yang bersesuaian dalam domain tertentu menjadi alternatif solusi yang cepat dalam penyelesaian integrasi tersebut. Suatu hampiran yang digunakan untuk mendapatkan model yang berbeda dari suatu model matematika atau fakta alam yang ada disebut dengan
sin x f ( x )
Aproksimasi. Suatu hampiran yang baik dari
x
1 2
1 4
1 6
1 8
adalah f ( x )
1 x x x x . Hal ini 6 120 5040 362880 dapat ditunjukkan dalam domain [-3.5 3.5] bahwa kurva fungsi tersebut berimpit., sehingga kepentingan analisis pada domain
sin x f ( x )
[-3.5 3.5] pada fungsi dapat dilakukan dengan
x
menyelesaikannya pada domain [-3.5 3.5] dari fungsi
1 2
1 4
1 6
1 8 f ( x ) 1 x x x x
6 120 5040 362880 1.2 1 x / 362880 - x / 5040 + x /120 - x / 6 + 1 8 6 4 2 . f(x )=P (x ) f(x )=s in(x ) 0.2 0.4 0.6
0.8 -0.2 Y : -0.05485 -6 -4 -2 X: -3.339 x 2 4 6 Gambar 2.2 Aproksimasi fungsi f(x)=sin(x)/x dengan
fungsi polynomial
1 2
1 4
1 6
1 8 f ( x ) 1 x x x x
6 120 5040 362880
Lebih lanjut, dalam upaya mendapatkan mendapatkan nilai 2 f(75) dari f(x) = x +2x+2 dengan sangat mudah kita lakukan, 2 yakni f(75) = 75 + 2(75) + 2 = 5777. Akan tetapi menjadi sulit jika akan dicari nilai f(75) dari sekumpulan data pemetaan seperti: x 50 100 150 200 250 300 f(x)
45
60
78
73
57
41 dimana x adalah jarak pengukuran pada permukaan sungai dan f(x) adalah kedalaman sungai. Hal ini disebabkan karena fungsi analitik dari f(x) tidak diketahui. Sementara nilai f(75) diperlukan unutk mengetahui kedalaman sungai pada jarak 75 cm dari pinggir sungai. Upaya matematis yang bertujuan unutk mendapatkan nilai dianatara data yang diketahui sebagaimana ilustrasi di atas disebut dengan interpolasi. Dengan teknik
interpolasi yang sebentar ajan di bahas, diperoleh persamaan pendekatan analitik yang dapat digunakan pada f(x) tersebut adalah f(x) = 135.9999999998 - 4107666666667 x + 2 3 4
0.062416666667x -0.000382333333x +0.000001033333x - 5 0.00000000104x .
Dapat diperiksa bahwa pemetaan x ke f(x) dapat dirumuskan dengan fungsi tersebut di atas sehingga dapat dengan mudah dihitung nilai dari f(75).
2.2 Aproksimasi
2.2.1 Metode Deret Maclaurin 2 Persamaan umum fungsi polynomial f(x) = a + a + 3 3 4 n 4 n 1 x+ a 2 x a x + a x + ... + a x
Turunan fungsi polynomial tersebut hingga turunan ke-n adalah sebagai berikut: 1 2 2 3 3 4 n 4 n
f(x) = a + a x+ a x + a x + a x + ... + a x 2 3 n-1
f'(x) = (1)a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x + 4a 4 x + ... + na n x 2 n-2 f"(x) = (1)(2)a 2 + (2)(3)a 3 x+ (3)(4)a 4 x + ... + (n-1)(n)a n x n-3 f'"(x) = (1)(2)(3)a iv 3 + (2)(3)(4)a 4 x+ ... + (n-2)(n-1)(n)a n x n-4 f (x) = (1)(2)(3)(4)a (n) 4 + ….+ (n-3)(n-2)(n-1)(n)a n x n n f (x) =(1) (2)(3) ... (n-2)(n-1)(n)a = n!a untuk x = 0 →f(0) = a → a = f(0) f'(0) = a 1 → a 1 = f'(0)
f ( )
f"(0) = 2a 2 = 2!a 2 → a 2 = 2 !
f ( )
f"'(0) = (2)(3)a 3 = 3!a 3 → a 3 = iV iv 3 ! f (0) = 4!a (n) 4 a 4 = f (0)/4! f (0) = (2)(3)...(n-2)(n-1(n)a n = n!a n → a n =
( n ) f ( ) n !
( n ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( )
2 3 n f ( x ) x x x x
! 1 ! 2 ! 3 ! n !
Selanjutnya deret tersebut didefnisikan sebagai deret Maclaurin. Tafsiran geometri deret maclaurin tersebut adalah suatu hampiran nilai f(x) berdasarkan nilai f(0).
Gambar 2.3 Tafsiran Geometris Deret MaclaurinTeladan 2.1
Diketahui: f(x)= sin x Tuliskan f(x)dalam bentuk fungsi polinomial!
Solusi: f(x) = sin x → f(0) = 0 f'(x) = cos x → f'(0) = 1 f''(x) = -sin x → f''(0) = 0 f'"(x) = -cos x → f'"(0) = -1 f'"'(x) = sin x → f'"'(0) = 0 f'"''(x) = cos x → f'"''(0) = 1
sehingga diperoleh
f(x) = f(0)+f'(0)x+ 2
=x -
Jadi, bentuk pebdekatan polinomial dari f(x)=sin x adalah
f(x) =x -
2.5 1.5 2 1
x -1/ 6 x + 1/120 x -1/ 5040 x +1/ 362880 x
3 5 7 9 f(x )= s in(x ) -1. 5 -0. 5
0.5 -1 -2. 5 -2 -6 -4 -2
x
2 4 6 Gambar 2.4 Aproksimasi Deret Macalurin hingga derajat ke-102.1.2 Metode Deret Taylor
= 0 digeser sejauh a ke Berdasarkan defnisi deret Maclaurin, jika x kanan, maka diperoleh jarak antara x dengan a adalah x-a, sehingga diperoleh bentuk persamaan baru dengan mengikuti pola persamaan deret Maclaurin tersebut adalah
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+
Tafsiran geometris dari deret Taylor tersebut adalah
Gambar 2.5 Tafsiran geometris Deret TaylorTeladan 2.2
Diketahui : f(x) = sin x Tentukan fungsi polinomial dari f(x) dengan mengikuti nilai awal x = 10
Solusi: f(x) = sin x → f(10) = sin(10) = -0.5440 f'(x) = cos x → f'(10) = cos(10) = -0.8391
f''(x) = -sin x → f''(10) = -sin(10) = 0.5440 f'"(x) = -cos x → f'"(10) = -cos(10) = 0.8391 f'"'(x) = sin x → f'"'(10) = sin(10) = -0.5440 f'"''(x) = cos x → f'"''(10) = cos (10) = -0.8391 2 3 4 x a f ( a ) x a f ( a ) x a f ( a )
f ( x ) f ( a ) x a f ( a )
2 ! 3 ! 4 !
Untuk a = 10, maka diperoleh
2
3
4
5 x 10 f ( 10 ) x 10 f ( 10 ) x 10 f ( 10 ) ( x 10 ) f ( 10 )
f ( x ) f ( 10 ) x 10 f ( 10 )
2 ! 3 ! 4 ! 5 !
2
3
4
5 x 10 . 544 x 10 . 8391 . 544 x 10 . 8391 ( x 10 )
f ( x ) . 544 . 838 x
10
2 ! 3 ! 4 ! 5 !
Komputer program yang dapat digunakan unutk mengevaluasi deret taylor ini dan sketsa grafiknya adalah syms x f=sin(x); t=taylor(f,12,10); d=[2:0.1:16]; ezplot(t,d) hold on plot(d,subs(f,d), 'r' ) legend( 'Aproksimasi' , 'f(x)=sin x' ) grid on 3.5 3 f(x)= sin x s in(10) -.. .- (c os (10) (x - 10) )/ 39916800 11 Aprok s imasi 1.5
2.5 1 2 -0.5
0.5 -1
2 4 6 8 x 10 12 14 16 Gambar 2.6 Aproksimasi deret Taylor hingga derajat ke-12 dengan x = 10.
Aproksimasi fungsi dari f(x) = sin x dengan fungsi polynomial berderajat 11 (sebelas ) adalah
2.3 Interpolasi
Interpolasi adalah suatu cara untuk mencari nilai di antara beberapa titik data
yang telah diketahui. Dalam kehidupan sehari- hari ,interpolasi dapat digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi dimana fungsi tersebut tidak terdefinisi dengan suatu formula, tetapi didefinisikan hanya dengan data
2.3.1 Interpolasi Polinomial
Interpolasi polynomial merupakan suatu metode untuk mendapatkan nilai suatu titik data yang terletak diantara data- data yang diketahui mengunakan persamaan polynomial. Tinjauan kembali persamaan umum polinimial sebagai berikut: 2 f(x) = a + a 1 x+ a 2 x dengan n bilangan Asli
Apabila polynomial tersebut diambil hingga derajat n=1,maka akan diperoleh persamaan f(x) = a + a 1 x. Interpolasi menggunakan persamaan ini disebut sebagai interpolasi linier.
Sedangkan jika polynomial yang diambil hingga derajat n=2, 2 maka diperoleh persamaan f(x) = a + a 1 x + a 2 x yang selanjutnya disebut interpolasi kuadrat. Lebih lanjut untuk interpolasi hingga mengambil derajat polynomial n = 3 disebut sebagai interpolasi kubik dengan persamaan umum f(x) = a + 1 2 2 3 3 a x + a x + a x . Untuk n ≥ 4 maka interpolasi polynomial tersebut umumnya disebut sebagai interpolasi polynomial berderajat n. Pemilihan jenis interpolasi polynomial tersebut didasari atas banyaknya data dan pola data yang diketahui.
2.3.1.1 Interpolasi Linier
Sebagaimana dalam pembahasan sebelumnya, bahwa interpolasi linier merupakan interpolasi yang mengunakan persamaan polynomial berderajat n=1 dengan persamaan linier, f(x) = a + a 1 x. Misalkan dimiliki dua buah titik (x 1 , f(x 1 )) dan (x 2 , f(x 2 )), maka persamaan linier yang melalui kedua titik tersebut adalah: f(x 1 ) = a o + a 1 x 1 f(x 2 ) = a + a 1 x 2
____________ -
f ( x ) f ( x )
2
1 a
f(x 2 ) – f(x 1 ) = a 1 (x 2 – x 1 )
1 x x
2
1 f ( x ) f ( x )
2
1
f(x 1 ) = a o + a 1 x 1 a = f(x 1 ) – a 1 x 1 = f(x 1 ) - x 1
x x
2
1 f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x )
2
1
2
1
2
1
2
1 f ( x ) f ( x )
2
1 f(x) = (x-x 1 )+f(x 1 ) x x
2
1 Persamaan terakhir disebut sebagai persamaan untuk
interpolasi linier yang digunakan untuk mendpatkan nilai 1 1 2 2 f(x) berdasarkan data (x ,f(x )) dan (x , f(x )).
Teladan 2.3
Dua buah warung makan sama-sama menjual nasi bungkus dengan harga yang sama, pada hari penjualan yang sama, warung A mendapat untung Rp. 130.000 perhari dengan modal awal Rp. 500.000 dan warung B mendapat untung sebesar Rp. 50.000 dengan modal Rp. 300.000. karena melihat warung A dan B memperoleh keuntungan yang cukup menjanjikan, pak Ahmad berkeinginan untuk menjual nasi bungkus seperti yang dijual oleh kedua warung tersebut. Dengan melihat perbandingan hasil atau keuntungan yang didapatkan oleh toko A dan B, berapakah keuntungan yang akan didapatkan pak Ahmad dengan menggunakan modal sebesar Rp. 350.000
Solusi:
Berdasarkan data di atas, maka pendekatan yang dapat digunakan adalah interpolasi linier karena banyaknya data yang diketahui ada 2 (dua). Beradasarkan data tersebut maka dapat didefniskan variable sebagai berikut: x 1 = 200.000,- dan f(x 1 ) = 50.000,- x 2 = 500.000,- dan f(x 2 ) = 130.000,- x = 350.000,- dan f(x) = ….?
f ( x ) f ( x )
2
1
f(x) = (x-x 1 )+f(x 1 )
x x
2
1 130000 50 . 000
( 350 . 000 200 . 000 ) 50 . 000
=
500 . 000 200 . 000
= 90.000,- Jadi perkiraan keuntungan penjualan dengan modal Rp. 350.000,- adalah Rp. 90.000,-
Teladan 2.4
Berapakah perkiraan jumlah penduduk Indonesia pada tahun 1990 berdasarkan data hasil sensus pada tabel dibawah
ini:
Tahun 1986 1994
Jumlah penduduk 133.4 143.5 (juta)
Variable tahun kita sebut sebagai x, (x 1 = 1996, x 2 =1994) dan variable jumlah penduduk sebagi y, (y 1 = 133.4, y 2 =143.5). dengan menggunakan persamaan interpolasi linier diperoleh nilai untuk jumlah penduduk tahun 1990 Jadi perkiraan banyaknya penduduk Indonesia pada tahun 1990 adalah 129.35 juat jiwa.
Teladan 2.5 tabel
Aliefa akan menentuka nilai t pada taraf siginifkan 5% untuk uji satu pihak dengan dk = 47. Pada table tersebut nilai yang dicari tidak termuat. Akan tetapi nilai yang termuat tabel tabel adalah t = 2.68 untuk dk = 40 dengan t = 1.67dan dk =
60. Tentukan nilai pendekatan t tabel pada dk 47 tersebut dengan mengunakan interpolasi linier.
Solusi:
Dari permasalahan tersebut diketahui
= (9*x)/25 + 24 110.00 120.00 130.00 140.00 150.00
90.00 100.00
45.00
48.00
51.00
54.00
57.00
60.00 [100 150] f(x) =
60
60
78 100 150 100
x
63.60
70.00
67.20
74.40
70.80
78.00 [150 200] f(x) =
78
78
73 150 200 150
x
= 93 - x/10 160.00 170.00 180.00 190.00
77.00
76.00
75.00
80.00
60.00
x 1 = 40, f(x 1 ) = 2.68 x 2 = 60, f(x 2 ) = 1.68 x = 47, f(x) = ..? f(x) =
60
) ( ) ( 1 2 1 2 1 x f x f x x x x
2 68 .
1
40
60
40
47
Teladan 2.6
Hasil pengukuran kedalam sungai yang memiliki lebar 3m pada interval tiap 50cm dari suatu pinggir sungai adalah sebagai berikut:
Jarak (cm) 50 100 150 200 250 300 Kedalaman cm
45
78
50.00
73
57
41 Tentukan pendekatan secara linier kedalam sungai tiap 10 cm dan sketsa grafk perkiraan pola dasar sungai.
Solusi:
Penyelesaian masalah tersebut dengan metode interpolasi linier dilakukan dengan menentukan nilai pada tiap 10 cm pada selang [50 100], [100 150], [150 200],[200 250] dan [250 300] dengan cara sebagai berikut:
Interval (x)
Formula Interpolasi x f(x)
[50 100] f(x) =
45
45
60 50 100 50
x = (3*x)/10 + 30
74.00 Interval Formula Interpolasi x f(x) (x)
200.00
73.00 [200 250] f(x) = 210.00
69.80
x 200 220.00
66.60
57
73
73
230.00
63.40 250 200
240.00
60.20 250.00 57.00 = 137 - (8*x)/25
[250 300] f(x) = 260.00
53.80
x 250 270.00
50.60
41
57
57
280.00
47.40 300 250
290.00
44.20 = 137 - (8*x)/25 300.00
41.00 Evaluasi nilai di atas dilakukan dengan kode program berikut:
x=[50 100 150 200 250 300]; y=[45 60 78 73 57 41]; xi=[50:10:300]; yi=interp1(x,y,xi, 'linear' ); [xi yi]; subplot(2,1,1) plot(x,y, 'o' ) hold on plot(xi,yi, '-*r' ) legend( 'Data aktual' , 'Interpolasi' ) subplot(2,1,2) plot(xi,-yi, '-.r' ) title( 'Perkiraan bentuk Dasar Sungai' ) xlabel( 'Jarak Pengukuran' ) ylabel( 'Kedalaman sungai' )
Rekontruksi model pendekatan dasar sungai diberikan oleh gambar berikut:
50 100 150 200 250 300 40 50 60 70 80 Data ak tual Interpolasi 50 100 150 200 250 300
2.3.1.2 Interpolasi Kudrat
(x 2, y 2 ) a + x 2 a 1 + x 2 2 a 2 = y 2 (x 3 , y 3 ) a + x 3 a 1 + x 3 3 a 2 = y 3 Augmented matriks dari SPL tersebut adalah
2
1
3
2
1
2
1
2
3
3
2
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1 y y y x x x x x x a a a y y y a a a x x x x x x
2
1
2
3
2
1
1
2
3
3
2
2
Interpolasi kuadrat erupakan metode untuk mendapatkan nilai diantara titik-titik data yang diketahui menggunakan persamaan kuadrat atau polynomial berderajat 2, yaitu f(x) = a + a 1 x + a 2 x 2 . Metode ini digunakan apabila diketahui minimal data pengamatan ada 3 titik. Misalkan titik-titik yang diketahui adalah (x 1 ,y 1 ), (x 2 , y 2 ) dan (x 3 , y 3 ), maka nilai yang terdapat diantara titik-titik tersebut adalah fungsi kuadrat yang koefesiannya a , a 1 dan a 2 adalah solusi dari system persamaan linier 3 (tiga) variable sebagai berikut: (x 1 , y 1 ) a + x 1 a 1 +x 1 2 a 2 = y 1
2 Jadi persamaan interpolasi kuadrat yang dapat dilakukan adalah 1 2 2 f(x) = a + a x + a x dengan
1
2 a 1 x x y
1
1
1
2 a 1 x x y
1
2
2
2
2 a 1 x x y
2
3
3
3
Teladan 2.7
Selesaikanteladan 3.6 di atas dengan mengunakan interpolasi kuadrat
Solusi:
Prosedur penyelesaian yang dapat diterapkan adalah dengan membangun partisi domain interpolasi kuadrat sebagai berikut: (1) Untuk titik (50,45), (100, 60) dan (150,78) diperoleh bentuk augmented matriks koefesien polynomial kuadrat adalah 2 1
a
1
50 50
45
2 a 1 100 100
60
1 2 a 2 1 150 150
78
Dengan komputasi sederhana dapat diperoleh persamaan kuadrat sebagai berikut: A1=[1 50 50^2;1 100 100^2;1 150 150^2]; B1=[45;60;78]; k1=inv(A1)*B1 k1 = 33.000000000000000 0.210000000000000 0.000600000000000
Hasil komputasi tersebut memberikan persamaan kuadrat
2
f ( x ) 33 . 21 x . 0006 x
untuk menentukan nilai f(x) pada interval [50 150]. (2) Untuk titik (150,78), (200, 73) dan (250,57) diperoleh bentuk augmented matriks koefesien polynomial kuadrat adalah
2
1 a 1 150 150
78 2 a 1 200 200
73 1 2
a 2 1 250 250
57
A2=[1 150 150^2;1 200 200^2;1 250 250^2]; B2=[78;73;57]; k2=inv(A2)*B2 k2 = 27.000000000000000 0.670000000000000
Hasil komputasi tersebut memberikan persamaan kuadrat 2 untuk menentukan nilai f(x) f ( x ) 27 . 67 x . 0022 x pada interval [150 250].
(3) Untuk titik (250, 57) dan (300, 41) tidak cukup untuk melakukan interpolasi kuadrat, pendekatan yang dilakukan dengan interpolasi linier dengan bentuk persamaan f(x) = 137 - (8*x)/25. sebelumnya
Berdasarkan analisis di atas, maka persamaan interpolasi yang dapat digunakan adalah sebagai berikut:
2 33 . 21 x . 0006 x 50 x 150
2 f ( x ) 27 . 67 x . 0022 x 150 x 250
8
137 x 250 x 300
25 Selanjutnya evaluasi nilai fungsi tersebut dilakukan dengan kode program komputasi berikut:
xa=[50 100 150 200 250 300]; ya=[45 60 78 73 57 41]; x1=[50:10:150]; x2=[160:10:250]; x3=[260:10:300]; [xi;yi]' syms x f1=33+0.21*x+0.0006*x*x; f2=27+0.67*x-0.0022*x*x; f3=137-(8/25)*x; xi=[x1 x2 x3]; yi=[subs(f1,x1) subs(f2,x2) subs(f3,x3)]; subplot(2,1,1) plot(xa,ya, '*' ) hold on plot(xi,yi, '-or' ) legend( 'Aktual' , 'Interpolasi' ) subplot(2,1,2) plot(xi,-yi, '.-r' ) xlabel( 'Jarak' ); ylabel( 'Kedalaman' ) title( 'Model dasar sungai' ) Hasil komputasi dengan kode program di atas diperoleh sebagai berikut:
Jarak Kedalam an
47.4
140 74.16 240
64.72
67.92 130 70.44 230
70.68 120 66.84 220
41 110 63.36 210
44.2 100 60 200 73 300
90 56.76 190 74.88 290
80 53.64 180 76.32 280
Jara k Kedalam an
50.6
70 50.64 170 77.32 270
53.8
60 47.76 160 77.88 260
57
50 45 150 78 250
Jara k Kedalam an
61.08
80 Interpolasi Aktual 40
60 70
50 50 100 150 200 250 300 Model dasar sungai a la a m n -60 -40 -50 K e d -80 -70 50 100 150 200 250 300 Jarak
Gambar 2.8 Model dasar sunagi dengan interpolasi kuadrat2.3.1.3 Interpolasi Kubik
Interpolasi kubik merupakan metode untuk mendapatkan nilai diantara titik-titik data yang diketahui menggunakan persamaan polynomial berderajat 3 dengan persamaan umum 2 3 f(x) = a + a 1 x + a 2 x + a 3 x . Metode ini digunakan apabila diketahui minimal data pengamatan ada 4 titik. Misalkan titik-titik yang diketahui adalah (x 1 ,y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ) dan (x 4 , y 4 ), maka nilai yang terdapat diantara titik-titik tersebut akan memeuhi fungsi kubik dengan a , a 1 , a 2 dan a 3 adalah solusi dari system persamaan linier 4 (empat) variable sebagai berikut: 2 3
(x 1 , y 1 ) a + a 1 x 1 +a 2 x 1 + a 2 3 x 1 = y 3 1 (x 2, y 2 ) a + a 1 x 2 + a 2 x 2 + a 3 3 x 2 = y 3 2
(x 3 , y 3 ) a + a 1 x 3 + a 2 x 3 3 + a 3 x 3 = y 3 3 (x 4 ,y 4 ) a + a 1 x 4 + a 2 x 4 + a 3 x 4 = y 3 Augmented matriks dari SPL tersebut adalah
1 y
2
3
2
3 a a a 1 x x x
1 x x x
1
1
1
1
1
1
1
1
1 y
1
2
3
2
3 a a a
1 x x x 1 x x x
2
2
2
2
2 2
2
2 2 y
2
2
3
2
3 a a a
1 x x x 1 x x x
3
3
3
3
3 3
3
3
3 y
3
2
3
2
3 a a a
1 x x x 1 x x x 4 4 4
4
4 4
4
4 4 y 4
Teladan 2.8
Penyelesaian permasalahn teladan 2.6 di atas dapat dilakukan dengan interpolasi kubik dengan partisi titik-titik data pengukuran sebagai berikut: (1) Partisi pertama adalah titik {(50,40),(100,60),(150,78),(200,73)} sehingga diperoleh Augmented matriks koefesien SPL adalah sebagai berikut:
1
2
3
a 40
1
50
50 50
1
2
3
a60 1 100 100 100
2
2
3
a 78
3 1 150 150 150
2
3
a73 1 200 200 200 4
Penyelesaian dengan computer program diperoleh sebagai berikut: A=[1 50 50^2 50^3;... 1 100 100^2 100^3;... 1 150 150^2 150^3;... 1 200 200^2 200^3]; B=[40;60;78;73]; format long k=inv(A)*B k = 38.999999999999986
(2) Sedangkan titik keduanya mengunakan pendekatan interpolasi kuadrat, karena data yang dimiliki tidak cukup untuk membentuk polynomial derajat 3 yaitu titik {(200,73),(250,57), (300,41)}. Aumented mPenyelesaian dengan computer program sebagai berikut: A=[1 200 200^2;1 250 250^2;1 300 300^2]; B=[73;57;41]; format long k=inv(A)*B; poly2sym([k(3) k(2) k(1)]) ans = 137 - (8*x)/25 Hasil komputasi tersebut memberikan fungsi polynomial yang dapat digunakan adalah linier f(x) = 137 - (8*x)/25. Hal ini menunjukkan ketiga titik (200,73),(250,57), (300,41) cendrung membentuk suatu garis lurus ketimbang kuadrat. Fungsi polynomial yang digunakan untuk melakukan interpolasi adalah
300 200
25
8 137 200 x
50 0.000028x3 - 0.008x2 + 0.31x - 99999986 38.9999999 ) (
x x x f
Perhitungan dengan computer sebagimana kode program di bawah ini menghasilkan nilai pendekatan kedalaman sungai dan grafik model dasar sungai sebagai berikut: syms x xa=[50 100 150 200 250 300]; ya=[45 60 78 73 57 41]; d1=[50:10:200]; d2=[210:10:300]; f1=38.999999999999986-0.31*x + 0.008*x*x-0.000028*x*x*x; f2=137-(8/25)*x; xi=[d1 d2]; yi=[subs(f1,d1) subs(f2,d2)]; [xi;yi]' subplot (2,1,1) plot(xa,ya,'*') hold on plot(xi,yi,'-or') legend('Aktual','Interpolasi') subplot(2,1,2) plot(xi,-yi,'-.r') xlabel('Jarak pengukuran') ylabel('Kedalaman Sungai') title('Pendekatan model dasar sungai')
Kedalama Jara Kedalama Jara Kedalama Jarak n k n k n 50 40 150 78 250
57 60 43.152 160 79.512 260 53.8 70 46.896 170 79.936 270 50.6 80 51.064 180 79.104 280 47.4 90 55.488 190 76.848 290 44.2 100
60 200 73 300
41 110 64.432 210 69.8 120 68.616 220 66.6 130 72.384 230 63.4 140 75.568 240 80 70
60.2 Interpolasi Aktual 40 50
60 50 100 150 200 250 300 u i S a n n g a -60 -50 -40 Pendekatan model dasar sungai e d a -70 la K m -80 50 100 150 200 250 300 Jarak pengukuran
Gambar 2.9
Model dasar sunagi dengan interpolasi kubik
2.3.1.4 Interpolasi Polinomial Derajat n
Interpolasi polynomial nerajan n merupakan metode untuk mendapatkan nilai diantara titik-titik data yang diketahui menggunakan persamaan umum polinomial f(x) = a + a 2 3 n 1 x + a 2 x + a 3 x + … + a n x . Untuk data sebanyak n, maka akan dapat didekati melalui persamaan polynomial berderajat n-1 2 3 n yaitu f(x) = a + a 1 x + a 2 x + a 3 x + … + a n x
Misalkan dimiliki data (x 1 ,y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ) hingga (x n , y n ), maka akan diperoleh Sistem persamaan Linier untuk koefesien polynomial sebagai berikut: 2 2 n-1
(x 1 , y 1 ) a + a 1 x 1 + a 2 x 1 + a 2 3 x 1 + … + a n x 2 n-1 1 = y 1 (x 2 , y 2 ) a + a 1 x 2 + a 2 x 2 + a 2 3 x 2 + … + a n x 2 n-1 2 = y 2
(x 3 , y 3 ) a + a 1 x 3 + a 2 x 3 + a 3 x 3 + … + a n x 3 = y 3
2 2 n-1
(x n , y n ) a + a 1 x n + a 2 x n + a 3 x n + … + a n x n = y n Augmented matriks dari koefesien SPL adalah
2 3 n
1
a y 1 x x x x
1
1
1
1
1
2 3 n
1 a y
1 x x x x
1
2
2
2
2 2
2 3 n
1
a y
1 x x x x
2
3
3
3
3
3
2 3 n 1 a y
1 x x x x
n n n n n n
Sehingga solusi dari koefesien SPL tersebut adalah
1
2 3 n
1 a y
1 x x x x
1
1
1
1
1
2 3 n
1 a y
1 x x x x
1
2
2
2
2
2
2 3 n
1
a y
2
1 x x x x
3
3
3
3
3
2 3 n 1
a y
1 x x x x
n n
n n n n
Teladan 2.9 Tinjau kembali data pengukuran kedalaman sungai pada teladan 2.6 di atas.
Jarak (cm) 50 100 150 200 250 300 Kedalaman
45
60
78
73
57
41 cm
Karena banyaknya data ada 6 titik, maka interpolasi polynomial yang dapat dikontruksi adalah polynomial berderajat 5. Augmented matriks koefesien yang dapat diperoleh adalah sebagai berikut:
1
2
3
4
5 a
1
50
50
50
50
50 45
2
3
4
5 a 1 100 100 100 100 100
1
60
2
3
4
5 a 1 150 150 150 150 150
78
2
2
3
4
5 a
73 1 200 200 200 200 200
3
2
3
4
5
57 a 1 250 250 250 250 250
4
41
2
3
4 5 a 1 300
5 300 300 300 300
Dengan komputasi sebagaimana kode di bawah ini diperoleh penyelesaian sebagai berikut: A=[1 50 50^2 50^3 50^4 50^5;... 1 100 100^2 100^3 100^4 100^5;... 1 150 150^2 150^3 150^4 150^5;... 1 200 200^2 200^3 200^4 200^5;... 1 250 250^2 250^3 250^4 250^5;... 1 300 300^2 300^3 300^4 300^5]; B=[45;60;78;73;57;41]; k=inv(A)*B k = 1.0e+002 * 1.35999999999998
f(x) = 135.9999999998 - 4107666666667 x + 2 0.062416666667x 3 4
Evaluasi nilai f(x) pada data interpolasi pada domain [50 300] dengan Δ x = 10
Jara Kedalama Jara Kedalam Jarak Kedalaman k n k an
50 45 150 78 250
57 53.90489 60 44.239296 160 78.756096 260
6 50.90867 70 46.227072 170 78.519872 270
2 47.90572 80 50.016128 180 77.388928 280
8 44.70150 90 54.819904 190 75.496704 290
4 100 60 200 73 300
41 110 65.053696 210 70.066496 120 69.601472 220 66.862272 130 73.374528 230 63.539328 140 76.202304 240 60.223104
80 Aktual Interpolasi 40
60 70
50
50 100 150 200 250 300
-60 -50 -40 Model pendekatan pola dasar sungai -80 -7050 100 150 200 250 300
Gambar 2.10 Model dasar sunagi dengan interpolasi derajat 5Kode komputasi unutk mengambar grafk fungsi tersebut: d=[50:10:300]; subplot(2,1,1) plot(d,subs(f,d),'-or') hold on plot([50:50:300],[45 60 78 73 57 41],'*') legend('Interpolasi','Aktual') grid on subplot(2,1,2) plot(d,subs(f,d),'-.r') plot(d,-subs(f,d),'-.r') legend('Model pendekatan pola dasar sungai')
Teladan 2.9
Lakukan hampiran dengan interpolasi polynomial untuk mendapatkan model matematika hubungan antra tahun
angkatan dengan banyaknya mahasiswa berdasarkan data actual pada jurusan pendidikan matematika IAIN MAtaram dari tahun 2003 sampai dengan 2010 sebagai berikut:
Tahun 200 200 200 200 200 200 200 201
3
4
5
6
7
8
9 Banyakn
43
40 80 114 177 98 147 146 ya mahasis wa
Solusi:
Karena ada 8 data yang diketahui maka interpolasi polinomila yang dapat diterapkan adalah polynomial derajat 7 dengan persamaan umum 7 6 5 4 3 2
y ax bx cx dx ex fx gx h i i i i i i i i