DEVIDE DIFFERENCE (SELISIH TERBAGI)

BAB 5 PENDEKATAN FUNGSI DEVIDE DIFFERENCE (SELISIH TERBAGI) A. Tujuan

  a. Memahami Polinomial Newton (Selisih Terbagi) b.

  Mampu menentukan koefisien-koefisien Polinomial Newton c. Mampu menentukan koefisien-koefisien Polinomial Newton dengan Matlab

B. Perangkat dan Materi a.

  Software Matlab b.

  Metode Selisih Terbagi

  C. Dasar Teori Misalkan akan mencari pollinomial interpolasi P (x ) untuk menghampiri suatu fungsi _n

  f (x ) . Untuk

• ini data yang diberikan adalah (n 1) titik , ( x , f ( x )), ( x , f ( x )),....... .., ( x , f ( x )) .

  1

  1

  2 2 n  1 n 

1 Misalkan polynomial interpolasinya kita tulis :

  

P ( x )  a  a ( x  x )  a ( x  x )( x  x )  ......  a ( x  x )( x  x ).....( x  x ) (1)

_{n n n}

  1

  2

  1

  3

  1 2 

  1

  1

  2 dan kit a ingin mencari nilai-nilai koefisien a , a ,........, a , a . _{n n}

1

2 

  1  k  n 

  Perhatikan bahwa di sini berlaku : P ( x )  f ( x ) untuk _{n k k} 1 ( 1 )

  x x

  Jika  disubstitusikan ke dalam persamaan 1 di atas, maka semua suku pada

  1

  sisi kanan kecuali suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh :

  f ( x )  P ( x )  a _n

  (2)

  1

  1

  1

  jika x  x disubstitusikan ke dalam persamaan (1) , maka semua suku pada sisi kanan

  2

  kecuali dua suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh :

  f ( x )  P ( x )  a  a ( x  x ) (3) 2 n

  2

  1

  2

  2

  1

  atau

  1

  6 dengan cara menyamakan penyebut

  1

  3

  1

  ) ( ) ( ( ) ( ) (

  terakhir menjadi :

  3  x x x x x x   , sehingga persamaan

  2

  3

  1

  3

  1

  ) )( )( (

     

  1

     

     

  3 x x x x x f x f x x x f x f

  1

  3

  1

  2

  

1

  2

  1

  3

  2

  2

  2

  =

  Selisih terbagi pertma terhadap _k

  dan

  1 

^k

x

  ,

  x

  (8) 3. Selisih terbagi kedua terhadap _k

  3 , 2 , 1 

  1 , n k ,....

  1

  1

    

    

  

x dan

1  k x _{k k k k k k} x x x f x f x x f

   1  n k (7) 2.

  1

   x f x f ) 1 ,....( 3 , 2 ,

  x ) ( | | _{k k}

  Selisih terbagi ke nol terhadap k

  (6) Berikut diperkenalkan pengertian selisih-selisih terbagi dari suatu fungsi : 1.

  

     

     

     

  3 x x x x x f x f x x x f x f a

  3

  1

  3

  ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

   

  2

  3  x x , maka akan dperoleh persamaan

  1

  3

  3

  1

  3

  3

  1

  3

  2

  3 P x x f _n ). )( ( ) ( ) (

  3

    ) ( ) (

  (4) Jika ) (x P _n dihitung pada

  1 x x x x a x x a x x a a

   

   

   

  x x x f x f x x a x f a

  ) ( ) ( ) (

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

        

      

  ) )( ( ) )( ) ( ) ( ( ) ( ) (

  3 x x x x x x x x x f x f x f x f

  1

  2

  1

  2

  1

  3

  1

  3

  1

  3

  2

   =

  (5) sehingga diperoleh : ) )( (

      

  3 x x x x x x a a x f a

  3

  1

  2

  3

  1

  3

  1

  3

  2

  ) ( ) (

  2  ^k x

  f x , x  f x , x _{k k k k}  1  2 

  1 f x , x , x  k  _{k k k} 1 , 2 , 3 ,....( n  1 ) (9)

   1 

  2 x  x _k

  2 k 

  4.

  …………….. 5. , x didefinisikan secara rekursif.

  Selisih terbagi ke-j terhadap x x …… _{k k k  j}

  

  

1

f x , x ,....., x  f x , x ,......, x _{k }   

  1 k  2 k  j k k  1 k  j 

  1 f x , x ,......, x 

  (10)

   k k k j    1  x  x _{k  j k} untuk k  n   j j  n .

  1 , 2 , 3 ,...., 1 ; 1 , 2 , 3 ,...., Teorema POLINOMIAL NEWTON Misalkan fungsi f (x ) terdefinisi pada interval [a, b], dan misalkan x x x dan

  , ,....,

  1 2 n

  1 

  bilangan yang berlainan pada interval [a,b], maka terdapat sebuah polynomial

  x _n

  1 

  tunggal berderajat paling tinggi n yang memenuhi :

  P (x ) _n f x P x untuk k = 1, 2, 3, , (n+1) ( )  ( ) _{k n k}

  Polinomial Newton adalah :

  P ( x )  a  a ( x  x )  a ( x  x )( x  x )  ...  a ( x  x )( x  x ).....( x  x ) (11) _n

  1

  2

  1

  3

  1 2 n 

  1

  1 2 n

  dengan

  a  f [ x , x ,....., x ] untuk k  _{k k} 1 , 2 , 3 ,....., ( n  1 )

  1

  2 Koefisien polynomial Newton merupakan selisih terbagi fungsi yang dihampiri.

  Misalkan P adalah polynomial Newton yang diberikan oleh teorema Polinomial _n (x )

  f

  Newton di atas, dan digunakan untuk menghampiri fungsi (x ) , yaitu :

  f ( x )  P ( x )  E ( x ) _{n n}

  (12) Jika f mempunyai turunan ke (n+1) pada interval [a,b], maka untuk setiap x  [ b a , ] ,

  c  c ( x )  [ a , b ]

  terdapat bilangan , sedemikian sehingga fungsi galat E (x ) berbentuk : _{n  n}

  

(

1 ) x x x x x x f c

  (  )(  )....(   ) ( )

  1 2 n

  1 E ( x )  _n

  (13)

  n

  (  1 )!

  Cara menghitung selisih-selisih terbagi Newton dengan menggunakan tabel:

  Tabel 1 : Cara menghitung selisih terbagi Newton

  x

  ……

  x x x x x

  1 2 n n n

3 

1 

  1 .

  …

  f x f x

  [ ] [ ] f [ x ] f [ x ] f [ x ] f [ x ] _{n n n}

  1

  2 3  1 

  1

  …

  f x x

  [ , ] f x x f x x f x x f x x

  [ , ] [ , ] [ , ] [ , ]

  1

  2

  2

  3

  3 4 n 1 n n n

  1  

  …

  f [ x , x , x ] f [ x , x , x ] f [ x , x , x ] f [ x , x , x ] _{n n n}

  1

  2

  3

  2

  3

  4

  3

  4 5  1 

  1

  ……. … … … … … …

  f [ x , x ,....., x ] _n

  1 2 

1 Untuk keperluan komputasi nilai-nilai selisih terbagi Newton pada tabel 1 perlu

  disimpan ke dalam matriks (array), misalkan D(j,k). Jadi koefisien-koefisien a pada _k persamaan 11 menjadi :

  D ( j , k )  f [ x , x ,..., ( x ], _{k k k j}

  (14)

   1 

  untuk

  1  j  ( n  1 ) dan 1  k  [( n  1 )  j  1 ] a  D

  dengan demikian ( j , _j

1 ) j = 1,2, …, (n+1)

Algoritma SELISIH TERBAGI NEWTON

  INPUT : x f x x f x x f x

  (( , ( )), ( , ( )),..., ( , ( ))

  OUTPUT : a a a a

  , , ,....,

  1

  2 3 n 

1 LANGKAH-LANGKAH : 1.

  for k = 1,2,…., (n+1) D(1,k) = f ( x ) _k

  a  D

  2. ( 1 , 1 )

  1

  3. For j = 1, 2, …, (n+1)

  a. For k = 1, 2, …, ((n+1) – j + 1)

  D j k  D j  k   D j  k x  x ( , ) ( ( 1 , 1 ) ( 1 , )) /( ) _{k j k}

   

  1

  b. a  D ( j , _j 1 )

  4. STOP

  Implementasi dalam MATLAB:

  function D=selisihN(x,y) n=length(x); D(1,1:n)=y; for j=2:n, for k=1:n-j+1, D(j,k)=(D(j-1,k+1)-D(j-1,k))/(x(k+j-1)-x(k)); end end

  Contoh 1: Hitunglah selisih-selisih terbagi fungsi f sampai tingkat tiga, jika diketahui data titik-titik sebagai berikut: Selanjutnya, tentukan polynomial Newton yang menginterpolasikan titik-titik tersebut.

  Tabel contoh 1:

  1

  2

  4

  x _k

  1

  1

  2

  5

  f ( x ) _k

  Penyelesaian : Dari data pada tabel contoh 1 dapat disusun tabel selisih terbagi Newton untuk fungsi f sebagai berikut. Nilai-nilai selisih terbagi Newton membentuk transpose matriks segitiga atas. Dari hasil perhitungan tersebut, elemen-elemen pada kolom pertama matriks D merupakan koefisien-koefisien polynomial Newton yang menginterpolasikan data tersebut.

  1

  2

  4

  x _k

  1

  1

  2

  5

  f ( x ) _k

  D(1, k)

  1

  1

  2

  5 D(2, k) 1 3/2 D(3, k) 1/2 1/6 D(4, k) -1/12 Polinomial Newton yang dicari adalah :

  1

  1 P ( x )  1  x ( x  1 )  x ( x  1 )( x  2 )

  3

  2

12 Contoh Cara Mencari Koefisien :

  D  D 

  ( 1 , 2 ) ( 1 , 1 )

  1

  1 Misal untuk D(2,1), berarti j = 2 , k =1 D    ( 2 , 1 )

  x  x 

  1

  2

  1

  D  D 

  ( 1 , 3 ) ( 1 , 2 )

  2

  1 Misal untuk D(2,2), berarti j = 2 , k = 2 D    ( 2 , 2 )

  1

  x  x 

  2

  3

  2

  …dst Bila Contoh 1 di atas dikerjakan dengan implementasi program Matlab di atas, dan dirunning dalam command windows, diproleh: >> x=[0 1 2 4] x = 0 1 2 4 >> y=[1 1 2 5] y = 1 1 2 5 >> D=selisihN(x,y) D =

  1.0000 1.0000 2.0000 5.0000

  1.0000 1.5000 0

  0.5000 0.1667 0 0

• 0.0833 0 0 0

  yang angka (hijau adalah koefisien-koefisien Newton) Contoh 2:

3 Misalkan f x x x . Buatlah tabel selisih terbagi untuk fungsi f tersebut dengan

  ( )  

  4

  menggunakan titik-titik x x x x x x

   1 ,  2 ,.  3 ,  4 ,  5 , 

  6

  1

  2

  3

  4

  5

  6 Tentukan Polinomial Newton P x dengan menggunakan notasi x x x dan x ( ) , ,

  3

  1

  2

  3

  4 Penyelesaian:

  Tabel contoh 2

  x x x

    

  1 2 x 

  

3

  4 x 

  5 x 

  6

  x _k

  1

  2

  4

  3

  5

  6

• 3

  15 48 105 192

  f ( x ) _k

  D(1,k) -3

  15 48 105 192 D(2,k)

  3

  15

  33

  57

  87 D(3,k)

  6

  9

  12

  15 D(4,k)

  1

  1

  1 D(5,k) D(6,k) Selanjutnya, diperoleh koefisien-koefisien adalah pada kolom kedua pada tabel

  P ( x )

  

3

  contoh 2 di atas :

  P ( x )   3  3 ( x  1 )  6 ( x  1 )( x  2 )  1 ( x  1 )( x  2 )( x  3 )

3 Penyelesaian dengan implementasi Matlab:

  >> x=[1 2 3 4 5 6] x = 1 2 3 4 5 6 >> y=[-3 0 15 48 105 192] y =

• 3 0 15 48 105 192 >> D=selisihN(x,y) D =
• 3 0 15 48 105 192 3 15 33 57 87 0 6 9 12 15 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 TUGAS:

  f x  x

  Buatlah tabel selisih terbagi untuk fungsi : ( ) cos( ) dengan menggunakan 5 titik

  x  , x  1 , x  2 , x  3 , x  4 , x  5 . Tentukan Polinomial Newton P (x ) , untuk _k

  1

  2

  3

  4

  4

  5 k= 1,2,3,4.