Matematika Kurikulum 2013
165
. Langkah Dasar
Untuk Q = 4, maka seperti pada penyelidikan Contoh 3.4, P4 : 81 = 3
4
4
3
= 64 bernilai benar. Jadi pertidaksamaan PQ : 3
Q
Q
3
berlaku untuk Q = 4.
2. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli N t 4, misalkan pertidaksamaan PQ : 3
Q
Q
3
bernilai benar. Ini berarti 3
N
Q
k
untuk N t 4. Akan ditunjukkan bahwa pertidaksamaan PQ : 3
Q
Q
3
juga berlaku untuk Q = N + 1, yaitu
PN + 1 : 3
k+1
N + 1
3
= N
3
+ 3N
2
+ 3N + 1. Untuk menunjukkan ini, dengan menggunakan 3
k
N
3
untuk N t 4, perhatikan bahwa 3
k+1
= 3
k
3
1
= 33
k
t 3N
3
= N
3
+ 2N
3
.DUHQDNPDNDXQWXN 2N
3
= N
3
+ N
3
= NN
2
+ N
2
N 3N
2
+ 3
2
N =
3N
2
+ 9N 3N
2
+ 3N + 6N 3N
2
+ 3N Dengan memsubstitusikan persamaan
ke persamaan , diperoleh
3
k+1
N
3
+ 3N
2
+ 3N + 1 = N1
3
Ini berarti pertidaksamaan PQ : 3
Q
Q
3
berlaku untuk Q = N + 1.
3. Kesimpulan
PQ : 3
Q
Q
3
berlaku untuk semua bilangan asli Q t 4.
Ayo Menanya
? ?
Kalau Anda telah mengamati dengan sempurna, bayangkan ada orang lain yang Anda sayangi yang juga ingin tahu tentang penerapan prinsip induksi
matematis ini dalam pembuktian. Tentu mereka akan ingin tahu dan akan menanyakan sesuatu kepada Anda. Kira-kira pertanyaan apa saja yang akan
Ayo Menanya
? ?
Pandu siswa membuat pertanyaan yang berkenaan dengan langkah-langkah pembuktian dalam penerapan induksi matematis dalam pembutian.
Harapan pertanyaan dari siswa adalah : 1. Bagaimanakah langkah-langkah pembuktian dalam induksi matematis?
2. Langkah mana yang merupakan hal penting merupakan kunci dalam bukti dengan induksi matematis?
Di unduh dari : Bukupaket.com
Buku Guru Kelas XII SMAMA
166
mereka ajukan, dan tuliskan pertanyaan mereka itu pada tempat kosong berikut.
Ayo Menggali Informasi
+
=
+
Guru Anda sebenarnya telah menyediakan beberapa contoh pernyataan dan bukti kebenaran dari pernyataan tersebut dengan induksi matematis. Mintalah
contoh-contoh tersebut kepada guru Anda. Anda juga dapat memperoleh contoh-contoh pengggunaan induksi matematiks
di dalam buku-buku matematika tingkat lanjut, atau di internet. Cobalah kumpulkan contoh-contoh pembuktian itu, baik yang Anda peroleh dari guru
Anda maupun yang dari internet, menjadi satu kumpulan contoh pembuktian dengan induksi matematis. Tata contoh-contoh tersebut sedemikian rupa mulai
berdasarkan tingkat kesulitannya atau berdasarkan jenis materinya.
Ayo Menggali
+
=
+
Informasi
Bantulah siswa mengumpulkan informasi dengan memberikan soal dan buktinya, misalnya:
1. Buktikan untuk semua bilangan asli n berlaku, 1 + 4 + 7 + 10 + ... + 3n 2 =
2
3 1
2 2
n n
2. Buktikan untuk semua bilangan asli n berlaku, 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2
n
= 2
n
1 3. Buktikan bahwa 3 membagi 4
n
1untuk semua bilangan asli n. 4. Buktikan untuk sebarang bilangan bulat x, x
1 membagi x
n
1, untuk semua bilangan asli n.
5. Dengan menggunakan hukum distributif ab + c = ab + ac, buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli n, berlaku ab
1
+ b
2
+ ... + b
n
= ab
1
+ ab
2
+ ... + ab
n
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kurikulum 2013
167
Ayo Menalar
Anda sudah memiliki kumpulan contoh pembuktian dengan induksi matematis. Coba Anda analisis pembuktian itu dengan menggunakan pisau
analisis berikut: 1. Ada berapa langkah yang digunakan dalam pembuktian itu?
2. Apa yang istimewa dari langkah pertama kalau dibandingkan dengan apa yang diketahui dari soal atau pernyataan yang akan dibuktikan?
3. Apa yang istimewa dari langkah kedua dari pembuktian tersebut? Tuliskan hasil analisis Anda ke dalam power point atau kertas manila dan
siapkan diri untuk saling berbagi dengan teman Anda.
Ayo Mengomunikasikan
Coba saling pertukarkan power point atau kertas manila Anda dengan teman Anda. Cobalah meminta penjelasan kepada teman Anda tentang apa yang
teman Anda tuliskan dan kritisi, tanyakan, atau berikan saran perbaikannya. Kalau sudah, cobalah Anda membentuk kelompok 4 orang dan sepakatilah
kesimpulan kelompok Anda. Sesudah itu, coba Anda tengok pekerjaan kelompok lain dan bandingkan dengan pekerjaan Anda.
Ayo Menalar
Bantu siswa untuk menganalisis 3
pertanyaan dengan pisau analisis tersebut
secara berkelompok 4 orang. Mintalah
siswa menuliskan hasil diskusinya dalam bentuk
power point atau di kertas.
Ayo Mengomunikasikan
Bantu siswa dalam menukarkan dan mengkritisi hasil kerja kelompoknya dengan kelompok lain. Bantulah siswa menyimpulkan hasil diskusinya.
Hasil diskusi yang diharapkan adalah sebagai berikut. 1. Terdapat 3 langkah yang digunakan dalam pembuktian itu, yaitu 1. Langkah
Dasar, 2. Langkah Induksi, dan 3. Kesimpulan a. Langkah Pertama Dasar, membuktikan bahwa P1 benar untuk induksi
matematis atau Pm benar untuk induksi matematis yang diperluas. b. Langkah Kedua Induksi
Untuk induksi matematis, membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, apabila Pk benar, maka Pk+1 juga benar.
Untuk induksi matematis yang diperluas, membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k
t m, apabila Pk benar, maka Pk + 1 juga benar. c. Kesimpulan
Untuk induksi matematis, menyimpulkan bahwa Pn benar untuk semua bilangan asli n
Untuk induksi matematis yang diperluas, menyimpulkan bahwa Pn benar untuk semua bilangan asli n
t m untuk suatu bilangan asli m.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Buku Guru Kelas XII SMAMA
168
1. Membuat JHQHUDOLVDVL dan menemukan formula. Perhatikan grid sebagai berikut, kemudian buatlah generalisasi untuk
menentukan a. banyaknya persegi yang bisa ditemukan pada grid.
b. Banyaknya persegipanjang yang bisa ditemukan pada grid.
2. Membuktikan dengan Induksi matematis. Buktikan bahwa pernyataan berikut bernilai benar.
a. 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2Q = QQ + 1 , untuk setiap bilangan asli Q. b. 1 + 2 + 4 + 8 + ... 2
n
2
n
1, untuk setiap bilangan asliQ. c.
2 2
2 2
1 2 1
1 2
3 ...
6 Q Q
Q Q
= , untuk setiap bilangan asli Q.
d.
2 3
3 3
3
1 2
3 ...
1 2 3 ... Q
Q =
, untuk setiap bilangan asli n.
e. 1
2 1 2 2 3 3 4 ...
1 3
Q Q Q
Q Q
untuk setiap bilangan asli.
f. 1
1 1
1 ...
1 2 2 3
3 4 1
1 Q
Q Q Q
=
untuk setiap bilangan asli. g. Q
3
+ 5Q adalah kelipatan 6 untuk setiap bilangan asli Q.
Latihan 3.1
Alternatif Penyelesaian
Latihan 3.1 1. Generalisasi
a. Banyak persegi - Banyak persegi
terbesar 4 u4 =1
- Banyak persegi 3
u3 = 4 - Banyak persegi
2 u2 = 9
- Banyak persegi 1
u1 = 16 Jadi banyak pesergi
yang ditemukan = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
b. Banyak persegi panjang
- Banyak persegi panjang 4
u4 =1 - Banyak persegi
panjang 4 u3 atau
3 u4 = 4
- Banyak persegi panjang 4
u2 atau 2
u4 = 6 - Banyak persegi
panjang 4 u1 atau
1 u4 = 8
- Banyak persegi panjang 3
u3 = 4 - Banyak persegi
panjang 3 u2 atau
2 u3 = 12
- Banyak persegi panjang 3
u1 atau 1
u3 = 16 - Banyak persegi
panjang 2 u2 = 9
- Banyak persegi panjang 2
u1 atau 1
u2 = 24 - Banyak persegi
panjang 1 u1 = 16
Jadi banyak persegi panjang = 1 + 4 + 6+
8 + 4 + 12 + 16 + 9 + 24 + 16 = 70.
2. Bukti hanya diberikan pada langkah induksi.
a. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar.
Artinya 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2k = kk + 1. Akan ditunjukkan Pk + 1 benar. Perhatikan
bahwa 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2k + 2k + 1 = kk + 1 + 2k + 1 = k + 1 + k + 2.
Jadi Pk + 1 benar.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kurikulum 2013
169
b. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2
k 1
= 2
k
1. Akan ditunjukkan Pk + 1 benar. Perhatikan bahwa 1 + 2 + 4 + 8 + ... +
2
k 1
+ 2
k 11
= 2
k
1 + 2
k
= Â
k
1 = 2
k 1
1 Jadi Pk + 1 benar.
c. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ... + k
2
= 1 2
1 6
k k k
. Akan ditunjukkan Pk + 1 benar.
Perhatikan bahwa 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ... + k
2
+ k + 1
2
= 1 2
1 6
k k k
+ k + 1
2
= 1
2 1
6 1
6 k
k k
ª º
¬ ¼
2
1 2
7 6
6 k
k k
ª º
¬ ¼
= 1
2 2 3
6 k
k k
= 1
1 1 2
1 1
6 k
k k
Jadi Pk + 1 benar.
d. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ ... + k
3
=
2
1 2
k k §
· ¨
¸ ©
¹ .
Akan ditunjukkan Pk + 1 benar. Perhatikan bahwa 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ ... + k
3
+ k + 1
3
=
2
1 2
k k §
· ¨
¸ ©
¹ + k + 1
3
=
2
1 2
k k §
· ¨
¸ ©
¹ [k
2
4k + 1]
2
1 2
k k §
· ¨
¸ ©
¹ k + 2
2
=
2
1 2
2 k
k §
· ¨
¸ ©
¹ Jadi Pk + 1 benar.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Buku Guru Kelas XII SMAMA
170
e. Langkah Induksi
