Matematika Kurikulum 2013
185
.HJLDWDQ3HQHUDSDQ3ULQVLS,QGXNVL0DWHPDWLV.XDW Ayo Mengamati
Tentu Anda masih ingat penggunaan prinsip induksi matematis dalam membuktikan pernyataan yang berkenaan dengan bilangan asli. Sekarang
silakan Anda amati penggunaan prinsip induksi matematis kuat pada Contoh 3.11 di atas, yaitu:
Barisan bilangan x
Q
GLGH¿QLVLNDQ GHQJDQ
1 2
2 1
1 1,
2, 2
Q Q
Q
x x
x x
x =
= =
untuk semua bilangan asli Q. Tunjukkan bahwa 1
2
Q
x d
d untuk semua
bilangan asli Q.
Bukti
Misalkan :1
2
Q
3 Q [
d d
untuk bilangan asli Q.
1. Langkah Dasar
Untuk Q = 1, maka
1
1 1 2
x d
d bernilai benar. Jadi P1 benar.
2. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli N, misalkan P1, P2, ..., PN + 1, PN benar. Akan ditunjukkan
1
1 :1 2
N
3 N [
d d
bernilai benar. Dari P1, P2, ..., PN 1, PN benar, maka
1 2
Q
x d
d untuk
Q = 1, 2, ..., N 1, N, khususnya 1 d x
N
d 2 dan 1 d x
N
d 2. Akibatnya
2 d x
N
[
N
d HQJDQ GH¿QLVL EDULVDQ GL DWDV GLSHUROHK
1 1
2 1
4 1
2 2
2 2
N N
N
x x
x d
d Ini mengatakan bahwa
1
1 :1 2
N
3 N [
d d
bernilai benar.
3. Kesimpulan
PQ : 1 d x
Q
d 2 benar untuk semua bilangan asli Q.
Ayo Mengamati
Ajaklah siswa mengamati penerapan induksi matematis kuat pada Kegiatan 3.2.1 dan 3.2.2
Mintalah siswa mengamati langkah-langkah perbuktian yang dilakukan, dan bandingkan dengan langkah-langkah pada induksi matematis.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Buku Guru Kelas XII SMAMA
186
Contoh 3.12
Tunjukkan bahwa setiap bilangan bulat Q yang lebih dari satu habis dibagi oleh suatu bilangan prima.
Bukti
Misalkan PQ bilangan bulat positif Q lebih dari satu habis dibagi oleh suatu bilangan prima.
. Langkah Dasar
Jelas bahwa 2 habis dibagi oleh suatu bilangan prima, yaitu 2 itu sendiri. Jadi P2 bernilai benar.
2. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli N 1, misalkan P2, P3, ..., PN 1, PN bernilai benar. Artinya semua bilangan bulat postif yang lebih dari satu sampai dengan
bilangan asli N, habis dibagi oleh suatu bilangan prima. Akan dibuktikan bahwa PN 1 bernilai benar. Artinya bilangan asli N 1
habis dibagi oleh suatu bilangan prima. Perhatikan bilangan asli N 1. Terdapat dua kemungkinan untuk bilangan ini.
a. N 1 adalah suatu bilangan prima, sehingga ia k + 1 habis dibagi oleh bilangan prima N 1 itu sendiri.
b. N 1 bukan suatu bilangan prima. Maka N 1 dapat difaktorkan menjadi hasil kali dua bilangan asli yang lebih dari satu dan kurang atau sama
dengan N, yaitu N 1 = N
1
u N
2
dengan 1 N
1
, N
2
d N Dengan menggunakan pemisalan bahwa semua bilangan bulat postif yang
lebih dari satu dan kurang atau sama dengan N habis dibagi oleh suatu bilangan prima, sedangkan 1 N
1
, N
2
d N maka N
1
habis dibagi oleh suatu bilangan prima, misalkan p
1,
dan juga N
2
habis dibagi oleh suatu bilangan prima, misalkan p
2
. Dengan demikian, N
1
= p
1
u Q
1
dan N
2
= p
2
u Q
2
dan untuk suatu bilangan asli Q
1
, Q
2
. Oleh karena itu, diperoleh N + 1 = N
1
u N
2
= p
1
u Q
1
u p
2
u Q
2
. Ini berarti N 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima p
1
atau p
2
.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kurikulum 2013
187
Dari dua kemungkinan ini, dapat disimpulkan N 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima. Hal ini sama dengan mengatakan bahwa PN 1 bernilai benar.
. Kesimpulan
PQ: setiap bilangan bulat positif Q lebih dari satu habis dibagi oleh suatu bilangan prima.
Ayo Menanya
? ?
Setelah Anda mengamati dengan cermat langkah-langkah pembuktian pada induksi matematis kuat Contoh 3.11 dan 3.12, kemudian Anda bandingkan
dengan langkah-langkah pembuktian pada induksi matematis Contoh 3.8, 3.9, dan 3.10.
6HNDUDQJ QGD EHNHUMD VHFDUD EHUNHORPSRN ± RUDQJ GDQ EXDWODK pertanyaan-pertanyaan yang berkenaan dengan induksi matematis dan induksi
matematis kuat. Tuliskan pertanyan-pertaanyaan itu pada tempat kosong berikut.
Ayo Menggali Informasi
+
=
+
Setelah Anda membuat pertanyaan, cobalah Anda mencoba menjawab pertanyaan tersebut.
Ayo Menanya
? ?
Mintalah siwa untuk berkelompok 3 – 4
orang untuk membuat pertanyaan terkait dengan
induksi matematis dan induksi matematis kuat.
Tulislah pertanyaan tersebut dalam kotak
yang disediakan. Diharapkan pertanyan
yang akan dibuat siswa adalah:
1. Apa perbedaan
induksi matematis dan induksi
matematis kuat?
2. Kapan menggunakan
induksi matematis dan kapan
menggunakan induksi matematis
kuat.
Ayo Menggali Informasi
+
=
+
Ajaklah siswa untuk membandingkan prinsip induksi matematis dan prinsip induksi matematis kuat. Khususnya pembuktian pada langkah induksi.
Bantulah siswa apabila mengalami kesulitan dalam membandingkan kedua prinsip induksi tersebut.
Selanjutnyadengan membandingkan kedua prinsip induksi tersebut dan dengan melihat penggunaan prinsip induksi tersebut dalam menyelesaikan soal, ajaklah
siswa untuk memperoleh informasi kapan prinsip induksi kuat digunakan dalam pembuktian suatu pernyataan.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Buku Guru Kelas XII SMAMA
188
Ayo Menalar
Sekarang saatnya Anda secara berkelompok mendiskusikan dan menjawab pertanyaan berikut.
1. Bagaimana langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematis? 2. Bagaimana langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematis kuat?
3. Kapan kita menggunakan prinsip induksi matematis dan kapan kita menggunakan induksi matematis kuat?
Tuliskan jawaban pertanyaan-pertanyaan untuk masing-masing kelompok. Mintalah bantuan gurumu apabila Anda menemukan kesulitan atau
permasalahan yang berkenaan dengan pertanyaan tersebut.
Ayo Mengomunikasikan
Setelah diskusi kelompok Anda lakukan, sekarang coba Anda diskusikan secara klasikan untuk mencocokkan jawaban kelompok yang telah Anda buat.
Mintalah masukan atau penjelasan dari gurumu apabila dalam diskusi kelas menemukan permasalahan.
Setelah diskusi kelas, tuliskan kesimpulan Anda tentang hasil diskusi kelas tersebut secara individu dalam kotak berikut.
.HVLPSXODQ
Ayo Menalar
Setelah memperoleh jawaban pertanyaan yang telah dibuat siswa, untuk lebih mempertajam pemahaman siswa, mintalah siswa secara berkelompok untuk
menjawab pertanyaan berikut. 1. Bagaimana langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematis?
2. Bagaimana langkah-langkah pembuktian dengan induksi kuat? 3. Kapan kita menggunakan prinsip induksi matematis dan kapan kita
menggunakan induksi matematis kuat? Mintalah siswa untuk menulis jawabannya pada kotak yang disediakan.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kurikulum 2013
189
Alternatif Penyelesaian Ayo Menalar
yang diharapkan.
1. Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi
matematis bahwa suatu pernyataan Pn benar untuk setiap bilangan asli n adalah sebagai berikut:
a. Membuktikan bahwa P1 benar b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, apabila Pk benar,
maka Pk+1 juga benar. c. Menyimpulkan bahwa Pn benar untuk setiap bilangan asli n.
Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis yang diperluas bahwa suatu pernyataan Pn benar untuk setiap
bilangan asli n m adalah sebagai berikut:
a. Membuktikan bahwa Pm benar b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k
m, apabila Pk benar, maka Pk+1 juga benar.
c. Menyimpulkan bahwa Pn benar untuk setiap bilangan asli n m.
2. Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis kuat bahwa suatu pernyataanPn benar untuk setiap bilangan asli
n adalah sebagai berikut: a. Membuktikan bahwa P1 benar
b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, jika P1, P2, …, Pk benar, maka Pk+1 juga benar.
c. Menyimpulkan bahwa Pn benar untuk setiap bilangan asli n. Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi
matematis kuat yang diperluas, bahwa suatu pernyataan Pn benar untuk setiap bilangan asli n
m adalah sebagai berikut: a. Membuktikan bahwa Pm benar
b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n m, apabila Pm,
Pm+1, …, Pk benar, maka Pk+1 juga benar. c. Menyimpulkan bahwa Pn benar untuk setiap bilangan asli n.
3. Induksi matematis kuat digunakan apabila dalam langkah pembuktian pernyataan Pk+1 benar tidak hanya memerlukan kebenaran Pk tetapi juga
kebenaan Pn untuk n sebelum k. Sedangkan induksi matematis digunakan apabila dalam langkah pembuktian
pernyataan Pk+1 benar hanya memerlukan kebenaran Pk.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Buku Guru Kelas XII SMAMA
190
Latihan 3.2
1. a. Apakah kalian dapat membuktikan pernyataan Q
4
Q
2
habis dibagi 12 untuk semua bilangan asli Q dengan menggunakan induksi
matematis seperti biasanya ? b. Cobalah untuk membuktikan pernyataan Q
4
Q
2
habis dibagi 12 untuk semua bilangan asli Q dengan menggunakan induksi
matematis kuat. 2. Buktikan hasil-hasil berikut dengan menggunakan induksi kuat
a. Misalkan
1 1
1
3 4
1, 2,
12
Q Q
Q
x x
x x
x =
= =
dengan Q adalah bilangan asli.
Buktikan : x
Q+1
d 1, untuk semua bilangan asli Q. b. Misalkan x
= 1, x
1
= 1, x
Q+1
= x
Q
+ x
Q1
dengan Q adalah bilangan asli. Buktikan : x
Q+1
d 2
Q
, untuk semua bilangan asli Q. c. x + \ adalah faktor dari x
2Q
\
2Q
, untuk setiap bilangan asli Q. d. Misalkan barisan a
1
, a
2
, a
3
GLGH¿QLVLNDQVHEDJDLEHULNXW a
1
= 1, a
2
= 2, a
3
= 3, dan a
Q
= a
Q1
+ a
Q2
+ a
Q3
. Buktikan bahwa a
Q
2
Q
. 3. Perhatikan kembali barisan Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … di mana dua suku pertama adalah 1 dan 1, dan sebarang suku selanjutnya
adalah jumlah dua suku sebelumnya. Kita menyatakan suku ke-n dari barisan ini sebagai F
Q
. Jadi, F
1
= 1, F
2
= 1, dan F
Q
= F
Q-1
+ F
Q-2
. Buktikan suku ke-n barisan ini dapat dinyatakan secara eksplisit
sebagai 1
1 1
5 1
5 2
2 5
Q Q
Q
F §
· §
· ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ ©
¹ =
, untuk semua Q bilangan asli.
PDWL: suku-suku barisan Fibonacci merupakan bilangan Asli, tapi dalam rumus tersebut memuat bilangan irasional
5 , mungkinkah?.
Dalam matematika, dapat terjadi sesuatu yang kelihatannya secara intuisi tidak mungkin, namun dapat terjadi.
Alternatif Penyelesaian
Latihan 3.2 1.a. Tidak bisa.
b. Langkah Induksi
